函数模型来解决实际问题
用函数模型解决实际问题
数学建模
演推 算理
关键
数学模型的解
实际问题的解
读出新概念丶新字母丶 读出相关制约.
在抽象、简化、明确变量和 参数的基础上建立一个明确 的数学关系
01 作业：
02 P130A组：1、2.
解：根据上表这些点的分布 特征，可考虑以二次函数或 指数函数模型(y=a·bx)作 为刻画这个地区未成年男性 的体重与身高关系的函数模 型.
1
若选二次函数，设为 y=ax2+bx+c，取其中的 三组数据(60，6.13),(80， 99.9),(100，15.02)，代 入y=ax2+bx+c，可得 y=0.00146x20.01175x+1.579
0.8125.66ab, 2.86189ab.
解得
a=0.01547，b=-0.0635
பைடு நூலகம்这条直线是
身高/cm 120 130 140 150 160 170
体重/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
以下是某地不同身高的未成年男性的体重平 均值表
身高/cm 60 70 80 90 100 110
当且仅当
，即n=4时，总费用最小.
解：设总花费为F，则总花费与进货次数的关系是F=500n+x+C且
则
问题2、电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一 道重要的工序：使用胶水粘合扬声器中的磁钢和 夹板.长期以来，由于对胶水的用量没有一个确定 的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶 过少，产生脱胶，影响了产品质量，经过实验， 已有一些恰当用胶量的具体数据.
体重/kg
6.1 7.9 9.9 12. 3 0 9 15
高中数学同步教学 用函数模型解决实际问题
的强度水平L1表示,它们满足以下关系: L1=10·lg(单位为分
0
-12
2
贝,L1≥0,其中I0=1×10 W/m ).回答以下问题:
(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2,耳语的强度是1×10-10
W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8 W/m2,试分别求出它们的
示的曲线.当Leabharlann ∈(0,14]时,曲线是二次函数图像的一部分,当t∈[14,40]
时,曲线是函数f(t)=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图像的一部分.根据专家
研究,当注意力指数P大于等于80时听课效果最佳.
(1)试求P=f(t)的函数关系式.
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?
1
=1,所以1 =10·lg 1=0,则树叶沙沙声的强度水平为 0 分贝;耳语的
0
强度是 I2=1×10-10 W/m2,则 2 =102,所以2 =10·lg 102=20,即耳语声
0
的强度水平为 20 分贝;恬静的无线电广播强度是 I3=1×10-8 W/m2,
3
则 =104,所以3 =10·lg 104=40,即恬静的无线电广播的强度水平为
强度水平;
(2)在某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水
平必须保持在50分贝以下,试求该小区内公共场所的声音强度I的
范围.
分析:(1)正确理解声音的强度I与强度水平L1的区别,将I代入公式,
求出L1;
(2)利用L1的范围确定I的范围.
题型一
题型二
题型三
建立函数模型,解决实际问题
建立函数模型，解决实际问题建立函数模型解决实际决策型问题是实践性，创新性很强的命题亮点，其解题步骤一般如下：由实际问题⋅⋅−−−−−→分析抽象转化数学模型（如函数等）−−−→−推理演算解答数学问题−−→−校验回归实际问题。
一、建立一次函数模型例1．鞋子的“鞋码”y 与鞋长x （cm ）存在一次函数的关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值： 鞋长（cm ） 16 19 24 27 鞋码22 28 38 44 （1）请根据表格中的数值，求出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果你需要的鞋长为26cm ，那么应该买多大码的鞋？【命题意图】本题旨在考查根据表格提供的数据，利用待定系数法建立一次函数（模型）关系，然后用所求的函数关系（模型）解决问题。
【思路点拔】可先设一次函数解析式为：y ＝k x ＋b ，根据表中所提供的数据，取两组值分别代入解析式中的x 与y 得到方程组，解方程组即可求出函数解析式解：（1）设y ＝k x ＋b ，则由题意，得⎩⎨⎧+=+=b k b k 19281622，解得：⎩⎨⎧-==102b k ， ∴ y ＝2x －10；（2）当x ＝26时，y ＝2×26－10＝42答：应该买42码的鞋。
二、建立反比例函数模型例2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气球体积V （米3）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不少于多少立方米？【命题意图】本题旨在考查根据图象（点的坐标），利用待定系数法确定反比例函数关系（模型），然后用所求的函数关系（模型）解决问题。
【思路点拔】由图象中A 点的坐标求得反比例函数解析式；对于（3），可利用反比例函数的性质，先求出气压是144千帕时对应的体积，再分析出气球的体积应不小于多少．解：（1）设此反比例函数为)0(≠=k V k p ． 由图象知反比例函数的图象经过点A （1.5，64），∴5.164k =，∴k=96． 故此函数的解析式为Vp 96=； （2）当V=0．8时，1208.09696===V p （千帕）；（3）当p=144时，V96144=， ∴3214496==V （3米）． 由图象可知，该反比例函数p 随V 的增大而减小，故为安全起见，气球的体积应不小于332m ． 【解题心得】在解题时，要充分利用图象、表格中信息和文字信息，把实际问题转化为数学问题，进一步体会数与形的统一．。
构建函数模型解决实际问题
高中数学：构建函数模型解决实际问题角度1 构造一次函数、二次函数模型某创业团队拟生产A ，B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比(如图①)，B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图②)．(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A ，B 两种产品的利润f (x )，g (x )表示为关于投资额x 的函数．(2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A ，B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A ，B 两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？解：(1)由A 产品的利润与投资额成正比，可设f (x )＝kx ，将点(1,0.25)代入，得f (x )＝14x (x ≥0)．由B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，可设g (x )＝t x ，将点(4,2.5)代入，得g (x )＝54x (x ≥0)．(2)设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为(10－x )万元， 创业团队获得的利润为y 万元，则y ＝g (x )＋f (10－x )＝54x ＋14(10－x )(0≤x ≤10)．令x ＝t ，则y ＝－14t 2＋54t ＋52(0≤t ≤10)， 即y ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)， 当t ＝52，即x ＝6.25时，y 取得最大值4.062 5.答：当B 产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得最大利润，获得的最大利润为4.062 5万元．角度2 构造指数函数、对数函数模型候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．解：(1)设DQ ＝x m(x ＞0)，则AQ ＝(x ＋20)m.∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP ，∴AP ＝30(x ＋20)x. ∴S ＝12AP ·AQ ＝15(x ＋20)2x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋400x ＋40≥1 200， 当且仅当x ＝20时取等号，∴DQ 的长度为20 m 时，S 最小，S 的最小值为1 200 m 2.(2)∵S ≥1 600，∴由(1)整理得3x 2－200x ＋1 200≥0.解得0＜x ≤203或x ≥60，即要使S 不小于1 600 m 2，则DQ 的长度范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，203∪[60，＋∞)． 角度4 构造分段函数模型(2019·湖北孝感八校联考)共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h (x )＝⎩⎨⎧ 400x －12x 2，0＜x ≤400，80 000，x ＞400，其中x 是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂的利润y (单位：元)表示为关于月产量x 的函数．(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？解：(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x )元，则y ＝⎩⎨⎧ －12x 2＋300x －20 000，0＜x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0＜x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，故当x ＝300时，y max ＝25 000；当x ＞400时，y ＝60 000－100x 是减函数，故y ＜60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．1.一、二次函数模型问题的2个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．2．指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．3．“y＝x＋ax(a＞0)”型函数模型的求解策略(1)“y＝x＋ax”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋ax”型函数模型．(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋ax(a＞0，x＞0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．4．分段函数模型的求解策略(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．(1)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(B) A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．(2)(2019·福建三明第一中学月考)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500)，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．①当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？②该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：①当x ∈[200,300]时，该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12(x －400)2， ∴当x ∈[200,300]时，S ＜0，因此，该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．②由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144)，12x －200＋80 000x ，x ∈[144，500).当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，y x 取得最小值240.当x ∈[144,500)时，y x ＝12x －200＋80 000x ≥2x 2·80 000x －200＝400－200＝200，当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400时，y x 取得最小值200.∵240＞200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．。
用函数模型解决实际问题
方案二可以用函数 y 10x (x N*) 进行描述；
方案三可以用函数 y 0.4 2x1 (x N*) 进行描述.
3、三个函数模型的增减性如何？
4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情 况进行分析，如何分析？
表－1
下面我们先来看两个具体问题。
例1 、 假设你有一笔资金用于投资，现在有 三种投资方案供你选择，这三种方案的回报 如下：
方案一、每天回报40元；
方案二、第一天回报10元，以后每天比前一 天多回报10元；
方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报 比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
例1、假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选 择，这三种方案的回报如下： 方案一、每天回报40元； 方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ 分析： 1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累
10
15
指数 (方案三
4 160 100 6
回报(元))
5 200 150 12.4
6 240 210 25.2
因此，投资8天以下(不含
7 280 280 50.8 8天)，应选择第一种投资方
8 320 360 102 案；投资8~10天，应选择第
9 360 450 204.4 二种投资方案；投资11天(含
x(天)
方案一
方案二
y(元) 增加量(元) y(元) 增加量(元)
方案三 y(元) 增加量(元)
1 40
10
0.4
2 40
0
20
解决实际问题的函数模型建立
解决实际问题的函数模型建立在解决实际问题时，建立函数模型是一种常见且有效的方法。
函数模型可以帮助我们从复杂的问题中抽象出数学模型，进而进行定量分析和预测。
本文将介绍解决实际问题时建立函数模型的几个常用方法，并通过具体案例进行说明。
一、线性回归模型线性回归是一种常见的函数模型，用于描述自变量与因变量之间的线性关系。
它的数学形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε其中，y表示因变量，x1、x2、...、xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn是待估参数，ε表示误差项。
举个例子，假设我们想建立一个预测房屋价格的模型，我们可以将房屋的面积、卧室数量、地理位置等作为自变量，房屋价格作为因变量。
通过收集一定数量的房屋数据，并进行线性回归分析，我们可以得到一个线性回归模型来预测房屋价格。
二、非线性回归模型有些实际问题的数据关系并不完全符合线性假设，此时我们可以使用非线性回归模型来更准确地描述数据间的关系。
非线性回归模型可以采用多项式、指数、对数、幂函数等形式。
以生长速度为例，我们可以使用非线性回归模型来建立植物生长的函数模型。
通过观察和实验，我们可以得到不同时间点下植物的生长速度数据，然后采用非线性回归的方法拟合出一个较为准确的生长函数，从而对未来的生长速度进行预测。
三、时间序列模型时间序列模型用于分析和预测时间上连续观测值之间的关系。
它常用于金融、经济、气象等领域的数据分析。
以股票价格预测为例，我们可以使用时间序列模型来建立股票价格的函数模型。
通过收集历史股票价格的数据，我们可以分析价格序列的趋势、周期和季节性变动，并建立相应的时间序列模型，从而对未来的股票价格进行预测。
四、概率模型概率模型是一种基于概率论和统计学原理的模型，用于描述随机事件之间的关系。
它用于分析风险、预测概率等实际问题。
以保险业为例，我们可以使用概率模型来建立保险赔付的函数模型。
通过研究历史赔付数据和相关的风险因素，我们可以基于概率模型计算保险赔付的期望值和方差，从而评估保险产品的风险和合理的保费水平。
函数应用：中考数学函数模型的实际问题
函数应用：中考数学函数模型的实际问题数学中的函数在实际应用中扮演着非常重要的角色。
在中考数学中，函数模型的应用更是非常广泛。
本文将探讨中考数学函数模型的实际问题，并介绍一些常用的解题方法。
一、工资问题很多人都会遇到这样一个问题：如何根据月工作天数和每天工资计算出所有工作日的工资总额。
我们可以使用函数来解决这个问题。
设每天工资为x元，一个月的工作日数为n，那么工资总额为f(n)=nx元。
这个函数就是我们要求的函数模型。
二、人口增长问题另一个常见的问题是人口增长问题。
这里我们假设有一种动物从出生到死亡，每年会繁殖3只后代，并且从第二年开始每只动物都能生育。
我们可以用如下函数来模拟它的人口增长：f(n)=f(n-1)+3f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=3。
这个函数模型可以用来计算出指定年份动物的数量，或者计算动物数量从某年到某年的增长情况。
三、速度问题速度问题是中考数学中常见的函数模型应用之一。
常见的问题是：如果一辆车以v1公里/小时的速度行驶了t1小时，然后以v2公里/小时的速度行驶t2小时，求车行驶了多少公里。
我们可以用函数模型来解决这个问题。
设车行驶的公里数为f(t)，那么f(t)可以表示为：f(t) = v1t1 + v2t2这个函数模型可以用来计算车行驶的总公里数，或者计算车从某一时间到某一时间行驶的公里数。
四、销售问题销售问题也是中考数学中常见的函数模型应用之一。
常见的问题是：如果一家商店的销售额每月增长5%，那么过了多少月后，它的销售额将增长到指定的目标值。
我们可以用函数模型来解决这个问题。
设销售额为f(n)，那么f(n)可以表示为：f(n) = f(n-1) * 1.05这个函数模型可以用来计算商店的销售额逐月增长的情况，或者计算商店销售额增长到指定目标值需要多少个月。
五、总结函数模型是中考数学中非常重要的一个内容。
本文介绍了一些常见的函数模型应用：工资问题、人口增长问题、速度问题和销售问题。
一次函数模型的实际应用
一次函数模型的实际应用1. 购买方案问题(中考临沂)新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售. 某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/m2,从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120m2. 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送 a 元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．(1) 请写出售价y(元/m2)与楼层x(1叹w 23 x取整数)之间的函数关系式；(2) 老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．跟踪训练1.(中考孝感)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升.某校计划购进A, B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380 元.(1) 求A种，B种树木每棵各多少元.(2) 因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素),实际付款总金额按市场价九折优惠,请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用.2 .仲考包头)甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3 000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件是：每件优惠25%.设所买商品为x件时, 甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元.(1) 分别求出y1, y2与X之间的关系式.(2) 当甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为多少件？(3) 当所买商品为5 件时,选择哪个商场更优惠？请说明理由.2. 利润方案问题(中考 济宁)小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题： 服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价 80元，售价120元；乙种每件进价 60元，售价90元.计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于 65件.(1)若购进这100件服装的费用不得超过 7 500元，则甲种服装最多购进多少件？ ⑵在⑴的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠 a(0 v a v 20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变， 那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？跟踪训练“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继 投放市场，顺风车行经营的 A 型车2017年6月份销售总额为 3.2万元，今年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份2与去年6月份卖出的A 型车数量相同，则今年 6 月份A 型车销售总额将比去年 6月份销售总额增加 25%.(1)求今年A 型车每辆销售价为多少元(用列方程的方法解答);B 型车共50辆，且B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何3. 租车方案问题(中考广安)为了贯彻落实市委市政府提出的 精准扶贫”精神.某校特制定了一系列关于帮扶A ,B 两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A , B 两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗•已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A , B 两村的运费如下表：(1) 求这15辆车中大小货车各多少辆？(2) 现安排其中的10辆货车前往A 村，其余货车前往 B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A , B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数表达式.⑶在(2)的条件下，若运往 A 村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少总费用.(2)该车行计划7月份新进一批A 型车和 进货才能使这批车获利最多？A 、B 两种型号车的进货和销售价格如下表：跟踪训练（中考 甘孜州）某学校计划组织 500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有 A , B 型两种客车,它们的载客量和租金如下表所示：经测算，租用 A , B 型客车共13辆较为合理，设租用 A 型客车x 辆，根据要求回答下列问题: （1）用含x 的代数式填写下表：⑵采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？跟踪训练（中考 阜新）随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加.某汽车经销 商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车.两种轿车的进价和售价如下表： （1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？⑵如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润.（注：其他费用不计，利润=售价-进价 ）4. 合理决策问题现从A, B 两个蔬菜市场向甲、 乙两地运送蔬菜, 乙地需要蔬菜13吨，从A 蔬菜市场到甲地的运费为 运费为60元/吨，到乙地的运费为 45元/吨.A ,B 两个蔬菜市场各有蔬菜 14吨，其中甲地需要蔬菜 15吨, 50元/吨，到乙地的运费为 30元/吨；从B 蔬菜市场到甲地的（1） 设A 蔬菜市场向甲地运送蔬菜 x 吨，请完成下表:（2） 设总运费为 W 元，请写出 W 与x （3）怎样调运蔬菜才能使总运费最少?5. 选择方案问题(中考 黄冈)我市某风景区门票价格如图所示•黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅行团队，计划在五一小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为 120人，乙团队人数不超过 50人•设甲团队人数为 x 人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W 元.(1)求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；⑵若甲团队人数不超过 100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱; (3) 五一小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过 人但不超过100人时，每张门票降价 a 元；人数超过100人时，每张门票降价 个旅行团队五一小黄金周之后去游玩，最多可节约呂屮 ----70 ------ 勺 -- •--------- -； ------ 9-跟踪训练某区人畜饮用水紧张.每天需从社区外调运饮用水120吨，有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出 80吨，乙厂每天最多可调出 90吨.从两水厂运水到该社区供水点的路程和运费如下 表：(1) 若某天调运水的总运费为 26 700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？(2) 设从甲厂调运饮用水 x 吨，总运费为 W 元.试写出 W 关于x 的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天 的总运费最省？50人时，门票价格不变；人数超过 502a 元.在(2)的条件下，若甲、乙两3 400元，求a 的值.。
《用函数模型解决实际问题的方法与步骤》知识解读
《用函数模型解决实际问题的方法与步骤》知识解读
第一步:阅读理解、认真审题.
就是读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.尤其是理解叙述中的新名词、新概念,进而把握住新信息.
在此基础上,分析已知什么,求什么,涉及哪些知识,确定自变量与函数值的意义,尝试将问题函数化.审题时要抓住题目中关键的量,要勇于尝试、探索,敏于发现、归纳,善于联想、化归,实现实际问题向数学问题的转化.
第二步:引进数学符号建立数学模型.
一般地,设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据问题的已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为数学问题,实现问题的数学化,即建立数学模型.
第三步:用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果.
第四步:转译成具体问题作出解答.
解题时要善于对信息进行加工、转化、抽象、概括,建立数学模型,要准确使用符号和数学语言,要注意解题格式和步骤的规范.
应用函数模型解决实际问题的一般流程如图:
1/ 1。
数学建模 建立函数模型解决实际问题
数学 必修 第一册 A
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Q(t)＝(12－gt)(60＋rt)－6t－720；① 其中r＝2.5，g＝0.1. 求t(t≥0)使Q(t)最大．
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第四章 指数函数与对数函数
模型求解 这是求二次函数最大值问题，用代数的方法容易求得 t＝6r－3g0rg－3. ②
当 r＝2.5，g＝0.1 时，t＝36，Q(36)＝324，即 36 天后出售，可得最大纯利润 324 元．
第四章 指数函数与对数函数
2．模型假设 (1)条件假设：将题目所处环境进行简化，提出简化条件(作出简化假设：船速、 水速为常数)． (2)符号假设：建立模型需要的字母、字符进行假设(用符号表示有关量：x, y 表 示船速和水速) 说明：假设是在建模最后阶段才能整理出来的． 3．模型建立：根据问题背景，选取适当的数学方法进行建模xx－＋yy××5300＝＝775500.， 4．模型求解：纯数学求解、计算机求解yx＝＝52.0，
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第四章 指数函数与对数函数
7．模型应用：进行模型应用方面的推广(作出简化假设：船速、水速为常 数)(用符号表示有关量：x, y表示船速和水速)．
解 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(用物理定律“距离＝速度×时间”列出数学式子)
x＋y×30＝750， x－y×50＝750.
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第四章 指数函数与对数函数
5．模型分析解释：分析模型本身的稳定性、收敛性等性质． 对于本问题，由于解是精确解，所以不存在误差，不存在收敛性问题；由于模 型是静态的，所以不存在时间稳定性问题；由于模型是连续的，所以解对系数及右 端项都是适定的． 答：船速每小时20千米 6．模型检验：与实际数据、客观事实进行对比检验．
函数模型在实际生活中的应用
函数模型在实际生活中的应用函数应用题涉及的题型比较多，下面谈谈函数模型在实际生活中的应用：一、一次函数模型例1 假如你计划买一部手机，而你的朋友给你推荐手机消费有三种可供选择，如下表：从经济角度考虑，哪一种手机卡更为合适？分析：这道题目的背景是消费问题，用表格的形式给出了已知条件，其中存在的数学等量关系为：月消费金额=月租费+每分钟通话费×月通话时间，从而建立月通话时间与月消费金额之间的一次函数关系式．解：设月通话总时间为x 分钟，则三种手机卡的月消费金额分别:连通卡：36.012+=y （)0≥x神州卡：x y 6.0=)0(≥x都市卡：x y 2.024+=)0(≥x 由 ⎩⎨⎧=+=x y x y 6.036.012 解得： ⎩⎨⎧==3050y x 由 ⎩⎨⎧+==x y x y 2.0246.0 解得： ⎩⎨⎧==3660y x 由 ⎩⎨⎧+=+=x y x y 36.0122.024 解得：⎩⎨⎧==3975y x 由图可知：①当500<≤x 时，选用神州行卡；② 当50=x 时，选用神州行卡或连通卡更为经济合适；③ 当7550<<x 时，选用连通卡更为经济合适；④ 当75=x 时，选用都市卡或连通卡；⑤ 当75>x 时选用都市卡更为经济合适．评注：在求解该问题时要注意找出其中数学量之间的关系，从而建立一定的函数关系式来求解．二、分段函数模型例2：某旅行社组团去风景旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；（2）每团人数为多少时，旅行设可获得最大利润？分析：注意价格与人数之间的关系，从而确定函数的解析式．解：（1）设旅行团人数为x 人，由题得075x <≤飞机票价格为y 元，则90090010(30)y x ⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤即900120010y x ⎧=⎨-⎩0303075x x <≤<≤ （2）设旅行社获利S 元则90015000(120010)15000x S x x -⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤ 即29001500010(60)21000x S x -⎧=⎨--+⎩0303075x x <≤<≤故当60x =时，旅行设可获得最大利润． 评注：在对分段函数进行求最值时，一定要注意分析自变量的范围．三、二次函数模型二次函数是出现的比较多的函数模型，求解此类问题常常通过对其单调区间的讨论来求解．例3：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（I ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)； （II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）分析：这是一个分段函数与二次函数相结合的应用题，可以根据函数图象写出解析式，从而利用二次函数来确定函数的最值问题．解：（1）由图可得市场售价与时间的函数关系为： f （t ）＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000,300t t t t 由图2可得种植成本与时间的函数关系为：g （t ）＝2001（t －150）2＋100，0≤t ≤300． （2）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－g （t ），即h （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,217521200122t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －50）2＋100，所以，当t ＝50时，h （t ）取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －350）2＋100， 所以，当t ＝300时，h （t ）取得区间（200，300］上的最大值87.5．综上，由100＞87．5可知，h （t ）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．评注：求本题的最值时一定要注意先求出每一定义域中每一段上的最值，然后来加以比较．四、函数()xb ax x f +=()0,>b a 模型 这类函数的模型常常是通过均值定理或者函数的单调性求最值，此时要注意等号能否取到．例4：甲、乙两地相距120千米，汽车从甲地以速度v （千米／时）匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米／时.已知汽车每小时的运输成本（单位:元）由可变部分和固定部分组成：固定部分为64元；可变部分与速度 v 的平方成正比，比例系数为0.01. (1)求汽车每小时的运输成本w(元)(2)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数，并指出函数的定义域；(3)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可以先根据题意写出全程的运输成本，观察函数式的特点可以知道结合基本不等式来求解． 解：（（1）分析可以得到6401.02+=v w ； (2)全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数关系式是：vv y 120)6401.0(2⋅+=，其中函数的定义域是]100,0(∈v ； (3)整理函数有)6401.0(120120)6401.0(2vv v v y +⋅=⋅+=, 根据基本不等式， 1926401.02120)6401.0(120=⋅⋅≥+⋅=v v v v y ， 当且仅当]100,0(806401.0∈==v vv 即时，取等号成立， 故汽车应以80千米／时的速度行驶，全程运输成本最小为192元．评注：对基本不等式的应用要注意“一正二定三相等”的特点．当然，涉及函数的应用问题还有很多，关键是确定用哪种类型的函数．。
数学建模课引--建立函数模型解决实际问题
模型.
由图可以看出,5个点显示出随着旋钮角度逐渐增大,燃气量
有一个从大到小又从小到大的过程.在我们学习过的函数图
象中,二次函数的图象与之最接近,所以可以用二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)近似地表示这种变化(其中x表示旋钮角
度,y表示燃气量).
所获纯利润与投资金额有关,随投资金额的变化而变化,二者
之间存在某种函数关系,但这种函数关系没有明确给出,我们
可以根据给出的数据画出散点图,借助散点图直观地分析这
组数据的变化规律,从而帮助我们选择函数模型.
以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中
画出散点图如下图.
由散点图可知,可以用二次函数模型近似表示投资A种商品所
= . × - ,
解得 = -. × - ,
= . × - .
故函数解析式为 y=1.903 3×10-5x2-1.472 2×10-3x+1.503 3×10-1.
检验模型 将已知的表中数据代入上述得到的函数解析式,或
者画出函数的图象,可以发现,这个函数模型与实际数据基本
建立函数模型的过程:首先要对实际问题中的变化过程进行
分析,析出其中的常量、变量及其相互关系;明确其运动变化
的基本特征,从而确定它的运动变化类型;然后根据分析结果,
选择适当的函数类型构建数学模型,将实际问题化归为数学
问题;通过运算、推理,求解函数模型;最后利用函数模型的解
说明实际问题的变化规律,达到解决问题的目的.在构建函数
算得y≈63.98,因为78÷63.98≈1.22>1.2,所以这个男性体型偏胖.
函数模型在实际问题中的应用
函数模型在实际问题中的应用在我们的日常生活和工作中，数学的身影无处不在，而函数作为数学中的重要概念，更是有着广泛且实用的应用。
函数模型能够帮助我们理解和解决各种各样的实际问题，从经济领域的成本与收益分析，到物理世界中的运动规律描述，从环境科学中的资源分配，到工程技术中的优化设计，都离不开函数模型的助力。
先来说说经济领域中的成本与收益问题。
假设一家工厂生产某种产品，其生产成本 C 与产量 x 之间的关系可以用函数 C(x) ＝ ax ＋ b 来表示，其中 a 表示单位产品的变动成本，b 是固定成本。
而产品的销售收益 R 与产量 x 的关系可以用函数 R(x) ＝ px 来表示，其中 p 是单位产品的销售价格。
那么，工厂要想获得利润，就需要考虑收益大于成本，即R(x) ＞C(x)，通过这样的函数关系，我们可以确定最佳的产量，使得利润最大化。
再看物理中的运动问题。
比如一个物体做自由落体运动，其下落的距离 h 与时间 t 的关系可以用函数 h ＝ 1/2gt²来表示，其中 g 是重力加速度。
通过这个函数，我们可以计算出物体在不同时刻所处的位置，从而预测其运动轨迹。
在环境科学中，函数模型也发挥着重要作用。
例如，研究某个区域的水资源分配问题。
假设该区域的水资源总量是固定的，而不同部门的用水需求可以用函数表示。
通过建立这些函数关系，我们可以合理地规划水资源的分配，以满足各个部门的需求，同时保证水资源的可持续利用。
工程技术方面，以桥梁的设计为例。
桥梁的承重能力与桥梁的结构参数之间存在着函数关系。
工程师们需要通过建立准确的函数模型，来确定桥梁的最佳设计方案，既要保证桥梁的安全性，又要控制建设成本。
让我们通过一个具体的例子来更深入地理解函数模型的应用。
假设我们要设计一个矩形的花坛，花坛的周长为一定值 L。
我们知道矩形的周长 L ＝ 2(x ＋ y)，其中 x 和 y 分别是矩形的长和宽。
而花坛的面积 S ＝ xy。
自建函数模型解决实际问题教案
⾃建函数模型解决实际问题教案3.2.2函数模型的应⽤举例第⼆课时⾃建函数模型解决实际问题【教学⽬标】能够收集图表数据信息，建⽴拟合函数解决实际问题。
【教学重难点】重点：收集图表数据信息、拟合数据，建⽴函数模解决实际问题。
难点：对数据信息进⾏拟合，建⽴起函数模型，并进⾏模型修正。
【教学过程】（⼀）创设情景，揭⽰课题2010年4⽉8⽇，西安交通⼤学医学院紧急启动“建⽴甲型HⅠN Ⅰ趋势预测与控制策略数学模型”研究项⽬，马知恩教授率领⼀批专家昼夜攻关，于4⽉19⽇初步完成了第⼀批成果，并制成了要供决策部门参考的应⽤软件。
这⼀数学模型利⽤实际数据拟合参数，并对全国和北京、⼭西等地的疫情进⾏了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击甲型HⅠNⅠ⾄关重要、分析报告说，就全国⽽论，甲型HⅠNⅠ病⼈延迟隔离1天，就医⼈数将增加1000⼈左右，推迟两天约增加⼯能⼒100⼈左右；若外界输⼊1000⼈中包含⼀个病⼈和⼀个潜伏病⼈，将增加患病⼈数100⼈左右；若4⽉21⽇以后，政府⽰采取隔离措施，则⾼峰期病⼈⼈数将达60万⼈。
这项研究在充分考虑传染病控制中⼼每⽇⼯资发布的数据，建⽴了甲型HⅠNⅠ趋势预测动⼒学模型和优化控制模型，并对甲型HⅠNⅠ未来的流⾏趋势做了分析预测。
本例建⽴教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进⾏拟合，从⽽找到近似度⽐较⾼的拟合函数。
（⼆）探究过程：例1、某桶装⽔经营部每天的房租、⼯作⼈员等固定成本为200元，每桶⽔的进价是5元。
销售单价与⽇销售量的关系如图所⽰:请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最⼤利润？探索以下问题：（1）随着销售价格的提升，销售量怎样变化？成⼀个什么样的函数关系？（2）最⼤利润怎么表⽰？润⼤利润=收⼊-⽀出具体的解答过程详见课本中的例5，在此略。
例2．某地区不同⾝⾼的未成年男性的体重平均值发下表（⾝⾼：cm；体重：kg）1）根据表中提供的数据，建⽴恰当的函数模型，使它能⽐较近似地反映这个地区未成年男性体重与⾝⾼ykg与⾝⾼xcm的函数模型的解析式。
2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题课件(北师大版)
实际畜养量x(只)与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域;
解:(1)根据题意,由于最大畜养量为 m 只,实际畜养量为 x 只,则畜养率为 ,故空闲率
为 1- ,由此可得 y=kx(1- )(0<x<m).
制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是(
)
(A)月接待游客量逐月增加
(B)年接待游客量逐年增加
(C)各年的月接待游客量高峰期大致在7月和8月
(D)各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较
安稳
解析:由题图可知A不正确,并不是逐月增加,但是每一年是递增的,所以B
正确.从图视察C是正确的,D也正确,1～6月比较安稳,7～12月波动比较
),所以 L(x)=
- + -, < < 19,
-( +
), ≥ .
(2)年产量为多少万件时,该厂家在这一商品的生产中所获利润最大?最大利
润是多少?
2
解:(2)当 0<x<19 时,L(x)=- (x-18) +116,
此时,当 x=18 时,L(x)取得最大值 L(18)=116 万元.
(3)依题设数据解决数学问题.
(4)得出结论.
备用例题
[例题] 某企业常年生产一种出口产品,自202X年以来,每年在正常情况下,
该产品产量安稳增长.已知202X年为第1年,前4年年产量f(x)(万件)如下表
建立函数模型解决实际问题
建立函数模型解决实际问题一．单元教学内容本节主要是引导学生通过建立函数模型解决实际问题。
主要包括：在实际情境中从数学视角发现和提出问题，收集数据，分析问题，构建模型，确定参数，计算求解，检验并改进模型，最终解决实际问题。
完成数学建模活动，并根据要求撰写研究报告。
二．单元目标1.经历从实际情境中用数学的眼光发现问题，提出问题的过程，发展数学抽象素养。
2.掌握分析问题和解决问题的能力，提高“四能”。
3.经历建立模型和检验模型的过程，发展数学建模素养。
三．教学问题诊断分析.学生学习过一次函数，二次函教，幂函数，指数函教，对数函数等概念和性质。
对初等函数比较熟悉，初步具备建立函数模型的知识基础，但对于如何建立模型尚不明确，选择函数模型是本节课的难点,对于函数模型的选择，要让学生知道函数模型的选取是多样的，通过分析探究，交流合作，小组展示，师生释疑等环节，设计环环相扣的问题，引导学生思考，对比，选择最优模型。
四．教学支持条件分析.借用图形计算器对数据进行分析-画散点图，根据散点图选择函数模型，观察函数模型和实际数据的吻合程度，通过计算相关指数对所选函数模型进行评价，寻找最优函数模型。
五．教学过程设计.(一).课时教学内容本节主要内容是建立函数模型解决实际问题，引导学生发现生活中所蕴含的数学信息，提出数学问题，分析问题，用函数模型解决问题。
(二).课时教学目标1.会从数学视角发现生活中蕴含的数学信息，提出问题。
2.掌握分析问题，解决问题的能力。
3.经历建立模型和检验模型的过程，发展数学建模素养。
(三).教学重点与难点重点：函数模型的选择和建立难点：函数模型的选择(四)教学过程1.情境引入我们生活中有很多问题都需要用数学知识解决，比如十一假期即将到来，商场需根据以往的销售数据策划新的销售方案，从而使利润达到最大。
我们每天看的天气预报等等，这些都需用数学建模的知识。
设计意图:从实际生活出发，引入问题，让学生感受数学的应用价值，通过设疑，引入主题，让学生初步认识数学建模。
实际问题中的函数模型
实际问题中的函数模型随着经济和科技的快速发展，越来越多的实际问题需要运用数学模型进行解决。
而函数模型，作为数学模型中的一种，正是被广泛运用于各种实际问题中的。
本文将阐述几个实际问题中的函数模型，并探讨如何建立这些函数模型以及其应用。
一、收益函数模型在市场经济环境下，各类企业都需要关注其产品或服务的收益情况。
而构建一种可靠的收益函数模型，对企业的业务决策至关重要。
收益函数模型是一种以产品或服务售价和销量为自变量，以收益为因变量的函数模型。
在建立收益函数模型时，可以先通过市场调研等渠道，了解消费者对产品或服务的需求和购买力。
然后，根据实际成本等因素，确定合理的售价，建立售价和销量的函数关系。
最终，由此得到收益函数模型。
应用收益函数模型，企业可以清晰地了解其产品或服务的销售状况，并做出相应的决策。
例如，可以根据模型预测进一步的销售情况，制定促销策略等。
二、距离函数模型距离函数模型是指以距离为自变量，以其他因素（如时间、成本等）为因变量的函数模型。
距离函数模型常用于物流、地理等领域的问题中。
在建立距离函数模型时，需要先了解不同地区或物流中心之间的距离，根据实际交通等因素，确定时间和成本等变量。
然后，通过数据分析等方法，建立距离和时间、成本等因变量之间的函数关系。
最终，得到距离函数模型。
应用距离函数模型，可以帮助解决物流中心选址、物流运输路径规划等实际问题。
例如，根据模型预测时效、成本等因素，指导物流公司做出最优决策。
三、人口增长函数模型人口增长是许多国家和地区面临的一个实际问题。
建立人口增长函数模型，可以帮助政府、研究机构等对人口的发展趋势进行预测和管理。
在建立人口增长函数模型时，需要先了解人口增长的历史数据，包括出生率、死亡率、迁入率、迁出率等因素。
然后，可以运用数学模型和统计学方法，建立人口增长和上述因素之间的函数关系。
最终，得到人口增长函数模型。
应用人口增长函数模型，可以帮助政府和研究机构预测未来的人口发展趋势，为制定相应政策提供依据。
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(5).如何根据所确定的函数模型具体预测我国某 个时期的人口数,实质是何种计算方法? 答:已知函数值,求自变量的值.
分析、探究 我来说 我提问
(1). 本例中所涉及的数量有哪些?
经过t年后的人口数 y, y0 ;人口年平均增长率r; 经过的时间t以及1950~1959年我国的人口数据。
分析、探究
我提问
(2).描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是 确定的,确定这种函数模型需要几个因素? 是;两个,即: y0 和 r 我来说 (3).根据表中数据如何确定函数模型? 我再问
(2)、假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程 前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程 时汽车里程表读数s km与时间 t h的函数解析式， 并作出相应的图象。
我们一起来分析
我提问
1、你能写出速度v关于时间t的函数解析式吗?试 试看！ 2、你能写出汽车行驶路程s关于时间t的函数解析 式吗?试试看！
6.汽车的行驶里程与里程表度数之间有什么关系?它们 关于时间的函数图象又有何关系? 汽车的行驶里程=里程表度数-2004; 将里程表度数关于时间t的函数图象向下平移2004个 单位后,就得到汽车的行驶里程关于时间t的函数图象.
请阅读教材P114页的解答过程
还要看个例子
探究:函数模型问题 例4：人口问题是当今世界各国普遍关 注的问题，认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据.早在1798年， 英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下 rt y y e 的人口增长模型： ，其中t表示经过 0 的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口 的年平均增长率.下表是我国1950～1959年 的人口数据资料：
请阅读教材P116页的解答过程
练一练:P117 T1、2
限时6分钟
小结
本节内容主要是运用所学的函数知识去解 决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本 方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热 点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及 的函数模型有：一次函数、二次函数、分段 函数及较简单的指数函数和对数函数．其 中，最重要的是二次函数模型．
作业:教材习题3.2 (A)第3、4题
50 80 90 75 65 (0≤t<1) (1≤t<2) (2≤t<3) (3≤t<4) (4≤t≤5)
v=
50t 2004 80( t 1) 2054 S 90( t 2) 2134 75( t 3) 2224 65( t 4) 2299
0 t 1 1 t 2 2t 3 3t 4 4t 5
3、你能作出s关于时间t的函数的图象吗?试试看!
这就是s 关于t的 函数的图象 再次探究
4.将原题图中的阴影部分隐去,得到的图象表示什么?
表示分段函数v(t)的图象
5.图中每一个矩形的面积的意义是什么?
表示在1个小时的时间段内汽车行驶的路程
问题提出
一次函数、二次函数、指数函数、对数 函数以及幂函数，不只是理论上的数学问题， 它们都与现实世界有着紧密的联系，我们如 何利用这些函数模型来解决实际问题？
探究：函数建构问题
例3、一辆汽车在某段路 程的行驶速度与时间的 关系如图所示。 (1)、求图中阴影部分 的面积，并说明所求 面积的实际含义；
年份 1950
1951
56300
1952
57482
1953
58796
1954
60266
1955
ห้องสมุดไป่ตู้61456
1956
62828
1957
64563
1958
65994
1959
67207
人数
55196
1):如果以各年人口增长率的平均值作为我 国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)那 么1951～1959年期间我国人口的年平均增长 率是多少？ 2):如果按表中的增长趋势，大约在哪一年 我国的人口将达到13亿？