角的单位及和差倍分

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角的和差倍分1

学科：初中中数学教材版本：沪教版学员年级：六年级课时数：3课题角的和差倍分教学目标1、理解角的概念,掌握角的有关名称2、掌握角的大小比较方法3、理解两个角的和差倍的意义,并会用等式表示角的和差倍的关系，会画角的和差倍4、理解余角补角的概念教学内容知识点1：角的大小的比较方法（1）量角器（2）叠合法知识点2：角的和、差、倍（1）两个角可以相加，它们的和也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和。

（2）两个角可以相减，它们的差也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的差。

知识点3：角平分线（1）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

（2）角平分线的作法【例题1】能用∠α、∠AOB、∠O三种方式表示同一个角的图形是（）A B C D【解析】A【检测1】如图,能用∠1、∠ABC、∠B三种方法,表示同一个角的是（）A B C D【解析】B【例题2】8点30分时,时钟的时针与分针所夹的锐角是（）A.70°B.75°C.80°D.60°【解析】解：钟面每份是30°，8点30分时针与分针相距2.5份，8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是30°×2.5=75°，故选：B．【检测2】时钟的时针在不停的旋转,时针从上午的6时到9时,时针旋转的旋转角是（）A.30°B.60°C.90°D.9°【解析】解：∵时针从上午的6时到9时共旋转了3个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角=30°×3=90°．故选：C．【例题3】用一个放大镜去观察一个角的大小，正确的说法是（）A.角的度数扩大了B.角的度数缩小了C.角的度数没有变化D.以上都不对【解析】C【检测3】下列说法正确的是（）A.两点之间直线最短B.用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大C.将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D.直线l经过点A,那么点A在直线l上【解析】解：（1）对于A选项，直线没长度，故A错误．（2）放大镜能够把一个图形放大，不能够把一个角的度数放大，故B错误．（3）对于C选项，没有提到所分角的相等，故C错误．（4）直线过A点，则A一定在直线上．综上可得只有D正确．故选：D．【例题4】如图,OC⊥AB,OE为∠COB的角平分线,∠AOE的度数为_________A.130°B.125°C.135°D.145°【解析】解：∵OC⊥AB，∴∠COB=∠AOC=90°，∵OE为∠COB的角平分线，∴∠COE=45°，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+45°=135°；【检测4】如图,已知∠COB=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=20°,则∠AOB=（）A.40°B.60°C.120°D.135°【解析】解：设∠AOC=x，则∠BOC=2x，则∠AOD=1.5x．∵∠AOD﹣∠AOC=∠COD，∴1.5x﹣x=20°，解得：x=40°．∴∠AOB=3x=120°．故选：C．【例题5】设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为α，则（）A.0°＜α＜90°B.0°＜α≤90°C.0°＜α＜90°或90°＜α＜180°D.0°＜α＜180°【解析】解：设这个角的为x且0＜x＜90°，根据题意可知180°﹣x﹣x=α，∴α=180°﹣2x，∴180°﹣2×90°＜α＜180°﹣2×0°，0°＜α＜180°．故选：D．【检测5】(1)下列说法中正确的个数是（）①锐角的补角一定是钝角;②一个角的补角一定大于这个角;③如果两个角是同一个角的补角,那么它们相等;④锐角和钝角互补;⑤如果互补的两个角相等;那么这两个角都是90°A.1B.2C.3D.4【解析】解：锐角的补角一定是钝角，①正确；钝角的补角小于这个角，②错误；如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，③正确；锐角和钝角不一定互补，④错误；如果互补的两个角相等，那么这两个角都是90°，⑤正确．故选：C．(2)如图所示,在三角形ABC中,点D是边AB上的一点.已知∠ACB=90°,∠CDB=90°,则图中与∠A互余的角的个数是__________【解析】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A互余的角的个数是2．【例题6】已知∠AOB=α（90°＜α＜180°）,∠COD在∠AOB的内部,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD(1)若∠COD=180°﹣α时,探索下面两个问题:①如图1,当OC在OD左侧,求∠MON的度数②当OC在OD右侧,请在图2内补全图形,并求出∠MON的度数（用含α的代数式表示）(2)如图3,当∠COD=kα,且OC在OD左侧时,直接写出∠MON的度数（用含α、k的代数式表示）【解析】解：（1）①如图1，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，∴∠AOM+∠BON=（∠AOC+∠BOD），∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°，∴∠AOM+∠BON=（2α﹣180°）=α﹣90°，∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣（α﹣90°）=90°；②当OC在OD右侧，补全图形如图2所画，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=α+（180°﹣α）=180°，∴∠AOM+∠BON=×180°=90°，∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣90°；（2）∠MON的度数为（1+k）α．理由：如图3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，∴∠AOM+∠BON=（∠AOC+∠BOD），∵∠AOB=α，∠COD=kα，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣kα，∴∠AOM+∠BON=（α﹣kα）=α（1﹣k），∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣α（1﹣k）=（1+k）α．【检测6】已知:∠AOD=160°,OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线(1)如图1,若OM平分∠AOB,ON平分∠BOD.当OB绕点O在∠AOD内旋转时,求∠MON的大小(2)如图2,若∠BOC=20°,OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小(3)在(2)的条件下,若∠AOB=10°,当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时,∠AOM:∠DON=2:3,求t的值【解析】解：（1）因为∠AOD=160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD所以∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD即∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°；（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD所以∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD即∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC=（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC=×180°﹣20°=70°；（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB=20°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=2t°+10°+20°=2t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=t°+15°．∵∠BOD=∠AOD﹣∠BOA，∠AOD=160°，∴∠BOD=150°﹣2t．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=∠BOD=75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON=2：3，∴（t+15）：（75﹣t）=2：3，解得t=21．答：t为21秒．【测试1】已知∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB,OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,则∠MOD的度数是（）A.20°或50°B.20°或60°C.30°或50°D.30°或60°【解析】解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，∴∠AOC=80°，∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=∠AOC=40°，∴∠DOM=∠AOM﹣∠AOD=40°﹣10°=30°；如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，∠DOM=∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；故选：C．【测试2】如图,直线EF与MN相交于点O,∠MOE=30°,将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合,OB在∠NOE内部.操作:将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周,设运动时间为t秒(1)当t为何值时,直角边OB恰好平分∠NOE?此时OA是否平分∠MOE?请说明理由(2)若在三角尺转动的同时,直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周,当一方先完成旋转一周时,另一方同时停止转动①当t为何值时,EF平分∠AOB?②EF能否平分∠NOB?若能请直接写出t的值;若不能,请说明理由【解析】解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB=∠NOE=（180°﹣30°）=75°，∴90°﹣3t°=75°，解得：t=5．此时∠MOA=3°×5=15°=∠MOE，∴此时OA平分∠MOE．（2）①OE平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=90°÷2，解得t=2.5；OF平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=180°+90°÷2，解得t=32.5．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB②OB在MN上面，依题意有180°﹣30°﹣9t=（90°﹣3t）÷2，解得t=14；OB在MN下面，依题意有9t﹣（360°﹣30°）=（3t﹣90°）÷2，解得t=38．故EF能平分∠NOB，t的值为14s或38s．【练习1】一个角的补角比它的余角的4倍少30°，这个角的度数是【解析】解：设这个角为x，由题意得，180°﹣x=4（90°﹣x）﹣30°，解得x=50°．故答案为：50°．【练习2】如图,OA的方向是北偏东15°,OB的方向是北偏西40°,若∠AOC=∠AOB,则OC的方向是【解析】解：∵OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°∴∠AOB=40°+15°=55°∵∠AOC=∠AOB∴OC的方向是北偏东15°+55°=70°【练习3】将两块直角三角板的直角顶点重合，如图所示，若∠AOD=128°，则∠BOC的度数是_______【解析】解：∠BOC=∠AOB+∠COD﹣∠AOD=90°+90°﹣128°=52°．【练习4】如图,直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC(1)若∠EOC=70°,求∠BOD的度数(2)若∠EOC:∠EOD=2:3,求∠BOD的度数【解析】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=×70°=35°，∴∠BOD=∠AOC=35°；（2）设∠EOC=2x，∠EOD=3x，根据题意得2x+3x=180°，解得x=36°，∴∠EOC=2x=72°，∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，∴∠BOD=∠AOC=36°．【练习5】如图所示,OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC(1)如果∠AOB=90°,∠BOC=38°,求∠DOE的度数(2)如果∠AOB=α,∠BOC=β（α、β均为锐角，α＞β）,其他条件不变,求∠DOE(3)从(1)、(2)的结果中,你发现了什么规律,请写出来【解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=38°∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+38°=128°又∵OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠AOC=×128°=64°∠COD=∠BOC=×38°=19°∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=64°﹣19°=45°（2）∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，又∵OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠AOC=（α+β）∠COD=∠BOC=β∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=（α+β）﹣β=α+β﹣β=α；（3）∠DOE的大小与∠BOC的大小无关．。

三角函数的和差公式与倍角公式

三角函数的和差公式与倍角公式三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

其中，和差公式与倍角公式是三角函数中的重要内容，它们在解决三角函数的运算中起到了重要的作用。

本文将介绍三角函数的和差公式与倍角公式的概念、推导过程及应用。

一、和差公式的概念与推导和差公式是用来表示两个角的和差的三角函数关系的公式。

对于任意两个角A和B，和差公式可以表示如下：1. 两角的和的正弦函数公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB2. 两角的差的正弦函数公式：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB3. 两角的和的余弦函数公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB4. 两角的差的余弦函数公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB5. 两角的和的正切函数公式：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)6. 两角的差的正切函数公式：tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些和差公式的推导过程可以利用向量运算、三角函数性质等方法进行推导。

由于篇幅限制，本文将不进行具体的推导，但读者可以通过学习向量运算和三角函数性质，自行推导出这些和差公式。

二、倍角公式的概念与推导倍角公式是用来表示一个角的两倍角关系的三角函数公式。

对于任意一个角A，倍角公式可以表示如下：1. 正弦函数的倍角公式：sin(2A) = 2 * sinA * cosA2. 余弦函数的倍角公式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2 * cos^2(A) - 1 = 1 - 2 * sin^2(A)3. 正切函数的倍角公式：tan(2A) = 2 * tanA / (1 - tan^2(A))这些倍角公式的推导可以采用不同的方法，如三角恒等式、三角函数的平方等性质。

初中数学《角的比较与运算》知识全解

《角的比较与运算》知识全解课标要求理解角的大小比较方法,掌握角的和差倍分计算与角平分线的概念与几何描述．知识结构角的比较度量法的方法叠合法：使两个角的顶点及一边重合，另一边落在重合这条边的同旁角定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的的射线，叫做这个角的平分线比性质：若是AOB∠的平分线较与角则12AOC BOC AOB∠=∠=∠22AOB AOC BOC∠=∠=∠运平或算分线平分角的方法有多种，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践度、分、秒互化：1周角=360°，1平角=180°，1°= 运算角的计算：角可以进行和、差、倍、分计算，加减时注意进位与错位，乘除时注意进位与错位，借助数与形的结合分析问题是这一部分的重点，利用图形中角的关系转化为算式去解决问题内容解析知识点1 角的比较比较法法：①测量法（用量角器度量角的度数）；②叠合法（把角叠合在一起，即角的顶点及一边重合，观察另一边的位置）.表示法：“>”“<”“=”.知识点2 角的和差倍分角的和差倍分仍然是一个角，具体的等式关系需借助相应的图形加以判断.角的平分线把角分成了两个相等的角，这两个角都等于原角的一半.知识点3 角的度分秒的加减乘除运算首先明确的度量单位之间是60进制，需要借位时借1作60，需要进位时满60进1，四种运算中，加减乘除都是相同单位间各自进行，最后进位，除法要从高位除起，余数化作下一级单位继续除.重点难点重点角的比较和角的和、差、倍、分运算及用几何语言表达角平分线的概念.难点角平分线的几何语言的表达方式的选择与借助几何图形进行的计算.教法导引角的比较和运算是在线段有关内容的基础上出现的又一个相类似的内容．教学的时候采用类比的方法。

引导学生对角的大小的认识从“数量”→→“形”的过渡．理解符号语言，在图形和等式之间建立一种关系，让学生了解两个角的和或差，仍是一个角，达到数与形的结合．对于角的平分线，主要是让学生结合图形来认识和理解，不要求用尺规作角平分线，用折叠法易于对角平分线的概念理解。

角的度量与计算

角的度量与计算角是几何学中常见的基本概念，用于描述两条线段之间的夹角或者两条射线之间的夹角。

想要精确地度量和计算角的大小，需要了解角的度量单位、角的类型以及角的计算公式等知识。

一、角的度量单位1. 弧度：弧度是用于度量角的标准单位，记作rad。

一个完整的圆周包含2π（约等于6.28）弧度，即360°等于2π弧度。

2. 度：度是另一种常见的角度量单位，记作°。

一个完整的圆周包含360度，即2π弧度等于360°。

二、角的类型1. 零角：零角是指两条相互重合的射线所形成的角，度数为0°，弧度数为0 rad。

2. 钝角：钝角是指大于90°但小于180°的角。

3. 直角：直角是指度数为90°，弧度数为π/2的角。

直角十分特殊，两条构成直角的射线互相垂直。

4. 锐角：锐角是指小于90°但大于0°的角。

5. 平角：平角是指度数为180°，弧度数为π的角。

平角表示两条射线平行。

三、角的计算公式1. 弧度与度的转换：弧度 = 度数× (π / 180)度数 = 弧度× (180 / π)2. 两个角的和/差：两个角的和等于它们的度数或弧度数之和，如 A + B。

两个角的差等于它们的度数或弧度数之差，如 A - B。

3. 角的倍数：一个角的 n 倍角等于它的度数或弧度数乘以 n，如 nA。

4. 角的补角/余角：一个角的补角是指与其相加等于 90°（或π/2弧度）的角，如 A 的补角为 90° - A。

一个角的余角是指与其相减等于 90°（或π/2弧度）的角，如 A 的余角为 A - 90°。

5. 角的相等/相似：两个角相等，意味着它们的度数或弧度数相等，如 A = B。

两个角相似，意味着它们的度数或弧度数成比例，如 A∽B。

四、角的计算实例1. 例题一：已知 A = 30°，求 A 的补角和余角。

角的单位及和差倍分

角的单位及和差倍分（总第71课时）执笔人：鲁贤聪教学目标1.了解角的单位的意义，并能进行角的单位之间换算2.经历角的单位的换算过程，理解角的单位互化的程序（分段进行）3.通过角的单位的互化和角的四则运算，提高计算能力，培养学生一丝不苟的学习精神。

教学重难点重点：角的度量单位及角的单位之间的换算，角的四则运算难点：角的减法、除法运算教学过程1.角的度量单位——度、角、分角的度量单位是“度、分、秒”。

把1个周角360等分，每一等分是1度的角，1度记作1°；把1°的角60等分，每一等分就是1分的角，1分记作1′；把1′的角60等分，每一等分就是1秒的角，1秒记作1″。

即1°=60′， 1′=60″1′=︒⎪⎭⎫ ⎝⎛601 '⎪⎭⎫ ⎝⎛="6011 注：要类比时间单位记忆2.角的单位的互换例1 （1）用度、分、秒表示°解：因为°=60′×=′ （度退位分）′=60″×=36″ （分退位秒）所以°=30°15′36″（2）42°18′15″等于多少度'=⨯'⎪⎭⎫⎝⎛="25.01560115 （秒进位分）︒≈⨯︒⎪⎭⎫ ⎝⎛='304.025.1860125.18 （分进位度）所以42°18′15″≈42°＋°≈°注：（1）是将高级单位化为低级单位，乘以60（退位×60）（2）是将低级单位化为高级单位，除以60（进位÷60）P145练习13.角的四则运算例2计算（1）25°23′17″＋46°53′43″解：25°23′17″＋46°53′43″=71°76′60″=72°17′（2）19°20′24″×4解：19°20′24″×4=76°80′96″=77°21′36″（3）75°23′12″－46°53′43″解：75°23′12″－46°53′43″=74°83′12″－46°53′43″=74°82′72″－46°53′43″=28°29′29″分析：被减数的分不够减，向度借1算60分；被减数的秒不够减，向分借1算60秒.（4）把一个周角17等分，每份是多少（精确到1′）解：360°÷17=21°＋3°÷17=21°＋180′÷17≈21°11′.思考：若精确到1″，答案约为多少（21°10′35″）练习2第3小题角的运算总结：1.加法、乘法：加法、乘法按度、分、秒分别计算，再由低级单位向高级单位进位（逢60进1）2.减法：先看要不要退位，够不够减，如要退位应先退位，再相减（退1算60）3.除法：由高级单位向低级单位逐级计算，余数要退位（退1算60）再相除作业习题第3题（1）（2）（3）（4）。

三角函数中的和差角公式与倍角公式

三角函数中的和差角公式与倍角公式三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

在三角函数的学习中，和差角公式与倍角公式是非常基础且重要的内容。

它们在解三角方程、化简三角函数表达式以及推导其他公式等方面起到了重要作用。

本文将详细介绍和差角公式与倍角公式的定义、推导以及举例应用。

一、和差角公式和差角公式是三角函数中用于表示两个角的和与差的关系的公式。

假设角 A 和 B 分别为任意两个角，则有以下和差角公式：1. 余弦和差角公式：cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB2. 正弦和差角公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB3. 正切和差角公式：tan(A±B) = (tanA±tanB) / (1∓tanAtanB)推导和差角公式的方法可以通过不同的方式进行，包括几何推导、代数推导以及复数推导等。

不同的推导方法可以满足不同的需求，但最终得到的结果是相同的。

举例应用：假设 A = 30°，B = 45°，根据和差角公式可以得到：cos(30°+45°) = cos30°cos45° - sin30°sin45°sin(30°-45°) = sin30°cos45° - cos30°sin45°通过计算，可以得到具体的数值。

二、倍角公式倍角公式是三角函数中用于表示一个角的两倍的关系的公式。

假设角 A 为任意角度，则有以下倍角公式：1. 余弦倍角公式：cos2A = cos^2A - sin^2A2. 正弦倍角公式：sin2A = 2sinAcosA3. 正切倍角公式：tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)倍角公式的推导可以借助和差角公式来完成，通过将和差角公式中的 A 与 B 角取相等，即可得到对应的倍角公式。

角的度量与计算方法

角的度量与计算方法角是几何学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍角的度量方法以及常见的角的计算方法。

一、角的度量方法1. 角度制角度制是我们常见的一种度量角的方法。

在角度制中，一个圆的一周被分为360等分，每个等分的角度为1度（°）。

一个角度由度和分（’）两部分组成，例如60°30’，表示60度30分。

角度制是我们日常生活中常用的度量角的单位。

2. 弧度制弧度制是另一种常用的度量角的方法。

在弧度制中，角度的度量单位是弧度（rad）。

一个角度等于弧长等于半径的弧所对应的弧度数。

一个圆的一周等于2π弧度，也就是360°等于2π弧度。

弧度制在数学和科学领域中使用较多，因为它便于计算和表述一些复杂的几何问题。

二、角的计算方法1. 两角之和与差两角之和或差的计算常用于解决角的几何关系和运算问题。

假设有两角A和B，它们的度数分别为α和β。

（1）两角之和：A + B = (α + β)°在计算两个角的度数之和时，只需将它们的度数相加即可。

（2）两角之差：A - B = (α - β)°计算两个角的度数之差时，只需将它们的度数相减即可。

2. 角的倍数和子角角的倍数和子角的概念常用于解决旋转和周期性问题。

（1）角的倍数：如果一个角A的度数是另一个角B的度数的整数倍，我们称A是B的倍数。

（2）子角：如果一个角A的度数是另一个角B的度数的真子集，我们称A是B的子角。

3. 三角函数三角函数是一类与角度或弧度相关的数学函数，它们在解决几何和物理问题时非常有用。

常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

（1）正弦函数：sin(A) = a / c正弦函数表示一个角的对边与斜边之比。

（2）余弦函数：cos(A) = b / c余弦函数表示一个角的邻边与斜边之比。

（3）正切函数：tan(A) = a / b正切函数表示一个角的对边与邻边之比。

七年级数学角的度量

04 角的特殊关系与证明
平行线与同位角、内错角、同旁内角
平行线的定义及性质
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线的性质包括同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补。
内错角的识别与度量
两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。内错角的度量方法同样是通过量角器测量角度大小。
（任何多边形的外角和为360°）。
应用举例：三角函数中的角度计算
锐角三角函数
理解正弦、余弦、正切等锐角三角函数的基本概念，掌握这些函数在特殊角度（如30°、45°、60°）
的值。
角度与弧度的转换
了解角度与弧度两种度量方式之间的转换方法，知道如何在三角函数中使用弧度进行计算。
解直角三角形
掌握利用正弦、余弦、正切等三角函数解直角三角形的方法，能够求解三角形的未知边或未知角。
同位角的识别与度量
当两条直线被第三条直线所截，位于这两条直线同一侧的两个内角叫做同位角。同位角的度量方法是通过量角器测量角度大小。
同旁内角的识别与度量
两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同一侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角。同旁内角的度量方法也是通过量角器测量角度大小。
应用举例：几何图形中的角度计算
01
三角形的内角和
任何三角形的内角和为180°。利用这一性质可以求解三角形中的未知角。
02
平行线与交叉线
理解平行线和交叉线所形成的同位角、内错角、同旁内角等概念，并会
利用这些角的关系进行计算。
03
多边形的内角和与外角和
掌握多边形内角和的计算公式（（n-2）×180°）以及外角和的性质

初中数学《角》单元教学设计以及思维导图

3.初步会用运动、变化的观点看待几何图形。情感态度与价值观：培养学生勇于探索创新的精神;增强学生的自主性和合作精神;增强学生学习的兴趣。
对应课标（说明：学科课程标准对本单元学习的要求）
1. 通过丰富的实例，进一步认识角的概念 2. 会比较角的大小，认识角的和、差、倍、分，理解角平分线的概念。 3. 认识度、分、秒，会进行角的和、差的简单计算。了解直角、锐角、钝角、余角的概念，知道同角或等角的余角、补角相等。 4. 了解对顶角概念，知道对顶角相等 5. 了解垂线、垂线段的概念，知道过一点能画并且只能画一条直线与已知直线垂直，会用三角尺或量角器过一点画一条已知直线的垂线，了解垂线段最短的性质和点到直线距离的意义。
所需教学环境和教学资源(说明：在此列出本专题所需要的教学环境和学习过程中所需的信息化资源、常规资源等和各种支持资源)
教学环境：配有电子白板的教室信息化资源：电脑、实物投影仪、网络及相关应用软件常规资源：三角尺、圆规、量角器
学习活动设计
第一课时活动一：创设情境合作探究 1.观察有关角的图片，让学生总结角的特点。
主题单元问题设计
1.角是怎样形成的？如何度量与比较角的大小呢？ 2.角按照大小怎样进行分类？ 3.对顶角与什么有关系呢，是大小还是位置？
专题划分
专题一：角的比较与度量
（ 4 课时）
专题二：角的和、差、倍、分（ 1 课时）
专题三：对顶角
（ 1 课时）
其中，或专题一中的活动第二课时作为研究性学习）
3. 怎样用叠合法比较角的大小？什么是角的平分源自线？专题问题设计
4.角的度量单位是什么？度、分、秒之间是怎样转化的？ 5.直角、锐角、钝角是怎样定义的？当两个角满足怎

三角函数的和差角公式与倍角公式

三角函数的和差角公式与倍角公式三角函数是数学中常见且基础的概念之一，涉及到三角函数的计算与应用等方面。

在三角函数的研究中，和差角公式和倍角公式是非常重要的工具，它们为我们解决问题提供了便利。

本文将详细介绍三角函数的和差角公式与倍角公式的概念、公式及其应用。

一、三角函数的和差角公式和差角公式是指将两个三角函数相加或相减的结果表示为一个三角函数的公式。

常见的和差角公式包括正弦函数的和差角公式、余弦函数的和差角公式和正切函数的和差角公式。

1. 正弦函数的和差角公式设角A和角B为任意两个角，则有正弦函数的和差角公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB2. 余弦函数的和差角公式设角A和角B为任意两个角，则有余弦函数的和差角公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB3. 正切函数的和差角公式设角A和角B为任意两个角，则有正切函数的和差角公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些和差角公式在三角函数的计算中常被使用，可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，从而便于计算和推导。

二、三角函数的倍角公式倍角公式是指将一个三角函数的两倍角表示为其他三角函数的公式。

常见的倍角公式包括正弦函数的倍角公式、余弦函数的倍角公式和正切函数的倍角公式。

1. 正弦函数的倍角公式设角A为任意角，则有正弦函数的倍角公式：sin(2A) = 2sinAcosA2. 余弦函数的倍角公式设角A为任意角，则有余弦函数的倍角公式：cos(2A) = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2A3. 正切函数的倍角公式设角A为任意角，则有正切函数的倍角公式：tan(2A) = (2tanA) / (1 - tan^2A)倍角公式同样在三角函数的计算中具有重要作用，可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，从而便于计算和推导。

【精品】角的和、差、倍、分问题

第一节角的和、差、倍、分【典型例题】二倍角问题的辅助线添法己知：如图所示，MBC中，ZA = 2ZB,CD平分£4C3・求证：BC=AC+AD.例2已知：如图所示，在AABC中，ZA = 2ZB,AB=2AC.求证：ZC = 90°.例3 已知：在A4BC中，ZACB = 2，B.求证：2AC>A3.例4已知：AD是A4BC的中线，ZC = 2ZB,AC = -BC.求证：A4OC是等边三2 角形.证明角的和、差、倍、分例1如图所示，已知AABC中，ZC>ZB, AD是角平分线，AELBC于E,求证:ZZ)AE = ^(ZC-ZB)例2如图所示，己知：E为A4BC的边BC延长线上一点，ZABG匕ACE的平分线相交于D.求证：ZZ) = -ZA.2例3如图所示，己知：ZVIBC中，/ABC和/4CB的平分线相交于点0.求证:4。

= 9。

+ 捉.B' C例4如图所示，己知DO平分ZADC, BO平分ZABC,求证：ZA + ZC = 2ZO.例5如图所示，已知AB>AC, AD平分ABAC, EF LAD,垂足为G, EF交AB于E,交AC于F,交BC的延长线于M.求证：ZM =^（ZACB-ZB）.例6如图所示，已知AABC中，AB=AC, CD L AB交BA延长线于D, E, F分别是AC、BC的中点.证明：ZEDF = 90°--ZBAC.2【大展身手】1如图所示，已知D为AABC内任意一点，求证：ZBDC =ZA + ZABD+ ZACD.2如图所示，线段BP、BE把ZABC三等分，线段CP、CE把4C8三等分.求证: ZBPC=-(ZA + ZBEC).3如图所示，AA8C中，延长BC到D, ZABC与匕4CO的平分线相交于E点，ZEBC 与匕ECD的平分线相交于F点，求证：ZF = -ZA. 4【小试锋芒】1求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.2 如图所示，MBC中，外角ZCBD, ZBCE的平分线交于点0 ,求证:E = 9。

北师大版七年级上册数学[角(提高版)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习角（提高）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O ，边是射线OA 、OB ．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：图1 图2要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】（2015春•成武县期末）下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4.（2016春•龙口市期中）如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（4）从上面的结果中，发现：∠MON的大小只和∠AOB得大小有关，与∠A0C的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O是直线AC上一点，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠BOE＝12∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得： 1180127022x x x --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°.类型四、方位角5.（2015•浦东新区三模）已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于．【答案】85°．【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°，∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线?【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =．答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则：① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分．故分针速度是时针速度的12倍．举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间?【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得： 6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40．答：此人外出购物用了40分钟的时间．。

线段、射线、直线、角

第 1 页共 9 页M OBAa线段、直线、射线基础知识：知识点1、线段、直线、射线的概念：线段：一段拉直的棉线可近似地看作线段，线段有两个端点。

如：绷紧的琴弦、人行横道线等。

线段的画法：（1）画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延伸的情况．（2）以后我们说“连结 ”就是指画以A 、B 为端点的线段．射线：将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，射线有一个端点。

如手电筒、探照灯射出的光线等。

射线的画法：一要画出射线端点；二要画出射线经过点，并向一旁延伸的情况．直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点。

如笔直的铁轨等。

直线的画法：用直尺画直线，但只能画出一部分，不能画端点。

知识点2、线段、直线、射线的表示方法：（1）点的记法：用一个大写英文字母（2）线段的记法：①用两个端点的字母来表示②用一个小写英文字母表示如图：记作线段AB 或线段BA ，与字母顺序无关记作线段a ，此时要在图中标出此小定字母（3）射线的记法：用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面如图：记作射线OM,但不能记作射线MO（4）直线的记法：①用直线上两个点来表示②用一个小写字母来表示如图：记作直线AB 或直线BA ，与字母顺序无关。

记作直线l ，此时要在图中标出此小定字母知识点3、线段、射线、直线的区别与联系：联系：三者都是直的，线段向一个方向延长可得到射线，线段向两个方向延长可得到直线，故射线、线段都是直线的一部分，线段是射线的一部分。

区别：直线可以向两方延伸，射线可以向一方无限延伸，线段不能延伸，三者的区别见下表：BAl细节决定成败，态度决定结果。

第 2 页共 9 页知识点4、直线的基本性质（重点）（1）经过一点可以画无数条直线；（2）经过两点只可以画一条直线。

直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线（也就是说：两点确定一条直线）注：“确定”体现了“有”，又体现了“只有”。

三角函数的和差角与倍角公式

三角函数的和差角与倍角公式三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理等领域中具有广泛的应用。

在三角函数的研究中，和差角与倍角公式是必不可少的基础知识。

本文将系统地介绍三角函数的和差角与倍角公式，并分析它们的应用。

一、和差角公式1. 余弦函数的和差角公式假设角A和角B是两个任意的角度，则有以下公式：cos(A ± B) = cosA * cosB ∓ sinA * sinB其中，符号“±”表示正负号取决于“+”或“-”号。

这个公式可以通过欧拉公式推导得出，具体过程如下：利用欧拉公式：e^(ix) = cosx + isinx，其中i是虚数单位将角度A和B分别代入欧拉公式得：e^(iA) = cosa + isina 和 e^(iB) = cosB + isinB将e^(iB)代入e^(iA)的幂函数：(e^(iB))^A = (cosB + isinB)^A将左侧展开并利用二项式定理，将右侧利用欧拉公式展开，并提取虚部，得到：e^(i(A + B)) = (cosA * cosB - sinA * sinB) + i(cosA * sinB + sinA * cosB)将虚部与实部分离，可以得到：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBsin(A + B) = cosA * sinB + sinA * cosB将正负号进行调整即可得到余弦函数的和差角公式。

2. 正弦函数的和差角公式与余弦函数的和差角公式类似，正弦函数的和差角公式也可以通过欧拉公式推导得出，具体公式如下：sin(A ± B) = sinA * cosB ± cosA * sinB同样，这个公式也可以通过展开和提取虚部得到。

二、倍角公式倍角公式是和差角公式的一种特殊情况，其中角A和角B相等。

在三角函数中，有以下的倍角公式：1. 余弦函数的倍角公式cos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2A这些公式可以通过和差角公式推导得出。

角的和差(48张PPT)数学

解 ∵∠AOB＝90°，∠AOC＝50°，∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋50°＝140°.
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解
(2)若OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为________.
解 ∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
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14.如图，点O是直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝110°.(1)∠BOC＝_____°.
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解析 ∠BOC＝180°－∠AOC＝70°，故答案为70.
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答案
解析
(2)现将射线OA绕点O以每秒10°角的速度顺时针旋转至与射线OB重合为止.设运动时间为t秒.当射线OA，射线OB，射线OC分别构成两个相等的角(重合除外)时，此时t的值为____________.
A
答案
解析 ∠1＝180°－∠COB＝180°－27°29′＝179°60′－27°29′＝152°31′.故选A.
解析
从一个角的引出的一条射线，把这个角分成两个的角，这条射线叫做这个角的平分线.
顶点
知识点2 角的平分线
答案
相等
自我检测
3.如图所示，OB是∠AOC的平分线，∠COD＝ ∠BOD，∠COD＝17°，则∠AOD的度数是( )A.70° B.83° C.68° D.85°

人教版七年级数学上册《角的计算》课件

4．3 角
4．3.2 角的比较与运算(2课时)
第2课时角的计算
会进行度、分、秒间的单位互化及角的和、差、倍、分计算．
重点角的度分秒之间的换算与计算．难点借助几何图形进行角的计算．
一、创设情境，导入新课练习：比较大小． 1．36.5°与36°28′. 2．0.15°与15′. 3．用度分秒表示30.24°. 学生独立完成，然后同学间交流．
解答略，教师应当关注第2个题，一是问题的分析，二是解答过程的叙述，不必强求过程叙述的完美，但至少要让学生叙述清楚．
四、小结与作业小结：谈谈本节课你的收获．作业：习题4.3第3，5，10，11题．
在本节课教学中，始终坚持以学生为主体，教师为主导，致力启发学生已掌握的知识，充分调动学生的学习兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂中，使每个学生都学有所得，真正实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，人人都得到良好的数学”教育的最终目标．
谢谢观赏
You made my d 教师注意规范的书写过程．点评：观察图形，发现各角之间的关系是解决问题的关键．教师出示例2 把一个周角7等分，每一份是多少度的角(精确到分)? 解：略．点评：教师要注意方法过程，要详细地把计算过程讲解给学生，学生刚开始对60进制不太熟练，所以要注意放慢速度．
三、综合运用练习：教材练习第2，3题．补充例题(教师投影展示) 1．如果一个角是另一个角的3倍，且这两个角的和是 90°，求这两个角的度数． 2．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
二、探索新知教师出示教材例1. 例 1 ：如图， O 是直线上 AB 一点， ∠AOC ＝ 53°17′ ，求 ∠BOC的度数．

线段及角的和差倍分计算

线段及角的和差倍分计算
首先我们来介绍线段的和、差计算方法。

1.线段的和计算：
设线段AB的长度为a，线段BC的长度为b，那么线段AC的长度为
a+b。

2.线段的差计算：
设线段AB的长度为a，线段BC的长度为b，那么线段AC的长度为，
a-b，即两个线段长度的差的绝对值。

接下来我们来介绍角的和、差计算方法。

1.角的和计算：
设角A的度数为α，角B的度数为β，那么角A和角B的度数和为
α+β。

2.角的差计算：
设角A的度数为α，角B的度数为β，那么角A和角B的度数差为，α-β，即两个角度数的差的绝对值。

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下面我们来介绍线段和角的倍数计算方法。

1.线段的倍数计算：
设线段AB的长度为a，倍数为n，那么线段AB的n倍长度为na。

2.角的倍数计算：
设角A的度数为α，倍数为n，那么角A的n倍度数为nα。

需要注
意的是，角度的n倍有时候不是一个具体的度数，而是一种表示角度大小
关系的相对概念。

线段和角的等分计算方法：
1.线段的等分计算：
设线段AB的长度为a，要将其等分成n份，那么每一份的长度为a/n。

例如，要将线段AB等分成3份，那么每一份的长度为a/3
2.角的等分计算：
设角A的度数为α，要将其等分成n份，那么每一份的度数为α/n。

例如，要将角A等分成2份，那么每一份的度数为α/2。

三角函数基础,两角和与差倍角公式

练习：一、填空题1． α是第二象限角，则2α是第象限角. 2．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为.同角三角函数的基本关系公式:αααtan cos sin = αααcot sin cos = 1cot tan =⋅αα 1cos sin 22=+αα1“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 22=+αα2tan 2cos2sinααα= 2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。

3由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系).②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解范例：例1化简：ο440sin 12-解：原式οοοοο80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 1222==-=+-=例2 已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简解：)sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+----+++=原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222αααααααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αααααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+=∴原式（注意象限、符号）例3求证：ααααcos sin 1sin 1cos +=-分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满。