巧用圆锥曲线定义解题教学设计

巧用圆锥曲线定义解题(教学设计)

南浔中学沈爱华

一、教材分析：圆锥曲线作为高中数学的一个重要内容，是历年高考的必考点，同时它又是高中数学各骨干知识的交汇点，与函数、平面向量、方程、不等式、三角函数等均有紧密联系。圆锥曲线的定义是根本，是相应标准方程和几何性质的“源”，不能正确的理解定义，对圆锥曲线方程和几何性质就不能深入。而且圆锥曲线的定义反映着它特有的几何特征，这些定义在解题中起着不可忽视的作用。对圆锥曲线的定义的教学我们往往注重它的理解而忽略它的运用，恰当地运用定义解题，有助于使问题得到更清晰、简洁的解决。同时理解圆锥曲线的定义，是学生掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质的基础；熟练运用定义解题，可以培养学生运用方程研究曲线几何性质的能力。

二、学生情况分析：作为普通中学的高三学生，对圆锥曲线的定义已有一定的理解，但在运用圆锥曲线定义解题的方法、题型没有掌握好，圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象。恰当地利用定义解题, 许多时候能以简驭繁。因此,在高三数学复习课的教学过程中，我认为有必要再一次回到定义,熟悉“巧用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略。

三、设计思想：由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我首先复习圆锥曲线的定义，使学生进一步理解定义；然后有意识地引导学生运用定义解题来分类研究学习，利用一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,以使学生提高运用知识解决问题的能力。

四、教学目标：1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、渐近线等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。

2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高学生分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法.

3．借助导学案辅助教学,激发学生学习数学的兴趣。在课堂教学氛围中,努力培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神.

五、教学重点：圆锥曲线定义的理解，运用该定义解题的方法与题型的掌握。

六、教学方法：讲授法、讲练结合

七、教学过程：

（一）、复习圆锥曲线的定义

椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，

两焦点的距离叫做焦距。

双曲线定义：平面内与两个定点距离的差的绝对值是定值的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

设计意图：通过让学生复习圆锥曲线的定义，熟悉定义，尤其注意定义中三类曲线的相同点和不同之处，为接下来进一步利用定义解题打下基础。

（二）、例题讲解

类型一、利用定义求轨迹

例1．动点(,)P x y 满足下列方程，请说出其表示的轨迹

6；

2；

1x =+。

设计意图：通过直接给出式子，了解学生对定义的掌握程度。

分析：对于第（1）、（2）小题，大部分学生是利用两点间的距离公式结合定义直接看出其轨迹方程，但是对于第（2）题，要引导学生注意双曲线定义的绝对值，从而考虑到是双曲线的一支，第（3）小题可能大部分学生是利用化简得到的，最后让学生反过来再看通过两点间距离和绝对值的几何意义，结合抛物线的性质，可直接得到。

解析：可看作点(,)x y 与两定点(1,0)、(1,0)-的距离之和为6，

又62>，所以点(,)x y 的轨迹是以(1,0)、(1,0)-为焦点、长轴长为6的椭圆。

(,)x y 与两定点(0,2)、(0,2)-的距离之差为2，又24<，所以点(,)x y 的轨迹是以(0,2)、(0,2)-为焦点、实轴长为2的双曲线的下支。

1x =+可看作点(,)x y 与定点(1,0)距离等于到直线1x =-的距离。所以点(,)x y 的轨迹是以(1,0)为焦点，以1x =-为准线的抛物线。

变式1、已知定点(0,7)A ，(0,7)B -，(12,2)C ，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，则另一焦点F 的轨迹方程是 。

设计意图：本题通过定义求轨迹的一个提升，进一步加强学生对椭圆定义与双曲线定义的理解、掌握。

分析：此题首先要根据椭圆的定义，再转化为双曲线的定义，最后对比双曲线的定义，得到是双曲线的一支。

解析：由题意，2AC AF a +=,2BC BF a +=,AC AF BC BF ∴+=+，又13,15A C B C ==， 2AF BF ∴-=，从而可知点F 是以A B 、为为焦点、实轴长为2的双曲线的下支，即1a =，7c =，248b ∴=，

∴另一焦点F 的轨迹方程是2

2

1(1)48x y y -=≤-。 类型二、利用定义求最值

例 2. 12F F 、分别是椭圆22

143

x y +=的左、右两焦点，点P 在椭圆上运动，定点M ，求1PM PF +的最大值。

设计意图：本题结合数形结合思想，考查椭圆的定义的活学活用。

分析：此题是利用椭圆定义求最值的典型例题，1F 是左焦点，通过椭圆定义，转化为到右焦点2F 的距

离，再利用三角形两边之差小于第三边得到。 解析：122PM PF PM a PF +=+-22a MF ≤+437=+＝，

()1max 7PM PF ∴+= ，当且仅当三点2M F P 、、共线时取等号。

变式1、P 为24y x =上一点，记P 到准线的距离为1d ，到

2120x y -+=的距离为2d ，求12d d +的最小值；

设计意图：本题主要考查了抛物线的简单应用．考查了学生对抛物线定义的理解和应用．

分析：此题是利用抛物线定义求最值，区别于椭圆与双曲线，对于P 到准线的距离为1d ，

通过定义转化为P 到焦点的距离，过F 向直线引垂线，此时12d d +最

小，进而利用点到直线的距离公式，即得最小值。 解析：122F d d d PF d +=+≥， F 为抛物线的焦点，F d 为点F 到

直线212

0x y ++=的距离，即为所求最小值。又(1,0)F ，

F d ∴==