数形结合思想ppt课件(自制)

1 3
1
1
12.
答案
C
3.若奇函数f(x)在（0,+∞）上是增函数，又f(-3)
=0， 则{x|x·f(x)＜0}等于
（）
A.{x|x＞3或-3＜x＜0}
B.{x|0＜x＜3或x＜-3}
C.{x|x＞3或x＞-3}
D.{x|0＜x＜3或-3＜x＜0}
解析 由f(x)为奇函数且f(-3)=0，得f(3)=0.
方法三 如图所示,若想使抛物线上的
点到直线l的距离最小，只需抛物线在
点M处的切线与直线l平行即可,因为直 线l的斜率为 4 ,抛物线的导数为y′=2x,
3
令2x4,则x2,此时y4,
3
3
9
所以M(2, 3
4
|
9),dmin
42348| 39 42 32
4 3
.
【探究拓展】在解答此类问题时，利用待定系数法设
变式训练1 已知 A实 m 1数 63m ,则实数 A 的取值 _ [ _ 3，1范 ]_._围 __为 _
解析 令 m 1 x 0 ,6 3 m y 0 则3x2+y2=3,即 y2 x2 1
3
(x≥0,y≥0)，又A=x-y, 所以A的几何意义是直线在 x轴上的截距，其图形如图， 则A∈［ 3,1］.
故可 x y 4 2c 设 2s o isn ( 0 , 2 )
则 A=x-y
4cos2 2sin 2 6sin( )(tan 2),
结合图象可 ，A知2 2，2 6.
【探究拓展】在解答此类问题时，主要是通过对 “数”的形式进行观察、分析，把“数”转成 图形，再借助其几何意义，通过“换元”使问 题得以顺利解答.
∴f1（x）=x2.设f2 (x)
k x
(k＞0)，它的图象与直线
y=x的交点分别为 A (k , k )B ,(k ,k )
由|AB|=8，得k=8,∴f(x)8.故 f(x)x2 8
2
x
x
(2)证明 方法一 由f(x)=f(a),得
x 2 8 a 2 8,即 8 x 2 a 2 8 .在同一坐标系
【例3】已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶 点且过点（1，1），反比例函数y=f2(x)的图象 与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f1（x） +f2（x）.
（1）求函数f(x)的表达式；
（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三
个实数解.
（1）解 由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,
x ax
a
内作出 f(x)8和 f(x)x2a28的大致图象，其
2
x3
a
中f2(x)的图象是位于第一、三象限的双曲线,f3(x)的
图象是以(0,a 2 8 )为顶点，开口 a
向下的抛物线.因此f2(x)与f3(x)
的图象在第三象限有一个交点，
即f(x)=f(a)有一个负数解.
又∵f2（2）=4，f3（2）=a 2
【考题再现】
（2008·四川）已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x210x的一个极值点. (1)求a; (2)求函数f(x）的单调区间； (3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点， 求b的取值范围.
【解题示范】
(1)因为 f'(x) a 2x10,
所以f′(3)=1a4x+6-10=0,因此a=16.
数形结合思想
1.集合及其运算. 2.函数图象解决问题. 3.三角函数图象及其应用. 4.向量运算的有关问题. 5.圆锥曲线及其相关元素的图形特征与定义间的 内在联系. 6.数学概念及数学表达式间的几何意义的应用. 7.解析几何与立体几何问题中的数形结合.
1.已知0＜a＜1,则方程a|x|=|logax|的实数根的
即(xa)(xaa8x)0得, 方程x 的一个a 解x1=a. 方程 xa 8 0 化为ax2+a2x-8=0, 由a＞3,Δ=aax4+32a>0,得xa2 a432a,
2a
x2 a 22 a a 4 3a 2 ,x3 a 22 a a 4 3a 2 , ∵a＞3,∴x1≠x2,若x1=x3, 则3a2= a4 3a 2,a4=4a,
的长度的最小值为
（）
1
A. 3
B. 2
3
1
C.12
D.5 3 12
解析
由题意知.集合M的“长度”为 1
4
，集合N
的“长度”为 3 ，而集合{x|0≤x≤1}的“长度”
为1；设线段AB=1，a
3,b 4
1 3
，a，b可在线段
AB上自由滑动，a，b重叠部分的长度即为M∩N.
如图，显然当a，b各自靠近
3
AB两端时，重叠部分最短,其值为4
综上所述，u
1 3
,
1 3
答案 B
题型一 代数问题“几何化”——以形助数 【例1】 求A 函 2 m 数 4 6 m 的.值域
解 由题意令 x2 m 4 ,y6 m ,所以x2+2y2= 16(0≤x≤4,0≤y≤2 2 ),其图象 如右图所示，原式A=x+y其几何 意义是直线在坐标轴上的截距，
又f(x)在（0,+∞)上是增函数，据上条件做出满足
题意的y=f(x)草图，
如图，如右图中找出f(x)与x异号
的部分，可以看出x·f(x)＜0的解
集为{x|0＜x＜3或-3＜x＜0}.
答案 D
4.当 x,y满足|x条 ||y件 |1时 ，变u量 x 的
y3
取值范围是
A. 3，3
()
B.
1 3
，1 3
得a=0或a= 3 4 ,这与a＞3矛盾,
∴x1≠x3.故原方程有三个实数解. 【探究拓展】在解答此类问题时，注意将方程
f(x)=g(x)转化成函数，然后在同一坐标系下
画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象，通过研究 函数图象交点的个数，来确定方程解的个数或 函数零点的个数.
变式训练3 定义在R上的奇函数f(x)满足:当x＞0时, f(x)=2 009x+log2009x,则在R上f(x)=0的实数根的个 数是_3__.
2分
(2)由(1)知f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,x∈(-1,+∞),
f'(x ) 2 (x 2 4 x 3 ) 2 (x 1 )x ( 3 ).
1 x
1 x
当x∈(-1,1)∪(3,+∞)时，f′ (x)>0;
3分 4分
当x ∈(1,3)时，f′(x)<0.
5分
所以f(x)的单调增区间是(-1,1)，(3,+∞)；
解析 因当x＞0时，f(x)=0, 即-2 009x=log2 009x,在 同一坐标系中画出函数y= -2 009x,y=log2 009x的图象，如图，设图象相交于点 M，即方程f(x)=0有一解；又f(x)是定义在R上的奇 函数，所以x=0是方程f(x)=0的解，当x＜0时,方程 f(x)=0有一解，故f(x)=0的实数根有3个.
3
3 9 3 min
方法二 设过点M平行于直线l与抛物线相切的
直线方程为4x-3y+b=0,则4yxx32yb0 , 整理得3x2-4x-b=0,
由题意可知Δ=42+12b=0,即b 4 ,
3
x1
x2
2,所以y 3
4,所以M(2,
9
3
4), 9
dmin
|
4
2 3 4 39
42 32
8|
4 3
.
8 a
4
，
当a＞3时，f3(2)-f2(2)=a2+a8 -8>0, ∴当a＞3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点
(2,f3(2))在f2(x)图象的上方.
∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点，
即f(x)=f(a)有两个正数解.
因此，在a＞3时，方程f(x)=f(a)有三个实数解. 方法二 由f(x)=f(a),得x2 8 a2 8 ,
f(x)的单调减区间是(1，3).
6分
(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1，3)
内单调递减，在(3,+∞)内单调递增，且当x=1或x=3
时，f′(x)=0,
所以f(x)的极大值为f(1)=16ln 2-9，
极小值为f(3)=32ln2-21.
9分
所以在f(x)的三个单调区间
(-1，1),(1，3),(3，+∞)上，
出抛物线上动点的坐标，利用二次函数求最值，是
解决距离问题的的重要方法；而利用直线平行求距
离也是常规方法;利用导数求切线的斜率也是十分简
单易行的好方法，这些方法是几种不同数学思想的
应用,注意体会.
变式训练2 设F1、F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存
在点P,使∠F1PF2=120°,则椭圆的离心率e的取值范
C.
1 2
，13
D.
1 3
，1 2
解析 由题意在坐标系下画出|x|+|y|≤1
的图象如右图阴影部分，
①若x=0时，|y|≤1,此时u=0;
②若x≠0时，变量u x 可看成点A y3
(0，3)与可行域内的点B连线斜率k的
倒数,而k∈(-∞,-3]∪[3,+∞),
所以1 k
1 3
,0
0,
13.
x 1 象的上方.
2.已知函数f(x)=log2(x+1),且a>b>c>0,则f f ( c ) 的大小关系是
(a), a
（
f B
(b) b ）
,
c
A. f(a)f(b)f(c)
abc
B. f(a)f(b)f(c) abc
C. f(c)f(a)f(b) D. f(a)f(c)f(b)
c ab
acb
题型二 几何问题“代数化”——以数助形
【例2】设M是抛物线y=x2上的一点，若点M到直 线l:4x-3y-8=0的距离d最小，求点M的坐标及 距离d的最小值. 解 方法一 设点M（m,m2）,
由题意可 d知 |4m3m2 8| 1|3m2 4m8|
42 32
5
1|3(m2)2 20|.
5
33
即当 m2时，满足条，件 所以 M(2,4),d 4.
A.b>c
B.b≥c或b≤c中至少有一个正确
C.b<c
D.不能确定
解析 令f(x)=t,则
f2(x)+bf(x)+c=0
①
可化为t2+bt+c=0
②
要使①有7个根，即f(x)=|x2+2x|
与f(x)=t有7个交点.如图，所以方
程②必有两解，而f(x)=t中的一条直线经过f（x）= |x2+2x|折上去的顶点，故②式有一解t1=1,另一解 t2∈(0,1)，所以b=-(t1+t2)∈(-2,-1),c=t1·t2∈ (0,1). 答案 C
解析 作出函数f(x)=log2(x+1)的图象，如图，而
f ( x ) 的几何意义是图象上的点与坐标原点连线
x 的斜率，由图象可知
f(a)f(b)f(c).
abc
3.平面上的点P（x,y)使关于t的二次方程t2+tx+y=0
的根都是绝对值不超过1的实数，那么这样的点P的
集合在平面内的区域形状是
（D ）
围是
( A)
A. [ 3 ,1)
B.( 3 ,1)
2
2
C. ( 0 , 3 )
2
D.( 0 , 3 ]
2
【解析】 选A.采用数形结合法,
如图,e c sin,当P与B重合时,
a
esin60 3;当P与B不重合
时,显然∠F12PF2＜ 2 ,
∴ si6n 0si ne 1,故选A.
题型三 “数”“形”互化，相得益彰
一、选择题
2 1.不等式|x|> x 1 的解集为
（B ）
A.{x|x>2或x<-1}
B.{x|x<1或x>2}
C.{x|-1<x<2}
D.{x|1<x<2}
解析 在同一坐标系中，作出 2
y=|x|和y=x 1 的图象，如图， 由图象可知，当x<1或x>2时， y=|x|的图象恒在y= 2 的图
解析 因为方程t2+tx+y=0的根都是绝对值不超过1的
x2 4 y 0 实数，所以 x y 1 0 , 画出不等式组所表 示的平面区域可 知x . y 1 0
4.已知函数f(x)=|x2+2x|，若关于x的方程f2(x)+bf(x)
+c=0有7个不同的实数根，则b,c的大小关系是( )
个数为
（B ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个
解析 在同一坐标系下，画出函数y=a|x|，
y=|logax|的图象，则图象有两个交点.
2.设数集M={x|m≤x≤m3 + }，数集N={x|n1 - ≤x≤
4
3
n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把
b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N
直线y=b与y=f(x)的图象各有一个交点，
当且仅当f(3)<b<f(1）.
Leabharlann Baidu11分
因此，b的取值范围是(32ln 2-21,16ln 2-9). 12分
数形结合的本质是几何图形的性质反映了数量关系， 数量关系解决了几何图形的性质.数形结合思想方法 的应用可分为两种情况：①借助于“数”的精确性来 阐明“形”的属性；②借助于“形”的直观来阐明 “数”之间的关系.数形结合的基本思路:根据“数” 的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用 图形的特征和规律，解决数的问题；或将图形信息部 分或全部转换成代数信息，削弱或消除“形”的推理 部分，把要解决的“形”的问题转化为数量关系的讨 论.