凸集与凸函数

M {x n | Ax b}(简记为Ax b) (2.2) 是 n中的一仿射集.反之, n中的每一仿射集 都可表成(2.2)式的形式,即一组超平面的交集.
2. 凸集与凸函数
•可验证,仿射集的交集仍是仿射集
若记 AT (a1, a2 ,..., am ),b (b1,b2,...,bm )T
空集, n,单点集{x},直线l(x, y)都是仿射集.
2. 凸集与凸函数
设M n,a n,M相对于a的平移为 M+a {x+a|x M}
则一个仿射集的平移也是仿射集
约定 M-a=M+(-a) 若a∈M,则M-a是子空间.
Th2.1 (1)Rn的子空间是包含原点的仿射集;
(2),对每一非空的仿射集M,存在唯一的子空 间L和向量a∈Rn,使得
M L a {x a | x L}
2. 凸集与凸函数
•若非空仿射集M=L+a,则a∈M,于是唯一子空间L
可表为 L M M {x y | x, y M}
Df2.2. 非空仿射集M的维数是指平行于仿射 集M的子空间的维数.
Rn中的n-1维仿射集称为超平面. 设H为一超平面,子空间L平行于H,则L的正交补 空间L是一维的.不妨设p 0是L的一个基,则 L={x n|xTp=0},a M,有 M L a {x a n | xTp 0} {y n | pTy pTa}
2. 凸集与凸函数
仿射无关向量组{x0, x1,..., xm}称为仿射集M的一个 重心坐标系. Df 2.6 设S n是非空集合, x S, N (x)表示x的 - 邻域。 若N (x) affS S,则x称为S的一个相对内点.S的相对 内点的全体称为它的相对内部,记为riS
若riS S,则S称为一个相对开集.集合clS \ riS称为S 的相对边界,记为rbS.
Hi {x | aiT x bi}.i 1, 2,..., m, 则
M
H m
i1 i
Df2.3 给定Rn中集合S,包含S的所有仿射集的交集,
即包含S的最小仿射集称为S的仿射包,记为affS
可证, S的仿射包
k
k
affS { i xi | i 1,i R, xi S,i 1,.., k, k ¥ }
正的闭半空间H+ ={x pTx } 负的闭半空间H- ={x pTx } 正的开半空间H+ ={x pTx } 负的开半空间H- ={x pTx }
2. 凸集与凸函数
p
p
x-x0 x0 x
x-x0
x
x0
例2.4 集合L={x x=x(0) d， 0}为凸集，其中d为 给定的非零向量，x(0)为定点。 集合L={x x=x(0) d, 0}称为射线,x(0)为射线的顶点
2. 凸集与凸函数
命题2.1 下述断言相互等价. (1) n中的向量组{x0 , x1 ,..., xm}仿射无关;
(2) n中的向量组{x1 x 0 ,..., xm x 0 }线性无关;
(3) n1中的向量组{(x0 ,1),(x1 ,1),...(xm,1)}线性无关.
设仿射集M aff {x0, x1,...xm},L是平行于M的子空间,则
2. 凸集与凸函数
•2.1 仿射集
对n维欧氏空间中任意两点x≠y,则通过x和y的直线可表为
l(x,y)={(1-λ)x+λy|λ∈R }
Df 2.1 若集合M n包含所有的通过其内任意 两点的直线,即x, y M, ,有
(1-)x +y M 则称M为一个仿射集(仿射流形,仿射子空间)。
2. 凸集与凸函数
m
Df 2.8 给定m个向量, x1,..., xm n,以及满足 i 1的 i1
非负实数i R,i 1,..,m,称向量 1x1 ... mxm为{x1,..., xm}的凸组合.
i1
i1
2. 凸集与凸函数
Df2.1 Rn中任一集合S的维数定义为它的仿射包 affS的维数,即包含S的仿射集的最小维数. Df 2.5 由m 1个向量组成的向量组x0 , x1 ,...xm 称为是仿射无关的,是指集合{x0 , x1 ,...xm}的维 数为m,即仿射包aff {x 0 , x1 ,...xm}维数是m. 一般,有限点集的仿射包aff {x0 , x1 ,...xm} L x0, L aff {0, x1 x 0 ,...xm x 0 } 是包含{x1 x0 ,...xm x 0 }的最小子空间. L的维数是m x1 x 0 ,...xm x 0线性无关.
2. 凸集与凸函数
•2.2 凸集与锥
Df 2.7 设S为n维欧氏空间 n中的一个集合。若对 任意两点x(1),x(2) S及每个实数 [0,1],有
x(1)+(1-)x(2) S 则称S为凸集。x(1)+(1-)x(2)称为x(1)和x(2)的凸组合。
2. 凸集与凸函数
例2.3 超平面H={x pTx=}为凸集，其中p为n维列 向量，为实数。此外,下面相对于法向量p的半空 间都是凸集:
x M , x 1(x1 x0 ) ... m (xm x0 ) x0
m来自百度文库
=0x0 1x1 ... mxm (其中0 1 i ) i1
表示式唯一 x0, x1,..., xm仿射无关;此时,(0,1,...,m ) 称为x M 相对于向量组(x0, x1,..., xm )的重心坐标.
2. 凸集与凸函数
Th2.2 给定向量p(≠0)∈Rn, ∈R,则
H {x n | pT x } (2.1)
是Rn中的一个超平面.反之,Rn任一超平面都可表 成上式的形式,且在相差一个非零常数的意义下, (p, )是唯一的. Th2.3 给定矩阵A mn ,向量b n ,则