浅谈拉格朗日乘数法的应用
《拉格朗日乘子法的应用》论文
《拉格朗日乘子法的应用》论文
《拉格朗日乘子法的应用》
拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）是一种有效的
优化方法，其可以用于求解多元函数的极值问题。
该方法最初由拉格朗日在十九世纪中期提出，并得到广泛的应用，如求解微分方程、线性系统、多元函数和约束优化等问题。
本文将讨论拉格朗日乘子法在约束优化、最小化和寻求函数的极值问题中的应用。
首先，拉格朗日乘子法在约束优化问题中的应用。
约束优化问题是一类重要的操作研究问题，它解决的是如何有效的将计算机的资源发挥到最大效率。
拉格朗日乘子法能有效的帮助我们解决这一类问题，它将原来的优化问题转化为求解一组不等式，而这些不等式系数就是拉格朗日乘子。
根据不同的约束条件，拉格朗日乘子法能够求解各种有约束条件的多元函数问题。
其次，拉格朗日乘子法在最小化问题中的应用。
最小化问题是一类典型的优化问题，它需要求解一组变量使函数值得到最小。
拉格朗日乘子法可以帮助我们实现这一目的，将原来的最小化问题转化为求解一组相应的不等式，即拉格朗日乘子，通过求解这一组不等式可以得到最小值。
最后，拉格朗日乘子法在寻求函数的极值问题中的应用。
函数的极值问题涉及到函数的最大值和最小值的查找，拉格朗日乘子法可以有效的应用于此。
通过将极值问题转化为求解一组不等式，由拉格朗日乘子可以有效的求解函数的极值问题。
综上所述，拉格朗日乘子法是一种简单有效的优化方法，它可以用于解决多元函数的约束优化问题，最小化问题以及极值问题。
它的有效性和灵活性可以满足不同的应用情况，使得优化问题得到有效解决。
拉格朗日乘数法的应用探究
拉格朗日乘数法的应用探究拉格朗日乘数法是一种在线性代数中用来求解约束最优化问题的有效技术。
它可以用来求解线性规划问题，即从一组给定约束条件中找到使一个最大(最小)化的目标函数的一个最优解。
拉格朗日乘数法可以用来求解一些有限个解的线性规划问题，拉格朗日乘数法也可以用来求解一些无限系统的最优化问题。
1. 基本概念拉格朗日乘数法是一种优化技术，使用它来求解某个函数的极值过程称为拉格朗日优化，常用于求解目标函数在一组约束条件下的极值。
拉格朗日乘数法的核心就是引入拉格朗日乘数，其目的是使得约束条件落实，即使目标函数的极值不在约束条件的“可行区域”内。
2. 拉格朗日乘数法的步骤(1) 首先将原问题转换为拉格朗日乘数优化问题，即构造一个函数L，将原问题中的目标函数f与约束条件组合在一起；(2) 对构造的函数L求导，构造可以求得最优解的拉格朗日二次函数；(3) 将求得的最小（大）值函数带入原方程，得到一组最优变量；(4) 将最优变量代入原方程，验证最优解，以此反复寻找更优解。
3. 拉格朗日乘数法的示例例如：有一个包含3个变量的目标函数，其中变量x,y,z，要求最大化下面的函数f：f=2x+3y+4z：该函数受到下面4个约束条件的限制：x+y+z=24；x+2y+3z=36；x≥0，y≥0,z≥0。
将上述函数和约束条件写成一个函数，即构建拉格朗日函数L：L=2x+3y+4z+λ(x+y+z-24)+μ(x+2y+3z-36)对上述函数求导，可将拉格朗日乘数函数写为：L=2x+3y+4z+λ(x+y+z-24)+μ(x+2y+3z-36)+λx+μy+2μz将上述函数中的拉格朗日乘数优化后的函数设置为0，得到最大值方程：x=12-λ-μ；y=8-λ-2μ；z=4-μ；带入原方程，即可得出最优解：x=2；y=2；z=8；最大值为：f=2x+3y+4z=38.4. 拉格朗日乘数法的应用（1）拉格朗日乘数法可以用来求解有限多解的线性规划问题，包括求解系统参数最优化问题；（2）可用来求解数学系统自动寻优技术、灰色系统寻优技术、数值交叉技术等；（3）拉格朗日乘数法可用于优化企业生产成本，优化生产计划和运输计划；（4）拉格朗日乘数法可应用于神经网络的训练及拟合，也是构建机器学习的基础方法之一；（5）拉格朗日乘数法可用于统计学习等领域，例如逻辑斯蒂回归、朴素贝叶斯和支持向量机等机器学习算法；（6）拉格朗日乘数法可用于信号处理等应用场景。
浅谈拉格朗日乘数法的应用
“高观点”下的初等数学许高峰11数本一班摘要拉格朗日乘数法是一种对于解决条件极值问题非常有效的方法，在大学的各类微积分教材中都有介绍，对于初学者可能看不到这种方法的具体作用，以致在学习的过程中难免忽略了它，本文透过拉格朗日乘数法的介绍，以及它在一些问题上的具体应用，让无论是数学专业的本科生，以及将来从事数学师范专业的学生，都能从中获取一些启发。
关键词拉格朗日乘数法最大值最小值约束条件例一：设实数y x ，满足554422=++xy y x ，设22y x S +=，则S 的最小值为.（浙江省杭州市2012届高三上学期期中七校联考数学（理））证明：因为5)(2135)(25445544022222222−+=−+++≤−++=y x y x y x xy y x 所以有05)(21322≥−+y x 成立，即131022≥+y x ，所以S 的最小值为1310，当且仅当y x=时成立.说明：一看到这类题，高中学生的第一反应一般是用不等式的知识去解决，这种思路是对的，但是用不等式的方法是有局限性的，不等式一般能解出最大值或最小值中的其中一个，却不一定能同时解出最大和最小值，比如，我把上述题目改为求S 的最大值是多少，显然改完之后，题目的难度就增加了，所以，这类题目需要我们进一步的研究，去寻找更一般的方法，从而更有效地解决这一类问题。
如果把上述题目改为求最大值，显然，如果在用不等式的知识就有点困难了，但是在高中生的知识水上，还是可以用初等数学的知识加以解决的。
容易想到把上述等式凑成平方项之和以及完全平方的形式，从直观上便可以判断出所求未知量的最大值.考虑化成如下形式：222222)(55)()(By Bx Ay Ax By Bx Ay Ax +−=+⇔=+++用待定系数法求得23=A ，210=B .不难发现当x y −=时，22Ay Ax +取得最大值，最大值S 为310.同理，很自然的，我们可以想到在求最小值的时候，也可以用待定系数法，只不过要把等式化成另一种形式，即：5)''()''(222=−−+y B x B y A x A ；按照上述的方法也可以求出最小值为1310.例二：设y x ，为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是.（2011年浙江理科数学高考试题）证明：因为222222)2(8522(23)2()2(23)2(41y x y x y x y x y x xy y x +≥+−+≥⋅−+=++=从而解得y x +2的最大值为5102，且最小值为5102−.说明：实际上，上述的两个例子均可用拉格朗日乘数法求解，虽然拉个朗日乘数法的重要作用在这两个例子中并没有充分的体现，但是，拉格朗日乘数法是一种解决这类问题的普遍方法，也就是说，如果碰到更复杂的问题，高中的知识技巧就很难“胜任”，而这时，我们就可以看到拉格朗日乘数法的巨大威力了，下面具体介绍拉格朗日的方法及应用。
拉格朗日乘数法及其在最优化问题中的应用
拉格朗日乘数法及其在最优化问题中的应用拉格朗日乘数法是一种广泛应用于最优化问题中的数学工具，它能够帮助我们求解多种不等式约束下的极值问题。
在本文中，我们将探讨拉格朗日乘数法的原理以及应用，并给出一些实际例子，以帮助读者更好地理解这一方法。
一、拉格朗日乘数法的原理拉格朗日乘数法是一种寻求多元函数在一些约束下的最大值或最小值的方法。
假设我们要在一组约束条件下最大化或最小化一个函数f，那么我们可以这样设定拉格朗日乘数：L(x, λ) = f(x) + λ(g(x)-c)其中，x是待求解的变量，λ是拉格朗日乘数，g(x)是一组约束条件，c是一个常数，它可以由约束条件得出。
我们定义L(x, λ)为拉格朗日函数。
我们需要在L(x, λ)的梯度为零的点上求解使f(x)最小的参数x。
这意味着：∇L(x, λ) = ∂f(x)/∂x + λ∂g(x)/∂x = 0通过解这个方程组，我们可以得到最优解x和对应的拉格朗日乘数λ。
需要注意的是，这个等式实际上是将梯度向量∇f(x)与梯度向量∇g(x)进行线性组合，使得在最优解处，梯度向量∇f(x)与梯度向量∇g(x)相互垂直。
二、拉格朗日乘数法的应用拉格朗日乘数法可以应用于各种最优化问题中，包括约束条件不等式的问题，如线性规划和非线性规划等。
下面我们以一个简单的例子来解释。
假设我们要在所有点（x, y）的集合中找到点（x0, y0），使得该点到圆心的距离最小，但是该点需要满足一个不等式约束条件。
我们可以用拉格朗日乘数法来解决这个问题。
首先，我们需要确定我们的目标函数，即到圆心的距离的平方，公式为：f(x, y) = (x - x0)^2 + (y - y0)^2然后我们需要确定我们的约束条件，即点到一条直线的距离必须大于r，r是一个给定的常数。
公式为：g(x,y) = ax + by + c - r其中a、b、c为常数。
此外，我们需要定义拉格朗日函数：L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y))接下来，我们需要求出L(x, y, λ)的梯度向量。
拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用
西南财经大学Southwestern University of Finance and Economics 微观数学方法期末论文学生姓名：**所在学院：经济学院专业：西方经济学学号：************消费者均衡中拉格朗日乘数法的应用一．引言本文主要通过介绍拉格朗日乘数的方法，推导出古典经济学中消费者均衡的条件。
通过分析得出消费者均衡原则是各个商品消费的比率等于相应商品价格的比率。
二．数学理论1.条件极值的必要条件设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有 0)(='+=x g f f dx dz y x .代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ, 即 x f -y ϕy f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使 (x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.亦即 0x x f λϕ+=，0y y f λϕ+=2.拉格朗日乘数法在利用偏导数求多元函数的极值时，若函数的自变量有附加条件，则称之为条件极值。
这时，可用拉格朗日乘数法求条件极值。
具体方法如下:拉格朗日乘数法：设给定二元函数z=f(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=f(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，其中λ为参数。
拉格朗日乘子法及其应用
拉格朗日乘子法及其应用作为一种数学方法，拉格朗日乘子法被广泛应用于各个领域，涵盖了经济学、力学、物理学等诸多学科。
在此，我们将从概念、原理、公式、应用等多个角度来更加深入地探讨拉格朗日乘子法。
一、概念拉格朗日乘子法是一种在多元函数求取条件极值时的工具。
其核心思想是将约束条件引入目标函数，以此转化为无约束函数的求导问题。
即：在一个函数的最大值或最小值的基础上，加上一个约束条件，找到此时的极值。
通常情况下，这个约束条件是一个等式或不等式。
二、原理对于由n个自变量和m个约束条件所构成的函数，设其为f(x1,x2,...,xn)，约束条件为g1(x1,x2,...,xn)=0,g2(x1,x2,...,xn)=0,…,gm(x1,x2,...,xn)=0。
则目标是，找出该函数在给定约束条件下，最大值或最小值的情况。
具体求解方法为，首先将其中的一个约束条件用拉格朗日乘子λ表示出来，即g1(x1,x2,...,xn)-λ=0，然后与f(x1,x2,...,xn)组合成一个新的函数F(x,λ)=f(x1,x2,...,xn)-λg1(x1,x2,...,xn)，变成只涉及自变量的函数，求出其偏导数并令它们等于0，求解出所有的自变量和拉格朗日乘子λ的取值，然后代回原方程组中，即可得到函数最大值或最小值及约束条件下的最大值或最小值。
三、公式对于一个由F（x1,x2,…,xn）表示的多元函数，设其中的k个自变量为xk（k=1,2,…,k），m个拉格朗日乘子为λ1,λ2,…,λm，则拉格朗日函数为：L(x,λ)=F（x1,x2,…,xn）+λ1g1(x1,x2,…,xn)+λ2g2(x1,x2,…,xn)+…+λmgm(x1,x2,…,xn)则求F（x1,x2,…,xn）在g1(x1,x2,…,xn)=0,g2(x1,x2,…,xn)=0,…,gm(x1,x2,…,xn)=0条件下的极值，就等于求L（x,λ）在x1,x2,…,xn和λ1,λ2,…,λm条件下的极值。
拉格朗日乘数法的
拉格朗日乘数法的
拉格朗日乘数法是一种数学优化方法，它可以用来找到满足约束条件的最优解。
它的原理是基于拉格朗日原理，即一个函数的全局最小值可以通过极大极小原理找到。
拉格朗日乘数法以及它的变体是运筹学和数学分析中最重要的算法之一，用于求解最优化问题。
拉格朗日乘数法可以用于求解线性规划问题。
它被用于求解非线性问题，例如多种旅行者问题、背包问题和QAP问题，当这些问题被约束条件所约束时。
约束条件可以很灵活地表示，比如可能有等式约束、不等式约束、二进制约束或者其他类型的约束等，都可以被拉格朗日乘数法求解。
拉格朗日乘数法的主要步骤：1）对一个给定的极值优化问题，写出它的最优化目标函数，再加上一些约束条件；2）引入一个拉格朗日乘数，将目标函数和约束条件构成一个新的原始问题，即拉格朗日乘数主问题；3）利用拉格朗日乘数主问题来求解极值优化问题，从而得到极值优化问题的最优解。
拉格朗日乘数法是一种非常有用的数学优化方法，它可以用来求解线性、非线性最优化问题，并可以满足复杂的约束条件。
它的步骤清晰，值得信赖，可以用于许多应用场合，如运输问题、交叉销售问题等。
拉格朗日乘数法在条件不等式证明中的应用
拉格朗日乘数法在条件不等式证明中的应用拉格朗日乘数法是代数学中的重要方法之一，在条件不等式证明中也有着重要的作用。
1. 简介拉格朗日乘数法也称拉格朗日对偶理论，是来源于18度世纪法国数学家安东尼·拉格朗日，它通过对问题建立对偶形式来求解最优化问题，这是一个针对最优化性质、约束机会，采用增加一组不等式的方法，其优势在于它的灵活性和可扩展性，以满足最优化问题的求解要求。
2. 应用场景①条件不等式证明中，当有方程如 $y=Ax$ 和二次限制不等式$c_{1}≦x≦c_{2}$,我们可以采用拉格朗日乘数法，求线性规划函数的最大最小值。
②在计算积分时，可以通过拉格朗日乘数法，把计算积分转换成一个相应的最大值问题，实现计算积分的快捷性。
③在线性规划中，如果函数有一些约束条件，就可以用拉格朗日乘数法先把约束条件当做不等式求解出相应的乘数，然后代入函数求解即可。
3. 解答流程拉格朗日乘数法在条件不等式证明中的解答流程如下：①构造函数：设原函数为$max(f(x))$，构造等价的函数：$L(x,\lambda)=f(x)-\lambda\cdot g(x)$；②求解临界点：求函数$ L(x,\lambda)=f(x)-\lambda\cdot g(x)$的极值，其中$g(x)$为约束条件，$\lambda$为拉格朗日乘数；③代入求解：把第二步求得的极值$x^*$ 代入原函数，获取最优解；④相应结果求解出临界点，即可得出原函数的最大值和最小值。
4. 优势拉格朗日乘数法在求解条件不等式证明中有很大的用处，它有以下优势：①具有灵活性：拉格朗日乘数法可以把很多运筹学问题，如最大值、最小值、等值点，转换成对偶形式，以满足不同最优化问题求解的要求；②易于解答：拉格朗日乘数法采用增加不等式的思想，使得待求问题变得简单，易于解答；③易于扩展：拉格朗日乘数法可以根据实际应用的需要增加或减少变量，使得变量的类型和数量不受限制，具有良好的可扩展性。
拉格朗日乘子法的应用及原理
拉格朗日乘子法的应用及原理拉格朗日乘子法是一种优化问题中经典的方法，在物理、经济、工程等领域都有广泛应用。
其核心原理是将约束条件转化为目标函数中的新变量，从而简化问题的求解。
一、拉格朗日乘子法的基本原理拉格朗日乘子法的核心思想是将约束条件引入目标函数中，通过引入一个拉格朗日乘子来表示约束条件。
设$f(x,y)$为目标函数，$g(x,y)=0$为约束条件，则引入一个新的变量$\lambda$，构造一个新的函数$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$，成为拉格朗日函数。
由于要求最优解，因此要对拉格朗日函数进行求导。
对$L(x,y,\lambda)$对$x$求偏导数，得到$\frac{\partial L}{\partial x}= \frac{\partial f}{\partial x}+ \lambda \frac{\partial g}{\partial x}$。
同理，对$L(x,y,\lambda)$对$y$求偏导数，得到$\frac{\partialL}{\partial y}= \frac{\partial f}{\partial y}+ \lambda \frac{\partialg}{\partial y}$。
对$L(x,y,\lambda)$对$\lambda$求偏导数，得到$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=g(x,y)$。
接下来要求解拉格朗日函数的临界点，即$\frac{\partialL}{\partial x}=0$、$\frac{\partial L}{\partial y}=0$、$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$。
解出$x$和$y$的值，再代入约束条件$g(x,y)=0$，便可得到最优解。
此时$\lambda$的值为拉格朗日乘子的解。
二、拉格朗日乘子法的应用拉格朗日乘子法广泛应用于约束优化问题中，例如使用最小二乘法时的条件，微积分问题中的约束问题，以及经济学中的优化问题等。
浅谈拉格朗日乘数法在条件极值的应用
［摘要］求多元函数最值问题和一元函数很类似，一元函数是通过求导数来判断函数的走势，找出极值，进一步找出最值，类似的，多元函数的最值也是通过求多元函数的极值，进一步找出最值。
以二元函数为例，先来讨论多元函数的无条件极值问题，再考虑有附加条件的极值，无条件极值问题往往讨论的是其极值点的搜索范围是目标函数的自然定义域，但是在生产实际中还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制，例如，一个直角三角形斜边长为l ，自变量为两个直角边长x ，y ，现在要求直角三角形的周长最大值为多少，所以自变量x ，y 之间还必须满足x 2+y 2=l 2这个附加条件。
像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值，无附加条件的极值为无条件极值。
考虑到将条件极值化为无条件极值并不是很容易，更多的条件极值还无法变成无条件极值，所以要寻找一种“万能”的求条件极值的方法，该方法可以直接寻求条件值的方法，可以不必先把条件极值化为无条件极值的问题，这种方法就是拉格朗日乘数法。
［关键词］多元函数；条件极值；拉格朗日条件极值；数学建模［中图分类号］O172［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2018）19-0110-02浅谈拉格朗日乘数法在条件极值的应用李强（贵州大学明德学院，贵州贵阳550025）一、无条件极值的求法通常我们利用偏导数来解决多元函数的极值问题.下面我们首先用《高等数学》中多元函数微积分的两个重要定理，推导无条件极值的求法.定理1设函数z=f （x ，y ）在点（x 0，y 0）具有偏导数，且在点（x 0，y 0）处有极值点，则有f x （x 0，y 0）=0，f y （x 0，y 0）=0；定理2设函数z=f （x ，y ）在点（x 0，y 0）某邻域内连续且具有一阶及二阶连续偏导数，又f x =（x 0，y 0），f y （x 0，y 0）=0令f xx （x 0，y 0）=A ，f xy （x 0，y 0）=B ，f yy （x 0，y 0）=C ，则z=f （x ，y ）且在点（x 0，y 0）处是否取极值条件如下:（1）AC-B 2>0时具有极值，且当A >0时有极小值，当A <0时有极大值；（2）AC-B 2<0时没有极值；（3）AC-B 2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论.[1]通过上述定理我们给出具有的多元函数无条件极值的求法，下面我以二元有连续偏导数的多元函数z=f （x ，y ）为例叙述如下：首先，解方程组f x （x ，y ）=0，f y （x ，y ）=0求同时满足两个方程的解称为驻点.通过定理1可知极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点.其次，对每一个驻点（x 0，y 0），利用定理2求出它们的二阶偏导数的值A ，B 和C .最后，判断出AC-B 2的符号，利用定理2的结论判定驻点（x 0，y 0）是不是极值、是极大值还是极小值，再代入z=f （x ，y ）求出极值大小.下面我们分别用一个数学例子和一个经济学例子来说明这种方法.a.求函数f （x ，y ）=x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值.解：f x （x ，y ）=3x 2+6x -9=0f y （x ，y ）=-3y 2+6y =0，求出的驻点为（1，2），（-3，0），（1，0），（-3，2）.再二阶偏导数为：f xx （x ，y ）=6x +6，f xy （x ，y ）=0，f yy （x ，y ）=-6y +6=0；1.点（1，2）处，AC-B 2<0所以（1，2）不是极值；2.点（-3，0）处，AC-B 2<0所以（-3，0）不是极值；3.点（1，0）处，AC-B 2>0，A >0所以函数在（1，0）处有极小值f （1，0）=-5；4.点（-3，2）处，AC-B 2>0，A <0所以函数在（-3，2）处有极大值f （-3，2）=31.下面我再考虑条件极值在实际生产中的应用，华为技术有限公司生产的一款手机，同时在国内和国外两个市场销售，销售价格分别为p 1，p 2销售量分别为q 1，q 2，根据经济学的知识我们知道需求函数分别为:q 1=24-0.2p 1，q 2=10-0.05p 2，总利润函数为C =35+40（q 1+q 2）.试问:华为技术有限公司如何确定国内外的销售价格，能使其获得利润最大？最大总利润为多少？解:总收入函数为R =p 1q 1+p 2q 2=24p 1-0.2p 21+10p 2-0.05p 22，总利润函数L=C-R=32p 1-0.2p 21+12p 2-0.05p 22-1395，分别对q 1，q 2求偏导数得方程组L p 1=32-0.4p 1=0，Lp 2=12-0.1p 2=0，解得：q 1=80，q 2=120，由问题可知，华为技术有限公司获得利润最大的市场售价必定存在，故当q 1=80，q 2=120时大家获得利润最大，为605.课程◆应用◆专业应用110--. All Rights Reserved.二、拉格朗日乘数法求条件极值上面所讨论的极值问题，对函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，并无其他条件，所以有时候称为无条件极值.但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题.例如，一个直角三角形斜边长为l，自变量为两个直角边长x1，y，现在要求直角三角形的周长最大值为多少？所以自变量x，y 之间还必须满足x2+y2=l2这个附加条件，这种加了附加条件的问题我们称条件极值问题.下面我们先考虑化为无条件极值问题来求解，再考虑拉格朗日乘数法来求极值.a.设△ABC三个角所对的三边长分别是a，b，c其中角C为斜边长c=2，求周长的最值是多少？解：由初等数学中学的解三角形的方法可得:asin A=b sin B=c sin C=2即a=2sin A，b=2sin B，a+b+c=2sin A+ 2sin B+2为一个二元函数问题，A+B=90°所以a+b+c=2sin A+2sin （90°-A）+2=2sin A+2cos A+2=22√sin（A+45°）+2当A=B=45°时△ABC的周长最大，为22√+2.下面我们来研究一下拉格朗日乘数法的理论知识.函数z=f （x，y）自变量还满足一个附加条件φ（x，y）=0或多个附加条件，我们以一个附加条为例，多个附加条件以此类推，我们首先构建一个拉格朗日多元函数L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），其中f（x，y）为原函数，φ（x，y）为附加条件，λ为拉格朗日数学乘子，下面我们首先对拉格朗日多元函数求偏导数，可得到方程组L x（x，y）=f x（x，y）+λφx（x，y）=0，L y（x，y）=f y（x，y）+λφy（x，y）=0，φ（x，y）=0三个未知数三个方程可以求出（x，y）来，我们所求出来的（x，y）就是函数z=f （x，y）在附加条件φ（x，y）=0下的最优解.下面我们用一个例子来说明一下.b.设直角△ABC角C为直角，斜边长为2，两直角边别为x，y，其中自变量还要满足x2+y2=4这个附加条件，现在要求周长的最大值是多少？解:我先设周长函数为f（x，y）=x+y+2，附加条件为φ（x，y）= x2+y2=4，我们再构造出拉格朗日函数L（x，y）=x+y+2+λφ（x，y），分别对x，y求偏导数得到方程组L x（x，y）=1+2λx=0，L y（x，y）=1+2λ=0，解得x=y=-12λ代入φ（x，y）=x2+y2=4得到x=y=2√，所以周长最大为2+22√.三、拉格朗日乘数法在生产生活中的应用下面，我们利用拉格朗日乘数法建立一个在经济学中关于市场最优价格的数学模型。
拉格朗日乘数法极大似然估计
拉格朗日乘数法极大似然估计1.引言拉格朗日乘数法是一种解决约束最优化问题的方法，它的原理是在优化过程中引入拉格朗日乘数，使得原来的约束条件可以被转换成一个目标函数，从而将约束条件与目标函数一起进行优化。
这个方法在很多现实问题中都有广泛的应用，其中包括极大似然估计。
本文将介绍拉格朗日乘数法在极大似然估计中的应用。
2.极大似然估计极大似然估计是一种利用样本数据来估计未知参数的方法，其基本思想是找到一个参数值，使得该参数下的样本出现的概率最大。
举个例子，我们要估计一个硬币正反面的概率，我们可以反复投掷这个硬币，得到了一些正反面的观测值，然后通过极大似然估计来估计正反面的概率。
具体地说，假设这个硬币正面的概率为θ，那么在一次投掷中得到正面的概率为θ，得到反面的概率为1-θ，那么一系列投掷的结果就可以用一个二项分布来描述，即在n次独立的投掷中，正面出现k次的概率为：P(X=k|θ)=（n k）θ^k(1-θ)^(n-k)因此，我们可以根据样本中的观测值来求解θ，使得P(X|θ)最大化，其中X表示所有投掷结果的集合，即样本数据。
这种方法被称为极大似然估计，它可以用于估计各种概率分布的参数，比如高斯分布的均值和方差等。
3.带约束的极大似然估计一般来说，我们在进行极大似然估计时，需要满足一些约束条件，比如概率的和为1等等。
为了解决这个问题，我们可以使用拉格朗日乘数法。
设θ为要估计的参数，f(θ)为似然函数，g(θ)=0为约束条件，那么带约束的极大似然估计问题可以转换成如下形式的无约束最优化问题：max f(θ)-λg(θ)其中λ为拉格朗日乘数。
为了求解这个问题，我们可以先对θ求导数，得到：∂(f(θ)-λg(θ))/∂θ=0然后将等式两边同时乘以λ，并将约束条件带入，得到：g(θ)=0通过这样的方式，我们就可以求解带约束的极大似然估计问题了。
4.总结本文介绍了拉格朗日乘数法在极大似然估计中的应用。
带约束的极大似然估计问题可以转换成一个无约束的最优化问题，并通过引入拉格朗日乘数的方式来解决这个问题。
拉格朗日乘子法在最优化控制中的应用
拉格朗日乘子法在最优化控制中的应用拉格朗日乘子法是一种在最优化控制中应用广泛的数学方法。
它是由法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于18世纪提出的一种优化技术。
拉格朗日乘子法在很多实际问题中都具有重要的应用价值，能够帮助我们找到最优的方案以满足一定的约束条件。
一、拉格朗日乘子法的原理拉格朗日乘子法主要是通过引入拉格朗日乘子来处理约束条件。
假设我们要优化一个函数f(x)的取值，但是存在一些限制条件g(x)=0。
利用拉格朗日乘子法，我们可以将约束条件融入目标函数中，构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中λ是拉格朗日乘子。
二、无约束问题的求解首先，我们来看一个简单的无约束最优化问题。
假设我们要求解的问题是最小化一个函数f(x)。
根据拉格朗日乘子法的原理，我们可以构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中g(x)=0。
然后，我们通过求解极值点的条件∇L(x,λ)=0来得到最优解。
这个条件可以通过求解f(x)的导数和g(x)的导数相等的方程得到。
三、带等式约束的优化问题接下来，我们考虑带等式约束的优化问题。
假设我们要最小化一个函数f(x)，且带有等式约束g(x)=0。
利用拉格朗日乘子法，我们可以构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)。
这个等式约束可以转化为无约束问题的形式，即求解minL(x,λ)。
通过求解极值点的条件∇L(x,λ)=0，我们可以得到最优解。
四、带不等式约束的优化问题在现实应用中，很多问题都存在着不等式约束。
比如，我们要将一条线段从A点移动到B点，并且要求线段不与一些障碍物相交。
这是一个带不等式约束的问题。
在这种情况下，拉格朗日乘子法同样可以帮助我们求解最优解。
我们可以将不等式约束转化为等式约束，然后构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中g(x)>0。
通过求解极值点的条件∇L(x,λ)=0，并且满足不等式约束g(x)>0，我们可以得到带不等式约束的最优解。
拉格朗日乘数法在经济学中的应用
拉格朗日乘数法在经济学中的应用拉格朗日乘数法是一种经济学原理，用于计算价格和数量之间的关系。
它是由法国著名数学家和哲学家让-吉拉德拉格朗日于1700年代提出的。
拉格朗日乘数法基于可控供给模型，通过改变可控制的供给量来调节价格和数量，从而实现最大化效益或收入。
拉格朗日乘数法的发展历程始于1700年代，当时法国的著名数学家和哲学家让-吉拉德拉格朗日发现了它。
他通过推理，理解了这种乘数关系的原理。
他的原理也被称为“拉格朗日多元函数定理”。
发现了这种乘数关系，他就提出了“拉格朗日乘数法”。
拉格朗日乘数法的基本思想是：如果改变某一产品的供给量，价格会随之发生变化，这种变化最终会影响价格和量之间的关系。
为了计算价格和量之间的关系，需要用乘数的方式来解决问题。
拉格朗日乘数法的结果表明，可控供给模型中，价格变动与供给量的变动成比例。
具体来说，如果供给量增加，价格也会增加；如果供给量减少，价格也会减少。
拉格朗日乘数法在经济学中有着广泛的应用。
首先，可以用来计算供给量和价格之间的相互关系，以及由这种关系衍生出来的变化趋势和效益。
其次，拉格朗日乘数法可以帮助企业在不断变化的环境中优化产品供给。
对于根据拉格朗日乘数法调节价格的企业，可以提高销售额，以获取更高的收入。
拉格朗日乘数法在决策过程中可以提供有价值的线索，帮助企业正确分析和有效管理行业竞争。
此外，拉格朗日乘数法还可以用于消费者行为的分析。
在这种分析中，消费者对价格变动的反应是通过拉格朗日乘数法推导出来的。
拉格朗日乘数法可以帮助研究人员更深入地了解消费者的意图，因此，可以更好地分析消费者的行为，并有针对性地促进经济发展。
综上所述，拉格朗日乘数法是一种经济学原理，它可以有效地计算价格和量之间的关系，从而可以帮助企业分析行业竞争，优化产品供给，提高收入。
此外，它还可以用来分析消费者的行为，有助于更好地了解消费者，从而更有针对性地促进经济发展。
因此，拉格朗日乘数法在经济学中具有重要的意义。
拉格朗日乘数法及其应用
拉格朗日乘数法及其应用拉格朗日乘数法是一种求函数极值的方法，由法国数学家拉格朗日在18世纪提出。
它的核心思想是将限制条件带入原函数，构成一个拉格朗日函数，并求解其极值。
下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法的原理和应用。
一、拉格朗日乘数法的原理假设有一个函数f(x,y)，它的极值存在一个约束条件g(x,y) = 0。
那么，我们可以将约束条件与原函数写成一个新的函数L(x,y,λ)，即L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)其中，λ被称为拉格朗日乘数，它是一个实数。
接下来，我们求解L(x,y,λ)的偏导数，分别对x、y和λ求偏导：∂L/∂x = ∂f/∂x + λ(∂g/∂x)(1)∂L/∂y = ∂f/∂y + λ(∂g/∂y)(2)∂L/∂λ = g(x,y)(3)我们将Equations(1)，(2)，(3)联立起来，可以得到解题的关键方程组：∂L/∂x = 0∂L/∂y = 0∂L/∂λ = 0根据这个方程组，我们可以求出函数f(x,y)在约束条件g(x,y) = 0的前提下的极值。
二、拉格朗日乘数法的应用1.极值问题假设现在有一只长方体箱子，其长、宽、高分别为x、y、z。
如果箱子的体积为1立方米，那么我们如何求出箱子的最小表面积？我们可以根据题目所给的条件，建立拉格朗日函数：L(x,y,z,λ) = 2(xy + xz + yz) + λ(xyz - 1)接下来，我们求解∂L/∂x、∂L/∂y、∂L/∂z、∂L/∂λ的值：∂L/∂x = 2(y + z) + λyz = 0∂L/∂y = 2(x + z) + λxz = 0∂L/∂z = 2(x + y) + λxy = 0∂L/∂λ = xyz - 1 = 0将方程组(1)、(2)、(3)联立，可以解出x=y=z=1/∛3，然后代入L(x,y,z,λ)，可以求出最小的表面积为6/∛3。
2.概率问题假设有一座山谷，人们经常在这里散步和野餐。
拉格朗日乘数法在高中数学的应用
拉格朗日乘数法在高中数学的应用拉格朗日乘数法是一种在高等数学中常用的最优化方法，它可以求解约束条件下的多元函数的极值问题。
虽然在高中数学中一般不会详细讲解拉格朗日乘数法，但有些基础的应用还是可以介绍的。
1. 线性规划问题：拉格朗日乘数法可以用来求解线性规划问题。
例如，已知某种产品在两个不同的工厂制造成本分别为x和y，而销售价格为p。
要求一种最优的生产方案，使得利润最大化。
设生产x个产品在第一个工厂，生产y个产品在第二个工厂，有约束条件x+y=100。
利润函数为L = p*(x+y) - (cx + dy)，其中c和d分别是单位生产成本。
利润最大化的问题可以通过拉格朗日乘数法来求解。
2. 几何问题的最优化：例如，已知一个函数f(x, y) = x^2 + y^2 的约束条件为 x + y = 10 ，要求在约束条件下求f(x, y)的最小值。
可以使用拉格朗日乘数法来解决这个问题。
对于这个问题，首先构造Lagrange函数L(x,y,λ) = f(x,y) +λ(g(x,y) - c)，其中g(x, y)为约束条件，c为约束值。
对于上述的例子，Lagrange函数为L(x,y,λ) = x^2 + y^2 + λ(x + y - 10)。
然后，分别对x，y，λ求偏导，并令其等于0，得到方程组：∂L/∂x = 2x + λ = 0∂L/∂y = 2y + λ = 0∂L/∂λ = x + y - 10 = 0通过求解这个方程组，可以得到x，y和λ的值。
将这些值代入到原函数f(x, y)中，就可以得到最优解。
需要注意的是，虽然拉格朗日乘数法在高中数学中不会详细讲解，但它是数学理论中重要的一部分，可用于求解多个变量的约束函数的极值问题。
拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用
拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用拉格朗日乘数法是一种用于解决带有约束条件的最优化问题的数学方法。
在经济学中，许多问题都可以归结为在给定约束条件下寻求最优决策的问题。
拉格朗日乘数法在经济最优化中有广泛的应用，本文将以价格优化和资源分配为例，详细介绍拉格朗日乘数法的应用。
首先，让我们考虑一个典型的价格优化问题。
假设一个公司生产两种商品，商品A和商品B，利润最大化是该公司的目标。
该公司的生产函数可以表示为：Q=f(A,B)其中，Q表示产量，A表示商品A的生产数量，B表示商品B的生产数量。
此外，该公司还面临着资源的约束条件，如劳动力、原材料和机器设备等。
这些资源的利用不能超过给定的限制。
我们可以把这些资源的限制条件表示为：g(A,B)≤R其中，g(A,B)表示资源使用情况，R表示资源的限制。
为了使利润最大化，并满足资源的约束条件，我们需要解决以下优化问题：max f(A,B)s.t.g(A,B)≤R为了使用拉格朗日乘数法，我们首先定义拉格朗日函数L：L=f(A,B)+λ(g(A,B)-R)其中，λ是拉格朗日乘子。
接下来，我们对L函数关于A、B和λ求偏导数，并令其等于0：∂L/∂A=∂f/∂A+λ∂g/∂A=0∂L/∂B=∂f/∂B+λ∂g/∂B=0g(A,B)=R通过解这组方程，我们可以求得最优解A*、B*和λ*。
这些最优解给出了生产商品A和商品B的最优数量，同时满足资源的约束条件。
另一个拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用是资源分配问题。
假设一个政府或一个组织有一定数量的资源可供分配给不同的项目或部门。
每个项目或部门有一定的成本和效益。
我们的目标是在给定的资源限制下，最大化总效益。
假设有n个可供分配的项目或部门，资源的限制条件可以表示为：g1(x1, x2, ..., xn) ≤ R1g2(x1, x2, ..., xn) ≤ R2...gm(x1, x2, ..., xn) ≤ Rm其中，gi(x1, x2, ..., xn)表示第i个项目或部门的资源使用情况，Ri表示资源的限制。
应用拉格朗日乘数法解决线性规划问题
应用拉格朗日乘数法解决线性规划问题线性规划问题是运用数学建模的一种重要问题，在各个领域中得到了广泛的应用。
线性规划问题的解决方法有很多种，经典的解决方法是单纯性法，但是在应用过程中会出现一些问题，例如计算难度大，对于大型的问题来说，计算量就会变得非常巨大，计算时间也会很长。
这个时候可以运用拉格朗日乘数法来解决这些问题，其优点是计算简单、有效性高、具有普适性等特点。
在本文中，我将详细介绍拉格朗日乘数法的基本思想和运用步骤，以及应用案例的实现过程。
一、拉格朗日乘数法的基本思想拉格朗日乘数法是一种求解约束优化问题的方法，它的基本思想是将约束条件转化为被限制的优化问题的目标函数中的一些额外的变量。
具体地说，一个线性规划问题可以表示为：$\max f(x)$$subject to: g_i(x)\leq b_i, i=1,2,...,m; x_j\geq 0, j=1,2,...,n$其中，$f(x)$是目标函数，$g_i(x)$是线性约束条件，$b_i$是常数，x是要求解的变量，m和n分别是常数，代表约束条件的个数和变量的个数。
使用拉格朗日乘数法解决线性规划问题的主要步骤是：1）建立拉格朗日函数：$L(x,\lambda)=f(x)+\sum_{i=1}^m\lambda_i(g_i(x)-b_i)$其中，$\lambda_i$是拉格朗日乘数，是待求的变量，$g_i(x)-b_i$是约束条件。
2）最小化L(x,$\lambda$)对x的导数：$\frac{\partialL(x,\lambda)}{\partial x}=0$，求得x的值。
3）最大化L(x,$\lambda$)对$\lambda$的导数：$\frac{\partialL(x,\lambda)}{\partial \lambda}=0$，求得$\lambda$的值。
4）将x的值代入原始问题中，求得最优解。
二、应用案例的实现过程在上一章中，我们已经了解了拉格朗日乘数法的基本思想和运用步骤，接下来就运用拉格朗日乘数法来解决一个线性规划问题。
拉格朗日乘数法的基本原理和应用
拉格朗日乘数法的基本原理和应用拉格朗日乘数法是一种优化方法，常常用于求解约束优化问题。
它利用拉格朗日乘子来将约束条件纳入优化目标中，从而转化为无约束优化问题。
本文将对拉格朗日乘数法的基本原理和应用进行介绍和分析。
1. 拉格朗日乘数法的基本原理拉格朗日乘数法的基本原理是，将原问题的每个约束条件都乘以一个新的未知数，得到一个新的目标函数。
这个新的目标函数既包括原问题的目标函数，又包括所有的约束条件。
然后，用这个目标函数构造一个新的函数，称为拉格朗日函数。
拉格朗日函数的一般形式为：L(x,\lambda)=f(x)+\lambda g(x)其中，x是原问题的自变量，\lambda是拉格朗日乘子，g(x)是原问题的约束条件，f(x)是原问题的目标函数。
确定了拉格朗日函数之后，就可以对它进行求导，再令所有导数为零，得到一个关于x和\lambda的方程组。
这个方程组的解就是原问题的最优解。
2. 拉格朗日乘数法的应用拉格朗日乘数法可以用于求解各种约束优化问题。
例如，最小化目标函数f(x)，满足约束条件g(x)=0，就可以通过拉格朗日乘数法来求解。
具体来说，可以按照以下步骤来应用拉格朗日乘数法：（1）定义拉格朗日函数：L(x,\lambda)=f(x)+\lambda g(x)（2）对L(x,\lambda)求导，得到：\frac{\partial L}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partialx_i}+\lambda\frac{\partial g}{\partial x_i}=0\frac{\partial L}{\partial \lambda}=g(x)=0（3）解方程组，得到x和\lambda的取值，即为最优解。
值得注意的是，对于有多个约束条件的问题，可以将每个约束条件都乘以一个不同的拉格朗日乘子，得到一个新的拉格朗日函数。
这样，就可以同时满足多个约束条件，求出更为精确的最优解。
拉格朗日乘数法在高中数学的应用
拉格朗日乘数法在高中数学的应用在高中数学中，拉格朗日乘数法是一种常见且实用的数学方法，用于求解约束最优化问题。
它的应用范围广泛，可以涉及函数的最大值、最小值等求解。
下面将介绍拉格朗日乘数法在高中数学中的应用。
首先，我们来了解一下拉格朗日乘数法的基本原理。
在求解约束最优化问题时，我们常常会遇到一些约束条件，这些条件往往会限制我们寻找最优解的范围。
此时，拉格朗日乘数法可以帮助我们找到可行解，即满足约束条件的最优解。
具体地说，对于一个约束最优化问题，我们假设有m个约束条件和n个优化变量，我们的目标是找到一个点，使得目标函数达到最大或最小的值，同时满足约束条件。
使用拉格朗日乘数法，我们可以将该问题转化为一个新的问题，其中加入了一个拉格朗日乘数λ。
通过求解这个新问题，我们可以得到原问题的最优解。
其次，在应用拉格朗日乘数法时，我们需要注意以下几个步骤。
首先，我们需要建立原问题的拉格朗日函数，在该函数中引入拉格朗日乘数λ并加入约束条件。
接下来，我们需要求解拉格朗日函数的局部极值点，这一步骤可以使用多元函数的极值判定方法进行求解。
最后，我们需要检验所得极值点是否满足约束条件，如果满足则为原问题的最优解。
拉格朗日乘数法的应用不仅限于单一约束条件的求解，当存在多个约束条件时，我们可以通过引入多个拉格朗日乘数来求解。
此外，在实际应用中，我们还可以通过拉格朗日乘数法进行一些优化问题的求解，如边界问题、非线性问题等。
总的来说，拉格朗日乘数法在高中数学中的应用是十分广泛的。
它不仅可以帮助我们求解约束最优化问题，还可以提供一种思维方式和方法，帮助我们分析和解决其他类型的数学问题。
通过掌握和应用拉格朗日乘数法，我们可以更深入地理解数学问题的本质，并在实际问题中灵活应用。
拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用
拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用粉嫩公主酒酿蛋高等数学在经济研究中应用越来越广泛，推动了经济学的快速发展。
结合实例，对拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用进行探讨与研究。
在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法是以数学家约瑟夫?路易斯?拉格朗日命名一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。
一、拉格朗日乘数法设二元函数f(x，y)和,渍(x，y)在区域D内有一阶连续偏导数，则求z=f(x，y)在D内满足条件,渍(x，y)=0的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数L(x，y，λ)=f(x，y)+λ,渍(x，y)(其中λ为某一常数)的无条件极值问题。
于是，求函数z=f(x，y)在条件,渍(x，y)=0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为:(1) 构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=f(x，y)+λ,渍(x，y)其中λ为某一常数;(2) 由方程组Lx=fx(x，y)+λ,渍x(x，y)=0Ly=fy(x，y)+λ,渍y(x，y)=0Lλ=,渍(x，y)=0解出x，y，λ，其中x，y就是所求条件极值的可能的极值点。
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。
拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论。
不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点(或最值点)。
由于在经济学中都是具体的实际问题，比如，求产量最高、利润最大等，它们的最值是否存在是一目了然的，所以拉格朗日乘数法在经济最优化中有着广泛的应用。
二、拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用实例实例1 现在已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数是f(x，y)=100x3/4y1/4，每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元。
该制造商的总预算是50 000元。
问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本，以使生产量最高。
解这是个条件极值问题，求函数f(x，y)=100x3/4y1/4在条件150x+250y=50 000下的最大值。
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“高观点”下的初等数学
许高峰11数本一班
摘要拉格朗日乘数法是一种对于解决条件极值问题非常有效的方法，在大学的各类微积分教材中都有介绍，对于初学者可能看不到这种方法的具体作用，以致在学习的过程中难免忽略了它，本文透过拉格朗日乘数法的介绍，以及它在一些问题上的具体应用，让无论是数学专业的本科生，以及将来从事数学师范专业的学生，都能从中获取一些启发。
关键词拉格朗日乘数法最大值最小值约束条件
例一：设实数y x ，满足554422=++xy y x ，设22y x S +=，则S 的最小值为
.（浙江省杭州市2012届高三上学期期中七校联考数学（理））证明：因为
5)(2
135)(2
5445
544022222222−+=−+++≤−++=y x y x y x xy y x 所以有05)(21322≥−+y x 成立，即131022≥+y x ，所以S 的最小值为13
10，当且仅当y x
=时成立.说明：一看到这类题，高中学生的第一反应一般是用不等式的知识去解决，这种思路是对的，但是用不等式的方法是有局限性的，不等式一般能解出最大值或最小值中的其中一个，却不一定能同时解出最大和最小值，比如，我把上述题目改为求S 的最大值是多少，显然改完之后，题目的难度就增加了，所以，这类题目需要我们进一步的研究，去寻找更一般的方法，从而更有效地解决这一类问题。
如果把上述题目改为求最大值，显然，如果在用不等式的知识就有点困难了，但是在高中生的知识水上，还是可以用初等数学的知识加以解决的。
容易想到把上述等式凑成平方项之和以及完全平方的形式，从直观上便可以判断出所求未知量的最大值.考虑化成如下形式：
2
22222)(55
)()(By Bx Ay Ax By Bx Ay Ax +−=+⇔=+++
用待定系数法求得23=A ，2
10=B .不难发现当x y −=时，22Ay Ax +取得最大值，最大值S 为3
10.同理，很自然的，我们可以想到在求最小值的时候，也可以用待定系数法，只不过要把等式化成另一种形式，即：
5)''()''(222=−−+y B x B y A x A ；按照上述的方法也可以求出最小值为13
10.例二：设y x ，为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是
.
（2011年浙江理科数学高考试题）证明：因为2
22222)2(8
52
2(23)2()2(2
3)2(41y x y x y x y x y x xy y x +≥+−+≥⋅−+=++=从而解得y x +2的最大值为5102，且最小值为5
102−.说明：实际上，上述的两个例子均可用拉格朗日乘数法求解，虽然拉个朗日乘数法的重要作用在这两个例子中并没有充分的体现，但是，拉格朗日乘数法是一种解决这类问题的普遍方法，也就是说，如果碰到更复杂的问题，高中的知识技巧就很难“胜任”，而这时，我们就可以看到拉格朗日乘数法的巨大威力了，下面具体介绍拉格朗日的方法及应用。
拉格朗日乘数法：在求条件()0,=y x ϕ下),(y x f z =的极值.构造拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=，称),(y x f 为目标函数，λ为拉格朗日常数，),(y x ϕ是对于两个非独立y x ,的约束.由：
⎪⎩⎪⎨⎧===0
),,('0),,('0),,('λλλλy x L y x L y x L y x 解得的),(y x 为可能的极值点.下面从一些例题来说明拉格朗日乘数法的优越性.例一：已知+∈R c b a ,,，且632=++c b a ，求22232c b a ++的最小值.
解:记
22232),,(c b a c b a f ++=，632),,(−++=c b a c b a g ，由取得极值的条件：)
,,('),,('),,('),,('),,('),,('c b a g c b a f c b a g c b a f c b a g c b a f c c b a a a ==，可得c b a ==.又632=++c b a ，所以1===c b a ，即1===c b a 时，22232c b a ++的最小值为6.
说明：虽然本题也可以找到初等方法，即用柯西不等式求解，这里是为了说明拉格朗日的具体应用，另外前两个例题都可以用该种方法进行求解，这里不作具体展开.
例二：已知三角形的周长为p 2，将它绕其一边旋转构成一个立体，求使立体体积最大的那个三角形.
解：设三角形的三边长为c b a ,,，并设以AC 边为旋转轴（如图所示）
.3
12b h V π
=
又设三角形的面积为S ，于是有
.))()((22c p b p a p p b
b S h −−−==所以有).)()((34
c p b p a p b
p V −−−=π问题就化成),,(c b a V 在条件02=−++p
c b a 下的最大值点，等价于求b c p b p a p c p b p a p b
c b a V ln )ln()ln()ln())()((1ln ),,(0−−+−+−=−−−=在条件：02=−++p c b a 下的最大值点.应用拉格朗日乘数法.令：
)2(),,(),,,(0p c b a c b a V c b a F −+++=λλ，求解方程组
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=−++=∂∂=+−−=∂∂=++−−=∂∂=+−−=∂∂)4(.
02)3(,01)2(,0)11()1(,01p c b a F
c p c F
b b p b F a p a F λλλλ比较)3(),1(得
c a =，再由)4(得).(2a p b −=)
5(比较)2(),1(得.
)()(p a p b p b −=−)6(由)6(),5(解出.4
3,43,2p c p a p b ===由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解，因而也是条件最大值点.所以当三角形的边长分别为43,43,2p p p 时，绕边长为2
p 的边旋转时，所得立体的体积最大.总结用拉格朗日乘数法解决有些最值问题非常简便容易，许多问题直接或间接地体现了拉格朗日乘数法的巨大作用，这是一种非常值得学习并推广的求二元极值得好方法，这种方法法对拓宽学生思路，提高学生分析问题、解决问题的
能力有很大帮助.
由以上数例可知，求条件极（最）值时，可以化为无条件极（最）值去解决，或用拉格朗日乘数法求解.条件极值一般都是解决某些最大、最小值问题.我们在实际问题中，往往根据问题本身就可以判定最大（最小）值是否存在，并不需要比较复杂的条件（充分条件）去判断.有时对某些有约束条件的二元函数求极值，用常规方法解决确实十分困难，但运用拉格朗日乘数法求解可以化难为易，化繁为简，它是一种值得学生了解的好方法.事实证明利用拉格朗日乘数法求解二元函数条件极（最）值，对提高学生学习数学的兴趣，树立学生学习数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，拓宽学生的数学视野，提升学生的数学文化，起到了较好的促进作用.。