医学统计学9直线相关与回归

• 本例∑X＝1725，∑Y＝454，
• ∑X2＝298525，∑Y2＝20690，∑XY＝78541
。
• （lX3X ） 计X 2算 (X、nX )2Y的29离8525均 1差71205平2 方962和.5 与离均差积
和
lYY
Y 2
(Y )2 n
20690
454 2 10
78.4
l XY
截距，b 为回归系数即回归方程的斜率。
• 二、直线回归方程的求法
• 求直线回归方程，关键在于计算a、b两个
系数，根据数学上的最小二乘法原理即保
证各实测点至回归直线的纵向距离的平方
和最小。
b (X X )(Y Y ) lXY
( X X )2
l XX
a Y bX
• 例9.3 利用例9.1资料已知20岁男青年身高 与前臂长之间存在直线相关关系，现求身 高与前臂长的直线回归方程。
• 计算公式为：
l XX
X2
( X )2 n
lYY
Y 2
(Y )2 n
l XY
XY
( X )(Y ) n
• 例9.1 某研究者测量10名20岁男青年身高 与前臂长。见表9-1。问身高与前臂长有无 直线相关关系？
• 计算步骤：
• （1）由原始数据绘制散点图9-2，本资料 呈直线相关趋势。
同。
第二节 直线回归
• 一、直线回归的概念
• 1。回归：反映两变量数量依存的关系，即 指由一个变量推算另一个变量的数量关系。 直线回归是回归分析中最基本最简单的一种 ，故又称简单回归（simple regression）
Yˆ a bX 。
• 2。反映回归关系的方程称为直线回归方程 。式中 Yˆ 为应变量Y的估计值，a 为回归直线Y轴上的
X （2）
等级 （3）
肝癌死亡率（1/10 万）
Y
等级
（4）
（5）
0.7
1
21.5
3
1.0
2
18.9
2
1.7
3
14.4
1
3.7
4
46.5
7
4.0
5
27.3
4
5.1
6
64.6
9
5.6
7
46.3
6
5.7
8
34.2
5
5.9
9
77.6
10
10.0
10
55.1
8
—
—
—
—
d
（6）
-2 0 2 -3 1 -3 1 3 -1 2 —
第9章直线相关与回归 目录
第一节 直线相关 第二节 直线回归 第三节 进行直线相关与回归应注意的 问题 第四节 等级相关
第五节 曲线直线化
第九章 直线相关与回归
第一节 直线相关
1。当两事物或现象在数量上的协同变化呈直 线趋势时则称为直线相关（linear
correlation）,又称简单相关（simple correlation），用于分析双变量正态分布 资料。表示两变量相关关系的重要指标就
• （3）求回归系数b
和截距a
b lXY 226 0.2348 l XX 962 .5
a Y bX 45.4 0.2348172.5 4.897
（4）列出回归方程
将求出的 a 和 b
代入公式（9.7）得
Yˆ 4.897 0.2348 X
• 三、回归直线的绘制
• 在自变量X的实测值范围，任意指定相距较
1 r2 Sr n 2
• 例9.2 对例9.1资料所得r值，检验20岁
男青年身高与前臂长是否有直线相关关系
。
• （1）建立检验假设
Ho：ρ＝0 ,两变量间无直线相关关系 H1：ρ≠0 ,两变量间有直线相关关系
• α＝0.05
• （ 按公2）式计t（ 算91.tr5值r）2 和本公10.式例08.282（2n72=7912.06，）4.09r计=0算.8t2值27 ，
HH01： ：ββ=≠00,,即即身身高高与与前前臂臂长长无有直直线线回回归归关关系系
α=0.05
（ 2 ）计 算t 值 前面 已经求 得 lXX=962.5 ，
lXY(Y=2Yˆ2)26，lYY l llYXX2YXY =7788.4.492，6226.25代 25入.33公式（9.13）有
SYX
(Y Yˆ)2 n2
25.33 1.78 10 2
Sb
SYX l XX
1.78 0.0574 962.5
tb
b0 Sb
b Sb
0.2348 0.0574
4.09
• （3）确定P值，作出推断结论 本例υ =10-2=8 ， 查 附 表 2 ， t 界 值 表 得 t0.005(8)=3.833, 现 t>t0.005(8) ， 故 P<0.005
个范围，X与Y就不一定仍然呈线性关系。
7. 同一组资料由X推Y和由Y推X的直线回归
方程是不同的。
•由X推Y： 回归系数
截距
bYX
l XY l XX
a Y bYX X
回归方程
Yˆ a bYX Xˆ
由Y推X：
数
回 归 系bXY
l XY lYY
•截 距 a X bXYY
•回归方程 Xˆ a bXY Y
• 回归系数b为样本回归系数，假设在总体回 归系数β=0的总体中抽样，得出样本的b不
一定为0，因此需作总体回归系数β是否为
0的假设检验，常用t检验或方差分析。因
方差分析计算较为繁琐不在此讲述。
tb
|b0| Sb
|b| Sb
• Sb为回归系数的标准误，Syx为各观察值 Y 距回归直线的标准差，即剩余标准差；为
称为负相关。当│r│愈接近1，表示两变量 的相关愈密切；当│r│愈接近0时，表示两 变量相关程度愈低；当│r│＝0时，称为零
相关，表示两变量无直线相关关系，见示意 图9-1。
• 一般认为，当样本含量较大的情况下（
n>100），大致可按下列标准估计两变量相
关的程度
│r│≥0.7 高度相关
0.7>│r│≥0.4 中度相关
是相关系数。
一、相关系数的意义
• 相关系数(correlation coefficient)又称为
积差相关系数，用符号r表示。它描述两变量
间相关关系的密切程度和相关方向。其数值
1≥r≥－1，当r为正值时，表示一变量随另 一变量的增加而增加称为正相关；当r为负值
时，表示一变量随另一变量的增加而减少，
298525 ∑X2
Y2
(4)
2025 1764 1936 1681 2209 2500 2209 2116 2401 1849
20690 ∑Y2
XY
(5)
7650 7266 7040 6355 8131 9400 8366 8418 8820 7095
78541 ∑XY
• （2）根据表9-1原始数据计算出∑X，∑Y ，∑X2，∑Y2，∑XY 。
8. 建立Fra Baidu bibliotek归方程的条件（时间、地点、方法、测量仪 器等）一旦改变，原回归方程就不宜继续使用。
第四节 等级相关
❖当遇到有些资料并不呈正态分布，对于此 类资料就不宜用上述所讲的直线相关与回 归分析，而常用等级相关处理资料。
❖等级相关（rank correlation）亦称为秩 相关，适用于分布类型不明的资料、偏态 分布资料和等级资料的相关分析。本节主 要介绍Spearman等级相关法。
0.4>│r│≥0.2 低度相关
图9-1 相关系数示意
第一节 直线相关
• 二、相关系数的计算
• 相关系数r的计算公式：
r
（X X )(Y Y )
l XY
( X X )2 (Y Y )2
l XX lYY
• 式中lXX与lYY分别为变量X与Y的离均差平方和，lXY为两 变量X 、Y的离均差积和。
• 计算步骤：
• （1）列回归系数计算表同表9-1，求出ΣX ，ΣY ，ΣXY ， X2 ， ΣY2 。
• 本例ΣX=1725 ，ΣY=454 ，ΣXY=78541 X，ΣXX2=219782552517，2.Σ5 Y2=2Y0690Y。 前45面4 已45经.4
计算n出 lx1x0=962.5 ，lxy=226n 10
表9-1 身高与前臂长数据与计算表
身高(cm) X
(1)
170 173
160 155
173 188 178
183 180 165
1725 ∑X
前臂长(cm) Y
(2)
45 42
44 41
47 50 47
46 49 43
454 ∑Y
X2
(3)
28900 29929 25600 24025 29929 35344 31684 33489 32400 27225
• 4.直线相关与回归的区别
• ①在资料需求上，相关分析要求两变量X 与Y均为服从正态分布的随机变量，即两者 都不能预先指定；回归分析要求Y是正态随 机变量，而X可以不是正态随机变量而是一 确定值，此时回归分析称为Ⅰ型回归，X也
可以是正态随机变量，此时回归分析称为 Ⅱ型回归。
• ②在意义上，相关反映两变量的相关关系 ；回归反映两变量间的依存关系。
XY
( X )(Y ) n
78541 1725 454 10
226
• （4）求相关系数r
r lXY
226
0.8227
lXX lYY 962.5 78.4
• 三、相关系数的检验假设
• 检验r是否来自总体相关系数ρ为零的总体
。
• 1。t 检验法 t检验的计算公式
t |r0| |r|
Sr
Sr
• （三）利用回归方程进行统计控制
• 通过X取值来控制Y的变化。
第三节 进行直线相关与回归分
析时
• 1.作相关回应归注分析意要的有问实际题意义。不要把
毫无联系的两种现象作相关回归分析。
• 2.相关关系不一定是因果关系，也可能是 伴随关系。
• 3.在进行直线相关与回归分析之前，应先 绘制散点图，当观察到点的分布呈直线趋 势时，方可进行分析，如散点图呈曲线趋 势，应进行曲线回归分析。
• ③在应用上，说明两变量间的相关程度及
• 5. 相关与回归的联系
• ①在同一组数据，相关系数r与回归系数b
的符号一致。
• ②同一组数据，r与b的假设检验是等价的 ，即tr=tb。因r的假设检验可直接查表，较 为简便，故可代替b的假设检验。
• 6. 回归方程一般只适用于自变量X的原始
数据范围内，不能任意外延。因为超出这
d2
（7）
4 0 4 9 1 9 1 9 1 4 42
剩余平方和，它反映X对Y的线性影响之外
的因素对Y的变异作用。在散点图中，各实
测点离回归直线越近，越小，说明直线回
归的估计误差越小。
Sb
SYX l XX
SYX
(Y Yˆ)2 n2
(Y
Yˆ)2
lYY
l
2 XY
l XX
例9.4 根据例9.3所得b值，检验身高与前臂
长是否有直线回归关系。
（1）建立检验假设
。 按α=0.05的水准，拒绝Ho，接受H1，可 认为20岁男青年身高与前臂长有直线回归
关系。
• 五、直线回归方程的应用 • （一）描述两变量间的依存关系 • 可用直线回归来描述 。Yˆ 4.897 0.2348 X • （二）利用回归方程进行预测
• 将X代入直线回归方程，可得到应变量Y的
估计值。
。
• 例9.5在肝癌病因研究中，某地调查了10个 乡肝癌死亡率（1/10万）与某种食物中黄 曲霉毒素相对含量，见表9-2。试分析黄曲 霉毒素相对含量与肝癌死亡率有无相关的 关系。
• 表9-2 黄曲霉毒素相对含量与肝癌死亡
乡编 号
(1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计
率
黄曲霉毒素相对含量
n2
10 2
• （3）确定P值，作出推断结论
按υ
＝n-2=8查t界值表，得 0.002<P<0.005，
按α ＝0.05水准，拒绝Ho，接受H1，故可
认为20岁男青年身高与前臂长呈正直线相
关关系。
• 2.查表法 查附表14, r界值表列出了相关 系数r与0差别显著性的判断界值，按自由 度 ＝ n-2 查 r 界 值 表 ， 当 r≥rα,n-2 时 ， 则 P≤α ；反之，r＜ rα,n-2 时，则P＞α 。 本例r＝0.8227，大于r0.05(8)＝0.738 ，故 P<0.05。r值有意义。检验结果与t检验相
• 其分析步骤如下：
• 1. 先将 X、Y 分别由小到大列出等级，即
编秩次，数字相同时需要求平均等级；
• 2. 求出每一对 X、Y 的等级之差 d 值； • 3. 按下列公式计算等级相关系数 rs
式d2中为r等s 为级等之级差相，关n 系为数样，
本含量。
rs
1
6d2 n(n2 1)
• 4. 根据n查附表15，rs界值表，确定P值。 如rs≥ rα ，n ，，则P≤α ，说明X、Y两 变量相关有统计学意义；如rs< rα ，n ，则 P>α ，说明X、Y两变量相关无统计学意义
远且易读的两个数值，代入直线回归方程
，求出相应的Y的估计值，确定两点，用直 线连接。如本例取X1=155，则 ；X2=185，
则。在图上确定（155，41.291）和（185 ，48.335）两个点，直线连接，即得出直 线回归方程的图形，
图9-2
20岁男青年身高与前臂长散点 图
• 四、回归系数的假设检验