数的整除
数的整除
一、整数与整除的意义 1、 零和正整数统称为自然数。
2、 正整数、零、负整数，统称为整数。
3、 整除：整数a 除以整数b （0b ），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b能整除a ，记作b ︱a 。
整除的条件：（1） 除数、被除数都是整数；（2） 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
除尽与整除联系与区别：（1） 联系：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除。
（2） 区别：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零。
二、因数与倍数1、 整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称约数）,因数与倍数是相互依存的.。
2、 因数和倍数的特点：（1） 一个整数的因数有有限个。
一个整数最小的因数是l ，最大的因数是它本身。
（2） 一个整数的倍数有无限个。
最小的倍数是它本身，没有最大倍数。
3、 因数和倍数的性质：（1） 任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数； （2） 1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；（3） 0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数。
三、奇数与偶数整数与整除知识要点1、奇数和偶数的概念：能被2整除的整数叫做奇数；不能被2整除的整数叫做偶数。
2、运算性质：（1）奇数±奇数=偶数（加减法中奇数改变结果的奇偶性）（2）奇数±偶数=奇数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（3）偶数±偶数=偶数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（4）奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数（5）偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数（6）奇数×奇数=奇数（7）偶数×偶数=偶数（8）奇数×偶数=偶数（9）奇数×奇数×奇数×奇数×…×奇数×偶数=偶数（10） a+b与a-b同奇或同偶四、整数的可整除性特征：1、被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
数的整除
知识点归纳一概念1、整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
2、个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。
自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
3、一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。
数的整除
数的整除性质、特征【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。
（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。
（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。
反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：1、能被2整除的数：个位数能被2整除，则这个数就能被2整除。
如个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
2、每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
3、最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。
4、个位上是0或5的数都能被5整除。
5、一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
6、把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
7、最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
8、每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
9、若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
10、若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差值能被11整除，则这个数能被11整除。
另外1，把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。
另外2，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除.12、若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
13、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是13的倍数，则原数能被13整除.14、若一个整数能被2和7整除，则这个数能被14整除。
数的整除
在210，102，34，58，25，46，201中， 偶数 能被2整除的数（ 210、102、34、58、46 ）
奇数 ）
不能被2整除的数（
有约数5的数（ 3的倍数（
25、201
210、 25 ） ） ） ）
210、102、201 210 210
同时被2、5整除（ 同时被2、5、3整除（
讨论
讨论： 奇数=质数 偶数=合数， 对吗？
24和36的最大公约数是:2×2×3=12
除数相乘
24和36的最小公倍数是: 2×2×3×2×3=72 所有的除数和商相乘
奇数 能否被2整除 偶数
自然数
1 有几个约数 质数 合数
自然数除了质数还有合数 ，这句话对吗？ 在自然数中除了奇数就是偶数 ，这句话对吗？
分解质因数： 把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
除尽 整除
在1.5÷5=0.3，38÷2=19， 4÷3=1...1中，
除尽的有（ 除不尽的有（ 整除的有（ 1.5÷5=0.3 4÷3=1...1 38÷2=19 、 38÷2=19 ） ） ）
不能整除的有（ 1.5÷5=0.3 、 4÷3=1...1 ）
倍数和约数
38÷2=19中，38是2的（倍数 19是38的（ 约数 ）。 ），2是38的（约数 ），
数的整除
2016
执教：章泽华
数的整除
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整除与除尽
整除： 整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是 整数而没有余数，我们就说数a能被数b整 除，也可以说数b能整除数a。
除尽：
数a除以数b（b≠0），除得的商是整数或 或是有限小数，这就叫做除尽。
第2节：数的整除
第2节数的整除知识梳理1、如果整数a 除以整数b (0b ≠)所得的商a b是整数，那么叫做a 被b 整除，或b 整除a ， 记作b a |，又称b 为a 的约数，而a 为b 的倍数。
0能被所有非零的整数整除。
2、数的整除性的常见特征.（1）若整数a 的个位数是偶数，则2a |；（2）若整数a 的个位数是0或5，则5a |；（3）若整数a 的末两位数是4或25的倍数，则4a |(或25a |)；（4）若整数a 的各位上的数字和是3或9的倍数，则a 3|(或9a |)；（5）若整数a 的末三位数是8或125的倍数，则8a |(或125a |)；（6）若整数a 的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减，其差是11的倍数，则11a |；（7）若整数a 从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差是7 或11或13的倍数，则7a |(或11a |或13a |).3、整除的常用性质.设a ，b ，c ，d 都是整数，有：（1）若 b a |，c b |则c a |；（2）若c a |，c b |，则 ()c a b |±；（3）若 b a |，c a |，则[b ，c ] | a ；（4）若 b a |，c a |，且 b 与c 互质，则 bc a |.典例精析考点1:运用数的整除特征解决简单的实际问题【例1】某班学生不到50人，一次数学考试中有17学生得优秀、13学生得良好，有12学 生及格，问该班有多少个学生在这次考试中不及格？分析：由题意，班级人数中有17学生得优秀、13学生得良好、12学生及格，这说明班级人数能被7，3，2整除，而7，3，2又是互质数，所以班级人数为2×3×7 = 42(人），则由此根据不 及格人数的比例不难求得不及格人数.解：班级人数为2×3×7==42(人），不及格人数为：41114211732⎛⎫⨯---= ⎪⎝⎭（人） 跟踪训练一次数学竞赛，比赛结果有17的学生获一等奖，有15的学生获二等奖，有12的学生获三等奖，其余获纪念奖，已知参加这次竞赛的人数超过50人但不满100人，问获纪念奖的有多 少人？跟踪训练11、学生人数应能被7，5，2整除，[7，5，2] = 70（人），又因为50<70<100，所以学生总数是70人，获纪念奖的人数为111701752⎛⎫⨯---⎪⎝⎭=11（人）考点2:运用数的整除特征解“数字谜”的问题【例2】已知五位数1234x能被12整除，求x的值.解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当l + 2 + 3+4+×能被3整除时，×=2，5，8，当末两位4x能被4整除时，× = 0，4，8，∴× = 8.跟踪训练2（1）已知五位数1234A能被15整除，试求A的值。
数的整除性质与应用
数的整除性质与应用数的整除性质是数学中的重要概念之一，它描述了一个数能够整除另一个数的性质。
在日常生活和数学应用中，我们经常用到数的整除性质来解决问题。
本文将对数的整除性质进行详细介绍，并探讨它在实际应用中的作用。
一、整数的除法定义与整除性质在数学中，我们将一个整数a除以另一个非零的整数b，如果能够得到一个整数q，使得a = bq，我们就称a能够被b整除，或者说b能够整除a，记作b|a。
整除性质主要包括以下几个方面：1. 传递性: 如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a也能够被c整除。
2. 常数倍数性质: 如果a能够被b整除，那么对于任意非零常数k，ka也能够被kb整除。
3. 相等性: 一个数能够被自身整除，即对于任意非零整数a，a能够被a整除。
4. 整除的基本性质: 如果a能够被b整除，那么a的所有倍数也能够被b整除。
二、整除的应用数的整除性质在实际应用中起着重要的作用，以下是一些常见的应用场景：1. 分数化简在分数的运算中，我们经常需要对分数进行化简。
利用整除性质可以帮助我们快速找到最大公约数，从而将分数化简为最简形式。
例如，对于分数12/18，我们可以通过求12和18的最大公约数来进行化简。
由于18能够整除12，所以12/18可化简为2/3。
2. 整数的因数与倍数在数的因数和倍数问题中，整除性质是一个重要的工具。
我们可以利用整除性质判断一个数是否是另一个数的因数，或者判断两个数是否互为倍数。
例如，判断一个数是否是另一个数的因数时，我们只需要通过整除性质将这两个数相除，如果余数为0，则该数是另一个数的因数。
3. 素数与合数素数是指只有1和自身两个因数的数，而合数是指除了1和自身之外还有其他因数的数。
利用整除性质，我们可以判断一个数是否为素数。
例如，判断一个数n是否为素数时，我们只需要将n与2到√n之间的所有整数相除，如果都无法整除，则n为素数。
因为如果n能够被大于√n的数整除，那么一定能够被小于√n的数整除。
数的整除
数的整除一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
13、 数的整除
□□□ „ □□ □□□ □□□ d c b a
999 a b c d e ， 1001 a b c d e
首先说明，这里截位是从右边开始的，左边不足部分可以“补零” ． 从截位规律中，可以得到 9 和 3 的整除特征：判断数字和．数字和不但能判断 3 和 9 整除，余数特征 也是这样的，数字和被 9 除的余数是几，那么这个多位数被 9 除就余几．为了减少计算量，可以把数字和 是 9 的数字抛弃掉，这种方法就是“弃九法” ． 如 4678123，因为 467812331，31 被 9 除余 4，所以 4678123 也被 9 除余 4．也可以抛弃 6 和 3、7 和 2、8 和 1，最后就剩下 4，所以原来的数 4678123 被 9 除余 4． 下面证明对一个多位数三位一截作减加，用来判断 1001 的整除特征，由于 100171113，从而得到 7、11、13 的整除特征． 证明：设多位数为 dcba （其中 a、b、c 均为三位数，d 可以不足三位数） ，则
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陈老师讲义
第 13 讲
数的整除
【内容综述】 在整数的数学理论中，有一类整数的整除特征，能帮助大家判断一个多位数是否被某个特定的整数整 除，也可确定一些多位数中未知的数字．这是数论重要内容之一． 1、整除定义 对于两个整数 a，b0，若存在另一个整数 q，使得 abq 或 abq 成立，则称 b 能整除 a，或 a 能被 b 整除，记作： b a ．反之，如果不存在整数 q，使得上面式子成立，则 称 b 不能整除 b，或 a 不能被 b 整除，记作： b a ． 如，因为 1243，所以 4 能整除 12，或 12 能被 4 整除，记作： 4 12 ．因为 12522，所以 5 不能 整除 12，记作： 5 12 ． 2、整除性质 1） 1 a ， b 0 b 0 ， c c c 0 ； 由此，1 能整除任意整数，任何非零自然数都能整除 0，任何非零自然数都能整除它本身．所以，可 以利用整除来对非零自然数分类．只能被 1 整除的数只有 1，只能被 1 和本身整除的数是质数，除了 1 和 本身，还有其它数能整除这个数的是合数． 2）若 a b ， b c ，则 a c ； 数的整除具有传递性，如 3 6 ， 6 24 ，可以得到 3 24 ． 3）若 a b ，则 a kc （k 为整数） ； 当一个数能整除另一个数时，则另一个数任意倍数也能被这个数整除，也就是说被除数可以任意扩整 数倍．如 3 9 ，则 3 9 k （k 为整数） ．注意，反过来一般不成立，如 6 4 7 9 ，但 6 确不能整除 4、7 或 9 其中的一个．只有当 p 为质数时， p ab ，则 p a 或 p b ． 4）若 a b ， a c ，则 a mb nc （m、n 均为整数） ； 这条整除性质特别重要，它是许多整除推理的理论依据．例如，若 7 100a 38 ，则我们可以先从 100a38 中减去 7 的倍数 98a35，得到差是 2a3，2a3 就被 7 整除，这样数就变小了，易于分析．也可 以继续推导， 7 2a 3 ，则 7 4 2a 3 ，从而 7 整除 8a127a7，即 7 a 5 ．此推理过程简写如下：
数的整除知识梳理
第一章数的整除一、知识整理1.1整数和整除整除的条件：1．除数、被除数都是整数。
2．被除数除以除数，商是整数，而且余数为零。
除尽的条件：1．除数、被除数不一定是整数。
2．被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且余数为零。
☆整除是除尽的一种特殊情况。
1.2整数和整除的意义整数a能整除整数b，b叫做a的倍数。
a叫做b的因数。
☆倍数和因数是相互依存的。
1.3能被2、5整除的数1.4素数、合数与分解素因数正整数素数（2是唯一的偶素数）合数既不是素数也不是合数。
素数：除1与本身外没有其他因数的数。
合数：除1与本身外有其他因数的数。
分解素因数用短除法。
（用等式些写结论，分解的书写在最前。
）1.5公因数与最大公因数求两数的最大公因数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最大公因数是c 的表示方法：（a ，b ）=c☆若两数互素，那么它们的最大公因数就是1。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小数。
1.6公倍数与最小公倍数求两数的最小公倍数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最小公倍数是c 的表示方法：[a ，b]=c☆若两数互素，那么它们的最小公倍数就是两数的乘积。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较大数。
总结：一个整数正整数 零 负整数☆任何一个合数都可以分解质因数。
1.整除 “三整一零” 整除是除尽的一种特殊情况。
2.倍数，因数整数间的关系 3.互素（两两互素）4.公因数（最大） 最小公倍数5.公倍数（最小） =最大公因数×各自独有的因数奇数（2n 加1，n 为正整数） 偶数（2n ，n 为正整数）素数：只有1和它本身这两个因数 合数：除了1和它本身还有其它因数二、习题练习1.求下列各数的最大公因数和最小公倍数。
（1）56，108，72 （2）36，28,15三、拓展知识对于“每/每隔/每过”不同情况的区分：。
数的整除
1、若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
2、若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
3、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
4、最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
5、能被9整除的数各位数和为9的倍数。
6、若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！7、一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被13整除，那么，这个多位数就一定能被13整除．8、末尾的两位数是00，25，50，75四种能被25整除。
奥数辅导－－数的整除(题304-题530)【题304】求360的全部约数的和。
【思路或解法】因为360=23×32×5，所以有360的全部约数的和为：【题305】一位妇女提一篮鸡蛋，三个三个数余两个，五个五个数余四个，七个七个数余六个．这篮子里至少有多少个鸡蛋？【思路或解法】如果加上一个鸡蛋，题目就变成了求能被3、5和7同时整除的数了，能被3、5和7同时整除的数就是3、5和7的公倍数．因为3、5和7的公倍数有105、210、……，而题中所问的是“至少”有多少个，所以应取最小公倍数105，但鸡蛋数被3、5、7除都差一个才为整数商，故而鸡蛋数应为105-1=104（个）。
【题306】15×28×33、9×35×88、12×77×15、22×30×21这四个积中，哪个积与其它积不相等？【思路或解法】根据积不相等，这个积的各个因数所含有的质因数也就不相同的原理，先分解各个积的质因数：15×28×33=32×22×5×7×119×35×88=32×23×5×7×1112×77×15=32×22×5×7×1122×30×21=32×22×5×7×11再比较这些积所分解成的质因数及其个数，我们不难发现：9×35×88的质因数比其它的多一个2，故而，9×35×88的积与其它积不相等。
整除简单有效的方法
整除简单有效的方法## 整除简单有效的方法整除是数学中常见的运算，用来判断一个数是否能够被另一个数整除。
在实际生活中，我们经常遇到需要进行整除运算的情况，比如分配任务、分发物品等。
有效地进行整除运算可以大大提高工作效率。
本文将介绍几种简单有效的整除方法，并通过实例来说明其应用。
### 方法一：试除法试除法是最常用的一种整除方法。
它的基本思想是将被除数逐个与除数相比较，如果有除得尽的情况，则被除数可以整除。
具体的步骤如下：1. 将被除数和除数分别表示为a和b。
2. 从2开始逐个增加一个数k，直到k大于等于a或者找到一个k，使得a可以被k整除。
3. 如果找到符合条件的k，则a可以被b整除，否则a不能被b整除。
例如，我们要判断数36是否能被数4整除，可以使用试除法进行验证：1. 将36和4表示为a和b。
2. 从2开始逐个增加一个数k，找到k=9，使得36可以被9整除。
3. 因此，36可以被4整除。
试除法是一种简单但有效的整除方法，适用于较小的数。
但对于大数来说，它的效率较低。
### 方法二：质因数分解法质因数分解法是一种高效的整除方法。
它的基本思想是将一个数分解成若干个质数的乘积，然后判断能否整除。
具体的步骤如下：1. 将被除数表示为a，除数表示为b。
2. 将被除数a进行质因数分解，得到形如p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn的表达式，其中p1,p2,...,pn为质因数，k1,k2,...,kn为对应的指数。
3. 判断除数b是否能够整除被除数a，即判断b是否可以整除p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn。
例如，我们要判断数120是否能被数6整除，可以使用质因数分解法进行验证：1. 将120表示为a，6表示为b。
2. 将120进行质因数分解，得到120=2^3 * 3 * 5。
3. 判断除数6是否能整除2^3 * 3 * 5，答案是肯定的，因此120可以被6整除。
质因数分解法是一种高效的整除方法，适用于大数整除的情况。
数的整除教案(优秀8篇)
数的整除教案(优秀8篇)数的整除教案篇一教学要求：使学生初步掌握能被3整除的数的特征，能正确判断一个数能被3整除的数的特征，培养学生抽象、概括的能力。
教学重点：能被3整除的数的特征。
教学难点：会判断一个数能否被3整除。
教学过程：一、创设情境1、能被2、5整除的数有什么特征？2、能同时被2和5整除的数有什么特征？二、揭示课题我们已经知道了能被2、5整除的数的特征，那么能被3整除的数有什么特征呢？现在我们就来学习和研究能被3整除的`数的特征（板书课题）三、探索研究1．小组合作学习---能被3整除的数的特征。
（1）思考并回答：①什么样的数能被3整除？②要想研究能被3整除的数的特征，应该怎样做？（2）做法是：（根据学生说的逐一板书）①②观察：③特征×3（分组讨论，说发现的规律）一个数的各位上的数一三把各位上的数加起来看和有什么特征。
的和能被3整除，这26个数就能被3整除。
394125壹五618721824（3）检验：由学生和老师任意报一个较大的数让学生检验观察它的特征。
如：8057921。
因为：8+0+5+7+9+2+1=323+2=55为能被3整除，所以8057921不能被3整除，8057921÷3=2685940......1。
四、课堂实践1、做教材第55页下面的“做一做”。
2、做练习十二的第5题。
3、做练习十二的第6题。
4、做练习十二的第8题。
①让学生明确这个图所表示的就是判断一个数能否被3整除的顺序和方法。
②让学生按这个顺序和方法判断上面的3个数。
五、课堂小结学生小结今天学习的内容。
六、思考练习做练习十二的第7题。
苏教版数学六年级上册教案能被3整除的数的特征数的整除教案篇二教学目标：1、经历整十数除以一位数的口算和非整十的两位数除以一位数的口算、笔算的探索过程，能口算整十数除以一位数（商为整十数），会笔算两位数除以一位数（首位能整除）。
2、培养学生初步的观察力、动手操作能力和积极参与学习活动的情趣。
数字的整除数字的整除运算
数字的整除数字的整除运算数字的整除运算是数学中常见且重要的概念，用于确定一个数字是否能被另一个数字整除，以及求得它们的商和余数。
整除运算在实际生活和各个学科领域中都具有广泛的应用。
本文将介绍数字的整除运算的定义、性质、应用以及相关的计算方法。
一、整除运算的定义整除运算是指当一个数字能够被另一个数字整除时，我们就说这两个数字之间存在整除关系。
具体来说，如果一个数字a能够被另一个数字b整除，我们可以用数学符号表示为a能被b整除，记作a|b。
当a能被b整除时，我们还可以说b是a的倍数，a是b的约数。
二、整除运算的性质1. 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
2. 自反性：任何一个数字a都能被自身整除。
3. 整除可以用乘法表示：如果a能被b整除，那么存在某个整数k，使得a=k*b。
三、整除运算的应用整除运算在许多学科领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 数论：整除运算是数论中的一个基本概念，用于研究整数的性质和规律。
例如，素数的定义就与整除运算密切相关。
2. 代数学：整除运算是代数学中一个重要的概念，用于定义整数环和整数域等代数结构。
3. 商业和经济学：整除运算在商业和经济学中的应用十分广泛，例如计算折扣、利润和成本等。
4. 计算机科学：整除运算在计算机科学中常用于算法设计和编程中，例如判断一个数字是否能被另一个数字整除。
四、整除运算的计算方法在进行整除运算时，我们常使用除法算法进行计算。
下面是一种常用的整除运算的步骤：1. 将被除数写在除号的左边，除数写在除号的右边。
2. 从被除数的最左边开始，用除数去除被除数的左边的数字，求得商的最高位数。
3. 用得到的商乘以除数，得到一个中间值。
4. 将中间值减去被除数的左边的数字，并将结果写在下一行的下方。
5. 将结果作为被除数的新值，重复步骤2-4，直到被除数的所有位数都被计算完。
6. 当被除数的所有位数都被计算完后，所得的商就是整除的商，余数为零。
数的整除性及性质
数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。
整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。
性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。
性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。
性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。
性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。
性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。
性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。
性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。
性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。
性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。
性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。
性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。
性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。
性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。
性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。
数的整除
数的整除一、概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b 整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”。
二、判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
7. 能被13整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
例1 判断1059282是否是7的倍数?分析：把1059282分为1059和282两个数。
因为1059-282=777，又7|777，所以7|1059282。
因此1059282是7的倍数。
例2 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。
分析：能被4整除的数有7756，3728，8064；能被9整除的数有234，8865，8064。
例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
分析：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。
练习：1．判断6539724能不能被36整除？2．有一个能被24整除的四位数□23□，这个四位数最大是几？最小是几？3．五位数4A97A能被12整除，求这个五位数。
数的整除
第四讲我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。
因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
这就证明了（4）。
类似地可以证明（5）。
（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
《数的整除》教案（精选4篇）
《数的整除》教案（精选4篇）《数的整除》篇1教学目标：1、通过对数的整除整理和复习，使学生进一步理解、掌握数的整除的有关概念，并能作出明确的判断和区分，进一步完善知识间的联系，形成知识网络。
2、通过复习，让学生掌握抓重点内容进行复习的方法，最好能根据知识间的联系建立知识网络。
3、创设相互协作积极向上的学习情境，培养全员参与合作的意识。
教学重点：理解、掌握整除的有关概念；整除与除尽的关系；自然数的分类；能被2、3、5整除数的特征。
教学难点：自然数的分类；小组合作整理，形成知识网络教学过程：一、揭示课题，导入新课师：今天我们一起来复习数的整除，{板书：数的整除}在开始复习之前，我想问大家，对于课题“数的整除”中的“数”，你是怎样理解的？（生：……）它表示什么数？（整数）师：那与整除有关的知识，我们都是在什么数范围内研究的？（生：整数）下面我们就来具体复习数的整除和相关内容。
二、整除的意义师：通过预先的复习，谁知道什么叫“整除”？{板书：整除}（生……多几个学生说）师小结：{电脑显示}整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）。
:师：你能根据整除的意义来判断下面几个算式中被除数能否被除数整除？1、90÷9=102、10÷3=3……13、1.2÷0.3＝44、18÷5＝3.65、25÷1=25师：象算式3、4、叫被除数被除数怎么样？（除尽）那整除和除尽之间有什么关系？（生：……）小结：整除属于除尽，除尽不仅仅包括整除。
（用集合图表示）三、复习与整除相关的知识并组成网络师：通过刚才复习整除的意义，你们能想到一些与整除相关的知识吗？先在四人小组内交流一下，再集体交流。
（学生活动）师：通过整除我们可以想到什么？生：倍数、约数、能被2、3、5整除的数的特征。
师：那通过倍数、约数、能被2、3、5整除的数的特征又能想到什么呢？想到了那些还可以想到什么呢？请你们以小组为单位，集思广益，根据它们之间的联系把它们串联成一张网络图。
数的整除性
&&&教育1对1辅导讲义【基础知识】数的整除性（一）数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。
因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。
这个七位数是4735800。
例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。
按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节，因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。
例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。
能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。
课题：数的整除性【知识讲解】数的整除性（一）数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
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数的整除（一）1、有两堆糖果，第一堆有423块，第二堆有344块，那一堆平均分给9个小朋友而无剩余。
2、判断18 109能不能被7或11或13整除？3、四位数5□1□能同时被2、3、5整除，这样的四位数是那几个？4、1000个连续自然数相加，和是奇数还是偶数？为什么？5、14名选手参加数学竞赛，一共20道题。
评分方法是答对一道给5分，不答给1分，答错倒扣1分。
求这14名选手得分的总和是奇数还是偶数？6、有一列数：2、3、5、8、13、21，…..从第3个数开始，每个数都是前两个数的和。
问在前1000个数中，有几个是偶数？（试1）判断45 728 能否被4整除？（试2）判断25 102能不能被7或11或13整除？（试3）四位数6□2□能同时被2、3、5整除，这样的四位数有那几个？（试4）5+6+7+…….+999+1000的和是奇数还是偶数？为什么。
（试5）21名选手参加智力竞赛，共有50道题。
评分方法是答对一道给7分，不答给3分，答错倒扣1分。
求这21名选手得分的总和是偶数还是奇数？（试6）数列1,3,4,7,11,18，……是这样构成的，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
问在前500个数中有几个是偶数？A．能被2和5,4和25,8和125整除的数的特征：分别看这个数的末一位、末二位、末三位数是否能被2和5，4和25,8和125整除。
B．能被9整除的数的特征：这个数各位上的数字的和能被9整除。
C.能被7.11.13整除的数的特征：要看末三位数字表示的数与其前面的数字所组成的数的差（大数-小数）能被7.11.13整除的话，那么这个数就可以被7.11.13整除。
数的整除（内）1、46 375能否被125整除？2、判断2 684 962能不能被7或11或13整除？3、在□内填上合适的数，使五位数7□36□既能被5整除，也能被9整除。
4、1000个连续自然数的积是奇数还是偶数？为什么？5、15名同学参加数学竞赛，共有20道题。
评分方法是：每人都有25分的基础分，在此基础分上每答对一道题给5分，不答给1分，答错倒扣1分。
求这15名同学得总分是偶数还是奇数。
6、数列1,2,5,13,34,89，…….的排列规律是这样的，从第二个数开始，每个数的3倍都正好是它前边一个数与后边一个数的和。
问这个数列的第100个数是奇数还是偶数？（外）1、90 365能否被125整除？2、判断789 646能不能被7或11或13整除？3、在□内填上合适的数，使五位数2□10□能同时被8和9整除？4、598个连续自然数的和是奇数还是偶数？为什么？5、1x2+3x4+5x6+…….+199x200结果是奇数还是偶数？6、数列1,4,13,40,121，……..的排列规律是这样的，从第二个数开始，每个数都比前一个数的3倍多1，求这个数列的前100个数的和是奇数还是偶数？7*下列哪几个能被11整除：28 347 91 817 4650 60 935？8*五位数aaabb能被3和25整除，求这个五位数最大是多少？数的整除（二）1、如果A，B能被C整除，则（A+B）与（A--B）也能被C整除。
这叫做和、差的整除性。
2、如果数A能被数B整除，C为整数，则积AC也能被B整除，这叫做积德整除性。
3、如果数A能被B整除，B又能被C整除，则A也能被C整除。
这叫做整除的传递性。
4、如果数A能同时被B，C整除，且B与C互质，则A一定能被B和C的积整除。
例1、程程在文具店买了5本笔记本，1枝钢笔，3枝自动铅笔和6块橡皮。
已知笔记本每本2元，1枝钢笔5元。
自动铅笔和橡皮的价格程程记不清了。
售货员要程程付25元。
程程马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？例2、51能被17整除，204能否被17整除？例3、3448X6894的积能否被72整除？例4、一个六位数85□56□能被45整除，这个数除以5所得的商是多少？例5、从0、1 、2、3、4、5、6、7、9这十个数中选出4个不同数字，组成一个四位数，使它能同时被2、3、5、7整除。
这个数最大是几？例6、学期结束时，老师买来了72本练习本、48枝笔和57块橡皮，将它们平均分给每个三好学生，余下的练习本数是橡皮数的3倍，余下的笔的支数是橡皮数的2倍。
求一共有多少名三好学生？试1、小兵在文具店买了3本笔记本、1枝钢笔、2枝自动铅笔和4块橡皮。
已知笔记本每本2元，1支钢笔5元。
自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了。
售货员要小兵付18元。
小兵马上说售货员把帐算错了，你知道为什么吗？试3、1328X3597的积能否被44整除？试2、判断：561能被3整除，也能被11、33整除？试4、一个五位数7□57□能被72整除，这个数除以8所得的商是多少？试5、从0、1、2、3、4、5、7、8、9这十个数中选出4个不同的数字，组成一个四位数，使它能同时被3、7、9整除。
这个数最大是几？试6、幼儿园张老师把60块饼干、38块糖和15个苹果平均分给第一小组的每位小朋友，余下的饼干是余下的苹果数的4倍，余下的糖是余下的苹果数的3倍。
求第一小组一共有几位小朋友？（数的整除二内）1、商店有六箱货物，分别重18、18、16、15、31、20千克，两个顾客买了其中的五箱。
已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，问商店剩下的一箱货物重多少千克？2、已知35能被7整除，245能否被7整除？为什么？3、466X2124的积能否被18整除？4、一个六位数87□56□能被55整除，这个数除以11所得的商是多少？5、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出5个不同的数字，组成一个五位数，使它能同时被3、5、7、13整除。
这个数最大是几？6、某车间接到加工任务，要求加工甲种零件269个，乙种零件201个，丙种零件211个。
将这些任务平均分给每位工人，余下的零件，甲种是丙种的3倍，乙种是丙种的2倍。
这个车间有多少位工人？7*在跑道两侧每隔4米种一棵树，结果第一棵与最后一棵相距48米，现在将树移栽成每隔6米种一棵，其中有几颗不要移栽？（外））1、琳琳买了3枝铅笔，2枝圆珠笔，6本练习本和12块橡皮。
已知铅笔5角一支，圆珠笔1元一支，其余单价琳琳记不清了。
营业员要琳琳付14元5角。
请问营业员的帐算错没有？为什么？2、735能被3整除，735能被7整除，735能否被21整除？3、2112X5356的积能否被33整除？4、一个五位数3□29□能被44整除，这个数除以11所得的商是多少？5、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出5个不同的数字，组成一个五位数，使它能同时被5、7、9、11整除，这个五位数最大是多少？6、有红球41个，黄球61个，白球57个，把它们平均分给几个小朋友。
剩下的红球是白球的6倍，剩下的黄球是白球的5倍。
求共有几个小朋友？7*开学了，张老师捧来了123本书，恰好能平均分给同学们，你知道这个班有多少个学生？平均每人分到几本书？8*公路上有一排电线杆，共25根，每相邻两根间的距离原来都是4.5米，现在要改成60米，可以有几根不需移动？行程问题（一）行程问题大致分三种：1、相向而行：速度和X相遇时间==距离2、相背而行：相背距离==速度和X时间3、同向而行：速度差X追及时间==追及距离例1、甲、乙两地相距300千米，客车从甲地开往乙地，每小时行40千米，1小时候，货车从乙地开往甲地，每小时行60千米。
货车出发几小时后与客车相遇？例2、甲、乙两船分别从相距550千米的A、B两港开出，速度为每小时40千米，求乙船开出后几小时与甲船相遇？例3、两辆汽车从相距500千米的两城同时出发，相向而行。
一辆摩托车以每小时80千米的速度在两汽车之间不断往返联络。
已知两汽车的速度分别为40千米和60千米。
求两汽车相遇时，摩托车共行了多少千米？例4、客车和货车同时从甲、乙两城相对开出，客车每小时行80千米，货车每小时行70千米。
两车相遇后又继续前进，到达甲、乙两城后又立即返回。
两车再次相遇时，客车比货车多行了45千米。
甲、乙两城之间的路程是多少千米？例5、辆汽车从甲地出发，速度是每小时50千米，在汽车开出1小时后，一辆摩托车乙每小时75千米的速度从同一地点出发沿统一行使路线去追赶这辆汽车，几小时可以追上？追上时距出发地的距离是多少千米？例早晨爸爸和小明从同一地点向相同的方向沿着小河边跑步，已知小河的周长为1千米，10分钟后，爸爸追上了小明。
已知两人的速度和为700米，求爸爸和小明的速度各是多少？试1、甲、乙两船分别从相距550千米的A、B两港之间相向开出，甲船每小时行30千米，出发2小时候，乙船才从B港开出，速度为每小时40千米。
求乙船开出后几小时与甲船相遇？试2、甲、乙两汽车同时从两地出发，相向而行。
甲汽车每小时行50千米，乙汽车每小时行55千米。
两车在距中点15千米处相遇。
求两地之间的路程是多少千米？试3、小明和小红从相距12千米的两地同时出发，相向而行。
小强负责骑自行车以每小时10千米的速度在两人之间不停往返联络。
已知小明每小时走3千米，小红每小时走2千米。
两人相遇时，小强一共行了多少千米？试4、甲、乙两船同时从A、B两港口相对开出往返行驶。
甲船每小时行30千米，乙船每小时行40千米。
两船第二次相遇时，乙船比甲船多行了45千米。
求A、B两港口相距多少千米？试5、一支队伍从西安出发，前往太原，每小时前进30千米，2.5小时后，通信员因故必须从西安出发，追上部队，每小时速度为80千米。
求几小时后通信员能够追上队伍？追上时距离西安多少千米？试6、甲骑车，乙跑步，两人同时从同一地点沿着长8千米的环行公路同方向前进，出发后20分钟，甲便从身后追上了乙，已知两人的速度和是1000米。
求甲、乙两人的速度各是多少？内1、南通到南京之间的公路长380千米，甲、乙两客车分别从南通和南京同时出发，相向而行。
甲车每小时行80千米，乙车每小时行120千米。
中途乙车因故障停留了0.25小时，求共经过几小时两车在途中相遇？2、一辆汽车和一辆摩托同时从A、B两城相对开出，汽车每小时行60千米，摩托车每小时70千米。
当摩托车行到两城中点处时，与汽车还相距30千米。
求A、B两城之间的路程？3、甲、乙两队学生从相距25千米的两地同时出发，相向而行。
一位老师骑自行车，在两队之际不停往返联络。
甲队每小时行4千米，乙队每小时行60千米。
两队相遇时，骑自行车的老师一共行了25千米。
求自行车的老师的速度？4、甲、乙两城相距450千米，客车和货车同时从两城相对开出并往返行驶，客车每小时行80千米，货车每小时行70千米，求到两车第二次相遇时，客车比货车多行了多少千米？5、一辆汽车从甲地出发，速度为每小时50千米，开出2小时后，一辆摩托车也从甲地出发去追赶汽车。