等边三角形性质和判定
等边三角形性质与判定
等边三角形性质与判定等边三角形是指三条边都相等的三角形。
在几何中，等边三角形具有一些特殊的性质和判定方法。
本文将介绍等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是等边三角形。
一、等边三角形的性质1.三边相等：等边三角形的三条边长度相等，即AB=AC=BC。
2.内角相等：等边三角形的三个内角都相等，每个角都是60度。
3.内角和为180度：等边三角形的三个内角和为180度，因为三个角都是60度，所以它们的和为180度。
4.等边三角形是等腰三角形：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
等边三角形的三边都相等，因此也是等腰三角形。
5.等边三角形是等角三角形：等角三角形是指三个角度都相等的三角形。
等边三角形的三个内角都是60度，因此也是等角三角形。
二、判定一个三角形是否为等边三角形判定一个三角形是否为等边三角形可以通过以下方法进行：1.测量三条边的长度：通过使用测量仪器（例如尺子）或计算方法，测量三条边的长度，如果它们长度相等，则可以判定为等边三角形。
2.判定三个角度是否相等：通过使用角度测量器或计算方法，测量三个角度的大小，如果它们都是60度，则可以判定为等边三角形。
3.判定两边是否相等：通过测量任意两条边的长度，如果它们长度相等，则可以判定为等边三角形。
需要注意的是，在实际应用中，我们常常会结合多种判定方法来确定一个三角形是否为等边三角形，以增加判定结果的准确性。
三、等边三角形的应用等边三角形在几何学中有广泛的应用，下面列举了其中一些常见的应用：1.建筑与设计：等边三角形在建筑和设计中常常作为参考图形，用于规划和设计各种建筑结构。
2.三角函数：等边三角形是三角函数的重要基础。
在三角函数中，等边三角形通常用作基本的参考图形，用于推导和分析各种三角函数的性质和关系。
3.几何证明：等边三角形作为一种特殊的三角形，常常被用于几何证明中。
通过研究等边三角形的性质，可以推导和证明各种几何定理和命题。
4.图形构造：等边三角形是一种基本的图形构造元素，可以用于构造其他形状和图形。
等边三角形的性质和判定
A
你还能用其他
方法证明吗?
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
B┓ C
在直角△ABC中
∵∠A＝30° ∴AC＝2BC
下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长?
E
∴ △ADE 是等边三角形．
追问 本题还有其他证法吗？B
C
动脑思考，变式训练
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°． A
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
B
C
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形. D
E
动脑思考，变式训练
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵ △ABC 是等边三角形， E D
∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
A
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
是（三线合一）
（等边对等角）
一条对称轴
相等 每个角都等于60°
？
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？
图形
等腰 三角形
等边 三角形
边
两边相等 （定义）
三边相等 （定义）
角
轴对称图形
两底角相等
是（三线合一）
等边三角形的性质和判定
等边三角形的中线、高线 和角平分线重合
相等
等边三角形的三个内角相等，每 个角都是60度。
等边三角形的中位线与底边平行， 且等于底边的一半。
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等边三角形的外角和等于360度， 每个外角都是120度。
等边三角形的高、中线、角平分 线三线合一，且都等于底边的一 半。
对称性
等边三角形的高、中线、角 平分线三线合一，且都垂直 于底边。
等边三角形三边相等，三个 角相等，具有轴对称性。
等边三角形的重心、内心、 外心、垂心四心合一，且都
位于等边三角形的内部。
等边三角形是特殊的等腰三 角形，具有等腰三角形的所
有性质。
高等性质
边长相等：三边 长度相等
内角相等：三个 内角均为60度
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中世纪：阿拉伯数学家开始对等边三角形进行更深入 的研究，进一步发展了相关理论
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近现代：随着数学的发展，等边三角形在各个领域的 应用越来越广泛，如物理学、工程学和计算机科学等
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古希腊时期：欧几里德在《几何原本》中详细阐述了 等边三角形的性质和定理，为后续研究奠定了基础
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文艺复兴时期：欧洲数学家如笛卡尔和费马开始使用 解析几何方法研究等边三角形，推动了三角学的发展
轴对称：具有三 条对称轴
重心、内心、外 心重合：重心、 内心、外心三点 共线
等边三角形的判定
边判定法
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定义：三边相等的三角形是等边三角形
判定定理：如果一个三角形的三边长度相等，则这个三角形是等边三角 形。
证明：由三角形的性质，任意两边之和大于第三边，如果三边长度相等， 则三边之和都等于第三边，满足三角形的定义。
等边三角形的性质和判定
等边三角形的性质和判定
等边三角形也称为等腰三角形，是三角形中最基本的一种形状，
它的三个边都是等长的。
因为只有三条边，一般只需要判断三个边长
是否相等就可以是否是等边三角形。
等边三角形有着独特的性质，其中最重要的是它的三个内角都是
相等的，这代表等边三角形的三条边的本质是等边的，即它的三个角
都是相等的。
另外，等边三角形只有两个外角是相等的，而另外一个
外角则是一个直角。
根据上述性质，可以通过测量等边三角形的3边长度，来判断它
是否是一个等边三角形。
如果三边形长度都相等，则这个三角形就是
一个等边三角形。
同时，我们可以求出等边三角形的其它性质，比如它的三角形角
度和周长。
此外，我们还可以通过以上方法计算出等边三角形的面积：将三角形三边长度分别记为a，b，c，那么根据海伦-克拉斯定理可以
得出等边三角形的面积为：面积=〖△〗√=〖a*b*c〗√，3s其中s为三边的一半周长。
由以上性质可以看出，等边三角形的相关性质十分简单，只需要
测量三边长度就可以判断它是否是一个等边三角形，同时也可以计算
出它的其它性质，如内外角和周长面积等，用来研究三角形在实际应
用中的特性和特点。
等边三角形的判定
等边三角形的判定三角形是几何学中最基础的图形之一。
在三角形的种类中，等边三角形是其中一种特殊而独特的形式。
等边三角形有着特殊的属性和性质，在几何学和实际生活中都有重要的应用。
本文将探讨等边三角形的判定方法和其特点。
一、等边三角形的定义和性质等边三角形是指三条边长度完全相等的三角形。
根据等边三角形的定义，它具有以下几个性质：1. 三条边长相等：等边三角形的三条边长度完全相等，记作AB=BC=CA。
2. 三个内角相等：等边三角形的三个内角也相等，每个内角都为60度，记作∠A=∠B=∠C=60°。
3. 具有三个对称轴：等边三角形有三个对称轴，通过顶点A、B、C 和中心点O。
二、判定等边三角形的方法为了判定一个三角形是否为等边三角形，我们可以使用以下几种方法：1. 观察边长：最直观的方法是观察三角形的三条边是否完全相等。
如果三条边长度完全相等，那么这个三角形就是等边三角形。
2. 观察角度：等边三角形的每个内角都为60度。
因此，我们可以通过测量三个内角是否相等来判断是否为等边三角形。
如果三个内角都等于60度，那么这个三角形就是等边三角形。
3. 观察对称性：等边三角形具有三个对称轴，通过顶点和中心点。
所以，我们可以通过观察三角形是否具有对称性来判定是否为等边三角形。
请注意，在进行判定时，至少需要满足以上任意一种方法。
三、等边三角形的应用等边三角形在几何学和实际应用中具有重要的作用。
以下是一些等边三角形的应用示例：1. 建筑设计：等边三角形的稳定性和对称性使其成为建筑设计中常见的元素。
许多建筑物的构造和外观设计中都使用了等边三角形的形状。
2. 工程测量：等边三角形常用于工程测量和土木工程中的设计。
例如，等边三角形的特性可以用于测量物体的高度、长度和角度等。
3. 黄金比例：等边三角形和黄金比例之间有着紧密的联系。
黄金比例是指两个长度之比等于这两个长度之和与较长长度之比的关系。
等边三角形是黄金比例的基本构成元素之一。
等边三角形的性质与判定
轴对称性
特殊性 判定
三边法 三角法
三边相等
三个角都等于60 °
轴对称图形， 每条边上都具 有“三线合一”
性质
等腰三角形法
角形是等腰三角形
等边三角形 三条边都相等的三角形 是等边三角形
三个角都相等的三角形 是等边三角形
★小等明边认三为角还形有的第判三定种方方法法：“两条边相等且有一个角是60°的三角 形也有是一等个边角三是角6形0°”的，等你腰同三意角吗形？是等边三角形.
新课讲解
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
证明： ∵AB=AC. ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
新课讲解
问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边
三角形有几条对称轴？
顶角的平分线、 A
A
底边的高
底边的中线
三线合一
B
C
B
C
不 是
是
是
（1）
（2）
（3）
不
一 定
是
是
是
（4）
（5）
（6）
例
新课讲解
3
如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE
是等边三角形.
证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C, ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED,
随堂即练
1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ B ）
A．105°
B．120° C．135° D．150°
等边三角形的性质与定理
等边三角形的性质与定理等边三角形是指三角形的三条边相等的特殊三角形。
在等边三角形中，具有一些独特的性质和定理。
本文将详细介绍等边三角形的性质与相关定理，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
1. 基本性质等边三角形的三条边相等，每个内角都是60度。
这是等边三角形的最基本的性质，由此可以得出其他重要结论。
2. 高度、中线、角平分线在等边三角形中，高度、中线和角平分线重合。
由于等边三角形的三个角均为60度，故通过三个顶点作垂直于对边的线段，这些线段重合。
这一性质可以帮助我们求解等边三角形的各种参数。
3. 内切圆和外切圆等边三角形的内切圆和外切圆存在一些有趣的性质。
内切圆是与三角形的三条边相切于一点的圆，而外切圆则是与三角形的三条边相切于一点的圆。
对于等边三角形而言，内切圆与外切圆的半径相等。
4. 正弦定理正弦定理是三角形中常用的定理之一，也适用于等边三角形。
对于一个等边三角形来说，其边长为a，则可以利用正弦定理计算角度或边长。
正弦定理的公式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（其中R为等边三角形的外接圆半径）5. 面积公式等边三角形的面积可以通过多种方式计算得出。
一种常用的方法是使用边长公式求解。
在等边三角形中，边长为a，则其面积S可通过以下公式计算：S = (sqrt(3) * a^2) / 46. 等边三角形的判定在几何学中，我们需要判定一个三角形是否为等边三角形。
根据等边三角形的定义，仅需验证三条边是否相等即可。
如果一个三角形的三条边相等，则可以确认该三角形为等边三角形。
7. 等边三角形的应用等边三角形不仅仅是几何学中的一个特殊形状，它还广泛应用于实际生活中。
在建筑、工程和设计领域中，等边三角形被用于构建稳定的结构和美观的设计。
此外，在计算机图形学和游戏开发中，等边三角形也常被用于模拟和绘制各种形状。
总结：等边三角形具有独特的性质与定理，包括基本性质、高度、中线、角平分线、内切圆和外切圆、正弦定理、面积公式、判定标准以及应用。
等边三角形的性质与判定
等边三角形的性质与判定等边三角形是一种特殊的三角形，具备特定的性质和判定方法。
本文将介绍等边三角形的性质，并探讨如何判定一个三角形是否为等边三角形。
一、等边三角形的性质等边三角形具有以下几个显著的性质：1. 边长相等：等边三角形的三条边长度完全相等。
2. 角度相等：等边三角形的三个内角均为60度。
3. 对称性：等边三角形具有三条对称轴，每条轴都经过一个顶点和对边的中点。
4. 高度、中线、角平分线重合：等边三角形的高度、中线和角平分线都重合于一条直线。
二、判断三角形是否为等边三角形判定一个三角形是否为等边三角形有以下几种方法：1. 边长判定法：若一个三角形的三边长度均相等，则该三角形为等边三角形。
2. 角度判定法：若一个三角形的三个内角均为60度，则该三角形为等边三角形。
3. 对称性判定法：若一个三角形具有三条对称轴，每条轴都经过一个顶点和对边的中点，则该三角形为等边三角形。
4. 高度、中线、角平分线重合判定法：若一个三角形的高度、中线和角平分线都重合于一条直线，则该三角形为等边三角形。
请注意，这些判定方法不仅可以单独使用，也可以结合使用，以得出更准确的结果。
三、等边三角形的应用等边三角形在几何学和工程学中具有广泛的应用。
1. 建筑设计：等边三角形常用于设计正六边形的楼柱或柱子，使得建筑物更加稳定和均衡。
2. 航空航天：等边三角形的稳定性使得它在设计和制造飞行器的翼型中得到广泛应用。
3. 测量和定位：等边三角形在测量和定位领域也起到重要的作用，例如通过测量等边三角形的边长来判断距离等。
四、总结等边三角形是一种特殊的三角形，具有边长相等、角度相等、对称性以及高度、中线、角平分线重合等性质。
我们可以通过边长判定、角度判定、对称性判定和高度、中线、角平分线重合判定等方法来判断一个三角形是否为等边三角形。
此外，等边三角形在建筑设计、航空航天、测量和定位等领域有着广泛的应用。
通过了解等边三角形的性质和判定方法，我们能够更好地理解和应用这一特殊的几何形状，为相关领域的研究和实践提供帮助。
等边三角形的性质及判定
探究：如图,等边三角形ABC,以下三种方法分别 得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？ （1）在边AB，AC，分别截取AD=AE （2）∠ADE=60°，D，E分别在边AB，AC上 （3）过边AB上D点，作DE∥BC，交 A
A
你还能用其他
方法证明吗?
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 则它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
在直角△ABC中
∵∠A＝30°
B┓
C ∴AC＝2BC
下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长
资料整理
• 仅供参考,用药方面谨遵医嘱
A
B
C
等边三角形的性质
1 .三条边相等
2.等边三角形的内角都相等,且等于60 ° 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
探索星空：探究判定一
1、三个内角都等于60°的三角形是等边三角形
∵ ∠A=∠B=∠C=60° ∴ AB=AC=BC (在同一个 三角形中等角对等边) ∴ △ABC是等边三角形
三角形中等边对等角)
B
C
∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60°
探索星空：探究性质二
2、等边三角形有“三线合一”的性质吗为什么
A
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的 平分线都三线合一。（ 所有的高线，角平分线， 中线的长度相等。）
探索星空：探究性质三
3、等边三角形是轴对称图形吗有几条对称轴
等边三角形的性质与判定课件
∵∠A= ∠ B=∠C
∴△ABC是等边三角形
判定3：有一个角是60。的等腰三角形是
等边三角形 已知： AB=AC ∠A=60。
A
求证：△ABC是等边三角形
B
几何语言:
C
∵AB=AC ∠A=60。
∴△ABC是等边三角形
1、已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm， 则△ABC的周长___9_c_m___
(2) 等边三角形的判定:
1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个角都相等的三角形是等边三角形。 3.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三
角形。
有二条边相等
底边＝腰长
一般三角形
等腰三角形
等边三角形
等边三角形的定义
三边都相等的三角形叫等边三
角形。等边三角形是一种特殊的
A
等腰三角形。也叫正三角形。
B
C
等腰边三角形有什么性质？
名 图 形 边 角 重要线段 对称性
称
等
A
腰 三 角
形 B） .
）∟
两 腰 相 C等
两 底 角 相 等
顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高线
Байду номын сангаас
角形（定义）
三角形（定义）
方法二：从角看
方法二：
有两个角相等的三角形是等腰 三个角都相等的三角形是等 三角形。（简写成等角对等边） 边三角形
方法三：
有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形
判定2： 三个角都相等的三角形是 A 等边三角形。
已知： ∠A= ∠ B=∠C
求证：△ABC是等边三角
形
B
C 几何语言：
∵ DE∥BC
等边三角形的性质与判定八年级数学
第06讲等边三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
【基础知识】一．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．二．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．三．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．【考点剖析】一．等边三角形的性质（共5小题）1．（2020秋•濮阳期末）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为（ ）A ．80°B ．70°C ．45°D ．30°2．（2022春•江都区月考）如图，△ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，若△ABC 的周长为24，则PD +PE +PF ＝（ ）A ．8B ．9C ．12D ．153．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，C 是线段AB 上一动点，△ACD ，△CBE 都是等边三角形，M ，N 分别是CD ，BE 的中点，若AB ＝4，则线段MN 的最小值为（ ）A ．√32B ．√3C ．2√3D ．3√324．（2021秋•无锡期末）如图，△ABC 是等边三角形，BC ＝BD ，∠BAD ＝20°，则∠BCD 的度数为 ．5．（2021秋•宝应县期中）如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，BD 交AC 于点D ，DE ∥BC ，DE 交AB 于点E ．（1）判断△ADE 的形状，并说明理由．（2）判断AE 与AB 的数量关系，并说明理由．二．等边三角形的判定（共4小题）6．（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形7．（2021秋•渑池县期末）下列对△ABC的判断，错误的是（）A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠B＝50°C．若AB＝BC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则△ABC是等腰三角形8．（2017秋•兴化市期中）有一个角是的等腰三角形是等边三角形．9．（2019秋•鼓楼区校级期中）如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．求证：△ADE为等边三角形．三．等边三角形的判定与性质（共3小题）10．（2021秋•淮安区期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，若BC＝5cm，则AC＝cm．11．（2020秋•河北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数．（2）求证：DC＝CF．12．（2021春•龙口市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝12，BD＝7，则△ADE的周长为（）A．5B．36C．21D．152．（2021秋•鼓楼区月考）在等边三角形ABC中，AD是高，∠B的平分线交AD于E，下面判断中错误的是（）A．点E在AB的垂直平分线上B．点E到AB、BC、AC的距离相等C．点E是AD的中点D．过点E且垂直于AB的直线必经过点C3．（2021秋•鼓楼区期中）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（）A．B．C．D．4．（2020秋•东台市期中）一边上的中线等于这边的一半，此三角形一定是（）A．等边三角形B．有一角为钝角的等腰三角形C．直角三角形D．顶角是36°的等腰三角形5．（2021春•罗湖区校级期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC 是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④二．填空题（共3小题）6．（2021秋•淅川县期末）如图，两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC＝4，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．7．（2020秋•韩城市期中）在△ABC中，∠A＝∠B＝60°，AB＝3，则BC等于．8．（2020秋•饶平县校级期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为．（填序号）三．解答题（共6小题）9．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．10．（2018秋•盱眙县期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E．（1）求证：∠C＝∠CDE．（2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．11．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度数；（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．12．（2020秋•黄陂区期中）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．13．（2019秋•桐城市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2019秋•滨海县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC中点．（1）求∠CAE的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．第06讲等边三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
等边三角形的判定和性质
【变式】 直线AB,CD相交,求证:AB,CD只有一个交点.用反证法证明时,我们可先
假设AB,CD相交于两个交点O与O′, 那么过O,O′两点就有 两 条直线,这与
“过两点 有且只有一条直线
”矛盾,所以假设不成立,则原命题成立.
1.(2018福建)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,点E在线段AD 上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( A ) (A)15° (B)30° (C)45° (D)60°
等边三角形的判定方法的选择 (1)若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定; (2)若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判 定; (3)若已知该三角形是等腰三角形,则可再寻找一个内角等于60°即可.
【变式】如图,已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点,∠EBC=∠DAC, CE∥AB. 求证:△CDE是等边三角形.
知识点二 等边三角形的有关性质 【例2】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作 EF ⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数; (2)若CD=2,求DF的长.
解:(1)因为△ABC为等边三角形,所以∠B=60°.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B= 60°.因为EF⊥DE,所以∠DEF=90°,所以∠F=90°-∠EDC=30°. (2)因为∠ACB=60°,∠EDC=60°,所以△EDC为等边三角形.所以ED=DC=2,因 为∠DEF=90°,∠F=30°,所以DF=2DE=4.
等边三角形的性质与计算
等边三角形的性质与计算等边三角形是一种特殊的三角形，其三条边相等，三个角也相等。
在这篇文章中，我们将探讨等边三角形的一些性质，并介绍如何计算等边三角形的一些相关要素。
一、等边三角形的性质1. 边长性质：等边三角形的三条边长度相等，记作a。
2. 角度性质：等边三角形的三个角度都是60度，记作∠A=∠B=∠C=60°。
3. 对称性质：等边三角形的每条中线都重合，并且等长。
等边三角形的每条高线也重合，并且等长。
4. 高线性质：等边三角形的每条高线都是它所对应边的中线和高线。
5. 重心性质：等边三角形的重心即为重合的中线和高线的交点，也是其内部一点到三个顶点距离之和最小的点。
二、等边三角形的计算方法1. 周长计算：等边三角形的周长可以直接计算，因为三条边长度相等。
周长的计算公式为P = 3a，其中a为边长。
2. 面积计算：等边三角形的面积可以通过边长计算得出。
面积的计算公式为S = (a^2 * √3)/4，其中a为边长。
3. 内切圆计算：等边三角形的内切圆即为等边三角形的三条边的内切圆，其半径可以通过边长计算得出。
内切圆的半径公式为r = (a *√3)/6，其中a为边长。
4. 外切圆计算：等边三角形的外切圆即为等边三角形的三条边的外切圆，其半径可以通过边长计算得出。
外切圆的半径公式为R = a/√3，其中a为边长。
5. 中线长计算：等边三角形的每条中线长度都相等，并且等于边长的一半。
中线长的计算公式为m = a/2，其中a为边长。
总结：等边三角形具有边长相等、角度相等、对称性等重要性质。
我们可以通过计算等边三角形的周长、面积、内切圆半径、外切圆半径以及中线长等要素来求解等边三角形的相关问题。
等边三角形在几何学和实际应用中具有广泛的应用价值，并且在构造等边三角形时需要注意以上性质和计算方法。
通过本文所介绍的等边三角形的性质与计算方法，相信读者对等边三角形有了更深入的理解。
在实际问题中，我们可以根据这些性质和方法来进行等边三角形的计算和解题。
等边三角形的性质
等边三角形的性质等边三角形（又称正三角形），为三条边相等的三角形，其三个内角相等，每个内角均为60°，它是锐角三角形的一种。
等边三角形也是最稳定的结构。
等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
一、等边三角形定义及作法(一)定义等边三角形也被称为“正三角形”。
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形为等边三角形：1.三边长度相等。
2.三个内角度数均为60度。
3.一个内角为60度的等腰三角形。
4.等边三角形是属于特殊的等腰三角形。
（二）作法可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），等边三角形的尺规作图再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
二、等边三角形的性质⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）。
⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。
(4)等边三角形中心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。
（四心合一）⑸等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)⑹等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
（等边三角形是特殊的等腰三角形）（7）复数性质：A，B，C三点的复数构成正三角形等价于A+wB+w^2C=0 。
其中w=cos(2π/3)+isin(2π/3) ；1+w+w^2=0。
三、等边三角形判定方法⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。
⑵三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形正三角形。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
(4) 两个内角为60度的三角形是等边三角形。
等边三角形的性质与判定(共14张PPT)
∴ AB =BC =AC．
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
证明：∵ △ABC 是等边三角形， 2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
∴ ∠EAD =∠D =∠E．
∴ BC =AC，BC =AB． ∴ AB =BC =AC．
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
A
∵ ∠A=∠B =∠C ，
∴ ∠A =∠B，∠A =∠C ． 追问 本题还有其他证法吗？
∴ AB =BC =AC．
∴ BC =AC，BC =AB．
∴ ∠A =∠B =∠C ． ∵ DE∥BC，
证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∵ ∠A +∠B +∠C =180°，
∴ ∠A =60°．
B
C
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
等边三角形的性质与判定
课件说明
• 学习目标：
1．探索等边三角形的性质和判定． 2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证
明． • 学习重点：
探索等边三角形的性质与判定．
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且
图形 ∴ BC =AC，BC =AB．
边
是
∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
A
∵ DE∥BC，
∴ ∠B =∠ADE，∠C =∠AED．
∴ ∠A=∠ADE =∠AED． ∴ △ADE 是等边三角形． D
E
追问 本题还有其他证法吗？ B
C
动脑思考，变式训练
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
等边三角形的性质和判定
等边三角形的性质和判定等边三角形是指三条边相等的三角形。
它具有一些独特的性质和判定方法，本文将详细介绍等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等边三角形。
一、等边三角形的性质1. 边长相等：等边三角形的三条边长度相等，记为a=a=a。
2. 角度相等：等边三角形的三个内角相等，每个角为60度。
3. 高度、中线、角平分线：等边三角形的高度、中线以及角平分线均相等。
4. 对称性：等边三角形具有对称性，即以任意边为轴进行折叠，三角形的各部分完全重合。
二、等边三角形的判定1. 三边相等判定法：如果一个三角形的三边长度相等，那么它就是等边三角形。
2. 角度相等判定法：如果一个三角形的三个角度均为60度，那么它就是等边三角形。
3. 边长和角度判定法：如果一个三角形的两边边长相等且夹角为60度，那么它就是等边三角形。
三、等边三角形的应用等边三角形作为一种特殊的三角形，在几何学和实际生活中有着广泛的应用。
1. 建筑设计：等边三角形的稳定性和对称性使其成为建筑设计中常用的形状。
例如，蜂窝状的建筑结构常使用等边三角形。
2. 制作模型：等边三角形可以用于制作模型，特别是多面体模型。
例如，立方体的六个面均为等边三角形。
3. 计算几何：等边三角形的性质可用于计算几何中的推导和证明。
例如，通过等边三角形，我们可以推导出正六边形的面积和边长与半径的关系。
四、等边三角形的例题例题1：已知△ABC中，AB=BC=AC，且∠ABC=60度，求证△ABC为等边三角形。
证明：根据等边三角形的判定法，我们需要证明△ABC的三边相等。
已知AB=BC，再根据已知∠ABC=60度，可得到∠BAC=∠BCA=60度。
由此可知，△ABC的三个角度均为60度，即满足等边三角形的定义。
因此，可以得出结论，△ABC为等边三角形。
例题2：已知△PQR是等边三角形，且PR=6cm，求PQ的长度。
解析：由于△PQR是等边三角形，则QR=PR=6cm。
根据等边三角形的定义，三条边的长度均相等。
等边三角形的性质与判定解析
等边三角形的性质与判定解析等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
在本文中，我们将探讨等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等边三角形。
一、等边三角形的性质1. 三边相等：等边三角形的最显著特征是其三条边的长度相等。
三边均相等意味着等边三角形的内角也是相等的，每个角都是60度。
2. 内角相等：由于等边三角形的三边相等，根据三角形内角和的性质可知，等边三角形的每个内角都是60度。
3. 对称性：等边三角形具有一定的对称性质。
如果我们以其中一个顶点为中心，以该顶点与另外两个顶点连线的垂直平分线为轴进行旋转，等边三角形将重合于原位置。
二、判定等边三角形1. 通过边长判断：判定一个三角形是否为等边三角形最直观的方法是通过测量三条边的长度。
如果三边的长度均相等，则可以确定该三角形为等边三角形。
2. 通过角度判断：等边三角形的每个内角都是60度，因此我们可以通过测量三个内角来判断一个三角形是否为等边三角形。
如果三个内角的测量结果均为60度，则可以确定该三角形为等边三角形。
3. 通过对称性判断：根据等边三角形的对称性质，我们可以通过观察三角形的对称性来判断其是否为等边三角形。
如果三角形具有明显的对称性，并且边长相等，那么可以确定该三角形为等边三角形。
三、等边三角形的应用1. 建筑设计：等边三角形具有稳定性较好的特点，因此在建筑设计中经常使用等边三角形的原理来构建稳定的结构，如建筑物的支撑结构或者桥梁的支撑墩设计等。
2. 数学几何题：在解决一些数学几何问题时，等边三角形的性质常常被应用。
通过利用等边三角形的特点，可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
3. 图形设计：等边三角形具有简洁美观的特点，常出现在图案、LOGO设计等各类艺术设计中，赋予作品一种稳定和和谐的感觉。
四、总结等边三角形是一种特殊的三角形，其三边长度相等，每个内角均为60度。
判断一个三角形是否为等边三角形可以通过测量边长、测量角度以及观察对称性来确定。
等边三角形的性质和角度关系的归纳
等边三角形的性质和角度关系的归纳一、等边三角形的定义等边三角形是指三条边都相等的三角形。
二、等边三角形的性质1.三条边相等。
2.三个角都相等。
3.每条边上的高、中线和角平分线重合。
4.面积是边长的平方根乘以根号3除以4。
三、等边三角形的角度关系1.每个角都是60度。
2.任意两个角的和等于120度。
3.任意两个角的差等于60度。
四、等边三角形的判定1.如果一个三角形的三条边相等，那么这个三角形是等边三角形。
2.如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形。
五、等边三角形的相关公式1.面积公式：S = (a^2 * √3) / 4，其中a为边长。
2.周长公式：P = 3a，其中a为边长。
六、等边三角形的应用1.在建筑和设计中，等边三角形因其稳定性和美观性而被广泛应用。
2.在几何学中，等边三角形是研究三角形性质的重要模型。
3.等边三角形是六边形和多边形等形状的基础。
七、等边三角形与非等边三角形的比较1.等边三角形的所有边和角都相等，而非等边三角形的边和角不一定相等。
2.等边三角形的面积和周长公式简单，而非等边三角形的面积和周长公式复杂。
3.等边三角形具有特殊的对称性和稳定性，而非等边三角形则没有这些性质。
八、等边三角形的相关定理和性质1.斯图尔特定理：等边三角形的中心点到三角形三个顶点的距离相等。
2.等边三角形的对称轴是高、中线和角平分线的交点。
3.等边三角形的对边相等，对角相等。
通过以上归纳，希望对等边三角形的性质和角度关系有一个全面的认识。
在学习和研究过程中，要注重理论联系实际，提高自己的几何思维能力。
习题及方法：1.习题：如果一个三角形的边长分别为6cm、6cm、6cm，求这个三角形的面积。
答案：这个三角形是等边三角形，边长为6cm，所以每个角都是60度。
根据等边三角形的面积公式S = (a^2 * √3) / 4，代入a=6cm，得到 S =(6^2 * √3) / 4 = 18√3 cm^2。
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角形也叫正三角形。
B
C
提出问题：等边三角形有哪些性质呢？
根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：
①从边看
②从角看
③从对称性看
④从重要线段看
等边三角形的性质
1 .三条边相等。
2.等边三角形的内角都相等，且等于60 ° 3.等边三角形各边上中线，高和所对角的 平分线都三线合一。 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
∵ ∠B=600 ， AB=BC
∴△ABC是等边三角 形
例4. 如图，△ABC是等边三角形， DE ∥ BC，
交AB、AC于D , E。 求证：△ADE是等边三角形
A
D
E
B
C
若将DE ∥ BC改为AD=AE呢？
若 将DE ∥ BC改为∠ADE＝600呢？
1、△ABC是等边三角形，以下三种分法分别得到 的△ADE是等边三角形吗，为什么？
1、什么是等腰三角形？
A
2、等腰三角形有什么性质？
从边看：等腰三角形的两腰相等
AB=AC
B
从角看：等腰三角形的两底角相等
D
C
∠B=∠C
从重要线段看：等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中线和底边上的高线互相重合
从对称性看： 等腰三角形是轴对称图形
A
三边都相等的三角形叫等边三角形。
AB=BC=CA
等边三角形是特殊的等腰三
3.已知在等边△ABC中，如果P是△ABC所在 平面上的一点，且△PAB、△PBC、△PCA都 是等腰三角形，那么这样的点P的位置共有几
· 个？试一一画出。 P1
A
B
C
探究判定
有一个内角等于60°的等腰三角形是等 边三角形?
（1））当顶角为60°时，两个底角各为60°.
（2））当底角为60°时，顶角为60°.
怎样判断三角形ABC是等边三角形？
1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）
A ∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
一般三角形
等边三角形
2. 三个角都相等B的三角 形是等边三角形. A
C ∵ ∠A= ∠ B= ∠ C ∴△ABC是等边三角形
等边三角形
B
C
3 . 有一个角是60°的等腰
三角形是等边三角形.
1.你能把一个等边三角形分成三个、四 个、六个全等的三角形吗？若能，画 出所要求的图形来，不能，则用“×” 在括号内表示。
1
（
）
（
）
（）
正三角形给人以“稳如泰山”的美感， 它具有独特的对称性，请你用三种不同 的分割方法，将图中三个正三角形分割 成四个等腰三角形（在图中画出分割线， 并标出必要的角的度数）。
①在边AB、AC上分别截取AD＝AE.
②作∠ADE＝600，D、E分别在边AB、AC上.
③过边AB上一点D作DE∥BC，交边AC于E点.
A
A
A
D B
①
E
D 600 E
D
E
CB
CB
③
C
②
2.如图，等边三角形ＡＢＣ中，
ＡＤ是ＢＣ上的高，
∠ ＢＤＥ＝∠ＣＤＦ＝６０ °，Leabharlann 图中有哪些与BD相等的线段？
A
E
F
A
B
C
3.等边三角形每各边上的中线， 高和它所对角的平分线互相重合。
D
3 1
B
A
56
O
78
9 10
F
E
4 2
C
4、等边三角形是轴对称图形，有三条 对称轴。
对称轴是： 顶角平分线 或底边上的 中线或底边 上的高所在 的直线
A
B
C
B DC
你能述说等边三角形与等腰三角形在 定义，性质和判定的异同吗?
等腰 三角形
等边 三角形
定义
性质
判定
有两条边 相等
有三条边 相等
1、两边、两角相等 2、三线合一 3、一条对称轴
1、三边、三角相等 2、三线合一 3、三条对称轴
1、定义 2、等角对等边
1、定义 2、三个角都相等 3、等腰三角形有一 个角是600