对数函数的图象和性质(二)
对数函数的图像和性质 第二课时 课件 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
)
(3) 当 0<a<1 时 ， 若 x>1 ， 则 y＝ logax 的 函 数 值 都 大 于
零．( × )
×
(4)函数y＝log2x的定义域和值域都是(0，＋∞)．(
)
2．做一做
(1)函数 y＝log2x 在区间[1,8]上的最大
值为(
)
A．0
B．1
C．3
x
+∞
o (1,0)
-∞
当0<x<1时，y>0;
当x>1时，y<0
x
对数函数 y=logax (a＞0,a≠1) 的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图
象
性
质
y x =1
y log a x(a 1)
O
(1,0)
x
y x =1
(1,0) x
O
y log a x(0 a 1)
定义域 : ( 0,+∞)
D．8
2．做一做(2)函数 y＝logax 的图象如图
所示，则实数 a 的可能取值为(
A．4
1
B．4
1
C．e
1
D．3
)
(3) 若 对 数 函 数 y ＝ log(1 － 3m)x ，
x∈(0，＋∞)是减函数，则m的取值
范围为________.
答案
1
0，3
0 1 3m 1
练习1 函数的 f (x)=loga(x－2)的图象必
经过定点 (3, 0) ．
【解析】令x－2=1，得x = 3，
高一数学对数函数的图像与性质
(2) f ( x) ln(x 2) ln(x 2)
x 2 0 分析：由 x 2． x 2 0
函数的定义域关于原点 不对称，
该函数不具有奇偶性．
[说明]函数的定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的必要条件；
x 1 x (3) f ( x) log 2 2 x 2
4．求解简单的含对数的不等式．
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；
练家子,最高の一名境界也才神将三重. "朝下走！" 白重炙看着前方又有三个交叉口,沉吟了一下,选择了一条斜斜向下の通道.刚才他和夜妖娆已经短暂交流了片刻,知道毒蛇破仙将他们の二统领迫出了蜂巢山,恐怕那些不咋大的统领都吓得朝地底潜行下去,并且上面没有听到一丝战斗 の动静,想必团队の那些强者都朝下方在走,追杀那些不咋大的统领去了. "咦?有战斗！" 往地上走了近千米,白重炙精神一阵,拉着夜妖娆,快步朝下走去.却发现越走越宽阔,最后狂奔数百米,发现前方通道慢慢变得平缓起来.并且前方也开始出现微微の光亮. "喝！""嚓" 白重炙两人收 缩神力,放轻脚步,悄然靠近,接着前方微弱の光亮望了过去.同时神识悄然探了过去,一查探却是精神大震,双眼放光起来. 前方是一些大厅,里面の装饰很是豪华,明显是三名统领其中一人居住の地方,此刻大厅内无数练家子正在激烈の战斗着,破仙阁这边有十多名练家子,鬼族那边却是 有着二十多名不咋大的统领以及几名强者.并且里面还有白重炙の几个熟人,空落和柳基等人赫然在列. 白重炙查探一阵,拿着夜妖娆の银剑,却是无声无息の在通道の侧面开始挖掘起来,挖出一些不咋大的山洞,而后转头对着夜妖娆说道："走,俺们进去睡上一觉,等他们打得差不多の,俺 们再去检神晶,嘿嘿！" "睡觉?哪种…睡觉！"
对数函数的图象与性质(二)
∴ log23.4< log28.5
例题讲解
例2：比较下列各组中，两个值的大小： ：比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.31.8与 log 0.3 2.7 ） 与 ） 与
解2：考察函数 ：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴ y=log 0.3 x在区间（0，+∞）上是减函数； 在区间（ ， ）上是减函数； 在区间 ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
3 3
log0.5 6 0.5 4 < log ＞log log2 0.5 2 0.6
3 3
则 m n > log > log log1.5 1.6 1.5 1.4 log1.5 m 1.5 n >
想 一 想 ？
底数a对对数函数y=log 底数 对对数函数y=logax的 图象有什么影响？ 图象有什么影响？
例2：比较下列各组中，两个值的大小： ：比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 ） 与 ） 与 比较两个同底对数值的大小时: 比较两个同底对数值的大小时 同底对数值的大小时 观察底数是大于1还是小于 １.观察底数是大于 还是小于 （ a>1时为增函数 观察底数是大于 还是小于1（ 时为增函数
a>1 和 0<a<1 > 故对数函数的图象也应 a>1 和 0<a<1 >
分成两种类型。 分成两种类型。
点此进入几何画板
指数函数的图象按
小试牛刀
如图所示曲线是y=logax的图像，已知 的 的图像， 如图所示曲线是 的图像 已知a的 4 3 1 取值为， ， 5， 你能指出相应的C ， 取值为， 3 3， 10 ，你能指出相应的 1，C2 ，C3 ， C4 的a的值吗？ 的值吗？ 的值吗 y
对数函数的图象与性质(2)课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
题型三.对数型复合函数的奇偶性
例 3 已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且
a≠1)．
(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．
解：(2) 由(1)知函数f(x)的定义域为(－1,1)，
关于原点对称．
∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]
＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
练习 3 判断函数f(x)＝lg
1
2 +1
+
的奇偶性
解：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
1
（ 2 +1 +）
又f(－x)＝lg 2
＝lg
+1 −
（ 2+1 −）（ 2+1 +）
＝lg（
2
＝−lg（
+ 1 + ） = lg（
方的部分保留，将在x轴下方的部分作关于x轴的对称变
换得到的.
4.y＝f(x)的图象与y＝f(-x)的图象关于y轴对称，
y＝f(x)的图象与y＝-f(x)的图象关于x轴对称.
题型五.反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，
且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称
对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，
而y＝logax的值域是y＝ax的定义域.
【新知拓展】
(1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域
和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．互为反函
数的两个函数的定义域、值域的关系如下表所示：
第二章 2.2.2 第2课时 对数函数及其性质(二)
第2课时 对数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式.3.了解反函数的概念及它们的图象特点.知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴. 知识点二 反函数的概念一般地，像y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)这样的两个函数互为反函数.(1)y ＝a x 的定义域R 就是y ＝log a x 的值域；而y ＝a x 的值域(0，＋∞)就是y ＝log a x 的定义域. (2)互为反函数的两个函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.1.y ＝log 2x 2在(0，＋∞)上为增函数.( √ )2.212log y x 在(0，＋∞)上为增函数.( × )3.ln x <1的解集为(－∞，e).( × )4.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象相同.( √ )题型一 比较大小例1 (1)若a ＝log 0.23，b ＝log 0.22.5，c ＝log 0.20.3，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.c >a >b答案 B解析 因为0.3<2.5<3，且y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，所以c >b >a . (2)比较下列各组数的大小：①log 534与log 543；②1135log 2log 2与；③log 23与log 54.解 ①方法一 对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.方法二 因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.②由于1321log 21log 3=，1521log 21log 5=，又对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且0<15<13<1，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以3151l 2log 2og <.③取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练1 (1)设a ＝log 2π，12log πb =，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析 a ＝log 2π>1，12log π0b <=，c ＝π－2∈(0,1)，所以a >c >b .(2)比较下列各组值的大小： ①2233log 0.5,log 0.6；②log 1.51.6，log 1.51.4；③log 0.57，log 0.67；④log 3π，log 20.8.解 ①因为函数23log y x =是减函数，且0.5<0.6，所以2233log 0.5log 0.6>.②因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4， 所以log 1.51.6>log 1.51.4.③因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57. ④因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8. 题型二 对数不等式的解法 例2 (1)7171lo lo g (g 4)x x >- ；(2)log a (2x －5)>log a (x －1). 解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}.(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. 反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论.(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x 的单调性求解.(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.跟踪训练2 (1)求满足不等式log 3x <1的x 的取值集合； (2)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围.解 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x <log 33，即0<x <3.所以x 的取值集合为{x |0<x <3}. (2)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞).题型三 对数型复合函数的单调性命题角度1 求单调区间例3 求函数212log (1)y x =-的单调区间.解 要使212log (1)y x =-有意义，则1－x 2>0，所以x 2<1，所以－1<x <1， 因此函数的定义域为(－1,1). 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝12log t 减小.所以当x ∈(－1,0]时，212log (1)y x =-是减函数；同理可知，当x ∈[0,1)时，212log (1)y x =-是增函数.即函数212log (1)y x =-的单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间为[0,1).反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域.(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性. (3)判断出函数的增减性求出单调区间.跟踪训练3 求函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调区间.解 因为1－2x >0，所以x <12.又设u ＝1－2x ，则y ＝log 2u 是(0，＋∞)上的增函数. 又u ＝1－2x ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12时，u (x )是减函数， 所以函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例4 已知函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上是减函数，∵0<12<1，∴12log ()y g x =是减函数，而已知复合函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)上恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g (2)＝(2)2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，22＋2].反思感悟 若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 跟踪训练4 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3，＋∞) 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围 答案 B解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是减函数，那么函数y ＝log a u 就是增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3.故选B.1.不等式log 2(x －1)>－1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >23 B.{x |x >2}C.{x |x >1}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 答案 D解析 ∵log 2(x －1)>－1＝log 212，∴x －1>12，即x >32.2.函数f (x )＝－2x ＋5＋lg(2－x －1)的定义域为( )A.(－5，＋∞)B.[－5，＋∞)C.(－5,0)D.(－2,0) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>0，2－x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >－5，2－x >20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－5，x <0，∴－5<x <0，故选C.3.如果2121l log og 0x y <<，那么( )A.y <x <1B.x <y <1C.1<x <yD.1<y <x 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________. 考点 函数的反函数 题点 求函数的反函数 答案 log 2x5.函数f (x )＝ln x 2的单调减区间为____________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (－∞，0)1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象是相同的，只是为了适应习惯用x 表示自变量，y 表示因变量，把x ＝log a y 换成y ＝log a x ，y ＝log a x 才与y ＝a x 关于直线y ＝x 对称，因为点(a ，b )与点(b ，a )关于直线y ＝x 对称.一、选择题1.函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 A解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0，∴x ≥1， ∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞). 2.若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1 D.b >a >1答案 B解析 因为log a 2<0，log b 2<0， 所以0<a <1,0<b <1， 又log a 2<log b 2， 所以a >b ， 故0<b <a <1.3.函数f (x )＝12log x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.(0,1] C.(0，＋∞) D.[1，＋∞)答案 D解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞).4.函数y ＝15log (1－3x )的值域为( )A.RB.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 C解析 因为3x >0，所以－3x <0， 所以1－3x <1.又y ＝15log t (t ＝1－3x )是关于t 的减函数，所以y ＝15log t >15log 1＝0.5.已知log a 12<2，那么a 的取值范围是( )A.0<a <22B.a >22C.22<a <1 D.0<a <22或a >1 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D解析 当a >1时，由log a 12<log a a 2得a 2>12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 2得0<a 2<12，故0<a <22. 综上可知，a 的取值范围是0<a <22或a >1. 6.函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(1,2)D.(2,3) 答案 D解析 由－3＋4x －x 2>0，得x 2－4x ＋3<0，得1<x <3. 设t ＝－3＋4x －x 2，其图象的对称轴为x ＝2. ∵函数y ＝13log t 为减函数，∴要求函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间，即求函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间， ∵函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间是(2,3)，∴函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,3)，故选D.7.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，4] B.[4，＋∞ ) C.[－4,4] D.(－4,4] 答案 D解析 令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减， ∴函数g (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，且恒大于0， ∴12a ≤2且g (2)>0， ∴a ≤4且4＋a >0，∴－4<a ≤4， 故选D.8.已知指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫1a x，当x ∈(0，＋∞)时，有y >1，则关于x 的不等式log a (x －1)≤log a (6－x )的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，72 C.⎝⎛⎦⎤1，72 D.⎣⎡⎭⎫72，6答案 D解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫1a x 在x ∈(0，＋∞)时，有y >1， ∴1a>1，∴0<a <1. 于是由log a (x －1)≤log a (6－x )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥6－x ，x －1>0，6－x >0，解得72≤x <6，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪72≤x <6.故选D. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎫32，23，则a ＝________. 考点 函数的反函数 题点 反函数的图象与性质 答案2解析 因为点⎝⎛⎭⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝⎛⎭⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ， 即a 2＝2，又因为a >0，所以a ＝ 2. 10.函数y ＝log 2(x 2－1)的增区间为________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (1，＋∞)解析 由x 2－1>0得函数的定义域为{x |x <－1或x >1}，又y ＝log 2x 在定义域上单调递增，y ＝x 2－1在(1，＋∞)上单调递增，∴函数的增区间为(1，＋∞).11.若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________. 答案 {x |1<x <2} 解析 ∵f (2)>f (3)， ∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <2，x >1，∴1<x <2. 三、解答题12.已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2. (1)若f (x )>0，求x 的取值范围； (2)若x ∈(－1,3]，求f (x )的值域. 解 (1)函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2， ∵f (x )>0，即log 2(x ＋1)－2>0， ∴log 2(x ＋1)>2，∴x ＋1>4，∴x >3. 故x 的取值范围是x >3. (2)∵x ∈(－1,3]， ∴x ＋1∈(0,4]，∴log 2(x ＋1)∈(－∞，2]， ∴log 2(x ＋1)－2∈(－∞，0]， 故f (x )的值域为(－∞，0]. 13.已知f (x )＝12log (x 2－ax －a ).(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求实数a 的取值范围. 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12log (x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴12log (x 2＋x ＋1)≤123log 4＝2－log 23， ∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23].∵y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，y ＝12log x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)令u (x )＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又∵y ＝12log u (x )为单调减函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调减函数，且u (x )＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立. ⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2 因此⎩⎨⎧ a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0， 解得－1≤a ≤12. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12.14.若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________.考点 对数函数的综合问题题点 与单调性有关的对数函数综合问题答案 12解析 当a >1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝a 0＋log a 1＝1，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12(舍去)； 当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝a 0＋log a (0＋1)＝1，f (x )min ＝a ＋log a 2，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴a ＝12. 综上所述，a ＝12. 15.已知函数f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x ).(1)求函数f (x )的定义域，并证明f (x )是定义域上的奇函数；(2)用定义证明f (x )在定义域上是增函数；(3)求不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0的解集.(1)解 由对数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，1＋x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >－1， 即－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1).∵f (－x )＝lg(1－x )－lg(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )是定义域上的奇函数.(2)证明 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(1＋x 1)－lg(1－x 1)－lg(1＋x 2)＋lg(1－x 2)＝lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴0<1＋x 1<1＋x 2，0<1－x 2<1－x 1，于是0<1＋x 11＋x 2<1,0<1－x 21－x 1<1， 则0<(1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<1，∴lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )是(－1,1)上的增函数.(3)解 ∵f (x )在(－1,1)上是增函数且为奇函数，∴不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0可转化为f (2x －5)<－f (2－x )＝f (x －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2x －5<1，－1<x －2<1，2x －5<x －2，解得2<x <3.∴不等式的解集为{x |2<x <3}.。
对数函数的图像与性质(2)
典例精讲
类型一 对数函数图像的应用 例y1.由下面对数函数的图像判断底数a, b, c, d的大小
ogc x logd x
1
loga x logb x
o C d1 a
b
x
0< c< d < 1< a < b
当堂检测
1.比较a、b、c、d、1的大小。
y
y=log a x
01
y=log b x
x
y=log c x
x
同，真数相 同时，利用
图象判断大
小.
当堂检测
4.比较大小：log7 12和log8 12
在同一坐标系中作出 函数y＝log7x与y＝log8x的 图像，由底数变化对图像 位置的影响知：
log712>log812.
例5.比较下列各组中两个值的大小: （2）log 67 , log 7 6 ; （3）log 3π , log 2 0.8 .
4x+8>0 2x>0 4x+8>2x
x > -2
X>0 x> -4
∴ x>0
解对数不等式时 , 注意真数大于零.
例3
解关于a的不等式
log a
2 3
1
解：当0
a
1时, log a
2 3
log a
a
2 3
a
0 a 2 3
当a
1时, log
a
2 3
log
a
a
2 3
a
对数函数的图象与性质（二）
y
o
1
4.4.2对数函数的图象和性质(2)课件高一上学期数学人教A版
4. (2023·上海市实验学校高一期末)若函数y＝lg[x2＋(6－k)x＋1]的定 义域为R，则实数k的取值范围是________.
【解析】 因为函数y＝lg[x2＋(6－k)x＋1]的定义域为R，所以x2＋(6－ k)x＋1>0在R上恒成立，所以Δ＝(6－k)2－4<0，解得4<k<8.故实数k的取值范 围为(4,8)．
【解析】 (1) 函数 f(x)为奇函数，理由如下： 对于函数 f(x)，有22＋ －xx>>00， ， 解得－2<x<2， 则函数 f(x)的定义域为(－2,2)， f(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－f(x)， 故函数 f(x)为奇函数．
12345
内容索引
(2) 任取 x1，x2∈(－2,2)且 x1<x2，则 2－x1>0,2＋x1>0,2－x2>0,2＋x2>0，
【答案】 b<c<a
内容索引
(2) 已知logm7<logn7<0，则m,n,0,1之间的大小关系是____________.
【解析】 根据题意，作出函数y＝logmx，y＝lognx的图象如图所示， 由图象可知0<n<m<1.
【答案】 0<n<m<1
内容索引
函 数 y ＝ logmx 与 y ＝ lognx 中 m ， n 的 大 小 与 图 象 的 位 置 关 系 ． 当 0<n<m<1时，如图1；当1<n<m时，如图2；当0<m<1<n时，如图3.
∈(－∞，－3) 时，y＝x2＋2x－3 也是减函数，当 x∈(1，＋∞) 时，y＝ x2＋2x－3 是增函数，所以 f(x) 的单调增区间是(－∞，－3)．
4.4.2对数函数的图像与性质课件(人教版)
2.本节课用到哪些数学思想方法
（1）数形结合：由解析式到图象(由数到形，以形读数）
图象到性质（由形到数，以数观形)
（2）分类整合：底数的两个范围对函数性质的影响
（3）类比思想：通过研究指数函数方法类比得出
对数函数的性质
六、作业布置
1.函数y = log2x, y=log5x, y = lgx的图象如图所示,
a
二、新知探究
（二）探究对数函数的性质
4.视察底数a的变化对数函数的影响，总结一般特征
（1）请同学们视察这些函数图像的位置、公共点、
变化趋势，它们有哪些共性？有哪些不同？
共同点：1. 这些函数图像都在由右侧,并且都过(1,0）.
2.这些函数定义域均为(0, +∞)、值域均为R.
差异点：1.当a>1时，图像从左至右逐步上升,并且
而1.8 < 2.7，∴0.3 1.8 > 0.3 2.7.
三、例题精讲
例1：比较下列各题中两个值的大小
(1)log23.4，log28.5;
(2)log0.31.8，log0.32.7;
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
(4)log3.55，log4.55．
解：(3)∵ =
∴当 > 1时， = 在定义域上单调递增
而5.1 < 5.9,∴ 5.1 < 5.9 .
当0 < < 1时， = 在定义域上单调递减
而5.1 < 5.9,∴ 5.1 > 5.9 .
三、例题精讲
例1：比较下列各题中两个值的大小
(1)log23.4，log28.5;
对数函数的图象和性质(二)
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)利用单调性解不等式. (2)求简单对数型复合函数的单调性及值域问题. 2.方法归纳：换元法. 3.常见误区：求对数型复合函数的单调性易忽视定义域.
本课结束
计算出二次函数的最值.
3 随堂演练
PART THREE
1.不等式log2(x－1)>－1的解集是
2
A.xx>3
C.{x|x>1}
B.{x|x>2}
√ 3
D.xx>2
解析 ∵log2(x－1)>－1＝log212，
∴x－1>12，即
3 x>2.
12345
2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于
③在(1，＋∞)上单调递减；
④在(0，＋∞)上单调递减.
3.函数
y＝13x
y log1 x
的反函数为_________3____.
4.函数f(x)＝logax在[2,4]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为____2____.
解析 依题意得lao>g0a且2＋a≠log1a，4＝6， 所以3loga2＝6，即loga2＝2， 所以 a2＝2，所以 a＝ 2(舍－ 2).
解 (1)当a>1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数， 所以loga4－loga2＝1， 即loga2＝1，所以a＝2. (2)当0<a<1时，函数y＝logax在[2,4]上是减函数， 所以loga2－loga4＝1， 即 loga12＝1，所以 a＝12. 由(1)(2)知 a＝2 或12.
预习小测 自我检验
对数函数图像及性质
二、对数函数的图象
用描点法画出对数函数
y = log2 x和y = log 1 x 的图象。
2
作图步骤: ①列表,
②描点, ③连线。
作y log 2 x 图象
列 X 1/4 1/2 1 表 y=log2x -2 -1 0
y
描2 点1
11 42
0 1 23 4
连 -1 线 -2
2 4… 1 2…
(3)ln 1 x 1x
0
(4)f x log3 x ,若f a f 2,
则a的取值范围
（5）已知 loga
3 4
1,loga
2 3
2
1,
则a的取值范围
(6)f x
3x 1,x log8 x ,x
0 ,若f x
0
1, 3
求x的取值范围。
(7)若函数y
f
x
的定义域为12
，2，求函数
x
在同一坐标系y 画lo出g 1 x
2
x … 1/4 1/2
列 表
y log 2
y log 1
x…
x…
2
-2 2
-1 1
y
描
2
点
1
11
42
0 1 23 4
连
-1
线
-2
图像
1 24 …
0 1 2… 0 -1 -2 …
x 这两个函 数的图象 有什么关 系呢？
关于x轴对称
探索发现:认真观察 y
函数y=log2x 的图象填写下表
高一数学必修1课件
温故而知新
对数： 一般地，如果a x N a 0, a 1
则数x 叫做a以 为底N的对数，记作
对数函数的图象和性质(二)
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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 判断函数的奇偶性
1.首先求函数的定义域，其定义域必须关于原点对称． 2.写出f(-x)看与f(x)之间的关系 3.得出结论
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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
【对点练习】❸ 函数 f(x)＝lg( x2＋11＋x)是( A )
(2)用定义证明形如y＝loga f(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对 应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值 之间的大小关系．
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3．(2019·大连市高一期末测试)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区
间是( A )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(3，＋∞)
[解析] 令x2－2x－3>0，∴(x－3)(x＋1)>0，
∴x<－1或x>3.∴f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
令u＝x2－2x－3，
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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] (1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时， 常用方法有两种：
①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得 结果．
②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方 程(组)，解之得结果，但此时需检验．
数学(必修 · 第一册 · RJA)
关键能力·攻重难
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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
对数函数的图像和性质(2) 课件高一上学期数学人教A版(完整版)2
a，b，c，d的大小关系为:
．
【答案】b<a<1<d<c
y =1
底数越大，函数在第一象限的图 象越靠右边.
y logc x y logb x
跟踪练习
A
新知应用 定点问题
B A
巩固练习
B
新知应用
对数型复合函数的单调性（f(x)=logag(x)型）
解：
定义域
g(x)单调性 a
f(x)单调性
度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.
解: (1)根据对数的运算性质, 有
pH
lg[H ]
lg[H ]1
1
lg
[H ]
在(0,+∞)上,
随着[H+]的增大,
1 [H
]
减小，
即 lg 1 也减小，pH减小.
[H ]
∴随着[H+]的增大，pH减小.
0 x2 4 4, y log 1 (x2 4) log 1 4 2,值域为[2,).
2
2
新知应用
求对数型函数的值域
f (x) log3 x2 log3 x3 2, x [1,9]
解 : 令t log 3 x, x [1,9],t log 3 x [0,2] 则化为g(t) t 2 3t 2, t [0,2]的值域.
y log 1 x
2
(1)定义域和值域互换；
(2)一个函数中的自变量x和另 一个函数中函数y的地位相当； (3)单调性情况相同； (4)两个函数图象关于直线y=x 对称。
新知探究
问题 对数函数图象的位置与底数有何关系？
对数函数图形与性质(二)课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
&g 1
∆= 4 − 4 ≥ 0
综上所述，实数a的取值范围 0，1
值域为全体实数，真数
要取遍所有正实数
例3.求函数f（x）＝log2（4x）•log2（2x）， ∈
1
4
, 4 的值域
解： f（x）＝ log2（4x）•log2（2x），
（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．
解(1)因为f（x）的定义域为R
所以ax2+2x+1>0对任意的 ∈ 恒成立
若a=0,则2x+1>0显然对任意的 ∈ 不恒成立，不合题意
>0
若 ≠ 0, 则
解得a>1
∆= 4 − 4 < 0
2 = 4 − 2 + 3 ≥ 0 从两个方面考虑
解之得： −4，4
（1）根据a与1的关系确定 在 ， 上的单调性
（2） > 在 ∈ ， 时恒成立，只需() >0即可
例4：若函数y = 2 (2-ax)在 ∈[0,1]上是减函数，则的取值范围是_____
2
+ 9 > 0可知函数的定义域为R
设 = 3 u, u= 2 -2x+10
∵ u= 2 -2x+10在 −∞, 1 单调递减，在（1，+∞)单调递增
又 = 3 u单调递增
∴f（x）＝log3（x2﹣2x+10）在 −∞, 1 单调递减，
在（1，+∞)单调递增
[归纳提升]
变式 .已知函数f（x）＝log3（x2﹣2x−10）
课件5：4.4.2 对数函数的图象和性质（二）
题型四 与对数函数有关的值域问题 典例 4 求下列函数的值域： (1)y＝log2(|x|＋4)； (2)f(x)＝log2(－x2－4x＋12)．
[解] (1)因为|x|＋4≥4，所以 log2(|x|＋4)≥log24＝2， 所以函数的值域为[2，＋∞)． (2)因为－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16， 所以 0<－x2－4x＋12≤16， 故 log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4， 函数的值域为(－∞，4]．
(2)解法一：因为 0>log0.23>log0.24，所以log10.23<log10.24， 即 log30.2<log40.2. 解法二：如图所示，
由图可知 log40.2>log30.2.
(3)因为函数 y＝log3x 是增函数，且 π>3， 所以 log3π>log33＝1. 因为函数 y＝logπx 是增函数，且 π>3， 所以 logπ3<logππ＝1. 所以 log3π>logπ3.
2．对称关系 (1)函数 y＝ 与 y＝logax 的图象关于___x_轴_____对称． (2)函数 y＝ax 与 y＝logax 的图象关于直线__y＝__x___对称． 3．反函数 指数函数___y_＝__a_x(_a_>_0_，__且__a_≠__1)______和对数函数
____y_＝_l_o_g_ax_(_a_>_0，__且__a_≠__1_)_____互为反函数．
4.4.2 对数函数的图象和性质（二）
学习目标 1．掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的 判定方法． 2．会解简单的对数不等式． 3．掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法． 4．了解反函数的概念及它们的图象特点．
高中数学-对数函数的图象和性质(二)
对数函数的图象和性质(二)高中数学函数 1.进一步掌握对数函数的图象和性质.2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题.3.了解反函数的概念和图象特点．一、与对数函数有关的定义域问题例1 求下列函数的定义域：(1)y ＝；(2)y ＝；(3)y ＝.lg (2－x )1log3(3x －2)log4(4－x )x －3解 (1)要使函数式有意义，则lg(2－x )≥0，∴Error!∴x ≤1.故函数的定义域为(－∞，1]．(2)要使函数式有意义，则log 3(3x －2)≠0，∴Error!∴x >，且x ≠1.23故函数的定义域为∪(1，＋∞)．(23，1)(3)要使函数式有意义，则Error!解得x <4，且x ≠3.故函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．反思感悟 (1)对数函数的真数大于0.(2)求定义域的常用方法是解不等式(组)，有时在解不等式时，还要考虑函数的单调性．(3)有时求定义域比较特殊，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，每去掉一层对数符号都要考虑函数的单调性，最后求出x 的取值范围．跟踪训练1 求下列函数的定义域：(1)y ＝log (2x ＋1)；(2)y ＝.3x ＋22x ＋x 2lg (2x －1)解 (1)要使函数式有意义，则Error!解得x >－且x ≠0，12∴函数的定义域为∪(0，＋∞)．(－12，0)(2)要使函数式有意义，则Error!即Error!解得x >，且x ≠1.12∴函数的定义域为∪(1，＋∞)．(12，1)二、与对数函数有关的综合性问题例2 已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2.(1)若f (x )>0，求x 的取值范围；(2)若x ∈(－1,3]，求f (x )的值域．解 (1)函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2，∵f (x )>0，即log 2(x ＋1)－2>0，∴log 2(x ＋1)>2，∴x ＋1>4，∴x >3.∴x 的取值范围是(3，＋∞)．(2)∵x ∈(－1,3]，∴x ＋1∈(0,4]，∴log 2(x ＋1)∈(－∞，2]，∴log 2(x ＋1)－2∈(－∞，0]．∴f (x )的值域为(－∞，0]．反思感悟 (1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解；(2)判断函数的奇偶性，一定要先求函数的定义域，再研究f (x )与f (－x )的关系．跟踪训练2 函数f (x )＝log a (a >0，且a ≠1)的图象( )1＋x1－x A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于y 轴对称答案 A解析 因为函数f (x )的定义域为(－1,1)，f (－x )＝log a ＝log a －1＝－loga＝－f (x )，1－x1＋x (1＋x 1－x )1＋x1－x 所以函数f (x )为奇函数，所以函数图象关于原点对称．三、反函数问题 在同一坐标系下，画出函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象，观察两函数图象的关系．提示 知识梳理反函数：指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换．注意点：(1)同底的指数函数与对数函数互为反函数；(2)互为反函数的两个函数图象关于y ＝x 对称．(高中阶段只要求掌握这一类反函数)例3 若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x 的反函数，则f (f (2))的值为( )A ．16 B ．0 C ．1 D ．2答案 B解析 函数y ＝2x 的反函数是y ＝log 2x ，即f (x )＝log 2x .∴f (f (2))＝f (log 22)＝f (1)＝log 21＝0.反思感悟 互为反函数的函数的性质(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数．(2)互为反函数的定义域与值域互换．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．跟踪训练3 函数y ＝log 3x 的反函数的定义域为( )(13≤x ≤81)A ．(0，＋∞) B.(13，81)C ．(1,4) D ．[－1,4]答案 D解析 由y ＝log 3x ，可知y ∈[－1,4]．(13≤x ≤81)所以反函数的定义域为x ∈[－1,4]．1．知识清单：(1)利用对数函数的单调性求函数的定义域．(2)求简单对数的值域、最值、奇偶性问题．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：求对数型函数的定义域时，有时需求几部分的交集．1．函数f (x )＝的定义域为( )1log2x －1A ．(0,2) B ．(0,2]C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 C解析 若函数f (x )有意义，则Error!即Error!解得x >2.∴函数f (x )的定义域为(2，＋∞)．2．函数y ＝x ＋log 2x (x ≥1)的值域为( )A ．(1，＋∞) B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 C3．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A. B. C ．2 D ．41412答案 B解析 由题意得f (x )在[0,1]上单调递增或单调递减，∴f (x )的最大值或最小值在端点处取得，即f (0)＋f (1)＝a ，即1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＝－1，解得a ＝.124．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点，则(32，23)a ＝________.答案 2解析 由题意得f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1，x >0)，因为f (x )的图象过点，所以loga＝，所以＝，所以a 2＝2，所以a ＝(负值(32，23)322323a 322舍去)．课时对点练1．已知函数f (x )＝log 2x ，若函数g (x )是f (x )的反函数，则f (g (2))等于( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ∵g (x )是f (x )的反函数，∴g (x )＝2x ，∴g (2)＝22＝4，则f (g (2))＝f (4)＝log 24＝2.2．若点(a ，b )在函数y ＝lg x 的图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A. B ．(10a ,1－b )(1a ，b )C. D ．(a 2,2b )(10a ，b ＋1)答案 D解析 因为点(a ，b )在函数y ＝lg x 的图象上，所以b ＝lg a ．当x ＝时，有y ＝lg ＝－lg 1a 1a a ＝－b ，所以点不在此函数的图象上，A 不正确；当x ＝10a 时，有y ＝lg(10a )＝1＋lg(1a ，b )a ＝1＋b ，所以点(10a ,1－b )不在此函数的图象上，B 不正确；当x ＝时，有y ＝lg 10a ＝1－lga ＝1－b ，所以点不在此函数的图象上，C 不正确；当x ＝a 2时，有10a (10a ，b ＋1)y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在此函数的图象上，D 正确．3．下列三个数：a ＝ln ，b ＝－log 3， 大小顺序正确的是( )2332132,3c ⎛⎫⎪⎝⎭＝A ．c >a >b B ．c >b >a C ．b >a >c D ．a >b >c答案 B解析 ∵0＝log 31>b ＝－log 3＝log 3>a ＝ln ，∴c >b >a .322323132>0,3c ⎛⎫⎪⎝⎭＝4．设f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则当x <0时，f (x )的解析式为( )A ．－log 2x B ．log 2(－x )C ．－log 2(－x ) D ．log x 2答案 C解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝log 2(－x )．又因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )，所以f (x )＝－log 2(－x )．5．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)A ．2020年 B ．2021年C ．2022年 D ．2023年答案 C解析 设经过n 年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元，则150×(1＋8%)n ≥200，则n ≥≈≈3.8，取n ＝4，则经过4年后是2022年．2lg 2－lg 3lg 1.080.602－0.4770.0336．(多选)任取x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，若f>恒成立，则f (x )称为(x 1＋x 22)f (x 1)＋f (x 2)2[a ，b ]上的凸函数，下列函数中在其定义域上为凸函数的是( )A ．y ＝2x B ．y ＝log 2x C ．y ＝－x 2 D ．12y x=答案 BCD7．函数f (x )＝的定义域为________．4－x 2ln x 答案 (0,1)∪(1,2]解析 由Error!得0<x ≤2，且x ≠1.∴函数f (x )＝的定义域为(0,1)∪(1,2]．4－x 2ln x 8．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ,2a ]上的最大值与最小值之差为，则a ＝________.12答案 4解析 ∵a >1，∴f (x )＝log a x 在[a ,2a ]上单调递增，∴log a (2a )－log a a ＝，即log a 2＝，∴a ＝4.121212=2,a 9．已知函数f (x )＝log a (10＋x )－log a (10－x )(a >0，且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (x )>0，求x 的取值范围．解 (1)函数f (x )是奇函数．理由如下：要使函数有意义，则Error!解得－10<x <10，即函数的定义域为(－10,10)．函数的定义域关于原点对称．则f (－x )＝log a (10－x )－log a (10＋x )＝－[log a (10＋x )－log a (10－x )]＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．(2)若f (x )>0，则f (x )＝log a (10＋x )－log a (10－x )>0，即log a (10＋x )>log a (10－x )，若a >1，则Error!解得0<x <10，若0<a <1，则Error!解得－10<x <0，综上，当a >1时，x 的取值范围为(0,10)，当0<a <1时，x 的取值范围为(－10,0)．10．已知函数f (x )＝log 2(1＋x 2)．求证：(1)函数f (x )是偶函数；(2)函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．证明 (1)函数f (x )的定义域是R ，f (－x )＝log 2[1＋(－x )2]＝log 2(1＋x 2)＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(2)设x 1，x 2为区间(0，＋∞)内的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(1＋x )－log 2(1＋x )＝log 2.2121＋x 211＋x 2由于0<x 1<x 2，则0<x <x ，0<1＋x <1＋x ，212212所以0<<1，1＋x 211＋x 2所以log 2<0，1＋x 211＋x 2所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．11．已知函数f (x )＝x ∈，则f (x )的值域是( )12log ,x [14，22]A. B. C. [0,2] D.[12，2][－12，2][0，12]答案 A解析 因为函数f (x )＝在上单调递减，所以函数f (x )的最小值为f ＝12log x [14，22](22)函数的最大值为f ＝所以函数的值域为.121log ,2 (14)121log =2,4[12，2]12．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减答案 D解析 已知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数；当x >0时，f (x )＝lg x 在区间(0，＋∞)上单调递增，又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减．13．函数f (x )＝lg(＋x )的奇偶性为( )x 2＋1A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案 A解析 易知该函数的定义域为R ，又f (x )＋f (－x )＝lg(＋x )＋lg(－x )＝lg[(x 2＋1x 2＋1＋x )·(－x )]＝lg 1＝0，∴f (x )＝－f (－x )，x 2＋1x 2＋1∴f (x )为奇函数．14.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y ＝log a x (a >1)的图象上，则实数a 的值为________．答案 2解析 设B (x ,2log a x )，∵BC 平行于x 轴，∴C (x ′，2log a x )，即log a x ′＝2log a x ，∴x ′＝x 2，∴正方形ABCD 的边长＝|BC |＝x 2－x ＝2，解得x ＝2.由已知，得AB 垂直于x 轴，∴A (x ,3log a x )，正方形ABCD 边长＝|AB |＝3log a x －2log a x ＝log a x ＝2，即log a 2＝2，∴a ＝.215．已知f (x )＝|log 3x |，若f (a )>f (2)，则a 的取值范围为________________．答案 ∪(2，＋∞)(0，12)解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，由于f (2)＝f ，故结合图象可知0<a <或a >2.(12)1216．已知函数f (x )＝的图象关于原点对称，其中a 为常数．121log 1axx --(1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋恒成立，求实数m 的取值范围．()12log 1x m <-解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称，∴函数f (x )的定义域关于原点对称，∵>0，1－ax x －1∴(x －1)(1－ax )>0，令(x －1)(1－ax )＝0，得x 1＝1，x 2＝，∴＝－1，a ＝－1，1a 1a 经验证，a ＝－1满足题意．(2)∵()()()()111122221log 1log log 1log 11xf x x x x x +-＋－＝＋－＝＋，∴当x >1时，()12log 1+<1,x 又当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋恒成立，()12log 1<x m -∴m ≥－1.即实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．。
【教案】对数函数的图像和性质 教学设计(2)-人教A版高中数学必修第一册
4.4.2 对数函数的图像和性质（人教A 版）本节课在已学对数函数的概念，接着研究对数函数的图像和性质，从而深化学生对对数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。
另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了对数函数的知识，例如溶液酸碱度的测量，所以学习这一节具有很大的现实价值。
课程目标1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.数学学科素养1.数学抽象：对数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式；5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.重点：对数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入请学生用三点画图法画212log ,log y x y x ==图像，观察两个函数图像猜测对数函数有哪些性质？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、 预习课本，引入新课阅读课本132-133页，思考并完成以下问题1. 对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？2. 反函数的概念是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．对数函数的图象及性质a的范围0＜a＜1a＞1图象a的范围0＜a＜1a＞1性质定义域(0，＋∞)值域R定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数[点睛]底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．2．反函数指数函数y＝a x和对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)互为反函数．四、典例分析、举一反三题型一对数函数的图象例1函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示.(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出y=lo g12x,y=lo g15x,y=lo g110x的图象;(3)从(2)的图中你发现了什么?【答案】见解析【解析】(1)①对应函数y=lg x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出y=lo g12x,y=lo g15x,y=lo g110x的图象如图所示.(3)从(2)的图中可以发现:y=lg x与y=lo g110x,y=log5x与y=lo g15x,y=log2x与y=lo g12x的图象分别关于x轴对称.解题技巧：（对数函数图象的变化规律）1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.2.牢记特殊点:对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象经过(1,0),(a,1),(1a,-1).跟踪训练一1、作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.【答案】其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).【解析】先画出函数y=lg x的图象(如图①).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).图①图②图③最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).题型二 比较对数值的大小例2 比较下列各组数中两个值的大小：(1)log 23.4，log 28.5；(2)log 0.31.8，log 0.32.7；(3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0，且a ≠1)．【答案】(1) log 23.4＜log 28.5 (2) log 0.31.8＞log 0.32.7 （3）当a ＞1时，log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，log a 5.1＞log a 5.9.【解析】(1)考察对数函数y ＝log 2x ，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log 23.4＜log 28.5.(2)考察对数函数y ＝log 0.3x ，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log 0.31.8＞log 0.32.7.(3)当a ＞1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，于是log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，于是log a 5.1＞log a 5.9.解题技巧：（比较对数值大小时常用的4种方法）(1)同底的利用对数函数的单调性．(2) 同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3) 底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 跟踪训练二1．比较下列各题中两个值的大小：(1)lg 6，lg 8；(2)log 0.56，log 0.54； (3)log 132与log 152;(4)log 23与log 54.【答案】（1）lg 6＜lg 8（2）log 0.56＜log 0.54（3）log 132<log 152（4）log 23＞log 54.【解析】(1)因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8.(2)因为函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log 0.56＜log 0.54.(3)由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215. 又∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13＞15，∴0＞log 2 13＞log 2 15，∴1log 213＜1log 215. ∴log 132<log 152.(4)取中间值1，∵log 23＞log 22＝1＝log 55＞log 54，∴log 23＞log 54.题型三 比较对数值的大小例3 (1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围； (2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．【答案】(1)⎝⎛⎭⎫12，1； (2) (1，＋∞).【解析】(1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a . ①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解． ②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)．解题技巧：（常见对数不等式的2种解法）(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解. 跟踪训练三1．已知log a (3a －1)恒为正，求a 的取值范围．【答案】⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞)【解析】由题意知log a (3a －1)＞0＝log a 1.当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＞1，3a －1＞0，解得a ＞23，∴a ＞1； 当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＜1，3a －1＞0，解得13＜a ＜23.∴13＜a ＜23. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞).题型四 有关对数型函数的值域与最值问题例4 求下列函数的值域．(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．【答案】(1) [2，＋∞)； (2)[－2，＋∞)．【解析】(1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R.因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4.因为u ＞0，所以0＜u ≤4.又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，所以log 12u ≥log 124＝－2，所以y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)．解题技巧：（对数型函数的值域与最值）(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．跟踪训练四1．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值．【答案】当x ＝3时，y 取得最大值，为13.【解析】y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.∵f (x )的定义域为[1,9]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9， ∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13.∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本140页习题4.4本节通过运用对数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.。
对数函数图像及性质PPT课件
有什么共同点和不同点?
y=logax a > 1
13
图 形
补充 性质 一 补充 性质 二
y
y=log 2 x
y=log 10 x
01
x
y=log 0.1 x
y=log 0.5 x
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴 对称。
a>1时, 底数越大,其图象越接近x轴。 0<a<1时, 底数越小,其图象越接近x轴。
活动
你能画出下列函数图像吗？
（1）y log2 x y log4 x y log5 x
（1）y log 1 x y log 1 x y log 1 x
2
4
5
观察底数不同时，对数函数 图像有什么共同点和不同点?
y=logax a > 1
10
ylo gax(a0 ,且 a 1 )图象与性质
解法2：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
小结 16
比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
8.5 x
∴函数在区间（0，+∞） 上是增函数；
∵3.4<8.5
∴ log23.4< log28.5
∴ log23.4< log28.5 15
比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
知识点2 对数型复合函数的值域 对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如
下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)解f(x)>0，求出函数的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解．
第四章 指数函数与对数函数
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3．(2019·大连市高一期末测试)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区
间是( A )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(3，＋∞)
[解析] 令x2－2x－3>0，∴(x－3)(x＋1)>0，
∴x<－1或x>3.∴f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
C．(－21，21)
D．(0，12)
[解析] 因为函数 y＝log0.3x 在(0，＋∞)上单调递减，所以原不等式
3x>0，
等价于x＋1>0， 3x>x＋1，
解得
1 x>2.
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第四章 指数函数与对数函数
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5．(2019·河北沧州市高一期中测试)已知 x 满足(log1 x)2－log1 x－
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第四章 指数函数与对数函数
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∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数． 若 x<－31，∵u＝3x2－2x－1 为减函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数． 当 0<a<1 时，y＝logau 为减函数，若 x>1，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1) 为减函数， 若 x<－31，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
性之间的关系(见下表).
函数 y＝f(μ) μ＝g(x)
y＝f[g(x)]
增函数 增函数 增函数
单调性 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数
减函数 减函数 增函数
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第四章 指数函数与对数函数
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【对点练习】❶ (2020·河北沧州市高一期末测试)函数 f(x)＝log1 (x2
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关键能力·攻重难
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第四章 指数函数与对数函数
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题型探究
题型一 对数型复合函数的单调性
例 1 讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性． [分析] 求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调 区间必须是定义域的子集． [解析] 由 3x2－2x－1>0，得函数的定义域为{x|x>1 或 x<－13}． 当 a>1 时，若 x>1，∵y＝logau 为增函数，又 u＝3x2－2x－1 为增函 数，
2
2
6≤0，求 f(x)＝(1＋log2x)log24x的最大值与最小值及相应 x 的值．
[解析] 由(log1 x)2－log1 x－6≤0，得－2≤log1 x≤3，
2
2
2
∴18≤x≤4.
f(x)＝(1＋log2x)(log2x－2)， 令 t＝log2x∈[－3,2]，
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2．已知函数 f(x)＝2log1 x 的值域为[－1,1]，则函数 f(x)的定义域是
2
(A)
A．
22，
2
C．12，2
B．[－1,1]
D．－∞，
22∪[
2，＋∞)
[解析]
由－1≤2log1
2
x≤1，得－1≤－2log2x≤1.
解得 22≤x≤ 2.
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第四章 指数函数与对数函数
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基础自测
1．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( C )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(0,1)
D．(1，＋∞)
[解析] 由对数函数的单调知识易知0<a<1.
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第四章 指数函数与对数函数
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第四章 指数函数与对数函数
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[归纳提升] 1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆 分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复 合函数的单调性．
2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调
基础知识
知识点1 对数型复合函数的单调性 复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单
调性相同，则其复合函数f[g(x)]为__增__函__数____；若f(x)与g(x)的单调性相 反，则其复合函数f[g(x)]为___减__函__数___.
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝ logau 与 u ＝ f(x) 两 个 简 单 函 数 复 合 而 成 的 ， 由 复 合 函 数 单 调 性 “ 同 增 异 减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑 函数的定义域．
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∴y＝(t＋1)(t－2)＝t2－t－2＝(t－12)2－49， ∴当 t＝12，即 log2x＝12，x＝ 2时，函数取最小值－49；当 t＝－3， 即 log2x＝－3，x＝18时，函数的最大值(－3－12)2－94＝10.
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第四章 指数函Байду номын сангаас与对数函数
令u＝x2－2x－3，
函数f(x)的单调递减区间即为u＝x2－2x－3在(－∞，－1)∪(3，＋∞)
上的递减区间．故选A．
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第四章 指数函数与对数函数
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4．已知 log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则 x 的取值范围为( A )
A．(12，＋∞)
B．(－∞，21)
第四章
指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质
第2课时 对数函数的图象和性质(二)
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第四章 指数函数与对数函数
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必备知识·探新知
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