浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试数学试题
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A． B． C． D．
9．如图所示，在顶角为 圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为 的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于 ，则截面所表示的椭圆的离心率为( )
（注：在截口曲线上任取一点 ，过 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点 ，由相切的几何性质可知， ， ，于是 ，为椭圆的几何意义）
浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．已知 ，设集合 ， ，则 ( )
4．C
【解析】
【分析】
由题意逐项判断即可得解.
【详解】
“经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”为立体几何公理，
“经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面”为该公理的推论.
故选：C.
【点睛】
本题考查了立体几何公理，关键是对于公理的识记，属于基础题.
5．C
【解析】
【分析】
表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。
（1）求 的通项公式；
（2）若 ， ， 既成等比数列，又成等差数列.
（i）求 的通项公式；
（ii）对于数列 ，若 且 ，或 且 ，则 为数列 的转折点，求 的转折点个数.
21．已知抛物线 和 轴上的定点 ，过抛物线焦点作一条直线交 于 、 两点，连接 并延长，交 于 、 两点.
（1）求证：直线 过定点；
12． 的二项展开式中系数最大的是第三项，且 ，则 ______，展开式中二项式系数最大的是第______项.
13．设实数 满足条件 ， ，则可行域面积为______， 最大值为______.
14．已知三角形 的外接圆半径为 ，外接圆圆心为 ，且 点满足 ，则 ______， ______.
评卷人
得分
2．D
【解析】
【分析】
根据数列中的项和通项公式逐项排除即可得解.
【详解】
当 时， ，而 ， ，故排除B、C选项；
当 时， ，而 ，故可排除A选项.
故选：D.
【点睛】
本题考查了数列通项的应用和复数的运算，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
由三视图还原出几何体为一个长方体截去一个三棱锥和一个半圆柱构成，分别求出各部分体积即可得解.
C．对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ)D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>
6．以下方程能表达该图象的是( )
A． B．
C． D．
7．设函数 ，则“ ”是“ 与 ”都恰有两个零点的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知 ，则 的最小值为( )
评卷人
得分
四、解答题
18．三角形 的内角 所对的边分别是 ，且 .
（1）若三角形是锐角三角形，求 的取值范围；
（2）若 ， ，求三角形 的面积.
19．在四面体 中，已知 ， .
（1）当四面体体积最大时，求 的值；
（2）当 时，设四面体 的外接球球心为 ，求 和平面 所成夹角的正弦值.
20．已知 是一个单调递增的等比数列， 是一个等差数列， 是 的前 项和，其中 ， ， 成等差数列， .
A． B． C． D．
10．已知 ， ，下列说法错误的是( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 恒成立D． 恒成立
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、双空题
11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.
A． B． C． D．
2．下列通项表达式中能表达数列 的是( )
A． B． C． D．
3．某几何体三视图如图所示（单位：cm），其左视图为正方形，则该几何体的体积（单位：cm3）是( )
A． B． C． D．
4．以下不是立体几何公理的是( )
A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
（2）求直线 与直线 最大夹角为 ，求 .
22．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，且关于 的方程 恰有三个实数根 ， ， ，求证： .
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
由题意 ， ，利用补集和交集的概念计算即可.
【详解】
由题意 ，
，
所以 ， .
故选：A.
【点睛】
本题考查了对数型复合函数的定义域和值域的求解，考查了集合的运算，属于基础题.
【详解】
解：依题意可得 ，
因为
所以 即 故 ， 错误；
即 ，故 成立；
故 错误
故选：
【点睛】
本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。
6．A
【解析】
【分析】
由图象的特征对比方程的性质，逐项排除即可得解.
【详解】
设点 为该图象上一点，
对于B，图象在第一象限存在点满足 即 ，此时 ，故B错误；
三、填空题
15．已知奇函数 的定义域为 且在 上连续.若 时不等式 的解集为 ，则 时 的解集为______.
16．已知在五位车牌中，字母最多有两个，且为防止混淆 和 ， 和 ，车牌中不设置字母 和 ，则“浙A”的五位车牌最多有______块.
17．已知关于 的方程 恰有两个实数解，则实数 的取值范围是______.
【详解】
由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去一个三棱锥和一个半圆柱构成，
长方体的体积为 ；
截去的三棱锥有三个两两垂直的棱，长度分别为3，3，4，
则截去的三棱锥体积为 ；
截去的半圆柱的底面半径 满足 即 ，高为3，
则截去的半圆柱的体积为 ；
所以该几何体体积 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了三视图的识别和组合体体积的求解，属于基础题.
B．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线
C．经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面
D．经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
5．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( )
A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤
对于C，图象经过第二、四象限即存在点满足 的情况，则 ，故C错误；
对于D， ，Fra Baidu bibliotek 不在图象上，故D错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查了由图象识别方程，关键是找到选项的差异，属于基础题.
9．如图所示，在顶角为 圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为 的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于 ，则截面所表示的椭圆的离心率为( )
（注：在截口曲线上任取一点 ，过 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点 ，由相切的几何性质可知， ， ，于是 ，为椭圆的几何意义）
浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．已知 ，设集合 ， ，则 ( )
4．C
【解析】
【分析】
由题意逐项判断即可得解.
【详解】
“经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”为立体几何公理，
“经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面”为该公理的推论.
故选：C.
【点睛】
本题考查了立体几何公理，关键是对于公理的识记，属于基础题.
5．C
【解析】
【分析】
表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。
（1）求 的通项公式；
（2）若 ， ， 既成等比数列，又成等差数列.
（i）求 的通项公式；
（ii）对于数列 ，若 且 ，或 且 ，则 为数列 的转折点，求 的转折点个数.
21．已知抛物线 和 轴上的定点 ，过抛物线焦点作一条直线交 于 、 两点，连接 并延长，交 于 、 两点.
（1）求证：直线 过定点；
12． 的二项展开式中系数最大的是第三项，且 ，则 ______，展开式中二项式系数最大的是第______项.
13．设实数 满足条件 ， ，则可行域面积为______， 最大值为______.
14．已知三角形 的外接圆半径为 ，外接圆圆心为 ，且 点满足 ，则 ______， ______.
评卷人
得分
2．D
【解析】
【分析】
根据数列中的项和通项公式逐项排除即可得解.
【详解】
当 时， ，而 ， ，故排除B、C选项；
当 时， ，而 ，故可排除A选项.
故选：D.
【点睛】
本题考查了数列通项的应用和复数的运算，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
由三视图还原出几何体为一个长方体截去一个三棱锥和一个半圆柱构成，分别求出各部分体积即可得解.
C．对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ)D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>
6．以下方程能表达该图象的是( )
A． B．
C． D．
7．设函数 ，则“ ”是“ 与 ”都恰有两个零点的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知 ，则 的最小值为( )
评卷人
得分
四、解答题
18．三角形 的内角 所对的边分别是 ，且 .
（1）若三角形是锐角三角形，求 的取值范围；
（2）若 ， ，求三角形 的面积.
19．在四面体 中，已知 ， .
（1）当四面体体积最大时，求 的值；
（2）当 时，设四面体 的外接球球心为 ，求 和平面 所成夹角的正弦值.
20．已知 是一个单调递增的等比数列， 是一个等差数列， 是 的前 项和，其中 ， ， 成等差数列， .
A． B． C． D．
10．已知 ， ，下列说法错误的是( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 恒成立D． 恒成立
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、双空题
11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.
A． B． C． D．
2．下列通项表达式中能表达数列 的是( )
A． B． C． D．
3．某几何体三视图如图所示（单位：cm），其左视图为正方形，则该几何体的体积（单位：cm3）是( )
A． B． C． D．
4．以下不是立体几何公理的是( )
A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
（2）求直线 与直线 最大夹角为 ，求 .
22．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，且关于 的方程 恰有三个实数根 ， ， ，求证： .
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
由题意 ， ，利用补集和交集的概念计算即可.
【详解】
由题意 ，
，
所以 ， .
故选：A.
【点睛】
本题考查了对数型复合函数的定义域和值域的求解，考查了集合的运算，属于基础题.
【详解】
解：依题意可得 ，
因为
所以 即 故 ， 错误；
即 ，故 成立；
故 错误
故选：
【点睛】
本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。
6．A
【解析】
【分析】
由图象的特征对比方程的性质，逐项排除即可得解.
【详解】
设点 为该图象上一点，
对于B，图象在第一象限存在点满足 即 ，此时 ，故B错误；
三、填空题
15．已知奇函数 的定义域为 且在 上连续.若 时不等式 的解集为 ，则 时 的解集为______.
16．已知在五位车牌中，字母最多有两个，且为防止混淆 和 ， 和 ，车牌中不设置字母 和 ，则“浙A”的五位车牌最多有______块.
17．已知关于 的方程 恰有两个实数解，则实数 的取值范围是______.
【详解】
由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去一个三棱锥和一个半圆柱构成，
长方体的体积为 ；
截去的三棱锥有三个两两垂直的棱，长度分别为3，3，4，
则截去的三棱锥体积为 ；
截去的半圆柱的底面半径 满足 即 ，高为3，
则截去的半圆柱的体积为 ；
所以该几何体体积 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了三视图的识别和组合体体积的求解，属于基础题.
B．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线
C．经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面
D．经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
5．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( )
A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤
对于C，图象经过第二、四象限即存在点满足 的情况，则 ，故C错误；
对于D， ，Fra Baidu bibliotek 不在图象上，故D错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查了由图象识别方程，关键是找到选项的差异，属于基础题.