结构力学(王焕定第三版)教材习题第三章答案全解——哈工大老师提供

结构力学(王焕定第三版)教材习题第三章答案全解——哈工大老师
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结构力学(王焕定第三版)教材习题答案全解
第三章习题答案
3-1 (a) 答：
由图（a）、（b）可知结构对称（水平反力为零）荷载对称，因此内力对称。

所以可只对一半进行积分然后乘以2 来得到位移。

如图示
F P R(1−cos θ)
M P = θ∈[0,π/2]；M=R sin θθ∈[0,π/2]
2 代入位移计算公式可
得
M P M 1 π2 M P M 2 π2 F P R(1−cos θ)
∆Bx = ∑∫ EI d s = 2⋅EI ∫0 EI R dθ= EI ∫0 2 R sin θR dθ=
F P R3 =
(→)
2EI
3-1 (b) 答：如图（a）、（b）可建立如下荷载及单位弯矩方程
p
R ∆Bx =∑∫ MEIM d s =∫0π2 MEI P M R d θ= q EI 4
∫0π2 (1−2cos θ
+cos 2 θ)R d θ
qR 4 ⎡ θ 1 ⎤
3π
⎞ qR 4
= EI ×⎢θ−2sin θ+ 2 + 4sin2θ⎥⎦0 =⎝⎜ 4 − 2⎠⎟ 2EI (→)
2 ⎣
3-2 答：作M P 图和单位力弯矩图如下图： 由此可得内力方程
1 l
x 0 6
2 0 6
q l
A B
A
q
R B
α θ
1
θ
( b )
5 8 3 8
根据题意EI(x) = EI (l + x)
2l 代入位移公式并积分（查积分表）可得
M P M l 2 q0x4
∆Bx =∑∫ EI d x =∫0 6EI(l + x) d x
7 q0l4 0.07 ql4
= (ln 2−)× = (→)
12 3EI EI
3-3 答：分别作出荷载引起的轴力和单位力引起的轴力如下图所示：
由此可得C 点的竖向为移为：
F NP F N1 F NP F N1 ∆Cy =∑∫
EA d s=∑ EA l =
6 5
112.5 kN× ×6 m+2×(62.5 kN× ×5 m+125 kN× ×5 m+75 kN× ×6 m)
= 8 8
EA
=8.485×10−4 m
当求CD 和CE 杆之间的夹角改变使：施加如图所示单位广义力并求作出F N2 图，则
F
∆=∑∫ F NP EA F N2 ds =∑ NP EA
F N2 l
2×62.5 kN×(−0.15)×5 m+(−112.5 kN)×0.25×6 m =
EA
=−1.4×10−4 rad ( 夹角减小）
3-4 （a）答：先作出M p和M 如右图所示。

利用图乘法计算。

按常规单位弯矩图M 的AK段为
直线，KB段为零，KB段不用作图乘。

但M P图AK段形
心不易求得，为了图乘简单，可将单位弯矩图AK段直线
延长到KB段（如图虚线所示），这样可以用M P图的AB段直接
与M 图进行图乘（面积和形心对应的弯矩分别为A1、y1，如图中所示）。

但是，按照如此计算出的位移多计算了KB 部分的“贡献”（其面积和形心对应的弯矩分别为A2、y2，如图中所示）。

为此，根据叠加原理，必须再减去多计算的KB部分（也就是KB段作图乘）。

按上述分析思路进行图乘计算如下：
M p M ∆K y =∑∫ EI d s
A1y1 A2 y 2
= +
EI EI
17ql4
= (↓)
384EI
3-4 (b) 答：先作出M p图和M 图如下所示。

2
l
8
2
y=
K
A B
2
/
2
ql
8
/
2
ql
2
ql
2
ql
A=
A K
B
则根据图示的面积和对应的形心坐标，按位移计算公式计算可得
M p M A1y1 + A2 y2 + A3 y3 + A4 y4 + A5 y5 23 F p l3 ∆K ∑∫ EI d s = EI = 3EI (↓)
y =
3-4 (c) 答：作出M p图和M 图如下图所示。

则根据图示的面积和对应的形心坐标，按位移计算公式计算可得
M p M 2A1y1 + 2A2 y2 −A3 y3 + A4 y4 5ql3
ϕAB =∑∫ EI d s = EI = 3EI
2) 相对水平位移：
则根据图示的面积和对应的形心坐标，按位移计算公式计算可得
∆AB =∑∫ MEI P M d s = 2A1y1 +2A2yEI2 −A3y3 + A4y4 = 5 6qlEI 4 ( 相互靠
近）相对竖向位移为零：对称结构在对称荷载作用下的反对称位移等于零。

则根据图示的面积和对应的形心坐标，按位移计算公式计算可得
M p M
∆K y =∑∫ EI d s =
1=144
3-4（f）答：画出M p图和M 图如右所示。

A2=32
12
72
162
A
3=225
P
M⋅
图kN
(m) 7
1
4
y
2=2
y4=5.5
y3=6
M图
1
y8
=
3
A4=360
则根据图示的面积和对应的形心坐标，按位移计算公式计算可得
M p M A1y1 −A2y2 + A3y3 + A4y4 1985 ∆C y =∑∫ EI d s = EI = EI (↓)
3-5 答：在计算温度改变引起的位移时，注意要考虑轴向变形的影响。

t
根据题意，轴线温度和温差分别为 t 0 =
∆t = t
1
C 0.2 5 l
0.2 50.2 5
l M 图
2
按温度改变位移计算公式可得
∆Cy = ∑∫αt 0F N d s +∑∫
α∆htM d s = ∑(±)αt 0A F N +∑(±)A M α∆
h t
3-6 答：与 3-5 一样要考虑轴向变形的影响。

按题意可求得
BC 杆：t 0 = t 2 +
t 1 =10°C ∆t = t 2 −t 1 = 40°C
2 AB 、CD 杆：t 0 = t 2 +
t 1 = −10°C ∆t = t 2 −t 1 = 0°C
2 代入位移计算公式
A D
C
B 6
m
EI 2
=2 E I 1 EI 1 EI 1 -10
30
C -10 o C 1 0 m
-10 o
C
内部 M 图
6 m
D
6 m
1
N F 图
1
1 1
D
∆Dy =∑∫αt 0F N d s +∑∫α∆
tM d s = h =∑(±)αt 0
A
F N +∑(±)
A M α∆
h t =
2400α
=−100α+
= 2900α= 0.029 m (←) h
3-7 答：作出F N 图，本题 t 0 = t ，利用温度改变情况下的位移计算公式可得
3-8 答：虚拟单位力状态与 3-7 题相同，单位力引起的轴力也相同（此处略，见上题）。

AK 杆的内力在其制造误差（变形虚位移——伸长位移）上所做的总虚变形功。

则根据虚功原理有：
W e =∆K y W i
=− ×5 mm= − 5 2 mm
2 − 2
5 2
W e =W i ∆K y =− mm= −3.54 mm (↑)
3-9 答：求出单位水平力作用在 K 点时的支座反力，利用支座移动引起的位移计算公式有：
3-10 答：本题是荷载、温度、支座移动和弹性支座多因素位移计算，可分别计算各单独因素的位移，然后叠加得到多因素结果，由此下面分别计算。

1）由于温度变化引起的 C 点竖向位移：
0.2 m
∆t = t 2 −t 1 = 30°C −10°C =
20°C
∆
∆ M d s = −120 α
= −200 α h
h
2）由于荷载引起的 C 点竖向位移（将荷载下弹簧的变形作为虚变形，计算虚变形功）：
2
M p M F RP
A 1y 1 + A 2 y 2 − A 3 y 3 − A 4 y 4
F RP
60
105
585
∆C y =∑∫ EI d s + F R k = EI + F R k = EI + 8EI = 8EI
3）由于支座移动引起的 C 点竖向位移：
F Ri ×c i =− 0.01 m
将所有因素在 C 点产生的位移叠加：
1
2
3
585
∆C y =∆C y +∆C y +∆C y = −200α+ −0.01 m
8EI
3-11 答：因为要求考虑剪切变形的挠曲线，因此需分别作出荷载、单位力产生的弯矩图和剪力图。

又因是挠曲线计算，因此单位力状态作为在任意 x 截面位置。

根据所做的图形将内力代入位移计算公式积分即可得任意 x 截的位移——挠曲线。

ql ql
F QP 图 Q
MEI P M
x +∑ ∫ kFGA QP F Q d x
∆y (x ) =∑∫ d
1 ⎛ x
2 ql 2 x 2 x ⎞
kql ×1 × x
= E ⎜ ×(− ) + ×ql
(l − )⎟+ GA
I ⎝ 2 2 2 3 ⎠
= qxEI 2l ⎛⎜ l − x ⎞⎟+ 1.2 GA qlx (↓ ) x ∈[0,l
]
⎝ 4 6
⎠
3-12 答：因为 AB 杆应力-应变关系非线性，因此非线性杆需要根据式（3－4）计算
2
2
δε=⎛⎜⎝ σE ⎞
⎟
⎛⎝ F NP ⎞ σ F NP
=⎜ 对于 AB 杆件： ⎠ EA ⎟⎠ ； 其
他杆件：δε
= E = EA
∆Bx =∑∫ F N δεd x
∑ F
NP
F N l +⎛⎜∫(F NP )2 F 2 N d x ⎞ ⎟ ⎟
=
EA
⎜⎝
(EA ) ⎠AB 杆件 F P l ⎛(F NP )2 F N l ⎞ ⎟ =
2
EA
=
+⎜⎜⎝ (EA )2 ⎟⎠AB 杆件 EA (EA )
F P l 4(F P )2 l =
2
(→)
EA (EA )
3-13 答：先求只有温度作用时的梁中点的挠度。

单位弯矩图如右下图所示
(
)
P
按公式可得
α∆
t
α
t l 2
∆t = t 2 −t 1 = t −(−t ) = 2t ∆t = ∑∫ h M d s = − 1h
再计算只有外力偶作用时的梁中点挠度，荷载与单位弯矩图如上图，可得
M p M (±)A × y M 0l 2
∆p =∑∫ EI d s =∑ E I = 8EI
根据题目要求：∆t +∆P = 0，由此可解得M 0 =
2α
tEI 。

h
3-14 答：
M 1
M 2
M A B
(a) (b)
1
M 1
根据已知条件可以得到：θ B = (M 2 − )
3EI 2 M 1
因为图（b ）情况θ B = 0，由此解得：M 2 = ，代入θA 计算公式中，可得：
1
EI
2 M 1 ϕA
=
3-15 答： 由单位力状态求出支座反力、AC 杆件轴力和 BCD 杆的弯矩图如图示，与 3－ 10 题一样先计算各单一因素的位移。

1）由 BCD 杆作成圆弧（假定向上凸）所引起的 D 点
ϕ
= F N ×∆= −0.417×0.001 m= −0.000417
3）由于支座移动产生的 D 点转角为：
ϕD 3 = −∑F R i ×c i = −(−0.25×0.002 m+0.333×0.003 m )= −0.0005
则向上凸时 D 点转角为： ϕD =ϕD 1 +ϕD 2 +ϕD 3 = 0.0166 (顺时针） 同理向上凹时 D 点转角为 ϕD = −ϕ1D +ϕD 2 +ϕD 3 = −0.018417 (逆时针）
3-16 答：本题已知 A 截面转角，但F P 多大未知。

因此，应该首先由 A 截面转角确定出
F P ，然后在已知F P 的情况下求 C 铰两侧截面的相对转角。

∫ D A B C
单位力状态
1
1 0.
2 5
0.3 33
-0.417
0.2 5
0.3 33
为此首先分别作出荷载与单位弯矩图如图(a)、(b)。

在F P作用下A 点的转角为
M p M 1 ⎛1
ϕA =∑∫d s = ⎜ ×3 F P ×6 m× 1×1⎞⎟= 3EI F P
EI EI ⎝2 3 ⎠
EI
由此解得F P = ϕA3
按上述思路，再求C 截面两侧的转角，为此作出单位弯矩图如图(c)所示，则
M p M 1 ⎛1 2 1 2 5⎞ϕC =∑∫ EI d s = EI ⎜⎝2×3F P ×6 m× 3×2+ 2×3F P ×3 m × 3× 3⎟⎠
17F P 17
= = ϕA = 0.005 667 rad (如图示)
EI 3
3-17 答：利用虚功互等定理。

H 点竖向位移计算如下：
22
1kN×∆H y = kN×1.2 cm+ kN×0.1cm×3+kN×0.06 cm×3+kN×0.05 cm×3
33
整理得：∆H y =1.12 cm (↓)
*3-18 答：因为是空间简单刚架，因此需分别作出在荷载、单位力作用下的弯矩图和扭矩图，得用带扭转项的式（3-5）计算。

M M M
∆C y = ∑ ∫ EI P d s + ∑∫ P G x I M p x d s = EI1 ⎛⎝⎜12×200 kN⋅m×4 m× 3 2
×4+
1 2 ⎞60 kN×4 m×2 3440 480
+ ×60 kN⋅m×2 m× ×2⎟+ GI = EI + GI p
2 3 ⎠p 代入已知抗弯、抗扭刚度，整理得：
∆C y = 0.09067 m (↓)
* 3-19 答：同 3-18 一样。

分别作出在荷载、单位力作用下的弯矩图和扭矩图如下：
∆AB y = ∑∫ M P M d s + ∑∫ M P G x I M
p x d s EI
= EI 2 ⎜⎛ 1 ×F P a ×a × 2×a ×2+ 1 ×F P b ×b × 2×b ⎞⎟+ GI 2 p (F P a ×b ×a + F P b ×a ×b )
⎝ 2 3 2 3 ⎠
= 2F P (2a 3 +b 3 )+ 2F P ab (a +b ) (↓↑)
3EI
GI p
* 3-20 答：设超静定结构i 、 j 支座发生广义位移∆i 、∆j ，则由功的互等定理可知
F R ij∆i = F R ji∆j ；其单位是kN⋅m
式中F R ij 、F R ji 分别为∆j 、∆i 引起的i 、j 支座的广义反力。

由此
F R ij F R ji
k ij = ≡= k ji（A）
∆j ∆i
如果广义位移∆i 、∆j 属同性质量，则广义反力也属同性质量，反力系数k ij 、k ji 自然量纲、单位相同。

如果广义位移∆i 、∆j 一个是线位移，另一个是角位移（包括相对线位移、相对角位移），
则由功可知广义反力与线位移相乘的项是力、与角位移相乘的项是力偶（一组力或一组力偶），反力系数是广义反力与广义位移式（A）所示的比值，力偶项所除的是线位移，力项所除的是角度（弧度是量纲一的量），由此证明了反力互等定理也有量纲相同、单位相同的结论。