用样本估计总体(最新课件)

[针对训练] 某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长 势情况，从两块地各随机抽取了 10 株树苗，用茎叶图表示上 述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数 x 甲、 x 乙和中 位数 y 甲、y 乙进行比较，下面结论正确的是
甲
乙
910
9 5 3 1 02 6
7 3 23 0 0 4 7
运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ________．
[解析]
对于甲，平均成绩为
－x
＝90，所以方差为s2＝
1 5
×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]
＝4；对于乙，平均成绩为
－x
＝90，方差为s2＝
1 5
×[(89－90)2
＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.由于
2<4，所以乙的平均成绩较为稳定． 计算一定
[答案] 2
要准啊！
[类题通法] 1．用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体 的平均数、标准差的近似．实际应用中，需先计算数据的平 均数，分析平均水平，再计算方差(标准差)分析稳定情况． 2．若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数 据，再计算平均数、方差(标准差)；另一方面，可以从图形 直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并 利用数据的波动性大小比较方差(标准差)的大小．
[典例] 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一
次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位
数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为
中位数的 含义是什 么？
( 甲组 乙组
909 x 215 y 8
)பைடு நூலகம்
平均数的含 义是什么？
7 424
A．2,5 C．5,8
B．5,5 D．8,8
统计分析，绘成茎叶图如图所示．据此估计两个班成绩的中
位数的差的绝对值为
()
甲
乙
86 3 7 2 5 77 2 8 1 3 9
32 9 568 7 10 9
A．8
B．5
C．4
D．2
解析：甲、乙两班成绩按大小顺序排列，处在最中间的数
分别为87、89，故它们之差的绝对值是2. 答案：D
[典例] 抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成 绩(单位：环)，结果如下：
用样本估计总体
统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体
知识点
1．统计图表 (1)常见的统计图表有条形统计图、扇形统计图 、折线统计图 ． (2)条形统计图的特点：数据量很大时，能直观地反映数据分 布的大致情况，且能清晰地表示出 各个区间的具体数目 ．
(3)茎叶图表示数据有两个突出的优点： ①统计图上没有信息的损失 ，所有的原始数据都可以从这 个茎叶图中得到； ②茎叶图可以随时记录，方便表示与比较．但是，当数据 量很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观，清晰了．
2．频率分布直方图 (1)作频率分布直方图的步骤： ①求极差(即一组数据中_最__大__值__与_最__小__值__的差)； ②决定_组__距__与_组__数__；
③将数据_分__组__； ④列_频__率__分__布__表__； ⑤画_频__率__分__布__直__方__图__． (2)频率分布折线图和总体密度曲线： ①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上 端的_中__点__，就得频率分布折线图． ②总体密度曲线：随着样__本__容__量__的增加，作图时所 __分 __组 __数 __ 增加，_组__距__减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑 曲线，即总体密度曲线．
3．样本的数字特征
数字特征
定义
众数
中位数
平均数 方差
在一组数据中，出现次数_最__多__的数据叫做这组数 据的众数
将一组数据按大小依次排列，把处在_最__中__间__位置 的一个数据(或最中间两个数据的平_均__数____)叫做这组 数据的中位数
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 的面积_相__等__ 样本数据的算术平均数．即 x ＝_n1_(_x_1＋__x_2_＋__…__＋__xn_)_
(1)直方图中 x 的值为________； (2)在这些用户中，用电量落在区间 [100,250)内的户数为 ________．
解析：(1)根据频率和为 1，得(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x ＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得 x＝0.004 4； (2)(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70. 答案：(1)0.004 4 (2)70 [类题通法]
[课堂练通考点]
1．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生， 将他们的模块测试成绩分成 6 组：[40,50)，[50,60)，[60,70)， [70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率 分布直方图．已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该 模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 ()
在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组 距，每个小矩形的面积等于这一组的频率，所有小矩形的面 积之和为1.
[典例] 小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食
品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分
比为
()
A．30% 图1 C．3%
B．10%
图2
D．不能确定
[解析] 由图1得到小波一星期的总开支，由图2得到小波一星
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的 差是逐年增大的，故①正确；“生活 费收入指数”2010～ 2011年变化最大，故②正确；“生活价格指数”在2011～ 2012年最平缓，故③不正确；由于在2012～2013年“生活价 格指数”略呈下降趋势，而“生活费收入指数”曲线呈上升 趋势，故④正确。 答案：C
(24－16.8)2]＝23.76.
[类题通法] 茎叶图的优缺点
由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同 频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是 从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点 是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时， 作图较繁琐．
[针对训练] 一次数学测验后，从甲、乙两班各抽取 9 名同学的成绩进行
A．45
B．50
C．55
D．60
解析：成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是 0.1,0.2，则低
于 60 分的频率是 0.3.设该班学生总人数为 m，则1m5＝0.3，
m＝50. 答案：B
3．从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量 都在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示．
A．588 C．450
B．480 D．120
解析：由频率分布直方图可得，该模块测试成绩不少于 60 分 的学生人数为 600－(0.005＋0.015)×10×600＝480.
频率 2．易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为组距. 3．在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现 的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．
[试一试] 1．为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中 100
株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率
分布直方图如图所示，那么在这片树木中，底部周长小于
图如图．则该同学数学成绩的方差是 ( ) 11 4
A．125
B．5 5
12 6 8 13 2
C．45
D．3 5
解析：由茎叶图知平均值为114＋126＋4 128＋132＝125，∴s2＝
14[(125－114)2＋(125－126)2＋(125－128)2＋(125－132)2]＝45.
答案：C
方法归纳
C．163
D．164
解析：由给定的茎叶图可知，这 10 位同学身高的中位数为
161＋2 163＝162. 答案：B
2．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生 的体重情况，将所得的数据整理后，画出 了频率分布直方图(如图)，已知图中从左 到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3， 第 2 小组的频数为 12，则报考飞行员的学生人数是________． 解析：据图可得第四组及第五组的频率之和为 5×(0.013＋ 0.037)＝0.25，故前 3 个小组的频率之和为 1－0.25＝0.75，即 第 2 小组的频率为 0.75×26＝0.25，又其频数为 12，故样本容 量为01.225＝48. 答案：48
要明确信息中所给出数据的含义．
[针对训练] 如图是一份统计图，根据此图得到的以
下说法中，正确的个数是
()
①这几年居民生活水平逐年得到提高；
②居民生活费收入增长最快的一年是
2010年；③生活价格指数上涨速度最快
的一年是2011年；④虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于
生活价格略有降低，因而居民生活 有较大的改善．
利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出 错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方 图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
110 cm 的株数大约是