苏教版高中数学必修二高一必修模块2综合考试
2019—2020年最新苏教版高中数学必修二模块综合试题卷及答案答案解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x－3＝0的倾斜角是( )A．45°B．60°C．90°D．不存在答案：C2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x 的值是( )A．－3或4 B．－6或2C．3或－4 D．6或－2答案：D3．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－2x－6y－6＝0的位置关系是( )A．相交B．相离C．外切D．内切答案：D4．在同一个直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )答案：C5．(2013·广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143 C.163 D ．6答案：B6．(2013·重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1C ．6－2 2 D.17解析：先求出圆心坐标和半径，再结合对称性求解最小值，设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C′1C2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.答案：A7.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有( )A．4对B．3对C．2对D．1对答案：B8．(2013·辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△AOB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析：根据直角三角形的直角的位置求解．若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－ba ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件． 答案：C9．一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积之比是3∶2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为( ) A．1∶1 B．1∶ 2C.2∶ 3 D．3∶2答案：A10．(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列，命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)11．若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC 的平面β(不包括△ABC 所在平面)的位置关系是________．答案：平行12．设m >0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m的位置关系为________．解析：圆心到直线的距离为d ＝1＋m2，圆半径为m ，∵d －r ＝1＋m2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2＞0，∴直线与圆的位置关系是相离．答案：相离13．两条平行线2x ＋3y －5＝0和x ＋32y ＝1间的距离是________．答案：3131314．(2013·大纲卷)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于________．解析：根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到直角三角形中计算，进而求得球的表面积．如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则AB ＝R .取AB 中点M ，连接OM 、KM ，由圆的性质知OM ⊥AB ，KM ⊥AB ，所以∠KMO 为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则∠KMO ＝60°.在Rt △KMO 中，OK ＝32，所以OM ＝OKsin 60°＝3.在Rt △OAM 中，因为OA 2＝OM 2＋AM 2，所以R 2＝3＋14R 2，解得R 2＝4，解得R 2＝4，所以球O 的表面积为4πR 2＝16π.答案：16π三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的斜率；解析：当m ＝－1时，直线AB 的斜率不存在， 当m ≠－1时，k ＝1m ＋1.(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的范围．解析：当m ＝－1时，α＝π2，当m ≠－1时，k ＝1m ＋1∈⎝⎛⎦⎤－∞，－3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， 则α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3，综上，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.16．(2013·上海卷)(本小题满分12分)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1＝6，异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为π6，求该三棱柱的体积．解析：因为CC1∥AA1，所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C＝π6，在Rt△BC1C中，BC＝CC1·tan ∠BC1C＝6×33＝23，从而S△ABC＝34BC2＝33，因此该三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝33·6＝18 3.17.(2013·江西卷)(本小题满分14分)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，求直线l的斜率．解析：根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解．由于y＝1－x2，即x2＋y2＝1(y≥0)，直线l与x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B两点，如图所示，S△AOB＝12·sin∠AOB≤12，且当∠AOB＝90°时，S△AOB取得最大值，此时AB＝2，点O到直线l的距离为22，则∠OCB＝30°，所以直线l的倾斜角为150°，则斜率为－3318．(本小题满分14分)下图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．解析：此几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．表面积为S ，则S ＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π，体积为V ，则V ＝8×4×6＋12×22×8π＝192＋16π，所以几何体的表面积为176＋20π(cm 2)，体积为192＋16π(cm 3)．19．(本小题满分14分)如图，△ABC中，AC＝BC＝22 AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；证明：连EA交BD于F，∵F是正方形ABED对角线BD的中点，∴F是EA的中点．∴FG∥AC .又FG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴FG ∥平面ABC .(2)求BD 与平面EBC 所成角的大小；解析：∵平面ABED ⊥平面ABC ，BE ⊥AB ，∴BE ⊥平面ABC .∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ，∴BC ⊥AC ，又∵BE ∩BC ＝B ， ∴AC ⊥平面EBC . 由(1)知，FG ∥AC ， ∴FG ⊥平面EBC ，∴∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角． 又BF ＝12BD ＝2a 2，FG ＝12AC ＝2a4，sin ∠FBG ＝FG BF ＝12.∴∠FBG＝30°.(3)求几何体EFBC的体积．答案：V EFBC＝V FEBC＝13S△EBC·FG＝13·12·a·2a2·12·2a2＝a324.20．(2013·江苏卷)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；解析：由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在，设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.由题意，得|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或k＝－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a 的取值范围．解析：因为圆心在直线y＝2x－4上，设圆心C[a,2(a－2)]，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以x2＋(y－3)2＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。
苏教版高中数学必修2章末综合测评2 Word版含解析
章末综合测评(二) 平面解析几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．直线l：x－3y＋1＝0的倾斜角为________．【解析】l：y＝33x＋33，k＝33，∴α＝30°.【答案】30°2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．【解析】直线方程为y＝3x, 圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝3x的距离为d＝1，∴半弦长为22－1＝3，∴弦长为2 3.【答案】2 33．(2016·常州高一检测)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是__________．【解析】圆心(0,1)到直线l的距离d＝|－1－m＋1|m2＋1＝|m|m2＋1<1＝r.故直线l与圆C相交．【答案】相交4．关于x的方程4－x2＝12(x－2)＋3解的个数为________个. 【导学号：60420097】【解析】作出y＝4－x2和y＝12(x－2)＋3＝12x＋2的图象．可看出直线与半圆有两个公共点．【答案】 25．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为________．【解析】因为直线3x＋y－1＝0的斜率为－3，所以直线l的斜率为13.又直线在x轴上的截距为－2，即直线l与x轴的交点为(－2,0)，所以直线l的方程为y－0＝13(x＋2)，即x－3y＋2＝0.【答案】x－3y＋2＝06．(2016·南京高一检测)若曲线(x－1)2＋(y－2)2＝4上相异两点P，Q关于直线kx－y－2＝0对称，则k的值为__________．【解析】依题意得，圆心(1,2)在直线kx－y－2＝0上，于是有k－4＝0，解得k＝4.【答案】 47．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．【解析】a2＋b2的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝|0＋0－15|32＋42＝3.【答案】 38．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为86，则x 的值为________．【解析】(x＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝86，解得x＝2或－8.【答案】2或－89．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.【解析】依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1.满足题意，所以a2＋b2＝2.【答案】 210．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【解析】设平面上的点为P，易知ABCD为凸四边形，设对角线AC与BD 的交点为P′，则|PA|＋|PC|≥|AC|＝|AP′|＋|P′C|，|PB|＋|PD|≥|BD|＝|BP′|＋|P′D|，当且仅当P与P′重合时，上面两式等号同时成立，由AC和BD的方程解得P′(2,4)．【答案】(2,4)11．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0平行，则l1与l2距离为________．【解析】由l1∥l2可知a2＝3a＋1≠11，解得a＝－3或a＝2(舍)，∴a ＝－3.∴l 1：－3x ＋3y ＋1＝0，即x －y －13＝0，l 2：2x －2y ＋1＝0，即x －y ＋12＝0， ∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－122＝5212.【答案】521212．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是__________．【解析】 由圆C 的方程x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0可得圆心C (－2,2)，由题意知直线l 过OC 的中点(－1,1)，又直线OC 的斜率为－1，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.【答案】 x －y ＋2＝013．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________．【解析】 设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形PACB 的外接圆方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝54，①圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程． 【答案】 2x ＋y －3＝014．设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r >0)}，当A∩B＝B时，r的取值范围是________．【解析】∵A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}均表示圆及其内部的点，由A∩B＝B可知两圆内含或内切．∴2≤2－r，即0<r≤2－ 2.【答案】(0,2－2]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知圆C的方程为：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，(1)求m的取值范围；(2)若直线x－2y－1＝0与圆C相切，求m的值．【解】(1)由圆的方程的要求可得，22＋42－4m＞0，∴m＜5.(2)圆心(1,2)，半径r＝5－m，因为圆和直线相切，所以有|1－4－1|12＋－2＝5－m，所以m＝9 5 .16．(本小题满分14分) 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为32，求直线l的方程．【解】若l在两坐标轴上截距为0，设l：y＝kx，即kx－y＝0，则|4k－3|1＋k2＝3 2.解得k＝－6±3214.此时l的方程为y＝⎝⎛⎭⎪⎫－6±3214x；若l在两坐标轴上截距不为0，设l ：x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a |12＋12＝3 2.解得a ＝1或13.此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上，直线l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.17．(本小题满分14分)一个长方体的8个顶点坐标分别为(0,0,0)，(0,1,0)，(3,0,0)，(3,1,0)，(3,1,9)，(3,0,9)，(0,0,9)，(0,1,9)．(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体； (2)求这个长方体外接球的球心坐标； (3)求这个长方体外接球的体积． 【解】 (1)如图．(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径， 所以球心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋02，0＋12，0＋92，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，92. (3)因为长方体的体对角线长d ＝－2＋12＋92＝91，所以其外接球的半径r ＝d 2＝912.所以其外接球的体积V 球＝43πr 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫9123＝91π691.18．(本小题满分16分)已知圆C 的圆心与P (0,1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y ＋1＝0与圆C 相交于E ，F 两点，且|AB |＝4.(1)求圆C 的标准方程；(2)设直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R )与圆C 的交点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 (1)点P (0,1)是关于直线y ＝x ＋1的对称点，即圆心C 的坐标为(0,1)，圆心C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离为d ＝|0＋4＋1|5＝1. 所以r 2＝12＋22＝5，得圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝5. (2)联立得⎩⎨⎧y ＝m x －＋1，x 2＋y －2＝5，消去y ，得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0.由于Δ＝4m 4－4(1＋m 2)(m 2－5)＝16m 2＋20>0，故l 与圆C 必交于两点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝m 21＋m 2，y 0＝mx 0－＋1.消去m ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋(y 0－1)2＝14.∴M 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14.19．(本小题满分16分)(2016·盐城月考)已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 【解】 (1)由题意知，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.又|QC |＝[2－－2＋－2＝42>22，∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 所以设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝n －3m ＋2， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.由题意知直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，解得2－3≤k ≤2＋3， 所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 20．(本小题满分16分)如图1，已知△ABC 中A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．图1【解】 设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得：⎩⎨⎧2x 0－5y 0＋8＝0，x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0，得⎩⎨⎧2x 0－5y 0＋8＝0，x 0＋2y 0－14＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝6，y 0＝4，即B (6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0.。
苏教版高中数学必修二高一综合练习题
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）高一数学必修2综合练习题一.选择题1、若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A 、 相交B 、 异面C 、 平行D 、异面或相交2、如图：直线L 1 的倾斜角α1=30０，直线 L 1⊥L 2 ，则L 2的斜率为（ ）Ａ、33- Ｂ、 33 Ｃ、3- Ｄ、3 ３、三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（ ）Ａ、１条 Ｂ、２条 Ｃ、３条 Ｄ、１或２条４、若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（21，ｍ）三点共线 则ｍ的值为（ ） Ａ、21 Ｂ、21- Ｃ、－２ Ｄ、２ 5、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于Ｅ、F 两点，则∆EOF （O 为原点）的面积为（ ）A 、 23B 、 43C 、 52D 、 5566、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）A 、 0B 、 1C 、 2D 、 37、棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A 、 1∶7B 、2∶7C 、 7∶19D 、 5∶ 168、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ）Ａ、23 Ｂ、43 Ｃ、52 Ｄ、556 9、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2ｃｍ，则球的表面积是（ ）Ａ、8Лｃｍ２ Ｂ、12Лｃｍ２ Ｃ、16Лｃｍ２ Ｄ、20Лｃｍ２10、已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为（ ）Ａ、90０ Ｂ、45０ Ｃ、60０ Ｄ、30０11、圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A. x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、 3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=012、圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A 、 2 B 、21+ C 、221+D 、221+ 二.填空题 13、与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是14、已知：A （1，2，1），B （-1，3，4，），C （1，1，1，），PB AP 2=，则PC 长为15、四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C 的平面角为 度16、已知点M （a ，b ）在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为三.解答题17、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
2021年高中数学 模块综合检测(C)苏教版必修2
2021年高中数学模块综合检测（C）苏教版必修2一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．如图所示，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为________．2．直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则m＝________．3．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0总有两个不同的交点，则a的取值范围是____________．4．若P为平面α外一点，则下列说法正确的是______(填序号)．①过P只能作一条直线与平面α相交；②过P可能作无数条直线与平面α垂直；③过P只能作一条直线与平面α平行；④过P可作无数条直线与平面α平行．5．在圆x2＋y2＝4上与直线l：4x＋3y－12＝0的距离最小的点的坐标是______________．6．矩形ABCD的对角线AC，BD成60°角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角D－AC－B，连结BD，则BD与平面ABC所成角的正切值为________．7．若⊙C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4和⊙C2：x2＋y2＋2x－4my＝8－4m2相交，则m的取值范围是______________．8．已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A为切点，则PA的最小值为________．9．二面角α－l－β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB＝2，在平面β内，CD⊥l于D，CD＝3，BD＝1，M为棱l上的一个动点，则AM＋CM的最小值为__________．10．如果圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)都能使x＋y＋c≥0成立，那么实数c 的取值范围是__________．11．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC＝30°，则此几何体的体积为________．12．P(0，－1)在直线ax＋y－b＝0上的射影为Q(1,0)，则ax－y＋b＝0关于x＋y－1＝0对称的直线方程为________．13．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点的轨迹方程为________．14．如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知点P(－4,2)和直线l：3x－y－7＝0．求：(1)过点P与直线l平行的直线方程；(2)过点P与直线l垂直的直线方程．16．(14分) 如图所示，在棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB 的中点，且△PMB为正三角形．求证：(1)DM∥平面APC；(2)平面ABC⊥平面APC．17．(14分)已知一个几何体的三视图如图所示，试求它的表面积和体积．(单位：cm)18．(16分)已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．19．(16分)从点A(－4,1)出发的一束光线l，经过直线l1：x－y＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1，6)，求入射光线l所在的直线方程．20．(16分)已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．模块综合检测(C) 答案1．162．2或－12解析 令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，所以m ＝2或m ＝－12．3．－6<a<4解析 将圆的方程化为(x －a)2＋(y ＋2)2＝16．圆心(a ，－2)到直线的距离d ＝|4a ＋4|5． ∵直线与圆有两个不同交点，∴d<4，即|4a ＋4|5<4，得－6<a<4． 4．④5．⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65 解析 经过圆心O 且与直线l 垂直的直线的方程是3x －4y ＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0，x 2＋y 2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝65或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝－65画出图形，可以判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最小的点，点⎝⎛⎭⎪⎫－85，－65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最大的点．6．2177．⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－25∪(0,2)解析 圆C 1和C 2的圆心坐标及半径分别为 C 1(m,0)，r 1＝2，C 2(－1,2m)，r 2＝3．由两圆相交的条件得3－2<C 1C 2<3＋2，即1<5m 2＋2m ＋1<25，解得－125<m<－25或0<m<2．8．2 2解析 圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的半径为1，要使PA 最小，只需PC 最小，(PC)min ＝|3＋4＋8|32＋42＝3． 故(PA)min ＝32－12＝22． 9．26解析 将图(1)中二面角α－l －β展成平面，如图(2)所示．连结AC 交l 于M 则AM ＋CM 最小值为AC ＝BD 2＋AB ＋CD 2＝26． 10．c≥2－1解析 对任意点P(x ，y)能使x ＋y ＋c≥0成立， 等价于c≥[－(x ＋y)]max ．设b ＝－(x ＋y)，则y ＝－x －b ．∴圆心(0,1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b|2≤1，解得，－2－1≤b≤2－1． ∴c≥2－1．11．56πR 3解析 半圆旋转一周形成一个球体，其体积为V 球＝43πR 3，内部两个圆锥的体积之和为V 锥＝13πCD 2·AB＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2·2R＝π2R 3，∴所求几何体的体积为43πR 3－π2R 3＝56πR 3．12．x －y ＋1＝0解析 ∵k PQ ·(－a)＝－1，∴a＝1，Q(1,0)代入x ＋y －b ＝0得b ＝1，将其代入ax －y ＋b ＝0，得x －y ＋1＝0，此直线与x ＋y －1＝0垂直，∴其关于x ＋y －1＝0的对称的直线是其本身．13．x 2＋y 2＝4解析 在Rt △AOP 中，∵∠APB＝60°， ∴∠APO＝30°，∴PO＝2OA ＝2，动点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x 2＋y 2＝4． 14．(2)(3)(4)解析 由正方体的平面展开图可得：(2)(3)(4)是相同的． 15．解 (1)设所求直线的方程是 3x －y ＋m ＝0(m≠－7)， ∵点P(－4,2)在直线上， ∴3×(－4)－2＋m ＝0，∴m＝14，即所求直线方程是3x －y ＋14＝0． (2)设所求直线的方程是x ＋3y ＋n ＝0， ∵点P(－4,2)在直线上， ∴－4＋3×2＋n ＝0，∴n ＝－2，即所求直线方程是x ＋3y －2＝0． 16．证明 (1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 中点， ∴DM∥AP．又∵DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， ∴DM∥平面APC ．(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 中点， ∴DM⊥PB．又∵DM∥AP，∴AP⊥PB．又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P ，∴AP⊥平面PBC ． ∵BC ⊂平面PBC ， ∴AP⊥BC．又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A ， ∴BC⊥平面APC ．又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC⊥平面APC ．17．解 由三视图可知，该几何体的直观图可以看成是一个圆台和圆柱的组合体，则圆台的高为h′＝1 cm ，上底半径为r ＝12 cm ，下底半径为R ＝1 cm ，母线l 为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝52(cm )，圆柱的底面半径为R ＝1 cm ，高h 为12cm ， ∴该几何体的体积为V ＝V 圆台＋V 圆柱 ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h′＋S 底面·h ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋π×12＋π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×π×1＋π×12×12＝1312π(cm 3)． 该几何体的表面积为S表面＝πr 2＋πR 2＋π(R ＋r)·l＋2πRh ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋π×12＋π×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12×52＋2π×1×12＝9＋354π(cm 2)．∴该几何体的体积为1312πcm 3，表面积为9＋354πcm 2．18．解 方法一 设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ① 将P ，Q 坐标代入①得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0 ④据题设知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是④的两根．所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48⑤解由②③⑤组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4． 故所求圆的方程为 x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0． 方法二 易求PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0 ① 因为所求圆的圆心C 在直线①上， 故可设其坐标为(a ，a －1)．又圆C 的半径r ＝CP ＝a －42＋a ＋12②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而点C 到y 轴的距离为|a|，∴r 2＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4322，将②式代入得a 2－6a ＋5＝0．所以有a 1＝1，r 1＝13或a 2＝5，r 2＝37，即(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37．19．解 设B(1,6)关于直线l 1：x －y ＋3＝0的对称点为B′(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－6x 0－1·1＝－1，x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4.∴B′(3,4)．依题意知B′在入射光线上． 又A(－4,1)也在入射光线上， ∴所求方程为3x －7y ＋19＝0．20．(1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴r 2＝t 2＋4t2．设圆C 的方程是(x －t)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ．∴S △OAB ＝12OA×OB＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t|＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)解 ∵OM＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN ．∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12．∴直线OC 的方程是y ＝12x ．∴2t ＝12t ．解得t ＝2或t ＝－2． 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)， OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．22896 5970 奰33166 818E 膎32188 7DBC 綼22088 5648 噈21641 5489 咉38524 967C 陼" uM#328048024 耤 h20748 510C 儌。
高中数学苏教版必修2：模块综合检测
模块综合检测[考试时间：120分钟试卷总分：160分]题号一二总分151617181920得分一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分)1．下列命题正确的是________．①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行；②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行.2．已知直线l1：Ax＋3y＋C＝0与l2：2x－3y＋4＝0.若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为________．3．已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是________．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β；4．直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为________．5．已知一个圆锥的母线长是5 cm，高为4 cm，则该圆锥的侧面积是________．6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A －BB1D1D的体积为________cm3.7．若直线x＋ay－2a－2＝0与直线ax＋y－a－1＝0平行，则实数a＝________.8．圆心在直线y＝－4x上，并且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程为________．9．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B －B 1EF 的体积为________．10．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于________．11．已知直线l ⊥平面α，有以下几个判断： ①若m ⊥l ，则m ∥α；②若m ⊥α，则m ∥l ； ③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α. 上述判断中正确命题的序号是________．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－(6－2m)·x －4my ＋5m 2－6m ＝0，直线l 经过点(1,0)．若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为________．13．(新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O为球心，OA 为半径的球的表面积为________．14．直线l ：y ＝x ＋b 与曲线c ：y ＝1－x 2仅有一个公共点，则b 的取值范围________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m ，n 的值，使 (1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.16．(14分)已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)与直线x －y ＋22＝0相切． (1)求圆O 的方程； (2)过点(1，33)的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程； 17.(14分)(陕西高考)如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心， A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面 A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD-A 1B 1D 1的体积．18．(16分)已知两圆C 1：x 2＋y 2＝4，C 2：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，直线l ：x ＋2y ＝0，求经过圆C 1和C 2的交点且和直线l 相切的圆的方程．19．(16分)在如图所示的几何体中，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直，M 为AF 的中点，BN ⊥CE.(1)求证：CF ∥平面MBD ； (2)求证：CF ⊥平面BDN.20．(16分)(广东高考)如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F-DEG 的体积V F-DEG . ★★答案★★1．解析：对于①，两条直线与同一个平面所成角相等，根据线面角定义，可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故①错；对于②，若三点在同一条直线上，则两平面可能相交，故②错；对于③，设α∩β＝l ，m ∥α，m ∥β，利用线面平行的性质定理可以证明m ∥l ，故③正确；对于④，两平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能相交，也可能平行，故④错，所以选③.★★答案★★：③2．解析：l 2与y 轴交于点(0，43)，∴将该点代入l 1的方程，得C ＝－4.★★答案★★：－43．解析：对于①：a ∥α，在α内存在a ′∥a ，又b ⊥α，∴b ⊥a ′，∴b ⊥a 正确；对于②：a 还可以在α内；对于③：b ⊥β，b ⊥α，∴α∥β，正确；对于④：b ⊂β或b ∥β，故错误．★★答案★★：①③4．解析：圆心(1,2)，圆心到直线的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，半径r ＝5，所以截得的弦长为2(5)2－12＝4.★★答案★★45．解析：由于圆锥的母线长是5 cm ，高为4 cm ，所以其底面半径为3 cm ，其侧面积S侧＝12×2×3π×5＝15 π(cm 2)． ★★答案★★：15π cm 26．解析：由题意得VA －BB 1D 1D ＝23VABD －A 1B 1D 1＝23×12×3×3×2＝6.★★答案★★：67．解析：两直线平行，故1a ＝a 1≠2a ＋2a ＋1，得a ＝1.★★答案★★：18．解析：据已知过点P 且与直线l 垂直的直线方程为y ＝x －5，由圆的几何性质可知圆心为直线y ＝x －5与y ＝－4x 的交点，即圆心坐标为A (1，－4)，故半径为点A 到直线x ＋y －1＝0的距离，即r ＝42＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. ★★答案★★：(x －1)2＋(y ＋4)2＝89．解析：VB －B 1EF ＝VB 1－BEF ＝13×12×1×1×2＝13.★★答案★★：1310．解析： 依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝－3(x －1)得，点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. ★★答案★★3411．解析：对①，若m ⊥l ，则m ∥α或m ⊂α，故①错误；②正确；③正确；④正确． ★★答案★★：②③④12．解析：将圆的方程化为标准方程得[x －(3－m )]2＋(y －2m )2＝9， 所以圆心C 在直线y ＝－2x ＋6上．直线l 被圆截得的弦长为定值，即圆心C 到直线l 的距离是定值， 即直线l 过(1,0)且平行于直线y ＝－2x ＋6， 故直线l 的方程是y ＝－2(x －1)，即为2x ＋y －2＝0.★★答案★★2x ＋y －2＝013．解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝322，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S ＝4πR 2＝24π.★★答案★★：24π14. 解析：曲线c 如图，要使l ：y ＝x ＋b 与曲线仅有一个交点，需要－1≤b ＜1或b ＝ 2.★★答案★★：{b |b ＝2或－1≤b ＜1} 15．解：(1)由题意知：P 在直线l 1，l 2上 ∴⎩⎨⎧m ·m ＋8·(－1)＋n ＝0，2·m ＋m ·(－1)－1＝0，∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝7.(1)∵l 1∥l 2∴A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0， 即⎩⎨⎧m ·m －2×8＝0，8×(－1)－m ×n ≠0，∴⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2，或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.(2)由l 1在y 轴上的截距为－1得： m ·0＋8×(－1)＋n ＝0，∴n ＝8. 又l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即m ×2＋8m ＝0，∴m ＝0.∴⎩⎨⎧m ＝0，n ＝8.16．解：(1)由题意知，圆心O 到直线x －y ＋22＝0的距离d ＝2212＋(－1)2＝2＝r ，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1， 此时直线l 截圆所得弦长为23，符合题意． 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －33＝k (x －1)，即3kx －3y ＋3－3k ＝0， 由题意知，圆心到直线l 的距离d 1＝|3－3k |9k 2＋9＝1，所以k ＝－33， 则直线l 的方程为x ＋3y －2＝0.所以所求的直线l 的方程为x ＝1或x ＋3y －2＝0.(3)设A (x A,0)，B (x B ，y B )．由题意知，A (－2,0)，设直线AB ：y ＝k 1(x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋2)，x 2＋y 2＝4，得(1＋k 21)x 2＋4k 21x ＋4k 21－4＝0， 所以x A ·x B ＝4k 21－41＋k 21，所以x B ＝2－2k 211＋k 21，y B ＝4k 11＋k 21，即 B (2－2k 211＋k 21，4k 11＋k 21)， 因为k 1k 2＝－2，用－2k 1代替k 1，得C (2k 21－84＋k 21，－8k 14＋k 21)，所以直线BC 的方程为y －－8k 14＋k 21＝4k 11＋k 21－－8k 14＋k 212－2k 211＋k 21－2k 21－84＋k 21(x －2k 21－84＋k 21)， 即y －－8k 14＋k 21＝3k 12－k 21(x －2k 21－84＋k 21)， 得y ＝3k 12－k 21x ＋2k 12－k 21＝3k 12－k 21(x ＋23)， 所以直线BC 恒过定点(－23，0)．17.解：(1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1， ∴BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1.∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⊄平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.(2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD -A 1B 1D 1的高． 又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1. 又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD -A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.18．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，得圆C 1和C 2的交点A (0,2)，B (85，65)，可求得线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y ＝0， 则所求圆的圆心C 在此直线上．设所求圆的圆心C 的坐标为(a,2a )，由点C 到点A 的距离等于点C 到直线l 的距离且等于半径，得a 2＋(2a －2)2＝|a ＋4a |5，得a ＝12，圆心C 的坐标为(12，1)，半径为52，故所求圆的方程为(x －12)2＋(y －1)2＝54.19．证明：(1)连结AC 交BD 于点O ，连结OM .因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 的中点，因为M 为AF 的中点，所以FC ∥MO ，又因为MO ⊂平面MBD ，FC ⊄平面MBD ， 所以FC ∥平面MBD .(2)因为正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直， 所以AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以AF ⊥BD .又因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .因为AC ∩AF ＝A ，所以BD ⊥平面ACF ，因为FC ⊂平面ACF ，所以FC ⊥BD ， 因为AB ⊥BC ，AB ⊥BE ，BC ∩BE ＝B ，所以AB ⊥平面BCE . 因为BN ⊂平面BCE ，所以AB ⊥BN ，易知EF ∥AB ，所以EF ⊥BN ， 又因为EC ⊥BN ，EF ∩EC ＝E ，所以BN ⊥平面CEF ， 因为FC ⊂平面CEF ，所以BN ⊥FC ， 因为BD ∩BN ＝B ，所以CF ⊥平面BDN .20．解：(1)证明：在等边三角形ABC 中，AB ＝AC . ∵AD ＝AE ，∴AD DB ＝AEEC ，∴DE ∥BC ，∴DG ∥BF ，在题图2中，DG ⊄平面BCF ， ∴DG ∥平面BCF . 同理可证GE ∥平面BCF .∵DG ∩GE ＝G ，∴平面GDE ∥平面BCF ，又DE ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF .(2)证明：在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥FC ， ∵BF ＝FC ＝12BC ＝12.在题图2中，∵BC ＝22，∴BC 2＝BF 2＋FC 2， ∴∠BFC ＝90°，∴FC ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF . (3)∵AD ＝23，∴BD ＝13，AD ∶DB ＝2∶1，在题图2中，AF ⊥FC ，AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面BCF ， 由(1)知平面GDE ∥平面BCF ，∴AF ⊥平面GDE . 在等边三角形ABC 中，AF ＝32AB ＝32， ∴FG ＝13AF ＝36，DG ＝23BF ＝23×12＝13＝GE ，∴S △DGE ＝12DG ·EG ＝118，∴V F -DEG ＝13S △DGE ·FG ＝3324.。
2018-2019高中数学苏教版必修2模块综合测试题卷二及答案解析
苏教版必修2模块综合测试题卷二(满分160分；考时120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．在空间内，可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①三条直线，它们两两相交，但不交于同一点；②三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交；③三个点；④两两相交的三条直线．2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是____________．3．下列命题正确的是________．(填序号)①平行于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两直线平行；③平行于同一直线的两平面平行；④垂直于同一直线的两平面平行．4．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为________ cm2.5．过A(－3,0)，B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程为__________．6．与直线l：mx－m2y－1＝0垂直于点P(2,1)的直线方程为__________．7．如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，DD1的中点，点P是DD1上一点，且PB∥平面CEF，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为______．8．过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l 与直线m间的距离为________．9.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，11111B A BC ABC A B C V V －－＝________.10．若过点A (4,0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为____________． 11．点P (x ，y )在直线x ＋y －1＝0上，则x 2＋2x ＋y 2＋4y ＋5的最小值是________．12．下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则能得出平面ABC ∥平面MNP 的图形序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)13．已知l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，则当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是______________．14.如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱AA 1垂直于底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是________．(填序号)①CC 1与B 1E 是异面直线；②AC ⊥平面ABB 1A 1；③AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1；④A1C1∥平面AB1E.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知点A(4，－3)，B(2，－1)，直线l：4x＋3y＋1＝0，点P在直线l上，且P A＝PB，求点P的坐标．16．(14分)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥E—A1CD的体积．17．(14分)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF ＝1，AE＝6，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点．(1)求证：FG∥平面BED；(2)求证：平面BED⊥平面AED.18．(16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．19．(16分)如图所示，在三棱锥S—ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.20．(16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以点M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．【解析卷】苏教版必修2模块综合测试题卷二(满分160分；考时120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．在空间内，可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①三条直线，它们两两相交，但不交于同一点；②三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交；③三个点；④两两相交的三条直线．答案①解析①中，三条直线，它们两两相交，但不交于同一点，说明三点不在同一条直线上，可以确定一个平面，说明三条直线都在同一平面内；②中，当一条直线与两条异面直线相交时，不能确定一个平面；③中，当三个点在同一条直线上时，不能确定一个平面；④中，当两两相交的三条直线过同一点时，可能确定一个或三个平面．2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是____________．答案x＋2y－3＝0解析设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x＝1对称的点为(2－x，y)．又对称点在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.3．下列命题正确的是________．(填序号)①平行于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两直线平行；③平行于同一直线的两平面平行；④垂直于同一直线的两平面平行．答案②④4．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为________ cm2.答案2＋4 2解析设正四棱柱的高为a cm.由题意知，正四棱柱的体对角线是球的直径，所以1＋1＋a2＝4，所以a＝2，所以正四棱柱的表面积为S＝1×1×2＋4×1×2＝(2＋42)cm2.5．过A(－3,0)，B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程为__________．答案x2＋y2＝9解析以A，B两点为直径端点时的圆的方程为x2＋y2＝9.6．与直线l：mx－m2y－1＝0垂直于点P(2,1)的直线方程为__________．答案x＋y－3＝0解析直线l的斜率为1m，因此与直线l垂直的直线的斜率为－m.又直线l过点P(2,1)，则有2m－m2－1＝0，因此m＝1，则所求的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.7．如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，DD1的中点，点P是DD1上一点，且PB∥平面CEF，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为______．考点 球的表面积题点 其他球的表面积计算问题 答案 41π解析 连结BD 交CE 于O ，则BO OD ＝BE CD ＝12，连结OF ，则当BP ∥OF 时，PB ∥平面CEF ，则PF FD ＝12， ∵F 是DD 1的中点，DD 1＝4，∴DP ＝3，又四棱锥P －ABCD 外接球就是三棱锥P －ABC 的外接球， ∴四棱锥P －ABCD 外接球的半径为 32＋42＋422＝412. 外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫4122＝41π.8．过点P (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为________． 答案 4解析 根据题意知，点P 在圆C 上， ∴切线l 的斜率k ＝－1k CP ＝－11－42＋2＝43，∴切线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)， 即4x －3y ＋20＝0.又直线m 与切线l 平行， ∴直线m 的方程为4x －3y ＝0. 故切线l 与直线m 间的距离d ＝|0－20|42＋(－3)2＝4.9.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，11111B A BC ABC A B C V V －－＝________.答案 13解析 1111—B A BC C BB A V V －＝11—C A BA A ABC V V －＝＝＝13111ABC A B C V －，故11111B A BC ABC A B C V V －－＝13.10．若过点A (4,0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为____________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0，则圆心到直线l 的距离d ＝|2k －4k |k 2＋1. 若直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点， 则d ＝|2k －4k |k 2＋1≤1，解得k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.11．点P (x ，y )在直线x ＋y －1＝0上，则x 2＋2x ＋y 2＋4y ＋5的最小值是________． 答案 8解析 x 2＋2x ＋y 2＋4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y ＋2)2表示点(x ，y )与点(－1，－2)间距离的平方，∴它的最小值即为点(－1，－2)到直线x ＋y －1＝0的距离的平方．12．下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则能得出平面ABC ∥平面MNP 的图形序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)答案 ①②解析 由面面平行的判定定理可得．13．已知l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，则当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是______________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当直线AB 与l 1，l 2均垂直时，l 1，l 2间的距离最大．∵A (1,1)，B (0，－1)， ∴k AB ＝－1－10－1＝2，∴kl 1＝－12.∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.14.如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱AA 1垂直于底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是________．(填序号)①CC 1与B 1E 是异面直线； ②AC ⊥平面ABB 1A 1；③AE 与B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1； ④A 1C 1∥平面AB 1E . 答案 ③解析 ①中，直线CC 1与B 1E 都在平面BCC 1B 1中，不是异面直线；②中，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，而AC 与AB 不垂直，则AC 与平面ABB 1A 1不垂直； ③中，AE 与B 1C 1不平行也不相交，是异面直线．又由已知得平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，由△ABC 为正三角形，且E 为BC 的中点知，AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面BCC 1B 1，则AE ⊥B 1C 1；④中，A 1C 1与平面AB 1E 相交，故错误．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知点A (4，－3)，B (2，－1)，直线l ：4x ＋3y ＋1＝0，点P 在直线l 上，且P A ＝PB ，求点P 的坐标．解 由P A ＝PB 可知，点P 在线段AB 的垂直平分线上．因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点坐标为(3，－2)，AB 所在直线的斜率k AB ＝－1－(－3)2－4＝－1，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为1，且过点(3，－2)， 则其方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －5＝0，4x ＋3y ＋1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.因此点P 的坐标为(2，－3)．16．(14分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥E —A 1CD 的体积． (1)证明 连结AC 1交A 1C 于点O ，连结OD ， 可得OD ∥BC 1.又OD ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥CD .又AB ⊥CD ，AA 1∩AB ＝A ， 所以CD ⊥平面A 1DE ，所以三棱锥E —A 1CD 可以把平面A 1DE 作为底面，CD ＝2作为高，底面A 1DE 的面积为42－2－22－2＝322，所以三棱锥E —A 1CD 的体积为322×2×13＝1.17．(14分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝2，BC ＝EF ＝1，AE ＝6，DE ＝3，∠BAD ＝60°，G 为BC 的中点．(1)求证：FG ∥平面BED ； (2)求证：平面BED ⊥平面AED .证明 (1)取BD 的中点O ，连结OE ，OG . 在△BCD 中，因为点G 是BC 的中点，所以OG ∥DC 且OG ＝12DC ＝1. 又因为EF ∥AB ，AB ∥DC ，EF ＝1，所以EF ∥OG 且EF ＝OG ， 即四边形OGFE 是平行四边形， 所以FG ∥OE .又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以FG ∥平面BED .(2)在△ABD 中，AD ＝1，AB ＝2，∠BAD ＝60°， 由余弦定理可得BD ＝3，进而∠ADB ＝90°， 即BD ⊥AD .又因为平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，所以BD ⊥平面AED . 又因为BD ⊂平面BED ， 所以平面BED ⊥平面AED .18．(16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解 (1)由题设知，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在． 设过点A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3.由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以点D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点M (x ，y )在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3，整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.19．(16分)如图所示，在三棱锥S —ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .证明 (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ， 所以F 是SB 的中点． 又因为E 是SA 的中点， 所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.20．(16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以点M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．解(1)∵点N在直线x＝6上，∴设N(6，n)，∵圆N与x轴相切，∴圆N ：(x －6)2＋(y －n )2＝n 2，n >0. 又圆N 与圆M 外切，圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0， 即圆M ：(x －6)2＋(y －7)2＝25， ∴|7－n |＝|n |＋5，解得n ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)由题意得OA ＝25，k OA ＝2，设l ：y ＝2x ＋b ， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|12－7＋b |22＋1＝|5＋b |5，则BC ＝252－d 2＝225－(5＋b )25，BC ＝25，即225－(5＋b )25＝25，解得b ＝5或b ＝－15，∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。
新教材苏教版高中数学必修第二册模块综合测评
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．复数z 满足(3－2i)z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [由题意得，z ＝4＋3i 3－2i ＝(4＋3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝613＋17i 13，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.]2．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为( )A.112B.19C.16D.14B [将先后两次的点数记为有序实数对(x ，y )，则共有6×6＝36(个)基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共4种，则满足条件的概率为436＝19.故选B. ]3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6D [设2名男生为a ，b,3名女生为A ，B ，C, 则任选2人的种数为ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC ，AB ，AC ，BC 共10种，其中恰有一名女生为aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 共6种， 故恰有一名女同学的概率P ＝610＝0.6 .故选D.]4．已知△ABC 为等腰三角形，满足AB ＝AC ＝3，BC ＝2，若P 为底边BC上的动点，则AP→(AB →＋AC →)( ) A ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4D [如图，设AD 是等腰三角形底边BC 上的高，长度为3－1＝ 2.故AP →·(AB →＋AC →)＝(AD →＋DP →)·2AD→＝2AD →2＋2DP →·AD→＝2AD →2＝2×(2)2＝4.故选D.] 5．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形A [因为lg sin A －lg cosB －lg sinC ＝lg 2，所以lg sin A cos B sin C＝lg 2. 所以sin A ＝2cos B sin C .因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以sin(B ＋C )＝2cos B sin C ，所以sin(B －C )＝0.所以∠B ＝∠C ，所以△ABC 为等腰三角形．]6．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝4，AB ＝BC ＝2，鳌臑P -ABC 的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．64πC [四棱锥P -ABC 的四个面都是直角三角形，∵AB ＝BC ＝2，∴AB ⊥BC ，又P A ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC上的射影，P A ⊥CA ，∴BC ⊥PB ，取PC 中点O ，则O 是P -ABC外接球球心．由AB ＝BC ＝2得AC ＝22，又P A ＝4，则PC ＝8＋16＝26，OP ＝6， 所以球表面积为S ＝4π(OP )2＝4π×(6)2＝24π.故选C.]7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2，p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 A [∵向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2共线， ∴a cos B 2＝b cos A 2.由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A 2.∴2sin A 2cos A 2 cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A 2.则sin A 2＝sin B 2.∵0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B 2，即A ＝B .同理可得B ＝C .∴△ABC 的形状为等边三角形．故选A.]8．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱BB 1，CC 1的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含A 1的部分为V 1，不含A 1的部分为V 2，连接A 1和V 2的任一点M ，设A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为α，则sin α的最大值为( )A.22B.255C.265D.266B [连接EF ，因为EF ∥平面ABCD ，所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O且与EF 平行的直线，过点O 作GH ∥BC 交CD 于点G ，交AB 于H 点，则GH ∥EF ，连接EH ，FG ，则平行四边形EFGH 即为截面，则五棱柱A 1B 1EHA -D 1C 1FGD 为V 1，三棱柱EBH -FCG 为V 2，设M 点为V 2的任一点，过M 点作底面A 1B 1C 1D 1的垂线，垂足为N ，连接A 1N ， 则∠MA 1N 即为A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角，所以∠MA 1N ＝α.因为sin α＝MN A 1M ，要使α的正弦值最大，必须MN 最大，A 1M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意．故(sin α)max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN A 1M max ＝HN A 1H ＝255.故选B.] 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．如图是2020年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论其中结论正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；B ．深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；C ．平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；D ．平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海．ABC [对于A.由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A 正确；对于B.由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B 正确； 对于C 由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C 正确；对于D 由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D 错误．故选ABC.]10．已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为3，A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是( )A ．圆锥的高为1B ．三角形P AB 为等腰三角形C．三角形P AB面积的最大值为3D．直线P A与圆锥底面所成角的大小为π6ABD[如图所示：PO＝22－()32＝1，A正确；P A＝PB＝2，B正确；易知直线P A与圆锥底面所成的角为∠P AO＝π6，D正确；取AB中点为C，设∠P AC＝θ，则θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2，S△P AB＝2sin θ·2cos θ＝2sin 2θ，当θ＝π4时，面积有最大值为2，C错误．故选ABD.]11．以下对各事件发生的概率判断正确的是()A．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为1 3B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为1 15C．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是5 36D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12BCD[对于A，连续抛两枚质地均匀的硬币，其样本区间为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}；有4个基本事件，出现一正一反事件A包含的样本点为(正，反)，(反，正)，所以A错误；对于B，从集合{2,3,5,7, 11,13}中取出两个数，其样本空间Ω＝{(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)}，即包含15个基本等可能事件，“两个数的和为14”的事件B仅包含一个样本点(3,11)，所以P(B)＝115，所以B正确；对于C，样本空间有36个样本点，“点数和为6”的事件C包含5个样本点(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，即P(C)＝536，所以C正确；对于D，从四件产品中取出两件，其样本空间为Ω＝{(正1，正2)，(正2，正3)，(正1，正3)，(正1，次)，(正2，次)，(正3，次)}，故共有6个基本等可能事件，“全是正品”的事件的样本点为3个，所以P(D)＝12，所以故选BCD.]12．已知复数z对应复平面内点A，则下列关于复数z，z1，z2结论正确的是()A. |z＋2i|表示点A到点(0,2)的距离B. 若|z－1|＝|z＋2i|，则点A的轨迹是直线C. ||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|D. |z1z2|＝|z1||z2|BCD[对于A，|z＋2i|表示点A到点(0，－2)的距离，所以A错误；对于B, |z－1|＝|z＋2i|表示A点到M(1,0)和N(0，－2)的距离相等，所以A的轨迹是MN的垂直平分线，是一条直线，所以B正确；由复数模的性质知，C、D均正确，故选BCD.]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．2019年国际山地旅游大会于8月29日在贵州黔西南州召开，据统计有来自全世界的4 000名女性和6 000名男性徒步爱好者参与徒步运动，其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为1 000名和2 000名，抵达终点的徒步爱好者可获得纪念品一份．若记者随机电话采访参与本次徒步运动的1名女性和1名男性徒步爱好者，其中恰好有1名徒步爱好者获得纪念品的概率是________．512[“男性获得纪念品，女性没有获得纪念品”的概率为2 0006 000×3 0004 000＝14，“男性没有获得纪念品，女性获得纪念品”的概率为4 0006 000×1 0004 000＝16，故“恰好有1名徒步爱好者获得纪念品”的概率为14＋16＝512.]14．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy 的最大值是________．2524[∵a∥b，∴(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.∵x＞0，y＞0，∴5＝2x＋3y≥26xy，∴xy≤2524，当且仅当3y＝2x时取等号．]15．掷红、白两颗骰子，事件A＝{红骰子点数小于3}，事件B＝{白骰子点数小于3}，则事件P(AB)＝__________，P(A＋B)＝________.1 959[由掷红、白两颗骰子，向上的点数共6×6＝36种可能，红色骰子的点数分别记为红1，红2，…，白色骰子的点数分别记为白1，白2，…其中红骰子点数小于3的有1,2二种可能，其中白骰子点数小于3的有1,2二种可能，事件A＝{红1，白1}，{红1，白2}，{红1，白3}，{红1，白4}，{红1，白5}，{红1，白6}，{红2，白1}，{红2，白2}，{红2，白3}，{红2，白4}，{红2，白5}，{红2，白6}，共12种事件B＝{白1，红1}，{白1，红2}，{白1，红3}，{白1，红4}，{白1，红5}，{白1，红6}，{白2，红1}，{白2，红2}，{白2，红3}，{白2，红4}，{白2，红5}，{白2，红6}，共12种，事件AB＝{红1，白1}，{红1，白2}，{红2，白1}，{红2，白2}，共4种，故P(AB)＝436＝19，事件A＋B共有12＋12－4＝20种，故P(A＋B)＝2036＝59.]16．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝1，BC＝2，四棱锥外接球的球心为O，点E是棱AD上的一个动点．给出如下命题：①直线PB与直线CE是异面直线；②BE与PC一定不垂直；③三棱锥E-BCO的体积为定值；④CE＋PE的最小值为2 2.其中正确命题的序号是________．(将你认为正确的命题序号都填上)①③④[对于①，∵直线PB经过平面ABCD内的点B，而直线CE在平面ABCD内不过B，∴直线PB与直线CE是异面直线，故①正确；对于②，当E在线AD上且AE＝14AD位置时，BE⊥AC，因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE，又P A∩AC＝A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴BE⊥平面P AC，则BE垂直PC，故②错误；对于③，由题意知，四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O是PC的中点，则△BCE的面积为定值，且O到平面ABCD的距离为定值，∴三棱锥E-BCO的体积为定值，故③正确；对于④，设AE＝x，则DE＝2－x，∴PE＋EC＝1＋x2＋1＋(2－x)2.由其几何意义，即平面内动点(x,1)与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值知，其最小值为22，故④正确．故答案为①③④.]四、解答题(本大题共6小题，共10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算)17．(本小题满分10分)benti从青岛市统考的学生数学考试试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．(1)求这100份数学试卷成绩的中位数；(2)从总分在[55,65)和[135,145)的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率．[解](1)记这100份数学试卷成绩的中位数为x(95<x<105)，则0.002×10＋0.008×10＋0.013×10＋0.015×10＋(x－95)×0.024＝0.5，解得x＝100，所以中位数为100.(2)总分在[55,65)的试卷共有0.002×10×100＝2(份)，记为A，B，总分在[135,145)的试卷共有0.004×10×100＝4(份)，记为a，b，c，d，则从上述6份试卷中随机抽取2份的结果为{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{B，d}，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，共计15个样本点，且是等可能的．至少有一份总分少于65分的有：{A ，B }，{A ，a }，{A ，b }，{A ，c }，{A ，d }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，c }，{B ，d }，共计9个样本点，所以抽取的2份至少有一份总分少于65分的概率P ＝915＝35.18．(本小题满分12分)已知向量m ＝(cos α，sin α)，n ＝(－1,2)．(1)若m ∥n ，求sin α－2cos αsin α＋cos α的值； (2)若|m －n |＝2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值． [解] (1)因为m ∥n ，所以sin α＝－2cos α.所以原式＝－2cos α－2cos α－2cos α＋cos α＝－4cos α－cos α＝4. (2)因为 |m －n |＝2，所以2sin α－cos α＝2.所以cos 2α＝4(sin α－1)2，所以1－sin 2α＝4(sin α－1)2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝35，cos α＝－45. 所以原式＝－7210.19．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .[解] (1)证明：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得sin A ＝sin B ·sin A cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6. sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6.20．(本小题满分12分)如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于A ，B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB ＝2AD ＝2.(1)求证：EA ⊥EC ；(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F .①证明：EF ∥AB ；②若EF ＝1，求三棱锥E -ADF 的体积．[解] (1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊥AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ABE .又∵AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE .∵E 在以AB 为直径的半圆上，∴AE ⊥BE ，又∵BE ∩BC ＝B ，BC ，BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥平面BCE .又∵CE ⊂平面BCE ，∴EA ⊥EC .(2)①证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面CED ，CD ⊂平面CED ，∴AB ∥平面CED .又∵AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面CED ＝EF ，∴AB ∥EF .②取AB 的中点O ，EF 的中点O ′，在Rt △OO ′F 中，OF ＝1，O ′F ＝12，∴OO ′＝32.由(1)得BC ⊥平面ABE ，又已知AD ∥BC ，∴AD ⊥平面ABE .故V E -ADF ＝V D -AEF ＝13·S △AEF ·AD ＝13·12·EF ·OO ′·AD ＝312.21．(本小题满分12分)已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .(1)证明：a cos B ＋b cos A ＝c ；(2)在①2c －b cos B ＝a cos A ，②c cos A ＝2b cos A －a cos C ，③2a －b cos C cos A ＝c cos B cos A 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答若a ＝7，b ＝5，________，求△ABC 的周长．[解] (1)根据余弦定理：a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 22c＝c ，所以a cos B ＋b cos A ＝c . (2)选①：因为2c －b cos B ＝a cos A ，所以2c ·cos A ＝b cos A ＋a cos B ，所以由(1)中所证结论可知，2c cos A ＝c ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3；选②：因为c cos A ＝2b cos A －a cos C ，所以2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ， 由(1)中的证明过程同理可得，a cos C ＋c cos A ＝b ，所以2b cos A ＝b ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3；选③：因为2a －b ·cos C cos A ＝c ·cos B cos A ，所以2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，由(1)中的证明过程同理可得，b cos C ＋c cos B ＝a ，所以2a cos A ＝a ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋c 2－10c ·12＝49，即c 2－5c －24＝0，解得c ＝8或c ＝－3(舍)，所以a ＋b ＋c ＝7＋5＋8＝20，即△ABC 的周长为20.22. (本小题满分12分)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，且小区里有一条平行于 BO 的小路CD .(1)已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了10分钟，从D 沿DA 走到 A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)(2)若该扇形的半径为OA ＝a ，已知某老人散步，从 C 沿CD 走到D ，再从D 沿DO 走到O ，试确定C 的位置，使老人散步路线最长．[解] (1)法一：设该扇形的半径为r 米，连接CO . 由题意，得CD ＝500(米)，DA ＝300(米)，∠CDO ＝60°，在△CDO 中，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60 °＝OC 2，即5002＋()r －3002－2×500×()r －300×12＝r 2， 解得r ＝4 90011≈445(米)．法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于H ，由题意，得CD ＝500(米)， AD ＝300(米)，∠CDA ＝120° ，在△CDA 中，AC 2＝CD 2＋AD 2－2·CD ·AD ·cos 120°＝5002＋3002＋2×500×300×12＝7002.AC ＝700(米). cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22·AC ·AD＝1114. 在直角△HAO 中，AH ＝350(米)，cos ∠HAO ＝1114，OA ＝AH cos ∠HAO＝4 90011≈445(米)． (2)连接OC ，设∠DOC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3， 在△DOC 中，由正弦定理得CD sin θ＝DO sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝OC sin π3＝2a 3， 于是CD ＝2a 3sin θ，DO ＝2a 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ，则 DC ＋DO ＝2a 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6 ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3 所以当θ＝π3时，DC ＋DO 最大为2a ，此时C 在弧AB 的中点处．。
2019—2020年最新苏教版高一数学必修二综合检测试题及答案解析.doc
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二高一数学必修2综合练习题一.选择题1、若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A 、 相交B 、 异面C 、 平行D 、异面或相交2、如图：直线L 1 的倾斜角α1=30０，直线 L 1⊥L 2 ，则L 2的斜率为（ ） Ａ、33- Ｂ、 33 Ｃ、3- Ｄ、3 ３、三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（ ）Ａ、１条 Ｂ、２条 Ｃ、３条 Ｄ、１或２条４、若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（21，ｍ）三点共线 则ｍ的值为（ ） Ａ、21 Ｂ、21- Ｃ、－２ Ｄ、２ 5、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于Ｅ、F 两点，则∆EOF （O 为原点）的面积为（ ）A 、 23B 、 43C 、 52D 、 5566、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）A 、 0B 、 1C 、 2D 、 37、棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A 、 1∶7B 、2∶7C 、 7∶19D 、 5∶ 168、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ、23 Ｂ、43 Ｃ、52 Ｄ、556 9、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2ｃｍ，则球的表面积是（ ）Ａ、8Лｃｍ２ Ｂ、12Лｃｍ２ Ｃ、16Лｃｍ２ Ｄ、20Лｃｍ２10、已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为（ ）Ａ、90０Ｂ、45０ Ｃ、60０ Ｄ、30０ 11、圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A. x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、 3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=012、圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A 、 2 B 、21+ C 、221+ D 、221+ 二.填空题13、与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是14、已知：A （1，2，1），B （-1，3，4，），C （1，1，1，），PB AP 2=，则PC 长为15、四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C 的平面角为 度16、已知点M （a ，b ）在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为三.解答题17、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
高一数学电子题库第2章章末综合检测苏教版必修2
苏教版数学必修2电子题库 第2章章末综合检测(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1.如果AC <0，BC >0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第________象限． 解析：y ＝－A B x －C B， ∵AC <0，BC >0，∴AB <0，∴－A B >0，又－C B<0.∴此直线通过第一、三、四象限，不通过第二象限． 答案：二2.设点P (x ，y ，z )关于原点的对称点为Q ，则PQ ＝________． 解析：点P (x ，y ，z )关于原点的对称点为Q (－x ，－y ，－z )，则PQ ＝2x 2＋y 2＋z 2.答案：2x 2＋y 2＋z 23.两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：ax ＋6y ＝5间的距离为________．解析：由l 1∥l 2得a 3＝64，a ＝92，所以l 2的方程为3x ＋4y －103＝0.l 1、l 2间的距离d ＝|－2＋103|5＝415. 答案：4154.若直线l 过点A (3，4)，且点B (－3，2)到直线l 的距离最大，则直线l 的方程为________．解析：只有当l ⊥AB 时符合要求，∵k AB ＝4－23－（－3）＝13，∴l 的斜率为－3.∴直线l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0. 答案：3x ＋y －13＝05.函数f (x )＝(x －2011)(x ＋2012)的图象与x 轴、y 轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是________．解析：依题意得，函数f (x )的图象与两条坐标轴的交点分别是A (－2012，0)、B (2011，0)、C (0，－2011×2012)，设经过点A 、B 、C 的圆与y 轴的另一个交点坐标是D (0，y 0)，其中y 0>0，结合图形易知原点O 位于经过点A ，B ，C 的圆的内部，因此由相交弦定理得OA ·OB ＝OC ·OD ，2012×2011＝2011×2012y 0，所以y 0＝1，即经过点A ，B ，C 的圆与y 轴的另一个交点坐标是D (0，1)． 答案：(0，1)6.已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点在圆上，则实数a 等于________．解析：依题意可知，直线2x ＋y －1＝0过圆心(－2，－a 2)，则2×(－2)－a2－1＝0，∴a ＝－10.答案：－107.对于任意实数λ，直线(λ＋2)x －(1＋λ)y －2＝0与点(－2，－2)的距离为d ，则d 的取值范围为________．解析：无论λ取何值，直线都过定点(2，2)，而点(2，2)与点(－2，－2)的距离为42，又点(－2，－2)不在已知直线上，故d ＞0，所以0＜d ≤4 2. 答案：0＜d ≤4 28.圆x 2＋y 2－2x －3＝0与直线y ＝ax ＋1交点的个数为________．解析：直线y ＝ax ＋1恒过定点(0，1)，而02＋12－2×0－3＜0，即点在圆内，所以直线与圆相交，有两个交点． 答案：29.过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________． 解析：由题意知A 、B 两点在圆上， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心．又圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2，1)，∴k BC ＝－1. ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，即y ＝－x ＋3. y ＝－x ＋3与x ＝3联立得圆心C 的坐标为(3，0)，∴r ＝BC ＝（3－2）2＋（0－1）2＝ 2.∴圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.答案：(x －3)2＋y 2＝210.等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A 、C 的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B 的坐标是________．解析：设B (x ，y )，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1BC ＝AC ，即⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·y －3x －3＝－1（x －3）2＋（y －3）2＝（0－3）2＋（4－3）2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝6， ∴B (2，0)或B (4，6)． 答案：(2，0)或(4，6)11.已知直线y ＝12x ＋b (b ≠0)与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，如果△AOB 的面积(O 为原点)小于等于1，那么b 的取值范围是________．解析：令x ＝0，则y ＝b ，∴点B 坐标是(0，b )；令y ＝0，则x ＝－2b ，∴点A 坐标是(－2b ，0)．∴△AOB 的面积S ＝12·|b |·|－2b |＝b 2≤1，∴－1≤b ≤1且b ≠0. 答案：－1≤b ≤1且b ≠012.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线x ＝4－y 2与直线x ＝m 有且只有一个公共点，则实数m 等于________．解析：∵曲线x ＝4－y 2，即为x 2＋y 2＝4(x ≥0)．其图形是如图所示的半圆． ∴直线x ＝m 与半圆有且只有一个公共点时m ＝2. 答案：213.两圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－1＝0的公共弦长的最大值为________．解析：两圆方程相减得相交弦所在直线为x ＋y ＋a ＋b ＝0，∴弦长＝2 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22，∴a＝b 时，弦长最大为2. 答案：214.直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0是圆的两条切线，则该圆的面积是________． 解析：∵两平行直线间的距离即为圆的直径．∴2R ＝|1＋12|2＝324，∴R ＝328，∴S 圆＝πR 2＝932π.答案：932π二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知直线l 的方程是3x ＋4y －12＝0，求分别满足下列条件的l ′的方程：(1)l ′与l 平行，且过点(－1，3)；(2)l ′与l 垂直，且l ′与坐标轴围成的三角形面积为4.解：(1)设所求直线的方程为3x ＋4y ＋t ＝0，将(－1，3)代入上式得－3＋12＋t ＝0，有t ＝－9.∴所求直线方程为3x ＋4y －9＝0.(2)设所求直线方程为4x －3y ＋C ＝0，则它与坐标轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－C 4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，C3， ∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－C 4⎪⎪⎪⎪⎪⎪C 3＝4，C ＝±46，∴所求直线方程为4x －3y ±46＝0.16.(本小题满分14分)已知直线l 过点P (3，4)，(1)它在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍，求直线l 的方程；(2)若直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，求△AOB 的面积的最小值．解：(1)①当直线l 过原点时，符合题意，斜率k ＝43，直线方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0；②当直线l 不过原点时，因为它在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍， 所以可设直线l 的方程为：x a ＋y2a ＝1.∵直线l 过点P (3，4)，∴3a ＋42a＝1，解得a ＝5.∴直线l 的方程为x 5＋y10＝1，即2x ＋y －10＝0.综上所述，所求直线l 方程为4x －3y ＝0或2x ＋y －10＝0. (2)设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)(k <0) 令x ＝0，则y ＝4－3k >0，y ＝0，则x ＝3－4k>0∴S △AOB ＝12(3－4k )(4－3k )＝12＋12[16（－k ）＋9(－k )]．经判断知函数y ＝16（－k ）＋9(－k )的图象在第一象限内，且当k ＝－43时，函数值有最小值，即当k ＝－43时，S △AOB 最小．最小面积为24.17.(本小题满分14分)已知正方形的中心为直线x －y ＋1＝0和2x ＋y ＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x ＋3y －2＝0，求其他三边方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， ∴中心坐标为(－1，0)．∴中心到已知边的距离为|－1－2|12＋32＝310， 设正方形相邻两边方程为 x ＋3y ＋m ＝0和3x －y ＋n ＝0. ∵正方形中心到各边距离相等， ∴|－1＋m |10＝310和|－3＋n |10＝310，∴m ＝4或m ＝－2(舍)，n ＝6或n ＝0.∴其他三边方程为x ＋3y ＋4＝0，3x －y ＝0，3x －y ＋6＝0. 18.(本小题满分16分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0， (1)求实数m 的取值范围；(2)若直线l ：x ＋2y －4＝0与圆C 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值．解：(1)由x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，故5－m ＞0，即m ＜5. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．直线OM ，ON 的斜率显然都存在，由OM ⊥ON ，得y 1x 1·y 2x 2＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.① 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.又因直线l 与圆C 交于M ，N 两点，所以Δ＝162－20(m ＋8)＞0，得m ＜245，且y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝m ＋85，所以x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝4m －165.代入①，得m ＝85，满足m ＜245.所以m ＝85.19.(本小题满分16分)已知圆C 经过两点P (－1，－3)，Q (2，6)，且圆心在直线x ＋2y －4＝0上，直线l 的方程为(k －1)x ＋2y ＋5－3k ＝0. (1)求圆C 的方程；(2)证明：直线l 与圆C 恒相交； (3)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．解：(1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋9－D －3E ＋F ＝04＋36＋2D ＋6E ＋F ＝0（－D 2）＋2×（－E2）－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4E ＝－2F ＝－20，∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.(2)证明：由(k －1)x ＋2y ＋5－3k ＝0，得k (x －3)－(x －2y －5)＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0x －2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1，即直线l 过定点(3，－1)， 由32＋(－1)2－4×3－2×(－1)－20<0，知点(3，－1)在圆内，.∴直线l 与圆C 恒相交．(3)圆心C (2，1)，半径为5，由题意知， 直线l 被圆C 截得的最短弦长为252－[（2－3）2＋（1＋1）2]＝4 5. 20.(本小题满分16分)如图，圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1，2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB ；(2)当弦AB 被点P 平分时，求出直线AB 的方程；(3)设过P 点的弦的中点为M ，求点M 的坐标所满足的关系式．解：(1)如图所示，过点O 做OG ⊥AB 于G ，连结OA ，当α＝135°时，直线AB 的斜率为－1， 故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，∴OG ＝|0＋0－1|2＝22.又∵r ＝22， ∴GA ＝ 8－12＝152＝302， ∴AB ＝2GA ＝30.(2)当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2，∴AB 的点斜式方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.(3)设AB 的中点为M (x ，y )，当AB 的斜率的存在时，设为k ，OM ⊥AB ，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x ＋1），y ＝－1k x ， 消去k ，得x 2＋y 2－2y ＋x ＝0，当AB 的斜率k 不存在时也成立，故过点P 的弦的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－2y ＋x ＝0.。
数学·必修2(苏教版)模块综合检测卷(二) Word版含解析
模块综合检测卷(二)
(时间：分钟满分：分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)．若是圆＋＝的弦，的中点是(，)，则直线的方程是( )
．＋－＝
．＋－＝
．－＝
．－＋＝
解析：由题意知＝＝，
所以＝－.
所以直线的方程为：
－＝－(－)，
即：＋－＝.
答案：．直线通过两直线＋－＝和－＝的交点，且点(，)到的距离为
，则的方程是( )
．－＋＝
．＋＋＝
．－－＝
．－－＝
解析：由得交点(，)．
设的方程为－＝(－)，
即－＋－＝，
所以＝，解得＝.
所以的方程为－－＝.
答案：．在坐标平面上，到点(，，)，(，，)距离相等的点有( )
．个
．个
．无数个
．不存在
解析：在坐标平面内，设点(，，)，依题意得＝，
整理得＝－，∈，
所以符合条件的点有无数个．
答案：
．已知直线：＋－＝(∈)是圆：＋－－＋＝的对称轴．过点(－，)作圆的一条切线，切点为，则＝( )
．．．．
解析：圆的标准方程为(－)＋(－)＝，
圆心为(，)，半径为＝，
因此＋·－＝，＝－，即(－，－)，
＝＝＝.
答案：
．已知两点(－，)，(，)．点是圆＋－＝上任意一点，则△面积的最小值是( )
．－．＋
．－
解析：：－＋＝，
圆心(，)到的距离＝＝，
所以边上的高的最小值为－.
所以＝××＝－.
答案：
．若点(－，－，)关于坐标平面及轴的对称点的坐标分别是(，，)，(，，)，则与的和为( )
．．－．－．。
苏教版高中数学必修二模块综合测评.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．下列叙述中不正确的序号是________．①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②每一条直线都有唯一对应的倾斜角；③与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°；④若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α.【解析】当α＝90°时，tan α不存在，所以④错误，由直线斜率和倾斜角的知识知①②③正确．【答案】④2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．【解析】如图所示，由V＝Sh得，S＝4，即正四棱柱底面边长为2.∴A1O1＝2，A1O＝R＝ 6.＝4πR2＝24π.∴S球【答案】24π3．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为________．【解析】垂足(1，c)是两直线的交点，且l1⊥l2，故－a4·25＝－1，∴a＝10.l1：10x＋4y－2＝0.将(1，c)代入l1，得c＝－2；将(1，－2)代入l2，得b＝－12.则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4.【答案】－44．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________．【解析】S底＋S侧＝3S底，2S底＝S侧，即2πr2＝πrl，得2r＝1.设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl180°＝2πr，∴θ＝180°.【答案】180°5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________. 【导学号：60420098】【解析】当截距均为0时，设方程为y＝kx，将点(3，－4)，代入得k＝－43，即直线方程为4x＋3y＝0；当截距不为0时，设方程为xa＋ya＝1，将点(3，－4)代入得a＝－1，即直线方程为x＋y＋1＝0.【答案】4x＋3y＝0或x＋y＋1＝06．若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值为________．【解析】配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以x2＋y2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x2＋y2的最小值为30－10 5.【答案】30－10 57．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是________．(填序号)①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β；②若l∥α，α∥β，则l⊂β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.【解析】当l⊥α，α⊥β时不一定有l⊂β，还有可能l∥β，故①不对；当l∥α，α∥β时，l⊂β或l∥β，故②不对；若α∥β，α内必有两条相交直线m，n 与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此③正确；若l∥α，α⊥β，则l与β相交或l∥β或l⊂β，故④不对．【答案】③8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________．【解析】连结B1C交BC1于O，则B1C⊥BC1，又A1B1⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，取D1B的中点O1，连结O1O，则∠BO1O就是直线BD1与平面A1B1CD所成的角．不妨设正方体棱长为1，则BD1＝3，BO＝22，O1O＝12，在Rt△BOO1中，tan∠BO1O＝BOO1O＝ 2.【答案】 29．已知直线l：y＝x＋m(m∈R)，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为__________．【解析】由题意知P(0，m)，又直线l与圆相切于点P，则MP⊥l，且直线l的倾斜角为45°，所以点P的坐标为(0,2)，|MP|＝22，于是所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.【答案】(x－2)2＋y2＝810．从直线3x＋4y＋8＝0上一点P向圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0引切线P A，PB，A，B为切点，则四边形P ACB的周长的最小值为__________．【解析】圆心到直线的距离为d＝|3＋4＋8|5＝3，圆的半径为1，所以四边形P ACB的周长的最小值为232－12＋2＝42＋2.【答案】42＋211.图1如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．【解析】如图，取A1B1的中点M，连结GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中，∠HGM＝60°.【答案】60°12．侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．【解析】侧棱长为a的正三棱锥P-ABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a2，该球的表面积为3πa2.【答案】3πa213．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a ＝________.【解析】两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝1a，又a>0，结合图象(略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a＝1.【答案】 114．(2014·全国卷Ⅱ改编)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N .设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ON OM ≥22.而ON ＝1， ∴OM ≤ 2.∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]．【答案】 [－1,1]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m ，n 的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.【解】 (1)∵l 1∥l 2，∴A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0， 即⎩⎨⎧m ·m －2×8＝0，8×(－1)－m ×n ≠0， ∴⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2，或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2. (2)由l 1在y 轴上的截距为－1，得 m ·0＋8×(－1)＋n ＝0，∴n ＝8. 又l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即m ×2＋8m ＝0，∴m ＝0. ∴⎩⎨⎧m ＝0，n ＝8.16．(本小题满分14分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知平面BB1C1C⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，且B1D⊥BC1.(1)求证：A1C∥平面B1AD；(2)求证：BC1⊥平面B1AD.图2【证明】(1)如图，连结BA1交AB1于点O，连结OD.由棱柱知侧面AA1B1B 为平行四边形，所以O为BA1的中点．又D是BC的中点，所以OD∥A1C.因为A1C⊄平面B1AD，OD⊂平面B1AD，所以A1C∥平面B1AD.(2)因为D是BC的中点，AB＝AC，所以AD⊥BC.因为平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C.因为BC1⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC1.又BC1⊥B1D，且AD∩B1D＝D，所以BC1⊥平面B1AD.图317．(本小题满分14分)如图3所示，圆x2＋y2＝8内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求|AB|；(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程．【解】(1)过点O作OG⊥AB于G，连接OA，当α＝135°时，直线AB的斜率为－1，故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，∴|OG |＝|0＋0－1|2＝22， ∴|GA |＝8－12＝152＝302，∴|AB |＝2|GA |＝30.(2)连结OP .当弦AB 被P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2，∴k AB ＝12， ∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.图418．(本小题满分16分)(2015·安徽高考)如图4，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值． 【解】 (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高．又P A ＝1， 所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.19．(本小题满分16分)(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．【解】 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM→＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.20．(本小题满分16分)如图5(1)，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图5(2)所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22.(1) (2)图5(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝23时，求三棱锥F-DEG的体积V F-DEG.【解】(1)证法一：在折叠后的图形中，因为AB＝AC，AD＝AE，所以AD AB＝AEAC，所以DE∥BC.因为DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，所以DE∥平面BCF.证法二：在折叠前的图形中，因为AB＝AC，AD＝AE，所以ADAB＝AEAC，所以DE∥BC，即DG∥BF，EG∥CF.在折叠后的图形中，仍有DG∥BF，EG∥CF.又因为DG⊄平面BCF，BF⊂平面BCF，所以DG∥平面BCF，同理可证EG∥平面BCF.又DG∩EG＝G，DG⊂平面DEG，EG⊂平面DEG，故平面DEG∥平面BCF.又DE⊂平面DEG，所以DE∥平面BCF.(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF.又BF＝CF＝12，BC＝22，所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF.又BF∩AF＝F，BF⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以CF⊥平面ABF.(3)由(1)知，平面DEG∥平面BCF，由(2)知AF⊥BF，AF⊥CF，又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF，所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG.在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32. 由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ， 所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG ＝EG ＝23×12＝13，AG ＝23×32＝33， 所以FG ＝AF －AG ＝36.故三棱锥F -DEG 的体积为V 三棱锥F －DEG ＝13S △DEG ·FG ＝13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×36＝3324.。
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（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．下列叙述中不正确的序号是________．①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②每一条直线都有唯一对应的倾斜角；③与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°；④若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α.【解析】当α＝90°时，tan α不存在，所以④错误，由直线斜率和倾斜角的知识知①②③正确．【答案】④2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．【解析】如图所示，由V＝Sh得，S＝4，即正四棱柱底面边长为2.∴A1O1＝2，A1O＝R＝ 6.∴S 球＝4πR 2＝24π. 【答案】 24π3．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为________．【解析】 垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4·25＝－1，∴a ＝10.l 1：10x ＋4y －2＝0.将(1，c )代入l 1，得c ＝－2；将(1，－2)代入l 2，得b ＝－12.则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4. 【答案】 －44．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________．【解析】 S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝1. 设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl180°＝2πr ，∴θ＝180°.【答案】 180°5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________. 【导学号：60420098】【解析】 当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－4)，代入得k ＝－43，即直线方程为4x ＋3y ＝0；当截距不为0时，设方程为x a ＋ya ＝1，将点(3，－4)代入得a ＝－1，即直线方程为x ＋y ＋1＝0.【答案】 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝06．若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值为________．【解析】配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以x2＋y2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x2＋y2的最小值为30－10 5.【答案】30－10 57．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是________．(填序号)①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β；②若l∥α，α∥β，则l⊂β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.【解析】当l⊥α，α⊥β时不一定有l⊂β，还有可能l∥β，故①不对；当l∥α，α∥β时，l⊂β或l∥β，故②不对；若α∥β，α内必有两条相交直线m，n与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此③正确；若l∥α，α⊥β，则l与β相交或l∥β或l⊂β，故④不对．【答案】③8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________．【解析】连结B1C交BC1于O，则B1C⊥BC1，又A1B1⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，取D1B的中点O1，连结O1O，则∠BO1O就是直线BD1与平面A1B1CD所成的角．不妨设正方体棱长为1，则BD1＝3，BO＝22，O1O＝12，在Rt△BOO1中，tan∠BO1O＝BOO1O＝ 2.【答案】 29．已知直线l：y＝x＋m(m∈R)，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为__________．【解析】由题意知P(0，m)，又直线l与圆相切于点P，则MP⊥l，且直线l的倾斜角为45°，所以点P的坐标为(0,2)，|MP|＝22，于是所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.【答案】(x－2)2＋y2＝810．从直线3x＋4y＋8＝0上一点P向圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0引切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的周长的最小值为__________．【解析】圆心到直线的距离为d＝|3＋4＋8|5＝3，圆的半径为1，所以四边形PACB的周长的最小值为232－12＋2＝42＋2.【答案】42＋211.图1如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．【解析】如图，取A1B1的中点M，连结GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中，∠HGM＝60°.【答案】60°12．侧棱长为a的正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．【解析】侧棱长为a的正三棱锥PABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a2，该球的表面积为3πa2.【答案】3πa213．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________.【解析】两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝1a，又a>0，结合图象(略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a＝1.【答案】 114．(2014·全国卷Ⅱ改编)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N .设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ONOM ≥22.而ON ＝1，∴OM ≤2.∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]． 【答案】 [－1,1]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m ，n 的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.【解】 (1)∵l 1∥l 2，∴A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ·m －2×8＝0，8×(－1)－m ×n ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(2)由l 1在y 轴上的截距为－1，得m ·0＋8×(－1)＋n ＝0，∴n ＝8. 又l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即m ×2＋8m ＝0，∴m ＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝8.16．(本小题满分14分)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，且B 1D ⊥BC 1.(1)求证：A 1C ∥平面B 1AD ； (2)求证：BC 1⊥平面B 1AD .图2【证明】 (1)如图，连结BA 1交AB 1于点O ，连结OD .由棱柱知侧面AA 1B 1B 为平行四边形，所以O 为BA 1的中点．又D 是BC 的中点，所以OD ∥A 1C .因为A 1C ⊄平面B 1AD ，OD ⊂平面B 1AD ，所以A 1C ∥平面B 1AD . (2)因为D 是BC 的中点，AB ＝AC ，所以AD ⊥BC .因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面BB 1C 1C .因为BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC 1.又BC 1⊥B 1D ，且AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面B 1AD .图317．(本小题满分14分)如图3所示，圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求|AB |；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程．【解】 (1)过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，当α＝135°时，直线AB 的斜率为－1，故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，∴|OG |＝|0＋0－1|2＝22，∴|GA |＝8－12＝152＝302， ∴|AB |＝2|GA |＝30.(2)连结OP .当弦AB 被P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2，∴k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.图418．(本小题满分16分)(2015·安徽高考)如图4，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值．【解】 (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ABC 的高．又PA ＝1， 所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC＝AC－AN＝32.由MN∥PA，得PMMC＝ANNC＝13.19．(本小题满分16分)(2014·全国卷Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x,2－y)．由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－1 3，故l的方程为y＝－13x＋83.又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM的面积为165. 20．(本小题满分16分)如图5(1)，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图5(2)所示的三棱锥A BCF ，其中BC ＝22.(1) (2)图5(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F DEG 的体积V F DEG . 【解】 (1)证法一：在折叠后的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ，所以ADAB ＝AEAC ，所以DE ∥BC .因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以DE ∥平面BCF .证法二：在折叠前的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ， 所以AD AB ＝AE AC ，所以DE ∥BC ，即DG ∥BF ，EG ∥CF .在折叠后的图形中，仍有DG ∥BF ，EG ∥CF .又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF .又DG ∩EG ＝G ，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，故平面DEG ∥平面BCF .又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ， 所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF .又BF ＝CF ＝12，BC ＝22， 所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .(3)由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ，由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ，所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG .在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32. 由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ， 所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG＝EG＝23×12＝13，AG＝23×32＝33，所以FG＝AF－AG＝3 6.故三棱锥FDEG的体积为V三棱锥F－DEG＝13S△DEG·FG＝13×12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫132×36＝3 324.。
高中数学 模块综合检测 苏教版必修2
模 块 综 合 检 测(时间：120分钟；满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填在题中横线上)1．给出下列说法：①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体 ②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体 ③如果一个几何体的三视图是矩形，则这个几何体是长方体 ④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中正确说法的个数是________．解析：①不正确，因为球也是三视图完全相同的几何体；②不正确，因为一个横放在水平位置的圆柱，其正视图和俯视图都是矩形；易知③正确；④不正确，因为一个正四棱台的正视图和侧视图也都是等腰梯形． 答案：12．下列结论中，正确的是________(填序号)．①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行； ③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内． 解析：过平面外一点可作一条直线与已知平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以①不对；若α⊥β，a ⊥α则a ⊂β或a ∥β，②不对；③当平面外的直线是平面的垂线时，能作无数个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，因而③也不对． 答案：④3．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为________．解析：设圆心坐标为(a ，b )，由所求圆与x 轴相切且与圆x 2＋(y －3)2＝1相内切可知，所求圆的圆心必在x 轴的上方，且b ＝6，即圆心为(a,6)．由两圆内切可得a 2＋－2＝6－1＝5，所以a ＝±4.所以所求圆的方程为(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36.答案：(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝364.如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是平面图形ABCD 的直观图(斜二测画法)，若A 1D 1∥O ′y ′，D 1C 1在O ′x ′上，A 1B 1∥O ′x ′，且有A 1D 1＝1，A 1B 1＝2，C 1D 1＝3，则平面图形ABCD 的面积是________．解析：把直观图还原为平面图求解．由于A 1D 1∥O ′y ′，D 1C 1在O ′x ′上，A 1B 1∥O ′x ′，所以原四边形ABCD 是∠ADC ＝90°的直角梯形，且AD ＝2A 1D 1＝2，AB ＝A 1B 1＝2，CD ＝C 1D 1＝3，所以S 梯形ABCD ＝12·(AB ＋CD )·AD ＝12×(2＋3)×2＝5.答案：55.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与直线A 1C 1所成的角是________度．解析：只需求AD 1与AC 所成的角，再由△AD 1C 为正三角形即可求出． 答案：606.如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是________．解析：设点M 到截面ABCD 的距离为h ，由V C ABM ＝V M ABC 知 13·S △ABM ·1＝13·S △ABC ·h 又S △ABM ＝12，S △ABC ＝122·1＋242＝34. ∴h ＝23.答案：237．在直线y ＝－2上有点P ，它到点A (－3,1)和B (5，－1)的距离之和最小，则P 点的坐标是________．解析：点B 关于直线y ＝－2的对称点为B ′(5，－3)，AB ′的方程：y ＋31＋3＝x －5－3－5，即x ＋2y ＋1＝0.令y ＝－2，得x ＝3，所以P (3，－2)． 答案：(3，－2)8．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为________． 解析：由已知得正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为2，∴V 棱柱＝12×2×2×32×2＝62.答案：629．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是________．解析：法一：由直线l 过l 1与l 2的交点，故可设直线l 的方程为3x －5y －10＋λ(x ＋y ＋1)＝0，即(3＋λ)x ＋(λ－5)y ＋λ－10＝0.∵l ∥l 3，∴3＋λ1＝λ－52≠λ－10－5，∴λ＝－11.∴直线l 的方程为－8x －16y －21＝0， 即8x ＋16y ＋21＝0.法二：因为l ∥l 3，所以可设l 的方程为x ＋2y ＋m ＝0， 又∵⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y －10＝0，x ＋y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝－138，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫58，－138代入l 的方程得m ＝218.故l 的方程为x ＋2y ＋218＝0，即8x ＋16y ＋21＝0.答案：8x ＋16y ＋21＝010.如图所示，正四棱锥S －ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：如图所示，过S 作SO 1⊥面ABCD ，由已知O 1C ＝12AC ＝1.在Rt △SO 1C 中，∵SC ＝2，∴SO 1＝SC 2－O 1C 2＝1，∴O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，C ，D 的球的球心，∴球半径为r ＝1，∴球的体积为43π·r 3＝43π.答案：43π11．如果圆锥的轴截面是正三角形(此圆锥也称等边圆锥)，则该圆锥的侧面积与表面积的比是________． 解析：设圆锥的底面半径为R ，根据题意得出圆锥的母线长l ＝2R ，所以圆锥的侧面积为πRl＝2πR 2.圆锥的表面积为πRl ＋πR 2＝3πR 2，所以S 侧∶S 表＝2∶3. 答案：2∶312．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心O ，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于________．解析：如图所示，过点B 1作平面ABC 的垂线，垂足为D ，连结AD ，则∠B 1AD 就是所求的线面角．由题意知三棱锥A 1－ABC 为正四面体，设棱长为a ，则AB 1＝3a ， 棱柱的高A 1O ＝a 2－AO 2＝a 2－23×32a 2＝63a .由于A 1B 1∥平面ABC ，故B 1D ＝A 1O ＝63a .在Rt △AB 1D 中，sin ∠B 1AD ＝B 1D AB 1＝23，故AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为23. 答案：2313．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得的直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为________．解析：直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位后的直线方程为2(x ＋1)－y ＋λ＝0，又∵圆心为(－1,2)，半径r ＝5，∴－1＋－2＋λ|5＝5，得λ＝－3或7.答案：－3或7 14．已知点N (3,1)，点A ，B 分别在直线y ＝x 和y ＝0上，则△ABN 的周长的最小值是________．解析：如图所示，点N (3,1)关于直线y ＝x 的对称点为P (1,3)，点N 关于直线y ＝0的对称点为M (3，－1)，直线PM 交直线y ＝x 于点A ，交直线y ＝0于点B ，连结AN ，BN ，则此时△ABN 的周长最小，为AB ＋AN ＋BN ＝AB ＋AP ＋BM ＝PM ＝2 5. 答案：2 5二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知直线l 1：(a ＋1)x ＋y －a ＋1a 2＋1＝0，l 2：x －y －a 2－3a 2＋1＝0.(1)当a 为何值时，l 1∥l 2? 当a 为何值时，l 1⊥l 2?(2)若l 1与l 2相交，且交点在第一象限，求a 的取值范围．解：(1)当(a ＋1)·(－1)－1＝0且－a 2－3a 2＋1－a ＋1a 2＋1≠0时，l 1∥l 2，上式无解，即不存在a ∈R ，使l 1∥l 2.当(a ＋1)·1－1＝0，即a ＝0时，l 1⊥l 2.(2)方程联立得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋1，－a 2＋a ＋2a 2＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1a 2＋1＞0，－a 2＋a ＋2a 2＋1＞0.解得1＜a ＜2.16.(本小题满分14分)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，且E 是棱DD 1的中点，求BE ，A 1E 的长．解：如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．依题意，得B (1,0,0)，E (0,1，12)，A 1(0,0,1)，所以BE ＝ －2＋－2＋－122＝32， A 1E ＝－2＋－12＋－122＝52. 17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C . (1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程．解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b )；令f (x )＝0，得x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且Δ＞0， 解得b ＜1且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得E ＝－b －1，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.18．(本小题满分16分)一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ； (2)求多面体A －CDEF 的体积．解：(1)证明：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE －BCF ，且AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝2 2 ∴∠CBF ＝90°.如图，取BF 中点G ，连结MG 、NG .由M 、N 分别为AF 、BC 中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，∴平面MNG ∥平面CDEF ， ∴MN ∥平面CDEF .(2)法一：作AH ⊥DE 于H ，由于三棱柱ADE －BCF 为直三棱柱，∴AH ⊥平面DCFE ，且AH ＝2，∴V A －CDEF ＝13S 矩形CDEF ·AH ＝13·2·22·2＝83.即多面体的体积为83.法二：∵ADE －BCF 是三棱柱，∴V A －DEFC ＝ 23V ADE －BCF ＝23·S △ADE ·AB ＝23·12×2×2×2＝83.19．(本小题满分16分)已知A (4,1)、B (0,4)两点，在直线l ：3x －y －1＝0上找一点M ，使得|MA －MB |的值最大，并求此时点M 的坐标及最大值．解：设B (0,4)关于直线l ：3x －y －1＝0的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－4x 0－0＝－13，3·x 0＋02－y 0＋42－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝3，所以B ′(3,3)．设M ′为直线l ：3x －y －1＝0上任意一点，则|M ′A －M ′B |＝|M ′A －M ′B ′|≤AB ′.当且仅当M ′、B ′、A 三点共线时，上式等号成立，此时M ′即为所求点M .过点A (4,1)、B ′(3,3)的直线方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.所以直线AB ′与直线l 的交点为M (2,5)．所以当M 点的坐标为(2,5)时，|MA －MB |取得最大值为AB ′＝ 5.20．(本小题满分16分)(2010年高考江苏卷)如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°. (1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BC .因为∠BCD ＝90°，所以BC ⊥CD . 又PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD . 而PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .(2)如图，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于E ，过点E 作PC 的垂线，垂足为F ，则有AE ∥平面PBC ，所以点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离．又EF ⊥PC ，BC ⊥平面PCD ， 则EF ⊥BC .BC ∩PC ＝C ，所以EF ⊥平面PBC . EF 即为E 到平面PBC 的距离． 又因为AE ∥BC ，AB ∥CD ，所以四边形ABCE 为平行四边形． 所以CE ＝AB ＝2.PD ＝CD ＝1，PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥CD ，∠PCD ＝45°.所以EF＝ 2.即点A到平面PBC的距离为 2.。
苏教版数学必修2：模块综合测评
模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．下列叙述中不正确的序号是________．①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②每一条直线都有唯一对应的倾斜角；③与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°；④若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α.【解析】 当α＝90°时，tan α不存在，所以④错误，由直线斜率和倾斜角的知识知①②③正确．【答案】 ④2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．【解析】 如图所示，由V ＝Sh 得，S ＝4，即正四棱柱底面边长为2.∴A 1O 1＝2，A 1O ＝R ＝ 6.∴S 球＝4πR 2＝24π.【答案】 24π3．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为________．【解析】 垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4·25＝－1，∴a ＝10.l 1：10x＋4y－2＝0.将(1，c)代入l1，得c＝－2；将(1，－2)代入l2，得b＝－12.则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4.【答案】－44．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________．【解析】S底＋S侧＝3S底，2S底＝S侧，即2πr2＝πrl，得2r＝l.设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl180°＝2πr，∴θ＝180°.【答案】180°5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________.【导学号：41292131】【解析】当截距均为0时，设方程为y＝kx，将点(3，－4)，代入得k＝－43，即直线方程为4x＋3y＝0；当截距不为0时，设方程为xa＋ya＝1，将点(3，－4)代入得a＝－1，即直线方程为x＋y＋1＝0.【答案】4x＋3y＝0或x＋y＋1＝06．若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值为________．【解析】配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以x2＋y2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x2＋y2的最小值为30－10 5.【答案】30－10 57．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是________．(填序号)①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β；②若l∥α，α∥β，则l⊂β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.【解析】当l⊥α，α⊥β时不一定有l⊂β，还有可能l∥β，故①不对；当l∥α，α∥β时，l⊂β或l∥β，故②不对；若α∥β，α内必有两条相交直线m，n与平面β。
2020学年高中数学模块综合检测苏教版必修2(2021-2022学年)
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）１．在空间直角坐标系O 。
xyz 中,点A 在z 轴上,它到点（2错误!未定义书签。
,错误!未定义书签。
，１)的距离是13，则点Ａ的坐标是( ）A ．(0,0，-1）B ．(0,1，1） Ｃ．(0,０,1） ﻩ D.(0,０,13)解析:选C 由点A 在z 轴上,可设A （0，0,z ）,∵点A 到点(2错误!，错误!,1）的距离是错误!，∴（2错误!－０）2+（错误!未定义书签。
-0)2＋(z -1)2＝13，解得z =1,故A 的坐标为（0,0,1)，故选C.2．圆x 2+y 2+2x -4y ＝0的圆心坐标和半径分别是（ ） A.（１，－2），5 ﻩ B.(１，－2),错误!C.(-1,２)，5 ﻩD ．（－1，2),错误!未定义书签。
解析:选D 圆的方程化为标准方程为(x ＋1）2＋（y －２)2＝5,其圆心是(-１,2),半径为 5. 3．用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为π，则球的体积为( ) A ．错误!πＢ.错误!C.8错误!π ﻩＤ．错误!π解析：选D 所得截面圆的半径ｒ=1，因此球的半径R =错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
,球的体积为43πR 3＝错误!未定义书签。
π。
４．已知ｌ,m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( ） Ａ.若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥ｍ Ｂ．若l ⊥m ，m ⊂α,则l ⊥α C ．若ｌ∥m ，m ⊂α,则l ∥α Ｄ.若l ∥α，m ⊂α,则l ∥m解析：选Ａ 对于A ，若l ⊥α,m ⊂α，则根据直线与平面垂直的性质，知l ⊥m ,故A 正确；对于B,若l ⊥m ，m ⊂α，则ｌ可能在α内，故Ｂ不正确；对于C,若ｌ∥m ，ｍ⊂α,则ｌ∥α或ｌ⊂α，故C 不正确；对于Ｄ,若lﻬ∥α，m ⊂α，则l 与m 可能平行,也可能异面，故D 不正确．故选A 。
高中数学 电子题库 模块综合检测 苏教版必修2
模块综合检测(时间：120分钟；满分：160分)模块综合检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分，把答案填在题中横线上)1.直线l 不在平面α内，用符号表示为________． 答案：l ⊄α2.下列结论中，正确的是________(填序号)．①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行； ③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内． 解析：过平面外一点可作一条直线与已知平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以①不对；若α⊥β，a ⊥α则a ⊂β或a ∥β，②不对；③当平面外的直线是平面的垂线时，能作无数个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，因而③也不对． 答案：④3.半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为________．解析：设圆心坐标为(a ，b )，由所求圆与x 轴相切且与圆x 2＋(y －3)2＝1相内切可知，所求圆的圆心必在x 轴的上方，且b ＝6，即圆心为(a ，6)．由两圆内切可得a 2＋（6－3）2＝6－1＝5，所以a ＝±4.所以所求圆的方程为(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36.答案：(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36 4.如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是平面图形ABCD 的直观图(斜二测画法)，若A 1D 1∥O ′y ′，D 1C 1在O ′x ′上，A 1B 1∥O ′x ′，且有A 1D 1＝1，A 1B 1＝2，C 1D 1＝3，则平面图形ABCD 的面积是________． 解析：把直观图还原为平面图求解．由于A 1D 1∥O ′y ′，D 1C 1在O ′x ′上，A 1B 1∥O ′x ′，所以原四边形ABCD 是∠ADC ＝90°的直角梯形，且AD ＝2A 1D 1＝2，AB ＝A 1B 1＝2，CD ＝C 1D 1＝3，所以S 梯形ABCD ＝12·(AB ＋CD )·AD ＝12×(2＋3)×2＝5.答案：5 5.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与直线A 1C 1所成的角是________度． 解析：只需求AD 1与AC 所成的角，再由△AD 1C 为正三角形即可求出． 答案：60 6.如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是________．解析：设点M 到截面ABCD 的距离为h ，由V C ABM ＝V M ABC 知 13·S △ABM ·1＝13·S △ABC ·h ， 又S △ABM ＝12，S △ABC ＝12×2×12＋（12）2－（24）2＝34.∴h ＝23.答案：237.在直线y ＝－2上有点P ，它到点A (－3，1)和B (5，－1)的距离之和最小，则P 点的坐标是________．解析：点B 关于直线y ＝－2的对称点为B ′(5，－3)，AB ′的方程：y ＋31＋3＝x －5－3－5，即x＋2y ＋1＝0.令y ＝－2，得x ＝3，所以P 点坐标为(3，－2)． 答案：(3，－2)8.正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为________． 解析：由已知得正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为2，∴V 棱柱＝12×2×2×32×2＝62.答案：629.已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是________．解析：法一：由直线l 过l 1与l 2的交点，故可设直线l 的方程为3x －5y －10＋λ(x ＋y ＋1)＝0，即(3＋λ)x ＋(λ－5)y ＋λ－10＝0.∵l ∥l 3，∴3＋λ1＝λ－52≠λ－10－5，∴λ＝－11.∴直线l 的方程为－8x －16y －21＝0， 即8x ＋16y ＋21＝0.法二：因为l ∥l 3，所以可设l 的方程为x ＋2y ＋m ＝0，又∵⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y －10＝0，x ＋y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝－138，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫58，－138代入l 的方程得m ＝218.故l 的方程为x ＋2y ＋218＝0，即8x ＋16y ＋21＝0.答案：8x ＋16y ＋21＝0 10.如图所示，正四棱锥S －ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：如图所示，过S 作SO 1⊥面ABCD ，由已知O 1C ＝12AC ＝1.在Rt △SO 1C 中，∵SC ＝2，∴SO 1＝SC 2－O 1C 2＝1，∴O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，C ，D 的球的球心，∴球半径为r ＝1，∴球的体积为43π·r 3＝43π.答案：43π11.如果圆锥的轴截面是正三角形(此圆锥也称等边圆锥)，则该圆锥的侧面积与表面积的比是________．解析：设圆锥的底面半径为R ，根据题意得出圆锥的母线长l ＝2R ，所以圆锥的侧面积为πRl ＝2πR 2.圆锥的表面积为πRl ＋πR 2＝3πR 2，所以S 侧∶S 表＝2∶3. 答案：2∶312.已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心O ，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于________．解析：如图所示，过点B 1作平面ABC 的垂线，垂足为D ，连结AD ，则∠B 1AD 就是所求的线面角．由题意知三棱锥A 1－ABC 为正四面体，设棱长为a ，则AB 1＝3a ， 棱柱的高A 1O ＝a 2－AO 2＝a 2－（23×32a ）2＝63a .由于A 1B 1∥平面ABC ，故B 1D ＝A 1O ＝63a .在Rt △AB 1D 中，sin ∠B 1AD ＝B 1D AB 1＝23，故AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为23. 答案：2313.直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得到的劣弧所对应的圆心角为________．解析：圆心O (0，0)到直线的距离d ＝|－23|3＋1＝3，半径r ＝2，设所求角为θ，则θ∈(0°，180°)，cos θ2＝32.∴θ2＝30°，∴θ＝60°. 答案：60° 14.已知点N (3，1)，点A ，B 分别在直线y ＝x 和y ＝0上，则△ABN 的周长的最小值是________．解析：如图所示，点N (3，1)关于直线y ＝x 的对称点为P (1，3)，点N 关于直线y ＝0的对称点为M (3，－1)，直线PM 交直线y ＝x 于点A ，交直线y ＝0于点B ，连结AN ，BN ，则此时△ABN 的周长最小，为AB ＋AN ＋BN ＝AB ＋AP ＋BM ＝PM ＝2 5. 答案：2 5二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知直线l 1：(a ＋1)x ＋y －a ＋1a 2＋1＝0，l 2：x －y －a 2－3a 2＋1＝0.(1)当a 为何值时，l 1∥l 2? 当a 为何值时，l 1⊥l 2?(2)若l 1与l 2相交，且交点在第一象限，求a 的取值范围．解：(1)当(a ＋1)·(－1)－1＝0且－a 2－3a 2＋1－a ＋1a 2＋1≠0时，l 1∥l 2，上式无解，即不存在a ∈R，使l 1∥l 2.当(a ＋1)·1－1＝0，即a ＝0时，l 1⊥l 2.(2)方程联立得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋1，－a 2＋a ＋2a 2＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1a 2＋1＞0，－a 2＋a ＋2a 2＋1＞0.解得1＜a ＜2. 16.(本小题满分14分)在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点． 求证：(1)直线EF ∥面ACD ； (2)面EFC ⊥面BCD .证明：(1)∵E ，F 分别是 AB ，BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥AD .∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ， ∴直线EF ∥面ACD . (2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点， ∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC .∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .17.(本小题满分14分)已知圆C 的方程为(x －a )2＋(y －a ＋1)2＝1. (1)若圆C 过点A (1，－1)，求a 的值；(2)若圆C 和直线x ＋y ＋2－1＝0相切，求a 的值； (3)若原点和圆心C 的距离最小时，求a 的值； (4)求证：圆C 的圆心在一条定直线上．解：(1)将点A (1，－1)的坐标代入圆的方程，得(1－a )2＋a 2＝1，即a 2－a ＝0. ∴a ＝0或a ＝1.(2)由条件，得|a ＋（a －1）＋2－1|2＝1，即|2a ＋2－2|＝ 2.∴2a ＋2－2＝2或2a ＋2－2＝－2， ∴a ＝1或a ＝1－ 2.(3)原点和圆心C 的距离为OC ＝a 2＋（a －1）2＝2a 2－2a ＋1＝2（a －12）2＋12.∴当a ＝12时，OC min ＝22.(4)证明：设圆心C (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a ，n ＝a －1.∴n ＝m －1.故圆心C 在定直线y ＝x －1上．18.(本小题满分16分)如图，已知Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，AD 为斜边BC 上的高，以AD 为折痕，将△ABD 折起，使∠BDC 为直角． (1)求证：平面ABD ⊥平面BDC ； (2)求证：∠BAC ＝60°；(3)求点D 到平面ABC 的距离．解：(1)证明：∵AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，BD ∩DC ＝D ， ∴AD ⊥平面BDC . 又AD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)证明：在原Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2， ∴BC ＝2，∴BD ＝DC ＝1， 又折叠后∠BDC ＝90°，∴△BDC 为等腰直角三角形． ∴BC ＝2，∴AB ＝BC ＝AC ， ∴∠BAC ＝60°.(3)取BC 的中点E ，连结DE 、AE . ∵AB ＝AC ，BD ＝DC ， ∴DE ⊥BC ，AE ⊥BC . ∴BC ⊥平面ADE .过D 点作DM ⊥AE ，则DM ⊥平面ABC .在Rt △ADE 中，AD ＝1，DE ＝22，∴AE ＝62. ∴斜边AE 上的高DM ＝AD ·DE AE ＝33， ∴D 点到平面ABC 的距离为33. 19.(本小题满分16分)如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°. (1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC . 因为∠BCD ＝90°，所以BC ⊥CD . 又PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD . 而PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .(2)如图，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于E ，过点E 作PC 的垂线，垂足为F ，则有AE ∥平面PBC ，所以点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离． 又EF ⊥PC ，BC ⊥平面PCD ， 则EF ⊥BC .BC ∩PC ＝C ，所以EF ⊥平面PBC . EF 即为E 到平面PBC 的距离． 又因为AE ∥BC ，AB ∥CD ，所以四边形ABCE 为平行四边形． 所以CE ＝AB ＝2.又PD ＝CD ＝1，PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥CD ，∠PCD ＝45°. 所以EF ＝ 2.即点A 到平面PBC 的距离为 2.20.(本小题满分16分)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A (1，0)． (1)若l 1与圆C 相切，求l 1的方程；(2)若l 1的倾斜角为π4，l 1与圆C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 的中点M 的坐标；(3)若l 1与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 面积的最大值． 解：(1)①若直线l 1的斜率不存在，则直线x ＝1，符合题意． ②若直线l 1的斜率存在，设直线l 1为y ＝k (x －1)，即 kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3，4)到直线l 1的距离等于半径2，即：|3k －4－k |k 2＋1＝2，解之得：k ＝34.所求直线l 1的方程是3x －4y －3＝0.综上所述：所求直线l 1方程是x ＝1，或3x －4y －3＝0. (2)直线l 1的方程为y ＝x －1. ∵M 是弦PQ 的中点，∴PQ ⊥CM . ∴CM 方程为y －4＝－(x －3)． 即x ＋y －7＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x ＋y －7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.∴M 点坐标为(4，3)．。
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高一数学必修模块2综合考试 班级 姓名 座号 分数 一、 选择题（每3分，共36分）
1、若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（）
A 、相交
B 、异面
C 、平行
D 、异面或相交
2、如图：直线L 1的倾斜角α1=30０，直线L 1⊥L 2，则L 2的斜率为（ ）
Ａ、33- Ｂ、 3
3 Ｃ、3- Ｄ、3 ３、三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（ ）
Ａ、１条 Ｂ、２条 Ｃ、３条 Ｄ、１或２条
４、若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（2
1，ｍ）三点共线， 则ｍ的值为（ ） Ａ、21 Ｂ、2
1- Ｃ、－２ Ｄ、２ 5、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于Ｅ、F 两点，则∆EOF （O 为原点）的面
积为（）
A 、23
B 、43
C 、52
D 、556
6、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公
共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直
线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
7、棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是()
A 、1∶7
B 、2∶7
C 、7∶19
D 、5∶16
8、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（） Ａ、23 Ｂ、43 Ｃ、52 Ｄ、556 ９一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是（ ）
Ａ、８Лｃｍ２ Ｂ、１２Лｃｍ２ Ｃ、１６Лｃｍ２ Ｄ、２０Лｃｍ２
10、已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若
CD=2AB=4，EF ⊥AB ，
则EF 与CD 所成的角为（ ）
Ａ、９００ Ｂ、４５０ Ｃ、６００ Ｄ、３０
０ 11、圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B
两点，则AB 的垂直平分线的方程是（）
A 、x+y+3=0
B 、2x-y-5=0
C 、3x-y-9=0
D 、4x-3y+7=0
12、圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（）
A 、2
B 、21+
C 、221+
D 、221+ 二、 填空题（每4分，共16分）
1、与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是
2、已知：A （1，2，1），B （-1，3，4，），C （1，1，1，），PB AP 2=，则PC 长为
3、如图：四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧
面
都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C 的平面角为 度
4、已知点M （a ，b ）在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为
三、解答题（共48分）
1、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
求证：（1）PA ∥平面BDE （4分）
（2）平面PAC ⊥平面BDE （6分）
2、已知三角形ABC 的顶点是A （-1，-1），B （3，1），C （1，6）.直线
L 平行于AB,且分别交AC,BC 于E,F,三角形CEF 的面积是三角形CAB 面积的41.求直线L 的方程.（7分）
3、如图，在矩形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝３ＡＤ，Ｅ，Ｆ为ＡＢ的两个三
等分点，ＡＣ，ＤＦ交于点Ｇ，建立适当的直角坐标系，证明：ＥＧ ＤＦ
（8分）
4、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是
SA 、BD 上的点，且SM AM =ND
BN ， 求证：MN ∥平面SBC （8分）
5、过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７
＝０所截
线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的方程（7分）
6、已知三条直线L 1：02=-Y X L 2：01=+Y L 3：012=-+Y X 两两相交，先画出图形，再
求过这三个交点的圆的方程（8分）
参考答案
一、选择题。
1、D2、C3、C4、Ａ5、C6、Ａ ７、Ｃ ８、Ｃ ９、Ｂ １０、Ｄ １１、Ｃ １２、Ｂ
二、填空题。
１、080247=-+y x 或070247=++y x 。
２、377。
３、６００。
４、３。
三、 解答题
１、 证明（１）∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，∴OE ∥
AP ，
又∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE
（2）∵PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥BD ，又∵AC ⊥BD ，且AC I PO=O
∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE 。
2、解：由已知，直线AB 的斜率K=2
1，∵EF ∥AB ∴ 直线EF 的斜
率为 K=21 ∵三角形CEF 的面积是三角形CAB 面积的41，∴E 是CA 的中点。
又点E 的坐标（0，25） 直线EF 的方程是x y 2
125=-，即052=+-y x 3、解：以AB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴，建立直角坐标系
设AD=1（单位）则D （0，1）A （0，0），E （1，0），F （2，0）
C （3，1），求得直线AC 的方程为x y 31=，直线DF 的方程为022=-+y x
解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=02231y x x y 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==5256y x 所以点G 的坐标)52,56( 所以直线GE 的斜率K=215
6052=--，直线DF 的斜率K=212001-=--，K GE K DF =-1
∴ＥＧ⊥ＤＦ。
4、证明：连结AN 并延长交BC 于点G ，并连结SG ∵平行四边形ABCD
∴ND BN =NG AN ，∵SM AM =ND BN ∴NG AN =SM
AM ∴MN ∥SG 而MN ⊄平面SBC ，SG ⊂平面SBC ，∴MN ∥平面SBC
5、解：设线段ＡＢ的中点P 的坐标（a ，b ），由P 到L 1，、L 2的距离
相等，得⎣⎦=++-2252952b a ⎣⎦225
2752+--b a 经整理得，0152=+-b a ，又点P 在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，所以014=--b a
解方程组⎩⎨⎧=--=+-0140152b a b a 得⎩
⎨⎧-=-=13b a 即点P 的坐标（-3，-1），又直线L 过点（２，３） 所以直线Ｌ的方程为)
3(2)3()1(3)1(----=----x y ，即0754=+-y x 6、如图：通过计算斜率可得L 1⊥L 3，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB
为直径的圆
解方程组⎩⎨⎧=+=-0102y y x 得⎩
⎨⎧-=-=12y x 所以点A 的坐标（-2，-1）
解方程组⎩⎨⎧=+=-+01012y y x 得⎩⎨⎧-==1
1y x 所以点B 的坐标（1，-1）
线段AB 的中点坐标是)1,2
1(--，又3)11()12(22=+-+--=AB 所以圆的方程是4
9)1()21(22=+++y x。