专题讲座6-角动量理论

专题讲座6-角动量与自旋

在量子力学中角动量算苻(包括轨道角动量,自旋角动量)满足对易关系

L L i L ⨯= 即

及

2

[, ]=0.L L 即

222

[, ]0, [, ]0, [, ]0,x y z L L L L L L === 另外有

2

2

2

2

,x y z L L L L =++

下面由这些对易关系来求本征值和本征态 2L 同L 的各分量是对易的的，我们可以期望找到2

L 和（比如说）z L 的共同本征态：

2

L f f λ= 和 .z L f f μ=

引入算苻

我们有

()11, ()2

2x y L L L L L L i

+-+-=

+=

-

††

, L L L L +--+== (L ±不是厄密算苻)

L ±与z L 的对易关系为

[, ][, ][, ]()(),z z x z y y x x y L L L L i L L i L i i L L iL ±=±=±-=±±

所以

[, ].z L L L ±±=±

当然，也有

2

[, ]0.L L ±=

定理: 如果f 是2L 和z L 的本征函数，那么L f ±也是： 证: 2

2

()()()(),L L f L L f L f L f λλ±±±±===

所以L f

±是2L 具有相同的本征值λ的一个本征函数。

()()() =()(),

z z z z L L f L L L L f L L f L f L f L f μμ±±±±±±±=-+=±+±

所以L f ±是z L 的一个本征函数，但是本征值为μ± 。 我们称L +为“升阶”算符，因为它使z L 的本征值增加一个 ，L -为“降阶”算符，它使z L 的本征值减少一个 。

对于一个给定的λ值，我们可以得到一个态的“梯子”，每一个“阶梯”与相邻梯级间隔为z L 的本征值相差一个 ，升高要用升阶算符，降低要用降阶算符。但是这个过程不能永远持续下去：因为这样会达到一个z 分量超过总量的态，而这是不可能的。一定存在一个最高的阶梯t f ，使得：

0.t L f +=

设l 是z L 在这个最高阶梯的本征值（用字母“l ”的适当性马上明白）：

2

; .z t t t t L f lf L f f λ==

因为

22

2

2

()()() =(),

x y x y x y x y y x z

z L L L iL L iL L L i L L L L L L i i L ±=±=+--

或者写作另一种形式， 2

2.z z L L L L L ±

=+

因此有

2

2

2222

()(0)(1),

t z z t t t L f L L L L f l l f l l f -+=++=++=+ 所以

2

(1).l l λ=+ 这告诉我们以z L 的最大量子数l 表示的2L 的本征值。

同时也存在一个最低的阶梯，b f ，使得

0.b L f -=

设在b f 态，z L 的本征值为l ⎽

：

2

; .z b b b b L f l f L f f λ⎽

== 我们有

_

__

2

22

2

2

2

()(0)(1),b z

z b t tb L f L L L L f l l f l l f ⎽

+-=+-=+-=- 所以

__

2

(1).l l λ=- 这样一来, 我们必须有_

_

(1)(1)l l l l +=-，这样要么_

(1)l l =+（这是荒谬的，因为这样一来最低阶梯将比最高阶梯还高！）所以只有

_

.l l =- z L 的本征值显然应是m 的形式，其中m 每次增加1增加N 次后从l -增加到l ，即l l N =-+，因此/2l N =，由此l 必是一个整数或半整数。 2

L 和z L 的共同本征函数由数l 和m 表征：

其中

0, 1/2, 1, 3/2, ... ; , 1, ... , 1, .l m l l l l ==--+- 对一个给定的l ，m 有21l +个不同的值。

希望你们对从角动量的对易关系出发由纯粹代数的方法决定2

L 和z L 本征值的方法有深刻印象−即便我们根本不知道本征函数的具体形式！ 实际上,我们已经知道m

m

l

l

f Y =−2L 和z L 的本征函数不是别的正是球谐函数

例题1 升阶和降阶算符使m 的值改变1：

1()m m m m l l l l L f L f A f ±±±==

其中m l

A 为常数。问题：如果本征函数是归一化，m l

A 是什么？ 解: 由于

†

L L ±= 所以

[]2

2

†2

2

2

2

2

()(1)(1)(1)

m m m m

m m l

l l l

l l

m

m

l

z z l

A

L f

f

L L f f

L L f f L L L f l l m m l l m m ±±±±

===⎡⎤=-=+

-⎣⎦

=+-±

所以

m

l A =

注意对最高的阶梯和最低的阶梯会出现什么(即，对l

l

f 应用L +，对l

l

f -应用L -)。 自旋

微观粒子除了的轨道角动量（L ）外,还有自旋角动量（S ）。

自旋的代数理论与轨道角动量的及其相似，由基本对易关系： [,],[,],[,]. x

y

z

y

z

x

z

x

y

S S i S S S i S S S i S === (同以前一样)可以得出2S 和z S 的本征矢满足

22,(1),;,,; z S s m s s s m S s m m s m =+= 及

,,1,S s m m ±=± 其中x

y

S S iS ±

≡±。但是现在本征矢不再是球谐函数（它们根本不是θ和

φ的函数）

，我们也没有一个既定的理由把s 和m 的半整数值排除在外：

130,,1,,...;,1,...,1,.2

2

s m s s s s ==--+-

十分巧合的是每一种基本粒子都有一个特定的永远不变的s ，我们称它为该种粒子的自旋。π介子的自旋为零；电子的自旋是1/2；光子的自旋为1；∆粒子的为3/2；引力子的为2；等等。对比而言，轨道角动量量子数l （比如，氢原子中的电子）可以取任何（正整）数，而且当体系受到扰动时会从一个值变为另一个值。但是，对于任何粒子，它的自旋s 是不变的，这使的自旋的理论相对简单一些。 的一点运动速度有多快？这个模型有意义么？（实际上，实验判定电子的半径要比c r 小的多，不过这将使这个模型更糟糕。）

自旋1/2

1/2s =是最重要的情况，因为它是构成普通物质的粒子(质子、中子和电子)的自旋，以及所有夸克和所有轻子的自旋。另外，一旦你掌握