将军饮马问题.

例2证明：在MN 上任取另一点C’，
A
B
连结BC、BC’、 AC’ 、 B’C’ ．
M
N
C
C'
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴，B' 点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BC’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’ 在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
（3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。
反
思
我的收获；
是
进
步 的
我的疑惑；
阶
梯
面对一个新的求线段最短问题时，
我们可以通过怎样的途径去研究它？
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
两定点在直线的同侧
例2变式1：已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
将军饮马的实质：
（1）求最短路线问题------通过几何 变换找对称图形。 （2）把A，B在直线同侧的问题转化 为在直线的两侧，化折线为直线。
---运用轴对称求线段 和最小的问题
将军饮马问题
传说古希腊有一位精通数学和物理的学者，名
叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他 请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，先到河边饮马，
ຫໍສະໝຸດ Baidu
然后再去河岸同侧的城堡B开会，应该怎样走才能
使路程最短？
B A
河
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广为流传。
这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决 了它。
将军饮马：两定点在直线的异侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程 最短？
A
最短路线：
P
A P B.
根据：
B 两点之间线段最短.
将军饮马：
例1：已知美羊羊在A地玩耍，这时喜羊羊在 小溪的对面C玩耍，并且A、C两地是关于小溪 的对称点，它俩在小溪的任意一点E处汇合， 再一起回家的最短路线是什么？
A
E
M
N
C
B
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马 要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
两定点在一条直线同侧
A
B
河
例2作法： （1）作点B关于直线 MN 的对称点 B’ （2）连结B’A，交MN于点 C；
所以点C就是所求的点．
两定点在直线同侧
B
A
M
N
C
B’
两定点在直线的同侧