巧用图象面积 解决物理问题

巧用图象面积解决物理问题
巧用图象面积解决物理问题浙江省富阳市第二中学
方明霞物理图像能形象、直观地表达物理规律、描述物理过程、反映物理量间的函数关系。

用图象法解题可以避免繁杂的中间运算过程，具有简明、快捷、准确等优点，特别是当某些物理量发生变化，用常规的解析法无法解决时，图象法可以帮助我们快而有效地解决问题。

在物理图象的学习和应用中，我们可以从坐标、斜率、截距、面积、交点、拐点等方面分析不同的图象所代表的物理意义。

本文仅从“面积”出发，阐释图象的妙用。

在物理教学中，我们会经常碰到这样的函数关系：y
=ab，其中一个物理量a为恒量，在以a
-
b为坐标的函数图象中，图线与坐标轴围成的矩形面积代表y的大小。

而当a也发生变化时，用一般解析式解决往往比较复杂。

在以a
-
b为坐标的函数图象中，利用“微元”的思想方法，将图线分割成无限小段，每一小段图线都可近似为a恒定，这一小段
图线围成的面积近似为矩形，表示这一小块y的大小，将所有小块叠加起来，不难发现图线与坐标轴围成的面积依然代表y的大小。

以下是笔者整理的部分图象“面积”的巧用。

一、1/v- x图象，图线与坐标轴围成的
“面积”表示时间
匀速直线运动中，，t与x、v成反比。

反比例函数在数学处理上往往比正比例函数复杂，因此我们通常将其转化为正比例函数
，在x-1/v图象上，利用“微元”思想，我们不难发现1/v-
x图线与坐标轴围成的“面积”表示时间。

例1．一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动，其速度大小与其离开洞口的距离成反比，当其到达距洞口为x1
的A点时速度为v
1，若B点离洞口的距离为x2（x2>x1），求老鼠由A运动到B所需的时间。

解析：老鼠从洞口沿直线爬出，已知爬出的速度与通过的距离成反比，则不能通过匀速运动、匀变速运动公式直接求解，但通过1/v-
x图象，我们可以很简洁地得到图中阴影部分的面积即是老鼠由A运动到B
所需的时间。

二、v-t图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示位移
例2．在电场强度为E的匀强电场中，有一条与电场线平行的几何线，如图中虚线所示。

几何线上有两个静止的小球A和B（均可看作质点），两小球的质量均为m，A球带电荷量+Q，B球不带电。

开始时两球相距L，在电场力的作用下，A球开始沿直线运动，并与B球发生正碰，碰撞中A、B两球的总动能无损失。

已知在各次碰撞过程中，A、B两球间无电量转移，且不考虑重力及两球间的万有引力，试问：在第一次碰撞以后A、B两球再次不断地碰撞的时间间隔会相等吗？如果相等，请计算该时间间隔T，如果不相等，请说明理由。

解析：在第一次碰撞前，A球在电场力作用下以加速度向右匀加速运动，B球保持静止。

A球第一次与B碰撞前的速度为，
A球与B球碰撞过程动量守恒：
A、B两球的总动能无损失：
可求得：，，即A、B两球碰后交换速度。

第一次碰后，B球以向右做匀速直线运动，而A球又以加速度向右做匀加速运动，当A、B向右发生的位移相等时发生第二次碰撞，第二次碰撞A、B速度又发生交换，碰后B球以A碰前速度向右做匀速直线运动，而A球以B碰前的速度为初速度，仍以为加速度向右做匀加速运动，以后不断重复这样的过程，以此类推。

由于这样进行的过程比较复杂，用函数表达式较难解答。

若将上述过程用v—t图象表示出来，则如图所示，由于两次碰撞间A、B发生的位移相等，由图线的对称关系可知图中阴影和斜线表示的三角形面积均相等，所以在第一次碰撞以后的过程中，A、B两球再次不断碰撞的时间间隔相等，为T =2t1=2。

例3．如图所示，甲、乙两光滑斜面的高度和斜面的总长度都相同，只是乙斜面由两部分组成，将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放，不计拐角处的机械能损失，试分析两球中谁先落地。

解析：若用公式求解此题，很难建立简单的函数解析式。

若用
v-t图象分析，由于甲、乙两光滑斜面的高度相同，不计拐角处的机械能损失，根据机械能守恒定律可得两球落地时速度大小相同。

由于斜面的倾斜程度不同，对两小球进行受力分析可知，乙图中，小球在前部分的加速度大于甲，后部分的加速度小于甲。

由于甲、乙两光滑斜面的总长度相同，在v-t 图象上，应使两条图线与t轴围成的面积相等，则其v-t图象
应如图所示：
由v-t图象不难看出，t甲
< t乙，乙图中的小球先落地。

三、F-t图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示冲量
例4．质点所受的力F随时间变化的规律如图所示，力的方向始终在一直线上。

已知t=0时质点的速度为零。

在图示t1、t2、t3和t4各时刻中，哪一时刻质点的动能最大？
A．t1
B．t2
C．t3
D．t4
解析：物体在F作用下，加速度不断变化，用一般函数解析法无法求解速度随时间的变化情况。

但在F-t图象中，
图线与坐标轴围成的“面积”表示冲量，且F轴正方向的面积代表正方向的冲量，F轴负方向的面积代表负方向的冲量。

初态速度为0，由动量定理Ft=mv2-
mv1可知，t2时刻图线与坐标轴围成的正向面积最大，速度最大，相应有最大动能。

四、F-x图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示功
例5．用锤子把铁钉打入木块中，已知每次打击时锤子给予铁钉的动能相同，钉子进入木块时受到的阻力与进入的深度成正比。

若第一次进入的深度为2cm，求第二次打击后再进入的深度。

解析：钉子受到的阻力Ff
=kx ，其函数图象如下：
在F-x图象中，图线与坐标轴围成的“面积”表示功。

由动能定理Fx=△Ek可知，两次打击过程，它们在F-x图象中，图线与坐标轴围成面积相同。

即2S△OAB
= S△OCD
由相似关系可得：S△OAB
：S△OCD
=0A2：OC2=1：2
所以0A：OC=1：
AC=（-1）OA
求得第二次再进入的深度为2（-1）cm 。

除此之外，电容器的U-Q图象，图线与坐标轴围成的面积表示电容器储存的电能大小；气体的P-V图象，图线与坐标轴围成的面积反映气体的温度大小等，希望大家对利用图象面积解决物理问题的知识进一步地补充。

总之，利用图象解题，往往能化难为易、化繁为简、事半功倍，我们应多多利用图象解题。