2018年中考数学专题训练——几何题中用旋转构造“手拉手”模型

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完整word版中考专题复习几何题用旋转构造手拉手模型

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型一、教学目标：，归纳掌握其基本特征．1.了解并熟悉“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．2.借助“手拉手模型”举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．3.二、教学重难点：，学会用旋转构造全等．1.挖掘和构造“手拉手模型”用旋转构造全等的解题方法最优化选择．2.三、教学过程：D 1.复习旧知EH为等边三角形，从中你能得出师：如图，△ABD，△BCE GF哪（1）△ABE CAB 4）△BFG为等边三角形CFB （3）些结论？DBFDBC≌△（2）△ABG≌△生：△≌△EGB （……）BH平分∠AHCB，F，四点共圆（8G7＝6DGH）（5△AGB∽△（）∠DHA60°（）H，，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，与△DBC师：我们再来重点研究△ABE 还有什么共同特征呢？．B，即同一个顶点B生：它们有同一个字母经过怎样的图形运动得到？看作由△ABE师：我们也可以把△DBC 60°得到．生：绕点B顺时针旋转2.引入新课，谁可以将这个模型的师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”特征再做进一步的简化归纳呢？生：对应边相等．师：我们可以称之为“等线段”．生：有同一个顶点．．师：我们可以称之为“共顶点”师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？生：旋转．“手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．师：3.小题热身3图1图2图．＝____BECAD于，则AF°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥4511．如图，△BAD中，∠BAD＝．＝______AECE＝4，则ABC△和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，2．如图2，．＝_______＝5，则EFBEEAF＝45°，＝3，DF，正方形3．如图3ABCD中，∠题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．2师：我们来看第1，第BCD．C逆时针旋转90°得△AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点生：题1中，等线段是．60°得△CBEB，△ABD绕点D顺时针旋转，共顶点是题2中，等线段是AB，BC 题，这里有“手拉手模型”吗？师：我们再来看第3 生：没有．师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？．，共顶点是A生：等线段是AD，AB 师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？90°．AE旋转，绕点A逆时针旋转生：将90°，你是如何思考的？师：为什么是逆时针旋转逆AE，那么将ADAB绕点A逆时针旋转90°即为全等的三角形，生：我准备构造一个和△ABE GD，证明全等．AG时针旋转90°可得，连接师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？“共顶点”的线段，将其旋转．生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？．步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”“共顶点”的线段旋转．：选择其中一个三角形，将其中经过2步骤．：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等步骤3 线段”间的夹角．师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？F三点共线．G，D，生：连接GD后，要证明4.例题精讲A度数．，求∠ADC，DC＝3，BD＝5：等边△例1ABC中，AD ＝4 师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？D要构造全等，该怎样旋转？CB生：将△ADC绕点A顺时针旋转60°．师：你是怎么想的，还有其他做法吗？A，A为“共顶点”，我选择的旋转线段生：我发现AB＝AC E也要绕，所以△ADC60是AD，因为AC绕点A顺时针旋转°到AB D°．点A顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点A逆时针旋转60BC【解答】≌△也为等边三角形．易证△AEBBE，DE．则△ADE绕点将ADA顺时针旋转60°到AE，连接°AEB＝∠ADC＝150BE＝DC＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠，∴ADCCOD＝?AOB?2：如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，例DA的长度为OD BC试求以AD、、OC＋BOC＝90?．若△的面积为1，三边长的三角形的面积．O师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角CB形？即是以△BCE，即可使OC，OD共线，再通过证明确定O生：将OD绕点逆时针旋转90°至OE 的长度为三边长的三角形．、BCOC＋ODAD、【解答】D．易证OE，连接BE如图，将OD 绕点O逆时针旋转90°至A OD＋、OCBCBCEADOAD△≌△OBE，＝BE，∴△即是以AD、E．＝22＝SOEOC长度为三边长的三角形．又∵＝，∴S BOC△BCE△O CB5.自主练习DA ACBABC＝∠，CD＝3，∠1．如图，在四边形ABCD中，AD＝4 ．45°，则BD的长为_________＝∠ADC＝，并写出解决方法．师：请找出隐含的“手拉手模型”BC绕点ADA．方法是将CA生：“等线段”是和BA，“共顶点”是°．顺时针旋转90A E为边，向外做正方，以ABC2．如图，在△中，BC＝2，ABAC＝2 ．BE形ACDE，连接，则BE最大值为_________D师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．A．EA，“共顶点”是A生：“等线段”是CA和C A逆时针旋转90°．方法是将AB绕点B师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？°．也绕点生：△ABC，因为AC是逆时针旋转90°到AE，所以ABA逆时针旋转90是等边三角形，BCB上，AB＝1，＝2，△ACDA3．如图，点在⊙D面积的最大值．求△BCD ，并写出解决方法．师：请找出隐含的“手拉手模型”A C．CA和CD，“共顶点”是“等线段”是生：BC°．C逆时针旋转60方法是将CA绕点附：自主练习解答E≌△EACAD1．如图，将绕点A顺时针旋转90°至AE，易证△°，DAB，可得CE＝BD，又∵∠＝90＝45°，∴∠CDEEDA DA2222＋3CDCDEDECD＝3，＝24，则Rt△中，CE＝＋DE＝241 ＝(42)CB41 DB，∴＝41∴CE＝，≌△EAFCAB，易证△°至绕点如图，将2.ABA逆时针旋转90AF E．由三，∴ABAFBAFRt2BCEF 可得＝＝．△中，＝＝2BF2＝D4. BEBF＋EFBE角形三边关系易知，≤，∴最小值为F ABC．CBDE，过点E作EF⊥C3.如图，将CB绕点逆时针旋转60°至CE，连接D，＝3，CBA≌CED 则DE＝1，EF△于作F于，过点DDG⊥CBG．易证E边上的高，可证作DGDG＜DE＋EF．过E A S，．＝，当D，EF三点共线时，DGDE＋EF即高的最大值为1＋3BCDmax△ GCBF13 3×（×＝21＋）＝＋12DEABFC．。

中考必会几何模型：手拉手模型(含答案)

1 手拉手模型
模型手拉手
如图，△ABC 是等腰三角形、△ADE 是等腰三角形，AB ＝AC ，AD
＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝α．
结论：连接BD 、CE ，则有△BAD ≌△CAE ．
模型分析
如图①，
∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ，∠CAE ＝∠DAE －∠DAC ．
∵∠BAC ＝∠DAE ＝α，
∴∠BAD ＝∠CAE ．
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
﹐﹐
﹐ 图②、图③同理可证．
（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．
（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型．
（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现．
模型实例
例1 如图，△ADC 与△EDG 都为等腰直角三角形，连接AG 、CE ，相交于点H ，问：
（1）AG 与CE 是否相等？
（2）AG 与CE 之间的夹角为多少度？
解答：
C D E A B 图① C D E A B 图② C
D E A B 图③ C D E G H A O。

旋转专题：手拉手模型训练

旋转专题：手拉手模型训练1．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：已知△ABC如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成作图并证明BE＝CD．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）●类比探究：如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE、BG，则线段CE、BG有什么数量关系？说明理由．●灵活运用：如图3，已知△ABC中，AB＝，BC＝3，∠ABC＝45°，过点A作EA⊥AC，垂足为A，且满足AC＝AE，求BE的长．2．将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题．（1）如图1，直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上的一点，将△ABD 绕点A逆时针旋转90°至△ACF，作AE平分∠DAF交BC于E，请证明：BD2+CE2＝DE2；（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是64cm2，则AC长是cm；（3）如图3，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，求CD的长．3．如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF．（1）试说明：△AED≌△AFD；（2）当BE＝3，CE＝9时，求∠BCF的度数和DE的长；（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD＝3，BC＝8，求DE2的长．4．已知正方形ABCD，E为平面内任意一点，连接AE，BE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC．（1）如图1，求证：①AE＝CF；②AE⊥CF．（2）若BE＝2，①如图2，点E在正方形内，连接EC，若∠AEB＝135°，EC＝5，求AE的长；②如图3，点E在正方形外，连接EF，若AB＝6，当C、E、F在一条直线时，求AE的长．5．△ABC中，BC＝8，以AC为边向外作等边△ACD．（1）如图①，△ABE是等边三角形，若AC＝6，∠ACB＝30°，求CE的长；（2）如图②，若∠ABC＝60°，AB＝4，求BD的长．6．（1）如图，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，问：BE与CD有什么数量关系？请说明理由；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方向ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，则BE和CD之间的数量关系是；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，四边形ADBC中，∠ACB＝45°，AC＝40，BC＝60，AB、CD是对角线，AB ⊥AD，AB＝AD，求CD的长；（4）探究：①在图1中，当∠ACB＝30°时，请直接写出DC、BC、AC之间的数量关系；②在图2中，当∠ACB＝45°时，请直接写出DC、BC、AC之间的数量关系．7．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．（1）如图1，若AB为边在△ABC外作△ABE，AB＝AE，∠DAC＝∠EAB＝60°，求∠BFC的度数；（2）如图2，∠ABC＝α，∠ACD＝β，BC＝6，BD＝8．①若α＝30°，β＝60°，AB的长为；②若改变α、β的大小，但α+β＝90°，求△ABC的面积．8．几何探究在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD 的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE．（2）如图2，若点D在线段CB的延长线上，∠BCE＝α，∠BAC＝β．则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．最大值．（3）如图3，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，BC＝4，求S△DCE。

(完整word版)用旋转构造“手拉手”模型

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型一、教学目标：1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征．2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．二、教学重难点：1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等．2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择．三、教学过程：1.复习旧知师：如图，△ABD ，△BCE 为等边三角形，从中你能得出哪些结论？生：（1）△ABE ≌△DBC （2）△ABG ≌△DBF （3）△CFB ≌△EGB （4）△BFG 为等边三角形（5）△AGB ∽△DGH （6）∠DHA ＝60°（7）H ，G ，F ，B 四点共圆（8）BH 平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE 与△DBC ，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？生：它们有同一个字母B ，即同一个顶点B ．师：我们也可以把△DBC 看作由△ABE 经过怎样的图形运动得到？生：绕点B 顺时针旋转60°得到．2.引入新课师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？生：对应边相等．师：我们可以称之为“等线段”．生：有同一个顶点．师：我们可以称之为“共顶点”．师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？生：旋转．师： “手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．H GF E DCBA3.小题热身图1 图2 图31．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE．2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______．师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE．师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？生：没有．师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？生：等线段是AD，AB，共顶点是A．师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°．师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等．师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转．师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”．步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过“共顶点”的线段旋转．步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等线段”间的夹角．师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？生：连接GD后，要证明G，D，F三点共线．4.例题精讲例1：等边△ABC中，AD＝4，DC＝3，BD＝5，求∠ADC度数．师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？要构造全等，该怎样旋转？生：将△ADC绕点A顺时针旋转60°．师：你是怎么想的，还有其他做法吗？生：我发现AB＝AC，A为“共顶点”，我选择的旋转线段是AD，因为AC绕点A顺时针旋转60°到AB，所以△ADC也要绕点A顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点A逆时针旋转60°．【解答】将AD绕点A顺时针旋转60°到AE，连接BE，DE．则△ADE也为等边三角形．易证△AEB≌△ADC，∴BE＝DC＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠AEB＝∠ADC＝150°例2：如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90︒．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形的面积．师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角形？生：将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，即可使OC，OD共线，再通过证明确定△BCE即是以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形．【解答】如图，将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，连接BE．易证△OAD≌△OBE，AD＝BE，∴△BCE即是以AD、BC、OC＋OD 长度为三边长的三角形．又∵OC＝OE，∴S△BCE＝2S△BOC＝2．EAOBCDDC BOABBDCBA5.自主练习1．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为 _________．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和BA ，“共顶点”是A ．方法是将AD 绕点A 顺时针旋转90°．2．如图，在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2，以AC 为边，向外做正方形ACDE ，连接BE ，则BE 最大值为_________．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和EA ，“共顶点”是A ．方法是将AB 绕点A 逆时针旋转90°．师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？生：△ABC ，因为AC 是逆时针旋转90°到AE ，所以AB 也绕点A 逆时针旋转90°． 3．如图，点A 在⊙B 上，AB ＝1，BC ＝2，△ACD 是等边三角形，求△BCD 面积的最大值．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和CD ，“共顶点”是C ．方法是将CA 绕点C 逆时针旋转60°．附：自主练习解答1．如图，将AD 绕点A 顺时针旋转90°至AE ，易证△EAC ≌△DAB ，可得CE ＝BD ，又∵∠EDA ＝45°，∴∠CDE ＝90°，CD ＝3，DE ＝42，则Rt △CDE 中，CE 2＝CD 2＋DE 2＝32＋ (42)2＝41∴CE ＝41，∴DB ＝412.如图，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至AF ，易证△EAF ≌△CAB ，可得EF ＝BC ＝2．Rt △BAF 中，AF ＝AB ＝2，∴BF ＝2．由三角形三边关系易知，BE ≤EF ＋BF ，∴BE 最小值为4.EDCBAADC BDFEBCDA3.如图，将CB绕点C逆时针旋转60°至CE，连接DE，过点E作EF⊥CB 于F，过点D作DG⊥CB于G．易证△CBA≌CED，则DE＝1，EF＝3，过E作DG边上的高，可证DG＜DE＋EF．当D，E，F三点共线时，DG＝DE＋EF．即高的最大值为1＋3，S△BCDmax＝12×2×（1＋3）＝1＋ 3FEDCBAGEFABCD。

2018年中考数学专题训练几何题中用旋转构造“手拉手”模型

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型一、教学目标：1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征．2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．二、教学重难点：1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等．2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择．三、教学过程： 1.复习旧知师：如图，△ABD ，△BCE 为等边三角形，从中你能得出哪些结论？生：（1）△ABE ≌△DBC （2）△ABG ≌△DBF （3）△CFB ≌△EGB （4）△BFG 为等边三角形（5）△AGB ∽△DGH （6）∠DHA ＝60°（7）H ，G ，F ，B 四点共圆（8）BH 平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE 与△DBC ，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？生：它们有同一个字母B ，即同一个顶点B ．师：我们也可以把△DBC 看作由△ABE 经过怎样的图形运动得到？生：绕点B 逆时针旋转60°得到．2.引入新课师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？生：对应边相等．师：我们可以称之为“等线段”．生：有同一个顶点．师：我们可以称之为“共顶点”．师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？生：旋转．师： “手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．H GFEDC B A3.小题热身图1 图2 图31．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE．2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______．师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE．师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？生：没有．师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？生：等线段是AD，AB，共顶点是A．师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°．师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等．师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转．师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”．步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过“共顶点”的线段旋转．步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等线段”间的夹角．师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？生：连接GD后，要证明G，D，F三点共线．4.例题精讲例1：等边△ABC中，AD＝4，DC＝3，BD＝5，求∠ADC度数．师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？要构造全等，该怎样旋转？生：将△ADC绕点A顺时针旋转60°．师：你是怎么想的，还有其他做法吗？生：我发现AB＝AC，A为“共顶点”，我选择的旋转线段是AD，因为AC绕点A顺时针旋转60°到AB，所以△ADC也要绕点A顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点A逆时针旋转60°．【解答】将AD绕点A顺时针旋转60°到AE，连接BE，DE．则△ADE也为等边三角形．易证△AEB≌△ADC，∴BE＝DC＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠AEB＝∠ADC＝150°例2：如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，AOB ＝COD ＝．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形的面积．师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角形？生：将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，即可使OC，OD共线，再通过证明确定△BCE即是以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形．【解答】如图，将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，连接BE．易证△OAD≌△OBE，AD＝BE，∴△BCE即是以AD、BC、OC＋OD长度为三边长的三角形．又∵OC＝OE，∴S△BCE＝2S△BOC＝2．EAOBCDDC BOABBDCBA5.自主练习1．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为 _________．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和BA ，“共顶点”是A ．方法是将AD 绕点A 顺时针旋转90°．2．如图，在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2，以AC 为边，向外做正方形ACDE ，连接BE ，则BE 最大值为_________．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和EA ，“共顶点”是A ．方法是将AB 绕点A 逆时针旋转90°．师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？生：△ABC ，因为AC 是逆时针旋转90°到AE ，所以AB 也绕点A 逆时针旋转90°． 3．如图，点A 在⊙B 上，AB ＝1，BC ＝2，△ACD 是等边三角形，求△BCD 面积的最大值．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和CD ，“共顶点”是C ．方法是将CA 绕点C 逆时针旋转60°．附：自主练习解答1．如图，将AD 绕点A 顺时针旋转90°至AE ，易证△EAC ≌△DAB ，可得CE ＝BD ，又∵∠EDA ＝45°，∴∠CDE ＝90°，CD ＝3，DE ＝42，则Rt △CDE 中，CE 2＝CD 2＋DE 2＝32＋ (42)2＝41 ∴CE ＝41，∴DB ＝412.如图，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至AF ，易证△EAF ≌△CAB ，可得EF ＝BC ＝2．Rt △BAF 中，AF ＝AB ＝2，∴BF ＝2．由三角形三边关系易知，BE ≤EF ＋BF ，∴BE 最小值为4.3.如图，将CB 绕点C 逆时针旋转60°至CE ，连接DE ，过点E 作EF ⊥CBEDCBAADC BDG EFABCDFEBCDA于F ，过点D 作DG ⊥CB 于G ．易证△CBA ≌CED ，则DE ＝1，EF ＝3，过E 作DG 边上的高，可证DG ＜DE ＋EF ．当D ，E ，F 三点共线时，DG ＝DE ＋EF ．即高的最大值为1＋3， S △BCDmax ＝12×2×（1＋3）＝1＋3FED CBA。

中考数学常考模型之手拉手模型

变式：（河南省2019年中考数学试卷第22题）
在△ABC中，CA＝CB,∠ACB = α, 点P是平面内不与点A，C重
合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到
线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α=60°时，BD 的值是 1
CP
交所成的较小角的度数是 60°．
，直线BD与直线CP相
模型分析
模型二相似型“手拉手”模型
模型展示
△AOB∽△COD，且绕公共顶点O旋转，模型特点
简记为：共顶点，非等腰，顶角相等，旋转得相似
结论
①△AOC∽△BOD；
② AC ＝ OA ＝ OC
BD OB OD
③两条“拉手线”AC，BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补
直击中考
例题（河南省2018年中考数学第22题）
（2）类比探究如图2，当α=90°时，请写出 BD 的值及直线BD与直线CP相交所
CP 成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
课堂小结模型一全等型“手拉手”模型
模型二相似型“手拉手”模型
共顶点，双等腰，顶角相等，旋转得全等
共顶点，非等腰，顶角相等，旋转得相似
作业布置：
1. 如图，△ADC与△EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，交CD于点O. (1)求证：AG＝CE； (2)求∠CHA的度数．
2.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD、CE，∠EAC＝ ∠DAB.(1)求证：△ABC∽△ADE；
问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，
∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：

手拉手旋转模型(解析版)-初中数学专项训练

手拉手旋转模型【基本模型】应用：通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题。

【例题精讲】1(基本模型1)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．(2)由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．(3)由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．【详解】(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．(2)由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN =60°=∠BAC ．在△ABM 和△ACN 中，∠BAM =∠CANAB =AC∠ABM =∠ACN∴△ABM ≌△ACN (ASA )．(3)由(2)知△ABM ≌△ACN ，∴AM =AN ，∵∠CAN =60°，∴△AMN 是等边三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．2(基本模型2)如图1，在△ABC 中，AE ⊥BC 于E ，AE =BE ，D 是AE 上的一点，且DE =CE ，连接BD ，CD．(1)试判断BD 与AC 的位置关系和数量关系，并说明理由；(2)如图2，若将△DCE 绕点E 旋转一定的角度后，试判断BD 与AC 的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；(3)如图3，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD 与AC 的数量关系，并说明理由；②你能求出BD 与AC 的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．【答案】(1)BD =AC ，BD ⊥AC ，理由见解析；(2)不变，理由见解析；(3)①BD =AC ，理由见解析；②能，60°或120°．【分析】(1)延长BD 交AC 于F ，根据“SAS ”判定△BED ≌△AEC ，根据全等三角形的性质，即可求证；(2)根据“SAS ”判定△BED ≌△AEC ，根据全等三角形的性质，即可求证；(3)①根据“SAS ”判定△BED ≌△AEC ，根据全等三角形的性质，即可求证；②设AC 与BD 交于点F ，根据全等三角形的性质，即可求证．【详解】(1)BD =AC ，BD ⊥AC ，理由：延长BD 交AC 于F ．∵AE ⊥BC ，∴∠AEB =∠AEC =90°，在△BED 和△AEC 中，BE =AE∠BED =∠AECDE =EC∴△BED ≌△AEC (SAS )，∴BD =AC ，∠DBE =∠CAE，∵∠BED=90°，∴∠EBD+∠BDE=90°，∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF+∠CAE=90°，∴∠AFD=180°-90°=90°，∴BD⊥AC；(2)不发生变化，理由是：∵∠BEA=∠DEC=90°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，在△BED和△AEC中，BE=AE∠BED=∠AEC DE=EC∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，∵∠DEC=90°，∴∠ACE+∠EOC=90°，∵∠EOC=∠DOF，∴∠BDE+∠DOF=90°，∴∠DFO=180°-90°=90°，∴BD⊥AC；(3)①∵∠BEA=∠DEC=90°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，在△BED和△AEC中，BE=AE∠BED=∠AEC DE=EC∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD=AC，②能．设AC与BD交于点F，如下图：理由：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60°，∠BEA=∠DEC=60°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，在△BED和△AEC中，BE=AE∠BED=∠AEC DE=EC，∴△BED≌△AEC(SAS)，∴∠BDE=∠ACE，BD=AC．∴∠DFC=180°-(∠BDE+∠EDC+∠DCF) =180°-(∠ACE+∠EDC+∠DCF)=180°-(60°+60°)=60°，即BD与AC所成的角的度数为60°或120°．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质．3(作辅助线方法1)已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点【问题解决】(1)如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°，小明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD，通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助小明写出证明过程；【类比探究】(2)如图2，已知∠ABC=∠ADB=30°．①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数；【答案】(1)见解析(2)①∠BDC=120°②；∠BDC的度数会变化，理由见解析【分析】(1)根据等边三角形的判定定理得到△ADE、△ABC是等边三角形，进而得到∠BAE=∠CAD，根据SAS证明△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠AEB=120°，得到答案；(2)①在BD上取一点E，AE=AD，证明△BAE≌△CAD，得到∠ADC=150°，可求出答案；②在DB延长线上取一点E，使得AE=AD，同理证明△BAE≌△CAD，求出∠ADC=∠E=30°，进而求出∠BDC．【详解】(1)证明：如图1，在BM上取一点E，使AE=AD，∵∠ADB=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠BAC=∠EAD，∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，即∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中AB=AC∠BAE=∠CAD AE=AD，∴△BAE≌△CAD SAS，∴∠ADC=∠AEB=120°，∴∠BDC=120°-60°=60°；(2)证明：①在BD 上取一点E ，AE =AD ，如图所示：∵∠ABC =∠ADB =30°，AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =30°，∠AED =∠ADE =30°，∴∠BAC =∠EAD =120°，∴∠BAE =∠CAD ，∵在△BAE 和△CAD 中AB =AC∠BAE =∠CAD AE =AD，∴△BAE ≌△CAD SAS ，∴∠ADC =∠AEB =180°-30°=150°，∴∠BDC =150°-30°=120°；②∠BDC 的度数会变化，理由如下：在DB 延长线上取一点E ，使得AE =AD ，如图所示：同理①的方法可证：△BAE ≌△CAD ，∴∠ADC =∠E =30°，∴∠BDC =∠ADE +∠ADC =30°+30°=60°．【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．4(作辅助线2)点D 为△ABC 外一点，∠ACB =90°，AC =BC．(1)如图1，∠DCE =90°，CD =CE ，求证：∠ADC =∠BEC ；(2)如图2，若∠CDB =45°，AE ∥BD ，CE ⊥CD ，求证：AE =BD ；【答案】(1)见解析(2)见解析(3)n 2-1+3【分析】(1)根据SAS 证明△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC =∠BEC ；(2)延长DC 交AE 于F ，连BF ，根据SAS 证明△ACE ≌△BCF ，则AE =BF ，∠BFC =∠AEC =45°=∠FDB ，结论得证；(3)过点C 在CD 上方作CE ⊥CD ,CE =CD ，连BE 、DE ．由(1)知△ACD ≌△BCE ，则∠BEC =∠ADC =15°，求出∠BED =30°，可求出OE ,OB 的长，则AD 可求出．【详解】(1)证明：∵∠DCE =∠ACB =90°，∴∠ACD =∠BCE ，又∵AC =BC ，CE =CD ，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴∠ADC =∠BEC ．(2)如图1，延长DC 交AE于F ，连BF ，∵AE ∥BD ，∴∠EFC =∠CDB =45°．∵EC ⊥CD ，∠CEF =∠CFE =45°，∴EC =CF ．∵∠ACE =∠BCF ，AC =BC ，∴△ACE ≌△BCF (SAS )，∴AE =BF ，∠BFC =∠AEC =45°=∠FDB ，∴BF =BD ，∴AE =BD ；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键，5(最值问题)在△ABC 中，∠ACB =90°,∠B =60°,AB =4,点D 是直线BC 上一动点，连接AD ，在直线AD 的右侧作等边△ADE ，连接CE ，当线段CE 的长度最小时，线段CD 的长度为．【答案】3【分析】在AC 的左侧作等边三角形ACF ，连接CE 、BF 、FD 、CF ，再证明△ADF ≌△AEC , 可得CE =DF , 再利用DF ⊥BC 时，DF 最短，从而可得答案.【详解】解：在AC 的左侧作等边三角形ACF ，连接CE 、BF 、FD 、CF ，∵∠ACB =90°,∠B =60°,则∠BAC =30°,则∠FAB =∠FAC -∠BAC =60°-30°=30°，故点C 、F 关于AB 对称，则∠ABF =∠ABC =60°，BF =BC =12AB =12×4=2，∵△AFC ,△ADE 均为等边三角形，∴∠FAD +∠DAC =60°，∠DAC +∠EAC =60°，AF =AC ,AD =AE ,∴∠FAD =∠EAC ，∴ΔADF ≅ΔAEC (SAS )，∴DF =EC ，当DF ⊥BC 时，DF 最小，由∠ABC =∠ABF =60°,BC =BF =2,∴∠FBD =60°,∠DFB =30°,故BD =12BF =12×2=1，故CD 的长度为BD +CB =1+2=3，故答案为：3.【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含30°的直角三角形的性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键.6(培优综合)如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°．点D是AC中点，连接BD，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，过点C作CF⊥BD于点F．(1)求证：∠EAD=∠CBD；(2)求证：BF=2AE；(3)如图2，将△BCF沿BC翻折得到△BCG，连接AG，请猜想并证明线段AG和AB的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)：AG=AB，理由见解析【分析】(1)根据角度的等量代换即可求解．(2)证明△AEC≌△BPC后，运用角度等量代换，求得CF=PF；证明△AED≌△CFD即可求解．(3)证明△AEB≌△BHA，根据线段的等量代换以及运用等腰三角形三线合一的证明即可求解．【详解】(1)证明：∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠EAD+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDC，∴∠EAD+∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EAD=∠CBD；(2)证明：如图1，连接CE，在BF上截取BP=AE，连接CP，∵∠EAD=∠CBD，AC=BC，∴△AEC≌△BPC(SAS)，∴CE=CP，∠ACE=∠BCP，∴∠ACE+∠DCP=∠BCP+∠DCP，∴∠ECP=∠DCB=90°，∵CE=CP，CF⊥BD，∴∠CEP=∠CPF=∠PCF=45°，∴CF=PF，∵点D是AC的中点，∴AD=CD，∵∠AED=∠CFD=90°，∠ADE=∠CDF，∴△AED≌△CFD(AAS)，∴AE =CF ，∴AE =PF ，∴BF =BP +PF =2AE ；(3)结论：AG =AB ，证明如下：如图2，取BG 的中点H ，连接CE ，CH ，AH ，∴BH =12BG =12BF =AE ，∵∠HBC =∠PBC =∠EAC ，∴∠EAC +∠CAB =∠HBC +∠CBA ，∴∠EAB =∠HBA ，∵AB =BA ，∴△AEB ≌△BHA (SAS )，∴∠BHA =∠AEB =90°，∴AH ⊥BG ，∵BH =HG ，∴AG =AB ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及运用等边三角形三线合一的证明，运用全等可以进行角度与线段的等量代换进行题目求解，全等三角形的判定SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 要熟记．【变式训练】1在△ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点(不与B 、C 重合)，把线路AD 绕着点A 逆时针旋转至AE (即AD =AE )，使得∠DAE =∠BAC ，连接DB 、CE ．(1)如图1，点D 在线段BC 上，如果∠BAC =90°，则∠BCE =度．(2)如图2，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC =60°，则∠BCE =度．(3)如图3，设∠BAC =α，∠BCE =β，当点D 在线段BC 上移动时，α，β的数量关系是什么？请说明理由．(4)设∠BAC=α，∠BCE=β，当点D在直线BC上移动时，请直接写出α，β的数量关系，不用证明．【答案】(1)90(2)120(3)α+β=180°(4)α+β=180°或α=β【分析】(1)由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度数；(2)由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC=∠ACE=60°，可求∠BCE的度数；(3)由“SAS”可证△BAD≌△CAE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；(4)由“SAS”可证△BAD≌△CAE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】(1)解：∵∠BAC=90°，∴∠DAE=∠BAC=90°，∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS，∴∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；(2)∵∠BAC=60°，∴∠DAE=∠BAC=60°，∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠ACB=60°，∠ADE=∠AED=60°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，故答案为：120；(3)α+β=180°，理由如下：∵AB =AC ，AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，∴∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE SAS ，∴∠ACE =∠B ，∴∠ACE +∠ACB =∠B +∠ACB ，∵∠BCE =∠ACB +∠ACE =β，∴∠B +∠ACB =β，∵∠BAC =α，∠BAC +∠B +∠ACB =180°，∴α+β=180°；(4)如图4，当点D 在BC 的延长线上时，α+β=180°，证明方法同(3)；如图5，当点D 在CB 的延长线上时，α=β，理由如下：∵∠DAE =∠BAC ，∴∠DAB +∠BAE =∠EAC +∠BAE ，∴∠DAB =∠EAC ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE SAS ，∴∠ABD =∠ACE ，∵∠ABD =∠BAC +∠ACB ，∠ACE =∠BCE +∠ACB ，∴∠BAC =∠BCE ，∵∠BAC =α，∠BCE =β，∴α=β．综上，α+β=180°或α=β．【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明△BAD ≌△CAE 是解题的关键．2已知，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D 为BC 的中点．(1)观察猜想如图①，若点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，则线段DE 与DF 的数量关系是；线段DE 与DF 的位置关系是．(2)类比探究如图②，若点E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE =AF ，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；(3)解决问题如图③，若点E 、F 分别为AB 、CA 延长线的点，且BE =AF =13AB =2，请直接写出△DEF 的面积．【答案】(1)DE =DF ，DE ⊥DF ；(2)成立，证明见解析；(3)17【分析】(1)由点E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 的中点，可得ED =12AC ，DF =12AB ，ED ∥AC ，DF ∥AB ，再由AB =AC ，∠A =90°，得DE =DF ，∠BDE =∠FDC =∠C =45°，由此即可得到答案；(2)连接AD ，只需要证明△BDE ≌△ADF ，得到DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，即可得到结论；(3)连接AD ，证明△BDE ≌△ADF 得到S △BDE =S △ADF ，则S △DEF =S △ABD +S △AEF =12S △ABC +S △AEF ，由此求解即可．【详解】解：(1)∵点E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴ED =12AC ，DF =12AB ，ED ∥AC ，DF ∥AB ，∵AB =AC ，∠A =90°，∴DE =DF ，∠BDE =∠FDC =∠C =45°，∴∠EDF =90°即DE ⊥DF ，故答案为：DE =DF ，DE ⊥DF ；(2)结论成立：DE =DF ，DE ⊥DF ，证明：如图所示，连接AD ，∵AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 的中点，∴AD =12BC =BD =CD ，且AD 平分∠BAC ，∠B =∠C =45°，∴∠BAD =∠CAD =45°，在△BDE 和△ADF 中，BD =AD∠B =∠DAF =45°BE =AF，∴△BDE ≌△ADF SAS ，∴DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，∵∠BDE +∠ADE =90°，∴∠ADF +∠ADE =90°，即∠EDF =90°，即DE ⊥DF ；(3)如图所示，连接AD ，∵AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 的中点，∴∴AD =12BC =BD =CD ，且AD 平分∠BAC ，∠ABC =∠C =45°，∴∠BAD =∠CAD =45°，∴∠FAD =180°-∠CAD =135°，∠EBD =180°-∠ABC =135°，∴∠FAD =∠EBD ,在△BDE 和△ADF 中，BD =AD∠EBD =∠FAD BE =AF，∴△BDE ≌△ADF (SAS )，∴S △BDE =S △ADF ，∴S △DEF =S △ABD +S △AEF =12S △ABC +S △AEF，∵BE =AF =13AB =2，∴AB =AC =6，∴AE =AB +BE =8，∴S △DEF =12S △ABC +S △AEF =12×2×8+12×12×6×6=17【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．3有如下一道作业题：如图1，四边形ABCD 是正方形，以C 为直角顶点作等腰直角三角形CEF ，DF ．求证：△BCE ≌△DCF ．(1)请你完成这道题的证明：(2)如图2，在正方形ABCD 中，点N 是边CD 上一点，CM =CN ，连接DM ，连接FC ．①求证：∠BFC =45°．②把FC 绕点F 逆时针旋转90°得到FP ，连接CP (如图3)．求证：BF =CP +DF ．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②见解析【分析】(1)由正方形的性质可知CB =CD ，∠BCD =90°，再根据题意推出∠BCE =∠DCF ，以及CE =CF ，从而利用“SAS ”证明全等即可；(2)①根据题意可先证明△BCN ≌△DCM ，从而推出∠CBN =∠CDM ，然后作CG ⊥CF 交BF 于G 点，再证明△BCG ≌△DCF ，即可得到△CFG 为等腰直角三角形，从而得出结论；②作CQ ⊥CF 交BF 于Q 点，结合①的结论，可得BQ =DF ，然后结合题意证明四边形CQFP 为平行四边形，即可得到CP =QF ，从而证得结论．【详解】(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴CB =CD ，∠BCD =90°，即：∠BCE +∠ECD =90°，∵△CEF 为等腰直角三角形，∴CE =CF ，∠ECF =90°，即：∠ECD +∠DCF =90°，∴∠BCE =∠DCF ，在△BCE 与△DCF 中，CB =CD∠BCE =∠DCFCE =CF∴△BCE ≌△DCF (SAS )；(2)①由正方形性质可知，∠BCN =∠DCM =90°，在△BCN 和△DCM 中，BC =DC∠BCN =∠DCMCN =CM∴△BCN ≌△DCM (SAS )，∴∠CBN =∠CDM ，如图，作CG ⊥CF 交BF 于G 点，则∠GCF =90°，∴∠BCG =∠DCF ，在△BCG 和△DCF 中，∠CBG =∠CDFBC =DC∠BCG =∠DCF∴△BCG ≌△DCF (ASA )，∴CG =CF ，∴△CFG 为等腰直角三角形，∴∠BFC =45°；②如图所示，作CQ ⊥CF 交BF 于Q 点，由①可知，△BCQ ≌△DCF ，∴BQ =DF ，且由①证明可知，△CQF 为等腰直角三角形，∵FP 由FC 绕F 点旋转90°得到，∴△CFP 为等腰直角三角形，∴∠P =∠CQF =45°，∠QFP =∠QCP =90°+45°=135°，∴四边形CQFP 为平行四边形，∴CP =QF ，∵BF =QF +BQ ，∴BF =CP +DF ．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平四边形的判定与性质等，熟练掌握图形的基本性质，掌握几何证明中的常见模型是解题关键．4(1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则∠AEB 的度数为，线段AD 、BE 之间的数量关系；(2)拓展探究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE =90°，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由．(3)解决问题：如图3，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB =∠DCE =α，则直线AD 和BE 的夹角为．(请用含α的式子表示)【答案】(1)90°，AD =BE ；(2)AD =BE ，AD ⊥BE ；(3)α【分析】(1)由已知条件可得AC =BC ，CD =CE ，进而根据∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ，可得∠ACD =∠BCE ，证明△ACD ≌△BCE (SAS )，即可求得AD =BE ；∠BEC =∠CDA =135°；(2)延长AD 交BE 于点F ，同理可得△ACD ≌△BCE ，设∠FAB =α，则∠CAD =∠CBE =45°-α，根据∠ABE =45°+45°-α=90°-α，进而根据∠AFB =180°-∠FAB -∠ABE =180°-α-(90°-α)=90°，即可求解；(3)延长BE 交AD 于点G ，方法同(2)证明△ACD ≌△BCE ，进而根据三角形的内角和定理即可求得直线AD 和BE 的夹角．【详解】(1)∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，∴AC =BC ，CD =CE ，∠CDE =45°∴∠CDA =135°∵∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ，∴∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC =BC∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴∠BEC =∠ADC =135°，AD =BE∴∠AEB =90°故答案为：90°，AD =BE(2)AD =BE ，AD ⊥BE ，理由如下，同理可得△ACD ≌△BCE ，则AD =BE ，延长AD 交BE 于点F ，设∠FAB =α，则∠CAD =∠CBE =45°-α∴∠ABE =45°+45°-α=90°-α∴∠AFB =180°-∠FAB -∠ABE =180°-α-(90°-α)=90°∴AD ⊥BE(3)如图，延长BE 交AD 于点G ，∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∴AC =BC ，CD =CE，∵∠ACB =∠DCE =α，∵∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，∴∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC =BC∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴∠CBE =∠CAD∵∠ACB =∠DCE =α∴∠CBA =∠CAB =12180°-α =90°-12α∴∠GAB +∠GBA =∠CAD +∠CAB +∠ABC -∠CBE ，=∠ABC +∠CAB =180°-α，∴∠AGB =180°-(∠GAB +∠GBA )=α，即直线AD 和BE 的夹角为α．故答案为：α．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握旋转模型证明三角形全等是解题的关键．【课后训练】5如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，点D 为三角形右侧外一点．且∠BDC =45°．连接AD ，若△ACD 的面积为98，则线段CD 的长度为．【答案】32【分析】过点B 作BE ⊥BD ，交DC 的延长线于点E ，连接AE ，由题意易得△EBD 是等腰直角三角形，然后可证△BCD ≌△BEA ，则有∠BDC =∠BEA =45°，AE =CD ，进而根据三角形面积公式可进行求解．【详解】解：过点B 作BE ⊥BD ，交DC 的延长线于点E ，连接AE ，如图所示：∵∠ABC =90°，∴∠ABE +∠EBC =∠EBC +∠CBD =90°，∴∠ABE =∠CBD ，∵∠BDC=45°，∠EBD =90°，∴△EBD 是等腰直角三角形，∴∠BDC =∠BED =45°，BE =BD ，∵AB=BC，∴△BCD≌△BAE(SAS)，∴∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，∴∠AED=∠AEB+∠BED=90°，∵S△ACD=12CD⋅AE=98，∴CD2=94，∴CD=32；故答案为32．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质及等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是构造旋转型全等，抓住等腰直角三角形的特征．6如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°．E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，则三角形AEF的周长为．【答案】10【分析】延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出EF =EN，易得△AEF的周长等于AB+AC．【详解】解：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，∵在△NBD和△FCD中，BD=DC∠NBD=∠FCDBN=CF，∴△NBD≌△FCD(SAS)，∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，DE=DE∠EDF=∠EDNDN=DF，∴△EDN≌△EDF(SAS)，∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EF．∵△ABC是边长为5的等边三角形，∴AB=AC=5，∵BE+CF=EF，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，且△ABC的面积为16，过点B作直线EF∥AC，点G是直线EF上的一个动点，连接AG，将AG绕点A顺时针旋转90°，得到线段AH，连接BH，则线段BH的最小值为．【答案】42【分析】如图所示：连接CG．由旋转的性质可知AG=AH，∠GAH=90°，再由∠BAC=90°，可知∠HAB=∠CAG．可证△ABH≅△ACG．可得BH=CG．BH最小转化成求CG最小．只需CG⊥BG就可以了．由此可得四边形ABGC是正方形．由△ABC的面积是16，可求BH的值为43．【详解】如图所示：连接CG．由旋转的性质可知：AG=AH，∠GAH=90°．∵∠BAC=90°∴∠BAC-∠BAG=∠GAH-∠BAG，即∠HAB=∠CAG．在△ABH和△ACG中，AB=AC∠HAB=∠CAG AH=AG△ABH≅△ACG∴BH=CG要让BH最小，也就是要CG最小，∴CG⊥BG时，CG最小．∵EF∥AC，∠BAC=90°，∴∠ABG=∠BAC=90°∵CG⊥BG∴四边形ABGC时矩形，∵AB=AC∴矩形ABGC是正方形．∴AB=BG=CG=AC．∵△ABC的面积为16，=16，∴AB•AC2解得：AB=AC=42．∴AB=AC=CG=BH=42．故答案为：42【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定定理、矩形的性质和判定定理、正方形的性质和判定定理、等腰直角三角形的性质等知识．证得三角形全等，由求BH转化成求CG，和让CG⊥BG时，CG最短是解决本题的关键．8(1)如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系．(2)在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)AE=BD，AE⊥BD，证明见解析．(2)∠ADB=90°，AD=2CM+BD．证明见解析【分析】(1)延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD(SAS)，即可解决问题；(2)由△ACE≌△BCD，即可解决问题．【详解】解：(1)如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°．∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案为AE=BD，AE⊥BD；(2)∠ADB =90°，AD =2CM +BD ，理由如下：如图2中，∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，∴∠CDE =∠CED =45°，∴∠AEC =180°-∠CED =135°，由(2)可知：△ACE ≌△BCD ，∴AE =BD ，∠BDC =∠AEC =135°，∴∠ADB =∠BDC -∠CDE =135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM =DM =ME ，∴DE =2CM ，∴AD =DE +AE =2CM +BD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．9如图，四边形ABCD 中，已知∠BAC =∠BDC =90°，且AB =AC ．(1)求证：∠ABD =∠ACD ；(2)记△ABD 的面积为S 1，△ACD 的面积为S 2．①求证：S 1-S 2=12AD 2；②过点B 作BC 的垂线，过点A 作BC 的平行线，两直线相交于M ，延长BD 至P ，使得DP =CD ，连接MP ．当MP 取得最大值时，求∠CBD 的大小．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②∠CBD =22.5°【分析】(1)设AC ，BD 相交于点O ．根据题意可知∠ABD +∠AOB =90°，∠ACD +∠DOC =90°．再根据对顶角相等，即∠AOB =∠DOC ，即得出∠ABD =∠ACD ；(2)①过点A 作AE ⊥DA 交CD 的延长线于点E ，即易证△ABD ≌△ACE (ASA )，得出AD =AE ，S △ABD =S △ACE ．又易证△DAE 是等腰直角三角形，最后根据三角形面积关系可得出S 1-S 2=S △ACE -S 2=S △DAE =12AD 2即可求出；②由(2)①知，△DAE 是等腰直角三角形，进而证明△ADC ≌△ADP (SAS )，可知AC =AP ，在△AMP 中，根据三角形的三边关系可得，MP <MA +AP ，当M ，A ，P 三点共线时，MP 取得最大值，最后根据等腰三角形的性质结合平行线的性质即可求出答案．【详解】(1)如图，设AC ，BD 相交于点O ．∵∠BAC =∠BDC =90°，∴∠ABD +∠AOB =90°，∠ACD +∠DOC =90°．又∵∠AOB =∠DOC ，∴∠ABD =∠ACD ；(2)①如图，过点A 作AE ⊥DA 交CD 的延长线于点E ，∴∠EAD =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAC +∠DAC =∠EAD +∠DAC ，∴∠BAD =∠CAE ，由(1)知∠ABD =∠ACD ，又∵AB =AC ，∴△ABD ≌△ACE (ASA )，∴AD =AE ，S △ABD =S △ACE ．∵∠DAE =90°∴△DAE 是等腰直角三角形．∴S 1-S 2=S △ACE -S 2=S △DAE =12AD 2．②如图，由(2)①知，△DAE 是等腰直角三角形．∴∠ADE =∠AEC =45°，∴∠ADC =135°，∵∠BDC =90°，∴∠ADP =135°，∵DP =CD ，AD =AD ，∴△ADC ≌△ADP (SAS )，∴AC =AP ，在△AMP 中，AM ，AP 是定长，∴MP <MA +AP ，∴当M ，A ，P 三点共线时，MP 取得最大值，如图．∵AB =AC ，AP =AC ，∴AB =AP ，∴∠APB =∠ABD ．∵AM ∥BC ，∴∠APB =∠CBD ，∴∠ABD =∠CBD =12∠ACB =22.5°．【点睛】本题是三角形的综合，考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的三边关系等知识，综合性强，为压轴题．熟练掌握上述知识，正确作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键．10在△ABC 中，∠B =90°，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，连接EA ，EC ，ED ．(1)如图1，当∠BAC=40°时，则∠AED=°；(2)当∠BAC=60°时，①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE-PD的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为，并证明．【答案】(1)100；(2)①△ADE时等边三角形，证明见解析；②PE-PD=2AB．证明见解析．【分析】(1)利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；(2)①△ADE时等边三角形，证明EA=ED，∠AED=60°即可；②结论：PE-PD=2AB．如图，作点D 关于直线CF的对称点D ，连接CD ，DD ，ED ．当点P在ED 的延长线上时，PE-PD的值最大，此时PE-PD=ED ，利用全等三角形的性质证明ED =AC，可得结论．【详解】(1)解：∵点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，∴EA=EC=ED，∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，∵∠ABC=90°，∠BAC=40°，∴∠ACB=90°-40°=50°，∴∠ACD=180°-50°=130°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=260°，∴∠AED=360°-260°=100°，故答案为：100．(2)解：①结论：△ADE时等边三角形．理由：∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，∴EA=EC=ED，∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=90°-60°=30°，∴∠ACD=180°-30°=150°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=300°，∴∠AED=360°-300°=60°，∴△ADE时等边三角形；②结论：PE-PD=2AB．理由：如图，作点D关于直线CF的对称点D ，连接CD ，DD ，ED ．∵PE-PD=PE-PD <ED则，点P在ED 的延长线上时，PE-PD的值最大，此时PE-PD=ED ，∵∠CFD+∠CFE=180°，∠CFD=∠CAE，∴∠CAE+∠CFE=180°，∴∠ACF+∠AEF=180°，∵∠AED=60°，∴∠ACF=120°，∴∠ACB=∠FCD=30°，∴∠DCF=∠FCD =30°，∴∠DCD =60°，∵CD=CD ，∴△CDD 时等边三角形，∴DC=DD ，∠CDD =∠ADE=60°，∴∠ADC=∠EDD ，∵DA=DE，∴△ADC≌△EDD (SAS)，∴AC=ED ，∵∠B=90°，∠ACB=30°，∴AC=2AB，∴PE-PD=2AB．故答案为：PE-PD=2AB．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．11在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)(请直接写出你的结论)如图1，当点D在线段BC上：①如果∠BAC=90°，则∠BCE=°；②如果∠BAC=100°，则∠BCE=°；(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．【答案】(1)①90；②80；(2)①α+β=180°，理由见解析；②图见解析，α+β=180°或α=β【分析】、(1)①由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度数；②由等腰三角形的性质求出∠ABD=∠ACB=40°，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE=40°，则可得出结论；(2)①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：(1)①∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；②∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABD=∠ACB=40°，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE=40°，∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=40°+40°=80°，故答案为：80．(2)①α+β=180°，理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°．②如图1：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴∠ABD =∠ACE ，在△ABC 中，∠BAC +∠B +∠ACB =180°，∴∠BAC +∠ACE +∠ACB =∠BAC +∠BCE =180°，即：∠BCE +∠BAC =180°，∴α+β=180°，如图2：当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α=β．连接BE ，∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ，又∵AB =AC ，AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴∠ABD =∠ACE ，∴∠ABD =∠ACE =∠ACB +∠BCE ，∴∠ABD +∠ABC =∠ACE +∠ABC =∠ACB +∠BCE +∠ABC =180°，∵∠BAC =180°-∠ABC -∠ACB ，∴∠BAC =∠BCE ．∴α=β；综上所述：点D 在直线BC 上移动，α+β=180°或α=β．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．12如图1，∠ACD =90°，AC =DC ，MN 是过点A 的直线，过点D 作DB ⊥MN 于点B ，连接CB ；过点C 作CE ⊥CB ，与MN 交于点E ．(1)连接AD ，AD 是AC 的倍；(2)直线MN 在图1所示位置时，可以得到线段BD 和AE 的数量关系是，BD -BA 与BC 之间的数量关系是，请证明你的结论；(3)直线MN 绕点A 旋转到图2的位置，若BD =2，BC =2，则AB 的长为(直接写结果)；(4)直线MN 绕点A 旋转到图3的位置时，直接写出线段BA ，BC ，BD 之间的数量关系．【答案】(1)2；(2)AE =BD ，BD -AB =2BC ；(3)4；(4)BA+BD=2BC【分析】(1)由∠ACD=90°，AC=DC，根据勾股定理可直接得出答案；(2)先证明△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形，即可得出答案；(3)先证明△ACE≌△DCB，CE=BC，得到△BCE为等腰直角三角形，得到AB=BD+2BC，即可得出答案；(4)先证明△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形即可得出答案．【详解】(1)解：连接AD，设AC=a，则DC=a，∴AD=AC2+DC2=a2+a2=2a，即AD是AC的2倍，故答案为：2．(2)如图1，设AC与BD交于O，由题可知，∠BCE=90°=∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，∵BD⊥MN，∴∠ABD=90°=∠ACD，∵∠AOB=∠DOC，∴∠BAC=∠CDB，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB(ASA)，∴CE=BC，AE=BD，∵∠BCE=90°，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=2BC，∵BE=AE-AB=BD-AB，∴BD-AB=2BC；故答案为：AE=BD；BD-AB=2BC；(3)解：如图2，设CD与MN交于O，由题可知，∠BCE=90°=∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，∵BD⊥MN，∴∠ABD=90°=∠ACD，∵∠AOC=∠DOB，∴∠BAC=∠CDB，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB(ASA)，∴CE=BC，AE=BD，∵∠BCE=90°，∴BE=2BC，∵BE=AB-AE=AB-BD，∴AB=BD+2BC，∵BD=2，BC=2，∴AB=BD+2BC=4，故答案为：4．(4)∴∠BCE=90°=∠ACD，∴∠ACE=∠DCB，∠CEB+∠CBE=90°，∵BD⊥MN，∴∠ABD=90°，∴∠CBE+∠CBD=90°，∴∠CEB=∠CBD，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB(AAS)，∴CE=BC，AE=BD，∵∠BCE=90°，∴BE=2BC，∵BE=AE+BA=BD+BA，∴BA+BD=2BC，故答案为：BA+BD=2BC．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．。

手拉手模型-含答案

手拉手模型一．填空题（共18小题）1．已知△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝7，BC＝17，以AC为斜边在△ABC外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为．3．四边形ABCD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，AD＝，CD＝14，则BD＝．4．已知在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABC＝∠ADC＝60°，连接BD，若CD＝2，AB ＝2，则BD的长度为．5．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝45°，CD＝，BC＝，连接AC、BD，若AC⊥AB，则BD的长度为．6．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC 长为．7．如图，D为△ABC内一点，且AD＝BD，若∠ACD＝∠DAB＝45°，AC＝5，则S△ABC ＝．8．如图，线段AB绕着点A逆时针方向旋转120°得到线段AC，点B对应点C，在∠BAC 的内部有一点P，P A＝8，PB＝4，PC＝4，则线段AB的长为．9．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，＝，D为△ABC外一点，连接AD、CD．若∠ADC＝30°，AC＝AD，则的值为．10．如图，△ABC、△CDE是两个直角三角板，其中∠ECD＝∠ACB＝90°，∠CED＝45°，∠CAB＝30°，若AB＝DE＝2，将直角三角板CDE绕点C旋转一周，则|AD﹣BE|的最大值为．11．如图，点D为等边△ABC外一点，∠ADC＝60°，连接BD，若AD＝8，△BCD的面积为，则BD的长为．12．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝6，AD⊥AC，AD＝AC，连接BD，则BD的长为．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝12，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD，且∠DAC＝120°，则BD的长为．14．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠APC＝165°，P A＝3，PC＝，则PB＝．15．如图，在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，P是△ABC内一点，使P A＝11，PB＝7，PC＝6，则∠BPC＝．16．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB═6+．其中正确的结论是．17．等边△ABC的边长为2，三角形外部有一点D，CD＝2，连接AD、BD，若∠ADC ＝30°，则BD的长为．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，∠BAD的平分线AE与DC边相交于点E，连接BE，AC，若AC＝7，△BCE的周长为16，则线段BC 的长为．二．解答题（共22小题）19．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：已知△ABC如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成作图并证明BE＝CD．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）●类比探究：如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE、BG，则线段CE、BG有什么数量关系？说明理由．●灵活运用：如图3，已知△ABC中，AB＝，BC＝3，∠ABC＝45°，过点A作EA⊥AC，垂足为A，且满足AC＝AE，求BE的长．20．将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题．（1）如图1，直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上的一点，将△ABD 绕点A逆时针旋转90°至△ACF，作AE平分∠DAF交BC于E，请证明：BD2+CE2＝DE2；（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是64cm2，则AC长是cm；（3）如图3，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，求CD的长．21．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且△ABE为等边三角形．（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP与EC的数量关系是．（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为，求线段AC的长．22．某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①CF与BC的位置关系为；②CF，DC，BC之间的数量关系为（直接写出结论）；（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，将△DAF沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE，若已知4CD＝BC，AC＝2，请求出线段CE的长．23．在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD，将△BEC绕点C 逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO．（1）如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量关系；（2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若BC＝4，CD＝2，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，请直接写出线段OD的长．24．如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF．（1）试说明：△AED≌△AFD；（2）当BE＝3，CE＝9时，求∠BCF的度数和DE的长；（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD＝3，BC＝8，求DE2的长．25．已知正方形ABCD，E为平面内任意一点，连接AE，BE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC．（1）如图1，求证：①AE＝CF；②AE⊥CF．（2）若BE＝2，①如图2，点E在正方形内，连接EC，若∠AEB＝135°，EC＝5，求AE的长；②如图3，点E在正方形外，连接EF，若AB＝6，当C、E、F在一条直线时，求AE的长．26．（1）问题背景：已知，如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，AB＝a，△ABC的面积为S，则有BC＝a，S＝a2．（2）迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；②求∠ADB的度数．③若AD＝2，BD＝4，求△ABC的面积．（3）拓展延伸：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，在∠BAC内作射线AM，点D与点B关于射线AM轴对称，连接CD并延长交AM于点E，AF⊥CD于F，连接AD，BE．①求∠EAF的度数；②若CD＝5，BD＝2，求BC的长．27．【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．（1）如图①，当α＝60°时，线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为；（2）如图②，当90°＜α＜180°时，直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角．【运用拓广】运用所形成的结论解决问题：（3）如图③，四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD ＝，求AD的长．28．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＝ON），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；（2）若将△MON绕点O顺时针旋转，①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2＝2ON2；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，请直接写出线段BN的长．29．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠EAD＝180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE＝90°时，求证：CD＝2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由；（3）如图②，若∠ADC＝90°，AD＝5，AC＝13，求BE2的值．30．（1）【操作发现】如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD ＝40°，连接AC，BD交于点M．①的值为；②∠AMB的度数为．（2）【类比探究】如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．计算的值及∠AMB的度数；（3）【实际应用】在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．31．△ABC中，BC＝8，以AC为边向外作等边△ACD．（1）如图①，△ABE是等边三角形，若AC＝6，∠ACB＝30°，求CE的长；（2）如图②，若∠ABC＝60°，AB＝4，求BD的长．32．阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，P A＝，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连接PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）图2中∠BPC的度数为；（2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且P A＝，PB＝4，PC＝2，则∠BPC的度数为，正六边形ABCDEF的边长为．33．（1）如图，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，问：BE与CD有什么数量关系？请说明理由；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方向ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，则BE和CD之间的数量关系是；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，四边形ADBC中，∠ACB＝45°，AC＝40，BC＝60，AB、CD是对角线，AB ⊥AD，AB＝AD，求CD的长；（4）探究：①在图1中，当∠ACB＝30°时，请直接写出DC、BC、AC之间的数量关系；②在图2中，当∠ACB＝45°时，请直接写出DC、BC、AC之间的数量关系．34．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD＝3，BD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°，求CD的长；（3）如图3，四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠ABC＝α，tanα＝，BD＝5，AD＝12，求CD的长．35．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：（1）如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成作图并证明BE＝CD．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）类比探究：（2）如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE、BG，则线段CE、BG有什么关系？说明理由．灵活运用：（3）如图3，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC ＝30°，AD＝2，BD＝3，求CD的长．36．（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，试猜想BE与CD的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AD＝CD，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，求BD的长；（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．37．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，把AB绕点B逆时针旋转一定角度到点D．连接AD、DC．使得∠DAC＝∠BDC，当DC＝时，求线段AC的长．38．请阅读下列材料：问题：如图1，在等边△ABC内有一点P，且P A＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A（如图2），连接P′P．由旋转的性质知△BP′P是三角形；P′A＝PC＝1，∠BP′P＝，P′P＝PB＝；在△AP′P中，∵P′P2+P′A2＝（）2+12＝4＝P A2；∴△AP′P是三角形；∴∠AP′P＝°；∴∠BPC＝∠BP′A＝∠BP′P+∠AP′P＝．问题得到解决．（1）将李明的思路补充完整；（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，等腰直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，P是△ABC内一点，且P A＝1，PB＝3，PC＝，求∠CP A的度数．39．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．（1）如图1，若AB为边在△ABC外作△ABE，AB＝AE，∠DAC＝∠EAB＝60°，求∠BFC的度数；（2）如图2，∠ABC＝α，∠ACD＝β，BC＝6，BD＝8．①若α＝30°，β＝60°，AB的长为；②若改变α、β的大小，但α+β＝90°，求△ABC的面积．40．几何探究在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD 的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE．（2）如图2，若点D在线段CB的延长线上，∠BCE＝α，∠BAC＝β．则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．（3）如图3，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，BC＝4，求S△DCE最大值．手拉手biubiubiu参考答案与试题解析一．填空题（共18小题）1．已知△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝7，BC＝17，以AC为斜边在△ABC外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为．【分析】显然直接求BD不好入手，那么就将问题进行转化．注意到△ACD为等腰Rt△，于是以AB为腰向左作等腰Rt△ABE，则易证△ABD与△AEC相似，相似比为，从而只需求出EC即可，此时∠EBC＝135°，于是过E作EF⊥BC于F，则△EFB也为等腰Rt△，算出EF、BF，进而算出EC，问题迎刃而解．【解答】解：以AB为腰作等腰Rt△ABE，连接EC，∵△ADC为等腰Rt△，∴，∠EAB＝∠DAC＝45°，∴∠EAB+∠BAC＝∠BAC+∠DAC，∴∠EAC＝∠DAB，∴△EAC∽△BAD，∴，作EF⊥BC交BC延长线于F，∵∠ABC＝45°，∠EBA＝90°，∴∠EBF＝45°，∴△EFB为等腰Rt△，∴EF＝FB＝＝＝7，∴EC＝＝25，∴BD＝＝．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点，有一定难度．正确作出辅助线是本题的难点．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为7．【分析】以AB为边作等边三角形AEB，连接CE，如图所示，由三角形ABE与三角形ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AE＝AB，AD＝AC，且∠EAB＝∠DAC ＝60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EAC与三角形BAD全等，利用余弦定理求出EC的长就是BD的长．【解答】解：以AB为边作等边三角形AEB，连接CE，如图所示，∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴∠EAB＝∠DAC＝60°，AE＝AB，∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴BD＝EC，∵∠EBA＝60°，∠ABC＝60°，∴∠EBC＝120°，在△EBC中，BC＝5，EB＝3，过点E做BC的垂线交BC于点F，易知∠EBF＝60°，∠FEB＝30°，∴EF＝，FB＝，FC＝5+＝，∴EC2＝FC2+EF2＝49∴BD＝EC＝7．故答案为：7．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及余弦定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．3．四边形ABCD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，AD＝，CD＝14，则BD＝10．【分析】过C作CE⊥BD于E，过A作AF⊥BD于F，作CG作AF于G，证明△ACG ≌△BCE（AAS），得出AG＝BE，CG＝CE，证出四边形CEFG是正方形，得出CE＝EF ＝GF，由直角三角形的性质得出AF＝AD＝3，DF＝AF＝3，设GF＝CE＝EF＝x，则DE＝x+3，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程得出GF＝EF＝，得出BE＝AG＝GF﹣AF＝，即可得出答案．【解答】解：过C作CE⊥BD于E，过A作AF⊥BD于F，作CG作AF于G，如图所示：则四边形CEFG是矩形，∴∠ECG＝90°＝∠ACB，∴∠ACG＝∠BCE，在△ACG和△BCE中，，∴△ACG≌△BCE（AAS），∴AG＝BE，CG＝CE，∴四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF＝GF，∵∠ADB＝30°，AD＝，∴AF＝AD＝3，DF＝AF＝3，设GF＝CE＝EF＝x，则DE＝x+3，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+（x+3）2＝142，解得：x＝（负值舍去），∴GF＝EF＝，∴BE＝AG＝GF﹣AF＝，∴BD＝BE+EF+DF＝++3＝10；故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．4．已知在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABC＝∠ADC＝60°，连接BD，若CD＝2，AB ＝2，则BD的长度为．【分析】根据等边三角形的判定定理得到△ABC是等边三角形，求得∠BAC＝60°，过C作CE⊥AD与E，解直角三角形得到DE＝CD＝1，求得CE＝DE＝，根据直角三角形的性质得到∠CAD＝30°，求得∠ACE＝60°，∠BAD＝90°，得到∠ACD＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，过C作CE⊥AD与E，∴∠AEC＝∠CED＝90°，∵∠ADC＝60°，∴∠DCE＝30°，∵CD＝2，∴DE＝CD＝1，∴CE＝DE＝，∵AC＝AB＝2，∴CE＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠ACE＝60°，∠BAD＝90°，∴∠ACD＝90°，∴AD＝2CD＝4，∴BD＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．5．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝45°，CD＝，BC＝，连接AC、BD，若AC⊥AB，则BD的长度为2．【分析】过A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，过C作CF⊥AD于F，得到△ADE是等腰直角三角形，证明△DAB≌△EAC得：EC＝BD，在Rt△DCE中，利用勾股定理求EC的长，于是得到结论．【解答】解：过A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，过C作CF⊥AD于F，则△ADE是等腰直角三角形，∵∠ADC＝45°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴CF＝DF＝CD＝1，∵AC⊥AB，∠ABC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝，∴AF＝＝2，∴AD＝3，∴DE＝AD＝3，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，（SAS），∴CE＝BD，∵∠ADE＝∠ADC＝45°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝＝2，∴BD＝CE＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．6．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC 长为4．【分析】如图，作DH⊥BC交BC的延长线于H，取CD的中点O，连接OA，OB．证明A，C，B，D四点共圆，利用全等三角形的性质证明BC＝DH，即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥BC交BC的延长线于H，取CD的中点O，连接OA，OB．∵DH⊥BH，∴∠DHC＝90°，∵∠DAC＝90°，CO＝OD，∴OA＝OD＝OC＝OH，∴A，C，H，D四点共圆，∵AC＝AD，∴∠CHA＝∠AHD＝45°，（没有学习四点共圆，可以这样证明：过点A作AM⊥DH于M，过点A作AN⊥BH于N，证明△AMD≌△ANC，推出AM＝AN，推出AH平分∠MHN 即可）∵∠ABC＝45°，∴∠BAH＝90°，∴BA＝AH，∵∠BAH＝∠CAD＝90°，∴∠BAC＝∠HAD，∵AC＝AD，AB＝AH，∴△BAC≌△HAD（SAS），∴BC＝DH，∴S△BCD＝×BC×DH＝×BC2＝16，∴BC＝4或﹣4（舍弃），故答案为4．【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质鞥知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．7．如图，D为△ABC内一点，且AD＝BD，若∠ACD＝∠DAB＝45°，AC＝5，则S△ABC ＝．【分析】如图，作DE⊥DC交AC于E，连接BE交AD于O．利用全等三角形的性质证明BE＝AC＝5，BE⊥AC即可解决问题．【解答】解：如图，作DE⊥DC交AC于E，连接BE交AD于O．∵DA＝DB，∠DAB＝45°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴∠ADB＝90°，∵∠DCE＝45°，DE⊥DC，∴DC＝DE，∵∠CDE＝∠ADB＝90°，∴∠CDA＝∠EDB，∵DC＝DE，DA＝DB，∴△CDA≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝5，∠CAD＝∠EBD，∵∠AOE＝∠BOD，∴∠AEO＝∠BDO＝90°，∴BE⊥AC，∴S△ABC＝•AC•BE＝，故答案为．【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．如图，线段AB绕着点A逆时针方向旋转120°得到线段AC，点B对应点C，在∠BAC 的内部有一点P，P A＝8，PB＝4，PC＝4，则线段AB的长为4．【分析】将△ABP绕点A逆时针旋转120°，得到△ACD，连接PD，过点A作AH⊥PD 于H，利用等腰三角形的性质及通过解直角三角形求出AH，PH，DH，PD的长，利用勾股定理的逆定理证明△PDC为直角三角形，再证△DMC∽△HMA，其对应边相等，可推出AM＝CM＝AC，HM＝DM＝HD＝2，在Rt△DMC中，通过勾股定理求出CM的长，可推出AB＝AC＝2CM＝4．【解答】解：如图，将△ABP绕点A逆时针旋转120°，得到△ACD，连接PD，过点A 作AH⊥PD于H，则△ABP≌△ACD，∠P AD＝120°，∴P A＝DA＝8，PB＝DC＝4，∠APH＝∠ADH＝30°，∴AH＝AP＝4，∴PH＝DH＝＝4，∴PD＝2PH＝8，在△PDC中，PD2+CD2＝（8）2+42＝208，PC2＝（4）2＝208，∴PD2+CD2＝PC2，∴△PDC为直角三角形，且∠PDC＝90°，∴∠AHD＝∠PDC，∴AH∥DC，∴△DMC∽△HMA，∵DC＝AH＝4，∴AM＝CM＝AC，HM＝DM＝HD＝2，∴在Rt△DMC中，CM＝＝＝2，∴AB＝AC＝2CM＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是能够通过勾股定理的逆定理证明△DMC为直角三角形．9．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，＝，D为△ABC外一点，连接AD、CD．若∠ADC＝30°，AC＝AD，则的值为．【分析】将△ABD绕A顺时针旋转120°得△ACQ，连BQ，则△ABD≌△AQC，依据旋转的性质以及勾股定理即可得到BD的长，进而得出的值．【解答】解：如图所示，将△ABD绕A顺时针旋转120°得△ACQ，连BQ，则∠BAQ＝∠DAC＝120°，BA＝QA，∴∠ABQ＝30°，∠QBC＝60°+30°＝90°，设BC＝2，AB＝3，过A作AE⊥BQ于E，则BQ＝2BE＝2cos30°×AB＝2×，∴Rt△BCQ中，CQ＝，∴BD＝CQ＝，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是利用旋转变换构造直角三角形．10．如图，△ABC、△CDE是两个直角三角板，其中∠ECD＝∠ACB＝90°，∠CED＝45°，∠CAB＝30°，若AB＝DE＝2，将直角三角板CDE绕点C旋转一周，则|AD﹣BE|的最大值为﹣1．【分析】如图，在CA取一点J，使得CJ＝CB，连接DJ．利用全等三角形的性质证明BE＝DJ，推出|AD﹣BE|＝|AD﹣DJ|≤AJ，求出AJ即可解决问题．【解答】解：如图，在CA取一点J，使得CJ＝CB，连接DJ．在Rt△ACB中，AB＝2，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴CB＝CJ＝AB＝1，AC＝BC＝，∵∠ECD＝∠BCJ＝90°，∴∠DCJ＝∠ECB，∵CD＝CE，CJ＝CB，∴△DCJ≌△ECB（SAS），∴DJ＝BE，∴|AD﹣BE|＝|AD﹣DJ|，∵|AD﹣DJ|≤AJ，∴|AD﹣BE|≤﹣1，∴|AD﹣BE|的最大值为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．11．如图，点D为等边△ABC外一点，∠ADC＝60°，连接BD，若AD＝8，△BCD的面积为，则BD的长为．【分析】将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE，连接DE，过点E作EF⊥AD，交AD 的延长线于点F，由设DF＝a，则EF＝a，DE＝CE＝2a，三角形面积可求出EF长，由勾股定理可求出AE的长，则BD可求出．【解答】解：将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE，连接DE，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F，∴CD＝CE，∠ECD＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝∠ECD＝60°，∵∠ADC＝60°，∴∠ADC＝∠ECD，∴AD∥CE，∴S△ACE＝S△CDE，∵将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE，∴S△BCD＝S△ACE，∴S△CDE＝S△BCD＝，∵∠ADC＝∠CDE＝60°，∴∠EDF＝60°，在Rt△FDE中，设DF＝a，则EF＝a，DE＝CE＝2a，∴S△CDE＝，解得：a＝，∴EF＝，∵AD＝8，∴AF＝8+＝，∴AE＝＝＝，∴BD＝AE＝．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．12．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝6，AD⊥AC，AD＝AC，连接BD，则BD的长为2．【分析】如图作AM⊥BC垂足为M，DN⊥MA交MA的延长线于N，BE⊥DN交DN的延长线于E，易证明△ADN≌△CAM，四边形MNEB是矩形，在Rt△EBD中求出BE，ED即可．【解答】解：如图作AM⊥BC垂足为M，DN⊥MA交MA的延长线于N，BE⊥DN交DN 的延长线于E．∵∠E＝∠ENM＝∠NMB＝90°，∴四边形MNEB是矩形，∴BM＝EN，EB＝MN，∵∠DAC＝90°，∴∠DAN+∠MAC＝90°，∵∠MAC+∠ACM＝90°，∴∠DAN＝∠ACM，在△ADN和△CAM中，，∴△ADN≌△CAM（AAS），∴AM＝DN，AN＝CM．在Rt△ABM中，∵AB＝2，∠ABM＝45°，∴BM＝AM＝2，MC＝BC﹣BM＝4，在Rt△BDE中，∵EB＝MN＝6，ED＝4，∴BD＝＝＝2．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝12，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD，且∠DAC＝120°，则BD的长为15．【分析】以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP ⊥BE于P，根据等腰三角形的性质、余弦的概念求出BE，根据旋转变换的性质得到∠DEB＝90°，根据勾股定理计算即可．【解答】解：以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，则∠BAE＝120°，AB＝AE，DE＝BC，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，∴BP＝AB•cos∠ABP＝，∠DEB＝90°，∴BE＝2BP＝9，在Rt△BED中，BD＝＝15，故答案为：15．【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．14．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠APC＝165°，P A＝3，PC＝，则PB＝．【分析】将△ACP绕着点C逆时针旋转90°得到△BCP′，连接PP′，可得△CPP′是等腰直角三角形，进而求出∠PP′B＝120°，PP′＝2，再作辅助线，构造直角三角形利用勾股定理可求出答案．【解答】解：将△ACP绕着点C逆时针旋转90°得到△BCP′，连接PP′，过点P作PD⊥BP′，交BP′的延长线于点D，如图所示：由旋转可知，CP＝CP′，∠∠PCP′＝90°，∠APC＝∠BP′C＝165°，∴∠CPP′＝∠CP′P＝45°，PP′＝PC＝2，∴∠PP′B＝∠CP′B﹣∠CP′P＝165°﹣45°＝120°∴∠PP′D＝180°﹣120°＝60°，在Rt△PP′D中，P′D＝PP′＝1，PD＝＝，∴BD＝BP′+P′D＝3+1＝4，在Rt△BPD中，由勾股定理得：BP＝＝，故答案为．【点评】考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，旋转的应用巧妙的将问题转化到一个三角形中，再依据特殊的边角关系求出答案是一个很好的方法．15．如图，在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，P是△ABC内一点，使P A＝11，PB＝7，PC＝6，则∠BPC＝135°．【分析】根据旋转的性质得到CE＝CP＝6，AE＝BP＝7，∠PCE＝90°，求得∠CEP＝∠CPE＝45°，由勾股定理可得到PE＝6，根据勾股定理的逆定理得到△PEA是直角三角形，求得∠PEA＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE＝CP＝6，AE＝BP＝7，∠PCE＝90°，∴∠CEP＝∠CPE＝45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE＝6，在△PEA中，PE2＝（6）2＝72，AE2＝72＝49，P A2＝112＝121，∵PE2+AE2＝AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA＝90°，∴∠CEA＝135°，又∵△CPB≌△CEA，∴∠BPC＝∠CEA＝135°．故答案为135°【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．16．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB═6+．其中正确的结论是①②③⑤．【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′＝60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB＝150°，故结论③正确；S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′＝6+4，故结论④错误；如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．【解答】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝O′B，AB＝BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′＝OB＝4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′＝×3×4+×42＝6+4，故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，则S△AOC+S△AOB＝S四边形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″＝×3×4+×32＝6+，故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故答案为：①②③⑤．【点评】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．17．等边△ABC的边长为2，三角形外部有一点D，CD＝2，连接AD、BD，若∠ADC ＝30°，则BD的长为2．【分析】将AD绕点A顺时针旋转60°到AE，连接BE，DE，延长DC交AE于点F，由旋转的性质和等边三角形的性质可得DF＝AF，AD＝2AF，由勾股定理可求AF＝2，AD＝4，由全等三角形的性质可得BE＝CD＝2，∠BEA＝∠CDA＝30°，由勾股定理可求BD的长．【解答】解：如图，将AD绕点A顺时针旋转60°到AE，连接BE，DE，延长DC交AE 于点F，∵旋转∴AE＝AD，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，又∵∠ADC＝30°，∴DF平分∠ADE，且AD＝DE，∴DF⊥AE，且∠ADF＝30°，∴DF＝AF，AD＝2AF，在Rt△AFC中，AC2＝AF2+CF2，∴28＝AF2+（AF﹣2）2，∴AF＝2，AF＝﹣（不合题意）∴AD＝2AF＝4＝DE，∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE∴∠BAE＝∠DAC，且AB＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD（SAS）∴BE＝CD＝2，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝90°∴BD＝＝2故答案为：2【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合运用这些性质进行推理是本题的关键．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，∠BAD的平分线AE与DC边相交于点E，连接BE，AC，若AC＝7，△BCE的周长为16，则线段BC 的长为6．【分析】把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADK，连接CK，作KH⊥CD于H，则AC＝AK＝7，∠CAK＝90°，∠ADK＝∠ABC，DK＝BC＝x，CK＝14，根据∠BAD ＝90°，∠BCD＝30°，可得∠ABC+∠ADC＝240°，所以∠ADK+∠ADC＝240°，即∠CDK＝120°，因为DH＝x，HK＝x，CD＝16﹣x，在Rt△KHC中，由勾股定理即可得出x的值，从而求得BC的长．【解答】解：如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADK，连接CK，作KH⊥CD于H，则AC＝AK＝7，∠CAK＝90°，∠ADK＝∠ABC，DK＝BC＝x，∴CK＝，∵∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣30°﹣90°＝240°，∴∠ADK+∠ADC＝240°，∴∠CDK＝120°，即∠KDH＝60°，∴DH＝x，HK＝x，∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝ED，∵△BCE的周长为16，∴BC+CE+BE＝BC+CE+ED＝BC+CD＝DK+CD＝16，∴CD＝16﹣x，CH＝16﹣x+x＝16﹣，在Rt△KHC中，，解得：x＝6或x＝10（舍去），∴BC的长为6．故答案为：6．【点评】本题考查图形的旋转，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质．解题的关键是掌握图形旋转的性质．二．解答题（共22小题）19．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：已知△ABC如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成作图并证明BE＝CD．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）●类比探究：如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE、BG，则线段CE、BG有什么数量关系？说明理由．●灵活运用：如图3，已知△ABC中，AB＝，BC＝3，∠ABC＝45°，过点A作EA⊥AC，垂足为A，且满足AC＝AE，求BE的长．【分析】（1）根据题意画出相应图形，如图所示，（分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点即为点D，△ABD为等边三角形，△ACE同理可得），由三角形ABD 与三角形ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AD＝AB，AE＝AC，且∠BAD＝∠CAE＝60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACD与三角形AEB全等，利用全等三角形的对应边相等得到CD＝BE；（2）CE＝BG，理由为：由四边形ABDE与四边形ACFG都为正方形，利用正方形的性质得到AD＝AB，AE＝AC，且∠BAD＝∠CAE＝90°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABG全等，利用全等三角形的对应边相等得到CE＝BG；（3）以AB为边向外作等腰直角三角形ABG，连接CG，在等腰三角形ABG中，利用勾股定理求出BG的长，进而得到三角形BCG为直角三角形，利用勾股定理求出CG的长，由三角形ACG与三角形ABE都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到AG ＝AB，AE＝AC，且∠BAG＝∠CAE＝90°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得到三角形ACG与三角形ABE全等，利用全等三角形的对应边相等得到CG＝BE，即可求出BE的长．【解答】解：（1）作图，如图所示：。

初中数学专题一旋转中的几何模型(手拉手模型、对角互补模型)(解析版)

专题一旋转中的几何模型模型一　“手拉手”模型模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点．模型说明：如图1，△ABE，△ACF都是等边三角形，可证△AEC≌△ABF.如图2，△ABD，△ACE都是等腰直角三角形，可证△ADC≌△ABE.如图3，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证△ABD≌△AFC.图1 图2 图3等腰图形有旋转，辩清共点旋转边，关注三边旋转角，全等思考边角边。

1【问题提出】(1)如图①，△ABC,△ADE均为等边三角形，点D,E分别在边AB，AC上．将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连结BD,CE．在图②中证明△ADB≅△AEC．[学以致用](2)在(1)的条件下，当点D,E,C在同一条直线上时，∠EDB的大小为度．[拓展延伸](3)在(1)的条件下，连结CD．若BC=6,AD=4直接写出△DBC的面积S的取值范围．【思路点拨】(1)根据“手拉手”模型，证明△ADB≅△AEC即可；(2)分“当点E在线段CD上”和“当点E在线段CD的延长线上”两种情况，再根据“手拉手”模型中的结论即可求得∠EDB的大小；(3)分别求出△DBC的面积最大值和最小值即可得到结论【详解】(1)∵ABC,ADE均为等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠BAD=∠CAE在△ADB和△AEC中，AD=AE∠BAD=∠CAE AB=AC∴ABD ≅ACE (SAS )；(2)当D ,E ,C 在同一条直线上时，分两种情况：①当点E 在线段CD 上时，如图，∵△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°，∴∠AEC =180°-∠AED =120°，由(1)可知，△ADB ≅△AEC ，∴∠ADB =∠AEC =120°，∴∠EDB =∠ADB -∠ADE =120°-60°=60°②当点E 在线段CD 的延长线上时，如图，∵△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°∴∠ADC =180°-∠ADE =120°，由(1)可知，△ADB ≅△AEC∴∠ADB =∠AEC =60°，∴∠EDB =∠ADB +∠ADE =60°+60°=120°综上所述，∠EDB 的大小为60°或120°(3)过点A 作AF ⊥BC 于点F ，当点D 在线段AF 上时，点D 到BC 的距离最短，此时，点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图：∵ΔABC 是等边三角形，AF ⊥BC ，BC =6∴AB =BC =6，BF =12BC =3∴AF =AB 2-BF 2=62-32=33∴DF =33-4此时S .DBC =12BC ⋅DF =12×6×(33-4)=93-12；当D 在线段FA 的延长线上时，点D 到BC 的距离最大，此时点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图，∵ΔABC 是等边三角形，AF ⊥BC ，BC =6∴AB =BC =6，BF =12BC =3，∴AF =AB 2-BF 2=62-32=33∵AD =4∴DF =AF +AD =33+4此时，S .DBC =12BC ⋅DF =12×6×(33+4)=93+12；综上所述，△DBC 的面积S 取值是93-12≤5≤93+12【点评】利用“手拉手”模型，构造对应边“拉手线”组成的两个三角形全等是解题关键2已知正方形ABCD 和等腰直角三角形BEF ，BE =EF ，∠BEF =90°，按图1放置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ．(1)探索EG，CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图(1)中△BEF绕点B顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G(见图2)，(1)中的结论是否仍然成立？证明你的结论；(3)将图(1)中△BEF绕点B顺时针转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)，再连接DF，取DF中点G(见图3)，(1)中的结论是否仍然成立？证明你的结论．【思路点拨】(1)首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG= GF=CG，得到∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，从而证得∠EGC=90°；(2)首先证明△FEG≌△DHG，然后证明△ECH为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG且EG⊥CG；(3)首先证明：△BEC≌△FEH，即可证得：△ECH为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG且EG⊥CG．【解题过程】解：(1)EG=CG且EG⊥CG．证明如下：如图①，连接BD．∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，∴∠EBF=∠DBC=45°．∴B、E、D三点共线．∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°，∴EG=DG=GF=CG．∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．(2)仍然成立，证明如下：如图②，延长EG交CD于点H．∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠4，FG=DG，∴△FEG≌△DHG，∴EF=DH，EG=GH．∵△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，∴BE=DH．∵CD=BC，∴CE=CH．∴△ECH为等腰直角三角形．又∵EG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG(3)仍然成立．证明如下：如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，∴△HFG≌△CDG，∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，∴HF∥CD．∵正方形ABCD，∴HF=BC，HF⊥BC．∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，∴△BEC≌△FEH，∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，∴∠BEF=∠HEC=90°，∴△ECH为等腰直角三角形．又∵CG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．针对训练11已知ΔABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF，连接EF，CF，AF．(1)问题发现：如图1，当点E在线段AD上时，且∠AFC=35°，则∠FAC的度数是；(2)结论证明：如图2，当点E 在线段AD 的延长线上时，请判断∠AFC 和∠FAC 的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展延伸：若点E 在直线AD 上运动，若存在一个位置，使得ΔACF 是等腰直角三角形，请直接写出此时∠EBC 的度数．【答案】(1)55°；(2)∠AFC +∠FAC =90°，见解析；(3)15°或75°【解析】(1)55°，理由：∵ΔABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠ABC =∠BAC =∠ACB =60°，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =30°，∵将BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到BF ，∴BE =BF ，∠EBF =60°，∴∠EBF =∠ABC ，在△ADC 和△BDA 中，AB =BC∠ABE =∠FBC BE =BF，∴ΔABE ≌ΔCBF SAS ，∴∠BAE =∠BCF =30°，∴∠ACF =90°，∴∠AFC +∠FAC =90°；∵∠AFC =35°，∴∠FAC =55°；(2)结论：∠AFC +∠FAC =90°，理由如下：∵ΔABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠ABC =∠BAC =∠ACB =60°，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =30°，∵将BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到BF ，∴BE =BF ，∠EBF =60°，∴∠EBF =∠ABC ，在△ADC 和△BDA 中，AB =BC∠ABE =∠FBC BE =BF，∴ΔABE ≌ΔCBF SAS ，∴∠BAE =∠BCF =30°，∴∠ACF =90°，∴∠AFC +∠FAC =90°；(3)∠EBC =15°或75°分两种情况：①点E 在点A 的下方时，如图：∵ΔACF 是等腰直角三角形，∴AC =CF ，由(2)得ΔABE ≌ΔCBF ，∴CF =AE ，∴AC =AE =AB ，∴∠ABE =180°-30°2=75°，∴∠EBC =∠ABE -∠ABC =75°-60°=15°；②点E 在和点A 的上方时，如图：同理可得∠EBC =∠ABE +∠ABC =75°．2已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α(0°<α<90°)，得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．(1)如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；(2)当旋转角α的大小发生变化时，∠BEF 的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出∠BEF 的度数；(3)联结AF ，求证：DE =2AF ．【答案】(1)30°；(2)不变；45°；(3)见解析【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE=CD,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE=60°.又∵∠BCD=90°,∴α=∠DCE=30°.(2)∠BEF的度数不发生变化.在△CED中，CE=CD,∴∠CED=∠CDE=180°-α2=90°-α2，在△CEB中,CE=CB,∠BCE=90°-α,∴∠CEB=∠CBE=180°-∠BCE2=45°+α2,∴∠BEF=180°-∠CED-∠CEB=45°.(3)过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于点H，过点C作CI⊥DF于点I易知四边形AGFH是平行四边形，又∵BF⊥DF，∴平行四边形AGFH是矩形.∵∠BAD=∠BGF=90°，∠BPF=∠APD，∴∠ABG=∠ADH.又∵∠AGB=∠AHD=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADH.∴AG=AH，∴矩形AGFH是正方形.∴∠AFH=∠FAH=45°，∴AH=AF∵∠DAH+∠ADH=∠CDI+∠ADH=90°∴∠DAH=∠CDI又∵∠AHD=∠DIC=90°，AD=DC，∴△AHD≌△DIC∴AH=DI，∵DE=2DI，∴DE=2AH=2AF模型二　对角互补模型对角互补模型的特征：外观呈现四边形，且对角和为180°。

(完整word版)中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型一、教学目标：1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征．2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．二、教学重难点：1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等．2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择．三、教学过程：1.复习旧知师：如图，△ABD ，△BCE 为等边三角形，从中你能得出哪些结论？生：（1）△ABE ≌△DBC （2）△ABG ≌△DBF （3）△CFB ≌△EGB （4）△BFG 为等边三角形（5）△AGB ∽△DGH （6）∠DHA ＝60°（7）H ，G ，F ，B 四点共圆（8）BH 平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE 与△DBC ，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？生：它们有同一个字母B ，即同一个顶点B ．师：我们也可以把△DBC 看作由△ABE 经过怎样的图形运动得到？生：绕点B 顺时针旋转60°得到．2.引入新课师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？生：对应边相等．师：我们可以称之为“等线段”．生：有同一个顶点．师：我们可以称之为“共顶点”．师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？生：旋转．师： “手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．H GF E DCBA3.小题热身图1 图2 图31．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE．2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______．师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE．师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？生：没有．师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？生：等线段是AD，AB，共顶点是A．师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°．师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等．师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转．师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”．步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过“共顶点”的线段旋转．步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等线段”间的夹角．师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？生：连接GD后，要证明G，D，F三点共线．4.例题精讲例1：等边△ABC中，AD＝4，DC＝3，BD＝5，求∠ADC度数．师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？要构造全等，该怎样旋转？生：将△ADC绕点A顺时针旋转60°．师：你是怎么想的，还有其他做法吗？生：我发现AB＝AC，A为“共顶点”，我选择的旋转线段是AD，因为AC绕点A顺时针旋转60°到AB，所以△ADC也要绕点A顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点A逆时针旋转60°．【解答】将AD绕点A顺时针旋转60°到AE，连接BE，DE．则△ADE也为等边三角形．易证△AEB≌△ADC，∴BE＝DC＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠AEB＝∠ADC＝150°例2：如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90︒．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形的面积．师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角形？生：将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，即可使OC，OD共线，再通过证明确定△BCE即是以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形．【解答】如图，将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，连接BE．易证△OAD≌△OBE，AD＝BE，∴△BCE即是以AD、BC、OC＋OD 长度为三边长的三角形．又∵OC＝OE，∴S△BCE＝2S△BOC＝2．EAOBCDDC BOABBDCBA5.自主练习1．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为 _________．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和BA ，“共顶点”是A ．方法是将AD 绕点A 顺时针旋转90°．2．如图，在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2，以AC 为边，向外做正方形ACDE ，连接BE ，则BE 最大值为_________．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和EA ，“共顶点”是A ．方法是将AB 绕点A 逆时针旋转90°．师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？生：△ABC ，因为AC 是逆时针旋转90°到AE ，所以AB 也绕点A 逆时针旋转90°． 3．如图，点A 在⊙B 上，AB ＝1，BC ＝2，△ACD 是等边三角形，求△BCD 面积的最大值．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和CD ，“共顶点”是C ．方法是将CA 绕点C 逆时针旋转60°．附：自主练习解答1．如图，将AD 绕点A 顺时针旋转90°至AE ，易证△EAC ≌△DAB ，可得CE ＝BD ，又∵∠EDA ＝45°，∴∠CDE ＝90°，CD ＝3，DE ＝42，则Rt △CDE 中，CE 2＝CD 2＋DE 2＝32＋(42)2＝41∴CE ＝41，∴DB ＝412.如图，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至AF ，易证△EAF ≌△CAB ，可得EF ＝BC ＝2．Rt △BAF 中，AF ＝AB ＝2，∴BF ＝2．由三角形三边关系易知，BE ≤EF ＋BF ，∴BE 最小值为4.EDCBAADC BDFEBCDA3.如图，将CB绕点C逆时针旋转60°至CE，连接DE，过点E作EF⊥CB 于F，过点D作DG⊥CB于G．易证△CBA≌CED，则DE＝1，EF＝3，过E作DG边上的高，可证DG＜DE＋EF．当D，E，F三点共线时，DG＝DE＋EF．即高的最大值为1＋3，S△BCDmax＝12×2×（1＋3）＝1＋ 3FEDCBAGEFABCD。

中考数学几何模型复习专题手拉手模型(学生版+解析版)

中考数学几何模型复习手拉手模型一、方法突破问题一：构成手拉手的必要条件．当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）结论：△OAC≌△OBD（SAS）证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．1．等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：结论一：△ACD≌△BCE证明：AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △ACD≌△BCE（SAS）ABCDOD（2）记AC 、BE 交点为M ，AD 、CE 交点为N ：结论二：△ACN ≌△BCM ；△MCE ≌△NCD证明：MBC NAC BC AC BCM ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △ACN ≌△BCM （SAS ）；MCE NCD CE CDCEM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △MCE ≌△NCD （ASA ）（3）连接MN ：结论三：△MNC 是等边三角形．证明：60CM CNMCN =⎧⎨∠=︒⎩→△MCN 是等边三角形．（4）记AD 、BE 交点为P ，连接PC ：结论四：PC 平分∠BPD证明：△BCE ≌△ACD → CG =CH → PC 平分∠BPD ．DDHG ααEDCBAP（5）结论五：∠APB =∠BPC =∠CPD =∠DPE =60°．（6）连接AE ：结论六：P 点是△ACE 的费马点（P A +PC +PE 值最小）2．正方形手拉手如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，连接BE 、DG ：结论一：△BCE ≌△DCG证明：CB CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △BCE ≌△DCG （SAS ）结论二：BE =DG ，BE ⊥DG证明：△BCE ≌△DCG → BE =DG ；∠CBE ＝∠CDG → ∠DHB =∠BCD =90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．60°60°60°60°PABCDEEDCBAPF问题二：条件与结论如何设计？设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样；设计二：如果题目已知△ABC ≌△ADE 外，则还可得△ABD 和△ACE 均为等腰三角形，且有△ABD ∽△ACE ，AB AD BDAC AE CE==．问题三：如何构造手拉手？如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．二、典例精析例一：如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBEBDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4例二：如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6PC =，8PA =，10PB =，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60︒得到P C '，连接AP '，则sin PAP '∠的值为．EDCBAC例三：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AQ ，连接BQ ．若6PA =，8PB =，10PC =，则四边形APBQ 的面积为．例四：如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若6AP =，8BP =，10CP =．则ABP BPC S S ∆∆+= ．例五：如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则ABC∆的面积为( )A．9 B．9 C．18+D．18 例六：在Rt △ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形内一点且∠APB =135°，PC =AC 的最大值为_________．QPABCPABCPABCABCP三、中考真题演练1．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=30ABD∠=︒，点E是边AB的中点，过点E作EF AB⊥交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF∆绕点B按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF=；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将BEF∆绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF∆旋转至D、E、F三点共线时，则ADE∆的面积为．2．（2021•贵港）已知在ABC∆中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC∆绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF∆，连接AE，CF．（1）如图1，当90=；=时，则AE与CF满足的数量关系是AE CF∠=︒且AB ACBAC（2）如图2，当90≠时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若∠=︒且AB ACBAC不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO到点D，使OD OABC=时，求DE的长．=，连接DE，当5==，6AO CF3．（2021•黑龙江）在等腰ADE ∆中，AE DE =，ABC ∆是直角三角形，90CAB ∠=︒，12ABC AED ∠=∠，连接CD 、BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ．（1）当45EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图①所示，求证：12EF CD =；（2）当45EAD ∠=︒，把ABC ∆绕点A 逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当60EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF 和CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．4．（2021•通辽）已知AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形)OM OA <<，90AOB MON ∠=∠=︒．（1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =；（2）将MON ∆绕点O 顺时针旋转．①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．5．（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60︒得到CQ，连QB．（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP AC=时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；∆，（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且APQ求线段AP的长度．6．（2020•沈阳）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．（1）如图1，当60α=︒时， ①求证：PA DC =； ②求DCP ∠的度数；（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．（3）当120α=︒时，若6AB =，BP D 到CP 的距离为．中考数学几何模型复习手拉手模型一、方法突破问题一：构成手拉手的必要条件．当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）结论：△OAC≌△OBD（SAS）证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．3．等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：结论一：△ACD≌△BCE证明：AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △ACD≌△BCE（SAS）ABCDOD（2）记AC 、BE 交点为M ，AD 、CE 交点为N ：结论二：△ACN ≌△BCM ；△MCE ≌△NCD证明：MBC NAC BC AC BCM ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △ACN ≌△BCM （SAS ）；MCE NCD CE CDCEM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→ △MCE ≌△NCD （ASA ）（3）连接MN ：结论三：△MNC 是等边三角形．证明：60CM CNMCN =⎧⎨∠=︒⎩→△MCN 是等边三角形．（4）记AD 、BE 交点为P ，连接PC ：结论四：PC 平分∠BPD证明：△BCE ≌△ACD → CG =CH → PC 平分∠BPD ．DDDHG ααEDCBAP（5）结论五：∠APB =∠BPC =∠CPD =∠DPE =60°．（6）连接AE ：结论六：P 点是△ACE 的费马点（P A +PC +PE 值最小）4．正方形手拉手如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，连接BE 、DG ：结论一：△BCE ≌△DCG证明：CB CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→ △BCE ≌△DCG （SAS ）结论二：BE =DG ，BE ⊥DG证明：△BCE ≌△DCG → BE =DG ；∠CBE ＝∠CDG → ∠DHB =∠BCD =90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．60°60°60°60°PAB CDEEDCBAPF问题二：条件与结论如何设计？设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样；设计二：如果题目已知△ABC ≌△ADE 外，则还可得△ABD 和△ACE 均为等腰三角形，且有△ABD ∽△ACE ，AB AD BDAC AE CE==．问题三：如何构造手拉手？如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．二、典例精析例一：如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBEBDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】等边三角形中的旋转型全等连接OB 、OC ，易证△OBD ≌△OCE ，∴OD =OE ，结论①正确；考虑∠FOG 是可以旋转的，△ODE 面积和△BDE 面积并非始终相等，故结论②错误；ECBACC∵△OBD ≌△OCE ，∴四边形ODBE 的面积等于△OBC的面积，142OBCS=⨯=，故结论③正确；考虑BD =CE ，∴BD +BE =CE +BE =4，只要DE 最小，△BDE 周长就最小，△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，故OD 最小，DE 便最小，当OD ⊥AB 时，OD此时2DE ==，∴周长最小值为6，故结论④正确．综上，选C ，正确的有①③④．【小结】所谓全等，实际就是将△ODB 绕点O 旋转到△OEC 的位置．等等，好像和某个图有点神似，如下：当然这个图形还可以简化一下，毕竟和D 点及F 点并没有什么关系．结论与证明不多赘述，题型可以换，但旋转是一样的旋转．例二：如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6PC =，8PA =，10PB =，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60︒得到P C '，连接AP '，则sin PAP '∠的值为．【分析】连接PP '，则CPP '△是等边三角形，故6PP PC '==，易证△CPB ≌CP A '△，∴10AP BP '==，又AP =8，∴APP '△是直角三角形，∴3sin 5PAP '∠=．D例三：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AQ ，连接BQ ．若6PA =，8PB =，10PC =，则四边形APBQ 的面积为．【分析】分四边形为三角形．连接PQ ，易证△APQ 是等边三角形，△BPQ 是直角三角形，26APQS=168242BPQS =⨯⨯=， ∴四边形APBQ的面积为(．例四：如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若6AP =，8BP =，10CP =．则ABP BPC S S ∆∆+= ．【分析】构造旋转．如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连接EP ，可得△AEP 是直角三角形，△BEP 是等边三角形，21688242APBBPCAEPBEPSSSS+=+=⨯⨯+=+ 所以本题答案为24+QPABCQPABCPABCC搭配一：若222PA PB PC+=，则可任意旋转，得等边+直角．且两条较短边夹角（∠APB）为150°．搭配二：若∠APB=150°，则有222PA PB PC+=．例五：如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则ABC∆的面积为()A．9B．9C．18+D．18【分析】（3，4，5）是一组勾股数，通过旋转构造直角三角形．法一：如图，将三个小三角形面积分别123S S S、、考虑到△ABC是等边三角形，可将△APB 旋转到△ADC位置，可得：21331334642ADP PCDS S S S+=+=+⨯⨯=，同理可得：212143462S S++⨯⨯=，223153462S S+=+⨯⨯=，∴()123218S S S++，∴1239S S S++，故选A．CC CPABCS3S2S1PAB CC法二：如图，易证∠APB =150°，过点A 作BP 的垂线交BP 延长线于点H ，则1322AH AP ==，PH，4BH =)2229271625944S AH BH ==+=+++=+=⎝．【思考】如果放在正方形里，条件与结论又该如何搭配？作旋转之后，可得△AEP 是等腰直角三角形，若使△PEB 也为直角三角形，则原∠APD =135°，而线段PA 、PB 、PD 之间的关系为：2222PA PD PB +=．搭配一：若∠APD =135°，则2222PA PD PB +=；搭配二：若2222PA PD PB +=，则∠APD =135°．另外，其实这个图和点C 并没有什么关系，所以也可以将正方形换成等腰直角三角形．大概如下图：抓主要条件，舍弃无用条件，也是理解几何图形的一种方式．例六：在Rt △ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形内一点且∠APB =135°，PC =AC 的最大值为_________．【分析】显然根据∠APB =135，构造旋转．可得：△APQ 是等腰直角三角形，△PQC 是直角三角形，且∠PQC =90°，另外还有条件PC =HPABC EAB CDEPABCPC重新梳理下条件，（1）有一条线段PC =（2）∠PQC =90°，则Q 点轨迹是个圆弧，（3）以PQ 为斜边在PC 异侧作等腰直角三角形，点A 是直角顶点．∴A 点轨迹是什么？瓜豆原理啦，也是个圆弧：∴AC22=．三、中考真题演练1．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF= ；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF ∆旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE ∆的面积为．CPP PCCC【解答】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，cos BE AB ABD BF DB ∴∠==，如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，又DOB AOF ∠=∠，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒，，30︒；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又BE AB BF DB ==， ABE DBF ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，又DOH AOB ∠=∠，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，2AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DAB ∠=︒，BE ∴2AD =，4DB =，30EBF ∠=︒，EF BE ⊥，1EF ∴=，D 、E 、F 三点共线，90DEB BEF ∴∠=∠=︒，DE ∴30DEA ∠=︒，12DG DE ∴==由（2）可得：AE BE DF BF ==，∴=AE ∴，ADE ∴∆的面积1122AE DG =⨯⨯==；如图5，当点E 在AB 的下方时，过点D 作DG AE ⊥，交EA 的延长线于G ，同理可求：ADE ∆的面积1122AE DG =⨯⨯==2．（2021•贵港）已知在ABC ∆中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将AOC ∆绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF ∆，连接AE ，CF ．（1）如图1，当90BAC ∠=︒且AB AC =时，则AE 与CF 满足的数量关系是；（2）如图2，当90BAC ∠=︒且AB AC ≠时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD OA =，连接DE ，当5AO CF ==，6BC =时，求DE 的长．【解答】解：（1）结论：AE CF=．理由：如图1中，=，∠=︒，OC OB AB ACBAC=，90⊥，∴==，AO BCOA OC OB∠=∠=︒，AOC EOF90∴∠=∠，AOE COF=，=，OE OFOA OCAOE COF SAS∴∆≅∆，()∴=．AE CF（2）结论成立．理由：如图2中，=，∠=︒，OC OBBAC90∴==，OA OC OB∠=∠，AOC EOF∴∠=∠，AOE COF=，=，OE OFOA OC∴∆≅∆，AOE COF SAS()∴=．AE CF（3）如图3中，由旋转的性质可知OE OA=，OA OD=，5OE OA OD∴===，90AED∴∠=︒，OA OE=，OC OF=，AOE COF∠=∠，∴OA OEOC OF=，AOE COF∴∆∆∽，∴AE OACF OC=，5 CF OA==，∴5 53 AE=，253 AE∴=，DE∴=．3．（2021•黑龙江）在等腰ADE ∆中，AE DE =，ABC ∆是直角三角形，90CAB ∠=︒，12ABC AED ∠=∠，连接CD 、BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ．（1）当45EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图①所示，求证：12EF CD =；（2）当45EAD ∠=︒，把ABC ∆绕点A 逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当60EAD ∠=︒，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF 和CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：如图①中，EA ED =，45EAD ∠=︒，45EAD EDA ∴∠=∠=︒，90AED ∴∠=︒，BF FD =，12EF DB ∴=， 90CAB ∠=︒，45CAD BAD ∴∠=∠=︒，1452ABC AED ∠=∠=︒， 45ACB ABC ∴∠=∠=︒，AC AB ∴=，AD ∴垂直平分线段BC ，DC DB ∴=，12EF CD ∴=．（2）解：如图②中，结论：12EF CD =．理由：取CD 的中点T ，连接AT ，TF ，ET ，TE 交AD 于点O ． 90CAD ∠=︒，CT DT =，AT CT DT ∴==，EA ED =，ET ∴垂直平分线段AD ，AO OD ∴=，90AED ∠=︒，OE OA OD ∴==，CT TD =，BF DF =，//BC FT ∴，45ABC OFT ∴∠=∠=︒，90TOF ∠=︒，45OTF OFT ∴∠=∠=︒，OT OF ∴=，AF ET ∴=，FT TF =，AFT ETF ∠=∠，FA TE =，()AFT ETF SAS ∴∆≅∆，EF AT ∴=，12EF CD ∴=．如图③中，结论：EF =．理由：取AD 的中点O ，连接OF ，OE ．EA ED =，60AED ∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形，AO OD =，OE AD ∴⊥，30AEO OED ∠=∠=︒，tan AO AEO OE ∴∠==∴OEAD =1302ABC AED ∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，AB ∴，AO OD =，BF FD =，12OF AB ∴=，∴OF AC =， ∴OE OFAD AC =，//OF AB ，DOF DAB ∴∠=∠，90DOF EOF ∠+∠=︒，90DAB DAC ∠+∠=︒，EOF DAC ∴∠=∠，EOF DAC ∴∆∆∽，∴EFOECD AD =，EF ∴．4．（2021•通辽）已知AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形)OM OA <<，90AOB MON ∠=∠=︒．（1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =；（2）将MON ∆绕点O 顺时针旋转． ①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=； ②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．【解答】（1）证明：90AOB MON ∠=∠=︒， AOB AON MON AON ∴∠+∠=∠+∠，即AOM BON ∠=∠，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，OA OB ∴=，OM ON =，()AOM BON SAS ∴∆≅∆，AM BN ∴=；（2）①证明：连接BN ，90AOB MON ∠=∠=︒，AOB BOM MON BOM ∴∠-∠=∠-∠，即AOM BON ∠=∠，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，OA OB ∴=，OM ON =，()AOM BON SAS ∴∆≅∆，45MAO NBO ∴∠=∠=︒，AM BN =，90MBN ∴∠=︒，222MB BN MN ∴+=，MON ∆都是等腰直角三角形，222MN ON ∴=，2222AM BM OM ∴+=；②解：如图3，当点N 在线段AM 上时，连接BN ，设BN x =，由（1）可知AOM BON ∆≅∆，可得AM BN =且AM BN ⊥，在Rt ABN ∆中，222AN BN AB +=，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，4OA =，3OM =，MN ∴=，AB =222(x x ∴-+=，解得：x =，AM BN ∴= 如图4，当点M 在线段AN 上时，连接BN ，设BN x =，由（1）可知AOM BON ∆≅∆，可得AM BN =且AM BN ⊥，在Rt ABN ∆中，222AN BN AB +=，AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形，4OA =，3OM =，MN ∴=，AB =222(x x ∴++=，解得：x =，AM BN ∴=，综上所述，线段AM ． 5．（2021•十堰）已知等边三角形ABC ，过A 点作AC 的垂线l ，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连接CP ，把线段CP 绕点C 逆时针方向旋转60︒得到CQ ，连QB ．（1）如图1，直接写出线段AP 与BQ 的数量关系；（2）如图2，当点P 、B 在AC 同侧且AP AC =时，求证：直线PB 垂直平分线段CQ ；（3）如图3，若等边三角形ABC 的边长为4，点P 、B 分别位于直线AC 异侧，且APQ ∆，求线段AP 的长度．【解答】解：（1）在等边ABC ∆中，AC BC =，60ACB ∠=︒，由旋转可得，CP CQ =，60PCQ ∠=︒， ACB PCQ ∴∠=∠，ACB PCB PCQ PCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACP BCQ ∠=∠， ()ACP BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=．（2）在等边ABC ∆中，AC BC =，60ACB ∠=︒，由旋转可得，CP CQ =，60PCQ ∠=︒，ACB PCQ ∴∠=∠，ACB PCB PCQ PCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACP BCQ ∠=∠， ()ACP BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒；BQ AP AC BC ∴===，AP AC =，90CAP ∠=︒，30BAP ∴∠=︒，75ABP APB ∠=∠=︒，135CBP ABC ABP ∴∠=∠+∠=︒，45CBD ∴∠=︒，45QBD ∴∠=︒，CBD QBD ∴∠=∠，即BD 平分CBQ ∠，BD CQ ∴⊥且点D 是CQ 的中点，即直线PB 垂直平分线段CQ ．（3）①当点Q 在直线l 上方时，如图所示，延长BQ 交l 于点E ，过点Q 作QF l ⊥于点F ，由题意可得AC BC =，PC CQ =，60PCQ ACB ∠=∠=︒， ACP BCQ ∴∠=∠，()APC BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒，60CAB ABC ∠=∠=︒，30BAE ABE ∴∠=∠=︒，4AB AC ==，AE BE ∴=， 60BEF ∴∠=︒，设AP t =，则BQ t =，EQ t ∴=-，在Rt EFQ ∆中，)QF t =-，12APQ S AP QF ∆∴=⋅=，即1)2t ⋅-=，解得t =t ．即AP ． ②当点Q 在直线l 下方时，如图所示，设BQ 交l 于点E ，过点Q 作QF l ⊥于点F ，由题意可得AC BC =，PC CQ =，60PCQ ACB ∠=∠=︒，ACP BCQ ∴∠=∠，()APC BCQ SAS ∴∆≅∆，AP BQ ∴=，90CBQ CAP ∠=∠=︒，60CAB ABC ∠=∠=︒，30BAE ABE ∴∠=∠=︒，120BEF ∴∠=︒，60QEF ∠=︒，4AB AC ==，AE BE ∴=，设AP m =，则BQ m =，EQ m ∴=-，在Rt EFQ ∆中，QF m =，12APQ S AP QF ∆∴=⋅=，即12m m ⋅-解得m m ==．综上可得，AP 6．（2020•沈阳）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．（1）如图1，当60α=︒时，①求证：PA DC =；②求DCP ∠的度数；（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．（3）当120α=︒时，若6AB =，BP D 到CP 的距离为．【解答】（1）①证明：如图1中，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ， PB PD ∴=，AB AC =，PB PD =，60BAC BPD ∠=∠=︒， ABC ∴∆，PBD ∆是等边三角形，60ABC PBD ∴∠=∠=︒，PBA DBC ∴∠=∠，BP BD =，BA BC =，()PBA DBC SAS ∴∆≅∆，PA DC ∴=．②解：如图1中，设BD 交PC 于点O ．PBA DBC ∆≅∆，BPA BDC ∴∠=∠，BOP COD ∠=∠，60OBP OCD ∴∠=∠=︒，即60DCP ∠=︒．（2）解：结论：CD =．理由：如图2中，AB AC =，PB PD =，120BAC BPD ∠=∠=︒，2cos30BC AB ∴=⋅⋅︒，2cos30BD BP =⋅︒=，∴BC BD BA BP= 30ABC PBD ∠=∠=︒，ABP CBD ∴∠=∠，CBD ABP ∴∆∆∽，∴CD BC PA AB=CD ∴=．（3）过点D 作DM PC ⊥于M ，过点B 作BN CP ⊥交CP 的延长线于N ．如图31-中，当PBA ∆是钝角三角形时，在Rt ABN ∆中，90N ∠=︒，6AB =，60BAN ∠=︒，cos603AN AB ∴=⋅︒=，sin 60BN AB =⋅︒=2PN PB ==， 321PA ∴=-=，由（2）可知，CD = BPA BDC ∠=∠，30DCA PBD ∴∠=∠=︒， DM PC ⊥，12DM CD ∴=如图32-中，当ABP ∆是锐角三角形时，同法可得235PA =+=，CD =12DM CD ==综上所述，满足条件的DM ．．。

中考数学常见几何模型专题03 手拉手模型(从全等到相似)(原卷版)

专题03 手拉手模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型（全等模型）【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

【常见模型及证法】（等腰）（等边）（等腰直角）公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得ABD ACE。

1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若ABC 和ADE 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边.求证：BD CE =； (2)解决问题：如图2，若ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由.图1 图22．（2022·黑龙江·中考真题）ABC 和ADE 都是等边三角形．(1)将ADE 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．(2)将ADE 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接P A ，猜想线段P A 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接P A ，猜想线段P A 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC ==点D ，E 分别在边AC ，BC上，且CD CE ==AD BE =，AD BE ⊥成立．（1）将CDE △绕点C 逆时针旋转90︒时，在图②中补充图形，并直接写出BE 的长度；（2）当CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，AD 与BE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出AD 的长度．模型2.手拉手模型（旋转相似模型）【模型解读与图示】旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.1．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形CDE ，按如图1的方式摆放，90ACB ECD ∠=∠=︒，随后保持ABC 不动，将CDE △绕点C 按逆时针方向旋转α（090α︒<<︒），连接AE ，BD ，延长BD 交AE 于点F ，连接CF ．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当ED BC ∥时，则α=_____；(2)【初步探究】如图3，当点E ，F 重合时，请直接写出AF ，BF ，CF 之间的数量关系：_________； (3)【深入探究】如图4，当点E ，F 不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在ABC 与CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，若BC mAC =，CD mCE =（m 为常数）．保持ABC 不动，将CDE △绕点C 按逆时针方向旋转α（090α︒<<︒），连接AE ，BD ，延长BD 交AE 于点F ，连接CF ，如图6．试探究AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并说明理由．2．（2022·山东烟台·中考真题）(1)【问题呈现】如图1，∠ABC和∠ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，∠ABC和∠ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．(3)【拓展提升】如图3，∠ABC和∠ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD，CE．①求BDCE的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．3．（2022·山东·东营市一模）【提出问题】（1）如图1，在等边∠ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边∠AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边∠ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰∠ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰∠AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．4．（2022·山西长治·九年级期末）问题情境：如图1，在∠ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，且∥DE BC．数学思考：(1)在图1中，BDCE的值为；(2)图1中∠ABC保持不动，将∠ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究∠APE与∠ABC之间有何数量关系，并说明理由；(4)若将∠ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE 与∠ABC之间的数量关系．课后专项训练：1．（2022·湖南·中考真题）如图，点O 是等边三角形ABC 内一点，2OA =，1OB =，OC =AOB ∆与BOC ∆的面积之和为（）AB C D 2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC 内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP的延长线上，且AP 的长为2，则2CE = ）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④3．（2022·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）如图，已知AOB 和MON 都是等腰直角三角形OA <OM =ON )，∠AOB =∠MON =90°．(1)如图①，连接AM ，BN ，求证：AOM ∠BON ；(2)若将MON 绕点O 顺时针旋转， ①如图②，当点N 恰好在AB 边上时，求证：22220BN AN N +=；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若OB =4，ON =3，请直接写出线段BN 的长．4．（2022·山西朔州·九年级期末）综合与实践问题情境：在数学课上老师出了这样一道题：如图1，在ABC 中6AB AC ==，30BAC ∠=︒，求BC 的长． (1)探究发现：如图2，勤奋小组经过思考后，发现：把ABC 绕点A 顺时针旋转90︒得到ADE ，连接BD ，BE ，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求BC 的长；(2)探究拓展：如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把ABC 绕点A 顺时针旋转120︒后得到ADE ，连接BD ，CE 交于点F ，交AB 于点G ，请你判断四边形ADFC 的形状并证明；(3)奇异小组的同学把图3中的BGF 绕点B 顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF ，发现AF 的长度在不断变化，直接写出AF 的最大值和最小值．5．（2022·湖北武汉·八年级期末）已知ABC 中，∠BAC =60°，以AB 和BC 为边向外作等边ABD 和等边BCE ．(1)连接AE 、CD ，如图1，求证：AE =CD ；(2)若N 为CD 中点，连接AN ，如图2，求证：CE =2AN(3)若AB ∠BC ，延长AB 交DE 于M ，DB ，如图3，则BM =_______（直接写出结果）6．（2022·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图1，在Rt ∠ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点D ，E 分别为边AB ，BC 上的中点，且BD ＝BE(1)如图2，将∠BDE 绕点B 逆时针旋转任意角度α，连接AD ，EC ，则线段EC 与AD 的关系是； (2)如图3，DE ∠BC ，连接AE ，判断∠EAC 的形状，并求出EC 的长； (3)继续旋转∠BDE ，当∠AEC ＝90°时，请直接写出EC 的长．7．（2022·广东·惠州一中八年级期中）ABC 为等边三角形，4AB =，AD BC ⊥于点D ．E 为线段AD 上一点，AE =AE 为边在直线AD 右侧构造等边AEF ．连结CE ，N 为CE 的中点．（1）如图1，EF 与AC 交于点G ，①连结NG ，求线段NG 的长；②连结ND ，求DNG ∠的大小．（2）如图2，将AEF 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α．M 为线段EF 的中点．连结DN 、MN ．当30120α︒<<︒时，猜想DNM ∠的大小是否为定值，并证明你的结论．8．（2022•新乡中考模拟）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD 与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．9．（2022•虹口区期中）如图，在△ABC和△ADE中，△BAD＝△CAE，△ABC＝△ADE．（1）求证：△ABC△△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．10．（2022•长垣市一模）在△ABC中，AB＝AC，点D为AB边上一动点，∠CDE＝∠BAC＝α，CD＝ED，连接BE，EC．（1）问题发现：如图①，若α＝60°，则∠EBA＝，AD与EB的数量关系是；（2）类比探究：如图②，当α＝90°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；（3）拓展应用：如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝，请直接写出线段EF的长度．11．（2022·山西·寿阳县教研室九年级期末）问题情境：如图1所示，在∠ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，在图1中将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=12BD，EN=12CE，得到图3，请解答下列问题：(1)猜想证明：若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图2中，BD与CE的数量关系是_________．②在图3中，猜想∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)拓展应用：其他条件不变，若AB AC，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：∠MAN与∠BAC 的数量关系？AM与AN的数量关系？直接写出你的猜想．12．（2022·辽宁·东港市第七中学一模）如图，在ABC 、ADE 中，AB AC =，AD AE =，设BAC DAE α∠=∠=．连接BD ，以BC 、BD 为邻边作BDFC ，连接EF ．(1)若60α=︒，当AD 、AE 分别与AB 、AC 重合时（图1），易得EF CF =．当ADE 绕点A 顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段EF 、CF 的数量关系________；(2)若90α=︒，当ADE 绕点A 顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段EF 、CF 的数量关系，并证明你的结论；(3)若α为任意角度，6AB =，4BC =，3AD =，ADE 绕点A 顺时针旋转一周（图4），当A 、E 、F 三点共线时，请直接写出AF 的长度．。

相似模型--旋转“手拉手”模型

中考数学几何专项练习：相似模型--旋转“手拉手”模型（基础+培优）一、单选题A．12B．342．如图，ABC 与AEF △中，AB ②ADE FDB △∽△；③AFE ∠A．4B．33．如图，已知12∠=∠，添加一个条件后，仍不能判定A．C AED ∠=∠B．B ∠4．如图，在矩形ABCD 中，其中B C ''交AD 于点E ，延长A．323-B．32二、填空题5．如图，已知ABC 和ADE V 有公共顶点度．6．如图，Rt△ABC ，∠ACB ＝90°，方向排列）可以绕点C 自由转动，且为．三、解答题(1)知识理解：如图①，ABC 与ADE V 互为“旋转位似图形”．①若25α=︒，100D ∠=︒，28C ∠=︒，则BAE ∠=；②若6AD =，7DE =，4AB =，则BC =；(2)知识运用：如图②，在四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，AE BD ⊥于点E ，DAC DBC ∠=∠，求证：(1)问题发现：如图1，在等边ABC 中，点P 是边BC 上任意一点，连接AP 连接CQ ．求证：BP CQ =．(2)变式探究：如图2，在等腰ABC 中，AB BC =，点P 是边BC 上任意一点，以使AP PQ =，APQ ABC ∠=∠，连接CQ ．判断ABC ∠和ACQ ∠的数量关系，并说明理由；(3)解决问题：如图3，在正方形ADBC 中，点P 是边BC 上一点，以AP 为边作正方形(1)求证：34CC AA '='；(2)如图2，当点C '在线段AA '上时，求CBC '△的面积；11．（1）问题发现，如图1，在Rt ABC △中，90,AB A AC ∠=︒90,PAD APD B ∠=︒∠=∠，连接CD ．(1)①求PB CD的值；(1)BAE CAD △△∽；(2)MP MD MA ME ⋅=⋅．13．（1）如图①在Rt ABC △内，ABC ∠=点C 恰好与点A 重合．D 旋转到点E ，连接14．在ABC 中，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点，绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．(1)【猜想观察】如图①，若60α=︒，BD 交AC 于点M ，则BD CP的值是______，直线成的较小角的度数是______；(2)【类比探究】如图②，若90α=︒，BD 与AC ，PC 分别相交于点M ，N ，求BD CP 的值及(3)【解决问题】如图③，当90α=︒时，若P ，D ，C 三点在同一直线上，且DA DC =，(1)当60A BDE ︒∠=∠=时，①如图1，当点D 在边AB 上时，请直接写出CE 和AD 的数量关系：；②如图2，当点D 不在边AB 上时，判断线段CE 和AD 的数量关系，并说明理由；(2)如图3，当90A BDE ∠=∠=︒时，请直接写出CE 和AD 的数量关系：；(3)在（1）的条件下，将BDE 绕点B 逆时针旋转(0360)αα︒<<︒，当BC CD =时，请直接写出(1)发现问题∶如图1，在等腰ABC 中，AB AC =，点M 是边BC 上任意一点，连接AM ，以(1)求证：DG BE ⊥．小明经过思考后，很快得到了解题思路：先用“两边对应成比例且夹角相等”证明ADG ABE ∽，然后根据“直角三角形两锐角互余”可证明90BND BAD ∠=∠=︒，从而得到你按照他的思路完成证明过程．(2)连接BG ，当旋转角150α=︒时（如图2），求ABG ADGS S △△的值．(3)连接DE （如图3），当0180α︒<<︒时，小明发现22DE BG +是一个定值，请求出这个值．【初步探究】如图1，折叠三角形纸片ABC ，使点C 与点A 重合，得到折痕DE DE 位置关系为_______，AB 与DE 的数量关系为_______；(1)当点D 落在线段AC 上时，①如图1，当60α=︒时，请直接写出线段CE 与线段AD 的数量关系是______，DCE ∠②如图2，当90α=︒时，请判断线段CE 与AD 的数量关系，并给出证明；(2)当90α=︒时，过点A 作AN DE ∥交BD 于点N ，若2AD CD =，猜想CE 与AN 的数量关系并说明理由．20．如图，在ABC 和DEC 中，CD CE BCE ACD CA CB=∠=∠，．(1)求证：ABC DEC ∽△△；(2)若:9:16ABC DEC S S BC =△△，21．问题背景：如图（1），已知尝试应用：如图（2），在ABC22．已知正方形ABCD ，动点P 在AB 上运动，过点B 作BE ⊥射线DP 于点E ，连接(1)如图1，在DE 上取一点F ，使DF BE =，连接AF ，求证：AE AF =(2)如图2，点P 在AB 延长线上，求证：2BE DE AE +=；(3)如图3，若把正方形ABCD 改为矩形ABCD ，且12CD AD =，其他条件不变，请猜想关系，直接写出结论，不必证明．23．原题再现：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：(1)请你帮助小百合写出证明过程；迁移应用：小百合想，把等边ABC 和等边BDE △都换成等腰直角三角形，将BDE △置，其中90ACB EDB ∠=∠=︒，那么AE 和CD 有什么数量关系呢？(2)请你帮助小百合写出结论，并给出证明；(3)如图3，如果把等腰直角三角形换成正方形，将正方形AFEG 绕点A 旋转α︒，若数学思考：(1)试判断四边形PECF 的形状，并说明理由．(2)将图一中的四边形PECF 绕点C 顺时针旋转一定的角度得到图②连接量关系，并说明理由．25．综合与实践问题情境：如图1，在ABC 中，90ABC ∠=︒，8BC =，6AB =．点(1)特例分析：在图1中，DE 的长为，AE BD的值为．(2)拓展探究：将图1中的CDE 绕点C 顺时针方向旋转．①当点D 和点E 分别在BC 和AC 的延长线上时，AE BD的值为；②当点D 和点E 旋转到ABC 的外部时，得到图2，判断此时AE BD 的值是否变化，请说明理由；(1)如图1，若点C 在对角线AF 上，则DGCF的值为；（直接写结果）(2)将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转α()0180α︒<<︒．①如图2，连接CF DG ，．DGCF的值是否改变？若不改变，写出理由；若改变，写出新的值及理由；②当3BC =，135α=︒时，CF 交AD 于点M ，DG 交AE 于点N ，且27．如图①，正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．(1)发现：当正方形AEFG 旋转，如图②，①线段DG 之间的数量关系是________；直线BE 之间的位置关系是________．(2)探究：如图③，若四边形与四边形AEFG 都为矩形，2=AB ，2AG AE =，证明：(1)求证：CAD CBE ∽ ；(2)求证：EB AB ⊥．29．如图，在ABD △和ACE △(1)求证：ABC ADE ∽△△．(2)若点H 、G 分别是DE BC 、的中点，且60BOC ∠=︒，连接AH AG HG 、、，求HGBD的值．(3)若在ABD △和ACE △中，BAD CAE ABD ACE BD CE ∠=∠∠=∠=，，，点H 、G 分别是DE BC 、90BEC =︒，连接AH AG HG 、、，求CEHG的值．【问题提出】31．【初步感知】如图①，ABC 和ADE V 【深入探究】如图②，ABC 和ADE V 是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中AED ∠90ABC ADE ∠=∠=︒，连结BD 、CE ．(1)求BDCE的值；(2)延长CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ，则BFC ∠=______°；(3)【拓展提升】如图③，ABC 和ADE V 都是直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，且AB BC =(1)写出AF 和CG 的数量关系，并证明．(2)求证：22BG BH BD=⋅(3)连接DF ，若正方形ABCD 的边长为33．矩形ABCD 中，AB BEk AD EG==(1)特例发现如图1，当1k =时，AEDG=；(2)类比探究如图2，如图，将矩形EBFG 绕点B 顺时针旋转θ度(0θ<（1）①求证：ABD ACE ∽；②若1,6CD BD ==，求AD 的长；（2）如图3，将原题中的条件“AC BC =”去掉，其它条件不变，AC AEk AB AD==设，若1CD BD =，（1）如图1，当α＝60°时，CDAP的值为，直线CD 与AP 所成的较小角的度数为°；(1)如图（1），当0α=︒，求nm的值．(2)如图2，若090α︒≤≤︒，求m 关于n 的数量关系．(3)若CEF △旋转至A ，E ，F 三点共线，求m 的值．40．综合与实践操作发现（1）图1中线段DG 的数量关系是______，位置关系是______．（2）在图1的基础上，将正方形AEFG 绕着点A 沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．类比探究中的正方形ABCD 和正方形中都变为矩形，且时，请直接写出BE 的值．41．转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．如图1，已知在Rt ABC △中，90B Ð=°，4BC =，3AB =．请解答下面的问题：(1)基础巩固如图1，将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转60︒得到NMC ，连接BM ，则BC 与BM 之间的数量关系是__________；(2)拓展探究如图2，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，连接DE ，将CDE 绕点C 按顺时针方向旋转60︒得到CMN ．①求证：BCM ACN ∽；②用等式表示AC 与AN 之间的数量关系，并说明理由；(3)问题解决点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，连接DE ，将CDE 绕点C 旋转得到CMN ，请直接写出点A ，M ，N 在同一直线上时BM 的长．42．综合与实践综合与实践课上，数学老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展教学活动．【操作判断】如图①，在矩形ABCD 中，AD nAB =，点M ，P 分别在边AB ，AD 上（均不与端点重合）且AP nAM =，α=︒时，(1)当60的边BC上时，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD，则AP①如图1，当点P在ABC系是_______________；内部时，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD，①中AP与BD ②如图2，当点P在ABC还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；【类比探究】（2）如图2，ABC 和的值．【拓展提升】（3）如图3，ABC 和ADE V ①求BDCE的值；②延长CE 交BD 于点F ，交AB 45．【感受与猜想】(1)如图1，四边形ABCD 和四边形BEFG 均为正方形，点FEC(2)如图2，在旋转过程中，射线49．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形(1)如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF 与线段BE 的数量关系；(2)当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段AF 与线段BE 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当BC ＝10，且点B ，E ，F 三点共线时，求线段AF 的长．50．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 是矩形且AB AE =，点E 线段BD 上．(1)连接DG ，求证：∠BDG ＝90°；(2)连接DF ，当AB ＝AE 时，求证：(3)在（2）的条件下，连接EG ，若∠51．如图，在矩形ABCD 中，BC DC 于点F ，连接AE ．(1)求证：ABG GCF △△∽；(1)观察猜想小华将ADE∆绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，如图（2），当BD的延长线恰好经过点①BDCE的值为________；②BEC∠的度数为________度；(1)如图2，在旋转过程中，BPC ∠的角度是否不变？若不变，请求出BPC ∠的度数．(2)如图2，当120BAD ∠=︒时，求线段PC 的长．(3)连接DC ，当线段PC 取得最小值时，求线段DC 的值．。

(最新整理)中考数学专题训练-旋转模型几何变换三种模型手拉手-半角-对角互补

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几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）【练1】(2013北京中考)在ABC△中，AB AC=，BACα∠=（060α︒<<︒）,将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1,直接写出ABD∠的大小（用含α的式子表示）；（2)如图2，15060BCE ABE∠=︒∠=︒，，判断ABE△的形状并加以证明;（3）在（2）的条件下，连结DE，若45DEC∠=︒，求α的值．真题演练知识关联图【练2】（2012年北京中考）在ABC △中,BA BC BAC α=∠=，，M 是AC 的中点,P 是线段上的动点,将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．（1）若α=60︒且点P 与点M 重合(如图1)，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ,请补全图形，并写出CDB ∠的度数；（2)在图2中,点P 不与点B M ，重合,线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ,猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明;(3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．例题精讲考点1：手拉手模型：全等和相似包含:等腰三角形、等腰直角三角形(正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型,及残缺的旋转模型都要能很快看出来(1)等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等)（3)等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）【例1】（14年海淀期末）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB CE>．(1）如图1，连接BG、DG．求证：BG DE=;（2)如图2，如果正方形ABCD的边长为2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG BD∥,BG BD=．①求BDE∠的度数；②请直接写出正方形CEFG的边长的值．【题型总结】手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？【例2】（2014年西城一模）四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC .（1）如图24-1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值; (2）将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由;图图【例3】（2015年海淀九上期末）如图1，在ABC △ 中，4BC =，以线段AB 为边作ABD △，使得AD BD =，连接DC ，再以DC 为边作CDE △,使得DC DE =,CDE ADB α∠=∠=．（1）如图2 ,当45ABC ∠=︒且90α=︒时，用等式表示线段AD DE ，之间的数量关系;B（2）将线段CB 沿着射线CE 的方向平移,得到线段EF ，连接BF AF ，．若 90α=︒,依题意补全图3，求线段AF 的长；请直接写出线段AF 的长（用含α的式子表示）．BBB图2 图3 备用图图1【例4】（13年房山一模)（1）如图1，ABC △和CDE △都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE 相交于点P ，求证:BE AD =．(2）如图2,在BCD △中，120BCD ∠<，分别以BC 、CD 和BD 为边在BCD △外部作等边ABC △、等边CDE △和等边BDF △，联结AD 、BE 和CF 交于点P ,下列结论中正确的是_______（只填序号即可）①AD BE CF ==；②BEC ADC ∠=∠；③60DPE EPC CPA ∠=∠=∠=; (3）如图2,在(2)的条件下，求证：PB PC PD BE ++=．图2AFAB 图1考点2: 角含半角模型:全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等FED CBA G FED CBA AB CDEF FED CBA GABCDEFGAC D E ABCD E F【例1】（2012年西城期末）已知：如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ，DN 分别平分正方形的两个外角,且满足45MAN ∠=︒，连结MC ,NC ，MN ．猜想线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．【例2】（2014年平谷一模）（1）如图1，点E F 、分别是正方形ABCD 的边BC CD 、上的点，45EAF ∠=︒，连接EF , 则EF BE FD 、、之间的数量关系是：EF BE FD =+．连结BD ，交AE AF 、于点M N 、,且 MN BM DN 、、满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系；（2)在ABC △中, AB AC =，点D E 、分别为BC 边上的两点．①如图2，当60BAC ∠=︒，30DAE ∠=︒时，BD DE EC 、、应满足的等量关系是__________________；②如图3,当BAC ∠=α，(0︒<α90)<︒,DAE ∠=α21时，BD DE EC 、、应满足的等量关系是____________________．【参考：1cos sin 22=+αα】A B CD EF 图1B C DE 图2ACDE 图3AMN考点3：对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型-90°）OABCE DNOM A BCE D（全等型—120°）（全等型-任意角α）OEDCBA OFEDCBAOEDCBA【例1】四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角三角形ABD 和直角三角形CBD ，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．DCB A【例2】已知:点P 是MON ∠的平分线上的一动点,射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使180APB MON ∠+∠=．（1）利用图1，求证：PA PB =；(2）如图1，若点C 是AB 与OP 的交点，当3POB PCB S S ∆∆=时，求PB 与PC 的比值；CAOPBMNTTNM BP OAC图1 图2【例3】 (初二期末）已知：如图，在ABC △中，AB AC =，BAC ∠=α，且60120α︒<<︒．P 为ABC△内部一点，且PC AC =，120PCA α∠=︒-．(1）用含α的代数式表示APC ∠,得APC ∠ =_______________________; （2）求证：BAP PCB ∠=∠；（3）求PBC ∠的度数．BCPA（【练1】 (2015年昌平九上期末）如图，已知ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,AB AC =，AD AE =．连接BD 交AE 于M ,连接CE 交AB 于N ，BD 与CE 交点为F ，连接AF ．（1）如图1，求证：BD CE ⊥；（2）如图1，求证:AF 是CFD ∠的平分线;（3）如图2，当2AC =，15BCE ∠=︒时，求CF 的长。

“鸡爪”模型—构造手拉手旋转

变式1:如图，点P在正三角形ABC外，∠APC=30°，求证：PB²=PA²+PC².
这里过程就不详写，和前面那题差不
分析：多DP，²+可PC以²证=D∠CD²，PC即=P90A°²+；PC²=PB².
先识别：PB，PA，PC共顶点的三条线段，就是鸡爪，接下来就三步走啦！
变式2：如图，点P在等腰直角三角形ABC中， ∠APB=135°，求证2PA²+PB²=PC².
当然我们说过，这题A、B、C都可以当顶点，而且可以左旋可以右旋，所以这题一共有六种旋转方法，学霸们可以都试一下的。
总结
在识别出我们的鸡爪图后，我们三步法： 1、找顶点、找两腰 2、找第三条手，画第四条手 3、大拉小，连等腰最最最最重要的，连完后往往还会有直角三角形出现，也就出现了我们的勾股关系。
思考：三条线段并不在一个直角三角形中，怎么证勾股关系呢？
我们观察发现三条线段不是随意的，而是共顶点的。往往是这样：
或者这样
哈哈，是不是长得很像三脚架？
V.S.
是不是也很像我们爱吃的鸡爪呢？
于是我们常常把这样一个顶点引出的三条线段叫做 “鸡爪型”线段。这就是我们讲过的手拉手模型。它们的
全等都叫旋转式全等。
全等类手拉手模型，简图如下：
那么如果我们给出三条手，你能画出第四条吗？
①找两条大手（红色的）及大手的夹角， ②利用大手的夹角就是小手的夹角确定第四条手；
所以大家画的是不是这样：
或者
发现规律
实战中我们往往是两步：先找到前两条手（等腰的两腰），再找第三条手，根据夹角相等的原则画第四条手。
实战应用
第三步：大拉小(连DC)，连等腰（连PD）。
完整过程展示：

初三数学专题——旋转模型(手拉手模型)

M D N E C BF A 初三专题练习——旋转问题姓名______________ 学号_____________一、手拉手模型（特点——公共点是等腰三角形的顶点）如图，易证：'ABB ∆≌'ACC ∆这就是传说中的“旋转一施二”，又称为“手拉手模型”1、已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：∠AFM=60°2、如图，在等腰ABC Rt ∆中，BC BA =，︒=∠90ABC ，点D 在AC 上，将ABD ∆绕点B 顺时针方向旋转︒90后，得到CBE ∆（1）求DCE ∠的度数；（2）若4=AB ，AD CD 3=，求DE 的长。

3、等边ABC ∆中，4=AD ，3=DC ，5=BD ，求ADC ∠的度数。

A B C D4、如图，在凸四边形ABCD 中，30BCD ∠=︒,60DAB AD AB ∠=︒=，．求证：222AC CD BC =+5、已知ABC ∆，以AC 为边在ABC ∆外作等腰ACD ∆，其中AC AD =。

⑴如图①，若2DAC ABC ∠=∠，AC BC =，四边形ABCD 是平行四边形，则_____ABC ∠= ⑵如图②，若30ABC ∠=︒，ACD ∆是等边三角形，3AB =，4BC =，求BD 的长；6、已知在ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 边上一点，连接AD ，在直线AD 右侧作等腰ADE ∆，AE AD =（1）如图1，︒=∠=∠90DAE BAC ，连接CE ，求证：ABD ∆≌ACE ∆（2）如图2，︒=∠=∠120DAE BAC ，2==AC AB ，取AC 边的中点F ，连接EF ，当点D 从B 点运动到C 点过程中，求线段EF 长度的最小值。

（3）如图3，四边形ABCD 中，︒=∠=∠90BCD BAD ，AD AB =，1=DC ，连接AC ，已知2230+=AC ，求AB 的长。

初中几何专项——手拉手模型

初中几何专项——手拉手模型手拉手模型手拉手模型常常与旋转结合出现在几何综合题目中。

这种模型的实例包括以下几个题目：1.在等腰直角三角形△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°，F 为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF。

证明BE=BF，若∠CAE=30°，求∠ACF的度数。

2.在等边三角形△ABD和△BCE中，连接AE与CD，延长AE交CD于点H。

证明AE=DC，∠AHD=60°，HB平分∠AHC。

3.将等腰直角三角形△ABC和△ADE按图①方式放置，∠A=90°，AD边与AB边重合，AB=2AD=4.将△ADE绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（°<α<180°），BD的延长线交CE 于P。

证明BD=CE，BD⊥CE，当AD⊥BD时，求出CP的长度。

4.直线AB的同一侧作等边三角形△ABD和△BCE，连接AE、CD，二者交点为H。

证明△ABE≌△DBC，AE=DC，∠DHA=60°，△AGB≌△DFB，△EGB≌△CFB，GF∥AC，HB平分∠AHC。

这些题目都可以用手拉手模型来解决。

例如，在第一个题目中，我们可以通过连接BE和BF来构建△BEF和△BFC，然后通过手拉手模型证明△BEF≌△BFC，从而得出BE=BF。

在第二个题目中，我们可以通过连接HB来构建△AHB和△CHB，然后通过手拉手模型证明AE=DC，∠AHD=60°，HB平分∠AHC。

在第三个题目中，我们可以通过连接BD和CE来构建△BPD和△CPE，然后通过手拉手模型证明BD=CE，BD⊥CE。

最后，在第四个题目中，我们可以通过连接AE和DC来构建△ABE和△DBC，然后通过手拉手模型证明△ABE≌△DBC，AE=DC。