实验五 用matlab求二元函数的极值
matlab计算多元函数极值极其极值点
matlab计算多元函数极值极其极值点《从简到繁，深入探讨matlab计算多元函数极值极其极值点》1. 引言在数学中，多元函数是一种以多个变量为自变量的函数，它与一元函数有着本质的区别。
而计算多元函数的极值及其极值点是数学分析中一个重要且复杂的问题。
本文将从简到繁地探讨如何利用matlab来计算多元函数的极值及其极值点，以帮助读者更深入地理解这一数学概念。
2. 多元函数的极值我们需要明确什么是多元函数的极值。
对于一个多元函数，如果在某一点处的函数值大于或小于其邻域内所有其他点处的函数值，那么这个点就是该多元函数的极大值点或极小值点。
而这个极值点所对应的函数值就是多元函数的极值。
在matlab中，可以通过最优化工具箱中的相关函数来计算多元函数的极值，比如fmincon函数用于求解约束极小化问题。
3. 计算多元函数的极值为了更具体地说明如何在matlab中计算多元函数的极值，我们以一个简单的二元函数为例：z = f(x, y) = x^2 + y^2。
我们希望找到这个函数的极值及其极值点。
我们需要定义这个函数并选定初始点，然后利用matlab中的优化函数进行计算。
具体的代码如下：```matlab% 定义目标函数fun = @(x) x(1).^2 + x(2).^2;% 设定初始点x0 = [1, 2];% 求解极小值[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon);```在这段代码中，我们首先利用@(x)定义了目标函数f(x, y) = x^2 + y^2，然后设定了初始点x0 = [1, 2]。
最后利用fmincon函数计算了函数的极小值x和其对应的函数值fval。
通过这个简单的例子，读者可以初步了解如何在matlab中计算多元函数的极值。
4. 深入探讨除了简单的二元函数外，实际应用中常常遇到更复杂的多元函数，这时利用matlab计算极值就显得尤为重要。
用Matlab软件求多元函数的偏导数和极值
数学实验五 用Matlab 软件求多元函数的偏导数和极值一、多元函数的偏导数1．调用格式一：diff('多元函数','自变量',n)其中，n 为所求偏导数的阶数．例1 已知y x z 2cos 2=，求x z ∂∂、x y z ∂∂∂2和22y z ∂∂． 解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：pzpx=diff('x^2*cos(2*y)','x')p2zpypx=diff(pzpx,'y')p2zpy2=diff('x^2*cos(2*y)','y',2)取名为exa9保存，再在命令窗口中输入命令exa9，程序运行结果如下：pzpx =2*x*cos(2*y)p2zpypx =-4*x*sin(2*y)p2zpy2 =-4*x^2*cos(2*y)即y x x z 2cos 2=∂∂，y x x y z 2sin 42−=∂∂∂，y x yz 2cos 4222−=∂∂． 2．调用格式二：syms x y z …diff(f,自变量,n)例2 已知)5sin(32z y x u +−=，求x u ∂∂、x y z u ∂∂∂∂3和33z u ∂∂． 解 在命令行中依次输入：syms x y zu=sin(x^2-y^3+5*z);ux=diff(u,x);uxy=diff(ux,y);uxyz=diff(uxy,z);uz3=diff(u,z,3);ux,uxyz,uz3运行结果如下：ux =2*cos(x^2-y^3+5*z)*xuxyz =30*cos(x^2-y^3+5*z)*y^2*xuz3 =-125*cos(x^2-y^3+5*z)即)5cos(232z y x x xu +−=∂∂，)5cos(303223z y x xy x y z u +−=∂∂∂∂， )5cos(1253233z y x zu +−−=∂∂． 二、隐函数的导数在Matlab 中没有直接求隐函数导数的命令，但可调用Maple 中求隐函数导数的命令，调用格式如下：maple('implicitdiff(f(u,x,y,z,…，)=0,u,x)')例3 求由多元方程xyz z y x =++222所确定的隐函数dxz ∂． 解 在命令行中输入：pzpx=maple('implicitdiff(x^2+y^2+z^2-x*y*z=0,z,x)')运行结果是：pzpx =(2*x-y*z)/(-2*z+x*y)即 zxy yz x x z 22−−=∂∂． 三、多元函数的极（或最）值在Matlab 中同样有求多元函数的极（或最）小值的函数，但由于多元函数的形式比较复杂，不同情况用到不同的Matlab 函数．若要求多元函数u 在某一区域的极（或最）大值，可转化为求u −在该区域内的极（或最）小值．1．非线性无约束情形求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式是：[x,fval]=fminsearch(‘f ’,x0)f 是被最小化的目标函数名，x0是求解的初始值向量．例４ 求二元函数2331042),(y xy xy x y x f +−+=的最值点和最值．解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：%必须对自变量进行转化x=x(1)，y=x(2)[Xmin,fmin]=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2',[0,0]);[Xmax,Fmin]=fminsearch('-2*x(1)^3-4*x(1)*x(2)^3+10*x(1)*x(2)-x(2)^2',[0,0]);fmax=-Fmin;Xmin,fminXmax,fmax取名为exa10保存，再在命令窗口中输入命令exa10，程序运行结果如下：Xmin =1.0016 0.8335fmin =-3.3241Xmax =-1.0000 1.0000fmax =2．非线性有约束情形非线性有约束优化问题的数学模型如下：式中，x,b,beq,lb 和ub 是向量，A 和Aeq 是矩阵，c(x)和ceq(x)为函数，返回标量．f(x)，c(x)和ceq(x)可以是非线性函数．求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式如下：[x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)nonlcon 参数计算非线性不等式约束c(x)<=0和非线性等式约束ceq(x)=0．例5 求表面积为6m 2的体积最大的长方体体积．解 设长方体的长、宽、高分别为x1、x2、x3，则f(x)=-x(1)*x(2)*x(3)，S.t x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3=0，x(i)>0,i=1,2,3．⑴ 建立函数文件fun1打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：function F=fun1(x) %函数文件必须是function 开头F=-x(1)*x(2)*x(3);单击“保存”按钮，自动取名为fun1，再击保存．⑵ 建立非线性约束函数文件yceqfunction [c,ceq]=yceq(x)c=x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3;ceq=[];保存方法同上，自动取名为yceq ，再击保存．⑶ 编制主程序：打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：x0=[3;3;3]; %给长宽高一个初值A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];lb=[0,0,0];ub=[];[xmax,fmin]=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'yceq'); %函数要加单引号Vmax=-fmin;xmax,Vmax取名为exa11保存，再在命令窗口中输入命令exa11，程序运行结果如下：xmax =1.00001.00001.0000Vmax =ubx lb beqx Aeq bx A x ceq x c x f Min ≤≤≤⋅≤⋅=≤0)(0)()(四、上机实验1．用help命令查看函数diff，fminsearch和fmincon等的用法．2．上机验证上面各例．3．作相关小节练习中多元函数的偏导数，极（或最）值．。
利用MATLAB软件求解一元和二元函数的极值
利用MATLAB软件求解一元和二元函数的极值作者：易强吕希元来源：《课程教育研究》2018年第40期【摘要】本文主要介绍利用MATLAB软件在电脑上来求解微积分里的一元和二元函数的极值的计算问题。
【关键词】MATLAB ;极值 ;输入命令【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）40-0149-01在微积分的教材中出现比较多的知识点，包括一元函数的性质和计算其极值、最值等问题，尤其更难的是对二元函数f（x，y）极值的计算，难度相当大，传统的计算一般是人们在草稿纸上进行演算，费时费力，而且准确度不高，往往容易计算错误，由于上述的缺点，本文简单介绍用MATLAB来求解，利用它可以很方便，快捷的得到准确结果。
一、M函数文件函数定义的一般格式function [输入变量列表]=函数名（输入变量列表）注释说明语句段 ;% 为 help look for 提供在线帮助信息函数体语句段 ; ;% 函数语句块特定规则：<1> 函数文件第一行必须以单词 function 作为引导词，定义一个函数，必须遵循如下形式：Function <因变量>=<函数名>（<自变量>）<2> 函数文件的文件名必须是<函数名>. m.<3> 程序中的变量均为局部变量，不保存在工作空间中，其变量只在函数运行期间有效，函数文件执行完后，将自动被清除。
二、求一元函数的极值利用 MATLAB 的计算功能，可以很方便求一元函数极值。
例1 求y=■的极值解：输入命令：syms ;x ; ;% 将变量 x 符号化y=（3*x^2+4*x+4）/（x^2+x+1） ; ; ; % 建立函数关系dy=diff（y） ; ; ; % 求导数xz=solve （dy） ; ;% 求函数的驻点：得结果 ; ;xz=[0] ; [-2]由此知道函数有两个驻点x1=0和x2=-2，考查函数在驻点处二阶导数的正负情况：再输入命令：d2y=diff（y，2）;z1=limit（d2y，x，0）得结果z1=-2输入命令：z2=limit（d2y，x，-2）得结果 z2=■于是知在x1=0处二阶导数的值为z1=-2，小于0，函数有极大值;在x2=-2处二阶导数的值为z2=■ ，大于0，函数有极小值，如果需要，可顺便求出极值点的函数值：输入命令：y1=limit（y，x，0）得结果：y1=4输入命令：y2=limit（y，x，-2）得结果：y2=■.三、求二元函数的极值利用MATLAB 计算二元函数的极值，主要有以下几步：步骤1. 定义多元函数z=f（x，y）.步骤2. 求解偏导数方程组fx（x，y）=0，fy（x，y）=0，得到驻点。
用MATLAB求极值
用MATLAB求极值灵活的运用MATLAB的计算功能，可以很容易地求得函数的极值。
例3.6.1 求223441x xyx x++=++的极值解首先建立函数关系：s yms sy=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙然后求函数的驻点：dy=diff(y); ↙xz=solve(dy) ↙xz=[0] [-2]知道函数有两个驻点x1=0和x2=-2，考察函数在驻点处二阶导数的正负情况：d2y=diff(y,2); ↙z1=limit(d2y,x,0) ↙z1=-2z2=limit(d2y,x,-2) ↙z2=2/9于是知在x1=0处二阶导数的值为z1=-2,小于0，函数有极大值；在x2=-2处二阶导数的值为z2=2/9，大于0，函数有极小值。
如果需要，可顺便求出极值点处的函数值：y1=limit(y,x,0) ↙y1=4y2=limit(y,x,-2) ↙y2=8/3事实上，如果知道了一个函数的图形，则它的极值情况和许多其它特性是一目了然的。
而借助MA TLAB的作图功能，我们很容易做到这一点。
例3.6.2画出上例中函数的图形解syms x ↙y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙得到如下图形ezplot(y) ↙如何用MATLAB求函数的极值点和最大值比如说y=x^3+x^2+1，怎样用matlab来算它的极值和最大值？求极值：syms x y>> y=x^3+x^2+1>> diff(y) %求导ans =3*x^2 + 2*x>> solve(ans)%求导函数为零的点ans =-2/3极值有两点。
求最大值，既求-y的最小值：>> f=@(x)(-x^3-x^2-1)f = @(x)(-x^3-x^2-1)>> x=fminunc(f,-3,3)% 在-3；-3范围内找Warning: Gradient must be provided for trust-region method;using line-search method instead.> In fminunc at 354Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient less than options.TolFun.x =-0.6667>> f(x)ans =-1.1481在规定范围内的最大值是1.1481由于函数的局限性，求出的极值可能是局部最小（大）值。
MATLAB求函数零点与极值
MATLAB求函数零点与极值
1. roots函数
针对多项式求零点(详见MATLAB多项式及多项式拟合)
2. fzero函数
返回⼀元函数在某个区间内的的零点.
x0 = fzero(@(x)x.^2-3*x-4,[1,5]);
只能求区间⾥⾯的⼀个零点，并且要求在给定区间端点函数值异号，所以使⽤之前应该先作图，得出单个零点分布的区间，然后使⽤该函数求零点.若有多个零点，则需多次使⽤该函数.
如需求上例中的全部零点，先作图
fplot(@(x)x.^2-3*x-4,[-10,10]);
得知两个零点的分布区间，然后两次使⽤fzero函数求对应区间的零点.
x1 = fzero(@(x)x.^2-3*x-4,[-2,0]);
x2 = fzero(@(x)x.^2-3*x-4,[2,6]);
3. solve函数
求⼀元函数(⽅程)的零点.
x0 = solve('x^2-3*x-4=0','x');
注意⽅程需包含’=0’部分，另外，不建议直接将⽅程写在函数solve的参数部分，可以⽤符号运算的⽅法.
4. fminbnd函数
求⼀元函数在某个区间内的最⼩值和对应的最⼩值点.
[x0,fmin]=fminbnd(@(x)x+1/(x+1),-0.5,2);
求极值与极值点之前须估计极值点的区间，保证在该区间没有使得函数值趋于⽆穷的点.。
matlab二元函数求极值 遗传所引发
Matlab二元函数求极值是一个常见的数学问题，而遗传算法作为一种优化方法，在解决这个问题上也发挥了重要作用。
在本文中，我将对matlab二元函数求极值和遗传算法的相互关系进行深度探讨，并共享我个人对这一主题的理解。
1. Matlab二元函数求极值的基本概念Matlab是一种用于数值计算和可视化的高级技术计算语言和交互式环境。
在数学建模和优化问题中，经常会遇到需要求解二元函数的极值的情况。
这就涉及到了寻找函数在给定范围内的最大值或最小值的问题。
通过利用Matlab中的优化工具箱和相关函数，我们可以高效地求解二元函数的极值点，从而得到函数在特定区域内的最优解。
2. 遗传算法在优化问题中的应用遗传算法是一种模拟自然选择与遗传机制的计算方法，常用于解决优化问题。
它通过模拟自然界中的进化过程，通过选择、交叉和变异等操作，逐步优化解的质量，最终找到问题的最优解。
在实际应用中，遗传算法被广泛应用于解决复杂的优化问题，包括函数极值求解、组合优化、参数优化等多个领域。
3. Matlab二元函数求极值中遗传算法的应用在Matlab中，我们可以利用遗传算法工具箱来解决二元函数的极值求解问题。
通过将二元函数极值求解问题转化为适应度函数的优化问题，我们可以使用Matlab中优化工具箱中的遗传算法求取最优解。
遗传算法能够在多样化的解空间中高效地搜索最优解，从而在众多解空间中找到最优的极值点。
4. 个人观点与理解我认为，Matlab二元函数求极值与遗传算法的结合，为解决复杂的优化问题提供了一种高效的方法。
遗传算法能够通过对解的多样性进行搜索，找到最优解的潜力非常大。
当我们将遗传算法与Matlab中强大的数值计算和优化工具箱相结合，就可以更快、更精确地求解二元函数的极值，从而解决实际问题中的优化难题。
在本文中，我对Matlab二元函数求极值和遗传算法的应用进行了探讨，并共享了个人观点和理解。
通过深入探讨这一主题，相信读者对于如何利用遗传算法来解决Matlab二元函数求极值问题会有更深入的理解。
matlab计算函数最大值及最小值
matlab计算函数最大值及最小值在MATLAB中，有几种方法可以计算一个函数的最大值和最小值。
下面将介绍几种常用的方法。
1.通过绘制函数图像找到最大值和最小值：首先，可以通过绘制函数图像来观察函数的最大值和最小值所在的位置。
可以使用plot函数来绘制函数的图像。
例如，我们想计算函数y=x^3-2x的最大值和最小值：```x=-10:0.1:10;y=x.^3-2*x;plot(x, y)```通过观察图像，可以确定函数的最大值和最小值的位置。
2. 使用fminbnd函数找到函数的最小值：MATLAB中的fminbnd函数可以用于寻找函数的最小值。
该函数使用了黄金分割算法。
例如，我们想计算函数y=x^3-2x的最小值：```[x, y] = fminbnd(f, -10, 10);```这段代码将返回函数的最小值y以及对应的x值。
3. 使用fmincon函数找到函数的最小值（约束最优化）：如果函数有特定的约束条件，可以使用fmincon函数来计算函数的最小值。
fmincon函数基于无约束的最优化算法，并添加了约束条件。
例如，我们想计算函数y=x^2的最小值，但限制x的范围在0到1之间：```x0=0.5;%初始解A=[];b=[];Aeq = [];beq = [];lb = 0; % x的下限ub = 1; % x的上限[x, y] = fmincon(f, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub);```这段代码将返回函数的最小值y以及对应的x值。
4. 使用max和min函数找到向量或矩阵的最大值和最小值：如果需要计算向量或矩阵的最大值和最小值，可以使用MATLAB中的max和min函数。
例如，计算向量x=[1,2,3,4,5]的最大值和最小值：```x=[1,2,3,4,5];max_value = max(x);min_value = min(x);```这段代码将返回向量x的最大值和最小值。
用MATLAB求极值
用MATLAB求极值灵活的运用MATLAB的计算功能，可以很容易地求得函数的极值。
例3.6.1 求223441x xyx x++=++的极值解首先建立函数关系：s yms s ↙y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙然后求函数的驻点：dy=diff(y); ↙xz=solve(dy) ↙xz=[0] [-2]知道函数有两个驻点x1=0和x2=-2，考察函数在驻点处二阶导数的正负情况：d2y=diff(y,2); ↙z1=limit(d2y,x,0) ↙z1=-2z2=limit(d2y,x,-2) ↙z2=2/9于是知在x1=0处二阶导数的值为z1=-2,小于0，函数有极大值；在x2=-2处二阶导数的值为z2=2/9，大于0，函数有极小值。
如果需要，可顺便求出极值点处的函数值：y1=limit(y,x,0) ↙y1=4y2=limit(y,x,-2) ↙y2=8/3事实上，如果知道了一个函数的图形，则它的极值情况和许多其它特性是一目了然的。
而借助MA TLAB的作图功能，我们很容易做到这一点。
例3.6.2画出上例中函数的图形解syms x ↙y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙得到如下图形ezplot(y) ↙如何用MATLAB求函数的极值点和最大值比如说y=x^3+x^2+1，怎样用matlab来算它的极值和最大值？求极值：syms x y>> y=x^3+x^2+1>> diff(y) %求导ans =3*x^2 + 2*x>> solve(ans)%求导函数为零的点ans =-2/3极值有两点。
求最大值，既求-y的最小值：>> f=@(x)(-x^3-x^2-1)f =@(x)(-x^3-x^2-1)>> x=fminunc(f,-3,3)% 在-3；-3范围内找Warning: Gradient must be provided for trust-region method;using line-search method instead.> In fminunc at 354Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient less than options.TolFun.x =-0.6667>> f(x)ans =-1.1481在规定范围内的最大值是1.1481由于函数的局限性，求出的极值可能是局部最小（大）值。
二元四次函数求解最大值matlab
二元四次函数求解最大值matlab以二元四次函数求解最大值二元四次函数是指一个具有两个变量的四次方程，形式为：f(x,y) = ax^4 + bx^3y + cx^2y^2 + dxy^3 + ey^4，其中a、b、c、d、e 为常数。
求解二元四次函数的最大值是一个常见的数学问题，在实际应用中具有重要意义。
在Matlab中，可以使用符号计算工具箱来求解二元四次函数的最大值。
需要定义二元四次函数的表达式。
在Matlab中，可以使用符号变量来表示函数的变量，然后使用符号表达式来表示函数的表达式。
例如，假设要求解函数f(x,y) = 2x^4 + 3x^3y + 4x^2y^2 + 5xy^3 + 6y^4的最大值，可以按照以下步骤进行：1. 定义符号变量：使用syms函数定义符号变量x和y。
```matlabsyms x y```2. 定义符号表达式：使用sym函数定义函数f的表达式。
```matlabf = 2*x^4 + 3*x^3*y + 4*x^2*y^2 + 5*x*y^3 + 6*y^4;```3. 求解最大值：使用fminimax函数求解函数f的最大值。
fminimax函数的第一个输入参数为符号表达式，第二个输入参数为符号变量的取值范围。
```matlabmax_value = fminimax(f, [x, y]);```执行以上代码，Matlab会计算出函数f的最大值，并将结果保存在max_value变量中。
可以使用disp函数来显示最大值的结果。
```matlabdisp(max_value);```以上就是使用Matlab求解二元四次函数最大值的基本步骤。
通过定义符号变量和符号表达式，并使用fminimax函数进行计算，可以方便地求解二元四次函数的最大值。
需要注意的是，在实际应用中，二元四次函数的最大值可能存在多个，或者不存在最大值。
解决这类问题需要结合具体的应用场景和约束条件进行分析和判断。
用MATLAB求极值
用MATLAB求极值灵活的运用MATLAB的计算功能，可以很容易地求得函数的极值。
例3.6.1 求223441x xyx x++=++的极值解首先建立函数关系：s yms s ↙y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙然后求函数的驻点：dy=diff(y); ↙xz=solve(dy) ↙xz=[0] [-2]知道函数有两个驻点x=0和x=-2，考察函数在驻点处二阶导数的正负情况：d2y=diff(y,2); ↙z1=limit(d2y,x,0) ↙z1=-2z2=limit(d2y,x,-2) ↙z2=2/9于是知在x=0处二阶导数的值为z=-2,小于0，函数有极大值；在x=-2处二阶导数的值为z=2/9，大于0，函数有极小值。
如果需要，可顺便求出极值点处的函数值：y=limit(y,x,0) ↙y=4y=limit(y,x,-2) ↙y=8/3事实上，如果知道了一个函数的图形，则它的极值情况和许多其它特性是一目了然的。
而借助MATLAB的作图功能，我们很容易做到这一点。
例3.6.2画出上例中函数的图形解syms x↙y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙得到如下图形ezplot(y) ↙如何用MATLAB求函数的极值点和最大值比如说y=x^3+x^2+1，怎样用matlab来算它的极值和最大值？求极值：syms x y>> y=x^3+x^2+1>> diff(y) %求导ans =3*x^2 + 2*x>> solve(ans)%求导函数为零的点ans =-2/3极值有两点。
求最大值，既求-y的最小值：>> f=@(x)(-x^3-x^2-1)f =@(x)(-x^3-x^2-1)>> x=fminunc(f,-3,3)% 在-3；-3范围内找Warning: Gradient must be provided for trust-region method;using line-search method instead.> In fminunc at 354Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient less than options.TolFun.x =-0.6667>> f(x)ans =-1.1481在规定范围内的最大值是1.1481由于函数的局限性，求出的极值可能是局部最小（大）值。
用MATLAB求极值word精品文档5页
用MATLAB求极值灵活的运用MATLAB的计算功能，可以很容易地求得函数的极值。
例3.6.1 求223441x xyx x++=++的极值解首先建立函数关系：s yms s ↙y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙然后求函数的驻点：dy=diff(y); ↙xz=solve(dy) ↙xz=[0] [-2]知道函数有两个驻点x1=0和x2=-2，考察函数在驻点处二阶导数的正负情况：d2y=diff(y,2); ↙z1=limit(d2y,x,0) ↙z1=-2z2=limit(d2y,x,-2) ↙z2=2/9于是知在x1=0处二阶导数的值为z1=-2,小于0，函数有极大值；在x2=-2处二阶导数的值为z2=2/9，大于0，函数有极小值。
如果需要，可顺便求出极值点处的函数值：y1=limit(y,x,0) ↙y1=4y2=limit(y,x,-2) ↙y2=8/3事实上，如果知道了一个函数的图形，则它的极值情况和许多其它特性是一目了然的。
而借助MA TLAB的作图功能，我们很容易做到这一点。
例3.6.2画出上例中函数的图形解syms x ↙y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙得到如下图形ezplot(y) ↙如何用MATLAB求函数的极值点和最大值比如说y=x^3+x^2+1，怎样用matlab来算它的极值和最大值？求极值：syms x y>> y=x^3+x^2+1>> diff(y) %求导ans =3*x^2 + 2*x>> solve(ans)%求导函数为零的点ans =-2/3极值有两点。
求最大值，既求-y的最小值：>> f=@(x)(-x^3-x^2-1)f =@(x)(-x^3-x^2-1)>> x=fminunc(f,-3,3)% 在-3；-3范围内找Warning: Gradient must be provided for trust-region method;using line-search method instead.> In fminunc at 354Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient less than options.TolFun.x =-0.6667>> f(x)ans =-1.1481在规定范围内的最大值是1.1481由于函数的局限性，求出的极值可能是局部最小（大）值。
matlab计算函数最大值及最小值
matlab计算函数最大值及最小值MATLAB是一种集成开发环境(IDE)，用于计算、数据分析、数据可视化和数学模型。
它是专为工程和科学计算而设计的，可以帮助用户轻松地进行复杂数学计算和可视化。
在MATLAB中，计算函数的最大值和最小值是一个非常基本的操作，本文将详细介绍如何在MATLAB中计算函数的最大值和最小值。
步骤一：打开MATLAB首先，打开MATLAB工作环境。
这可以通过在计算机的搜索栏中输入“MATLAB”并单击“打开”按钮来完成。
如果计算机上没有安装MATLAB，则需要从Mathworks网站下载和安装MATLAB。
步骤二：选择并输入要计算的函数在MATLAB中，可以通过符号表达式或函数句柄来表示一个函数。
例如，我们要计算函数y = 2x^2 - 3x + 4在取值范围为[-2,2]时的最大值和最小值。
为了实现这个目标，可以使用MATLAB自带的fplot 函数。
输入以下命令：fplot(@(x)2*x^2-3*x+4,[-2,2])命令中的“@”符号用于定义一个匿名函数，也可以使用符号表达式或函数句柄表示要计算的函数。
[-2,2]则是要计算函数的取值范围。
运行这个命令，MATLAB会生成y值随x变化的图表。
步骤三：计算函数的最大值和最小值在MATLAB中，可以使用max和min函数来计算函数的最大值和最小值。
例如，我们可以使用以下命令计算函数y = 2x^2 - 3x + 4在取值范围为[-2,2]时的最大值和最小值：syms x y(x)y(x)=2*x^2-3*x+4;xmax=fminbnd(-y,-2,2); #最大值xmin=fminbnd(y,-2,2); #最小值运行这些命令，MATLAB会输出函数的最大值和最小值。
至此，我们完成了计算函数的最大值和最小值的过程。
以上步骤也可以通过matlab自带的3D画图工具箱实现更快捷的展示方式。
这只是MATLAB功能的一部分，MATLAB的强大功能可以帮助用户在数学计算、数据分析和数据可视化方面取得更好的成果。
(整理)实验五用matlab求二元函数的极值.
实验五 用matlab 求二元函数的极值1．计算二元函数的极值对于二元函数的极值问题,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义二元函数),(y x f z =.步骤2.求解方程组0),(,0),(==y x f y x f y x ,得到驻点.步骤3.对于每一个驻点),(00y x ,求出二阶偏导数22222,,.z z z A B C x x y y ∂∂∂===∂∂∂∂ 步骤4. 对于每一个驻点),(00y x ,计算判别式2B AC -,如果02>-B AC ,则该驻点是极值点,当0>A 为极小值, 0<A 为极大值;如果02=-B AC ,需进一步判断此驻点是否为极值点; 如果02<-B AC 则该驻点不是极值点.2．计算二元函数在区域D 内的最大值和最小值设函数),(y x f z =在有界区域D 上连续，则),(y x f 在D 上必定有最大值和最小值。
求),(y x f 在D 上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤1. 计算),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值；步骤2. 计算),(y x f 在D 的各个边界线上的最大值和最小值；步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在D 内的最大值和最小值。
3．函数求偏导数的MATLAB 命令MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数,用jacobian 求Jacobian 矩阵。
可以用help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息例1 求函数32824-+-=y xy x z 的极值点和极值. 首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数>>clear; syms x y;>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;>>diff(z,x)>>diff(z,y)结果为ans =4*x^3-8*yans =-8*x+4*y即.48,843yxyzyxxz+-=∂∂-=∂∂再求解方程，求得各驻点的坐标。
用MATLAB求极值
用MATLAB求极值灵活的运用MATLAB的计算功能，可以很容易地求得函数的极值。
例3.6.1 求223441x xyx x++=++的极值解首先建立函数关系：s yms sy=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙然后求函数的驻点：dy=diff(y); ↙xz=solve(dy) ↙xz=[0] [-2]知道函数有两个驻点x1=0和x2=-2，考察函数在驻点处二阶导数的正负情况：d2y=diff(y,2); ↙z1=limit(d2y,x,0) ↙z1=-2z2=limit(d2y,x,-2) ↙z2=2/9于是知在x1=0处二阶导数的值为z1=-2,小于0，函数有极大值；在x2=-2处二阶导数的值为z2=2/9，大于0，函数有极小值。
如果需要，可顺便求出极值点处的函数值：y1=limit(y,x,0) ↙y1=4y2=limit(y,x,-2) ↙y2=8/3事实上，如果知道了一个函数的图形，则它的极值情况和许多其它特性是一目了然的。
而借助MATLAB的作图功能，我们很容易做到这一点。
例3.6.2画出上例中函数的图形解syms x ↙y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙得到如下图形ezplot(y) ↙如何用MATLAB求函数的极值点和最大值比如说y=x^3+x^2+1，怎样用matlab来算它的极值和最大值？求极值：syms x y>> y=x^3+x^2+1>> diff(y) %求导ans =3*x^2 + 2*x>> solve(ans)%求导函数为零的点ans =-2/3极值有两点。
求最大值，既求-y的最小值：>> f=@(x)(-x^3-x^2-1)f = @(x)(-x^3-x^2-1)>> x=fminunc(f,-3,3)% 在-3；-3范围内找Warning: Gradient must be provided for trust-region method;using line-search method instead.> In fminunc at 354Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient less than options.TolFun.x =-0.6667>> f(x)ans =-1.1481在规定范围内的最大值是1.1481由于函数的局限性，求出的极值可能是局部最小（大）值。
用MATLAB求极值
用MATLAB求极值灵活的运用MATLAB的计算功能，可以很容易地求得函数的极值。
例3.6.1 求223441x xyx x++=++的极值解首先建立函数关系：s yms sy=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙然后求函数的驻点：dy=diff(y); ↙xz=solve(dy) ↙xz=[0] [-2]知道函数有两个驻点x1=0和x2=-2，考察函数在驻点处二阶导数的正负情况：d2y=diff(y,2); ↙z1=limit(d2y,x,0) ↙z1=-2z2=limit(d2y,x,-2) ↙z2=2/9于是知在x1=0处二阶导数的值为z1=-2,小于0，函数有极大值；在x2=-2处二阶导数的值为z2=2/9，大于0，函数有极小值。
如果需要，可顺便求出极值点处的函数值：y1=limit(y,x,0) ↙y1=4y2=limit(y,x,-2) ↙y2=8/3事实上，如果知道了一个函数的图形，则它的极值情况和许多其它特性是一目了然的。
而借助MA TLAB的作图功能，我们很容易做到这一点。
例3.6.2画出上例中函数的图形解syms x ↙y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); ↙得到如下图形ezplot(y) ↙如何用MATLAB求函数的极值点和最大值比如说y=x^3+x^2+1，怎样用matlab来算它的极值和最大值？求极值：syms x y>> y=x^3+x^2+1>> diff(y) %求导ans =3*x^2 + 2*x>> solve(ans)%求导函数为零的点ans =-2/3极值有两点。
求最大值，既求-y的最小值：>> f=@(x)(-x^3-x^2-1)f = @(x)(-x^3-x^2-1)>> x=fminunc(f,-3,3)% 在-3；-3范围内找Warning: Gradient must be provided for trust-region method;using line-search method instead.> In fminunc at 354Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient less than options.TolFun.x =-0.6667>> f(x)ans =-1.1481在规定范围内的最大值是1.1481由于函数的局限性，求出的极值可能是局部最小（大）值。
关于运用MATLAB求二元函数极值问题的研究
探索与争鸣175科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATIONDOI：10.16661/ki.1672-3791.2009-5042-9840关于运用MATLAB求二元函数极值问题的研究孙蕾(三江学院 江苏南京 210000)摘 要：函数极值是应用数学解决实际问题的一个重要方面。
在生活中经常会遇到求最大利润、用料最省、效率最高等问题。
这些问题通常都可以转化为数学中的函数最值问题来探讨，而函数的最值问题与函数的极值有密切联系。
该文给出了二元函数极值存在的必要条件和充分条件，并详细给出了二元函数极值的求解步骤。
除此之外，该文还重点研究了运用MATLAB软件对函数极值进行求解，给出了从图形上判断极值点的方法。
通过对函数极值解法的探讨，建立了计算机软件与极值问题的重要联系。
关键词：函数 极值 极大值 极小值 MATLAB 中图分类号：O171-4;G642 文献标识码：A文章编号：1672-3791(2021)07(a)-0175-03Research on Solving the Extreme Value of Binary Functionwith MATLABSUN Lei（Sanjiang University, Nanjing, Jiangsu Province, 210000 China ）Abstract: Function extreme value is an important aspect of applied mathematics which solves the practical problem. In life, we often encounter problems such as seeking the maximum prof it, saving the most materials and the highest eff iciency. These problems can usually be transformed into the maximum value problem of function in mathematics, and the maximum value problem of function is closely related to the extreme value of function. In this paper, the necessary and suff icient conditions for the existence of extreme values of binary functions are given, and the solving steps of extreme values of binary functions are given in detail. In addition, this paper also focuses on solving the extreme value of the function by using MATLAB software, and gives the method of judging the extreme point from the graph. By discussing the solution of function extreme value, the important relationship between computer software and extreme value problem is established.Key Words: Function; Extreme value; Maximum value; Minimum value; MATLAB基金项目：2015年江苏省教育厅与人民邮电出版社合作立项重点研究课题《创新性应用型人才培养的研究与实 践——以南京航空航天大学金城学院为例》（项目编号：2015JSJG510）。
MATLAB求解二元函数极值--模拟退火算法
MATLAB求解⼆元函数极值--模拟退⽕算法%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%模拟退⽕算法解决函数极值%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%初始化%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all; %清除所有变量close all; %清图clc; %清屏XMAX= 5; %搜索变量x最⼤值XMIN= -5; %搜索变量x最⼩值YMAX= 5; %搜索变量y最⼤值YMIN= -5; %搜索变量y最⼩值%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%冷却表参数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%L = 100; %马可夫链长度K = 0.99; %衰减参数S = 0.02; %步长因⼦T=100; %初始温度YZ = 1e-8; %容差P = 0; %Metropolis过程中总接受点%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%随机选点 初值设定%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%PreX = rand * (XMAX-XMIN)+XMIN;PreY = rand * (YMAX-YMIN)+YMIN;PreBestX = PreX;PreBestY = PreY;PreX = rand * (XMAX-XMIN)+XMIN;PreY = rand * (YMAX-YMIN)+YMIN;BestX = PreX;BestY = PreY;%%%%%%%%%%%每迭代⼀次退⽕⼀次(降温), 直到满⾜迭代条件为⽌%%%%%%%%%%%%deta=abs( func2( BestX,BestY)-func2 (PreBestX, PreBestY));while (deta > YZ) && (T>0.001)T=K*T;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%在当前温度T下迭代次数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%for i=1:L%%%%%%%%%%%%%%%%%在此点附近随机选下⼀点%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%p=0;while p==0NextX = PreX + S* (rand * (XMAX-XMIN)+XMIN);NextY = PreY + S*( rand * (YMAX-YMIN)+YMIN);if (NextX >= XMIN && NextX <= XMAX && NextY >=...YMIN && NextY <= YMAX)p=1;endend%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%是否全局最优解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%if (func2(BestX,BestY) > func2(NextX,NextY))%%%%%%%%%%%%%%%%%%保留上⼀个最优解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%PreBestX = BestX;PreBestY = BestY;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%此为新的最优解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%BestX=NextX;BestY=NextY;end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Metropolis过程%%%%%%%%%%%%%%%%%%%if( func2(PreX,PreY) - func2(NextX,NextY) > 0 )%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%接受新解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%PreX=NextX;PreY=NextY;P=P+1;elsechanger = -1*(func2(NextX,NextY)-func2(PreX,PreY))/ T ;p1=exp(changer);%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%接受较差的解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if p1 > randPreX=NextX;PreY=NextY;P=P+1;endendtrace(P+1)=func2(BestX, BestY);enddeta=abs( func2( BestX,BestY)-func2 (PreBestX, PreBestY));enddisp('最⼩值在点:');BestXBestYdisp( '最⼩值为:');func2(BestX, BestY)plot(trace(2:end))xlabel('迭代次数')ylabel('⽬标函数值')title('适应度进化曲线')%%%%%%%%%适应度函数%%%%%%%%%%function result=func2(x,y)fit=0.26*(x.^2+y.^2)-0.48*x*y;result=fit;。
利用MATLAB计算任意二元函数的极小值
利用MATLAB计算任意二元函数的极小值
王芬;袁志鹏
【期刊名称】《电脑编程技巧与维护》
【年(卷),期】2003(000)006
【摘要】本文给出了一种利用MATLAB计算任意二元函数的极小值的方法.主要讨论了在MATLAB中符号计算、三维作图和GUI用户界面生成的方法.这种方法界面友好,使用方便,并且由于高版本MATLAB中可以进行符号计算,解决了函数求导问题,使利用最速下降法求任意二元函数的极小值十分方便.
【总页数】2页(P77,85)
【作者】王芬;袁志鹏
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.基于MATLAB仿真任意多凸边形面积的计算 [J], 李玉梅
2.任意阶极点留数的Matlab计算方法 [J], 李翠华;薛艳;张少坤;刘海韵
3.基于PowerWorld & MATLAB的任意时刻短路电流计算研究 [J], 邓海鹰;谢锡锋;施华
4.利用转动惯量取极小值的方法计算三维刚体重心 [J], 王学滨;杨梅
5.基于VB与Matlab的任意缓和曲线坐标计算 [J], 张帅帅;于胜文;王鸣翠;刘尚国
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验五 用matlab 求二元函数的极值1．计算二元函数的极值对于二元函数的极值问题,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义二元函数),(y x f z =.步骤2.求解方程组0),(,0),(==y x f y x f y x ,得到驻点.步骤3.对于每一个驻点),(00y x ,求出二阶偏导数22222,,.z z z A B C x x y y ∂∂∂===∂∂∂∂ 步骤4. 对于每一个驻点),(00y x ,计算判别式2B AC -,如果02>-B AC ,则该驻点是极值点,当0>A 为极小值, 0<A 为极大值;如果02=-B AC ,需进一步判断此驻点是否为极值点; 如果02<-B AC 则该驻点不是极值点.2．计算二元函数在区域D 内的最大值和最小值设函数),(y x f z =在有界区域D 上连续，则),(y x f 在D 上必定有最大值和最小值。
求),(y x f 在D 上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤1. 计算),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值；步骤2. 计算),(y x f 在D 的各个边界线上的最大值和最小值；步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在D 内的最大值和最小值。
3．函数求偏导数的MATLAB 命令MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数,用jacobian 求Jacobian 矩阵。
可以用help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息例1 求函数32824-+-=y xy x z 的极值点和极值. 首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数>>clear; syms x y;>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;>>diff(z,x)>>diff(z,y)结果为ans =4*x^3-8*yans =-8*x+4*y即.48,843yxyzyxxz+-=∂∂-=∂∂再求解方程，求得各驻点的坐标。
一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。
求解方程的MATLAB代码为：>>clear;>>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：>>clear; syms x y;>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;>>A=diff(z,x,2)>>B=diff(diff(z,x),y)>>C=diff(z,y,2)结果为A=2*x^2B =-8C =4由判别法可知)2,4(--P和)2,4(Q都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，)2,4(--P和)2,4(Q是函数的最小值点。
当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。
>>clear;>>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3;>>mesh(X,Y,Z)>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')结果如图16.5.1图16.5.1 函数曲面图可见在图6.1中不容易观测极值点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.>>contour(X,Y,Z, 600)>>xlabel('x'),ylabel('y')结果如图16.5.2图16.5.2 等值线图由图16.5.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点)2,4(--P和)2,4(Q.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点)0,0(Q周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点.例２求函数xyz=在条件1=+yx下的极值..构造Lagrange函数)1(),(-++=yxxyyxLλ求Lagrange函数的自由极值.先求L关于λ,,yx的一阶偏导数>>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x)>>diff(l,y)>>diff(l,k)得,1,,-+=∂∂+=∂∂+=∂∂yxLxyLyxLλλλ再解方程>>clear; syms x y k>>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')得,21,21,21-===λyx进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.例3抛物面22yxz+=被平面1=++zyx截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.这个问题实际上就是求函数222),,(zyxzyxf++=在条件22yxz+=及1=++zyx下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数)1()(),,(22222-+++-++++=zyxzyxzyxzyxLμλ求Lagrange函数的自由极值.先求L关于μλ,,,,zyx的一阶偏导数>>clear; syms x y z u v>>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y)>>diff(l,z)>>diff(l,u)>>diff(l,v)得μλμλμλ+-=∂∂++=∂∂++=∂∂z z L y y y L x x x L 2,22,221,22-++=∂∂-+=∂∂z y x L z y x L μλ再解方程>>clear;>>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0', 'x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v')得.32,231,33117,3353 =±-==±-=±-=z y x μλ上面就是Lagrange 函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。
由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数f 在有界闭集}1,:),,{(22=++=+z y x z y x z y x ，上连续，从而存在最大值与最小值），故由359.)32,231,231( =±-±-f 求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为359+，最短距离为359-。
习题16-51.求1444+-+=xy y x z 的极值，并对图形进行观测。
2.求函数()222,y x y x f +=在圆周122=+y x 的最大值和最小值。
3.在球面1222=++z y x 求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。