2019-2020学年上海市行知中学高一下学期期末数学试题(解析版)
上海市行知中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题
上海市行知中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．全集{}1,2,3,4U =，若{}1,2A =，{}1,4B =，则()U A B =_______ 2．函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是_______ 3．已知1cos 3α=，则cos2=α__________． 4．已知1tan 2α=，()5tan 2αβ-=，则tan β=_______ 5．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．6．边长分别为5、6、7的三角形的最大角的大小是_______7．若函数()y f x =与2x y e +=的图像关于直线y x =对称，则()f x =______.8．若线性方程组的增广矩阵为135246⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该线性方程组的解是______.9．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若有不相等的实数a 、b 、c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是_______.10．已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得到的图象为偶函数，则ϕ的最小值是_______11．函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是_______ 12．在ABC 中，2AB AC =，AD 是A 的角平分线，AD kAC =，且1ABC S =△，问k =_______时，BC 最短.13．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π- 14．关于函数()(0)a f x x a x=->，有下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．()f x 的值域是(,0)(0,)-∞+∞ B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(,0)(0,)-∞+∞上单调递增D ．方程|()f x a =∣总有两个不同的解15．函数()f x 的反函数()11arcsin arctan 2f x x x -=+，则()f x 的定义域为（ ） A ．(),ππ- B ．33,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．33,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边分别记为,,(1)a b c b ≠，且C A ，sin sin B A都是方程log (44)b x x =-的根，则ABC ∆（ ）A ．是等腰三角形，但不是直角三角形B ．是直角三角形，但不是等腰三角形C ．是等腰直角三角形D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形17．已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos 2f παπαπααπαπα+--=⎛⎫---- ⎪⎝⎭． （1）化简：()f α；（2）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，若2c =，1()2f C =-，且ABC的面积S =a 、b 的值．18．已知函数121()010()132x f x x R x +=∈．（1）求不等式()0f x ≤的解集；（2）若不等式()f x a x ≥-在[2,3]x ∈上恒有解，求实数a 的取值范围．19．已知函数()()2cos sin cos 1,f x x x x x R =-+∈．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的最大值及取得最大值时的x 的集合．20．已知函数21()log (0,1)1a m mx f x a a x --=>≠+是奇函数，定义域为区间D （使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m 的值，并写出区间D ；（2）若底数a 满足01a <<，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由；（3）当[,)x A a b ∈=（A D ⊂，a 是底数）时，函数值组成的集合为[1,)+∞，求实数a 、b 的值．21．已知函数()f x ，如果存在给定的实数对（,a b ），使得()()f a x f a x b +⋅-=恒成立，则称()f x 为“S -函数”.（1）判断函数12(),()3x f x x f x ==是否是“S -函数”；（2）若3()tan f x x =是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对(,)a b ；（3）若定义域为R 的函数()f x 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，求当[2012,2012]x ∈-时函数()f x 的值域.参考答案1．{}4【解析】【分析】求得结合U A ，利用交集的定义可求得集合()U A B ⋂. 【详解】全集{}1,2,3,4U =，{}1,2A =，则{}3,4U A =， 又{}1,4B =，因此，(){}4U A B ⋂=.故答案为：{}4.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.2．π【解析】【分析】根据周期的求法即可得到结果.【详解】 因为1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期是22T ππ==， 故答案为：π.【点睛】本题主要考查正弦函数的周期公式，属于基础题.3．79- 【解析】 1cos 3α=()217cos 22cos 12199αα∴=-=⨯-=- 4．89- 【解析】【分析】利用两角差的正切公式可求得tan β的值.【详解】1tan 2α=，()5tan 2αβ-=， 因此，()()()15tan tan 822tan tan 151tan tan 9122ααββααβααβ---=--===-⎡⎤⎣⎦+-+⨯. 故答案为：89-. 【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.5．-7【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.6．1arccos5【解析】【分析】直接利用余弦定理，求出最大角的余弦值，即可求出边长分别为5，6，7的三角形的最大角的大小．【详解】解：由余弦定理可知：边长分别为5，6，7的三角形的最大角的大小是α， 2225671cos 2565α+-==⨯⨯， 所以1arccos 5α=．故答案为：1arccos5． 【点睛】 本题考查余弦定理的应用，注意反三角函数的应用，考查计算能力，属于基础题． 7．ln 2(0)x x ->【解析】【分析】函数()y f x =与2x y e +=的图像关于直线y x =对称，则()y f x =与2x y e +=互为反函数，求2x y e +=的反函数即可.【详解】()y f x =与2x y e +=互为反函数，由2x y e +=得2ln x y ，ln 2x y∴ ()=ln 2y f x x =-，(0)x >故答案为：ln 2(0)x x ->【点睛】本题考查反函数求法.求反函数的步骤: (1)从原函数式子中解出x 用y 表示; (2)对换,x y ;(3)标明反函数的定义域.8．12x y =-⎧⎨=⎩【解析】【分析】根据方程组增广矩阵的含义,写出原二元一次方程组,解方程组即可.【详解】因为线性方程组的增广矩阵为135246⎛⎫ ⎪⎝⎭由增广矩阵的含义,可知原二元一次方程组为35246x y x y +=⎧⎨+=⎩,解方程组可得12x y =-⎧⎨=⎩故答案为: 12x y =-⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了线性方程矩阵的表示形式,增广矩阵的含义,属于基础题.9．()18,34【解析】【分析】作出函数()y f x =的图象，设a b c <<，令()()()f a f b f c t ===，求得t 的取值范围，可得出222a b c ++关于t 的表达式，进而可求得222a b c ++的取值范围.【详解】作出函数()y f x =的图象如下图所示：当0x <时，021x <<，则1210x -<-<，此时，()()210,1xf x =-∈. 设a b c <<，令()()()f a f b f c t ===，由图象可知01t <<，由()2112a at f a ==-=-，可得21a t =-； 由()2121b bt f b ==-=-，可得21b t =+； 由()5t f c c ==-，可得()54,5c t =-∈，()216,32c∴∈. 因此，()2222218,34a b c c++=+∈. 故答案为：()18,34.【点睛】本题考查利用函数的零点求代数式的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10．6π 【解析】【分析】先利用两角和的正弦公式化简()f x 的解析式，然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式，最后由奇偶性可得ϕ的最小值.【详解】1()sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2322f x x x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3sin 2cos 22226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ， 将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得()22266y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象， 由图象为偶函数图象可得262k ππϕπ+=+()k Z ∈ 所以62k ϕππ=+ ()k Z ∈ 令0k =，得6π=ϕ. 故答案为：6π 【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，以及三角函数的奇偶性，属于中档题. 11．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】首先根据已知条件依次得到在(0,1]x ∈附近的区间，(1,2]x ∈、(2,3]x ∈对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围【详解】当10-<≤x 时，011x <+≤，则11()(1)(1)22f x f x x x =+=+， 当12x <≤时，011x <-≤，则()2(1)2(1)(2)f x f x x x =-=--，当23x <≤时，021x <-≤，则22()2(1)2(2)2(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--，由此作出()f x 图象如图所示，由图知当23x <≤时，令282(2)(3)9x x --=-， 整理得：(37)(38)0x x --=， 解得：73x =或83x =，要使对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，必有73m ≤， 所以m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 故答案为：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题.12．5【解析】【分析】作出图形，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，由题意可得出2sin 1b A =，利用余弦定理结合基本不等式可求得a 的最小值及其对应的b 、c ，利用角平分线的性质可求得CD ，利用余弦定理求得cos C ，进而利用余弦定理可求得AD 的长，由此可求得k 的值.【详解】在ABC 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则2c b =，1sin 12ABCSbc A ==，可得2sin 1b A =， 由余弦定理得2222254cos 2cos 54cos sin sin A a b c bc A b b A A A=+-=-=- 2222225cos sin 4cos sin 9sin cos 9tan 1222222222sin cos 2sin cos 2tan 22222A A A A A A AA A A A A ⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+3≥=，0A π<<，则022A π<<，所以，tan 02A>，当且仅当9tan1222tan2AA =时，即当1tan23A =时，等号成立， 由22sin 12tan 23cos 2sin cos 122sin 02cos 02A A A A A A A ⎧⎪==⎪⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪>⎪⎪⎪>⎪⎩，解得sin 2A =cos 2A =，2115sin 32sin cos 22b A A A ∴===，则b =a = 由于12ACD ABD S CD b S BD c ===△△，则133CD a ==，由余弦定理得222cos 25AC BC AB C AC BC +-==-⋅， 在ACD △中，由余弦定理可得2282cos 3AD AC CD AC CD C =+-⋅=，则3AD =，因此，AD k AC ===.. 【点睛】本题考查利用余弦定理与基本不等式求边的最值，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于难题. 13．A 【解析】将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60°，即分针转过的角的弧度数是3π. 本题选择A 选项.14．B 【解析】 【分析】A 中通过令()0f x =可求得x 的值，可知值域包括0，可判断A ；B 中根据奇函数的定义可判断B ；C 中通过反例可确定()f x 在()(),00,-∞⋃+∞上不满足单调递增的定义，可判断C ；D 中将方程变为ax a x-=±，通过验证两个一元二次方程各有两个不等实根，并且0x =不是其中任何一个的根，即可确定方程共有四个不同解，可判断D.【详解】对于A 选项：令0ax x-=，解得：x =()f x 值域含有元素0，则A 错误； 对于B 选项：由解析式可知()f x 定义域为{}0x x ≠，又()()a af x x x f x x x-=--=-+=-- ()f x ∴是奇函数，则B 正确；对于C 选项：当()x ∈时，()0f x >；当(x ∈时，()0f x <，可知()f x 在()(),00,-∞⋃+∞上不满足单调递增的定义，则C 错误；④由()f x a =得：()f x a =±，即ax a x-=±，整理可得：20x ax a ±-= 240a a ∴∆=+>，20x ax a ∴+-=与20x ax a --=各有两个不等实根，又0a >，0x ∴=不是两个方程的根，∴方程()f x a =总有四个不同的解，则D 错误； 故选：B. 【点睛】本题考查函数知识的综合应用，涉及到函数值域、奇偶性和单调性的判断、方程根的分布等知识；易错点是在判断单调性时，忽略函数为分段函数的特点，采用并集符号连接单调区间，造成单调性求解错误，属于基础题. 15．D 【解析】 【分析】 求得函数()1y f x -=的值域，由此可得出函数()y f x =的定义域.【详解】 对于函数()11arcsin arctan 2fx x x -=+，该函数的定义域为[]1,1-， 由于函数()1y f x -=在[]1,1-上单调递增，则()()()11111f f x f ----≤≤，且()()()1111arcsin 1arctan 122242fπππ-⎛⎫-=-+-=⨯--=- ⎪⎝⎭， ()1111arcsin1arctan122242f πππ-=+=⨯+=，所以，()122f x ππ--≤≤，因此，函数()y f x =的定义域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D. 【点睛】本题考查利用反三角函数的值域求原函数的定义域，考查计算能力，属于中等题. 16．B 【解析】 【分析】 【详解】loglog (44)bx =-变形为2sin 44222,sin C B x x x C A A A=-∴=∴==∴= sin 2sin 2B A b a =∴=，222222sin sin 22sin cos 22b c a C A A A c a c a c b bc+-==∴=⨯∴=∴+=三角形为直角三角形17．（1）()cos f αα=-；（2）2a b ==． 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式可化简()f α；（2）由（1）可得3C π=，再根据三角形的面积公式和余弦定理可求得224+8ab a b =⎧⎨=⎩，解之得答案. 【详解】 （1）因为sin cos (tan )()cos tan sin f ααααααα--==--，所以()cos f αα=-；（2）因为1()2f C =-，即1cos 2C -=-，又0C π<<，所以3C π=，因为ABC 的面积S =1sin 23S ab π==4ab =，又22221cos 22a b C ab +-==，所以22+8a b =，由224+8ab a b =⎧⎨=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩，所以2a b ==. 【点睛】本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公式和余弦定理的运用求解三角形，属于中档题. 18．（1）1(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；（2）43a ≤． 【解析】 【分析】（1）先化简整理()f x 解析式，令()0f x ≤，解不等式即可得解集. （2）不等式()f x a x ≥-在[2,3]x ∈上恒有解，等价于12a x x≤+-在[2,3]x ∈上恒有解，令1()2g x x x=+-，只需max ()a g x ≤，即可得a 的取值范围. 【详解】（1）()121()01011113322x x x f x xx=+⨯-==-+ 令()f x =120x -≤，即()2100x x x ⎧-≥⎨≠⎩ ，解得：0x <或12x ≥ 所以不等式()0f x ≤的解集为：1(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）()f x =12a x x-≥-在[2,3]x ∈上恒有解， 即12a x x ≤+-在[2,3]x ∈上恒有解， 令1()2g x x x =+-，只需max ()a g x ≤ ，因为1()2g x x x=+-在[2,3]x ∈单调递增，所以max 14()(3)3233g x g ==+-=所以43a ≤. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，函数有解问题求参数的范围，涉及行列式的计算，对勾函数的单调性，属于中档题. 19．（1）388k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，（）；（2） |24x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（），()g x 的最大值为.【解析】 【分析】 【详解】（1）先化简()2cos (sin cos )1sin 2cos 224π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭f x x x x x x x ，再由()222242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈即得()f x 递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由已知()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解：（1）()2cos (sin cos )1sin 2cos 224π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭f x x x x x x x ，当222,()242πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，即3,()88ππππ-≤≤+∈k x k k Z ， 因此，函数()f x 的单调递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由已知，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴当4sin 14π⎛⎫+= ⎪⎝⎭x 时，即242πππ+=+x k 则2()4ππ=+∈x k k Z ，max ()g x =∴ 当2(),()4∣ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭xx k k Z g x .20．（1）1m =，(1,1)D =-；（2）单调递增，理由见解析；（3）1,1a b ==．【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质，可得()()0f x f x +-=，代入函数的解析式，转化为方程()()0f x f x +-=在区间D 上恒成立，进而求解；（2）令11xt x-=+，先求出该函数在定义域D 内的单调性，然后利用复合函数的单调性，求出()f x 的单调性．（3）首先由A D ⊆，求出a 、b 的范围，进而结合（2）中的结论，确定函数()f x 的单调性，然后利用函数的单调性确定函数的最值，结合已知，解方程求出a ，排除1b <的情况，最终确定b 的值． 【详解】 解（1）()y f x =是奇函数，∴对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，即2121log log 011aa m mx m mxx x---++=+-．化简此式，得222(1)(21)10m x m ---+=．又此方程有无穷多解(D 是区间），必有2210(21)10m m ⎧-=⎨--=⎩，解得1m =． ∴1()log 1axf x x-=+ 令101xx->+解得11x -<< 所以(1,1)D =-．（2）当01a <<时，函数()()11,11a xf x log D x-==-+在上是单调增函数． 理由：令12111x t x x-==-+++． 易知1x +在(1,1)D =-上是随x 增大而增大，21x+在(1,1)D =-上是随x 增大而减小，故12111x t x x-==-+++在(1,1)D =-上是随x 增大而减小 于是，当01a <<时，函数()()11,11a xf x log D x-==-+在上是单调增函数． （3）[,)A a b D =⊆，01a ∴<<，1a b <．∴依据（2）可知，当01a <<时，函数()11axf x log x-=+在A 上是增函数，即1()1,log 11aaf a a-==+，解得1a =，1a =-（舍去）． 若1b <，则()f x 在A 上的函数值组成的集合为11,log 1a b b -⎡⎫⎪⎢+⎣⎭，不满足函数值组成的集合是[1，)+∞的要求．（也可利用函数的变化趋势分析，得出1)b =∴必有1b =．因此，所求实数a 、b 的值是1,1==a b ．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和奇偶性、求函数值域、恒成立等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，分析问题的能力、运算的能力、问题转换的能力以及分类讨论的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思． 21．(1)是(2) 满足3()tan f x x =是一个“S -函数”的常数（a, b ）=,1,4k k Z ππ⎛⎫±∈ ⎪⎝⎭(3)201220122,2-⎡⎤⎣⎦【解析】 【分析】 【详解】 解：（1）若是“S -函数”，则存在常数，使得 (a+x)(a-x)=b.即x 2=a 2-b 时，对一切实数恒成立.而x 2=a 2-b 最多有两个解，矛盾， 因此不是“S -函数”.………………………………………………3分 若是“S -函数”，则存在常数a,b 使得，即存在常数对（a, 32a ）满足.因此是“S -函数”………………………………………………………6分（2）是一个“S -函数”，设有序实数对（a, b ）满足:则tan(a-x)tan(a+x)=b 恒成立. 当a=,2k k Z ππ+∈时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数.……………………7分因此，,则有.即恒成立. ……………………………9分即,当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.因此满足是一个“S -函数”的常数（a, b ）=.…12分(3) 函数是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对和，于是即,，.……………………14分.………16分因此, …………………………………………17分综上可知当时函数的值域为.……………18分。
2019年上海市行知中学高一数学理期末试题含解析
2019年上海市行知中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则下列说法中错误的是（）A．x12+x22+x32=14 B．1+a+b=0C．a2﹣4b=0 D．x1+x3=0参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】题中f2（x）+af（x）+b=0有三个不同的实数解，即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，结合题意可知f（x）=1，由此可得选项A、B、C正确，D错误．【解答】解：令t=f（x），由关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有三个不同的实数解，可知方程t2+at+b=0有两个相等的实数根t1=t2=1，∴a2﹣4b=0，则1+a+b=0，由，得x=1或x=3，∴x12+x22+x32=12+22+32=14．∴错误的说法为x1+x3=0．故选：D．2. 已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）参考答案：B【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】作函数f（x）=的图象如下，由图象可得x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；从而化简x3（x1+x2）+，利用函数的单调性求取值范围．【解答】解：作函数f（x）=，的图象如下，由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；故x3（x1+x2）+=﹣+x4，其在1＜x4≤2上是增函数，故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；即﹣1＜﹣+x4≤1；故选B．【点评】本题考查了分段函数的应用，属于中档题．3. 函数，定义数列如下：，，若给定的值，得到无穷数列满足：对任意正整数，均有，则的取值范围是（）．A．(－∞,－1)∪(1,+∞) B．(－∞,0)∪(1,+∞)C．(1,+∞)D．(－1,0)参考答案：A由，，∴，∴或，而时，不对恒成立，选．4. 若函数在区间[3,4]和[－2,－1]上均为增函数,则实数a的取值范围是( )A．[4,6] B．[－6,－4] C.[2,3] D．[－3,－2]参考答案：D5. 空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交参考答案：C略6. （3分）函数f（x）=a x（0＜a＜1）在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（）A．B．C．D．参考答案：A考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数为单调函数，故函数f（x）=a x（0＜a＜1）在区间在区间上的最大值与最小值的差是，由此构造方程，解方程可得答案．解答：解：∵函数f（x）=a x（0＜a＜1）在区间上为单调递减函数，∴f（x）max=f（0）=1，f（x）min=f（2）=a2，∵最大值比最小值大，∴1﹣a2=，解得a=故选：A．点评：本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，熟练掌握指数函数的单调性是解答的关键7. 已知，，，则的大小关系是（）A． B． C．D．参考答案：D略8. 的一条对称轴是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意， =kπ+，x=2kπ+，（k∈Z），即可得出结论．【解答】解：由题意， =kπ+，∴x=2kπ+，（k∈Z），∴的一条对称轴是x=﹣，故选C．9. 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）.关于点对称.关于直线对称.关于点对称.关于直线对称参考答案：A10.参考答案：D解析：当x≥0时，2x≥1，y＝1]二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数是偶函数时,,则满足的实数x取值范围是．参考答案：(－5,4)∵函数f(x)是偶函数，且x≥0时, f(x)=lg(x+1),∴x≥0时, f(x)单调递增，∴x＜0时, f(x)单调递减．又f(9)=lg(9+1)=1,∴不等式f(2x+1)＜1可化为f(2x+1)＜f(9),∴|2x+1|＜9，∴－9＜2x+1＜9，解得－5＜x＜4，∴实数取值范围是(－5,4)．12. （5分）已知幂函数y=（m2﹣3m+3）的图象不过坐标原点，则m的值是．参考答案：1或2考点：幂函数图象及其与指数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的性质建立条件关系即可得到结论．解答：∵幂函数y=（m2﹣3m+3）的图象不过坐标原点，∴m2﹣3m+3=1，即m2﹣3m+2=0解得m=1或2，当m=1时，幂函数y=（m2﹣3m+3）=x﹣2满足条件．当m=2时，幂函数y=（m2﹣3m+3）=x0也满足条件．故答案为：m=1或2点评：本题主要考查幂函数定义和性质的应用，比较基础．13. 已知是实数，若集合｛｝是任何集合的子集，则的值是参考答案：略14. 在中，已知，则。
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (33)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (33)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x2−x−2>0的解集是()A. (−12,1) B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)2.点(0,5)到直线2x−y=0的距离是()A. √52B. √5 C. 32D. √543.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()A. 5B. 6C. 7D. 84.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−c)，则∠A=()A. 300B. 600C. 1200D. 15005.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，则其圆心坐标与半径分别为()A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=36.已知：△ABC中，a=2，∠B=60°，∠C=75°，则b=()A. √6B. 2C. √3D. √27.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=()A. 2015B. −2015C. 2013D. −20138.若直线过P(2,1)点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条()A. 1条B. 2 条C. 3条D. 以上都有可能9.某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为()A. 2π+8B. π+8C. 2π+83D. π+8310.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则n//mC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，n//m，n//β，则α⊥β11.点P(1,−2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是()A. (1,2)B. (2,−1)C. (3,−1)D. (5,2)12.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 1110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件： {x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则目标函数z=3x−2y的最小值为______．14.直线l过点A(−1,3)，B(1,1)，则直线l的倾斜角为______ ．15.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，那么二面角A1−AD−B的余弦值为______ ．16.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1⋅a7=2a32，a2=2，则a1的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求倾斜角为直线y=−√3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(−4,1)；(2)在x轴上的截距为−10．18.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．419.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+120.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α=135°时，求|AB|(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．21.在等差数列{a n}中，a1=10，d=−2，求数列的前n项和S n的最大值．22.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，点E，F分别是BB1，A1B1的中点。
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题含解析
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//αβ，则下列三个结论：①//a b 、②a b ⊥、③a β⊥．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】根据题意，a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，因此//a b ，a β⊥，不难判断.【详解】因为a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，所以//a b ，a β⊥，所以①正确，②不正确，③正确，则其中正确命题的个数为2.故选C【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间推理能力，属于简单题.2．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会. 方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( )A ．①Ⅰ，②ⅡB ．①Ⅲ，②ⅠC ．①Ⅱ，②ⅢD ．①Ⅲ，②Ⅱ 【答案】B【解析】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选B ．3．已知a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b >B ．a b <C ．22a b <D ．33a b <【答案】D【解析】【分析】利用排除法，取3a =-，2b =，可排除错误选项，再结合函数3y x =的单调性，可证明D 正确.【详解】取3a =-，2b =，可排除A ，B ，C ，由函数3y x =是R 上的增函数，又a b <，所以33a b <，即选项D 正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4．已知数列{}{},n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．64【答案】D【解析】 试题分析：依题意可知，1n n n a a b ++=，12n n n a a +⋅=，1122n n n a a +++⋅=，所以12212n n n n n na a a a a a ++++⋅==⋅.即22n n a a +=，故312a a =，53124a a a ==，75128a a a ==，971216a a a ==.11a =，所以916a =，又可知9910102512,32a a a ⋅==∴=.1010111121024,32a a a ⋅==∴=,故10101164b a a =+=.考点：函数的零点、数列的递推公式5．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min ，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D. 考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．6．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A ．1B ．5C ．9D ．4【答案】C【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4=b a ．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=． 考点：等差中项和等比中项．7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P = 故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】 由题意求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，解得182n ≤+，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得68726a a a +==，即73a =又由96789833S S a a a a -=++==，即81a =，所以等差数列的公差为872d a a =-=-，又由7116123a a d a =+=-=，解得115a =， 所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-，令1720n a n =-≥，解得182n ≤+， 所以使得n S 取得最大值时n 的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n 项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为( )A ．()()22215x y -+-=B ．()()22125x y ++-=C ．()()22125x y -++=D ．()()22215x y ++-= 【答案】D【解析】【分析】根据已知圆的方程可得其圆心()2,1-，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解.【详解】由圆()()22215x y -++=，则圆心为()2,1-，半径r =圆心为()2,1-关于原点对称点为()2,1-，所以圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为()()22215x y ++-=.故选：D【点睛】本题考查了根据圆心与半径求圆的标准方程，属于基础题.10．直线210x ay +-=与平行，则a 的值为( ) A ．12 B ．12或0 C ．0 D ．－2或0 【答案】A【解析】【分析】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解出a 值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【详解】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解得0a =或12a =, 又0a =时,直线10x -=与10x -+=表示同一条直线, 故12a =, 故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键. 11．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤ 【答案】D【解析】【分析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩或或或或 当022a ∆<⇒-<<综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】 本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．12．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下列命题正确是（ ）A ．m ∥n ，m ∥α⇒n ∥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ⊥nD ．α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β 【答案】D【解析】【分析】在A 中，n ∥α或n ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β． 【详解】由两条直线m ，n ，两个平面α，β，知：在A 中，m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α或n ⊂α，故A 错误； 在B 中，α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若53a =,392S =,则5S =______. 【答案】10【解析】【分析】将5a 和3S 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解5S .【详解】设该数列的公差为d ，由题可知： ()1143932a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故5151010S a d =+=.故答案为：10.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前n 项和，属基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式n a =__________．【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】分析：先根据和项与通项关系得当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，再检验，1n =时，1a 不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解： ∵已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，∴当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，222211[(1)1](1)21n n n a S S n n n n n -=-=----=--=-，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩． 点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.15．已知直线20ax y +-=平分圆22(1)()4x y a -+-=的周长，则实数a =________．【答案】1【解析】【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a ）在直线20ax y +-=上，所以20,1a a a +-=∴=.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．已知3sin()45πθ-=，则sin 2θ的值为______ 【答案】725 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式，化简3sin()cos 4225πθθθ-=-=，解出sin cos θθ-的值，再平方，即可求解.【详解】由题意，可知3sin()45πθθθ-=-=，sin cos θθ∴-=1812sin cos 25θθ-= 72sin cos 25θθ∴=则7sin 225θ=故答案为：725【点睛】本题考查三角函数常用公式()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-关系转换，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海市2020年高一下学期数学期末试卷(附答案)
上海市高一下学期数学期末试卷一、解答题（本大题共有12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴，且终边经过点（1，2），则sinα的值为_________．2．函数y=2x（x≥1）的反函数为_________．3．已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为_________．4．若log23=m，用含m的式子表示log281，则log281=_________．5．方程sinx﹣cosx=0（x∈[0，2π]）的所有解之和为_________．6．函数y=3cos2x的单调递减区间为_________．7．不等式log（x2+1）＜﹣1的解集为_________．8．若将函数y=sin（2x+）的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个长度单位，则所得的函数图象对应的解析式为_________．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=2，cos（A+B）=，则c的值为_________．10．已知函数f（x）=．下列命题：①f（x）为奇函数；②函数f（x）的图象关于直线x=对称；③当x=时，函数f（x）取最大值；④函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点；其中正确命题的序号是_________．11．在△ABC中，已知3cscA=cscB•cscC，3sesA=secB•sesC，则cotA的值为_________．12．如果函数g（x）满足：对任意实数m，n均有g（mn+1）﹣g（m）g（n）=2﹣g（n）﹣m成立，那么称g（x）是“次线性”函数．若“次线性”函数f（x）满足f（0）=1，且两正数x，y使得点（x2﹣1，3﹣2xy）在f（x）的图象上，则log（x+y）﹣log4x的最大值为_________．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．“x=2kπ+（k∈Z）”是“|sinx|=1”的（）A．充分非必要条件B．必要分充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件14．给出命题：①y=sinx是增函数；②y=arcsinx﹣arctanx是奇函数；③y=arccos|x|为增函数；④y=﹣arccosx为奇函数．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图，则ω，φ的值分别是（）A．ω=1，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ=﹣D．ω=2，φ=﹣16．学习“三角”时，小明同学在参考书上看到求sin18°精确值的一种方法，具体如下：设等腰△ABC 的顶角∠A=36°．底角∠B的平分线交腰AC于D，且BC=1（如图），则AD=BD=1，于是，在△BCD中，可得CD=2sin18°．由△BAC∽△CBD得=，即=，整理得4sin218°+2sin18°﹣1=0，又sin18°（0，1），故解得sin18°=．现设α，β，α+β均属于区间（0，），若cos（﹣2β）•sin（2α+β）=cos（+2α）•sin（α+2β），则下列命题正确的是（）A．关于x的方程α•4x+β•2x+α=0有实数解B．关于x的方程α•（log4x）2+β•log4x﹣α=0无实数解C．关于x的方程sinx=有实数解D．关于x的方程cosx=无实数解三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（8分）已知cosα=，α∈（0，），sinβ=﹣，β∈（π，），求cos（α﹣β）的值．18．（8分）设函数f（x）=log2（9x﹣5）．（1）求使得f（x）＞2成立的x的集合；（2）解方程f（x）=log2（3x﹣2）+2．19．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（+）=1，且a=2，求b+c的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=log3（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）设函数g（x）=f﹣1（x）+log t存在零点，求实数t的取值范围；（3）若不等式f（x）﹣m≥3x在x∈[2，3]上恒成立，求实数m最大值．21．（14分）已知函数f（x）的定义域为[0，1]．若函数f（x）满足：对于给定的T（0＜T＜1），存在t∈[0，1﹣T]．使得f（t+T）=f（t）成立，那么称f（x）具有性质P（T）．（1）函数f（x）=sin（x∈[0，1]）是否具有性质P（）？说明理由；（2）已知函数f（x）=具有性质P（T），求T的最大值；（3）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，满足f（0）=f（1），且f（x）的图象是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n，使得函数f（x）具有性质P（），若存在，求出这样的n的取值集合；若不存在，请说明理由．。
2019-2020学年上海市行知中学高一下学期期末数学试题解析
绝密★启用前数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：________一、单选题1．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( ) A ．3π B ．6π C ．3π-D ．6π-答案：A将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60°，即分针转过的角的弧度数是3π. 本题选择A 选项.2．关于函数()(0)af x x a x=->，有下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．()f x 的值域是(,0)(0,)-∞+∞B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(,0)(0,)-∞+∞上单调递增D ．方程|()f x a =∣总有两个不同的解 答案：BA 中通过令()0f x =可求得x 的值，可知值域包括0，可判断A ；B 中根据奇函数的定义可判断B ；C 中通过反例可确定()f x 在()(),00,-∞⋃+∞上不满足单调递增的定义，可判断C ；D 中将方程变为ax a x-=±，通过验证两个一元二次方程各有两个不等实根，并且0x =不是其中任何一个的根，即可确定方程共有四个不同解，可判断D.解：对于A 选项：令0ax x-=，解得：x =()f x 值域含有元素0，则A 错误； 对于B 选项：由解析式可知()f x 定义域为{}0x x ≠，又()()a af x x x f x x x-=--=-+=-- ()f x ∴是奇函数，则B 正确；对于C 选项：当()0x ∈时，()0f x >；当(x ∈时，()0f x <，可知()f x在()(),00,-∞⋃+∞上不满足单调递增的定义，则C 错误； ④由()f x a =得：()f x a =±，即ax a x-=±，整理可得：20x ax a ±-= 240a a ∴∆=+>，20x ax a ∴+-=与20x ax a --=各有两个不等实根，又0a >，0x ∴=不是两个方程的根，∴方程()f x a =总有四个不同的解，则D 错误；故选：B. 点评：：本题考查函数知识的综合应用，涉及到函数值域、奇偶性和单调性的判断、方程根的分布等知识；易错点是在判断单调性时，忽略函数为分段函数的特点，采用并集符号连接单调区间，造成单调性求解错误，属于基础题.3．函数()f x 的反函数()11arcsin arctan 2f x x x -=+，则()f x 的定义域为（ ） A ．(),ππ- B ．33,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．33,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 答案：D 求得函数()1y f x -=的值域，由此可得出函数()y f x =的定义域.解： 对于函数()11arcsin arctan 2fx x x -=+，该函数的定义域为[]1,1-， 由于函数()1y f x -=在[]1,1-上单调递增，则()()()11111f f x f ----≤≤，且()()()1111arcsin 1arctan 122242fπππ-⎛⎫-=-+-=⨯--=- ⎪⎝⎭， ()1111arcsin1arctan122242f πππ-=+=⨯+=，所以，()122f x ππ--≤≤，因此，函数()y f x =的定义域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D. 点评：：本题考查利用反三角函数的值域求原函数的定义域，考查计算能力，属于中等题. 4．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边分别记为,,(1)a b c b ≠，且C A，sin sin BA 都是方程log (44)bx x =-的根，则ABC ∆（ ）A ．是等腰三角形，但不是直角三角形B ．是直角三角形，但不是等腰三角形C ．是等腰直角三角形D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 答案：B 解：loglog (44)bx =-变形为2sin 44222,sin C B x x x C A A A=-∴=∴==∴= sin 2sin 2B A b a =∴=，222222sin sin 22sin cos 22b c a C A A A c a c a c b bc+-==∴=⨯∴=∴+=三角形为直角三角形二、填空题5．全集{}1,2,3,4U =，若{}1,2A =，{}1,4B =，则()UA B =_______答案：{}4 求得结合UA ，利用交集的定义可求得集合()U AB ⋂.解：全集{}1,2,3,4U =，{}1,2A =，则{}3,4UA =，又{}1,4B =，因此，(){}4U A B ⋂=.故答案为：{}4. 点评：：本题考查交集与补集的混合运算，考查计算能力，属于基础题. 6．函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是_______ 答案：π根据周期的求法即可得到结果. 解： 因为1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期是22T ππ==，故答案为：π.点评：：本题主要考查正弦函数的周期公式，属于基础题. 7．已知1cos 3α=，则cos2=α__________． 答案：79-1cos 3α=()217cos 22cos 12199αα∴=-=⨯-=-8．已知1tan 2α=，()5tan 2αβ-=，则tan β=_______答案：89-利用两角差的正切公式可求得tan β的值. 解：1tan 2α=，()5tan 2αβ-=， 因此，()()()15tan tan 822tan tan 151tan tan 9122ααββααβααβ---=--===-⎡⎤⎣⎦+-+⨯. 故答案为：89-. 点评：：本题考查利用两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题. 9．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________． 答案：-7分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目. 10．边长分别为5、6、7的三角形的最大角的大小是_______ 答案：1arccos5直接利用余弦定理，求出最大角的余弦值，即可求出边长分别为5，6，7的三角形的最大角的大小．解：解：由余弦定理可知：边长分别为5，6，7的三角形的最大角的大小是α，2225671cos 2565α+-==⨯⨯，所以1arccos 5α=．故答案为：1arccos 5． 点评：：本题考查余弦定理的应用，注意反三角函数的应用，考查计算能力，属于基础题． 11．若函数()y f x =与2x y e +=的图像关于直线y x =对称，则()f x =______. 答案：ln 2(0)x x ->函数()y f x =与2x y e +=的图像关于直线y x =对称，则()y f x =与2x y e +=互为反函数，求2x y e +=的反函数即可.解：()y f x =与2x y e +=互为反函数，由2x y e +=得2ln x y ，ln 2x y∴ ()=ln 2y f x x =-，(0)x >故答案为：ln 2(0)x x -> 点评：：本题考查反函数求法.求反函数的步骤: (1)从原函数式子中解出x 用y 表示; (2)对换,x y ;(3)标明反函数的定义域.12．若线性方程组的增广矩阵为135246⎛⎫⎪⎝⎭，则该线性方程组的解是______.答案：12x y =-⎧⎨=⎩根据方程组增广矩阵的含义,写出原二元一次方程组,解方程组即可. 解：因为线性方程组的增广矩阵为135246⎛⎫⎪⎝⎭由增广矩阵的含义,可知原二元一次方程组为35246x yx y+=⎧⎨+=⎩,解方程组可得12xy=-⎧⎨=⎩故答案为:12xy=-⎧⎨=⎩点评：：本题考查了线性方程矩阵的表示形式,增广矩阵的含义,属于基础题.13．设函数()21,25,2x xf xx x⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若有不相等的实数a、b、c满足()()()f a f b f c==，则222a b c++的取值范围是_______.答案：()18,34作出函数()y f x=的图象，设a b c<<，令()()()f a f b f c t===，求得t的取值范围，可得出222a b c++关于t的表达式，进而可求得222a b c++的取值范围.解：作出函数()y f x=的图象如下图所示：当0x<时，021x<<，则1210x-<-<，此时，()()210,1xf x=-∈.设a b c<<，令()()()f a f b f c t===，由图象可知01t<<，由()2112a at f a==-=-，可得21a t=-；由()2121b bt f b==-=-，可得21b t=+；由()5t f c c==-，可得()54,5c t=-∈，()216,32c∴∈.因此，()2222218,34a b c c++=+∈.故答案为：()18,34.点评：：本题考查利用函数的零点求代数式的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 14．已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得到的图象为偶函数，则ϕ的最小值是_______ 答案：6π 先利用两角和的正弦公式化简()f x 的解析式，然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式，最后由奇偶性可得ϕ的最小值. 解：1()sin 2sin 2sin 2sin 2232f x x x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3sin 2cos 22226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ， 将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得()22266y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，由图象为偶函数图象可得262k ππϕπ+=+()k Z ∈所以62k ϕππ=+ ()k Z ∈ 令0k =，得6π=ϕ.故答案为：6π 点评：：本题主要考查了三角函数图象的平移变换，以及三角函数的奇偶性，属于中档题. 15．函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是_______ 答案：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦首先根据已知条件依次得到在(0,1]x ∈附近的区间，(1,2]x ∈、(2,3]x ∈对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围 解：当10-<≤x 时，011x <+≤，则11()(1)(1)22f x f x x x =+=+， 当12x <≤时，011x <-≤，则()2(1)2(1)(2)f x f x x x =-=--，当23x <≤时，021x <-≤，则22()2(1)2(2)2(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--，由此作出()f x 图象如图所示，由图知当23x <≤时，令282(2)(3)9x x --=-， 整理得：(37)(38)0x x --=， 解得：73x =或83x =，要使对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，必有73m ≤， 所以m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦点评：：本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题.16．在ABC 中，2AB AC =，AD 是A 的角平分线，AD kAC =，且1ABC S =△，问k =_______时，BC 最短. 答案：2105作出图形，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，由题意可得出2sin 1b A =，利用余弦定理结合基本不等式可求得a 的最小值及其对应的b 、c ，利用角平分线的性质可求得CD ，利用余弦定理求得cos C ，进而利用余弦定理可求得AD 的长，由此可求得k 的值. 解：在ABC中，设内角A 、B、C的对边分别为a、b、c，则2c b=，1sin12ABCS bc A==，可得2sin1b A=，由余弦定理得2222254cos2cos54cossin sinAa b c bc A b b AA A=+-=-=-2222225cos sin4cos sin9sin cos9tan1 222222222sin cos2sin cos2tan22222A A A A A A AA A A A A⎛⎫⎛⎫+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+9tan122322tan2AA≥⋅=，0Aπ<<，则022Aπ<<，所以，tan02A>，当且仅当9tan1222tan2AA=时，即当1tan23A=时，等号成立，由22sin12tan23cos2sin cos122sin02cos02AAAA AAA⎧⎪==⎪⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪>⎪⎪⎪>⎪⎩，解得10sin2A=310cos2A=，2115sin32sin cos22bA AA∴===，则15b=3a=由于12ACDABDS CD bS BD c===△△，则133CD a==，由余弦定理得2225cos25AC BC ABCAC BC+-==-⋅，在ACD △中，由余弦定理可得2282cos 3AD AC CD AC CD C =+-⋅=，则3AD =，因此，35AD k AC ===.. 点评：：本题考查利用余弦定理与基本不等式求边的最值，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于难题.三、解答题17．已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos 2f παπαπααπαπα+--=⎛⎫---- ⎪⎝⎭．（1）化简：()f α；（2）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，若2c =，1()2f C =-，且ABC的面积S =a 、b 的值．答案：（1）()cos f αα=-；（2）2a b ==． （1）根据诱导公式可化简()f α；（2）由（1）可得3C π=，再根据三角形的面积公式和余弦定理可求得224+8ab a b =⎧⎨=⎩，解之得答案. 解：（1）因为sin cos (tan )()cos tan sin f ααααααα--==--，所以()cos f αα=-；（2）因为1()2f C =-，即1cos 2C -=-，又0C π<<，所以3C π=，因为ABC的面积S =1sin 23S ab π==4ab =，又22221cos 22a b C ab +-==，所以22+8a b =，由224+8ab a b =⎧⎨=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩，所以2a b ==.点评：：本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公式和余弦定理的运用求解三角形，属于中档题.18．已知函数121()010()132x f x x R x+=∈．（1）求不等式()0f x ≤的解集；（2）若不等式()f x a x ≥-在[2,3]x ∈上恒有解，求实数a 的取值范围． 答案：（1）1(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；（2）43a ≤． （1）先化简整理()f x 解析式，令()0f x ≤，解不等式即可得解集. （2）不等式()f x a x ≥-在[2,3]x ∈上恒有解，等价于12a x x≤+-在[2,3]x ∈上恒有解，令1()2g x x x=+-，只需max ()a g x ≤，即可得a 的取值范围. 解：（1）()121()01011113322x x x f x xx=+⨯-==-+ 令()f x =120x -≤，即()2100x x x ⎧-≥⎨≠⎩ ，解得：0x <或12x ≥ 所以不等式()0f x ≤的解集为：1(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）()f x =12a x x-≥-在[2,3]x ∈上恒有解， 即12a x x ≤+-在[2,3]x ∈上恒有解， 令1()2g x x x =+-，只需max ()a g x ≤ ，因为1()2g x x x=+-在[2,3]x ∈单调递增，所以max 14()(3)3233g x g ==+-= 所以43a ≤. 点评：：本题主要考查了分式不等式的解法，函数有解问题求参数的范围，涉及行列式的计算，对勾函数的单调性，属于中档题.19．已知函数()()2cos sin cos 1,f x x x x x R =-+∈． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的最大值及取得最大值时的x 的集合． 答案：（1）388k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，（）；（2） |24x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（），()g x 的最大值为 解：（1）先化简()2cos (sin cos )1sin 2cos 224π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭f x x x x x x x ，再由()222242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈即得()f x 递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由已知()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解：（1）()2cos (sin cos )1sin 2cos 224π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭f x x x x x x x ，当222,()242πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，即3,()88ππππ-≤≤+∈k x k k Z ， 因此，函数()f x 的单调递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由已知，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴当4sin 14π⎛⎫+= ⎪⎝⎭x 时，即242πππ+=+x k 则2()4ππ=+∈x k k Z ，max ()g x∴ 当2(),()4∣ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭xx k k Z g x . 20．已知函数21()log (0,1)1am mxf x a a x --=>≠+是奇函数，定义域为区间D （使表达式有意义的实数x 的集合）． （1）求实数m 的值，并写出区间D ；（2）若底数a 满足01a <<，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由；（3）当[,)x A a b ∈=（A D ⊂，a 是底数）时，函数值组成的集合为[1,)+∞，求实数a 、b 的值．答案：（1）1m =，(1,1)D =-；（2）单调递增，理由见解析；（3）1,1a b =-=．（1）由奇函数的性质，可得()()0f x f x +-=，代入函数的解析式，转化为方程()()0f x f x +-=在区间D 上恒成立，进而求解；（2）令11xt x-=+，先求出该函数在定义域D 内的单调性，然后利用复合函数的单调性，求出()f x 的单调性．（3）首先由A D ⊆，求出a 、b 的范围，进而结合（2）中的结论，确定函数()f x 的单调性，然后利用函数的单调性确定函数的最值，结合已知，解方程求出a ，排除1b <的情况，最终确定b 的值． 解： 解（1）()y f x =是奇函数，∴对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，即2121log log 011aa m mx m mxx x---++=+-．化简此式，得222(1)(21)10m x m ---+=．又此方程有无穷多解(D 是区间），必有2210(21)10m m ⎧-=⎨--=⎩，解得1m =． ∴1()log 1axf x x-=+令101xx->+解得11x -<< 所以(1,1)D =-．（2）当01a <<时，函数()()11,11a xf x log D x-==-+在上是单调增函数． 理由：令12111x t x x-==-+++． 易知1x +在(1,1)D =-上是随x 增大而增大，21x+在(1,1)D =-上是随x 增大而减小， 故12111x t x x-==-+++在(1,1)D =-上是随x 增大而减小 于是，当01a <<时，函数()()11,11a xf x log D x-==-+在上是单调增函数． （3）[,)A a b D =⊆，01a ∴<<，1a b <．∴依据（2）可知，当01a <<时，函数()11axf x log x-=+在A 上是增函数，即1()1,log 11aaf a a-==+，解得1a =，1a =（舍去）． 若1b <，则()f x 在A 上的函数值组成的集合为11,log 1a b b -⎡⎫⎪⎢+⎣⎭，不满足函数值组成的集合是[1，)+∞的要求．（也可利用函数的变化趋势分析，得出1)b =∴必有1b =．因此，所求实数a 、b 的值是1,1==a b ．点评：：本题主要考查对数函数的单调性和奇偶性、求函数值域、恒成立等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，分析问题的能力、运算的能力、问题转换的能力以及分类讨论的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思． 21．已知函数()f x ，如果存在给定的实数对（,a b ），使得()()f a x f a x b +⋅-=恒成立，则称()f x 为“S -函数”.（1）判断函数12(),()3xf x x f x ==是否是“S -函数”；（2）若3()tan f x x =是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对(,)a b ； （3）若定义域为R 的函数()f x 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，求当[2012,2012]x ∈-时函数()f x 的值域.答案：(1)是(2) 满足3()tan f x x =是一个“S -函数”的常数（a, b ）=,1,4k k Z ππ⎛⎫±∈ ⎪⎝⎭(3)201220122,2-⎡⎤⎣⎦解： 解：（1）若是“S -函数”，则存在常数，使得 (a+x)(a-x)=b.即x 2=a 2-b 时，对一切实数恒成立.而x 2=a 2-b 最多有两个解，矛盾， 因此不是“S -函数”.………………………………………………3分 若是“S -函数”，则存在常数a,b 使得，即存在常数对（a, 32a ）满足. 因此是“S -函数”………………………………………………………6分（2）是一个“S -函数”，设有序实数对（a, b ）满足:则tan(a-x)tan(a+x)=b 恒成立. 当a=,2k k Z ππ+∈时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数.……………………7分因此，,则有.即恒成立. ……………………………9分即,当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.因此满足是一个“S -函数”的常数（a, b ）=.…12分(3) 函数是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对和，于是即,，.……………………14分.………16分因此, …………………………………………17分综上可知当时函数的值域为.……………18分。
2019-2020学年上海中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。
2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明：“12213521n n n n nn n N”时，从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（）A ．21k +B ．211k k ++ C ．231k k ++ D ．()221k +【答案】D【解析】根据条件分别求出n k =和1n k =+时左边的式子，从而可求得由n k =到1n k =+时需要增乘的代数式.【详解】当n k =时，左边()()()12k k k k =++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左边()()()()()111211111k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅++-+++++， 所以由n k =到1n k =+时，等式左边应该增乘的代数式是()()()1112211k k k k k k +++++=++.故选：D 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.2．“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．既不充分也不必要 D ．充分必要【答案】B【解析】举例说明充分性不成立，根据等比数列定义证必要性成立. 【详解】0a b c ===时满足2b ac =，但,,a b c 不成等比数列，所以充分性不成立，若,,a b c 依次成等比数列，则2c bb ac b a=∴=，即必要性成立. 故选：B 【点睛】本题考查充要关系的判断、等比数列定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（ ）A ．17B ．17-C ．12D ．12-【答案】C【解析】根据等差数列与等比数列通项化简222123123a a ab b b ++++，再根据正整数性质逐一验证选项即可. 【详解】因为1a d =，21b d =，公差d ，公比q所以222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，因为q 是小于1的正有理数，所以舍去B,D, 当17q =时，2141449157Z q q ⨯=∉++，舍去A ， 当12q =时，21481q q =++，符合， 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项、正整数概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 4．n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（ ） A ．任一项均不为0 B ．必有一项为0C ．至多有有限项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为0【答案】D【解析】根据等比数列求和公式特征直接判断选择. 【详解】因为11,1(1)0,11n n na q S a q q q q =⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，，所以当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；当1,0q q ≠-≠时，{}n S 无一项为0， 故选：D本题考查等比数列求和公式，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a =________． 【答案】32n -【解析】根据题意，先得数列{}n a 是公差为3的等差数列，进而可求出结果. 【详解】 因为1133n na a +=+，即13n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为3的等差数列， 又11a =，所以()13132n a n n =+-=-. 故答案为：32n -. 【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，熟记公式即可，属于基础题型. 6．在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项． 【答案】12【解析】先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算111213,,a a a ，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：等比数列的通项为11=2020()2-⨯n n a所以1112131.97,0.99,0.49≈≈≈a a a所以120.99≈a 与1最接近，所以最接近于1的项是第12项. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a =________． 【答案】6【解析】根据等差数列求和公式得1151515()2a a S +=,再结合等差数列性质即可求结果.因为等差数列{}n a 的前15项和为90，所以115158815()159062a a S a a +===∴= 故答案为：6 【点睛】本题考查等差数列求和公式、等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++=________．【答案】15【解析】根据等比数列性质求得8a ，再根据对数运算法则以及等比数列性质化简所求式子为1538log a ，最后代入8a 得结果. 【详解】78398827273a a a a a =∴=∴=731323331531231531158log log log log log ()log [()]a a a a a a a a a a a ∴++++=⋅⋅=2715388383log [()]log 15log 315a a a ==== 故答案为：15 【点睛】本题考查等比数列性质、对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n =________． 【答案】6或7【解析】根据等差数列{}n a 的前n 项和二次函数性质确定最大值取法，即得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为10a >，49S S =，所以0d <2111(1)()222n d dna n n d n S a n =+-=+-为开口向下的二次函数，又49S S =所以对称轴为4913,22n n +== 因为*n N ∈，所以当n =6或7时，n S 取最大值， 故答案为：6或7 【点睛】本题考查等差数列前n 项和、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10．数列{}n a 由2,(),n n n n a n N a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第____项． 【答案】1536【解析】根据递推关系式可得奇数项的项为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，通过前面的项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出第10个3在该数列中所占的位置. 【详解】 由题意可得：这个数列各项的值分别为1,1,,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,，即33a =，63a =，123a =，243a =，，即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列， 所以第10个3是该数列的第101321536-⨯=. 故答案为：1536 【点睛】本题主要考查了递推数列、等比数列的通项公式，属于中档题. 11．已知方程cos 221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是________． 【答案】[0,1)【解析】采用数形结合的方法，转化为函数()cos22,1==+f x x x y k 的图象在区间[0,]2π内有两个交点，可得结果.【详解】 由题意可知：方程cos 221x x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，令()cos22=f x x x ，1y k =+ 等价于两函数的图象在区间[0,]2π内有两个交点.由()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭如图所以11201≤+<⇒≤<k k 故答案为：[0,1) 【点睛】本题重点考查了数形结合的思想及函数与方程的思想，此外还考查了利用辅助角公式化成同一个角的三角函数的形式，是中档题. 12．在数列{}n a 中，11a =，1()1nn n a a n a *+=∈+N ，则n a =________． 【答案】1n【解析】先由11n n n a a a +=+，得到1111n na a ，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出结果. 【详解】 因为11n n n a a a +=+，所以11n n n n a a a a +++=，则1111n na a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列， 又11a =，所以11(1)n n n a =+-=，解得1n a n=. 故答案为：1n. 【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.13．111lim[]38(2)n n n →∞+++=+________．【答案】34【解析】利用裂项求和，再求极限，可得结论． 【详解】 解：11111111111111138(2)2322423522n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++ ()()1113233lim[]lim 38(2)42124n n n n n n n →∞→∞∴⎡⎤++++=-=⎢⎥+++⎣⎦ 故答案为:34． 【点睛】本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．14．数列{}n a 中，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nn a =， 则这个数列的前2n 项的和2n S =________ 【答案】21522n n n +++-【解析】当n 为奇数时，51n a n =+，奇数项为等差数列，当n 为偶数时，22nn a =，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前2n 项的和. 【详解】122122n n n a a a a S -=++⋅⋅⋅++1321242n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()2616104222n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+所以数列{}n a 的奇数项是首项为6公差为10的等差数列，数列{}n a 的偶数项首项为2公比为2的等比数列， ∴()()1222121610522212nn nn n n Snn +⨯--=+⨯+=++--.故答案为：21522n n n +++-. 【点睛】本题考查利用分组求和法求数列的前2n 项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差、等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.15．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T =________． 【答案】1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【解析】根据计算第一次，第二次，第三次的生成的数，依此类推，利用不完全归纳法，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，简单计算，可得结果. 【详解】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”； 第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；… 可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…， 当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩．故答案为：1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【点睛】本题考查不完全归纳法以及等差数列的通项公式，关键在于对数据的分析，属基础题. 16．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N，都有1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+，设111()3n n n nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为________． 【答案】1【解析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈,11n n a b ++=2n n a b ，12n n n a b -∴=，由此可得：23n nc =，再由等比数列求和公式可得解. 【详解】由题意，11)2(n n n n a b b a +++=+，∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅， 可得12n n n a b -⋅=， 从而11112()333n n n nn n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅， 121,33c q ==，其所有项和为12311113c q ==--．故答案为：1. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力.属于中档题.三、解答题17．有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差数列，求,,a b c ． 【答案】1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===【解析】本题由,,9a b c -成等差数列，可设公差为d ，所以,9a b d c b d =--=+，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可. 【详解】由题意，可设,,9a b c -公差为d ， 则,9a b d c b d =--=+，于是()()()()29219b d b b d b d b d b ⎧-++++=⎪⎨-++=⎪⎩，解得：43b d =⎧⎨=⎩或412b d =⎧⎨=-⎩ 所以1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===． 【点睛】此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题. 18．解下列三角方程： （1）24cos 4cos 10x x -+=； （2）2sin 3sin cos 10x x x ++=； （3）sin 212(sin cos )120x x x --+=． 【答案】（1）2()3x k k Z ππ=±∈；（2）1arctan 2x k π=-或()4x k k Z ππ=-∈；（3）22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈．【解析】（1）先解一元二次方程，再根据余弦函数性质解三角方程；（2）先利用1的代换转化为齐次方程，再根据弦化切转化解一元二次方程，最后根据正切函数性质解三角方程；（3）令sin cos t x x =-，将原方程转化为关于t 的一元二次方程，根据t 的范围解得t 的值，再利用辅助角公式以及正弦函数性质解三角方程. 【详解】 （1）2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2()23x x x x x k k ππ-+=∴-=∴=∴=±∈Z ；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++= 222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x ∴+++=，显然cos 0x =不是方程的解，所以两边同除2cos x ，得22tan 3tan 10x x ++=， ∴1tan 2x =-或tan 1x =-， ∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin44x xππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴244x kπππ-=+或32()44x k kπππ-=+∈Z，∴22x kππ=+或2()x k k Zππ=+∈．【点睛】本题考查解简单三角方程、解一元二次方程、辅助角公式、弦化切，考查综合分析求解能力，属中档题.19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和．【答案】（1）2na n=-；（2）12nn-.【解析】【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得1121210a da d⎧⎨⎩＋＝＋＝－，解得111ad⎧⎨-⎩＝＝，故数列{a n}的通项公式为a n＝2－n.(2)设数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为S n，∵1121212222nn n n na n n－－－－－＝＝－，∴S n＝2211121222n⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋＋－21231222nn⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋记T n＝21231222nn⋯－＋＋＋＋，①则12T n＝231232222nn⋯＋＋＋＋，②①－②得：12T n＝1＋211112222n nn-⋯＋＋＋，∴12T n ＝112112n-－－2n n ，即T n ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－12n n -. ∴S n ＝1212112n ⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n - ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n -＝12n n -.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值．【答案】（1）1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，1311223n n S -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；（2）23． 【解析】（1）先根据等差中项得46n n S a =+，再根据和项与通项关系求数列{}n a 的通项公式，最后代入46n n S a =+求n S ；（2）根据n 奇偶性分类讨论n S 取值范围，进而确定t s ，范围，即得t s -的最小值．【详解】（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =，又1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，又12a =∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列， ∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭； （2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立， 此时，1322n S S <=≤；②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立， 此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=． 【点睛】本题考查等差中项、利用和项与通项关系求通项、数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.21．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号||||x 表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1||||a a =，11||||,0,0,0.n n n na a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中1,2,3n =． （1）若a ={}n a ； （2）当14a >时，对任意的*n N ∈，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设p a q=（p 是整数，q 是正整数，p q 、互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论．【答案】（1）1n a =；（2）13{1,}22--；（3）成立，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用新定义，可求数列{}n a 的通项公式；（2）分类讨论，利用n a a =，即可求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n n np a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n p ，n q 互质），利用反证法可得结论．试题解析：（1）1||1a =，211||||||||||1||1a a ====，若1k a =，则11||||||1||1k ka a +===，所以1n a .（2）1||||a a a ==，所以114a <<，所以114a <<， ①当112a <<，即112a<<时，21111||||||||1a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解a =得（1(,1)2a =，舍去）. ②当1132a <≤，即123a≤<时，21111||||||||2a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解1a ==（111(,]32a =∉，舍去）. ③当1143a <≤，即134a≤<时，21111||||||||3a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得32a -+=（311(,]243a --=∉舍去）.综上. （2）成立.由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数， 可设n n n p a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n np q 既约）. ①由111||||p p a q q ==，可得10p q ≤<； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β≤<，α，β是非负整数）， 则n n n q p p βα=+，而由n n n p a q =得1n n nq a p =， 11||||||||n n n n n q a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=,可得10n n p p +≤<. 若0n p =则10n p +=，若123,,,,q a a a a 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾.故123,,,,q a a a a 中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =.从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大于q 的自然数n ，都有0n a .【考点】（1）新定义；（2）数列递推式.。
2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】
2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________一、填空题1. 计算： ------- :—"~*亚4对+ 12. 已知数列；一「为等差数列，•―- ■-，贝V二3. 在等比数列，中，二y - m ,则—的值为4. 已知；；是等差数列，是其前*项和，•，则45. 函数 -■- 在上「一1」.的值域是6. 数列■:中，込一；，,一二，“；一，.一心“ ■-監,贝V ：的前2015项和= ----------------------- ----7. 在数列.「中，已知广二」..二1* ,且数列•化+菇是等比数列，则9.函数v = sin —+ cos —在f —hT-"\内的单调递增区间为J7争rr10. 在厶'、、、；、中，已知，贝「1, 的取值范围是11. 在等腰直角 中， ，-一 i ,形，如图所示，若正方形的面积依次为 -.八，则•’•‘12.已知数列｛nJ 满足q ・-1勺 ＞斫.匕灼-他卜严⑷「V*）,若数列 ；单调递减，数列；’ 单调递增，则数列罠「；■的通项公式为-=8. 执行右边的程序框图，若 「二、 ，则输出的X1BC 中排列着内接正方（从大到小），其中、选择题) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.A B.C 的对边分别为 门、氏匸.已知c =C,-EU11 A •C . 钝角三角形D .不能确定14.利用数学归纳法证明“ 1 +灯一小 4-L + /' =■|芒 1、 n e A ) ”,在验1 一证 -,成立时，等号左边是()A .B .C .D .1十亓+打】15.在等差数列打 中， 若且的前•项和有最小值， 则使得 |的最小 值 n 为(A .11B .19C .D16. 有穷数列, CT, ， …，- 中的每一项都是一 II , 0 ,1这三个数中的某一个数，若 灯1+ +…+ =425,且 i 一 1 r+・+'+…+■ = 3870 ,则有穷数列■- , ■ ■ ■ ■ ，：： ,中值为0的项数是()A ..■. C B .；门$.1010D . 1030三、 解答题)在 ^中，右，则一宀的形状是()锐角三角形________________ B .直角三角形13. A .(本题满分8分ZU2?C 中，内角 17.在 (1 )求.；，的大小；(2 )若-7.7 ，求 _；；的面积.18. (本题满分8分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.已知；[、：：|| . ^ ^ 一■； .■'|| — ，■，且函数’图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是—•(1 )求的值；(2)将函数= _■/-,,>>的图像向右平移— 个单位后，得到函数■ = 的图像,6 求函数•的解析式，并求 • 在——-上的最值.19. (本题满分10分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分已知数列；.：的首项.■ .「 「.(1 )求证：数列；—-J.为等比数列；•%」(2) 记「；-」--[* ，若| ,求最大正整数坏 %6本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分-公司开拓国际市场，基本形成了市场规模个月(20 14年1月为第一个月)产品的 内销量、出口量和销售总量(销售总量=内销量斗出口量)分别为人 、 和•. (单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：.-,■1 T 1Ifl匚-匚广；广叮(其中为常数，卄二严)，已知 一万件，• 一 万件，. -万件• (1 )求的值，并写出•-与满足的关系式；(2)证明：逐月递增且控制在2万件内•21. (本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分•设等比数列..’的前.项的和为 ，公比为，亩戏口 (1 )若 成等差数列，求证：.成等差数列；(2 )若 ..(-为互不相等的正整数)成等差数列，试问数列I 〕中是20. (本题满分12分)在上海自贸区的利好刺激下 自20 14年1月以来的第否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由； (3)若：.为大于的正整数•试问.:中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由.参考答案及解析第1题【答案】【解析】第2题【答案】【解析】试题分析;由等差数列求和公式£ =即吗十— d 0 = 3 5 ??+戈匕_ x (-2 )/_n = 362 2第3题【答案】 4【解析】--- —Z -- — 一 2 4阳一 1 2试题分析:试题分析：= 102+flj = 1024 =4第4题【答案】-1【解析】第5题【答案】［討］【解析】第6题【答案】1【解析】试题分析：由递推公式应-可得各项依次为12X-1-Z-1J.2,所決周期为d,前6项和 为°,所以电町二珂_込+气+丐+%二“第7题【答案】2 3^-re【解析】试题分折：数列⑺号对第二项込十2-6 ,第三项◎十3二1& ,等比数列公比対3/.心 十 M 二& 3,1~-二心 二 2 3：'-1- n第8题【答案】试题分析;- 1T-CCOE ； A试题分析;s n A【解析】H5：程序执行中的费据变怙尸〃士46 = 2”击.27®二丄十丄L 6<7J 7 = 7,J -—+ —+L +—7<7不成立,输岀 2x3 3><4 2«3 3 如 7«81 】q 丄1 1 1 3二； -- 十 ---- -T [ 十 ---- 二一一一二一 2凉 A4 7^8 2 8 S第9题【答案】【解析】Q r e （~2^r,2^） : 乂亡乂+ 乞214第10题【答案】试题分析：过A 作血）丄EC 于D 」B = 60". C = 2, B[1<1 = 1 0寸、mC 二1』当取=4时 试题分析：严 响吟+遇于三』5血-+ - 匕4丿（35e — /T, —/r I 4 4令三畀 2托714€72'2、增区间为卜寻&・所a sin c 的取值范围是[£i]At【解析】此A 寸=第11题【答案】92【解析】x3 —迸试题分析；设第一个正方形的边长为知贝恼相佩三角册可得= S产4再宙ffilU三角形可得卅丄比L构成4为首项，扌为公比的等比数列，S 4 9■■魚⑶+ S/L ^^)=^-=—=-9第12题【答案】E-L【解析】试题分析；采用列举法得刊=-g =1*理=-3心=5•码=—1血二21L 、然后从数字的变化上找规律，得％广碣二(T厂2” •「①=(外亠％JH為叫卄叽)+L卡@十的)=(—1丫05(Typr+L ±2U2T-1 (-2)^-1 | (-2?-1■■«■-J ■■ 电第13题【答案】【解析】试题分析:由正弦翹里可将迪Ur in诂“血C诗化为R > 丁/nf—十h】一F，7F _LcosC=——； ----- >OAC<-,由已知A，B角的范围不确定，因此形状不能确定2ab2第14题【答案】C【解析】试题分析：n = l时等号左恻卫的最高次数为為所以所边为"卄亍第15题【答案】C【解析】试题分析：M的前斤项和必有最小倩，所以豹列单调递增，且首项巧<o•:加—1二％<0^n>0 且％+知>0.兀二WSjqJ二旧％丸虽二沙匹）二10（佝旳,所以使得\>0的最小1削—--第16题【答案】【解析】试题分析！（巧十1）' +0 +1）]丰他寸1尸+'" + （%手+1）J=3E7OR开得佃+L +d■审”）+2&十碣*L +«；0]j ）+2015 = 3870 ”-&+卅4|_ +咗严E0S ・所以7 ,1共W1E硕，刪,值为0啊I页骚是血0天第17题【答案】（1）R = —（2）M 或需【解析】试题分析；⑴ 由关系式刘1^4$)*诚/_£) =wA・结合两角和差的正弦展开式化简可求得8汕的值，得到B角大小£⑵ 由B甬和方疋边利坪余弦定理可求得静边长，结合三角形面积公式S = —^c s-iii *求得面积2试题解析：（1）2&111.4^0£5= SAH A => eos5 -—或虹n 勺兰0（雋）f/. B28 = a2?良卩口' -6^ + S = 0 、二&二2站二4当（? = 2 时，S ——CC sin R 二3 迟；当/T= 4 B寸：S ——crc&in R — 6爲第18题【答案】⑴1⑵sM^ = n ,厭工)碍二运【解析】试题分析；⑴由对称轴的距蛊求得函数周期，进而得到血IB,代入7(0)-0可戒得倂角：从而确JT 7T 定函数解析式，将自变量“亍代入求解的值,⑵由平移规律得到函数y=^W的解析式h 4咖二岳inp■勻,由工的范围得到"■彳的范围，进而结合单调性求得函数最值试题解析：(1) /M=^2sin(^4^+-)_7 = ^ A，■*'- VFsmpx)…'/(彳)-JJsdil 二-14第19题【答案】详见解析(2)99【解析】试西并析：CD证明数列是等比数列需证明数列相邻两项的比值为常数，井且首项不为①本题中通过数列& ｝的递推公式入手将其变形1冋j⑵借助于(1)的结论求得数列S ｝的的通项公比进而得到数列］三］的通项公式」结合特点采用分组拥闻W比数列求和公式可得到爲的表达式，解不孝武可求得：值’T ⑴Q土中护亡-1说乜,且Q「“.右I"”⑵由⑴可求得于第20题【答案】（1）应二Lb二"g, g] =2屯档士/ C3详见解析A£【解析】试题分析；（1）依蛊意：口―】=■巾+】=吗+內+占如'；将諏1，2；构建方程组丿冃卩可求得S b的値，从而可得為巧芍町满足的关系式』⑵先证明3“為-如/"*6_2卄少2 , 于是供＜2 .再用作差法证明久亡弘,从而可得结论；试题解析：Ci）依ffiiS：口“二矗齐十£卄]二“％十口,，、 3 *.\ 0\ —皿】丄诃十5CT*,「*阿+1十H寸一“ ........ ① 又立* —+ t7r卄by jI r j ■■■■u Ji IA -£7+- + ^! -V=- .................. ②解①②得＜7=1,6 = -2 2 （2 丿8 2从而口m二2口厂十「（2）由于码T = 2珂厂+口；=一片（臥一2）】十2$2・但碍・1工2・否贝」可推得% =匹=2矛盾・故孝&偽・严2 ,于ftn, ＜ 2 .又旳〒1_码=_*V・2码-q =-斗码（码・2）:＞0 ,所決為勺卜仇，从而＜2 .第21题【答案】（1）详见解析（2）心+].dg.q.] （3）不存在【解析】试题分析：⑴ 根据％%爲成等差数列，q^l,可得2几=2 +耳,化简可得,进而可以证明如.％你成等差数列,（2）根据凡・片$ 51为互不相等的正整数）成等差数列、可得2S#二几4Sr ；化简可得2叩「4珂7‘ ；从而可得％“叶知成尊差数列，即可得出结论,<3）设存在一项①,使得丑・恰好可以表示/该数列中连续两项的和，设冷=6斗％] ）可得斤>"} q s'n =1+（?，从而可得结论试题解析：（1）若Z，咼成等差数列,则2S宀览,即2円（1一/；） _ 竹（1-/> | 呵（1-扌）\・q '■ q \-q+ ” …：靳二1 + / ,又2弧- （% +a u） = 2如7 -（a}q9 + qg"） = qg°（2/ T -『）=0|.・2<7|g = CT]。
上海行知职业高级中学2020年高一数学理下学期期末试题含解析
上海行知职业高级中学2020年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知为平面上不共线的三点，若向量=（1，1），=（1，-1），且·=2，则·等于（A）-2 （B）2 （C）0 （D）2或-2参考答案：B略2. 已知集合，则A. {1,6}B. {1,7}C. {6,7}D. {1,6,7}参考答案：C【分析】先求，再求．【详解】由已知得，所以，故选C．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．3. 设集合，，则A. B. C. D.参考答案：C4. 下列四个命题中正确的个数为（）①若，则的取值范围是；②若不等式对满足的所有实数都成立，则实数的取值范围是；③若正数满足，则的取值范围是；④若实数，且，则的最小值是4.A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D5. 设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题：①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则lα；②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若lα，A∈l，则Aα；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合．则上述命题中，正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：C【分析】由公理1可知①正确；由公理3可知②正确；由公理2可知④正确；当点A为直线l与平面α的交点时，可知③错误．【详解】由公理1可知①正确；由公理3可知②正确；由公理2可知④正确；当点A为直线l与平面α的交点时，可知③错误．【点睛】本题主要考查了立体几何公理1,2，3，属于容易题.6. 已知数列的前项和为,则数列的前10项和为（）A.56B.58C.62D.60参考答案：D略7. 函数f（x）=（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】根据图象，求出A，ω，φ，再求出相应的函数值．【解答】解：由题意，可得A=2，T=π，∴ω=2，∵=2，=﹣2，∴φ=，∴f（x）=．∴==﹣2，故选D．8. 若lgx﹣lgy=a，则=（）A．3a B．C．a D．参考答案：A 【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的性质化简表达式，然后把lgx﹣lgy2a代入即可．【解答】解： =3（lgx﹣lg2）﹣3（lgy﹣lg2）=3（lgx﹣lgy）=3a故选A．9. 如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A10. 函数的零点个数是（）A．个 B．个 C．个 D．无数个参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若对任意实数，规定是不超过的最大整数，如等，则当时，函数的值域为___________参考答案：12. （5分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是．参考答案：4考点： 任意角的三角函数的定义． 专题： 计算题．分析： 利用任意角的三角函数的定义，求出它的正切值，即可得到a 的值．解答： 由题意可知：tan120°=，所以a=4故答案为：4点评： 本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．13. 长方体的长为5，宽为4，高为3，则该长方体的外接球体的表面积为_________.参考答案：(2,-2) 略14. 数列{x n }满足，则________.参考答案：【分析】根据题意可求得和的等式相加，求得，进而推出，判断出数列是以6为周期的数列，进而根据求出答案。
上海市上海中学2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
上海市上海中学2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题。
1.1lim 1n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 【答案】1【解析】【分析】 由1lim=0x n→∞即可求得 【详解】11lim(1=lim1lim =1-0=1x x x n n →∞→∞→∞--） 【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。
2.已知等差数列13,21,2,n a a d ===则n = ．【答案】10【解析】试题分析：根据公式，()11n a a n d =+-，将13,21,2,n a a d ===代入，计算得n=10． 考点：等差数列的通项公式．3.数列{}n a 中，已知*41322,n n n a n N =-+∈•，50为第________项.【答案】4【解析】【分析】方程变为4132-48=0n n -•，设2n x =，解关于x 的二次方程可求得。
【详解】*41322,n n n a n N =-+∈•，则5041322n n =-+•，即4132-48=0n n -•设2n x =，则213480x x --=，有16x =或3x =-取16x =得216n =，4n =，所以是第4项。
【点睛】发现242n n =（），原方程可通过换元，变为关于x 的一个二次方程。
对于指数结构242n n =（），293n n =（），2255n n =（）等，都可以通过换元变为二次形式研究。
4.{}n a 等比数列，若1234126,52a a a a a ++=-=，则n a =_______.【答案】123n -•【解析】【分析】将1234126,52a a a a a ++=-=这两式中的量全部用1,a q 表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。
【详解】12326a a a ++=相当于211=26a q q ++（）， 4152a a -=相当于3211-1=(1)(1)52a q a q q q -++=（）， 上面两式相除得12,q -=3q ∴=代入就得12a =，123n n a -∴=g【点睛】基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本题考查交集与补集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.
6．函数 的最小正周期是_______
【答案】
【解析】根据周期的求法即可得到结果.
【详解】
因为 ，所以最小正周期是 ，
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查正弦函数的周期公式，属于基础题.
7．已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】
B．是直角三角形，但不是等腰三角形
C．是等腰直角三角形
D．不是等腰三角形，也不是直角三角形
【答案】B
【解析】【详解】
变形为
，
三角形为直角三角形
二、填空题
5．全集 ，若 ， ，则 _______
【答案】
【解析】求得结合 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】
全集 ， ，则 ，
又 ，因此， .
故答案为： .
15．函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， ，若对任意的 ，都有 ，则m的取值范围是_______
【答案】
【解析】首先根据已知条件依次得到在 附近的区间， 、 对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m的取值范围
【详解】
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
【详解】
与 互为反函数，由 得 ，
，
故答案为：【点睛】本题Fra bibliotek查反函数求法.
求反函数的步骤: (1)从原函数式子中解出 用 表示; (2)对换 ;(3)标明反函数的定义域.
12．若线性方程组的增广矩阵为 ，则该线性方程组的解是______.
【答案】
【解析】根据方程组增广矩阵的含义,写出原二元一次方程组,解方程组即可.
【答案】
【解析】先利用两角和的正弦公式化简 的解析式，然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式，最后由奇偶性可得 的最小值.
【详解】
，
将其图象向左平移 个单位长度后，得
的图象，
由图象为偶函数图象可得
所以
令 ，得 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，以及三角函数的奇偶性，属于中档题.
【详解】
对于函数 ，该函数的定义域为 ，
由于函数 在 上单调递增，则 ，
且 ，
，所以， ，
因此，函数 的定义域为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用反三角函数的值域求原函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.
4．在 中， 的对边分别记为 ，且 ， 都是方程 的根，则 （）
A．是等腰三角形，但不是直角三角形
【详解】
作出函数 的图象如下图所示：
当 时， ，则 ，此时， .
设 ，令 ，由图象可知 ，
由 ，可得 ；
由 ，可得 ；
由 ，可得 ， .
因此， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用函数的零点求代数式的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
14．已知函数 ，将其图象向左平移 个单位长度后，得到的图象为偶函数，则 的最小值是_______
【详解】
因为线性方程组的增广矩阵为
由增广矩阵的含义,可知原二元一次方程组为
,解方程组可得
故答案为:
【点睛】
本题考查了线性方程矩阵的表示形式,增广矩阵的含义,属于基础题.
13．设函数 ，若有不相等的实数 、 、 满足 ，则 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】作出函数 的图象，设 ，令 ，求得 的取值范围，可得出 关于 的表达式，进而可求得 的取值范围.
2019-2020学年上海市行知中学高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60°，即分针转过的角的弧度数是 .
本题选择A选项.
2．关于函数 ，有下列四个命题，其中正确的是（）
故选：B.
【点睛】
本题考查函数知识的综合应用，涉及到函数值域、奇偶性和单调性的判断、方程根的分布等知识；易错点是在判断单调性时，忽略函数为分段函数的特点，采用并集符号连接单调区间，造成单调性求解错误，属于基础题.
3．函数 的反函数 ，则 的定义域为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求得函数 的值域，由此可得出函数 的定义域.
【详解】
对于A选项：令 ，解得： ，可知 值域含有元素 ，则A错误；
对于B选项：由解析式可知 定义域为 ，又 是奇函数，则B正确；
对于C选项：当 时， ；当 时， ，可知 在 上不满足单调递增的定义，则C错误；
④由 得： ，即 ，整理可得：
， 与 各有两个不等实根，
又 ， 不是两个方程的根， 方程 总有四个不同的解，则D错误；
当 时， ，则 ，
由此作出 图象如图所示，由图知当 时，令 ，
整理得： ，
解得： 或 ，
【详解】
解：由余弦定理可知：边长分别为5，6，7的三角形的最大角的大小是 ，
，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查余弦定理的应用，注意反三角函数的应用，考查计算能力，属于基础题．
11．若函数 与 的图像关于直线 对称，则 ______.
【答案】
【解析】函数 与 的图像关于直线 对称，则 与 互为反函数，求 的反函数即可.
8．已知 ， ，则 _______
【答案】
【解析】利用两角差的正切公式可求得 的值.
【详解】
， ，
因此， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.
9．已知函数 ，若 ，则 ________．
【答案】-7
【解析】分析：首先利用题的条件 ，将其代入解析式，得到 ，从而得到 ，从而求得 ，得到答案.
A． 的值域是 B． 是奇函数
C． 在 上单调递增D．方程 总有两个不同的解
【答案】B
【解析】A中通过令 可求得 的值，可知值域包括 ，可判断A；
B中根据奇函数的定义可判断B；
C中通过反例可确定 在 上不满足单调递增的定义，可判断C；
D中将方程变为 ，通过验证两个一元二次方程各有两个不等实根，并且 不是其中任何一个的根，即可确定方程共有四个不同解，可判断D.
详解：根据题意有 ，可得 ，所以 ，故答案是 .
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
10．边长分别为5、6、7的三角形的最大角的大小是_______
【答案】
【解析】直接利用余弦定理，求出最大角的余弦值，即可求出边长分别为5，6，7的三角形的最大角的大小．