26.2(2)_特殊二次函数的图像
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特殊二次函数的图象PPT课件
第12页/共16页
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点（0，0）.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点 （0，0）是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点 （0，0）是抛物线的最高点;
y
a>0
o
x
第13页/共16页
抛物线y=-x2 与y轴的交点是原点(0,0); 除这个交点外,抛物线上的所有点都 在x轴的下 方,这个交点是抛物线的最高点.
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 顶点.抛物线 y=-x2 的顶 3 4 5 x -2
-3 -4
-5 -6 -7 -8 -9
它是轴对称图形,对称轴是y轴,即直线x=0.
y 10
9 8
抛物线y=x2 与y轴的交点是原点O(0,0);
7
6
除这个交点外,抛物线上的所有点都
5
在x轴的上方,这个交点是抛物线的最低点.
4 3
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的
2
顶点.抛物线 y=x2 的顶点是原点O(0,0).
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
-10
第8页/共16页
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 21x2和y=2x2的图像
解: (1) 列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 描点
y=
1 2
x2
…8
2
0
2
8…
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点（0，0）.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点 （0，0）是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点 （0，0）是抛物线的最高点;
y
a>0
o
x
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抛物线y=-x2 与y轴的交点是原点(0,0); 除这个交点外,抛物线上的所有点都 在x轴的下 方,这个交点是抛物线的最高点.
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 顶点.抛物线 y=-x2 的顶 3 4 5 x -2
-3 -4
-5 -6 -7 -8 -9
它是轴对称图形,对称轴是y轴,即直线x=0.
y 10
9 8
抛物线y=x2 与y轴的交点是原点O(0,0);
7
6
除这个交点外,抛物线上的所有点都
5
在x轴的上方,这个交点是抛物线的最低点.
4 3
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的
2
顶点.抛物线 y=x2 的顶点是原点O(0,0).
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
-10
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例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 21x2和y=2x2的图像
解: (1) 列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 描点
y=
1 2
x2
…8
2
0
2
8…
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
26.2(2)(3)特殊二次函数的图像
巩固训练
3、 (1)抛物线y x 向
2
平移
个单位就可以
2 得到y （x 1 ） 1 2 (2)抛物线y x 向 平移 个单位就 2 1 2 可以得到y （x 2） 2 (3)抛物线y ax 2 (a 0)向 平移 个单位
就可以得到y a ( x 2) 2 (4)抛物线y ax (a >0)向
26.2特殊二次函数的图像（2）
教学目标：
1.理解和掌握二次函数y=ax2 +c的图像并从图像观察出二次函 数y=ax2 +c的性质. 2.通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力
教学重点：
通过二次函数y=ax2 +c的图像总结出有关性质
教学难点：
二次函数y=ax2 +c的图像和性质
教材分析：
总结归纳
抛物线y a( x m) 2 (其中a、m是常数，且a 0) 对称轴:直线x m， 顶点坐标:(m, 0)， 当a 0时，抛物线开口向上， 顶点是抛物线的最低点； 当a 0时，抛物线开口向下， 顶点是抛物线的最高点.
巩固训练
1、函数y=ax2与函数y= -3x2图像的形状相同， 开口方相反.将函数y=ax2图像沿y轴方向向上平 移2个单位，所得的函数 . 2、函数y= -4x2+1图像是 ，开口 ，对 称轴是 ，顶点坐标 ，它的图像有最 __点，此图像由y=-4x2的图像向 平移____ 个单位得到的.
议一议
1 2 函数y x 和 2 1 2 y x 2图像的 2 开口方向、对称轴、 顶点坐标？
总结归纳
抛物线y=ax2+c(其中a,c是常数,且 像a≠0)的图形特征
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
2020-2021年九年级下册华东师大版数学习题课件 26.2.2 第5课时二次函数最值的应用
二次函数的最值在实际生活中的应用
5．(3分)一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)与飞行时间t(秒)满足 函数关系h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( C ) A．1米 B．5米 C．6米 D．7米 6．(3分)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形 ABCD的最大面积是( C ) A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2
解：(1)设 AD＝x 米，则 AB＝1002－x .依题意，得x（1002－x） ＝450， 解得 x1＝10，x2＝90.∵a＝20，且 x≤a，∴x＝90 舍去，∴利用旧墙 AD 的长为 10 米
(2)设 AD＝x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米，①如果按图① 方案围成矩形菜园，依题意，得 S＝x（1002－x） ＝－12 (x－50)2 ＋1 250，0<x≤a，∵0<a<50，∴x≤a<50 时，S 随 x 的增大而增 大，当 x＝a 时，S 最大＝50a－12 a2.
【素养提升】 14．(24分)(教材P20试一试变式)空地上有一段长为a米的旧墙MN，某 人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米． (1)已知a＝20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且 围成的矩形菜园面积为450平方米．如图①，求所利用旧墙AD的长； (2)已知0<a<50，且空地足够大，如图②.请你合理利用旧墙及所给木栏 设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求出面积的 最大值．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)设计费能达到24 000元吗？为什么？ (3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
26.2.2 第1课时 二次函数y=ax_ k的图象和性质 课件华东师大版数学九年级下册
|a|越大，抛物线的开口越小 .
y
8
6
4
2 O -4 -2 -2
-4
-6
-8
y=ax2 2 4x
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y =
1 2
x2
，
y
=
1 2
x2 +1 的图象。
解：先列表：
然后描点画图：
观察所画图象，有什么异同？ 它们的开口方向、对称轴、 顶点坐标是什么？
–1
–2
开口方向都是向下 对称轴都是 y 轴
–3
y = - 1 x2 的顶点坐标是（0,0）
–4
3
–5
y = - 1 x2 - 2 的顶点坐标是（0,-2）
3
123
y = - 1 x2 - 2 3
4x教材P10 练习 第2题】
2. 试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线
2
y = 1 x2 2
的图象，再作比较，指出它们的
联系与区别.
y
6 y = 1 x2
5
2
4
y = 1 x2 - 2
3
2
2
1
–4 –3 –2 –1 –1
–2
1234x
函数 y = 1 x2 - 2 的图象可以看成是
2
由函数 y = 1 x2 的图象经过怎样的
2
平移得到的？试说出它的开口方向、
y
6 y = 1 x2
y
4
3
2
y = - 1 x2 +4
3
1
–4 –3 –2 –1
1234x
–1
–2
y
8
6
4
2 O -4 -2 -2
-4
-6
-8
y=ax2 2 4x
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y =
1 2
x2
，
y
=
1 2
x2 +1 的图象。
解：先列表：
然后描点画图：
观察所画图象，有什么异同？ 它们的开口方向、对称轴、 顶点坐标是什么？
–1
–2
开口方向都是向下 对称轴都是 y 轴
–3
y = - 1 x2 的顶点坐标是（0,0）
–4
3
–5
y = - 1 x2 - 2 的顶点坐标是（0,-2）
3
123
y = - 1 x2 - 2 3
4x教材P10 练习 第2题】
2. 试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线
2
y = 1 x2 2
的图象，再作比较，指出它们的
联系与区别.
y
6 y = 1 x2
5
2
4
y = 1 x2 - 2
3
2
2
1
–4 –3 –2 –1 –1
–2
1234x
函数 y = 1 x2 - 2 的图象可以看成是
2
由函数 y = 1 x2 的图象经过怎样的
2
平移得到的？试说出它的开口方向、
y
6 y = 1 x2
y
4
3
2
y = - 1 x2 +4
3
1
–4 –3 –2 –1
1234x
–1
–2
26.2特殊二次函数的图像(3)ppt课件
4
O
x
（一）二次函数 y1(x1)2 的图像特征
2
两条抛物线的开口方向和开口大小一样吗？
一样，因为2个函数的a值相同
它们的顶点坐标一样吗？对称轴一样吗？
都不一样，y
1 2
x2
的顶点是(0,0),
对称轴是y轴(直线x=0)
y1(x1)2的顶点是(-1,0),对称轴是直线 x= -1
2
如何平移抛物线 y 1 x2 ，
2．二次函数y=7（x+m）2的图像关于直线x= -5对称，那么 图像的顶点坐标是 (-5,0) .
3. 抛物线 y=x2绕顶点旋转180°后，再向右平移3个单位得
到
y= -(x-3)2
的抛物线
.
4.你可以将抛物线 y＝-3(x-1)2经过平移得到抛物线 y＝-3x2
吗？你是如何做到的？ 向左平移1个单位
26.2 特殊二次函数的图像（3）
最新版整理ppt
1
复习引入
抛物线 y ax 2 经过上下平移,可以得到抛物线_y___a__x_2__ c
平移规律
1）当c>0时，将抛物线y=ax2向_上__平移_|_c_| 个单位得到 抛物线y=ax2+c
2）当c<0时，将抛物线y=ax2向_下__平移_|_c_| 个单位得到
2
使得它和抛物线 y1(x1)2
2
重合？
y y
1(x1)2
2y 1 x2 2来自向左平移1个单位最新版整理ppt
5
O
x
归纳小结 ：
1.二次函数y 1 ( x 1)2
2
的图像，是由二次函数 y
1 2
x2
图像向_左___平移_1___个单位得到的；
26.2.2二次函数y=ax^2+k的图像与性质
华东师大版《数学 ·九年级（下）》
§26.2.2二次函数的图象
y=ax2+k 的图象和性质
第二课时
1
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y 向上 (0 ,0) y轴 x
O
a<0 y x
开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性
向下 (0 ,0) y轴
左增右减
左减右增
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
10
y
8
y=x2+1 y=x2
-10 -5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
O
-2
x
10
2
y=-x2
y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
y=x2-2
5
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ； 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
x=0时,y最小=k
x=0时,y最大=k
抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 是 最大值是 ，在___ 侧，y随着x的增大而减小，当x= ____
§26.2.2二次函数的图象
y=ax2+k 的图象和性质
第二课时
1
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y 向上 (0 ,0) y轴 x
O
a<0 y x
开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性
向下 (0 ,0) y轴
左增右减
左减右增
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
10
y
8
y=x2+1 y=x2
-10 -5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
O
-2
x
10
2
y=-x2
y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
y=x2-2
5
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ； 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
x=0时,y最小=k
x=0时,y最大=k
抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 是 最大值是 ，在___ 侧，y随着x的增大而减小，当x= ____
26.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质PPT课件(华师大版)
第26章 二次函数
26.2 二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
学习目标
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-
h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. （重点）
导入新课
复习引入
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当x> b 时，y随x的增大而增大.
2a
O
x
(2) 如大果；a当<x0>,当 x2b<a 时2ba，时y随，xy的随增x的大增而大减而小增.
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减
小，则实数b的取值范围是（ ）
D
A．b≥－1
B．b≤－1
? ?
最值
最大值0 最大值-5 最大值0 最大值-4
最小值3 ? ?
讲授新课
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ y 1 x2 6x 21
2
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的情势？ 2
D
A.y轴 C. 直线x=2
B.直线x= 5
2
D.直线x= 3
2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
y
示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0； （4）当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 （2.）
26.2 二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
学习目标
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-
h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. （重点）
导入新课
复习引入
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当x> b 时，y随x的增大而增大.
2a
O
x
(2) 如大果；a当<x0>,当 x2b<a 时2ba，时y随，xy的随增x的大增而大减而小增.
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减
小，则实数b的取值范围是（ ）
D
A．b≥－1
B．b≤－1
? ?
最值
最大值0 最大值-5 最大值0 最大值-4
最小值3 ? ?
讲授新课
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ y 1 x2 6x 21
2
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的情势？ 2
D
A.y轴 C. 直线x=2
B.直线x= 5
2
D.直线x= 3
2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
y
示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0； （4）当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 （2.）
3、26.2(2)特殊二次函数(y = ak2 + c)的图像
中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上
（1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； （2）问在抛物线上是否存在一点M，使
△MAC≌△OAC，若存在，求出点M的坐
标，若不存在，说明理由。
例题讲解
例2、某大学的校门是一抛物线水泥建筑物，大门的地面 宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用 的铁环，两铁环间的水平距离为6米，求校门的高度（精 M 确到0.1米，水泥建筑物厚度不计）
-6 -4
A
-3
-2 -2
-1
0
-1 -1
1
2
2
3
4 4
5
x
6
-2
2 抛物线y=x2 如何运动会得到函数y=x y 1的图象? 5
6 5
4
4
y=x
2
3
3 2 2
y x 1
2
1 1
-6
-4
-3
-2 -2
-1
0
-1 -1
1
2
2
3
4 4
5
x
6
-2
当c＞0时，抛物线y=ax2向上平移 c个单位，得y=ax2+c 当c＜0时，抛物线y=ax2向下平移
2
3
3 2 2
y x 1
2
1 1
-6
-4
-3
-2 -2
-1
0
-1 -1
1
2
2
3
4 4
5
x
6
-2
从动画中看出,抛物线y=x2 如何运动会得到函数
6
y=x2
+1的图象?
y
5 5 4 4
y x 1
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 华师版数学九年级下册课件
3
对称轴是y轴和顶点坐标是（0,2）.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大
而减小.当x=0时,最大值为2.
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形状 相同，只是位置不
同；当c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 上平移 c 个单
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2. 向下平移1个单位.
（2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小； 当x =0 时，函数y有最大值，最大值y是 1 ，其图象与y轴 的交点坐标是 (0,1) ，与x轴的交点坐标是 (-1,0),(1,0) . （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
华师大版数学 九年级下册
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时
新知讲解
已知二次函数
① y=-x2; ② y= 3 x2; ③ y=15x2;
5 ④ y=-4x2; ⑤ y= -
9
x2; ⑥ y=4x2.
10
(1)其中开口向上的有 ②③⑥ (填题号)；
(2)其中开口向下，且开口最大的是 ⑤ (填题号)；
9.二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+y
y
y
y
(B )
0x A
0
x
B
0x C
0
x
D
课堂总结
通过本节课你学 到了什么？
图象
列表—描点—连线
二次函数 y=ax2+c
对称轴是y轴和顶点坐标是（0,2）.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大
而减小.当x=0时,最大值为2.
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形状 相同，只是位置不
同；当c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 上平移 c 个单
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2. 向下平移1个单位.
（2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小； 当x =0 时，函数y有最大值，最大值y是 1 ，其图象与y轴 的交点坐标是 (0,1) ，与x轴的交点坐标是 (-1,0),(1,0) . （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
华师大版数学 九年级下册
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时
新知讲解
已知二次函数
① y=-x2; ② y= 3 x2; ③ y=15x2;
5 ④ y=-4x2; ⑤ y= -
9
x2; ⑥ y=4x2.
10
(1)其中开口向上的有 ②③⑥ (填题号)；
(2)其中开口向下，且开口最大的是 ⑤ (填题号)；
9.二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+y
y
y
y
(B )
0x A
0
x
B
0x C
0
x
D
课堂总结
通过本节课你学 到了什么？
图象
列表—描点—连线
二次函数 y=ax2+c
华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和 性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确； 对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大 而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的 当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞ 增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向 下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛 物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2
26.2.2-特殊二次函数的图像(二)
１、在直角坐标系中，二次函数y=3x2+2 的图象大致是下图中的( A )
y 0x A
y 0x
B
y 0x
C
y x
0 D
2、函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( c )
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点和抛物线的位置 D.形状
3、按下列要求求出抛物线的解析式：
（1）抛物线y=ax2＋c形状与y=-2x2+3的图象 形状相同，但开口方向不同• ，顶点坐标是（0， 1）,求抛物线的解析式。
把抛物线y=２x2向上平移5个单位,会得到那条抛物 线?向下平移3.4个单位呢?
解：(1)得到抛物线y=２x2+5 (2)得到抛物线y=２x2－３.4
思考:抛物线y=2x2+5的开口方向、对称轴、顶点各是 什么?
抛物线 y 1 x2向下平移５个单位后，所得
2
抛物线为y=－
1 2
x2－５
，再向上平移７个单位
;
2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称
轴 y轴 ,顶点是 (0,0)
;
在同一直角坐标系中,画出二次函数 y=x2+1和y=x2 －1的图像
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
解:
先列表 y=x2+1
… 10 5 2
•
1
2
5 10 …
y=x2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8 …
向上平移
抛物线y=ax2 c个单位 抛物线 y=ax2+c
向下平移
抛物线y=ax2 c个单位 抛物线 y=ax2－c
一般地,抛物线y=ax2+c有如下特点:
26.2 特殊的二次函数图像
第二节 二次函数的图像§26.2特殊的二次函数图像教学目标(1)知道二次函数2y ax =的图像是抛物线，会用描点法画出图像。
(2)经历观察、分析和回归抛物线2y ax =的特征的过程，掌握二次函数2y ax =的直观性质。
(3)经历建立二次函数22()y ax c y a x m =+=+、的图像与2y ax =的图像之间联系的过程，知道由抛物线2y ax =得到抛物线22()y ax c y a x m =+=+、的平移方法；掌握二次函数2y ax c =+、 2()y a x m =+的直观性质，体会图形运动的运用。
(4)在运用图形研究二次函数直观性质的过程中，领会数形结合的思想方法，提高观察、分析、归纳和概括的能力。
教学重点研究特殊形式的二次函数2y ax =、2y ax c =+和2()y a x m =+的图像，并归纳出图像的特征.知识概要1.二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展，它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线。
二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =。
2.抛物线2y x =的开口方向向上；它是轴对称图形，对称轴是y 轴，即直线0x =。
抛物线2y x =与y 轴的交点是原点O ；除这个交点外，抛物线上的所有点都在x 轴上方，这个交点是抛物线的最低点。
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线2y x =的顶点是原点(0,0)O 。
3.分别在2y x =-与2y x =的图像上且横坐标相同的任意两点，它们的纵坐标互为相反数，可知两个图像关于x 轴对称。
可利用它们的对称性，由其中一个函数的图像画另一个函数的图像。
4.一般地，二次函数2y ax =(其中a 是常数，且0a ≠)的图像是抛物线，称为抛物线2y ax =。
这时，2y ax =是这条抛物线的表达式。
抛物线2y ax =(其中a 是常数，且0a ≠)的对称轴是y 轴，即直线0x =；顶点是原点，抛物线的开口方向由a 所取值的符合决定，当0a >时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
26.2特殊二次函数的图像
变化趋势
y=ax2
a>0
a<0
向上
向下
y轴（直线x=0） O(0,0) 最低点
y轴（直线x=0） O(0,0) 最高点
在 y 轴左侧部分下降， 在 y 轴左侧部分上升，
y 轴右侧部分上升
y 轴右侧部分下降
新知探究
问：由右图，猜想抛物线 y=ax2(a≠0)开
口大小与 a 的大小关系？
y
a 越大，抛物线开口就越小；
在 y 轴左侧部分上升， y 轴右侧部分下降
|a|与抛物线 开口大小关 系
a 越大，抛物线开口就越小； a 越小，抛物线开口就越大．
小试牛刀
（1）抛物线 y m2 1 x2 具有性质（ ）
A.它的图像位于第一、三象限 B. 原点是图像的最高点
C.当x取任何实数时，y总是正数 D.它的图像关于y轴对称
探究新知探究新知开口方向对称轴顶点变化趋势向上y轴直线x0o00最低点探究新知探究新知画出函数yx的图像再归纳它的图像特征探究新知探究新知画出函数yx开口方向对称轴顶点变化趋势向下y轴直线x0o00最高点轴右侧部分下降例题在同一个平面直角坐标系xoy中分别画出二次函数的图像
26.2.1 特殊二次函数的图像
有没有其它建立直 角坐标系的方法？
（2）已知点 1, y1, 2, y2 , 3, y3 都在抛物线y 4x2
上，下列说法正确的是（ ）
A y1 y2 y3 B y2 y1 y3 C y3 y1 y2 D y3 y2 y1
（3）已知a≠0，b<0，则一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2的 图像可以是下图中的（ ）
在y轴左侧部分 下降，在y轴右 侧部分上升
y=ax2
a>0
a<0
向上
向下
y轴（直线x=0） O(0,0) 最低点
y轴（直线x=0） O(0,0) 最高点
在 y 轴左侧部分下降， 在 y 轴左侧部分上升，
y 轴右侧部分上升
y 轴右侧部分下降
新知探究
问：由右图，猜想抛物线 y=ax2(a≠0)开
口大小与 a 的大小关系？
y
a 越大，抛物线开口就越小；
在 y 轴左侧部分上升， y 轴右侧部分下降
|a|与抛物线 开口大小关 系
a 越大，抛物线开口就越小； a 越小，抛物线开口就越大．
小试牛刀
（1）抛物线 y m2 1 x2 具有性质（ ）
A.它的图像位于第一、三象限 B. 原点是图像的最高点
C.当x取任何实数时，y总是正数 D.它的图像关于y轴对称
探究新知探究新知开口方向对称轴顶点变化趋势向上y轴直线x0o00最低点探究新知探究新知画出函数yx的图像再归纳它的图像特征探究新知探究新知画出函数yx开口方向对称轴顶点变化趋势向下y轴直线x0o00最高点轴右侧部分下降例题在同一个平面直角坐标系xoy中分别画出二次函数的图像
26.2.1 特殊二次函数的图像
有没有其它建立直 角坐标系的方法？
（2）已知点 1, y1, 2, y2 , 3, y3 都在抛物线y 4x2
上，下列说法正确的是（ ）
A y1 y2 y3 B y2 y1 y3 C y3 y1 y2 D y3 y2 y1
（3）已知a≠0，b<0，则一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2的 图像可以是下图中的（ ）
在y轴左侧部分 下降，在y轴右 侧部分上升
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四、课堂小结
①函数y=ax2+c的图像是一条抛物线，它关于a>0时……当a<0时……
(3)y=ax2+c可通过将二次函数y=ax2的图像向上（c>0）或向下（c<0）平移 个单位得到.
五、作业布置
练习册习题26.2（2）
三、教学重点及难点
重点：通过二次函数y=ax2+c的图像总结出有关性质.
难点：二次函数y=ax2+c的图像和性质.
四、教学用具准备
教具、学具、多媒体设备.
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 情景引入
1．观察
函数y= x2与函数y= x2+2图像的形状，位置有什么特征？
2．思考
上述函数y= x2+2图像与我们y= x2图像有什么不同？
3．讨论
想一想：怎样将上述的图像画出？
二、学习新课
1．概念辨析
2．
复习(1)二次函数y=ax2的图像特征，图像的性质.
(2)二次函数y=ax2+c与二次函数y=ax2的相同点.
2. 例题分析
在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y= x2和y= x2+2的图像
x
…
-2
-
-1
0
1
-2
…
y= x2
…
2
0
2
26.2（2）特殊二次函数的图像
上海市北初级中学徐琴芬
一、教学内容分析
正确作出二次函数y=ax2+c的图像,并从图像上观察出二次函数y=ax2+c的性质
二、教学目标设计
1.理解和掌握二次函数y=ax2+c的图像并从图像观察出二次函数y=ax2+c的性质.
2.通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力.
…
y= x2+2
…
4
2
4
…
1.然后在坐标平面中描点，在描点过程中分别取x的值和相应的函数值y作为点的坐标.
2.最后用平滑的曲线顺次联结各点，得到函数y= x2和y= x2+2的图像
观察在上面的表格和图像，发现函数y= x2和y= x2+2有相同的横坐标时的任意两点的纵标之间有什么关系？
归纳新课
函数y= x2+2的图像与函数y= x2的图像的开口方向向上；它是轴对称图形，对称轴是y轴，即直线x=0.顶点坐标是（0，2）这个顶点是抛物线的最低点.
3．问题拓展
试一试：在同一直角坐标系中画出y=- x2和y=- x2-2图像.
一般二次函数y=ax2+c可通过将二次函数y=ax2向上（c>0）或向下（c<0）平移 个单位得到的由此可得:抛物线y=ax2+c(其中a,c是常数,且像a不等于0)的对称轴是y轴,即直线x=0;顶点坐标是(0,c).抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a>0时，它开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，它开口向下，顶点是抛物线的最高点.
三、巩固练习
1．函数y=ax2与函数y=-3x2图像的形状，开口方相反.将函数y=ax2图像沿y轴方向平移2个单位，所得的函数.
2．函数y=-4x2+1图像是，开口，对称轴是，顶点坐标，它的图像有最点，值是，此图像由y=-4x2的图像向
平移个单位得到的.
3.函数y=ax2+k图像经过点（1, ）,(0,1)，求此函数解析式，并说出开口方向，顶点坐标.
①函数y=ax2+c的图像是一条抛物线，它关于a>0时……当a<0时……
(3)y=ax2+c可通过将二次函数y=ax2的图像向上（c>0）或向下（c<0）平移 个单位得到.
五、作业布置
练习册习题26.2（2）
三、教学重点及难点
重点：通过二次函数y=ax2+c的图像总结出有关性质.
难点：二次函数y=ax2+c的图像和性质.
四、教学用具准备
教具、学具、多媒体设备.
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 情景引入
1．观察
函数y= x2与函数y= x2+2图像的形状，位置有什么特征？
2．思考
上述函数y= x2+2图像与我们y= x2图像有什么不同？
3．讨论
想一想：怎样将上述的图像画出？
二、学习新课
1．概念辨析
2．
复习(1)二次函数y=ax2的图像特征，图像的性质.
(2)二次函数y=ax2+c与二次函数y=ax2的相同点.
2. 例题分析
在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y= x2和y= x2+2的图像
x
…
-2
-
-1
0
1
-2
…
y= x2
…
2
0
2
26.2（2）特殊二次函数的图像
上海市北初级中学徐琴芬
一、教学内容分析
正确作出二次函数y=ax2+c的图像,并从图像上观察出二次函数y=ax2+c的性质
二、教学目标设计
1.理解和掌握二次函数y=ax2+c的图像并从图像观察出二次函数y=ax2+c的性质.
2.通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力.
…
y= x2+2
…
4
2
4
…
1.然后在坐标平面中描点，在描点过程中分别取x的值和相应的函数值y作为点的坐标.
2.最后用平滑的曲线顺次联结各点，得到函数y= x2和y= x2+2的图像
观察在上面的表格和图像，发现函数y= x2和y= x2+2有相同的横坐标时的任意两点的纵标之间有什么关系？
归纳新课
函数y= x2+2的图像与函数y= x2的图像的开口方向向上；它是轴对称图形，对称轴是y轴，即直线x=0.顶点坐标是（0，2）这个顶点是抛物线的最低点.
3．问题拓展
试一试：在同一直角坐标系中画出y=- x2和y=- x2-2图像.
一般二次函数y=ax2+c可通过将二次函数y=ax2向上（c>0）或向下（c<0）平移 个单位得到的由此可得:抛物线y=ax2+c(其中a,c是常数,且像a不等于0)的对称轴是y轴,即直线x=0;顶点坐标是(0,c).抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a>0时，它开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，它开口向下，顶点是抛物线的最高点.
三、巩固练习
1．函数y=ax2与函数y=-3x2图像的形状，开口方相反.将函数y=ax2图像沿y轴方向平移2个单位，所得的函数.
2．函数y=-4x2+1图像是，开口，对称轴是，顶点坐标，它的图像有最点，值是，此图像由y=-4x2的图像向
平移个单位得到的.
3.函数y=ax2+k图像经过点（1, ）,(0,1)，求此函数解析式，并说出开口方向，顶点坐标.