专题十一：绝对值最值问题
绝对值最值问题的方法
绝对值最值问题的方法
解绝对值最值问题的一种方法是通过例举法和数学推理。
首先，我们可以列举出给定函数或方程式的所有可能情况，找出绝对值最大或最小值所对应的取值。
例如，对于一个函数f(x) = |x - a| + b，我们可以尝试不同的取值并计算函数值来确定绝对值最值所对应的取值。
另一种方法是利用数学推理来求解绝对值最值问题。
对于绝对值函数，当内部表达式为正时，绝对值等于此表达式本身；当内部表达式为负时，绝对值等于此表达式的相反数。
因此，我们可以通过对内部表达式的符号进行分析，找出使得绝对值最大或最小的取值情况。
例如，对于绝对值函数f(x) = |3x - 7|，我们可以将内部表达式3x - 7分为两种情况，即3x - 7 > 0和3x - 7 < 0。
当3x - 7 > 0时，绝对值等于内部表达式3x - 7本身；当3x - 7 < 0时，绝对值等于内部表达式3x - 7的相反数。
通过对这两种情况进行进一步分析，我们可以确定绝对值最值所对应的取值。
绝对值最值问题方法的选择取决于具体情况和方程式的复杂性。
有时通过列举法和尝试不同的取值可以直接得出答案；有时需要通过数学推理和符号分析来确定取值。
对于更复杂的问题，可能需要借助计算机和数值方法来求解。
探索绝对值的最值问题资料
所以，当x=3时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣+ ∣x－ 4∣ + ∣x－5∣有最小值，最小值是6
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探索六
问题：当x=
时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣+ ∣x－
4∣+ ∣x－5∣ + ∣x－6∣有最小值，最小值是多少？
一样，我们能够分为∣x－1∣+ ∣x－6∣、 ∣x－ 2∣+ ∣x－5∣和∣x－3∣ + ∣x－4∣三组
当1≤x≤6时， ∣x－1∣ + ∣x－6∣有最小值为5. 当2≤x≤5时， ∣x－2∣ + ∣x－5∣有最小值为3. 当3≤x≤4时， ∣x－3∣ + ∣x－4∣有最小值为1.
三者同步取最小值旳条件是3≤x≤4
所以，当3≤x≤4时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣+ ∣x －4∣ + ∣x－5∣ + ∣x－6∣有最小值，最小值是8
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探究一
问题：当x=
时，∣x－2∣－3有
最小值，最小值是多少？
解：∵ ∣x－2∣≥0 ∴ ∣x－2∣－3≥ －3
∵当x=2时， ∣x－2∣=0
∴当x=2时， ∣x－2∣－3=－3
所以，当x=2时， ∣x－2∣－3有最小值， 最小值是－3
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（1007-1007）+（1008-1006）+1009-1005）+...+ （2023-1） =0+2+4+6+8+...+2023
绝对值的十一种常见题型
绝对值的十一种常见题型一、绝对值的意义绝对值的定义:在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
题型一:已知一个数，求该数的绝对值例1、（1） -3.5的绝对值是 ;-75的绝对值是 。
（2）|-3|= -|437-|= （3）若a<4，则|a-4|= （4）|3.14-π|=例2、计算|4131-|+|5141-|+…+|201191-|题型二:已知一个数的绝对值，求这个数例2、（1）在数轴上距原点4个单位长度的点表示的数是 ；（2）若|a |=2，则a= ；（3）若|a |=b ，且a=-0.5，则b= ；（4）绝对值不大于5的的所有整数为 ；（5）若|-m |=-（-10），则m=（6）若|x-6|=0，则x= ；（7）若|y-1|=2，则y= 。
题型三:已知绝对值的式子，求字母的取值范围例4、（1）若|a |=a ，则a 是 ；（2）若|a |=-a ，则a 是 ；（3）若|a |≥0，则a 是 ；（4）若|a |≤0，则a 是 ；（5）若|x-4|=4-x ，则x 的取值范围是 ；（6）若|y-4|=y-4，则y 的取值范围是 。
题型四:利用绝对值比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小.例5、比较下面各对数的大小(1）-15 -7;(2)-π -3.14.题型五:求字母的值例6、(1）已知|a |=2，|b |=3，且a<b ，求a,b 的值。
(2）已知|m |=4，|n |=9，且m+n>0，求m-n 的值。
题型六:求数轴上表示两个数的点之间的距离用两个数的差的绝对值表示数轴上表示两个数的点之间的距离。
例7、（1）在数轴上表示-3.5和2的点之间的距离是 ；(2）在数轴上到表示-1的点的距离是3的数是 ；二、绝对值的非负性任何一个数的绝对值都是正数或0，绝对值最小的数是0.题型七:求最值例8、(1）当a=__时，|a-3|+2的最小值是 ；(2) 当x= 时，5-|x |的最大值是 ;(3) 当m=__时，|m+1|-10有 (最小值或最大值)，是 。
绝对值函数最值问题(含答案修改版)
绝对值函数最值问题一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的距离之和最小，问医院应该建在何处？先来证明一个引理：引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22222也即是，上式显然成立，故原命题得证。
将上式的y y -换成可得||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等于123,,a a a ……n a 的中位数时取到，即12n x a +=时有最小值，即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……112||||n n n x a x a f a -+⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭当n 为偶数时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到，即122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时有最小值。
此时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1122||||n n n n x a x a f a or f a -+⎛⎫⎛⎫+-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。
二、求下列函数的最小值：1、()|2||1|-+-=x x x f()()1|21||2||1|=---≥-+-x x x x ，当且仅当()(),021等号成立≤--x x也即是[]2,1∈x 时等号成立。
绝对值的最值问题2页
绝对值的最值问题2页绝对值函数是一种常见的数学函数，它表示一个数与0的距离。
绝对值函数是一个有趣的函数，它在数学和物理中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将讨论绝对值函数的最值问题，并给出一些解决这类问题的方法。
首先，让我们来回顾一下绝对值函数的定义：对于任意实数x，绝对值函数表示为| x |，它的值等于x的绝对值，即当x大于等于0时，| x | = x，当x小于0时，| x | = -x。
绝对值函数的最值问题可以分为两种情况：一种是求绝对值函数的最大值，另一种是求绝对值函数的最小值。
我们将分别讨论这两种情况。
首先，我们来考虑求绝对值函数的最大值。
为了求绝对值函数的最大值，我们需要找到使得绝对值函数取得最大值的实数。
由于绝对值函数的图像是一个抛物线，开口向上，所以我们可以通过求解二次方程来找到最大值。
假设绝对值函数的表达式为| x | = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数常数。
我们可以将绝对值函数的表达式分为两个部分来分别讨论x大于等于0和x小于0的情况。
当x大于等于0时，| x | = x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为x = ax^2 + bx + c。
通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。
假设x1和x2是方程的两个解，那么在x1和x2之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。
当x小于0时，| x | = -x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为-x = ax^2 + bx + c。
同样地，通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。
假设x3和x4是方程的两个解，那么在x3和x4之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。
综上所述，绝对值函数的最大值可以通过求解二次方程来找到。
我们可以找到x的取值范围，并检查在这个范围内的值，然后找到使得绝对值函数取得最大值的实数。
接下来，我们来考虑求绝对值函数的最小值。
为了求绝对值函数的最小值，我们需要找到使得绝对值函数取得最小值的实数。
一次函数绝对值和最值问题
含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x =（2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k-为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：“()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k=- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =-0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =-2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2m n x +=。
（2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在(,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。
求绝对值最值的方法
求绝对值最值的方法要求绝对值最值的方法，首先需要明确绝对值的定义。
绝对值是一个非负数，表示一个数离0的距离。
绝对值最值就是找到一组数中离0的距离最远（即绝对值最大）和最近（即绝对值最小）的数。
对于一个单个数来说，要求其绝对值最大，即要找到一个数使其与0的距离最远。
常见的思路是通过判断这个数的符号，并抛弃符号，即将这个数转变成正数，从而得到其绝对值。
例如，对于一个正数来说，它的绝对值就是它本身；对于一个负数来说，它的绝对值就是它的相反数。
求多个数中绝对值最大值的方法就更加复杂一些。
我们可以使用遍历的方法，将每个数的绝对值依次求出并比较，最后找到绝对值最大的数。
具体步骤如下：1. 声明一个变量max_abs，初始化为一个很小的数，用来保存当前最大绝对值；2. 依次遍历给定的多个数；3. 对每个数，先求出其绝对值；4. 如果当前绝对值大于max_abs，则更新max_abs的值为当前绝对值；5. 继续遍历下一个数，重复步骤3和4，直到遍历完所有的数；6. 最后，max_abs就是所求的多个数中绝对值最大的数。
下面我们通过一个例子来说明这个方法。
考虑一组数{-2, 5, -7, 9, -3}，求其绝对值最大的数。
首先，初始化max_abs为0。
遍历第一个数-2，其绝对值为2，比max_abs大，更新max_abs为2。
遍历第二个数5，其绝对值为5，比max_abs大，更新max_abs为5。
遍历第三个数-7，其绝对值为7，比max_abs大，更新max_abs为7。
遍历第四个数9，其绝对值为9，比max_abs大，更新max_abs为9。
遍历第五个数-3，其绝对值为3，比max_abs小，不更新max_abs。
所有的数已经遍历完，最终max_abs为9，即为所求的多个数中绝对值最大的数。
同样地，我们可以通过类似的步骤来求多个数中绝对值最小的数。
另外一种方法是通过数学知识进行优化。
考虑到绝对值表示的是距离，可以利用数轴上点的位置来找到绝对值最值。
七年级数学上册压轴题第3讲 绝对值最值问题(教师版)
第3讲绝对值最值问题【知识梳理】1、绝对值的性质2、绝对值最值问题探究【典型例题】【例1】阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B 两点间的距离表示为AB．则AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是（2）数轴上表示x和2两点之间的距离表示为（3）若，则|x﹣3|＝5，则x＝；（4）式子|x﹣3|+|x+1|＝8，则x的值为；（5）若x表示一个有理数，式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为．【考点】数轴；绝对值．【分析】（1）根据两点间的距离公式可得；（2）根据两点间的距离公式即可得；（3）由题意知x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，据此求解可得；（4）分x＜﹣1、x＞3和﹣1≤x≤3三种情况，根据绝对值的性质分别求解可得；（5）求|x﹣3|+|x+1|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值．【解答】解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2＝3；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）＝4，故答案为：3、4；（2）数轴上表示x和2两点之间的距离表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；（3）若|x﹣3|＝5，则x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，解得：x＝8或x＝﹣2，故答案为：﹣2或8；（4）式子|x﹣3|+|x+1|＝8表示：数轴上表示x的点到3和﹣1的距离和为8，若x＜﹣1，则3﹣x﹣x﹣1＝8，解得：x＝﹣3；若x＞3，则x﹣3+x+1＝8，解得：x＝5；若﹣1≤x≤3，则3﹣x+x+1＝4≠8；故答案为：﹣3或5；（5）根据题意，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值．∴|x﹣3|＝3﹣x，|x+1|＝x+1，∴|x﹣3|+|x+1|＝3﹣x+x+1＝4，故答案为：4．【例2】认真阅读下面的材料，完成问题．材料1：绝对值的几何含义：例如|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两个点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么点A、B之间的距离可表示为|a ﹣b|．材料2：求|x﹣3|+|x﹣2|+|x﹣1|的最小值．分析：|x﹣3|+|x﹣2|+|x﹣1|＝（|x﹣3|+|x﹣1|）+|x﹣2|，要使|x﹣3|+|x﹣1|的值最小，借助数轴可知x的值只要取1到3之间（包括1，3）的任意一个数；要使|x﹣2|的值最小，x应取2，显然当x＝2时能同时满足要求，把x＝2代入原式计算即可．利用上述材料方法求|x﹣7|+|x﹣3|+|x﹣1|+|x+1|的最小值为．【考点】数轴；绝对值；有理数的加法．【分析】首先读懂题目中求解最小值的方法，|x﹣7|+|x﹣3|+|x﹣1|+|x+1|的最小值可以看成|x﹣7|+|x+1|最小，和|x﹣3|+|x﹣1|最小，两个最小值的求和．【解答】解：要使|x﹣7|+|x﹣3|+|x﹣1|+|x+1|最小，可以使得|x﹣7|+|x+1|最小，|x ﹣3|+|x﹣1|最小．对于|x﹣7|+|x+1|最小，借助数轴可知x的值只要取﹣1到7之间（包括﹣1，7）的任意一个数；对于|x﹣3|+|x﹣1|最小，借助数轴可知x的值只要取1到3之间（包括1，3）的任意一个数；综上，我们只需要在1到3之间（包括1，3）取一个数代入即可，比如我们取2，|x﹣7|+|x﹣3|+|x﹣1|+|x+1|＝|2﹣7|+|2﹣3|+|2﹣1|+|2+1|＝10．故答案为：10．【例3】认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、点B在数轴上分别表示有理数a、b，那么点A、点B之间的距离可表示为|a﹣b|．（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|（用含绝对值的式子表示）；（2）利用数轴探究：①满足|x+2|+|x﹣1|＝3的x的取值范围是﹣2≤x≤1；②满足|x+2|+|x﹣1|＝5的x的所有值是2或﹣3；③设|x+3|+|x﹣5|＝p，当x的值取在不小于﹣3且不大于5的范围时，P的值是不变的，而且是P的最小值，这个最小值是8；（3）拓展①|x﹣1|+|x﹣2|的最小值为1；②|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为2；③|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣2020|的最小值为2020，此时x的取值范围为2≤x≤3．【考点】数轴；绝对值；列代数式．【分析】（1）由题意可得AB+AC＝|x+2|+|x﹣1|；（2）由绝对值的意义，分情况去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为一元一次方程即可；（3）根据x的取值范围，分情况去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为一元一次方程，再由一元一次方程的取值范围确定所求最小值．【解答】解：（1）由已知可得AB＝|x+2|，AC＝|x﹣1|，∴AB+AC＝|x+2|+|x﹣1|，故答案为|x+2|+|x﹣1|；（2）①当﹣2≤x≤1时，|x+2|+|x﹣1|＝x+2+1﹣x＝3；故答案为﹣2≤x≤1；②∵|x+2|+|x﹣1|＝5当x＞1时，|x+2|+|x﹣1|＝x+2+x﹣1＝2x+1＝5，∴x＝2，当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣1|＝﹣x﹣2+1﹣x＝﹣2x﹣1＝5，∴x＝﹣3，故答案为2或﹣3；③由已知可得|x+3|+|x﹣5|表示数轴上点到﹣3、5的距离和，∴最小距离为P＝8，故答案为8；（3）①|x﹣1|+|x﹣2|的最小距离为1与2之间的距离，故答案为1；②由上述讨论可知，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，x应该在1、3之间，当1≤x≤2时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x﹣1+2﹣x+3﹣x＝4﹣x，∴2≤|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|≤3，当2＜x≤3时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x﹣1+x﹣2+3﹣x＝x，2＜|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|≤3，∴|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|最小值为2，故答案为2；③|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣2020|取最小值时，x应该在1、2020之间，当1≤x≤2时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣2020|＝﹣2x+2024，当2＜x≤3时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣2020|＝2020，当3＜x≤2020时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣2020|＝2x+2020，∴|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣2020|最小值为2020；故答案为2020，2≤x≤3；【点评】本题考查实数、绝对值的几何意义；能够根据绝对值的性质，由x的取值范围去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为一元一次方程是解题的关键．【例4】在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数x的点之间的距离一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是1；数轴上表示数a的点与表示﹣2的点之间的距离表示为|a+2|；（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是5或﹣1；（3）a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，若|a﹣d|＝12，|b﹣d|＝7，|a﹣c|＝9，则|b﹣c|等于4．【考点】数轴；绝对值．【分析】（1）根据两点之间的距离公式直接计算即可；（2）设点Q 表示的点为x ，根据两点间的距离公式得到关于x 的方程，解方程即可；（3）根据题意，得到一个四元一次方程组，解方程组即可解答．【解答】解：（1）根据题意，得：|3﹣2|＝1，|a ﹣（﹣2）|＝|a +2|， 故答案为：1，|a +2|；（2）设点Q 表示的点为x ，根据题意，得：|x ﹣2|＝3，∴x ﹣2＝3，或x ﹣2＝﹣3，解得：x ＝5或x ＝﹣1，故答案为：5或﹣1；（3）根据题意，可知：{d −a =12①d −b =7②c −a =9③，①﹣③，得：d ﹣c ＝3④，④﹣③，得：b ﹣c ＝﹣4，∴|b ﹣c |＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数是解决此题的关键．【出门测试】1、综合应用题：|m ﹣n |的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．（1）|x |的几何意义是数轴上表示 x 的点与 原点 之间的距离；|x | ＝ |x﹣0|（＞，＝，＜）；（2）|2﹣1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则|2﹣1|＝1；（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝4或2．（4）|x+2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示﹣2的点之间的距离，若|x+2|＝2，则x＝0或﹣4．（5）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7这样的整数是﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．【考点】数轴；绝对值．【分析】（1）根据两点之间的距离，即可解答．（2）根据两点之间的距离，即可解答．（3）根据两点之间的距离，即可解答．（4）根据两点之间的距离，即可解答．（5）根据两点之间的距离，即可解答．【解答】解：（1）|x|的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离；|x|＝x﹣0|，故答案为：x，原点，＝；（2）|2﹣1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则|2﹣1|＝1，故答案为：1；（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝4或2，故答案为：x，3，4或2．（4）|x+2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示﹣2的点之间的距离，若|x+2|＝2，则x＝0或﹣4．（5）使得|x+5|+|x﹣2|＝7这样的整数是﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．2、数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值．①数轴上表示﹣3和﹣9的两点之间的距离是6；数轴上表示2和﹣8的两点之间的距离是10；②数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离是|x+2|；如果|AB|＝4，那么x为2或﹣6；③当代数式|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，相应的x的值是2．【考点】数轴；绝对值．【分析】（1）分别根据结论列式计算即可得解；（2）根据结论列式距离表达式，再根据绝对值的性质计算即可得解；（3）根据条件判断出表示x到﹣1、2、3这三个点的距离之和，从而判断出x 在点2的位置，从而得解．【解答】解：（1）|（﹣3）﹣（﹣9）|＝|﹣3+9|＝6，|2﹣（﹣8）|＝|2+8|＝10；（2）由已知得，|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，∵|AB|＝4，∴|x+2|＝4，∴x+2＝4或x+2＝﹣4，解得x＝2或x＝﹣6；（3）由条件可知，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示x到﹣1、2、3这三个点的距离之和，所以，当x在点2的位置时，其距离之和最小．故答案为：（1）6，10；（2）|x+2|，2或﹣6；（3）2．【点评】本题考查了绝对值与数轴的知识，读懂题目信息，理解结论的并掌握数轴上两点间的距离的求法是解题的关键，也是本题的难点．3、点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和10两点之间的距离是8，数轴上表示2与﹣10的两点之间的距离是12．（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|．（3）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+2|＝5，则x＝2或﹣3．（4）若x表示一个有理数，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2014|+|x﹣2015|的最小值．（只需写当x取何值时，代入求出此代数式的最小值．）【考点】数轴；绝对值．【分析】（1）根据题意和题目中的数据可以求得数轴上表示2和10两点之间的距离和数轴上表示2与﹣10的两点之间的距离；（2）根据题意可以求得数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离；（3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得|x﹣1|+|x+2|＝5时的x的值；（4）根据题意可以得到当x＝1008时，题目中的式子取得最小值，并求出这个最小值．【解答】解：（1）∵|10﹣2|＝8，|2﹣（﹣10）|＝12，故答案为：8，12；（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为：|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，故答案为：|x+2|；（3）当x＞1时，|x﹣1|+|x+2|＝x﹣1+x+2＝5，得x＝2，当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|＝1﹣x+x+2＝3≠5，当x＜﹣2时，|x﹣1|+|x+2|＝1﹣x﹣x﹣2＝5，得x＝﹣3，故答案为：2或﹣3；（4）当x＝1008时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2014|+|x﹣2015|取得最小值，∴|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2014|+|x﹣2015|＝2×（1007+1006+…+1）+0＝2×1+1007×1007+02＝1015056，即|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2014|+|x﹣2015|的最小值是1015056．【点评】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数轴和绝对值的知识解答．4、如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s．若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，则|q﹣r|的值是7．【考点】数轴；绝对值．【分析】根据数轴可知p＜q＜r＜s，根据绝对值的性质得：p﹣r＝﹣10，p﹣s ＝﹣12，q﹣s＝﹣9，所以q﹣r＝﹣7，根据绝对值的性质，得出|q﹣r|的值．【解答】解：根据数轴可得，p＜q＜r＜s，∵|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，∴p﹣r＝﹣10，p﹣s＝﹣12，q﹣s＝﹣9，∴p＝r﹣10，p＝s﹣12，∴r﹣10＝s﹣12，∴s＝r+2，∴q﹣s＝q﹣r﹣2＝﹣9，∴q﹣r＝﹣7，∴|q﹣r|＝7．故答案为7．5、如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20，（1）写出数轴上点B表示的数﹣12；（2）|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：①：若|x﹣8|＝2，则x＝6或10．②：|x+12|+|x﹣8|的最小值为20．（3）动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2；（4）动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒5个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4．【考点】数轴；绝对值；一元一次方程的应用；两点间的距离．【分析】（1）根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数；（2）①根据绝对值的性质即可求解；②根据两点间的距离公式即可求解；（3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2，根据距离的等量关系即可求解；（4）设经过t秒时，P，Q之间的距离为4，根据距离的等量关系即可求解．【解答】解：（1）点B表示的数8﹣20＝﹣12．故答案为：﹣12；（2）①|x﹣8|＝2，x﹣8＝±2，则x＝6或10．故答案为：6或10；②|x+12|+|x﹣8|的最小值为8﹣（﹣12）＝20．故答案为：20；（3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2．此时P点表示的数是5t，则|8﹣5t|＝2，．解得t＝2或t=65故当t为2或6秒时，A，P两点之间的距离为2；5（4）设经过t秒时，P，Q之间的距离为4．此时P点表示的数是5t，Q点表示的数﹣12+10t，则|﹣12+10t ﹣5t |＝4解得t =165或t =85． 故当t 为165或85秒时，P ，Q 之间的距离为4．6、我们知道，若点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A ，B 两点间的距离表示为AB ，则AB ＝|a ﹣b |．所以式子|x ﹣3|的几何意义是数轴上表示数3的点与表示数x 的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题：（1）若|x ﹣5|＝|x +1|，则x ＝ 2 ；式子|x +3|+|x ﹣1|的最小值为 4 ；（2）请说出|x +3|+|x ﹣1|＝7所表示的几何意义 在数轴上与3和﹣1的距离和为7的点对应的x 的值 ，并求出x 的值为 ﹣2.5或4.5 ．（3）在数轴上点P 到表示﹣3和1的点的距离差是2，满足条件的所有点P 对应的数 0 ．【考点】数轴；绝对值．【分析】（1）根据绝对值的意义，去绝对值符号，由此可得到关于x 的方程，求出x 的值即可；求|x ﹣3|+|x +1|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当﹣1≤x ≤3时，|x ﹣3|+|x +1|有最小值；（2）由于x ﹣3及x +1的符号不能确定，故应分x ＞3，﹣1≤x ≤3，x ＜﹣1三种情况解答；（3）根据绝对值方程，分类讨论解方程即可．【解答】解：（1）∵|x ﹣5|＝|x +1|，又∵x ﹣5≠x +1，∴x ﹣5＝﹣x ﹣1，解得，x ＝2；|x+3|+|x﹣1|表示数轴上x到﹣3和1的距离之和，由数轴可知，当﹣3≤x≤1时，|x+3|+|x﹣1|取得最小值为1﹣（﹣3）＝4；故答案为：2，4；（2）几何意义：在数轴上与3和﹣1的距离和为7的点对应的x的值．在数轴上3和﹣1的距离为4，则满足方程的x的对应点在﹣1的左边或3的右边．若x的对应点在﹣1的左边，则x＝﹣2.5；若x的对应点在3的右边，则x＝4.5．所以原方程的解是x＝﹣2.5或x＝4.5．故答案为：在数轴上与3和﹣1的距离和为7的点对应的x的值；﹣2.5或4.5；（3）∵点P到表示﹣3和1的点的距离差是2，∴设P点对应的数为x，则|x+3|﹣|x﹣1|＝2，当x＞1时，|x+3|﹣|x﹣1|＝4，不合题意；当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣1|＝﹣4，不合题意；∴﹣3≤x＜1，∴x+3﹣（1﹣x）＝2，解得，x＝0，∴点P对应的数为0．故答案为：0．7、认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数﹣5、﹣1、3，那么A到B 的距离是4，A到C的距离是8．（直接填最后结果）．问题（2）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x﹣（﹣2）|+|x﹣1|或|x+2|+|x﹣1|（用含绝对值的式子表示）．问题（3）：利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是﹣2或4；②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是2．问题（4）：求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值．【考点】数轴；绝对值．【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，可得答案；（3）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．【解答】解：（1）A到B的距离是﹣1﹣（﹣5）＝4，A到C的距离是3﹣（﹣5）＝8；（2）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x﹣（﹣2）|+|x﹣1|或|x+2|+|x ﹣1|；（3）①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是﹣2或4；②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是2；（4）因为当不小于﹣1且不大于3时|x﹣3|+|x+1|的最小值是4所以当|x﹣2|最小时|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|有最小值所以当x＝2时，即|x﹣2|＝0时|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|有最小值4；故答案为：（1）4，8；（2）|x﹣（﹣2）|+|x﹣1|或|x+2|+|x﹣1|；（3）①﹣2或4；②4；不小于0且不大于2；2．。
绝对值的最值问题总结
绝对值的最值问题总结绝对值是一种重要的数学概念，它在代数、几何等领域都有广泛的应用。
在绝对值的研究中，绝对值的最值问题是一个备受关注的话题。
本文将全面总结绝对值的最值问题，包括绝对值的最小值、最大值、范围，以及它们在生活中的应用，同时还将探讨绝对值的性质、定理和几何意义，最后介绍绝对值的化简求值方法。
一、绝对值的最小值绝对值的最小值是指对任意实数x，|x|的最小值是多少。
实际上，根据绝对值的定义，我们知道|x|≥0，即|x|的最小值为0。
这个性质在解决一些实际问题时非常有用。
例如，在计算多个数的和时，可以将这些数分别取绝对值后再相加，得到的结果比直接相加更大，这是因为|x|≥0，取绝对值相当于“放大”了数值。
二、绝对值的最大值绝对值的最大值是指对任意实数x，|x|的最大值是多少。
根据绝对值的定义，|x|≤|x|max，其中|x|max表示x的绝对值的最大值。
对于有理数和无理数，它们的绝对值都是有限的，因此它们的最大值是有限的。
但是对于无穷大或负无穷大的数，它们的绝对值也是无穷大或负无穷大，因此它们的最大值是无穷大或负无穷大。
在实际问题中，我们可以利用绝对值的最大值来求解一些有界函数的最大值或最小值。
三、绝对值的范围绝对值的范围是指对任意实数x，|x|的取值范围是多少。
根据绝对值的定义，我们知道|x|≥0，即|x|的取值范围为非负数。
在实际问题中，我们可以通过取绝对值将一些有界函数的取值范围求解出来。
例如，对于一个有界函数f(x)，我们可以分别求出f(x)和-f(x)的取值范围，然后将它们相加即可得到f(x)的取值范围。
四、绝对值的最值在生活中的应用绝对值的最值在生活中的应用非常广泛。
例如，在统计学中，我们可以用绝对值来衡量一组数据的离散程度；在物理学中，我们可以用绝对值来衡量一个力的方向和大小；在经济学中，我们可以用绝对值来衡量一个企业的利润和成本。
此外，在计算机科学中，绝对值也被广泛应用于数据压缩、图像处理等领域。
绝对值求最大值和最小值的例题
绝对值求最大值和最小值的例题绝对值求最大值和最小值的例题一、概念解释在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
它表示一个数距离零点的距离，无论这个数是正数或者负数。
绝对值通常用来表示距离的绝对量，它的定义如下：如果 x 是一个实数，那么 x 的绝对值表示为 |x|，它的计算公式如下：当x ≥ 0 时，|x| = x；当 x < 0 时，|x| = -x。
举例来说，-5 的绝对值是 |-5| = 5；而 5 的绝对值还是 5。
在实际问题中，经常会遇到需要对绝对值求最大值和最小值的情况，特别是在优化问题中，这个方法非常有用。
二、求最大值和最小值的例题接下来，我们通过例题来演示如何利用绝对值求最大值和最小值。
例题1：已知函数 f(x) = |2x - 3|，求 f(x) 的最大值和最小值。
解析：我们知道 |2x - 3| 表示一个关于 x 的带绝对值的函数。
要求最大值和最小值，可以考虑当 |2x - 3| 取得极值时的 x 值。
由于 |2x - 3| 的图像是关于 x 轴对称的，因此我们只需要考虑 |2x - 3| 在x ≥ 0 区间的情况。
当 2x - 3 ≥ 0 时，有 |2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，有 |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x。
我们可以得到两个函数：f1(x) = 2x - 3，x ≥ 0；f2(x) = 3 - 2x，x ≥ 0。
接下来，我们分别对 f1(x) 和 f2(x) 求导，找到导数为 0 的点，并判断极值的情况。
f1'(x) = 2；f2'(x) = -2。
由此我们可以知道，f1(x) 在x ≥ 0 时是单调递增的，而 f2(x) 在x ≥ 0 时是单调递减的。
f(x) = |2x - 3| 在x ≥ 0 区间上的最小值出现在 x = 0 处，最大值是 x 趋向无穷时的极限值。
经过计算和分析，我们可以得出最小值为 3，最大值为正无穷。
绝对值函数最值问题及解题技巧
绝对值函数最值问题及解题技巧绝对值函数是数学中常见的一种函数形式。
在求解绝对值函数的最值问题时，存在几种常用的解题技巧。
技巧一：图像法绘制绝对值函数的图像是解决最值问题的一个有效方法。
通过观察图像可以获得函数的最值。
例如，对于绝对值函数 $f(x) = |x|$，我们可以绘制其图像，并观察到 $x = 0$ 时，函数取得最小值为 0。
技巧二：函数定义法另一种解决绝对值函数的最值问题的方法是使用函数定义。
对于一般形式的绝对值函数 $f(x) = |g(x)|$，我们可以将其转化为无绝对值的函数定义。
具体步骤如下：1. 当 $g(x) \geq 0$ 时，$f(x) = g(x)$；2. 当 $g(x) < 0$ 时，$f(x) = -g(x)$。
通过转化后的函数定义，我们可以求解函数的最值。
技巧三：矩阵法矩阵法也是解决绝对值函数最值问题的常用技巧。
首先将绝对值函数表示为矩阵形式：$f(x) = \begin{cases} g(x) & \text{if } x \geq 0 \\ -g(x) & \text{if } x < 0 \end{cases}$。
然后，通过求解矩阵中的最值，可以得到绝对值函数的最值。
技巧四：导数法对绝对值函数求导有助于解决最值问题。
对于一般形式的绝对值函数 $f(x) = |g(x)|$，我们可以对其进行求导。
然后，通过求导结果的特点和函数的定义域，可以得到函数的最值。
需要注意的是，当绝对值函数在某点不可导时，可以通过左极限和右极限来确定最值。
以上是解决绝对值函数最值问题的几种常用技巧。
在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的方法来求解最值，可以更高效地解决问题。
初一年级数学上册绝对值最值问题知识点及例题讲解
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用绝对值的几何意义解题 第一步 找点
第二步 取x值
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用绝对值的几何意义解题
解：
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零点分段讨论法 第一步：取零点： 第二步：分区间讨论： －5 3
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【解题分析】
。
第一步 找点：
☻ 1
第二步 取x值：
☻☻ ☻☻ 2 3 998 999
☻☻ 1996
“单数取中间点，双数取中间区域”
999≥ ≥998
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解：
999≥ ≥998 x=999
999≥ ≥998
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【分析和思考】 思考三：根据绝对值的几何意义解题 第一步 找点： 解法三： 第∵二步 分析取x值
∴
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绝对值的几何意义解题
第二步：取x值
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1 2 3 998 999 1996
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初一数学绝对值的最值问题
绝对值的最值问题x -a +x -b 的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和，其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点，数x 的对应点为一个动点，可以在数轴上移动．绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果．如计算x -1+x -2的最小值．（1）将使两个绝对值分别为0时的x 值标在数轴上（如图），数轴被分为3个区域；（2）假设代表动点x 的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即S 1+S 2．（3）在3个区域中分别画出线段并比较，可以发现当1≤x ≤2时，两线段和最小，为定值1．若将题目改为计算x -1+x -2+x -3的最小值．我们使用相同的方法进行分析，发现只有当x =2时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了．经过总结归纳我们发现了这样的规律：①对于代数式：x -a 1+x -a 2+x -a 3+ +x -a n （a 1≤a 2≤a 3≤ ≤a n ）：当n 为奇数时，在12n x a +=处取最小值，即在n 个点的中心点处；当n 为偶数时，在区域122n n a x a +≤≤取最小值，即数轴被n 个点分成1n +段的中心区域．②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++- 的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形式：123n x a x a x a x a -+-+-++- （123n a a a a ≤≤≤≤L ），然后通过上述方法求解．如：111212222222x x x x x x x -++=-++=-+-++．常见题型：绝对值的最值问题易错点：混淆两种情况中考回顾：拓展知识点例1计算下列式子的最小值：（1）212x x -+-（2）241x x -++例2已知759x -≤≤，求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值．参考答案1.【答案】（1）当1x =时，212x x -+-取得最小值1（2）当2x =时，241x x -++取得最小值3【考点】绝对值最值问题【解析】结合数轴，利用绝对值的几何意义求解；也可以利用零点分段法．（1）当1x =时，212x x -+-取得最小值1；（2）当2x =时，241x x -++取得最小值3．2.【答案】当53x -≤≤-时，最大值为4；当79x =时，最小值为329-【考点】绝对值最值问题【解析】①数形结合，利用几何意义：13x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴我们会发现当79x =时两者的距离差最小为329-，即()min 32139x x --+=-；当53x -≤≤-时，两者的距离差最大为4，即()max 134x x --+=．②零点分段法：先找零点，根据零点分段，当53x -≤<-时，134x x --+=；当739x -≤≤时，1322x x x --+=--，当79x =有最小值329-；当3x =-有最大值4．综上所得，当53x -≤≤-时，最大值为4；当79x =时，最小值为329-．。
绝对值的最值问题(终审稿)
绝对值的最值问题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-【例题1】：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程可令x+11=0，x-12=0，x+13=0?得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403）当-13<x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144）当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255）当-11<x<12时，x+11>0，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366）当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487）当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：当x<-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27当x=-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=40当-13<x<-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,25<-x+14 <27当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=25当-11<x<12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36,25<x+36<48当x=12时?|x+11|+|x-12|+|x+13|= 48当x>12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0?得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值分析:回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0则零点值为x=1, x=2 ,x=3 ,x=4(1)当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8(3)当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4（4)当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2（5)当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值解：根据绝对值的化简过程可以得出当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 ＞6当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8?4＜2x+8≤6当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-24＜2x-2＜6当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3。
绝对值最值、化简问题以及动点问题
1．（2022·江苏·七年级专题练习）当式子|x +3|+|x ﹣7|取最小值时，相应的x 的取值范围是_____________，最小值是_______．2．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）1234x x x x -+-+-+-的最小值为________，此时x 的取值范围是_____________.3．（2022·河南南阳·七年级期末）|x ＋8|＋|x ＋1|＋|x ﹣3|＋|x ﹣5|+|x ﹣2|的最小值为__________，此时x 的值为________.4．（2022·江苏江苏·七年级期末）若x 是有理数，则|x ﹣1|＋|x ﹣2|＋|x ﹣3|＋|x ﹣4|＋…＋|x ﹣1000|的最小值是______.5.|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|+…+|x ﹣2019|的最小值为_________.6．（2022·江苏省江阴市第一中学七年级阶段练习）阅读下列内容：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|．数轴上表示数a 的点与表示数b 的点的距离记作|a ﹣b|，如|3﹣5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|＝|3﹣（﹣5）|表示数轴上表示数3的点与表示数﹣5的点的距离，|a ﹣3|表示数轴上表示数a 的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：（1）若|x ﹣1|=|x+1|，则x=，若|x ﹣2|＝|x+1|，则x=；（2）若|x ﹣2|+|x+1|=3，则x 的取值范围是；（3）若|x ﹣2|+|x+1|=5，则x 的值是；（4）当x=时，|x-1|+|x+5|+|x-4|的值最小，最小值是________．1.有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图，则a c a b b c --++-的值为（）．A ．2aB ．222a b c +-C ．0D ．2c-2．（2022·山东滨州·七年级期末）若有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图所示，则化简c a a b b c --++-的结果为_______．3.（2022·河南周口·七年级期末）有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式11a b a b a b a b -++--+的值是()A ．-1B ．1C ．3D ．-34.（2021·长郡集团郡维学校初一月考）如果a a +b b +cc =-1，那么ab ab +bc bc +ac ac +abc abc 的值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．不确定5.（2022·内蒙古赤峰·七年级期中）x 、y 、z 是有理数且0xyz <，则||||||x y z x y z ++的值是（）A ．3-B ．3或1-C ．1D ．3-或1数轴上动点相距问题数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。
绝对值与最值
绝对值与最值对绝对值概念有几何、代数两种描述方法.其中几何方法的描述是:|x|是在数轴上表示数x的点与原点的距离.据此,我们可以略加推广:|x-a|指在数轴上表示数x的点与表示数a的点的距离.下面举例说明其应用.一．利用几何方法求最值例1已知y=|x-2|-|x-5|,求y的最大值与最小值.分析此题常见的方法是根据x的取值范围,去绝对值,然后分别讨论求出最大值、最小值.但根据绝对值几何意义解,那就容易多了.解设数轴上表示数2、5、x的点分别为A、B、C.C可在数轴上移动,那么y=|x-2|-|x-5|=AC-BC,如图1,当C点在B点右边时,AC-BC=AB=5-2=3；图1当C点在A点左边时（如C1处），AC-BC=-AB=-3；当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，-3≤AC-BC≤3.综上所述,y的最大值为3,最小值为-3.例2已知y=|x-2|+|x-1|,求y的最小值.图2解设数轴上表示数2、1和的点分别为A、B、C，则y=|x-2|+|x-1|=AC+BC(如图2），当C点在A点右边时，AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在B点左边时（如在C1处），AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，y=AC+BC=AB=1,综上所述y≥1,y的最小值为1.通过上述两题,我们知道,利用绝对值几何意义解决此类问题,显得直观又简单,同时我们还能得出一些有用的结论:如果y=|x-a|-|x-b|,那么y有最大值|a-b|,最小值-|a-b|.如果y=|x-a|+|x-b|,那么y有最小值|a-b|,无最大值.并且还求出最大值,最小值时对应的x值的范围.二．利用界点分段法求最值例3.求代数式∣x-1│+∣x-2│+∣x-3│的最小值分析：根据上题很容易找到三个分界点是x=1、2、3，这样将数轴分成四部分，，，，，然后分段讨论。
112233x x x x≤<≤<≤>∣解：这里有三个分界点：1、2、3当ｘ≦１时，原式＝－（x－１）－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝６－３ｘ这时ｘ＝１时有最小值３当１＜ｘ≦２时，原式＝x －１－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝４－ｘ这时ｘ＝２时有最小值２当２＜ｘ≦３时，原式＝x －１＋（ｘ－２）－（ｘ－３）＝ｘ 这时ｘ没有最小值 当ｘ＞３时，原式＝x －１＋ｘ－２＋ｘ－３＝ｘ 这时ｘ没有最小值综合以上几种情况，原式的最小值是2。
绝对值的最值问题
绝对值的最值问题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-例题1：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值,并求出此时x的值分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程可令x+11=0,x-12=0,x+13=0 得x=-11,x=12,x=-13（-13,-11,12是本题零点值）1）当x<-13时,x+11<0,x-12<0,x+13<0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122）当x=-13时,x+11=-2,x-12=-25,x+13=0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403）当-13<x<-11时,x+11<0,x-12<0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144）当x=-11时,x+11=0,x-12=-23,x+13=2,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255）当-11<x<12时,x+11>0,x-12<0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366）当x=12时,,x+11=23,x-12=0,x+13=25,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487）当x>12时,x+11>0,x-12>0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：当x<-13时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27当x=-13时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=40当-13<x<-11时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,25<-x+14 <27当x=-11时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=25当-11<x<12时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36,25<x+36<48当x=12时 |x+11|+|x-12|+|x+13|= 48当x>12时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25,此时x=-11解：可令x+11=0,x-12=0,x+13=0 得x=-11,x=12,x=-13（-13,-11,12是本题零点值）将-11,12,-13从小到大排列为-13<-11<12可知-11处于-13和12之间,所以当x=-11时,|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值分析:回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0则零点值为x=1, x=2 ,x=3 ,x=4(1)当x＜1时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10（2）当1≤x＜2时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8(3)当2≤x＜3时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4（4)当3≤x＜4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2（5)当x≥4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10根据x的范围判断出相应代数式的范围,在取所有范围中最小的值,即可求出对应的x的范围或者取值解：根据绝对值的化简过程可以得出当x＜1时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 ＞6当1≤x＜2时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 4＜2x+8≤6当2≤x＜3时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4当3≤x＜4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-24＜2x-2＜6当x≥4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6则可以发现代数式的最小值是4,相应的x取值范围是2≤x≤3。
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绝对值最值问题
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。
数a的绝对值记作a
几个绝对值和的最小值问题：奇点偶段（含端点）
1、（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，
如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|；
当A、B两点都不在原点时，
1如图乙，点A、B都在原点的右边，
AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图丙，点A、B都在原点的左边，
AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图丁，点A、B在原点的两边
AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．
综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的
距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；
②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|
＝2，那么x＝；
③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是．
④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是．
⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是．
2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：
（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：
（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．
（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．
绝对值最值问题解析
1、（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，
如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|；
当A、B两点都不在原点时，
1如图乙，点A、B都在原点的右边，
AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图丙，点A、B都在原点的左边，
AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图丁，点A、B在原点的两边
AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．
综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的
距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；
②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|
＝2，那么x＝；
③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是．
④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是．
⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是．
解：①.5﹣2＝3，﹣2﹣（﹣5）＝3，1﹣（﹣3）＝4；
②、|x+1|，|x+1|＝2则x＝1或﹣3；
③|x+2|+|x﹣5|表示数轴上一点到﹣2与5两点的距离的和，当这点在﹣2和5之间时和最
小，最小距离是：5﹣（﹣2）＝7；
④代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|表示数轴上一点到1、﹣2与5三点的距离的和，根据两点之
间线段最短，则当x＝1时和最小，最小值是5到﹣2的距离，是5﹣（﹣2）＝7；
⑤代数式|x﹣5|﹣|x+2|表示数轴上一点到5与﹣2两点的距离的差，当点小于等于﹣2时
差最大，最大值是5与﹣2之间的距离，是7．
故答案是：①3，3，4；②|x+1|，1或3；③﹣2≤x≤5；④x＝1；⑤x≤﹣2．
2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：
（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：
（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．
（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．
解：（1）1和﹣3两点之间的距离为|1﹣（﹣3）|＝4；
故答案为：4；
（2）∵|b|＝3|a|
∴b＝±3a
∵AB＝8
∴|a﹣b|＝8
当b＝3a时，|a﹣b|＝|﹣2a|＝8
∴a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12
当b＝﹣3a时，|a﹣b|＝|4a|＝8
∴a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6
综上所述：a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12或a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6．
（3）由线段上的点到线段两端点的距离的和最小，
①当点b在a的右侧时，
得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，
|x﹣3|+|x﹣b|最小＝x﹣3+b﹣x＝4，
解得：b＝7；
②当点b在a的左侧时，
得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，
|x﹣3|+|x﹣b|最小＝3﹣x+x﹣b＝4，
解得：b＝﹣1，
综上所述：b＝7或﹣1．。