3.1 齐次定理
合集下载
齐次分解定理
齐次分解定理齐次分解定理，也被称为数论中的唯一分解定理或质因数分解定理，是数论中的一个重要定理。
该定理指出：任何一个正整数都可以被唯一地分解成若干个质数的乘积，即质因数。
所谓齐次是指分解后的每一个因子的乘幂均为1的情况。
这个定理具有重要的数论性质和实际意义，在数论的研究中有着非常广泛的应用。
齐次分解定理的内容如下：任何一个大于1的自然数N，要么是一个质数，要么可以写成几个质数的乘积，并且这个分解是唯一的。
具体来说，对于任意自然数N，如果N是一个质数，则直接分解为N本身。
如果N不是一个质数，则可以写成以下形式：N = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak其中，p1, p2, ..., pk为质数，a1, a2, ..., ak为正整数。
这种分解的形式是唯一的，即如果还有其他的质因数分解形式，则这些质因数和指数都完全相同。
这个定理在数论中非常重要，它确保了任何一个自然数都可以进行质因数分解，并且这种分解方式是唯一的。
这为数论的研究提供了基础，同时也为数学的其他领域提供了重要的工具。
齐次分解定理的证明方法可以通过数学归纳法来完成。
首先，对于N = 2的情况，由于2是质数，所以分解也是唯一的。
然后，假设对于某个自然数m成立，即m可以唯一分解为几个质数的乘积。
接下来，考虑m + 1的情况，如果m + 1是一个质数，则分解为m + 1本身即可。
如果m + 1不是一个质数，则可以进行质因数分解，即：m + 1 = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak然后，将每个质因数的指数减去1，即：m = p1^(a1-1) * p2^(a2-1) * ... * pk^(ak-1)由于对于m，质因数分解是唯一的，所以对于m + 1来说，其质因数分解也是唯一的。
因此，质因数分解定理成立。
齐次分解定理的重要性体现在许多数论相关的问题中。
首先，齐次分解定理可以用来求解最大公约数和最小公倍数问题。
第三章 叠加方法
5
2 1 I = − u −10 2
2
1
图示电路，已知： 例4：图示电路，已知： Us=1V, Is=1A时： U= 0 ； Us=10V, Is=0时：U= 1V ； =1A时 =0时 =10A时 求:Us=0, Is=10A时：U= ? 解： 根据叠加原理，有 根据叠加原理，
U = K1Is + K2Us
齐次定理应用举例1： 齐次定理应用举例 ： 求图示电路各支路电流。
I2 I1 I3 I4 解: 倒推法
设 I’4=1A U’BD=22V I’3=1.1A I’2=2.1A U’AD=26.2V
120 =3.63 ∴ β= 33.02
I=3.41β=12.39A I2=2.1β =7.63A I4=β=3.63A
代入已知条件， 代入已知条件，有
0 = K1 •1+ K2 •1
1 = K1 • 0 + K2 •10
解得
K1 = −0.1
K2 = 0.1
若Us=0, Is=10A时： =10A时
∴ U = −0.1Is + 0.1Us
U = −1V
§3-3 叠加方法与功率计算
注意：电阻元件的功率不能由叠加原理直接求得。 注意：电阻元件的功率不能由叠加原理直接求得。
' ''
u = u + u = −11.66V
' ''
例3、用叠加原理求图示电路中电流I。 用叠加原理求图示电路中电流I u
⊥ 10V电压源单独作用时 电压源单独作用时： 1、10V电压源单独作用时： 3A电流源单独作用时 电流源单独作用时， 2、3A电流源单独作用时，有
10 − 2I′ I′ = 2 +1
2 1 I = − u −10 2
2
1
图示电路，已知： 例4：图示电路，已知： Us=1V, Is=1A时： U= 0 ； Us=10V, Is=0时：U= 1V ； =1A时 =0时 =10A时 求:Us=0, Is=10A时：U= ? 解： 根据叠加原理，有 根据叠加原理，
U = K1Is + K2Us
齐次定理应用举例1： 齐次定理应用举例 ： 求图示电路各支路电流。
I2 I1 I3 I4 解: 倒推法
设 I’4=1A U’BD=22V I’3=1.1A I’2=2.1A U’AD=26.2V
120 =3.63 ∴ β= 33.02
I=3.41β=12.39A I2=2.1β =7.63A I4=β=3.63A
代入已知条件， 代入已知条件，有
0 = K1 •1+ K2 •1
1 = K1 • 0 + K2 •10
解得
K1 = −0.1
K2 = 0.1
若Us=0, Is=10A时： =10A时
∴ U = −0.1Is + 0.1Us
U = −1V
§3-3 叠加方法与功率计算
注意：电阻元件的功率不能由叠加原理直接求得。 注意：电阻元件的功率不能由叠加原理直接求得。
' ''
u = u + u = −11.66V
' ''
例3、用叠加原理求图示电路中电流I。 用叠加原理求图示电路中电流I u
⊥ 10V电压源单独作用时 电压源单独作用时： 1、10V电压源单独作用时： 3A电流源单独作用时 电流源单独作用时， 2、3A电流源单独作用时，有
10 − 2I′ I′ = 2 +1
第7讲 齐次定理、叠加定理、替代定理
( 2) 1 (2) 1
)
( R2 ( I2( 1 ) I 22 ) ) U S
比较(2.5 - 4)与(2.5 - 7)两式可见， 它们左边各项系数相同，
右边各项也都相同。如果图2.5 - 3(a)、(b)、 (c)三个电路都具 有惟一解，即 0 则有
I1 I1(1) I1( 2) I2 I
10V
–
Us"= -10I1"+U1”
I1 '
+
6
+
10 I1' – + Us' –
I1''
6
+
10 I1'' –
10V
–
+ 4 U1' –
10 I1 1A 6 4
+ + 4 U1" Us'' – –
4 4 1.6 A 46 46 U 1 4 9.6V 46 I 1
(2) 叠加定理仅适用于线性电路（包括线性时变电路）， 而不适用于非线性电路。
(3)
叠加定理只适用于计算电流和电压，而不能用于计算
功率， 因为功率不是电流或电压的一次函数。证明如下：
i i i u u u
' ''
ui (u u )(i i ) u i u i
+ U1 –
'
Us –
2
–
6
+ Us' –
P 1 4 4W
I1''
10 I1'' + – 4
《电路分析基础》第3章电路等效及电路定理
单口网络：当强调二端网络的端口特性， 而忽略网络内部情况时，又称二端网络为 单口网络，简称为单口。
端口特性：端口电压与电流的关系，表示为方程 （简称为VCR方程）或伏安特性曲线的形式。
明确的网络：当网络内的元件与网络外的某些变量无 任何能通过电或非电方式联系时，则称这样的网络为 明确的。
本书所讨论的单口网络均为明确的单口网络。
解: 伏安法：（1）先设受控源的控制量为1；（2）运用KCL及KVL
设法算得端口电压u和端口电流i；（3）根据电阻的VCR，算得输入 电阻。
a i2
c
i0
i1 - 2i0 +
设i0=1A 则uab=2V i1=0.5A
i2=1.5A ucd=4V
i3
i=2A
i3=0.5A
b
d
u= ucd +3i = 10V R u 5 i
u 11.66V
10
例2：图示电路，已知：
Us=1V, Is=1A时： U2=0 ； Us=10V, Is=0时： U2=1V ； 求:Us=0, Is=10A时：U2= ? 解： 根据叠加定理，有
U2 K1Is K2Us 代入已知条件，有
解得
0 K1 •1 K2 •1 1 K1 • 0 K2 •10
i1
u
i2
外施电压源法，即外施端口电压u，设
法求出端口电流i：
i2
u 3
i1
u
u
2
i i1 i2
u u u
32
(1 1 )u
32
在端口电压与端口电流对输入 电阻R为关联参考方向时：
Ru i
1
1 1
6 5 3
32
含受控源单口网络的等效电阻（输入电阻）可能为负值。25
端口特性：端口电压与电流的关系，表示为方程 （简称为VCR方程）或伏安特性曲线的形式。
明确的网络：当网络内的元件与网络外的某些变量无 任何能通过电或非电方式联系时，则称这样的网络为 明确的。
本书所讨论的单口网络均为明确的单口网络。
解: 伏安法：（1）先设受控源的控制量为1；（2）运用KCL及KVL
设法算得端口电压u和端口电流i；（3）根据电阻的VCR，算得输入 电阻。
a i2
c
i0
i1 - 2i0 +
设i0=1A 则uab=2V i1=0.5A
i2=1.5A ucd=4V
i3
i=2A
i3=0.5A
b
d
u= ucd +3i = 10V R u 5 i
u 11.66V
10
例2：图示电路，已知：
Us=1V, Is=1A时： U2=0 ； Us=10V, Is=0时： U2=1V ； 求:Us=0, Is=10A时：U2= ? 解： 根据叠加定理，有
U2 K1Is K2Us 代入已知条件，有
解得
0 K1 •1 K2 •1 1 K1 • 0 K2 •10
i1
u
i2
外施电压源法，即外施端口电压u，设
法求出端口电流i：
i2
u 3
i1
u
u
2
i i1 i2
u u u
32
(1 1 )u
32
在端口电压与端口电流对输入 电阻R为关联参考方向时：
Ru i
1
1 1
6 5 3
32
含受控源单口网络的等效电阻（输入电阻）可能为负值。25
线性方程组解的结构
1 0 0
2 0 0
0 1 0
2 7 57 0
1 1 0
于是方程组的同 解方程组为：
x1
2 x2 x3
2 7
x4
5 7
x4
1 1
x1
1
2 x2
2 7 x4
其解为： x2
x3
1
x2
5 7
x4
x4
x4
写成向量形式为 x1 1 2 2 7
x2 x3 x4
0 1 0
问题：方程组Ax=0是否总有基础解系? 基础 解系中含有多少个解向量? 与R(A)有何关系?
定理3.1 齐次线性方程组(2)的系数矩阵A的秩 R(A)=r<n时，方程组有基础解系，并且基础 解系含有n-r个解向量.
证 因为 R(A)=r<n ，所以 A 中至少有一个r 阶子式不为零，不妨设 A 中位于左上角的r阶 子式不为零，按照上节定理2.1的分析，方程 组(2)有无穷多解，并且
x3
x3
x3
即 x1 1 1 1 x2 0 1 x2 0 x3 . x3 0 0 1
(3) 当 λ= -2 时
2 1 1 1 A 1 2 1 2
1 1 2 4
1 2 1 2 2 1 1 1
2
(-1)
1 1 2 4
1 2 1 2
0 0 λ1
(1) 当 |A|0时， 即 1且 -2时，
根据克莱姆法则，方程组有唯一解.
x1
λ1 λ2
,
x2
1 λ
, 2
x3
λ 12
λ2
(2) 当 λ=1 时，原方程组三个方程相同，即
x1 x2 x3 1. 显然 R( A) R( A). 原方程有无穷多个解.
叠加定理与齐次定理
I2
R2
US2 R1 / / R3
25 7
A
I1
R3 R1 R3
I2
8 10
25 7
20 7
A
I3
I2
I1
25 7
20 7
5 7
A
电工基础
由叠加原理叠加可得
I1
I1
I1
48 7
20ห้องสมุดไป่ตู้7
4A
I2
I2
I2
25 7
32 7
1A
I3
I3
I3
16 7
5 7
3A
电工基础
三、齐次定理
在独立源作用的线性电路中，当所有的激励都同时增大或缩小K倍时，电路 的响应也要增大或缩小相同的倍数，这就是齐次定理。 设激励为x，响应为y，则对于函数关系
电工基础
在应用叠加原理进行计算时，应注意以下几点: (1)叠加原理只适用于线性电路中的电压和电流，
不能用它来计算功率。 (2)某一电源单独作用时，不起作用的电源电
压源应短路，电流源应开路，但电源的内阻要保 留。
(3)求支路的电流（或电压）时，电流分量的 参考方向与支路电流参考方向一致，电流（或电 压）分量取正，反之取负。
(4)由于受控源不代表外界对电路的激励，所以 应用叠加定理时，受控源不单独作用，并且在各 独立源单独作用时，受控源保留其中。
电工基础
例题 2.6.1电路如图2-6-2（a）所示，已知US1=32V，US2=20V， R1=2Ω，R2=4Ω，R3=8Ω，应用叠加原理求电路的各支路电 流。
，
电工基础
解：将图 2-6-2（a）分解，然后分别画出US1和US2单独作用时的电
电路定理
③替代后其余支路及参数不能改变。
3 戴维南定理与诺顿定理
名词： 二端网络：若一个电路只通过两个输出端与外电路 相联，则该电路称为“二端网络”。 无源二端网络： 二端网络中没有电源
A
有源二端网络： 二端网络中含有电源
A
B
B
等效电源定理的概念
有源二端网络相当与一个供电的电源，可以化简成 一个等效电源。用电源模型替代，便为等效电源定 理。
例
RL=2 R1=1 R2=1 us=51V，求电流 i 21A R1 8A R1 + 8V – 13A R2 3A R1 + 3V – 5A R2 2A RL i i '=1A + 2V –
– + 21V + + us R2 – – u '=34V s 解 则
采用倒推法：设 i'=1A
ik
A
uk
–
+
支 路
A
+
k
–
uk
A
ik
+ uk –
ik
ik + uk – R=uk/ik
2.2定理的证明
ik
A
+支 uk –路 k + uk – －
A
ik
+ uk –
A
uk
+ 支 uk 路 – k － uk ＋ ＋
证毕!
例
解
求电流I1
用替代：
3
2
6
5
1
6
2
4
＋
I1 4A
I1 4 + ＋ 6V 7V – － 4A
10 I"
+
3.1量纲分析法
j 1
m
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
量纲分析示例： （水头损失问题）管道内不可压缩粘性流体的压强差 管道两端 管道长l, 流速v, 粘性系数, 选取物理量 压பைடு நூலகம்差 p 密度重力加速度g。
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
3.3 无量纲化方法
无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可以 减少参数，简化某些数学问题。
例1：简化常微分方程
未定
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力 3 f1 l13 g1 1 ( 1, 2 ) f l g ( 1 , 2 ) 可得原 已知模 v s 型船所 v1 , s1 型船所 , 2 2 1 2 1 l12 受阻力 g1l1 l 受阻力 gl
m-r 个无量纲量
s qj
j 1
m
ysj
g l v 1 2 l 2 s g 1l 3 1 f 3
1 2 1 2
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
V2 W p1V1 ln V I V
2
V1 成无量纲项，才能进行对数运算。
量纲齐次原则
m
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
量纲分析示例： （水头损失问题）管道内不可压缩粘性流体的压强差 管道两端 管道长l, 流速v, 粘性系数, 选取物理量 压பைடு நூலகம்差 p 密度重力加速度g。
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
3.3 无量纲化方法
无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可以 减少参数，简化某些数学问题。
例1：简化常微分方程
未定
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力 3 f1 l13 g1 1 ( 1, 2 ) f l g ( 1 , 2 ) 可得原 已知模 v s 型船所 v1 , s1 型船所 , 2 2 1 2 1 l12 受阻力 g1l1 l 受阻力 gl
m-r 个无量纲量
s qj
j 1
m
ysj
g l v 1 2 l 2 s g 1l 3 1 f 3
1 2 1 2
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
V2 W p1V1 ln V I V
2
V1 成无量纲项，才能进行对数运算。
量纲齐次原则
叠加、齐次、替代定理
1、我们先看一个例子。
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作
如图(a)所示电路，求电流i1。
先对网孔A列出KVL方程为:
( R1 R2 )iA R2is us
us R2 解得 i A is R1 R2 R1 R2
R1 1 ∴i1 iA iB us is R1 R2 R1 R2
(4)若电路中含有受控源，应用叠加定理时，受控源不要单独作用（这是劝
告！若要单独作用只会使问题的分析求解更复杂化），在独立源每次单独 作用时受控源要保留其中，其数值随每一独立源单独作用时控制量数值的
变化而变化。
(5)叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用，也可以一次使几 个独立源同时作用，方式的选择取决于对分析计算问题简便与否。
i1 i1 i1
流，如图（c）所示。
i1 可看作仅有is作用而us不作用（us=0，视为短路）时R2上的电
此例告诉我们:R2上的电流i1可以看作为独立电压源us与独立电 流源is分别单独作用时，在R2上所产生电流的代数和。
一、叠加定理
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作
理，各处响应与该激励成正比，即激 励增加或减少多少倍，则各处电流电 压也相应增加或减少多少倍。现激励 降为原来的50/100 = 0.5倍，所以有
US R1 I1 R2
I3
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作
N
R3
U2
I1’=0.5 I1= 0.5×4 =2(A)； U2’= 0.5 U2= 0.5×50 =25V;
u s11 u s 22 1 u smm R12 R22 R1m R2 m
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作
如图(a)所示电路，求电流i1。
先对网孔A列出KVL方程为:
( R1 R2 )iA R2is us
us R2 解得 i A is R1 R2 R1 R2
R1 1 ∴i1 iA iB us is R1 R2 R1 R2
(4)若电路中含有受控源，应用叠加定理时，受控源不要单独作用（这是劝
告！若要单独作用只会使问题的分析求解更复杂化），在独立源每次单独 作用时受控源要保留其中，其数值随每一独立源单独作用时控制量数值的
变化而变化。
(5)叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用，也可以一次使几 个独立源同时作用，方式的选择取决于对分析计算问题简便与否。
i1 i1 i1
流，如图（c）所示。
i1 可看作仅有is作用而us不作用（us=0，视为短路）时R2上的电
此例告诉我们:R2上的电流i1可以看作为独立电压源us与独立电 流源is分别单独作用时，在R2上所产生电流的代数和。
一、叠加定理
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作
理，各处响应与该激励成正比，即激 励增加或减少多少倍，则各处电流电 压也相应增加或减少多少倍。现激励 降为原来的50/100 = 0.5倍，所以有
US R1 I1 R2
I3
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作
N
R3
U2
I1’=0.5 I1= 0.5×4 =2(A)； U2’= 0.5 U2= 0.5×50 =25V;
u s11 u s 22 1 u smm R12 R22 R1m R2 m
电路的基本定理
4
3、单相交流电动机的工作原理
单相异步电动机的主绕组通入单相交流电，产生强弱和方向 像正弦交流电作周期性变化的脉动磁场。
为使电动机能自动起动，定子铁心槽里嵌放两个绕组（主绕 组和辅助绕组），辅助绕组与主绕组在定子铁心槽中相差90º电角 度。
图3-23 脉动磁场 容式电动机接线
图3-24 电
5
为使两相绕组中的电流有一个相位差，可在辅助绕组中串接 电容、电阻进行移相。
对一个电阻元件，欧姆定律约定了电流i与电压u之间的关 系，即
u iR
线性
i
us
电路
R
激励为us的线性电路
（6）PTC起动器
图3-22 用PTC起动的单相异步电动机
PTC起动器又称半导体起动器，具有正温度系数的热敏电阻器 件，具有在陶瓷原料中掺入微量稀土元素烧结后制成的半导体晶 体结构。它具有随温度的升高而电阻值增大的特点，有着无触点 开关的作用。
相位差90º的两个电流iM和iA分别通入空间相差90º电角度的两 个绕组，将产生一个旋转磁场。
转子在该旋转磁场的作用下，获得起动转矩而旋转。
6
图3-25 单相电动机旋转磁场
4、单相异步电动机的调速方法
（1）串电抗器调速
在电动机的电源线路中串联起分压作用的电抗器来调节电抗 值，
从而改变电动机两端的电压，达到调速目的。
串电抗器调速结构简单、容易调整调速比，但耗材多、体积
大。
7
假设i为输入， u为输 出，则当电流i增大k倍后 ，电压u也增大k倍，即有
ku kiR
线性
i
us
电路
R
激励为us的线性电路
由此可知，电阻的电压电流关系满足“齐次性”，即“比例 性”。如图所示，线性电路中只有电压源us一个激励，若将经 过电阻R的电流i作为电路的响应，假设当us=10V时，i=2A ， 则可根据线性电路的齐次性推导出以下结论：当 us=1V时， i=0.2A ，当i=1mA， us=5mV时。
3、单相交流电动机的工作原理
单相异步电动机的主绕组通入单相交流电，产生强弱和方向 像正弦交流电作周期性变化的脉动磁场。
为使电动机能自动起动，定子铁心槽里嵌放两个绕组（主绕 组和辅助绕组），辅助绕组与主绕组在定子铁心槽中相差90º电角 度。
图3-23 脉动磁场 容式电动机接线
图3-24 电
5
为使两相绕组中的电流有一个相位差，可在辅助绕组中串接 电容、电阻进行移相。
对一个电阻元件，欧姆定律约定了电流i与电压u之间的关 系，即
u iR
线性
i
us
电路
R
激励为us的线性电路
（6）PTC起动器
图3-22 用PTC起动的单相异步电动机
PTC起动器又称半导体起动器，具有正温度系数的热敏电阻器 件，具有在陶瓷原料中掺入微量稀土元素烧结后制成的半导体晶 体结构。它具有随温度的升高而电阻值增大的特点，有着无触点 开关的作用。
相位差90º的两个电流iM和iA分别通入空间相差90º电角度的两 个绕组，将产生一个旋转磁场。
转子在该旋转磁场的作用下，获得起动转矩而旋转。
6
图3-25 单相电动机旋转磁场
4、单相异步电动机的调速方法
（1）串电抗器调速
在电动机的电源线路中串联起分压作用的电抗器来调节电抗 值，
从而改变电动机两端的电压，达到调速目的。
串电抗器调速结构简单、容易调整调速比，但耗材多、体积
大。
7
假设i为输入， u为输 出，则当电流i增大k倍后 ，电压u也增大k倍，即有
ku kiR
线性
i
us
电路
R
激励为us的线性电路
由此可知，电阻的电压电流关系满足“齐次性”，即“比例 性”。如图所示，线性电路中只有电压源us一个激励，若将经 过电阻R的电流i作为电路的响应，假设当us=10V时，i=2A ， 则可根据线性电路的齐次性推导出以下结论：当 us=1V时， i=0.2A ，当i=1mA， us=5mV时。
常用的电路定理
(3) 由求得旳uoc，R0画出等效电压源(戴维南电源)，接 上待求支路，如(d)图所示。注意画等效电压源时不要将uoc 旳极性画错。若a端为所设开路电压uoc参照方向旳“+”极 性端，则在画等效电压源时使正极向着a端。由(d)图求得
i 4 1 1A 4 1
因为RL在二端电路之外，故当RL变化为6Ω时，二端电 路旳uoc,R0均不变化，所以只需将图(d)中RL由1Ω变为6Ω， 从而能够非常以便地求得此时电流
…
…
…
第三章 常用的电路定理
usjj为第j个网孔独立电压源旳代数和， 所以
i1
1
11
us11
21
us 22
m1
usmm
若令k11=Δ11/Δ，k21=Δ21/Δ，…，km1=Δm1/Δ，代入(3.14)式，得
i1 k11us11 k12us22 km1usmm
式中，k11, k21, …，km1是与电路构造、元件参数及线性受 控源有关旳常数。
Rbd 12 // 6 6 // 3 6
第三章 常用的电路定理
置换定理(又称替代定理)可表述为：具有唯一解旳电路 中，若知某支路k旳电压为uk，电流为ik，且该支路与电路 中其他支路无耦合,则不论该支路是由什么元件构成旳，都 可用下列任何一种元件去置换：
(1) 电压等于uk旳理想电压源； (2) 电流等于ik旳理想电流源； (3) 阻值为uk/ik旳电阻。
第三章 常用的电路定理
(1) 叠加定理仅合用于线性电路求解电压和电流响应而不能用来计算 功率。
(2) 应用叠加定理求电压、电流是代数量旳叠加，应尤其注意各代数 量旳符号
(3) 当一独立源作用时，其他独立源都应等于零(即独立理想电压源 短路，独立理想电流源开路) 。
i 4 1 1A 4 1
因为RL在二端电路之外，故当RL变化为6Ω时，二端电 路旳uoc,R0均不变化，所以只需将图(d)中RL由1Ω变为6Ω， 从而能够非常以便地求得此时电流
…
…
…
第三章 常用的电路定理
usjj为第j个网孔独立电压源旳代数和， 所以
i1
1
11
us11
21
us 22
m1
usmm
若令k11=Δ11/Δ，k21=Δ21/Δ，…，km1=Δm1/Δ，代入(3.14)式，得
i1 k11us11 k12us22 km1usmm
式中，k11, k21, …，km1是与电路构造、元件参数及线性受 控源有关旳常数。
Rbd 12 // 6 6 // 3 6
第三章 常用的电路定理
置换定理(又称替代定理)可表述为：具有唯一解旳电路 中，若知某支路k旳电压为uk，电流为ik，且该支路与电路 中其他支路无耦合,则不论该支路是由什么元件构成旳，都 可用下列任何一种元件去置换：
(1) 电压等于uk旳理想电压源； (2) 电流等于ik旳理想电流源； (3) 阻值为uk/ik旳电阻。
第三章 常用的电路定理
(1) 叠加定理仅合用于线性电路求解电压和电流响应而不能用来计算 功率。
(2) 应用叠加定理求电压、电流是代数量旳叠加，应尤其注意各代数 量旳符号
(3) 当一独立源作用时，其他独立源都应等于零(即独立理想电压源 短路，独立理想电流源开路) 。
线性代数第三章3.1,3.2,3.3
an1 an, j1 bnn an, j1 ann
Aj
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3 (行列式展开法则)
xj
Aj A
3
例1 用Cramer则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
本节主要讨论方程的个数与未知量的个数相等时
线性方程组解的解法.
方程的个数与未知量的个数不相等时线性方程组 解的解法在3.3节讨论 .
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3
1
定理3.1 (克莱姆法则 )如果方程组系数行列式
a11 a12 ... a1n
A a21 a22 ... a2n 0 ... ... ... ...
2
证明: 对于该线性方程组Ax b,若 A 0, A可逆,且
A1
A A
,由Ax b得x
A1b
A b A
(左乘)
A11
而Ab A12
A1n
A21 A22
A2n
An1 An2
Ann
b1 b2
所以，线性方 程组的解唯一
3.1高斯消元法线性代数第四版.课件
返回
下页
结束
4、Gauss消元法解方程组过程
例1．解线性方程组
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
- x1+4x2+ x3= 5
解：
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
(
A
b)
=
a21
a22
a1n b1
a2n
b2
am1 am2 amn
am1
am2
amn
bm
A称为方程组的系数矩阵. A~ 称为方程组的增广矩阵.
３．线性方程组的解
方程组的解：若以n个数组成的有序数组a1, a2, …, an替代未知数
x1, x2, …, xn使方程组(1)的每一个方程都成为恒等式，则称有序数组 是方程组（1）的一个解.
ar' r xr +
+ a1' n xn = d1 + a2' n xn = d2
+ ar' n xn = dr
0
=
d
r
（3-1）
+1
0 =0
0 =0
《线性代数》
返回
下页
结束
方程组（3-1）和原方程组 Ax = b 同解. 对于方程组（3-1）的解分几种情况进行讨论. 第一种情况：若dr+1=0且r = n时，方程组（3-1）具
(3-4)
其中 xr+1 , xr+2 ,, xn 是自由未知量,共有(n-r)个,
齐次性和叠加定理选读
+ + 21V–
us –
+ R2
u
' s
=2
R1 3A + 3V – 5A R2
i i'=1A
+ 2A RL 2V
–
解: 采用倒推法：设i'=1A，推出此时us'=34V。
则
i i'
=
us u's
即
i
=
us u's
i'
=
51 34
?
= 1.5 A
本例计算是先从梯形电路最远离电源的一段开始，
在任何由线性电阻线性受控源及独立源组成的电路中每一元件的电流或电压可以看成各个独立源单独作用时在该元件上产生的电流或电压的代数和
线性电路
由线性元件及线性独立源组成的电路为线性电路。 线性是线性电路的基本性质，它包括齐次性（或比例性）
和可加性（或叠加性）。
一.齐次原理
在单激励的线性电路中，激励增大多少倍，响应也增大相 同倍数。
叠加定理内容:
在线性电阻电路中，任一支路电流 (或支路电压)都是电路中各 个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流 (或电压)的叠加。
i1
i3
i2
当一个电源单独作用时，其余
R1 +
ia
R2 +
ib
R3 电源不作用，就意味着取零值。即 + 对电压源看作短路，而对电流源看
u s1 –
us2 –
u s3 –
(3).电压源，电流源共同作用时，由叠加定理得：
U = U(1) +U(2) =－0.5+12.5=12(V)
应用举例
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
r(t) =Ke(t)
线性电路中，K是一个常数。
u s = 10 V，求输出电压 u o。 例1 已知图示梯形电路中，
解 先假设输出电压
1 i
i2
1
1
u = 1V
i = 1A
' u1 = 1×(1 + 1) = 2V
' o
' o
us
i3 1
+ u3 -
i1
1
+ u1 -
io
1
+ uo -
' ' i1' = 2 A i2 = i1' + io = 3A ' ' ' ' ' ' ' i = i + i u3 = i2 × 1 + u1 = 5V i3 = 5A 2 3 = 8A ' us' = i ' × 1 + u3 = 13V
输出和输入之比为 当
u s 10 V 时
思考：当电路中有多个激励时，响应与激励的关系？
第三章 电路定理
测试与光电工程学院
生物医学工程系
绪论
教学目的和要求：
掌握叠加定理与齐次定理； 掌握替代定理； 掌握等效电源定理； 掌握最大功率传输定理； 理解特勒根及互易定理； 了解对偶原理。
重 点：
叠加定理； 等效电源定理； 最大功率传输定理。
难 点：
等效电源定理 2、特勒根定理 3、互易定理
§3.1 齐次定理
线性电路的齐次性（比例性）
独立源作为电路的输入，通常称其为激励(excitation)。 响应(response)：由激励产生的输出。 线性电路中响应与激励之间存在着线性关系。
R1
+
R3
R2 R3 u2 = us = Kus R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
us
R激励增加或减小n倍，响应也 同样增加或减小n倍，这种性质称为齐次性(homogeneity)或比例 性(proportionality)。它是线性(linearity)的一个表现。
齐性定理
在单一激励的电路中，如果激励增加或减小K倍，响应也 同样增加或减小K倍。
设激励为e(t)，响应为r(t)，则：
' K = uo us' = 1 13 10 uo = Kus = = 0.77V 13
线性电路中，K是一个常数。
u s = 10 V，求输出电压 u o。 例1 已知图示梯形电路中，
解 先假设输出电压
1 i
i2
1
1
u = 1V
i = 1A
' u1 = 1×(1 + 1) = 2V
' o
' o
us
i3 1
+ u3 -
i1
1
+ u1 -
io
1
+ uo -
' ' i1' = 2 A i2 = i1' + io = 3A ' ' ' ' ' ' ' i = i + i u3 = i2 × 1 + u1 = 5V i3 = 5A 2 3 = 8A ' us' = i ' × 1 + u3 = 13V
输出和输入之比为 当
u s 10 V 时
思考：当电路中有多个激励时，响应与激励的关系？
第三章 电路定理
测试与光电工程学院
生物医学工程系
绪论
教学目的和要求：
掌握叠加定理与齐次定理； 掌握替代定理； 掌握等效电源定理； 掌握最大功率传输定理； 理解特勒根及互易定理； 了解对偶原理。
重 点：
叠加定理； 等效电源定理； 最大功率传输定理。
难 点：
等效电源定理 2、特勒根定理 3、互易定理
§3.1 齐次定理
线性电路的齐次性（比例性）
独立源作为电路的输入，通常称其为激励(excitation)。 响应(response)：由激励产生的输出。 线性电路中响应与激励之间存在着线性关系。
R1
+
R3
R2 R3 u2 = us = Kus R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
us
R激励增加或减小n倍，响应也 同样增加或减小n倍，这种性质称为齐次性(homogeneity)或比例 性(proportionality)。它是线性(linearity)的一个表现。
齐性定理
在单一激励的电路中，如果激励增加或减小K倍，响应也 同样增加或减小K倍。
设激励为e(t)，响应为r(t)，则：
' K = uo us' = 1 13 10 uo = Kus = = 0.77V 13