余弦定理及其应用

余弦定理及其应用

【教学目标】

【知识与技能目标】

(1)了解并掌握余弦定理及其推导过程．

(2)会利用余弦定理来求解简单的斜三角形中有关边、角方面的问题．

(3)能利用计算器进行简单的计算（反三角）．

【过程与能力目标】

(1)用向量的方法证明余弦定理，不仅可以体现向量的工具性，更能加深对向量知识应用的认识．

(2)通过引导、启发、诱导学生发现并且顺利推导出余弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力．

【情感与态度目标】

通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间的联系，来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．

【教学重点】

余弦定理的证明及应用．

【教学难点】

(1)用向量知识证明余弦定理时的思路分析与探索．

(2)余弦定理在解三角形时的应用思路．

【教学过程】

一、引入

问：在R t △ABC 中，若C=090，三边之间满足什么关系？ 答：222b a c += 问：若C ≠090，三边之间是否还满足上述关系？

答：应该不会有了！

问：何以见得？ 答：假如b a ,不变，将A 、B 往里压缩，则C ＜090，且222b a c +<；

同理，假如b a ,不变，将A 、B 往外拉伸，则C ＞090，且222b a c +>． 师：非常正确！那么，这样的变化有没有什么规律呢？

答：规律肯定会有，否则，您就不会拿它来说事了．

问：仔细观察，然后想想，到底会有什么规律呢？

答：有点象向量的加法或减法，→→→+=a c b 或→→→-=c b a ．

A

C

B

a

b

c A C B a b c

【探求】 设△ABC 的三边长分别为c b a ,,，

由于→→→+=BC AB AC

B

ac c a b a B ac c BC

B B

C AB AB b BC

BC BC AB AB AB AC BC AB BC AB AC AC cos 2cos 2)180cos(22)

()(2222

220222-+=+-=+-+=∴•+•+•=+•+=•∴→→→→→→→→→→→→→→→→→即即

问：仔细观察这个式子，你能否找出它的内在特点？

答：能！式子中有三边一角，具体包括如下三个方面：

第一、左边是什么边，右边就是什么角；

第二、左边有什么边，右边就没有什么边；

第三、边是平方和，乘积那里是“减号”．

师：很好！那么，你能否仿照这个形式写出类似的另外两个？

答：可以！它们是：A bc c b a cos 2222-+=和C abc b a c cos 2222-+=．

【总结】这就是我们今天要讲的余弦定理，现在，让我们来继续研究它的结构特点以及其应用问题．

板书课题 余弦定理及其应用

二、新课

（一）余弦定理的文字表述：

三角形的任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

（二）余弦定理的另一种表述形式：

bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab

c b a C 2cos 2

22-+= （三）归纳

1. 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；

2. 每个式子中都有四个量，知道其中的三个就可以求另外的一个；

3. 当夹角为090（即三角形为直角三角形）时即为勾股定理 (特例)．

A C

B a b c

（四）余弦定理的适用范围

1. 已知三边求角；

2. 已知两边及其夹角求第三边．

三、应用

例1．在△ABC 中，已知3,5,7===c b a ，求这个三角形的最大内角．

【分析】根据大边对大角的原则，知：A 为最大．

解：C B A c b a >>⇒>>由，

2

1352499252cos 222-=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴A =0120， 即该三角形的最大内角等于0120．

练习1．已知△ABC 的三边长分别是37,4,3===c b a ，求三角形的最大内角． 答案：0

120． 思考：？

形状，如何判断该三角形的，，的三边长为已知 c b a ABC ∆ 提示：求出与最大边相对应的角的余弦值，再与0进行比较，判定标准如下：

①若＞0，则为锐角三角形；

②若=0，则为直角三角形；

③若＜0，则为钝角三角形．

例2．在△ABC 中，,4

,26,32π

=+==B c a 求b 及A ． 【分析】已知两边夹角，可以用公式B ac c a b cos 2222-+=直接求出b ；然后用公式bc

a c

b A 2cos 2

22-+=即可求出角A ． 解：由B ac c a b cos 2222-+=得：

,84cos )26(322)26()32(222=+⨯⨯-++=π

b 解得22=b ； 又∵b

c a c b A 2cos 222-+=21)

26(222)32()26()22(222=+⨯⨯-++=， ∴A=3

π．

例3．已知△ABC 中，)13(:6:2::+=c b a ，解此三角形．

【分析】知道边的比值，可以设其公约数为k,因为，在后面的运算中又可以同时约分将其约掉，原则上一般先求最小的角；当然，也可以先求最大的角． 解法一：设其三边的公约数为k ，则k c k b k a )13(,6,2+===， 由bc a c b A 2cos 222-+=得2

2)13(62)2(])13[()6(cos 222=+⨯⨯-++=k k k k k A ∴045=A ； 由ac b c a B 2cos 2

22-+=得21

)13(22)6(])13[()2(cos 2

22=+⨯⨯-++=k k k k k B ，

∴B=060； 因此C=0000075)6045(180)(180=+-=+-B A ．

解法二：设其三边的公约数为k ，则k c k b k a )13(,6,2+===， 由ab c b a C 2cos 222-+=得k k k k k C 622])13[()6()2(cos 2

22⨯⨯+-+= 即426cos -=C ，（此时可用计算器的第二功能求42

6

-的反余弦）

00000075cos )3045cos(30sin 45sin 30cos 45cos 2

1

22

23

22426=+=-=⨯-⨯=-又因为 ∴C=075； 由ac b c a B 2cos 222-+=得21

)13(22)6(])13[()2(cos 222=+⨯⨯-++=k k k k k B ，

∴B=060；∴A=0000045)7560(180)(180=+-=+-C B ．

例4．已知△ABC 中，B c b c b a A 及求,,8,7,1200=+==．

【分析】这种题型一般都要归结为解方程组．

解：由A bc c b a cos 2222-+=得0222120cos 27bc c b -+=，

即4922=++bc c b 1549849)(22=-=⇒=-+⇒bc bc c b ，

由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+5

335158

c b c b bc c b 或，分类讨论如下：