知识笔记-2.2 随机误差的分析1-随机误差的统计处理

§ 2.2随机误差的分析

§ 2.2.1随机误差的统计处理

1、测量值的数学期望：对某一被测量进行n 次等精度测量，得到x 1,x 2...x n ,其算数平均值为：1

1n

i i x x n ==∑，也称为样本平均值。当测量次数n →∞时，样本平均值x 的极限称为测量值的数学期望。

2、方差：当n →∞时，测量值与期望值之差的平方的统计平均值，可写为：

2

221111lim ()lim n n i x i n n i i x E n n σδ→∞→∞===-=∑∑ 3、标准差：

21

1lim n i n i n σδ→∞==∑ 标准差反映了测量的精密度。

4、正态分布

根据概率论中的中心极限定理和随机误差的性质可知，在多数情况下，随机误差服从正态分布。其分布密度可以写为如下公式：

22-(x -E )1(x )=exp[]2σ2πσ

i x i ϕ 测量值x i 的分布曲线如图所示：可以看出，测量值对称的分

布在数学期望的两侧。

根据随机误差的正态分布曲线，可以得出以下结论：

☆ δ愈小、Φ(δ)愈大，说明绝对值小的随机误差出现的概

率大；

☆随着δ的加大, Φ(δ)很快趋于0，即超过一定界限的随机

误差实际上几乎不出现(有界性；

☆ σ愈小，正态分布愈尖，表明测得值愈集中，精密度高；

☆ 大小相等符号相反的误差出现的概率相等 (对称性、补

偿性)。

5、残差：

i i u x x =-

注意两点：☆ 残差的代数和等于0.

☆当测量次数趋于无穷时，残差等于随机误差.

6、有限次测量的标准差：

贝塞尔公式：∑-==∧

σn u i i n 1112 用极差法求标准差：=σC

R x ˆ 其中R 为测量结果中的最大值和最小值之差。C 为极差系数，可以通过查表得到。

7、算术平均值的标准差：当n 为有限次测量时，平均值的标准差课表示为：=σ

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