专题3.9 函数的应用(一)(精讲精析篇)(解析版)

专题3.9函数的应用（一）（精讲精析篇）

提纲挈领

点点突破

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．

主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.

数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.

在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．

学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．

现阶段主要研究一次函数型、二次函数型、分式函数型及分段函数型

热门考点01 一次函数型

y＝kx＋b (k＞0)在定义域是增函数，其图象直线上升.

【典例1】（2020·云南省高一期末）小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x（元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.

（1）把y 表示为x 的函数；

（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数；

（3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）

【答案】（1）()

()2140,4060150,60802

x x y x x ⎧-+≤≤⎪

=⎨-+<≤⎪⎩（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月

利润最大 【解析】

（1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+， 由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上，

∴40606020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2

140a b =-⎧⎨=⎩

，

∴当4060x ≤≤时，2140y x =-+． 同理，当6080x <≤时，1

502

y x =-

+． ∴所求关系式为()()2140,40601

50,6080.2

x x y x x ⎧-+≤≤⎪

=⎨-+<≤⎪⎩ （2）设该店有职工m 名，

当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -⨯=-+-=元， 又该店的总支出为1000m+10000元， 依题意得40000=1000m+10000, 解得：m=30.

所以此时该店有30名员工． （3）若该店只有20名职工，

则月利润

()()()

()() 21404010030000,4060

1

504010030000,6080 2

x x x

S

x x x ⎧-+-⨯-

≤≤

⎪

=⎨⎛⎫

-+-⨯-<≤

⎪

⎪

⎝⎭

⎩

①当4060

x

≤≤时，()2

25515000

S x

=--+，

所以x=55时，S取最大值15000元；

②当6080

x

<≤时，()2

1

7015000

2

S x

=--+，

所以x=70时，S取最大值15000元；

故当x=55或x=70时，S取最大值15000元，

即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大．

【规律方法】

解决函数应用问题重点解决以下几点：

（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；

（2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域；

（3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值；

（4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．

【变式探究】某城市为保护环境、维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月用水超过8吨，超过部分加倍收费．若某职工某月缴水费20元，则该职工这个月实际用水()

A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨

【答案】D

【解析】

设用水吨时，对应的收费为，

则由题意知，当，此时最多缴费16元．

当，超出部分为

即

∴该职工这个月实际用水8，

∴由 ，

即， 解得

（吨），

故选：D ．

热门考点02 二次函数型

【典例2】（2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（01x <<），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售

量增加的比例为

，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．

（1）写出本年度预计的年利润

与投入成本增加的比例的关系式；

（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？

【答案】（1）2

6000200020000y x x =-++，(01)x <<；（2）1

(0,)3

．

【解析】

（1）由题意得：[12(10.75)10(1)]10000(10.6)y x x x =+-+⨯⨯+，(01)x <<，

整理得：2

6000200020000y x x =-++，(01)x <<

（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须(1210)100000y --⨯>，(01)x << 即2600020000x x -+>，(01)x <<． 解得103

x <<

，所以投入成本增加的比例应在1

(0,)3范围内．

【规律方法】函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际情况，列出函数解析式，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．, 【变式探究】

（2020·上海高一课时练习）国家收购某种农产品的价格为120元/t ，其中征税标准为每100元征收8元（称税率为8个百分点），计划可收购a 万t ，为减轻农民负担，决定降低税率x 个百分点，预计收购量可增加2x 个百分点.

（1）写出降低税率后，税收y （万元）与x 的关系式；

（2）要使此项税收在税率调整后不低于原计划的78%，试确定x 的范围. 【答案】（1）()()()12012%8%08y a x x x =+-<≤；（2）02x <≤