平面向量应用举例

O
（5）如果绳子的最大承受力为200N，G=200 3 N ， θ在什么范围内，绳子才不会断？
回归问题:
情景1：两人一起提一个重物时,怎 样提它最省力?
夹角越小越省力
情景2:一个人在单杠上做引体向上时, 手 臂怎样握杠才省力?
两臂的夹角越小,手臂就越省力
实例二：轮船过河问题（速度的合成与分解）。
问题:
用两根等长的细绳挂一个物体。绳子的 最大拉力为T,物体重量为G,分析绳子受到的 拉力大小F1与两绳子间的夹角θ的关系？
F1
F2
θ
建立数学模型:
D A B
探求|F1|与夹角θ之间的关系 （1） θ逐渐增大时， |F1|如何变化？
C
（2） θ为何值时， |F1|最小，最小值是多少？ （3） |F1|能等于|G|吗？为什么？ （4）如果绳子的最大承受力恰与重物G的 重量相等 ，θ在什么范围内，绳子才不会断？
2.5.1 平面向量应用举例
1.平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背 景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以 完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题 和几何研究带来极大的方便。
研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹 角等几何问题
充分利用向量这个工具来解决
猜想：
AR=RT=TC
A E
D
F
C
R
T
B
在ABC中， 点M为BC的中点，点N在 边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交 于点P，你能发现AP与PM的大小关系 吗？为什么？
A
(用向量方法证明) B
P
M
b N
a
C
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量 (用基底表示)
向量的运算 (向量运算)
向量和数到形 (翻译几何结果)
练习：用向量方法证明直径上的圆周角是直角
C B O
A
用基底表示
向量运算
翻译几何结果
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC 边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点， 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的 长度与两条邻边长度之间的关系吗？
DB AB AD,
猜想：
AC AB AD,
D C
1.长方形对角线的长度与两条邻 边长度之间有何关系？ 2.类比猜想，平行四边形有相似关 系吗？ A
B
结论：平行四边形两条对角线的平方和等于邻 边平方和的两倍 例1
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量 (用基底表示)
向量的运算 (向量运算)
向量和数到形 (翻译几何结果)
2.向量在物理中的应用举例
实例一：提重物问题（力的合成与分解）．
情境1:一个人静止地双手垂挂在单杠上时,手臂 的拉力与手臂握杠的姿势有什么关系?
情境2：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力?
d
v2
已知船在静水中的速度的大小是 |1 | 10km / h , 水流速度的大小是 | 2 | 2 .km / h,河的宽度是d=500m
分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设
AB a, AD b
其它线段对应向
D
C
wk.baidu.com量用它们表示。 A
B
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；