经典面积公式【抛物线焦点三角形】(原创珍藏版)

★抛物线的焦点三角形面积公式：

1. 如图所示，中心为坐标原点，焦点在x 轴的抛物线px 2y 2=

如图所示，F(2

p ,0)为抛物线的焦点。直线AB 过焦点F ,交抛物线于A(a,b)、B(m,n)两点，A 、B 在x 轴的射影分别为C(a,0)、D(m,0),则焦点三角形为△AOB 。 ∠AFC=θ, 则∠BFD=θ,θ∈(0,π)。

Ⅰ.在△A FC 中，FC=a-2p ,CA=b ；θcos =FA

FC ,θsin =FA CA ； 则FA=θcos 2p -a =θ

sin b

⇒a-2p =b θ

θsin cos =b θcot

⇒a=b θcot +2

p ① 又A(a,b)在抛物线px 2y 2=上，则有2b =2pa

⇒a=p

2b 2

② 由①②得b θcot +2p =p 2b 2

⇒2b -2p θcot b-2p =0

⇒b=p(θcot +

θsin 1)=p θθsin 1cos +＞0

或b=(θcot -

θsin 1)=p θθsin 1cos -＜0(舍去)

∴b=p θ

θsin 1cos + 由AOF △S =21OF ×AC=21×2p ×b=b 4

p =4p 2θθsin 1cos +

Ⅱ.在△BFD 中,DF=2p -m,DB=n ；θcos =FB

DF ,θsin =FB DB ； 则FA=θcos m -2p =θ

sin n ⇒2p -m = n θ

θsin cos = n θcot

⇒m=2

p -n θcot ① 又B(m,n)在抛物线px 2y 2=上，则有2n =2pm

⇒m=p

2n 2

② 由①②得2

p -n θcot =p 2n 2 ⇒2n +2p θcot n-2p =0

⇒n=p(-θcot +

θsin 1)=p θθsin cos -1＞0

或n=(-θcot -

θsin 1)=p θθsin cos -1-＜0(舍去)

∴n=p

θ

θsin cos -1

由BOF △S =21OF ×BD=21×2p ×n=4p 2θ

θsin cos -1

∴AOB △S =AOF △S +BOF △S =4p 2(θθsin 1cos ++θθsin cos -1) =4p 2θ

sin 2 =θ

2sin p 2

即AOB △S =θ

2sin p 2