电子电工基础

第四章

空间力系

本章讨论了空间汇交力系的合成与平衡，介绍了力对点之矩与力对轴的矩的概念与计算，讨论了空间力偶系的合成与平衡，介绍了力对点的矩与力对轴的矩的概念与计算，讨论了空间力偶系的合成与平衡，利用力的平移定理，对空间任意力系进行了简化，得到了空间任意力系的简化结果，并对简化结果进行了分析，建立了空间任意力系的平衡方程，最后对重心的计算进行了讨论。

提示：本章的重点应放在空间任意力系的平衡问题上，而空间任意力系的平衡问题的计算主要是建立在力的投影与力对轴取矩的计算基础上，所以对空间力系的投影与力对轴取矩的计算要相当熟练。只要空间的概念建立了起来，本章的内容并不难。

一、学习要求

1．要求熟悉空间汇交力系、空间力偶系的合成结果；

2．熟悉空间任意力系简化的中间结果和最后结果，会计算主矢和主矩；

3．掌握力对点的矩的计算、力在坐标轴上的投影和力对轴的矩的计算；

4．熟练应用空间任意力系的平衡方程求解物体的平衡问题；

5．了解重心的概念及其计算方法。

二、基本内容

1．基本概念

1）力在空间直角坐标轴的投影

(a)直接投影法：已知力F和直角坐标轴夹角α、β、γ，则力F在三个轴上的投影分别为

α

=

X

F

c o s

β

Y

=

c o s

F

γ

Z

=

cos

F

(b)间接投影法（即二次投影法）：已知力F和夹角γ、ϕ，则力F在三个轴上的投影分别为

γc o s

ϕ

=

X

s i n

F

γs i n

ϕ

Y

=

F

s i n

γ

c o s F =Z 2)力矩的计算

(a)力对点之矩

在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为

k j i k j i

F r F M )()()()(0yX xY xZ zX zY yZ Z Y X z y x

-+-+-==⨯=

k j i F k j i r Z Y X z y x ++=++=

其中r 为力F 作用点的位置矢径

(b)力对轴之矩

在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即

OAB

h F M xy Z ∆±=±=2)(F

在直角坐标条下有

M x (F )=yZ -zY M y (F )=zX -xZ M z (F )=xY -yX

（c ）力矩关系定理 力对已知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。

在直角坐标系下有

M o (F )=M x (F )i +M y (F )j +M z (F )k

（d ）合力矩定理

空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即

M o (F R )=ΣM o (F )

空间力系的合力对任一轴（例如z 轴）之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即

M z (F R )=ΣM z (F )=Σ(xY -yX )

3）空间力偶及其等效条件

（a ）力偶矩矢

空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素（力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向），它可用力偶矩矢M 表示。力偶矩矢M 是个自由矢量，其大小等于力与力偶臂的乘积，方向与力偶作用面垂直，指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。

（b）力偶的等效条件：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。

2．空间力系的简化与合成的最终结果

1）空间力系向已知点O简化

空间力系向已知点O简化的一般结果为一个作用在O点的力和一个力偶，该力矢量等于此力系的主矢。该力偶的力偶矩矢量等于力系对简化中心O的主矩。主矢与简化中心的选取无关。一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。

2）空间力系合成的最终结果

空间力系的最终合成结果有四种可能：一个合力、一个合力偶、一个力螺旋和平衡，这四种结果可由力系的主矢和力系对任意一点的主矩来判断。具体归纳如下：

3．空间力系的平衡条件和平衡方程

空间力系平衡的充分与必要条件为：该力系的主矢和对任意点的主矩同时为零。其基本形式的平衡方程为：

ΣX=0 ΣM x(F)=0

ΣY=0 ΣM y(F)=0

ΣZ=0 ΣM z(F)=0

须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。具体应用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以简化计算。此外，还可以将投影

方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。使计算更为简便。

几种特殊力系的平衡方程

（a）空间汇交力系

ΣX=0

ΣY=0

ΣZ=0

（b）空间力偶系

ΣM x(F)=0

ΣM y(F)=0

ΣM z(F)=0

（c）空间平行力系（若各力//z轴）

ΣZ=0

ΣM x(F)=0

ΣM y(F)=0

（d）平面任意力系（若力系在Oxy平面内）

∑X

=

∑Y

=

∑F

M

(=

)

z

4．空间力系平衡方程的应用

求解空间力系平衡问题的要点归纳如下：

（1）求解空间力系的平衡问题，其解题步骤与平面力系相同，即先确定研究对象，再进行受力分析，画出受力图，最后列出平衡方程求解。但是，由于力系中各力在空间任意分布，故某些约束的类型及其反力的画法与平面力系有所不同。

（2）为简化计算，在选择投影轴与力矩轴时，注意使轴与各力的有关角度及尺寸为已知或较易求出，并尽可能使轴与大多数的未知力平行或相交，这样在计算力在坐标轴上的投影或力对轴之矩就较为方便，且使平衡方程中所含未知量较少。同时注意，空间力偶对轴之矩等于力偶矩矢在该轴上的投影。

（3）根据题目特点，可选用不同形式的平衡方程。所选投影轴不必相互垂直，也不必与矩轴重合。当用力矩方程取代投影方程时，必须附加相应条件以确保方程的独立性。但由