时域离散系统的频域分析

X
16
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zplane(B, A)绘制出系统函数H(z)的零极点图。
其中B和A为系统函数H(z) = B(z)/A(z)的分子和
分母多项式系数向量。假设系统函数H(z)用下
式表示:
H(z)
X
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输入信号x(n)=cos(ωn)
输出：y(n) | H (ej ) | cos[n ()]
由此可见：线性时不变系统对单频正弦信号cos(ωn)的响应为 同频正弦信号，其幅度放大|H(ejω）|倍，相移增加φ(ω)。
H(ejω)为系统的频率响应函数,它表征系统的频率响 应特性
X
X
第
2
(n)
系统
h(n)
页
一般称H(z)为系统的系统函数， 它表征了系统的复频域特性。
Z变换
M
如果H(z)的收敛域包含单位 圆|z|=1，则H(ejω)与H(z)之间 的关系如下：
H (z)
Y (z)

bk z k
k 0
X (z)
N
ak z k
H(ej ) H(z) |zej
φ(ω)=－φ(－ω)
y(n) 1 [| H (e j ) | e j()e jn | H (e j ) | e j()e jn ] 2
1 | H (e j ) | {e j[n ()] e } j[n ()] 2
| H (ej ) | cos[n ()]
若：收敛域 a z a 1，
系统是非因果但稳定的系统。 X
第
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三、系统零极点对系统性能的影响
M
1 cr z 1
H (z)
A
r 1 N
1 dr z 1
zNM r1
M
z cr
H (z) AzN M
r 1 N
z dr
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如果系统输入为一般的序列x(n)，则H(ejω)对x(n) 的不同的频率成分进行加权处理。
Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω) |H(ejω)|=1
|H(ejω)| |H(ejω)|=0
实现了对输入信号的滤波处理
X
第
7
二 用系统函数的极点分布分析系统
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的因果性和稳定性
因果系统满足h(n) 0, n 0。收敛域包含点。
第
1
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一、传输函数与系统函数
(n)
系统
单位样值响应 h(n)
一般称H(ejω)为系统的频率响
Fourier变换
应函数(系统的传输函数)，它
表征系统的频率响应特性。

H e j h n e jn
|H(ejω)| 称为幅频特性函数
n0
φ(ω)称为相频特性函数 H (e j ) e j ()
∞ Imz
收敛域r z
r
Rez
-∞
0
∞
-∞
X
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因果（可实现）系统其单位脉冲响应h(n)一定是因果序列 ， 那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极 点，极点分布在某个圆内，收敛域在某个圆外。 系统稳定的条件是H(z)的收敛域包含单位圆。 如果系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆。 因果可实现且稳定：要求全部极点都在单位圆内。 那么收敛域可表示为：
r 1
X
令ze j
M
e j cr
H (e j ) Ae jN M
r 1 N
e j d r
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r 1
M
cr B
H e j
A
r 1 N
dr B
Imz
× dr B
r 1
cr
●

0
Rez
1
×
X
第
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页
(1)零极点位置对幅度特性的影响
零点位置主要影响频响的谷点位置及形状
X
14
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极点为共轭的
M
N
() (N M ) r r
r 1
r 1
M、r 零点个数及与实轴的夹角
N、r 极点个数及与实轴的夹角
X
15
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（2）用MATLAB计算零、极点及频率响应曲线 函数zplane和freqz的功能和调用格式： Zplane： 绘制H(z)的零、极点图。 zplane(z, p)：绘制出列向量z中的零点（以符 号“○”表示）和列向量p中的极点（以符号 “×”表示），同时画出参考单位圆。
m
y(n) H (e j )e jn | H (e j ) | e j[n ()]
上式说明：单频复指数信号ejωn通过频率响应函数 为H(ejω)的系统后，输出仍为单频复指数序列，其 幅度放大|H(ejω)|倍，相移为φ(ω)。
X
y(n) H (e j )e jn | H (e j ) | e j[n ()]
M
cr B
| H (ej ) || A |
r 1 N
dr B
r 1
Leabharlann Baidu H e j
所有零点矢量长度之积 A 所有极点矢量长度之积
X
第
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H e j
所有零点矢量长度之积 A 所有极点矢量长度之积
页
Imz
× dr B
cr
●

0
Rez
1
结论：
×
极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度
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当系统输入信号x(n)=cos(ωn)时，求系统的输出信号y(n)。
x(n) cos(n) 1 [ejn e jn ]
2
y(n) 1 [H (ej )ejn H (ej()e jn ] 2
设h(n)为实序列，则H*(ejω)=H(e－jω), |H(ejω)|=|H(e－jω)|,
r<|z|≤∞ 0<r<1
X
系统稳定性的判断：
第
9
∞点H(z)存在，则系统可实现。
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极点不在单位圆上，则系统稳定。
例：
H(z)
1 a2
1 az 1 az1
,a 1
极 点z1

a, z2

1 a
若：收敛域a1 z ，系统可实现，
但收敛域不包含单位圆，系统不稳定。
k 0
H(ejω)表示系统对特征序列ejωn的响应特性。
X
3
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具体阐述：
若系统输入信号X(n)=ejωn, 则系统输出信号为


y(n) h(n) * x(n) h(m)x(n m) h(m)ej(nm)
m
m

ejn h(n)e jm H (e j )e jn