洛伦兹力的一种推导

4πε 0r 2
γ
1+
v0
v− v0 c2 − v0v
qq0
= 4πε 0r 2
γ
1+
vv0
−
v
2 0
c2 − v0v
qq0
4πε 0r 2
γ
c2
−
v0v+ vv0 − c2 − v0v
v02
qq0
= 4πε 0r 2
γ
c2
−
v
2 0
c2 − v0v
qq0
4πε 0r 2
s'系相对s系以v0沿着x运动
S' γ = 1
β = v0
1-
v0
2
c
c
x(x')
v′x
=
v− v0
1
−
v0 c2
v
v′y = 0
v′z = 0
三、S系中q受到的力
在s系中，用相对论力的变换有：
= Fx = Fz
F= x′ 1++βcβcFv′′x• v′
0
= Fz′ 0
γ
1 +
β
c
v′x
( ) 注意： F ′ = 0, Fy′ , 0
取消式（1）中下标，E和F很多分量都是0。考虑到 c =
1 µ0ε0
F
=
qE
−
γ
µ0 4π
qq0 v0v r2
定义磁场
B
=
γ
µ0 4π
q0 v0 r2
= γ q0 4πε0r 2
v0 c2
= γE′y
v0 c2
=
Ey
v0 c2
=
E
v0 c2
S系中q受到的力变化为
F
=
qE
−
q
v
γ
µ0 4π
q0 v0 r2
= qE − q v B
如果再定义一下B的方向，B
=
v0 c2
× E
即 z正方向
F = qE + q v× B ————洛伦兹力公式
S系中q受到的力第一部分是电场力；第二部分是磁力。
γ
1−
v02 c2
1−
v0v c2
qq0
= = 4πε 0r 2
γ
1/γ 2
1−
v0v c2
γ
qq0
4πε 0r 2
1 −
v0v c2
F=y
γ
qq0
4πε 0r 2
1 −
vc02v=
γ qq0 − γ qq0 v0v
4πε 0r 2
4πε 0r 2 c2
=
γ qE′y
−γ
v′= (v′x ， 0， 0)
qq 0
qq 0
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qq 0
Fy
=
Fy′ γ1+ β
c
v′x
=
4πε0r 2
γ1
+
β c
v′x
=
4πε0r 2
γ1
+
β
v− v0
c
1−
v0 c2
v
=
4πε0r 2
γ1
+
βc
v c2
− −
v0 v0
v
qq0
qq0
Fy
= 4πε 0r 2
γ
1+
βc
v− v0 c2 − v0v
qq0
4πε 0r 2
v0v c2
Fy
=
γqE′y
−γ
qq 0 4πε0r 2
v0v c2
= qE y
−γ
µ0 4π
qq0 v0v r2
(1)
考虑到
E′y
=
q0
4πε0r 2
E E
x y
= =
E′x = γE′y
0
Ez = γE′z = 0
E只有y分量 = E E= y j Ej
F也只有y分量=F F= y j Fj
q相对S系速度v，沿x向运动； q0相对S‘系速度v0，也沿x向运动； 设q、q0正电荷，且某时刻沿y（y'）方向一条线上，q受到电力沿y 向；q受到磁力是吸引力，方向与电力相反。
在s'系中，q只受到电力作 用
Fy′
=
qE′y
=
qq 0 4πε0 r 2
q相对s'的速度为
y y'
F ′
S q v
q0 v 0
补充：洛伦兹力的一种推导
一、用到的一些相对论变换式
1.相对论力的变换 2.S/系下静电场的变换
Fx
=
Fx′
+
β c
F′ •
v ′
1
+
β c
v′x
Fy
=
Fy′ γ1+ β
c
v′x
Fz
=
Fz′ γ1+ β
c
v′x
E E
x y
= =
E′x γE′y
Ez = γE′z
二、S'系中q只受到电力的作用