专题讲座6-角动量理论

专题讲座6-角动量与自旋
在量子力学中角动量算苻(包括轨道角动量,自旋角动量)满足对易关系
L L i L ⨯= 即
及
2
[, ]=0.L L 即
222
[, ]0, [, ]0, [, ]0,x y z L L L L L L === 另外有
2
2
2
2
,x y z L L L L =++
下面由这些对易关系来求本征值和本征态 2L 同L 的各分量是对易的的，我们可以期望找到2
L 和（比如说）z L 的共同本征态：
2
L f f λ= 和 .z L f f μ=
引入算苻
我们有
()11, ()2
2x y L L L L L L i
+-+-=
+=
-
††
, L L L L +--+== (L ±不是厄密算苻)
L ±与z L 的对易关系为
[, ][, ][, ]()(),z z x z y y x x y L L L L i L L i L i i L L iL ±=±=±-=±±
所以
[, ].z L L L ±±=±
当然，也有
2
[, ]0.L L ±=
定理: 如果f 是2L 和z L 的本征函数，那么L f ±也是： 证: 2
2
()()()(),L L f L L f L f L f λλ±±±±===
所以L f
±是2L 具有相同的本征值λ的一个本征函数。

()()() =()(),
z z z z L L f L L L L f L L f L f L f L f μμ±±±±±±±=-+=±+±
所以L f ±是z L 的一个本征函数，但是本征值为μ± 。

我们称L +为“升阶”算符，因为它使z L 的本征值增加一个 ，L -为“降阶”算符，它使z L 的本征值减少一个 。

对于一个给定的λ值，我们可以得到一个态的“梯子”，每一个“阶梯”与相邻梯级间隔为z L 的本征值相差一个 ，升高要用升阶算符，降低要用降阶算符。

但是这个过程不能永远持续下去：因为这样会达到一个z 分量超过总量的态，而这是不可能的。

一定存在一个最高的阶梯t f ，使得：
0.t L f +=
设l 是z L 在这个最高阶梯的本征值（用字母“l ”的适当性马上明白）：
2
; .z t t t t L f lf L f f λ==
因为
22
2
2
()()() =(),
x y x y x y x y y x z
z L L L iL L iL L L i L L L L L L i i L ±=±=+--
或者写作另一种形式， 2
2.z z L L L L L ±
=+
因此有
2
2
2222
()(0)(1),
t z z t t t L f L L L L f l l f l l f -+=++=++=+ 所以
2
(1).l l λ=+ 这告诉我们以z L 的最大量子数l 表示的2L 的本征值。

同时也存在一个最低的阶梯，b f ，使得
0.b L f -=
设在b f 态，z L 的本征值为l ⎽
：
2
; .z b b b b L f l f L f f λ⎽
== 我们有
_
__
2
22
2
2
2
()(0)(1),b z
z b t tb L f L L L L f l l f l l f ⎽
+-=+-=+-=- 所以
__
2
(1).l l λ=- 这样一来, 我们必须有_
_
(1)(1)l l l l +=-，这样要么_
(1)l l =+（这是荒谬的，因为这样一来最低阶梯将比最高阶梯还高！）所以只有
_
.l l =- z L 的本征值显然应是m 的形式，其中m 每次增加1增加N 次后从l -增加到l ，即l l N =-+，因此/2l N =，由此l 必是一个整数或半整数。

2
L 和z L 的共同本征函数由数l 和m 表征：
其中
0, 1/2, 1, 3/2, ... ; , 1, ... , 1, .l m l l l l ==--+- 对一个给定的l ，m 有21l +个不同的值。

希望你们对从角动量的对易关系出发由纯粹代数的方法决定2
L 和z L 本征值的方法有深刻印象−即便我们根本不知道本征函数的具体形式！ 实际上,我们已经知道m
m
l
l
f Y =−2L 和z L 的本征函数不是别的正是球谐函数
例题1 升阶和降阶算符使m 的值改变1：
1()m m m m l l l l L f L f A f ±±±==
其中m l
A 为常数。

问题：如果本征函数是归一化，m l
A 是什么？ 解: 由于
†
L L ±= 所以
[]2
2
†2
2
2
2
2
()(1)(1)(1)
m m m m
m m l
l l l
l l
m
m
l
z z l
A
L f
f
L L f f
L L f f L L L f l l m m l l m m ±±±±
===⎡⎤=-=+
-⎣⎦
=+-±
所以
m
l A =
注意对最高的阶梯和最低的阶梯会出现什么(即，对l
l
f 应用L +，对l
l
f -应用L -)。

自旋
微观粒子除了的轨道角动量（L ）外,还有自旋角动量（S ）。

自旋的代数理论与轨道角动量的及其相似，由基本对易关系： [,],[,],[,]. x
y
z
y
z
x
z
x
y
S S i S S S i S S S i S === (同以前一样)可以得出2S 和z S 的本征矢满足
22,(1),;,,; z S s m s s s m S s m m s m =+= 及
,,1,S s m m ±=± 其中x
y
S S iS ±
≡±。

但是现在本征矢不再是球谐函数（它们根本不是θ和
φ的函数）
，我们也没有一个既定的理由把s 和m 的半整数值排除在外：
130,,1,,...;,1,...,1,.2
2
s m s s s s ==--+-
十分巧合的是每一种基本粒子都有一个特定的永远不变的s ，我们称它为该种粒子的自旋。

π介子的自旋为零；电子的自旋是1/2；光子的自旋为1；∆粒子的为3/2；引力子的为2；等等。

对比而言，轨道角动量量子数l （比如，氢原子中的电子）可以取任何（正整）数，而且当体系受到扰动时会从一个值变为另一个值。

但是，对于任何粒子，它的自旋s 是不变的，这使的自旋的理论相对简单一些。

的一点运动速度有多快？这个模型有意义么？（实际上，实验判定电子的半径要比c r 小的多，不过这将使这个模型更糟糕。

）
自旋1/2
1/2s =是最重要的情况，因为它是构成普通物质的粒子(质子、中子和电子)的自旋，以及所有夸克和所有轻子的自旋。

另外，一旦你掌握
了自旋1/2，理解高自旋就非常容易了。

对1/2s =，2S 和z S 仅有两个本征态：
11
,2
2，它被称为上自旋态（经常用↑），和
11,2
2
-，它被称为
下自旋态（↓）。

利用这两个基矢量，一个自旋1/2粒子的一般态可以
表示成一个两元列矩阵(或旋量)： ,a a b b χχχ+-⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
其中
10χ+⎛⎫
= ⎪⎝⎭
代表上自旋, 而
01χ-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
代表下自旋。

另外，自旋算符成为22⨯的矩阵，具体表示可由它们对χ+和χ-的作用结果写出。

由4.135式
2
22
2
33,.4
4
S S χχχχ++--=
=
如果我们把2S 写为矩阵元待定的矩阵, 2
,S c d e f ⎛⎫=
⎪⎝⎭
则4.142式的第一个方程给出 2113,004c d e
f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
或者
23,40c e ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
所以2(3/4)c = ,
0e =。

第二个方程给出
2003,114c
d e f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
或者
20,34d f ⎛⎫
⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
所以0d
=，2(3/4)f = 。

结论：
2
2103.014S ⎛
⎫
=
⎪⎝⎭
类似有， 11,.2
2
S S z z χχχχ++--=
=-
由此得出
1
0.012S z ⎛⎫=
⎪-⎝⎭
另外，
,,0,S S S S χχχχχχ+-+-+-++--====
所以
100,.0
01
0S S +-⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因为x y S
S iS ±
=±，所以(1/2)(),(1/2)() x y S S S S i S S +-+-=+=-，因此得
10,.10022S S x y i i -⎛⎫⎛⎫
=
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由于,y
S S x
和z S 都有一个因子/2 ，S 可以更简洁地写为(/2)S = σ，其
中
这就是著名的泡利（Paili ）自旋矩阵。

注意S x 、y
S 、z S 和2S 都是厄密
矩阵（它们也应当是，因为它们都表示可观测量）。

另一方面，
S +和S -不是厄密的−它们显然不是可观测量量。

S z
的本征旋量是（当然应该是）
10,,.0122 χχ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
－本征值为本征值为；－
[4.149]
如果对一个粒子的一般态a b χ
χχ+-=+
(2
2
1a
b
+=)
测量其z S ，得到
/2
+ 的几率为2
a ，得到/2- 的几率为2
b 。

但是，如果测量x S ，可能值是什么？几率是多少？按照广义的统计诠释，我们需要知道S x 的本征值和本征旋量。

久期方程是
2
2
/2
0./2
22 =λλλλ-⎛⎫=⇒=⇒± ⎪-⎝⎭
无需惊讶，x S 的可能值同z S 的是一样的。

用通常的方法可以获得本征
旋量：
01,1
022 ααβαββαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=±⇒=± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以β
α
=±。

显然，x S (归一化的)本征旋量是
()
()
1/
1/,,.1/1/ x x χ
χ+
⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝
⎝ －本征值为本征值为－＋；22－
作为厄密矩阵的本征矢量，它们张成空间；一般的旋量χ（4.139式）可以表示成它们的线性迭加：
()()
.x x χχχ+-⎛⎛=+
⎝⎝
如果测量x S ，得到/2+ 的几率是2(1/2)a b +，得到/2- 的几率是
2
(1/2)a b
-。

例题 2 假设一个自旋1/2的粒子处在态
1.2
i χ+⎛⎫=⎪⎭
如果测量z S 和x S ，得到/2+ 和/2- 的几率各是多少？
解：
这里(1)a i =+
，2b =，所以对z S ，得到/2+
的几率为
(1)/
1/3i +=，得到/2-
的几率是22/3=。

对x S ，得到/2
+ 的
几率为(1/2)(3)/5/6i +=，
得到/2-
的几率是(1/2)(1)1/6
i -+=。

顺便提及，x S 的期待值是
51,62623
⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
这也可以由更直接的方法得到：
†
/2(1)/(1)
2./2
03
2/x S x
i i S χχ⎛+⎛⎫-⎛===
⎪
⎪⎝
⎝⎭⎝⎭
现在给你们介绍一个涉及自旋1/2的虚拟测量方案，因为它可以非常具体地阐明我们在讨论波函数时的某些抽象概念。

我们从一个粒子处在χ+态开始。

如果有人问，“这个粒子的自旋角动量的z-分量是什么？”，我们可以毫不含糊的回答：/2+ 。

一个对z S 的测量肯定得到这个结果。

但是如果提问者是问，“这个粒子的自旋角动量的x-分量是什么？”，我们不得不有点模棱两可：如果测量x S ，得到/2+ 或/2- 的机会是一半对一半。

如果提问者是一个经典物理学家，或者一个“现实主义者”（在1.2节的意义上），他将会认为这是一个不恰当的−不是说不礼貌的−回答：“你是告诉我你不知道这个粒子的真实状态？”恰恰相反，我精确的知道这个粒子的态是：χ+。

“阿嗯，那么为什么你不能告诉我它自旋的x-分量是什么？”因为它根本没有一个特定的x-分量。

确实，它也不能有，否则如果x S 和z S 两者都有一个确定的值，不确定原理就不成立了。

这时我们的挑战者夺过检测管测量自旋的x-分量；比方说他得到
了/2+ 。

“啊哈”（他胜利地呼叫），“你们撒谎！这个粒子的x S 有着完全确定的值：/2+ 。

”是的，的确−它现在是，但是这不能证明在你测量之前它是这个值。

“你们显然是吹毛求疵。

不管怎样，你们的不确定原理如何成立？z S 和x S 两者我现在都知道。

”很抱歉，但是你现在不知道：在你测量的过程中，你已经扰动了粒子的状态；它现在是在x χ+
态，虽然你现在知道x S 的值，但是你现在不再知道z S 的值。

“但是我在测量x S 的时候非常小心地不去干扰这个粒子。

”好吧，如果你不相信我，请检验一下：测量z S ，看看你能得到什么结果。

（当然，他可能得到/2+ ，这可能会使我尴尬−但是如果我们一次又一次地重复整个方案，一半的时间他将会得到/2- 。

）
对外行、哲学家或者经典物理学家，“这个粒子没有一个确定的位置”（或动量，或自旋角动量的x-分量，或其它）这种形式的论述听起来是含糊的，不恰当的，或者是故弄玄虚的（所有中最糟的）。

其实并非如此。

但是它精确的含义，我认为，如果没有深入学习量子力学的精髓，几乎是不可能理解的。

如果你发现自己一次又一次在理解上有问题（如果没有，你可能同样没有理解这个问题），重新学习自旋-1/2体系。

它是一个最简单最清晰的例子去思考量子力学的概念疑题。

3 两个角动量的迭加
假设现在我们有两个自旋12的粒子 — 例如，处于氢原子基态的电子和质子。

每个均可自旋向上或自旋向下，所以共有四种可能性：
, , , ,↑↑↑↓↓↑↓↓ 其中第一个箭头代表电子自旋，第二个代表质子自旋。

问题：这个原子的总角动量是什么？令：
(1)(2).S S S ≡+ 这四个复合态的每一个都是z S 的一个本征态−z 分量是简单的加在一起：
(1)
(2)
(1)
(2)
1
2
1
2
1
2
1
2
()()()z
z
z
z
z
S S S S S χχχχχχχχ=+=+ 1121221212()()(),m m m m χχχχχχ=+=+
（注意：(1)S 只作用在1χ上，(2)
S 只作用在2χ上；所以m (复合系统的量子数)就是12m m +：
:1;m ↑↑= :0;m ↑↓= :0;m ↓↑= :1;m ↓↓=-
乍看来上述结果好像有问题：m 应该是以整数从s -到s +改变的，所以有1s =−但是出现一个“额外的”0m =的态。

搞清楚这个问题的一种方法是对态↑↑作用降阶算符，(1)
(2)
S S S -
-
-
=+： (1)
(2)
()()()S S S -
-
-
↑↑=↑↑+↑↑
()()().=↓↑+↑↓=↓↑+↑↓
很显然1s =的三个态为（用 s m 表示）：
由于明显的原因，这称为三重态。

另外，还有一个0,0 s m ==的态：
（如果对这个态应用升阶和降阶算符，结果为零。

）
我们的结论是，两个自旋12的粒子可以结合成总自旋为1或0，取决于它们占据的是三重态或者是单态。

为了确定这一点，我们需要证明三重态是2S 的本征值为22 的本征矢，而单态是2S 的本征值为0的本征矢。

由
2(1)(2)(1)(2)(1)2(2)2(1)(2)
()()()()2.S S S S S S S S S =+⋅+=++⋅
，我们有：
(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)
()()()()()()()S S x x y y z z S S S S S S ⋅↑↓=↑↓+↑↓+↑↓
(
)(
)(
)(
)(
)(
)2
2
2
2
2
2
i i --=↓↑+↓↑+↑↓
2
(2).4
=
↓↑-↑↓
同理，
2
(1)
(2)
()(2).4
⋅↓↑==
↑↓-↓↑S
S
这样有
2
2
(1)
(2)
102)10,4
⋅=
↓↑-↑↓+↑↓-↓↑=
S
S
2
2
(1)
(2)
3002)00.4
⋅=
↓↑-↑↓-↑↓+↓↑=-
S
S
回到4.179式（并利用4.142式），我们最后得到
2
2
2
2
23310(
2
)10210,4
4
4
=+
+=S
所以，10确实是2S 的本征值为22 的本征态11，11-也是2S 的取本征值22 的本征态）；还有
2
2
2
2
33300(
2
)000,4
4
4
=+
-=S
所以，00确实是2S 的本征值为0的本征态。

（
更一般的如果将角动量量子数为1j 和2j 的两角动量叠加，可得到什么总角动量量子数j 呢？答案是，你可以得到的总角动量量子数从12j j +开始逐步减1，直到12j j - −或21j j -，如果21j j >， 即
有着总角动量j 和z 分量m 的的态j m 将是复合态1122j m j m 的线性迭加：
12121211
22
j j j
m m m m m m
j m C j m j m +==
∑
（由于z 分量是相加的，有贡献的复合态仅是那些12m m m +=的态）。

常数121
2
s s s
m m m C 称为克莱布希-高登（Clebsch-Gordan ）系数。

例题3在氢原子中的电子处在自旋和位置的结合态
)01
2111.R χχ+-+
（a ） 如果测得轨道角动量的平方2L ，可能得到什么值，每个的几
率是多少？ （b ） 同样的问题对轨道角动量的z 分量（z L ）。

（c ） 同样的问题对自旋角动量的平方（2S ）。

（d ） 同样的问题对自旋角动量z 分量（z S ）。

设总角动量为J L S ≡+。

（e ） 如果测得总角动量的平方2J ，可能得到什么值，每个的几率
是多少？ （f ） 同样的问题对z J
解：（a ）2L 的可能值为22 ，几率为1.
（b ）z
L 的可能值为 ,0，几率为3/2,3/1。

（c ）2S 的可能值为24
3
，几率为1 (d) z S 的可能值为2/,2/ -，几率为3/2,3/1
（e ）由
2
1
2121112
112
1212
1112
112
112
11,,,12,
,,12,,,-+++-+
-+++=
+m j j m j m j j m j m j j
2
1
2121112
112
1212
1112
112
112
11,,,1
2,
,,1
2,,,-+++++
-++-=
-m j j m j m j j m j m j j
代入11
=j ，2/1=m
得到
-++=-+=χχ1
10
12
1
2121212123213132,,1,131,,0,132,,,1Y Y -++
=
-+=χχ1
10
12
12
12
1212
121213
23
1,,1,13
2,,0,13
1,,,1Y Y
所以
2/1,2/1,2/1,132/1,2/3,2/1,160
1-=
+χY 2
/1,2/1,2/1,162/1,2/3,2/1,1311+
-=-χY
代入
)
1
21
11.R χχ+-+
得到
2
/1,2/1,2/1,121R
所以2J 取值为24
3 ，几率为1 (f)
z J 取值为
2
2
1
，几率为1.
例题4 证明：
()ˆ2ˆcos(2)()sin(2).i n
e
i n
σϕϕσϕ⋅=+⋅ 其中n ∧
是沿任意一个方向的单位矢量
证: 首先证明
, if m 1,3,5,..., if m 2,4,6,...i m i
I σσ
=⎧=⎨=⎩
,,i x y z
=
只需证明
2
2
2
z , , x y I I I σσσ=== 其次,证明泡利矩阵在任意方向上的投影
n x x y y z z n n n n σσσσσ→→
=⋅=++ 其中n →
是这个方向上的单位矢量 222
1x y z n n n ++=
也满足
, if m 1,3,5,..., if m 2,4,6,...n m
n I σσ=⎧=⎨=⎩
22222220
0z x y z
x y n
x y z x y z x y z x y z n n in n n in n in n n in n n n n I n n n σ
--⎛⎫⎛⎫
=
⎪
⎪+-+-⎝⎭⎝⎭
⎛⎫++== ⎪ ⎪++⎝
⎭
最后
2
345
/2
2
4
3511111...
2223!24!25!2111...
224!211...23!25!2cos(/2)sin(/2)
n i n
n
n n n n n e
i i i i i i i σϕϕ
ϕϕϕϕσσσσσϕϕϕϕϕσϕσϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-++⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
=+。