不等式的概念和基本性质

不等式的概念和基本性质

重点：不等式的基本性质

难点：不等式基本性质的应用

主要内容：

１．不等式的基本性质

（１）a>b b

（２）a>b,b>c a>c

（３）a+b

a>b a+c>b+c

（４）a>b

２．不等式的运算性质

（１）加法法则：a>b,c>d a+c>b+d

（２）减法法则：a>b,c>d a-d>b-c

（３）乘法法则：a>b>0,c>d>0ac>bd>0

（４）除法法则：a>b>0,c>d>0>>0

（５）乘方法则：a>b>0,a n>b n>0 (n∈N, n≥2)

（６）开方法则：a>b>0,>>0(n∈N, n≥2)

３．基本不等式

（１）a∈R,a2≥0 （当且仅当a=0时取等号）

（２）a,b∈R,a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）

（３）a,b∈R+,≥（当且仅当a=b时取等号）

（４）a,b,c∈R+,a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）

（５）a,b,c∈R+,≥（当且仅当a=b=c时取等号）

（６）|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

４．不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。

例１．对于实数a,b,c判断以下命题的真假

（１）若a>b, 则acbc2, 则a>b;

（３）若aab>b2; （４）若a|b|;

（５）若a>b, >, 则a>0, b<0．

解：（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。

（２）因为ac2>bc2, 所以c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题。

（３）因为所以a2>ab①

又所以ab>b2②

综合①②得a2>ab>b2

故原命题为真命题．

（４）两个负实数，绝对值大的反而小．故原命题为真命题．

（５）因为所以

所以从而ab<0

又因a>b所以a>0, b<0．

故原命题为真命题．

例２．已知f(x)=ax2-c且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5, 求f(3)的范围．

解：由题意可知：∴

∴f(3)=9a-c=f(2)-f(1)∴运算可知-1≤f(3)≤20

错解：依题设有①消元，得②

∵f(3)=9a-c∴-7≤f(3)≤26

错因：根源在于不等式组①与不等式组②并不等价，不等式组②扩大了不等式组①的解的范围，同向不等式在多次相加时要谨慎，一定要检查其同解性．