北京中考数学命题趋势 强化图形变换
北师大版中考数学复习《图形的变换》
Day7 图形的变换一、几何变换（轴对称、平移、旋转、折叠）1、图形的平移：2、图形的轴对称：对称，如图直线L是这两个图形的对称轴，点A和点E是对称点★记忆：简单来说就是能使得两个图形重合的直线就是对称轴。
要区分“对称轴”和“轴对称图形”。
“对称轴”是一条直线，“轴对称图形”是两个全等的图形如图，两个▲关于直线L对称，直线L是对应点B和点F连线BF的垂直平分线如图▲ABC和▲EFG是以直线L为对称轴的轴对称图形如图，两个▲关于直线L对称，直线L是对应点B和点F连线BF的垂直平分线3、图形的翻折翻折前后图形全等（对应线段和对应角都分别相等）4、图形的旋转转动一个角度，’、5、中心对称（特殊的旋转）二、视图、展开图、位似作图1、投影用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影.由一点（光源）（位似变换），2、三视图：主视图、俯视图、左视图①看得见的部分画成实线，被遮挡而看不见的部分画成虚线3、展开图有些立体图形是由一些平面图形围成的，将这些立体图形的表面剪开可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
注意：不是所有的立体图形都有平面展开图，如球体就不能展开。
4、位似作图（1）几何作图：对应点到位似中心的距离之比等于位似比★记忆：位似即位置相似，位置距离成比例位似又分为同侧位似和异侧位似★注意：位似比，即位似图形的相似比，指的是题目要求画的新图形与参照的原图形的相似比，所以以不同的图形为参照图，所得的位似比不同。
如上面左图同侧位似中，如果题目的意思是“以▲ABC为参照的原图，▲DEF为新图形，求出位似比”，则此时的位似比=DOAO= 95；而如果题目的意思是“以▲DEF为参照的原图，▲ABC为新图形，求出位似比”则此时的位似比=AODO= 59总之位似比总是原图形的数值作分母，口诀：位似比即旧分之新（位似比=新旧）（2）代数作图：如果以原点为位似中心，位似比为k，则原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（一kx，一ky）★记忆：如果是同侧位似则位似对应点的坐标是（kx，ky），如果是异侧位似则位似对应点的坐标是（一kx，一ky）。
北京中考图形变换题型
(2008)22．（本小题满分4分）已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．（1）若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A B C D ，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C '''的面积；（2）实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A B C '''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．解：（1）重叠三角形A B C '''的面积为 ；（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为 ；m 的取值范围为 ．(2008)25．请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：D A BE F C P G 图1 D C G PA B E F图 2 A GC F B ' C ' E BD A '图1 AG C F B ' C ' E B D A ' 图2 A C B 备用图 A C B备用图（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC 的值（用含α的式子表示）． 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；PGPC= ．（2）(2009)22. 阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG. 请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ 请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果）.(2009)23. 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.(2009)24. 在ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.(2010)22、阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD =8cm ，BA =6cm.现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着与AB 边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着与BC 边夹角为45°的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，问P 点第一次与D 点重合前．．．与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时．．．所经过的路径总长是多少.小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形CD B A 11.由轴对称的知识，发现E P P P 232=，E P A P 11=. 请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P 点第一次与D 点重合前．．．与边相碰_______次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时．．．所经过的路径的总长是_______cm ；（2）进一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD >AB ，动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上，若P 点第一次与B 点重合前．．．与边相碰7次，则AB ：AD 的值为______. (2010)25、问题：已知△ABC 中，∠BAC =2∠ACB ，点D 是△ABC 内一点，且AD =CD ，BD =BA .探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值. 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明. （1）当∠BAC =90°时，依问题中的条件补全右图. 观察图形，AB 与AC 的数量关系为________________；当推出∠DAC =15°时，可进一步推出∠DBC 的度数为_________； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为_______________.（2）当∠BAC ≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与（1）中A BCA BD CEF图3的结论相同，写出你的猜想并加以证明.(2011)22．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ．若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC 、BD 、AD ＋BC 的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的△BDE 即是以AC 、BD 、AD ＋BC 的长度为三边长的三角形(如图2)．请你回答：图2中△BDE 的面积等于____________． 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC 的三条中线分别为AD 、BE 、CF ．(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)； (2)若△ABC 的面积为1，则以AD 、BE 、CF 的长度为 三边长的三角形的面积等于_______．(2011)24．(7分)在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．(1)在图1中，证明：CE ＝CF ； (2)若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点(如图2)，直接写出∠BDG 的度数； (3)若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB 、DG (如图3)，求∠BDG 的度数．B BADADC C EFE G FABC DE GF 图1图2图3BBCADOADCEO图2图1E ADF O B x y(2011)25．(7分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，我把由两条射线AE 、BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C (注：不含AB 线段)．已知A (－1，0)，B (1，0)，AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上．(1)求两条射线AE 、BF 所在直线的距离；(2)当一次函数y ＝x ＋b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围； 当一次函数y ＝x ＋b 的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，写出b 的取值范围； (3)已知□AMPQ (四个顶点A 、M 、P 、Q 按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，求点M 的横坐标x 的取值范围．(2012)24．在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。
北京市2019年中考数学总复习题型突破(06)图形变换课件
关于直线 DE 的对称点为 F,连接 EF 并延长交 BC 于点 G,连接 DG,过点 E 作 EH⊥DE 交 DG 的延长线
于点 H,连接 BH.
(1)求证:GF=GC;
(2)用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系,并证明. 解:(1)证明:连接 DF,如图:∵点 A 关于直线 DE 的对称点为 F,
类型1 证明线段之间的数量关系（针对2018 27题,2017 28题,2015 28题）
2.[2018·北京延庆初三统一练习] 如图 Z6-2,正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 延长线上一点,连接 DE,过点 B
作 BF⊥DE 于点 F,连接 FC.
(2)作点 C 关于直线 DE 的对称点 G,连接 CG,FG.
∵△ PAE 是等腰直角三角形,从而 PE= 2AE.∴BH= 2AE.
类型1 证明线段之间的数量关系（针对2018 27题,2017 28题,2015 28题）
2.[2018·北京延庆初三统一练习] 如图 Z6-2,正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 延长线上一点,连接 DE,过点 B
作 BF⊥DE 于点 F,连接 FC.
①依据题意补全图形; ②用等式表示线段 DF,BF,CG 之间的数量关系,并加以证明.
图Z6-2
类型1 证明线段之间的数量关系（针对2018 27题,2017 28题,2015 28题）
(2)①补全图形如图所示. ②数量关系为:BF=DF+CG. 证明:如图,在 BF 上取点 M 使得 BM=DF,连接 CM.∵四边形 ABCD 是正方形,∴BC=DC. ∵∠FBC=∠CDF,BM=DF,∴△ BMC≌△DFC.∴CM=CF,∠BCM=∠DCF. ∴∠MCF=∠MCD+∠DCF=∠MCD+∠BCM=∠BCD=90°,∴△ MCF 是等腰直角三角形.∴∠BFC=45°. ∵点 C 与点 G 关于直线 DE 对称,∴CF=GF,∠CFE=∠GFE.∵BF⊥DE,∠BFC=45°,∴∠CFE=45°, ∴∠CFG=90°,∴∠CFG=∠MCF,∴CM∥GF.∵CM=CF,CF=GF,∴CM=GF, ∴四边形 CGFM 是平行四边形,∴CG=MF.∵BF=BM+MF,∴BF=DF+CG.
北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—几何图形变换综合压轴题(含解析)
北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—几何图形变换综合压轴题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB的中点，点P为直线BC 上的动点（不与点B点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）观察猜想：如图①，线段BQ与CP的数量关系是 ；∠CBQ＝ ；（2）探究证明：如图②，当点P在CB的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．2．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，A（a，b），且a，b满足|3a﹣4b|+＝0．（1）求点A的坐标；（2）如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为t，当S△AOD＜S△AOE时，求t的取值范围；（3）如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点为N，连接BN交y轴于点P，当OM＝3OP时，求点M的坐标．3．探究（1）如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，作CM⊥AB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE填空：①线段BD、BE的数量关系为 ．②线段BC、DE的位置关系为 ．推广：（2）如图②，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝β，作CM⊥AB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转β度得到线段CE，连接DE、BD、BE，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．应用：（3）如图③，在等边三角形ABC中，AB＝3．作BM⊥AC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出DE的值．4．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ；NB与MC的数量关系是 ；（2）如图2，点E是AB延长线上一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝7，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的一点，C1P＝，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q，则△A1B1Q的面积是 ．5．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．（1）如图1，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G，连接DF，求证：AG＝GF；（2）如图2，点E是线段CB上一点，连接ED，将线段ED绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G，若＝，求；（3）如图3，点K、E分别在边AB、BC上，将线段EK绕点E逆时针旋转90°得到EF，连AF交CD于点G，连接KG，若KG∥BC，则＝，CE＝3，则AF的长为 ．6．在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．【感知】如图①，若M是线段BC上的任意一点，易证△ABN≌△ACM，可知∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．【探究】如图②，点E是AB延长线上的点，若点M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．【拓展】如图③，在△DEF中，DE＝8，∠DEF＝60°，∠EDF＝75°，P是EF上的任意点，连接DP，将DP绕点D按顺时针方向旋转75°，得到线段DQ，连接EQ，则EQ的最小值为 ．7．同学们应该都见过光线照射在平面镜上出现反射光线的现象．如图1，AB是放置在第一象限的一个平面镜，一束光线CD经过反射后的反射光线是DE，DH是法线，法线垂直于镜面AB．入射光线CD和平面镜所成的角∠BDC叫做入射角，反射光线DE与平面镜所成的角∠ADE叫做反射角．镜面反射有如下性质：入射角等于反射角，根据以上材料完成下面问题：（1）如图1，法线DH交x轴于点F，交y轴于点H，试探究∠DFC与∠DAH之间的数量关系并加以证明；（2）如图2，第一象限的平面镜AB交x轴于点B，交y轴于点A，x轴负半轴上也放置了一块平面镜，入射光线CD经过两次反射后得到反射光线EG，DH是法线．射线CD和EG 的反向延长线交于点P．①若第一象限平面镜与x轴夹角为26°，问入射角∠BDC为多少时，反射光线EG与AB平行？②若∠DCE＞∠DEC，平面镜AB绕点D旋转，是否存在一个定值k，使得∠DCE﹣∠DEC＝k∠OHF总是成立，若存在请求出值，若不存在，请说明理由．8．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．9．如图1，点C是线段AB上一点，将CA绕点C顺时针旋转90°得到CE，将CB绕点C旋转，使点B的对应点D落在CE上，连接BE，AD，并延长AD交BE于点F．（1）求证：AF⊥BE；（2）连接CF，猜想AF，EF，CF存在的等量关系，并证明你猜想的结论．（3）如图2，延长AB到G，使BG＝CB，将线段BG沿直线BE上下平移，平移后的线段记为B'G'，若∠ABE＝60°，当CB'+CG'的值最小时，请直接写出tan∠G'CG的值．10．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0），B（0，8），AB＝10，点C在线段OB上，现将△AOC翻折，使得线段AO的对应边AD落到AB上，点O的对应点是点D，折痕为AC．（1）求点C的坐标；（2）连接OD，过点O作OH⊥CD于点H，求OH的长；（3）在（2）的条件下，若点P从点C出发，沿着C﹣D﹣A运动，速度为每秒1个单位，时间为t，是否存在t值，使得△AOP的面积为12，若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．11．【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：（1）如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB 的长．经过观察、分析、思考，他对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系…请你根据上面分析，完成该问题的解答过程；【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面问题：（2）如图2，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面积；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB＝，PC＝，求AB的长．12．（1）（问题发现）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为 ；②∠BEC＝ °．（2）（类比探究）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一条直线上，请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．（3）（解决问题）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB 边上，DE⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，CE 的长是多少？（直接写出答案）13．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点E、F分别在边AD、AB上，将△AEF沿EF 折叠，使得点A的对应点A′恰好落在边CD上．（1）延长CB、A′F交于点H，求证：；（2）若A′点为CD的中点，求EF的长；（3）AA′交EF于点G，再将四边形纸片BCA′F折叠，使C点的对应点C′恰好落在A′F上，折痕MN分别交边CD、BC于点M、N，连接C′G，则C′G的最小值为 ．14．黄金三角形就是一个等腰三角形，且其底与腰的长度比为黄金比值．如图1，在黄金△ABC中，AB＝AC，点D是AB上的一动点，过点D作DE∥AC交BC于点E．（1）当点D是线段AB的中点时，＝ ；当点D是线段AB的三等分点时，＝ ；（2）把△BDE绕点B逆时针旋转到如图2所示位置，连接AD，CE，判断的值是否变化，并给出证明；（3）把△BDE绕点B在平面内自由旋转，若AB＝6，BD＝2，请直接写出线段CE的长的取值范围．15．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝30°．【操作发现】①如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，则∠ACD的度数是 ；②△BDC的面积与△AEC的面积之间的数量关系是 ．【探究论证】当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，猜想△BDC的面积与△AEC的面积的数量关系，并说明理由．【拓展应用】已知∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使△DCF与△BDE的面积相等，请直接写出相应的BF的长．16．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W，给出如下定义：图形W关于经过点（m，0）且垂直于x轴的直线的对称图形为W'，若点P恰好在图形W'上，则称点P是图形W关于点（m，0）的“关联点”．（1）若点P是点Q（3，2）关于原点的“关联点”，则点P的坐标为 ；（2）如图，在△ABC中，A（1，1），B（6，0），C（4，﹣2）．①点C关于x轴的对称点为C'，将线段BC'沿x轴向左平移d（d＞0）个单位长度得到线段EF（E，F分别是点B，C'的对应点），若线段EF上存在两个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，则d的取值范围是 ．②已知点M（m+1，0）和点N（m+3，0），若线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，求m的取值范围．17．如图①，△ABC、△ADE均为等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上．将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连接BD、CE．（1）如图②，可以根据三角形全等判定定理 证得△ADB≌△AEC．（A）边边边；（B）边角边；（C）角边角；（D）角角边．（2）如图③，求证：△ADB≌△AEC．（3）当点D、E、C在同一条直线上时，∠EDB的大小为 度．18．已知：在平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一点且OA＝3，点B在第二象限内，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2．（1）直接写出点A，点B的坐标：点A（ ， ），点B（ ， ）；（2）在图①中的y轴上找到一点P，使得三角形ABP的周长最小，则这个最小周长是 ；（3）在图①中，若△ABC是等腰直角三角形，当点C在AB的左侧时，请直接写出点C 的坐标 ；（4）如图②，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D不与点A重合，是x轴上一个动点，点E是AD中点，连接BE．把BE绕着点E顺时针旋转90°得到FE即（∠BEF＝90°，BE＝FE），连接BF、CF、CD．直接写出∠FCD的度数 ．19．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想线段AE、CF、EF之间存在的数量关系为 ．（不需要证明）；（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．20．（1）如图1，在正方形ABCD中，∠FAG＝45°，请直接写出DG，BF与FG的数量关系，不需要证明．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F分别是BC上两点，∠EAF＝45°．①写出BE，CF，EF之间的数量关系，并证明；②若将（2）中的△AEF绕点A旋转至如图3所示的位置，上述结论是否仍然成立？若不成立，直接写出新的结论，无需证明．（3）如图4，△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于G，且GF＝2，GE＝3，则S△AEF＝ ．答案1．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，∴OC＝AB＝OB，∴△COB为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠COP+∠BOP＝60°，由旋转的性质可知，∠POQ＝60°，OP＝OQ，∴∠BOQ+∠BOP＝60°，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴BQ＝CP，∠OBQ＝∠OCP＝60°，∴∠CBQ＝∠CBO+∠OBQ＝120°，故BQ＝CP；120°；（2）当点P在CB的延长线上时，（1）中结论成立，理由如下：∵∠COB＝∠POQ＝60°，∴∠COB+∠BOP＝∠POQ+∠BOP，即∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴BQ＝CP，∠OBQ＝∠OCP＝60°，∴∠CBQ＝∠CBO+∠OBQ＝120°．2．解：（1）|3a﹣4b|+＝0，∴，∴，∴A（8，6）；（2）由（1）知，A（8，6），∵AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，∴AC＝8，AB＝6，由运动知，OD＝t，OE＝2t，当点E在OB上时，即0＜t＜4，则OE＝8﹣2t，∴S△AOD＝OD•AC＝t×8＝4t，S△AOE＝OE•AB＝×（8﹣2t）×6＝3（8﹣2t），∵S△AOD＜S△AOE，∴4t＜3（8﹣2t），∴t＜，即0＜t＜，当点E在BO的延长线上时，即t＞4，则OE＝2t﹣8，∴S△AOD＝OD•AC＝t×8＝4t，S△AOE＝OE•AB＝×（2t﹣8）×6＝3（2t﹣8），∵S△AOD＜S△AOE，∴4t＜3（2t﹣8），∴t＞12，即0＜t＜或t＞12；（3）如图，设点M（0，m），∴M（0，m）（m＜0），则OM＝﹣m，由平移的性质得，N（﹣8，m+6），过点N作NE⊥x轴于E，∴OB＝OE＝8，NE＝m+6，S△BEN＝BE×NE＝×16×|m+6|＝8|m+6|，S△BOP+S梯形OPNE＝×OB×OP+（OP+NE）×OE＝×8OP+（OP+|m+6|）×8＝4OP+4OP+4|m+6|，∵S△BEN＝S△BOP+S梯形OPNE，∴8|m+6|＝4OP+4OP+4|m+6|，∴OP＝|m+6|，∵OM＝3OP，∴﹣m＝3×|m+6|，∴m＝﹣或m＝﹣18，∴M（0，﹣）或（0，﹣18）．3．解：（1）如图①中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB，∴∠ACM＝∠BCM＝45°，∵∠ECD＝90°，∴∠ECF＝∠DCF＝45°，∵CD＝CE，CB＝CB，∴△CBD≌△CBE（SAS），∴BD＝BE，∵CD＝CE，∴BC垂直平分线段DE，∴BC⊥DE．故BD＝BE，BC⊥DE．（2）结论：（1）中的结论仍然成立．理由：如图②中，∵CA＝CB，∠ACB＝α，CM⊥AB，∴∠ACM＝∠BCM＝α，∵∠ECD＝α，∴∠ECF＝∠DCF＝α，∵CD＝CE，CB＝CB，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴BD＝BE，∵CD＝CE，∴BC垂直平分线段DE，∴BC⊥DE．（3）如图③中，当△AFE≌△AMD时，AF＝AM，∵∠AFD＝∠AMD＝90°，∵AD＝AD，∴Rt△ADF≌Rt△ADM（HL），∴∠DAF＝∠DAM＝30°，∴∠DBA＝∠DAB＝30°，∴DA＝DB，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝60°，BF＝AF＝，∵BD＝BE，∴△BDE是等边三角形，∴DF＝EF＝BF•tan30°＝，∴DE＝2EF＝．如图③﹣1中，当点D在BM的延长线时，则AF＝AM＝，DE＝2DF＝3．如图③﹣2中，当EF＝AM＝DF时，也满足条件，此时DE＝BD＝AB＝3，综上所述，满足条件的DE的值为或3或3．4．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，（1）中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，方法一：在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，∴∠QA1B1＝∠PA1N，∵A1Q＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），∴B1Q＝PN，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝7，∴B1M＝，∴A1M＝＝，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝A1M＝，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝﹣7，在Rt△NHC1中，∵∠C1＝45°，∴NH＝NC1•＝﹣，∴＝×（）＝，∵＝M＝，∴＝﹣＝＝，方法二：如图4，过点Q作QG⊥A1B于点G，过点P作PH⊥A1C1于点H，∵∠QA1G＝∠PA1H，∠A1GQ＝∠PHA1＝90°，A1Q＝A1P，∴△A1QG≌△A1PH（AAS），∴QG＝PH，∵∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，∴∠C1＝180°﹣∠A1B1C1﹣∠B1A1C1＝45°，∴△PHC1是等腰直角三角形，∴PH＝＝1，∴QG＝1，∴△A1B1Q的面积为．故．5．（1）证明：如图1中，∵∠ACB＝90°，CB＝CA，CD⊥AB，∴CD＝DB＝AD，∵CD＝CF，∠DCF＝∠ADC＝90°，∴AD∥CF，AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∴AG＝GF．（2）解：如图2中，连接BF，过点E作EJ⊥BC交AB于J．∵CE：AC＝2：7，∴可以假设CE＝2k，AC＝7k，∵AC＝BC﹣EC＝7k，∠ACB＝90°，∴BE＝BJ＝5k，AB＝7k，∵CD⊥AB，∴BD＝AD＝k，∴CD＝AD＝BD＝k，∵EJ∥AC，∴＝＝，∴AJ＝×7k＝2k，∴DJ＝k，∵∠DEF＝∠BEJ＝90°，∴∠BEF＝∠JED，∵∠ABC＝45°，JE⊥BC，∴∠EBJ＝∠E＝45°，∴EB＝EJ，∵EB＝EJ，EF＝DE，∴△BEF≌△JED（SAS），∴BF＝DJ＝k，∠EBF＝∠EJD＝45°，∴∠FBA＝∠GDA＝90°，∴GD∥BF，∵AD＝DB，∴AG＝GF，∴DG＝BF＝k，∴CG＝CD﹣DG＝k﹣k＝k，∴＝＝．（3）如图3中，连接BF，过点F作FH⊥BC于H．∵AK：KB＝4：3，∴可以假设AK＝4k，BK＝3k，则AD＝BD＝k，DK＝DB﹣BK＝k，∵∠KBE＝∠KFE＝45°，∴K，B，F，E四点共圆，∴∠KBF+∠KEF＝180°，∵∠KEF＝90°，∴∠KBF＝∠ADC＝90°，∴DG∥BF，∵AD＝DB，∴AG＝GF，∴BF＝2DG，∵KG∥BC，∴∠DKG＝∠ABC＝45°，∵∠KDG＝90°，∴DG＝DK＝k，∴BF＝k，∴KF＝＝＝k，AF＝＝＝5k ，∴EK＝EF＝KF＝k，∵FH⊥BC，∠FBH＝45°，∴BH＝FH＝k，EH＝＝＝k，∴BE＝BH+EH＝2k，∵BC＝AB，∴（2k+3）＝7k，∴k＝，∴AF＝5×＝10．故答案为10．6．解：【探究】如图②中，结论成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠BAN＝∠CAM，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．【拓展】如图③中，在DF上取一点H，使DH＝DE＝8，连接PH，过点H作HM⊥EF 于M，由旋转知，DQ＝DP，∠PDQ＝75°，∵∠EDF＝75°，∴∠PDQ＝∠EDF，∴∠EDQ＝∠HDP，∴△DEQ≌△DHP（SAS），∴EQ＝HP，要使EQ最小，则有HP最小，而点H是定点，点P是EF上的动点，∴当HM⊥EF（点P和点M重合）时，HP最小，即：点P与点M重合，EQ最小，最小值为HM，过点D作DG⊥EF于G，在Rt△DEG中，DE＝8，∠DEG＝60°，∴∠EDG＝30°，∴EG＝DE＝4，∴DG＝EG＝4，∵∠F＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∠DGF＝90°∴∠F＝∠GDF＝45°，∴DG＝GF＝4，∴DF＝DG＝4∴FH＝DF﹣DH＝4﹣8，在Rt△HMF中，∠F＝45°，∴HM＝FH＝（4﹣8）＝4﹣4，即：EQ的最小值为4﹣4．故4﹣4．7．解：（1）∠DFC＝∠DAH，理由如下：∵∠ADF+∠DAH+∠AOF+∠DFO＝360°，∠ADF＝∠AOF＝90°，∴∠DAH+∠DFO＝180°，又∵∠DFO+∠DFC＝180°，∴∠DAH＝∠DFC；（2）①设∠BDC＝x°＝∠ADE，∵∠DBF＝26°，∠FDB＝90°，∴∠DFB＝64°，∵∠BDC＝x°，∴∠FDC＝90°﹣x°＝∠EDF，∵∠EDF+∠DEF＝∠DFB，∴90°﹣x°+∠DEF＝64°，∴∠DEF＝x°﹣26°，∴∠DEP＝2∠DEF＝2x°﹣52°，∵EG∥AB，∴∠ADE＝∠DEP，∴x°＝2x°﹣52°，∴x＝52，∴当入射角∠BDC为52°时，反射光线EG与AB平行；②k＝2，理由如下：∵∠DCE＝180°﹣∠CDF﹣∠DFC，∠EDF＝∠DFC﹣∠DEC，∠EDF＝∠CDF，∴∠DCE＝180°﹣∠DFC﹣（∠DFC﹣∠DEC）＝180°﹣2∠DFC+∠DEC，∵∠DFC＝∠OFH，∠OFH＝90°﹣∠OHF，∴∠DCE＝180°﹣2（90°﹣∠OHF）+∠DEC，∴∠DCE﹣∠DEC＝2∠OHF，又∵∠DCE﹣∠DEC＝k∠OHF，∴k＝2．8．证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．9．（1）证明：如图1中，∵将CA绕点C顺时针旋转90°得到CE，∴CA＝CE，∠ACD＝∠ECB＝90°，∵将CB绕点C旋转，使点B的对应点D落在CE上，∴CD＝CB，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴∠A＝∠E，∵∠A+∠ADC＝90°，∠ADC＝∠EDF，∴∠E+∠EDF＝90°，∴∠EFD＝90°，∴AF⊥BE．（2）解：如图1中，连接CF．结论：AF﹣EF＝CF．理由：过点C作CT⊥CF，交AF于T．∵∠DFB+∠DCB＝90°+90°＝180°，∴D，C，B，F四点共圆，∴∠DFC＝∠DBC＝45°，∵∠FCT＝90°，∴∠CTF＝∠CFT＝45°，∴CT＝CF，FT＝CF，∵∠ACE＝∠TCF＝90°，∴∠ACT＝∠ECF，∵CA＝CE，CT＝CF，∴△ACT≌△ECF（SAS），∴AT＝EF，∴AF﹣EF＝AF＝AT＝FT＝CF．（3）解：如图2中，设CB＝BG＝m．∵CB＝BG＝B′G′，B′G′∥BC，∴四边形CBG′B′是平行四边形，∴CB′＝BG′，∴CB′+CG′＝CG′+G′B，作点C关于直线GG′的对称点T，连接BT交GG′于G′，此时CG′+G′B的值最小，作TH∥CG交GG′于H，设CT交GH于O．∵CO＝OT，∠THO＝∠OGC，∠HOT＝∠COG，∴△THO≌△CGO（AAS），∴TH＝CG＝2m，OG＝OH，在Rt△CGO中，∵∠CGO＝∠CBE＝60°，CG＝2m，∴OG＝OH＝CG•cos60°＝m，∵HT∥BG，∴HG′：GG′＝HT：GB＝2：1，∴HG′＝m，GG′＝m，过点G′作G′K⊥BG于K，则GK＝GG′＝m，G′K＝m，CK＝2m﹣m＝m，∴tan∠GCG′＝＝＝．10．解：（1）设C（0，m），∵A（﹣6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，由翻折的性质可知，∠CDA＝∠AOC＝90°，OC＝CD＝m，∵S△AOB＝S△AOC+S△ACB，∴•OA•OB＝•OC•OA+•AB•CD，∴6×8＝6m+10m，∴m＝3，∴C（0，3）．（2）如图2中，由翻折的性质可知，OA＝AD＝6，CD＝OC＝3，∵AB＝10，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4，∴BD：AB＝4：10＝2：5，∴S△BOD＝•S△AOB＝××6×8＝，∵OC：OB＝3：8，∴S△CDO＝S△BOD，∵OH⊥CD，∴×3×OH＝×，∴OH＝．（3）如图3中，设P（m，n）．∴S△POA＝12，∴×6×n＝12，∴n＝4，∴当点P在线段AB上时，PA＝PB＝5，此时P（3.4），∴PD＝AD﹣PA＝6﹣5＝1，∴CD+PD＝3+1＝4，∴t＝4（s）．当点P′在线段CD上时，CP′＝t，则有S四边形AOCD﹣S△ADP′﹣S△P′OC＝S△P′OA，∴2××3×6﹣×6×（3﹣t）﹣××t＝12，∴t＝（s）．综上所述，满足条件的t的值为4s或s．11．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，如图1所示：则△APD是等边三角形，∠APC＝∠ADB＝150°，PC＝DB＝4，∴∠ADP＝60°，DP＝AP＝3，∴∠PDB＝90°，∴PB＝＝＝5；解：（2）将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′，如答图1所示：则△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP•PC＝××2＝7；（2）如答图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD．由旋转性质可知；BD＝PA＝1，CD＝CP＝2，∠PCD＝90°，∴△PCD是等腰直角三角形，∴PD＝PC＝×2＝4，∠CDP＝45°，∵PD2+BD2＝42+12＝17，PB2＝（）2＝17，∴PD2+BD2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠BDC＝135°，∴∠APC＝∠CDB＝135°，∵∠CPD＝45°，∴∠APC+∠CPD＝180°，∴A，P，D共线，∴AD＝AP+PD＝5，在Rt△ADB中，AB＝＝＝．12．解：（1）①∵△ACB和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，∵点B，D，E在同一直线上，∴∠ADB＝180﹣60＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°，综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE．②∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°；故BD＝CE；60；（2），∠BEC＝45°．理由如下：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ADE＝∠DAE＝45°，∠ACB＝∠AED＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝135°，∵Rt△ABC和Rt△ADE中，，，，∴，∴，又∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝135°，，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，∵，∴，∴，∴；（3）如图3中，∵AEB＝∠ACB＝90°，∴A，B，C，E四点共圆，∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，∵∠FAE＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴，∴EC＝BD，在Rt△ADE中，∵DE＝，∠DAE＝30°，∴AE＝DE＝3，∴BE＝＝4，∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，∴CE＝BD＝2﹣，如图4中，当D，E，B在同一直线上时，同法可知BD＝DE+EB＝4+，CE＝BD＝2+，综上所述，CE的长为或．13．（1）证明：如图1中，延长CD到T，使得DT＝DE，连接TE．∵四边形ABCD是菱形，∴DT∥AB，∠A＝∠C＝60°，∴∠TDE＝∠A＝60°，∵DT＝DE，∴△DET是等边三角形，∴∠T＝∠C＝60°，∵∠EA′F＝∠A＝60°，∴∠TA′E+∠CA′H＝120°，∵∠CA′H+∠A′HC＝120°，∴∠TA′E＝∠A′HC，∴△A′HC∽△EA′T，∴＝，∵ET＝DE，AE＝A′E，∴＝．（2）解：如图2中，延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，交AB于H，连接A′B、BD，CF．∵∠A＝60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF＝60°，∴∠MFD＝30°，设MD＝x，则DF＝2x，FM＝x，∵DA′＝1，∴MA′＝x+1，∴（x+1）2+（x）2＝（2﹣2x）2，解得：x＝0.3，∴DF＝0.6，AF＝1.4，∴AH＝AF＝0.7，FH＝AF•sin∠A＝1.4×＝，∵CD＝BC，∠C＝60°，∴△DCB是等边三角形，∵A′是CD的中点，∴BA′⊥CD，∵BC＝2，DA′＝A′C＝1，∴BA′＝，设BE＝y，则A′E＝2﹣y，∴（）2+y2＝（2﹣y）2，解得：y＝0.25，∴AE＝1.75，∴EH＝AE﹣AH＝1.75﹣0.7＝1.05，∴EF＝＝＝．（3）解：如图3中，过点G作GH⊥AB于H，过点G作GP⊥A'F于P，过点A′作A'Q⊥AB于Q．∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∵∠BAD＝60°，∴A'Q＝∵A'与A关于EF对称，∴EF垂直平分AA'，AQ＝QA′，∴AG＝A'G，∠AFE＝∠A'FE，∴GP＝GH，又∵GH⊥AB，A'Q⊥AB∴GH∥A'Q，∴GH＝A'Q＝，所以GC'≥GP＝，当且仅当C'与P重合时，GC'取得最小值．故答案为．14．解：（1）如图1中，由题意，＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝＝，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠C＝∠B，∴DB＝DE，∵＝，∴＝＝．故答案为，．（2）结论：＝的值不变．理由：如图2中，∵△BDE∽△BAC，∴＝，∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△EBC∽△DBA，∴＝＝．（3）∵AB＝6，BD＝2，又∵＝＝，∴BC＝3﹣3，BE＝﹣1，∵BC﹣BE≤EC≤BE+BC，∴2﹣2≤EC≤4﹣4．15．解：（1）①∵∠C＝90°，∠B＝30°．∴∠BAC＝60°，∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上．∴AC＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°；故60°；②∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴CD＝AC＝AB，∴BD＝AD＝AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC；故S△BDC＝S△AEC；（2）如图3，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，∵，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC；（3）如图4，过点D作DF∥BE，∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBE＝30°，∵DF∥BE，∴∠FDB＝30°，∴∠FBD＝∠FDB＝30°，∴FB＝FD，∴四边形DEBF是菱形，所以BE＝DF，且BE、DF上的高相等，此时S△DCF＝S△BDE；过点D作DF1⊥BD，∵∠ABC＝60°，FD∥BE，∴∠F1FD＝∠ABC＝60°，∵BF＝DF，∠FBD＝∠ABC＝30°，∠F1DB＝90°，∴∠FDF1＝∠ABC＝60°，∴△DFF1是等边三角形，∴DF＝DF1，∵BD＝CD，∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC＝∠DCB＝×60°＝30°，∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣30°＝150°，∠CDF1＝360°﹣150°﹣60°＝150°，∴∠CDF＝∠CDF1，∵在△CDF和△CDF1中，，∴△CDF≌△CDF1（SAS），∴点F1也是所求的点，∵∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝×60°＝30°，又∵BD＝4，∴BE＝×4÷cos30°＝2÷＝，∴BF＝，BF1＝BF+FF1＝＝，故BF的长为或．16．解：（1）∵点P是点Q（3，2）关于原点的关联点，∴P，Q关于原点对称，∴P（﹣3，2），故答案为（﹣3，2）．（2）①如图1中，当d＝4时，线段BC′平移到HG位置，此时线段EF上存在1个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，当d＝6时，线段BC′平移到NM位置，此时线段EF上存在2个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，观察图象可知，满足条件的d的范围为：4＜d≤6故4＜d≤6．②如图2中，当m＝3时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，如图3中，当m＝5时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，如图4中，当m＝7时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，如图5中，当m＝9时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，观察图象可知满足条件的m的为：3≤m≤5或7≤m≤9．17．（1）解：根据SAS可以证明△ADB≌△AEC．故答案为B．（2）证明：∵△ABC、△ADE均为等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC．由旋转得：∠DAB＝∠EAC，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS）．（3）解：如图③，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠AEC＝120°，∵△ADB≌△AEC，∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠EDB＝60°；如图④，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∵△ADB≌△AEC，∴∠ADB＝∠AEC＝60°，∴∠EDB＝60°+60°＝120°，∴∠EDB的大小为60°或120°，故60或120．18．解：（1）∵点A是x轴负半轴上一点且OA＝3，∴A（﹣3，0），∵点B在第二条象限内，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2．∴B（﹣2，3）．故﹣3，0；﹣2，3；（2）如图①﹣1中，取点A关于y轴对称的对称点A'，连接BA'交y轴于点，则点P即为所求，过点B作BC⊥x轴于点C．∴AP＝A'P，∴三角形ABP的周长的最小值为AB+AA'+BA'．∵A（﹣3，0），B（﹣2，3），A'（3，0），∴AB＝＝＝，A'B＝＝，∴三角形ABP的周长的最小值为AB+A'B＝+；（2）如图①﹣2中，。
九年级数学中考第一轮复习—图形变换北师大版知识精讲
九年级数学中考第一轮复习—图形变换北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：复习十：图形变换1. 图形的轴对称、平移和旋转．2. 图形的相似，相似三角形的性质和判定．3. 认识锐角三角函数，解决与直角三角形有的关的实际问题．二、知识要点：1. 轴对称和中心对称（1）轴对称图形与轴对称具有的性质：①任何一对对应点所连线段被对称轴垂直平分；②两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；③对应线段相等，对应线段所在的直线如果相交，交点在对称轴上；④对应角相等．（2）中心对称图形的性质：①对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分；②对应线段相等，平行或共线；③对应角相等．2. 图形的平移和旋转（1）平移的性质：①对应点的连线平行（或共线）且相等；②对应线段平行（或共线）且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形是平行四边形（四个端点共线除外）；③对应角相等．对应角两边分别平行，且方向一致．（2）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应线段相等；③每一组对应点与旋转中心连线的夹角相等，等于旋转角；④旋转前后的两个图形是全等的．3. 平移、旋转、轴对称的概念和性质的区别（1）平移、旋转、轴对称的运动方式不同：平移是将一个图形沿某个方向移动一定的距离；旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将一个图形沿着某一条直线折叠．（2）平移、旋转、轴对称的对应线段、对应角之间的关系不同：①平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）；对应点所连的线段平行；对应角的两边分别平行、方向一致；②成轴对称的两个图形的对应线段或延长线相交，且交点在对称轴上；成轴对称的两个图形对应点连线被对称轴垂直平分；③旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角．（3）平移、旋转、轴对称作图所需的条件不同：旋转变换要确定旋转中心和旋转角；轴对称要有对称轴；平移变换要确定平移的距离和方向．4. 坐标变换如图所示，点A（x，y）是坐标平面内一点，则：点A（x，y）关于x轴对称的点的坐标是__________；点A（x，y）关于y轴对称的点的坐标是__________；点A（x，y）关于原点对称的点的坐标是__________；点A（x，y）向右平移k个单位后的坐标是__________；点A（x，y）向左平移k个单位后的坐标是__________；点A（x，y）向上平移k个单位后的坐标是__________；点A（x，y）向下平移k个单位后的坐标是__________；点A（x，y）绕原点旋转180°后的坐标是__________．5. 相似三角形（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．（2）判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似．②两角对应相等的两个三角形相似．③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．④三边对应成比例的两个三角形相似．⑤斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．（3）性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．②相似三角形的对应中线、角平分线、高的比等于相似比．③相似三角形的周长比等于相似比．④相似三角形的面积比等于相似比的平方．（4）位似图形①定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．②性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．利用位似变换可以轻易地将图形放大或缩小．6. 解直角三角形（1）直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．①三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）；②锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．③边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab；sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba．（2）解直角三角形的应用问题的常见概念铅垂线水平线视线仰角俯角视线hlαi＝hlA70°东西三、重、难点：本讲重点是图形变换的定义、性质和规律，相似三角形的性质和判定方法．难点是锐角三角函数的应用．四、考点分析：图形的变换是中考中的新题型、热点题型，主要考查动手能力、观察能力，实验能力和探索能力．命题主要从以下几部分展开：①轴对称和中心对称；②平移、旋转与实际问题相联系；③在网格中平移、旋转图形；④相似三角形及应用；⑤锐角三角函数及应用．【典型例题】例1.选择题（1）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）解析：根据轴对称图形和中心对称图形的特征，易知选项A和B虽是轴对称图形，但将其旋转180°之后并不能与自身重合，故它们不是中心对称图形．选项C是中心对称图形，但不是轴对称图形．只有选项D既是轴对称图形，又是中心对称图形．（2）如图所示，△ABC中，DE∥BC，且AD＝23DB，DE＝4cm，则BC等于（）A．14cm B．12cm C．10cm D．8cmAB CD E解析：本题所考知识点为相似三角形的判定与性质，由DE∥BC可知△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB．∵AD＝23DB，∴ADAB＝25．又DE＝4（cm），∴4BC＝25，∴BC＝10（cm），故选C．例2.填空题（1）如图所示，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （2，2），B （4，2），C （6，4），以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小，使变换后得到的△DEF 与△ABC 对应边的比为1∶2，则线段AC 的中点P 变换后对应的点的坐标为__________．y 12345解析：由题意，易知线段AC 的中点P 的坐标为（4，3）．变换后对应点与原对应点的坐标比为1∶2，故变换后的对应点的坐标为（2，32）．因为△ABC 的位似图形有两个，故另一个对应点的坐标为（－2，－32）．（2）在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，在△DEF 中，DE ＝4，DF ＝3，要使△ABC 与△DEF 相似，需添加的一个条件是__________．（写出一种情况即可）解析：由于AB DF ＝ACDE＝2，所以本题只要再添加它们的夹角相等或第三边的比也等于已知两边的比即可．答案：∠A ＝∠D （或BCEF＝2）（3）如图所示，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A ’OB ’．若点A 的坐标为（a ，b ），则点A ’的坐标为__________．解析：由题意知：△OAB ≌△OA ’B ’，∴A ’B ’＝AB ＝b ，OB ’＝OB ＝a ．∵A ’点在第二象限，∴A ’（－b ，a ）．例3. 如图所示，先把一矩形ABCD 纸片对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕线上，得到△ABE ，过B 点折纸片使A 点叠在直线AD 上，得折痕PQ ． （1）求证：△PBE ∽△QAB ；（2）你认为△PBE 和△BAE 相似吗？如果相似给出证明．如果不相似请说明理由； （3）如果沿直线EB 折叠纸片，A 点是否能叠在直线EC 上？为什么？AB C DM N ACN PQ D解：（1）∵∠PBE ＋∠ABQ ＝90°，∠PBE ＋∠PEB ＝90°，∴∠ABQ ＝∠PEB ．又∵∠BPE ＝∠AQB ＝90°，∴△PBE∽△QAB．（2）∵△PBE∽△QAB，∴BEAB＝PEQB，∵QB＝PB，∴BEAB＝PEPB，即BEPE＝ABPB，又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE∽△BAE．（3）点A能叠在直线EC上．由（2）得，∠AEB＝∠CEB，∴EC和AE重合．评析：本题不但考查了用两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等得出两个三角形相似的判定，还应用到相似三角形的性质．解题时同学们还可以动手折叠增加感性的认识．例4.如图①所示，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图②），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图③的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图③至图⑥中统一用F表示）．小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图③中的△ABF沿BD向右平行到图④的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；（2）将图③中的△ABF绕点F按顺时针方向旋转30°到图⑤的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图③中的△ABF沿直线AF翻折到图⑥的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH ＝DH．ABFEDABFEDA1C1ABFEDA1B1ABFEDB1H①②③④⑥⑤G解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长．又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC＝30°，∴BC＝5cm，∴平移的距离为5cm．（2）∵∠A1FA＝30°，∴∠GFD＝60°，∠D＝30°．∴FG＝532cm．（3）在△AHE与△DHB1中，∵∠FAB1＝∠EDF＝30°，又∵FD＝FA，EF＝FB＝FB1．∴FD－FB1＝FA－FE，即AE＝DB1．又∵∠AHE＝∠DHB1，∴△AHE≌△DHB1（AAS）．∴AH ＝DH ．评析：本题以图形的剪裁为铺垫，以运动变化为背景，将图形分别进行平移、旋转、翻折的全等变换，使简单、熟悉的图形焕发出新的内涵．在考查学生对全等变换性质理解的同时，又考查了相关几何计算和几何证明，可谓立意巧妙，一题数得．例5. 美丽的东昌湖赋予江北水城以灵性，周边景点密布．如图所示，A 、B 为湖滨的两个景点，C 为湖心一个景点．景点B 在景点C 的正东，从景点A 看，景点B 在北偏东 75方向，景点C 在北偏东30°方向．一游客自景点A 驾船以每分钟20米的速度行驶了10分钟到达景点C ，之后又以同样的速度驶向景点B ，该游客从景点C 到景点B 需用多长时间（精确到1分钟）？（注：3＝1.732，tan75°＝3.732）ABCD °57°03解：根据题意，得AC ＝20×10＝200． 过点A 作AD 垂直于直线BC ，垂足为D ． 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·cos ∠CAD ＝200·cos30°＝1003， DC ＝AC ·sin ∠CAD ＝200·sin30°＝100．在Rt △ADB 中，DB ＝AD ·tan ∠BAD ＝1003tan75°． ∴CB ＝DB －DC ＝1003tan75°－100， ∴CB20＝53tan75°－5≈27（分钟）． 即该游客自景点C 驶向景点B 约需27分钟．评析：近几年，运用解直角三角形知识解决实际问题都是中考的热点，像航空、航海问题，有时还设计成说理性（如船会不会触礁、速度应提高多少、巡逻艇能否追上走私船等），主要考查学生应用方位角知识及构建直角三角形知识解决实际问题的能力．【方法总结】1. 相似三角形所对应的基本图形ABC D E DE ∥BCA BC DE∠AED ＝∠B AB CD∠ACD ＝∠B A 型图ABCDEA B CDEX 型图ABCD母子型图AB ∥CD∠A ＝∠CAD 是Rt △ABC 斜边上的高2. 常见的图形变换有：轴对称、平移、旋转，全等变换、相似变换、位似变换等．应注意折叠、翻转180°是轴对称问题，而旋转180°是中心对称问题．【预习导学案】（专题一：观察归纳问题）一、预习导学1. 有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为__________．2. 观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）第1个第2个第3个…………A ．2n ＋2B ．4n ＋4C ．4n －4D ．4n3. 观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有__________个★．4. 观察下面的一列单项式：x ，－2x 2，4x 3，－8x 4，…，根据你发现的规律，第7个单项式为__________；第n 个单项式为__________．二、反思1. 如何解决图形规律问题？2. 对于数和式的规律问题，如果奇数项和偶数项符号不同，通常怎样表示？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 下列图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D2. 在平面直角坐标系x O y 中，已知点A （2，3），若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到O A′，则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D 、E 、F 分别是OA 、OB 、OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A. 1∶6B. 1∶5C. 1∶4D. 1∶2A BCD EFO4. 如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ）A. AD DF ＝BC CEB. BC CE ＝DF ADC. CD EF ＝BC BED. CD EF ＝AD AFA BD C EF5. 在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是（ ） A. 位似 B. 旋转 C.D. 平移6. 在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（ ）A. 12B. 22C. 32D. 33ABC7. 如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，△A ’OB ’可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的．若点A ’在AB 上，则旋转角α的大小可以是（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°AOBA'B'α*8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A. 32B. 76C.256D. 2AD BEC二、填空题1. 如图，△OAB 的顶点B 的坐标为（4，0），把△OAB 沿x 轴向右平移得到△CDE ，如果CB ＝1，那么OE 的长为__________．2. 如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于__________．A BCD EO3. 如图，锐角三角形ABC 的边AB 和AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ．请写出图中的一对相似三角形__________．A B CDEF4. 如图所示，在等腰△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2cm ，如果以AC 的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转180°后点B 落在点B ’处，那么点B ’与点B 相距__________cm ．A BCB'O*5. 在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为A 1（1，1）、A 2（0，2）、A 3（－1，1）．一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点跳到以A 1为对称中心的对称点P 1，第2次电子蛙由P 1点跳到以A 2为对称中心的对称点P 2，第3次电子蛙由P 2点跳到以A 3为对称中心的对称点P 3，…，按此规律，电子蛙分别以A 1、A 2、A 3为对称中心继续跳下去．问当电子蛙跳了2009次后，电子蛙落点的坐标是P 2009（_______，_______）．**6. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A’，折痕交AD于点E，若M、N 分别是AD、BC边的中点，则A’N＝__________；若M、N分别是AD、BC边上的距DC 最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A’N＝__________（用含有n的式子表示）．ABCD E MNA'三、解答题1. 计算：︱－2︱＋2sin30°－（－3）2＋（tan45°）－1．2. 图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．（1）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）（2）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）3. 九（1）班的数学课外小组，要对公园人工湖中的湖心亭A处到笔直的南岸的距离进行测量．他们采取了以下方案：如图，站在湖心亭的A处测得南岸的一尊石雕C在其东南方向，再向正北方向前进10米到达B处，又测得石雕C在其南偏东30°方向．你认为此方案能够测得该公园的湖心亭A处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？BAD C西**4. 已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，M、N分别为BE、CD的中点．（1）求证：①BE＝CD；②△AMN是等腰三角形．（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．①ABCE MNDABCD EMN ②**5. 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）可绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持AP ＝A ’P ，BP ＝B ’P ）．通过向下踩踏点A 到A ’（与地面接触点）使点B 上升到点B ’，与此同时传动杆BH 运动到B ’H ’的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点H ’，从而使桶盖打开一个张角∠HDH ’．如图3，桶盖打开后，传动杆H ’B ’所在的直线分别与水平直线AB 、DH 垂直，垂足为点M 、C ，设H ’C ＝B ’M ．测得AP ＝6cm ，PB ＝12cm ，DH ’＝8cm ．要使桶盖张开的角度∠HDH ’不小于60°，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）D（图2）D（图3）（图1）【试题答案】一、选择题1. D2. C3. C4. A5. D6. B7. C 【∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，由旋转可知AO ＝A ’O ，∴△AOA ’是等边三角形，∴α＝60°】8. B 【由题意可知△ABC ∽△EBD ，∴BE AB ＝BDBC．在Rt △ABC 中，BC ＝3，AC ＝4，∴AB＝5，∴BD ＝52．∴BE 5＝523，∴BE ＝256，∴CE ＝BE －BC ＝256－3＝76】二、填空题1. 72. 123. △AEC ∽△AFB ∽△DFC ∽△DEB （任意两个组合都可以）4. 25【在Rt △BOC 中，OB 2＝BC 2＋OC 2，则OB ＝22＋12＝5．又OB ’＝OB ，∠BOB ’＝180°．所以BB ’＝2OB ＝25（cm ）】5. （－2，2）【画出图形，可知P 3点与原点重合，则20073＝669，∴第2007次落点在原点，第2009次落点与P 2重合，其坐标为（－2，2）】6. 32，2n －1n （n ≥2，且n 为整数）【在Rt △A ’BN 中，A ’B ＝AB ＝1，BN ＝12BC ＝12，∴A ’N ＝32．根据题意，在Rt △A ’BN 中，A ’B ＝1，BN ＝n －1n ，∴A ’N ＝12－（n －1n）2 ＝2n －1n 】三、解答题1. 原式＝2＋1－3＋1＝1．2.（1）有以下答案供参考：（2）有以下答案供参考：3. 此方案能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离．过点A 作南岸所在直线的垂线，垂足是点D ，AD 的长即为所求．在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠DAC ＝45°，∴DC ＝AD ，在Rt △BDC 中，∵∠BDC ＝90°，∠DBC ＝30°，∴BD ＝3CD ，由题意得：10＝AB ＝BD －AD ＝3AD －AD ，解得AD ＝13.7．答：该公园的湖心亭A 处到南岸的距离约是13.7米．4. 证明：（1）①∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠CAD ．∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABE ≌△ACD ，∴BE ＝CD ．②由△ABE ≌△ACD 得∠ABE ＝∠ACD ，BE ＝CD ．∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点，∴BM ＝CN ．又∵AB ＝AC ，∴△ABM ≌△ACN ，∴AM ＝AN ，即△AMN 为等腰三角形．（2）（1）中的两个结论仍然成立．（3）在图②中正确画出线段PD ，由（1）同理可证△ABM ≌△ACN ，∴∠CAN ＝∠BAM ，∴∠BAC ＝∠MAN ，又∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠MAN ＝∠DAE ＝∠BAC ，∴△AMN 、△ADE 和△ABC 都是顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD ＝∠AMN ，∠PDB ＝∠ADE ＝∠ANM ．∴△PBD ∽△AMN ．5. 过点A ’作A ’N ⊥AB ，垂足为N 点，在Rt △H ’CD 中，若∠HDH ’不小于60°，则H'CH'D≥sin60°＝32，即H ’C ≥32H’D ＝43，∴B ’M ＝H ’C ≥43．∵Rt △A ’NP ∽Rt △B ’MP ，∴A'NB'M＝A'PB'P ．∴A ’N ＝A'P ·B'M B'P ≥6×4312＝23≈3.5cm ．∴踏板AB 离地面的高度至少等于3.5cm ．。
北京中考数学命题趋势 强化图形变换理解
北京中考数学命题趋势强化图形变换理解次的学生进行分层拔高，使每一个学生都有较大的提升空间。
（2）让学生参与数学思维活动，经历问题解决的整个过程。
复习中应多引导学生运用“运动的观点”来分析图形，要多引导学生学会阅读、审题、获取信息，养成多角度、多侧面分析问题的习惯，逐步提高学生的数学能力。
（3）要特别重视“函数图像变换型”问题教学的研究。
通过开展“函数图像变化”的专题教学，树立函数图像间相互转换的思维，尽量减少学生对函数“数形”认知的欠缺，比如，平时渗透抛物线的轴对称、旋转等知识点。
当某个函数图像经过变换出现多个函数图像时，要引导学生从图形间的相互联系中寻找切入点，排除识图的干扰，对图像所蕴含的信息进行横向挖掘和纵向突破，将“有效探索”进行到底。
此类试题考查的思路是从知识转向能力，从传统应用转向信息构建，这就提醒我们课堂上重要的不是讲解，而是点拨、引导、提升，一定要从重视知识积累转向问题探究的过程，关注学生自主探究能力的培养。
（4）突出数学核心概念、思想、方法的考查。
中学数学核心概念、思想方法是数学知识的精髓，也势必会成为考查综合应用能力的重要载体，这包括方程、不等式、函数，以及基本几何图形的性质、图形的变化、图形与坐标知识之间横纵向的联系，也包括中学数学中常用的重要数学思想。
如：函数与方程思想、数形结合、分类讨论思想很化归与转换思想。
而数学基本方法是数学的具体表现，具有模式化和可操作性，常用的基本方法有配方法、换元法、待定系数法、归纳法和割补法。
（5）将核心知识点“组合”作为实践综合题引导学生理解数学本质。
教学中要有意识地将多个知识点进行“组合”与“串接”自己编一些有针对性的、适合本班学生来练习的综合题，或者精选一些比较成功的试题，有目的的将它们进行剪裁、组合与改编，特别是专题复习阶段，更要能静心、精心、精选，以题为载体，以题论法。
“狭路相逢勇者胜”，目标引导行动，行动决定命运。
中考的战鼓已经擂响，我们别无选择。
北京清华大学附属中学中考数学规律问题图形变化类专题
一、规律问题图形变化类1．现有四条具有公共端点O 的射线OA OB OC OD 、、、，若点123,,P P P ，…，按如图所示规律排列，则点2021P 应该落在（ ）A ．射线OA 上B ．射线OB 上C ．射线OC 上D ．射线OD 上2．“科赫曲线”是瑞典数学家科赫1904构造的图案（又名“雪花曲线”）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段，得到边数为12的图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作，得到边数为48的图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若操作4次后所得“雪花曲线”的边数是（ ）A ．192B ．243C ．256D ．7683．如图30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A …在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上，112A B A △、223A B A △、324A B A △…为等边三角形，若11OA =，则877A B A △的边长为（ ）A ．32B ．56C ．64D ．1284．第①图形中有2个三角形，第②图形中有8个三角形，第③个图形中有14个三角形，依此规律，第⑦个图形中三角形的个数是（ ）A ．40B ．38C ．36D ．345．如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，n （n ≥2，且n 是整数）条直线相交最多能有（ ）A ．()23n -个交点B ．()36n -个交点C ．()410n -个交点D ．()112n n -个交点 6．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…；根据以上操作，若操作670次，得到小正方形的个数是（ ）A ．2009B ．2010C ．2011D ．20127．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的数量是（ ）A ．360B ．363C ．365D ．3698．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆下去，若第n 个图案需要317颗黑色棋子，则n 的值（ ）A ．108B ．105C ．106D ．无法确定9．如图，古希腊人常用小石子（小黑点）在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图1表示数字1，图2表示数字5，图3表示数字12，图4表示数字22，……，依次规律，图6表示数字（ ）A ．49B ．50C ．51D ．5210．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（ ）A ．16B ．32C ．64D ．12811．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第20个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）A ．448B ．452C ．544D ．60212．如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图③、④，…，记第n （n≥3）块纸板的周长为P n ，则P n －P n －1等于…（ ）A ．112n - B ．3－12nC ．1－132n - D ．132n -＋212n -13．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n 个图形中共有三角形的个数为（ ）A ．2n ﹣3B ．4n ﹣1C ．4n ﹣3D ．4n ﹣214．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，和1B ，2B ，3B ，分别在直线15y x b =+和x 轴上，11OA B ∆，122B A B ∆，233B A B ∆，是以1A ，2A ，3A ，为顶点的等腰直角三角形．如果点()11,1A ，那么点2020A 的纵坐标是（ ）A ．201932⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．202032⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．201923⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．202023⎛⎫ ⎪⎝⎭15．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，…，按此规律，第5个图的蜂巢总数的个数是（ ）A ．61B ．62C ．63D ．6516．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①个图形中含有1个正方形，第②个图形中含有5个正方形，按此规律下去，则第⑥个图形含有正方形的个数是（ ）A ．102B ．91C ．55D ．3117．如图，直线m//n ，点A 在直线m 上，BC 在直线n 上，构成ABC ，把ABC 向右平移BC 长度的一半得到A B C '''（如图①），再把A B C '''向右平移BC 长度的一半得到A B C ''''''△（如图②），再继续上述的平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2020个图形中三角形的个数是（ ）A ．4040B ．6060C ．6061D ．808018．如图，在平面直角坐标系中，点1234,,,,A A A A 在x 轴正半轴上，点123,,,B B B 在直线3(0)3y x x =≥上，若1(1,0)A ，且112223334,,,A B A A B A A B A 均为等边三角形，则线段20192020B B 的长度为（ ）A ．202123B ．202023C ．201923D ．20182319．如图，已知点A 1，A 2，…，A 2011在函数2y x 位于第二象限的图象上，点B 1，B 2，…，B 2011在函数2yx 位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，…，C 2011在y 轴的正半轴上，若四边形 111OA C B 、1222C A C B ，…， 2010201120112011C A C B 都是正方形，则正方形2010201120112011C A C B 的边长为（ ）A ．2010B ．2011C ．2D ．220．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A 在直线15y x b =+上，点1B ，2B ，3B 在x 轴上，11OA B ∆，122B A B ∆，233B A B ∆都是等腰直角三角形，若已知点()11,1A ，则点3A 的纵坐标是（ ）A ．32B ．23C ．49D ．9421．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（ ）A ．6B ．152C ．32D ．7296422．观察下列一组图形，第①个图形有3个小圆圈，第②个图形有5个小圆圈，第③个图形有9个小圆圈，第④个图形有15个小圆圈，…，按此规律排列下去，第9个图形中小圆圈的个数为（ ）A ．59B ．75C ．81D ．9323．按如图方式摆放餐桌和椅子：桌子张数1 2 34 …n可坐人数6 8 10 …n 张餐桌可坐的人数为（ ） A ．n+5B ．2n+6C ．2nD ．2n+424．如图，∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推．若OA 1=1，则a 2015=（ ）A ．22013B ．22014C ．22015D ．2201625．如图，点123,,,A A A A ，…在同一直线上，111122223,,AB A B A B A A A B A A ===，3334A B A A =，……，若B 的度数为x ，则1n n n A B A +∠的度数为（ ）A ．()111802n x -︒- B ．()11802n x ︒- C ．()111802n x +︒- D ．()211802n x +︒-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题图形变化类 1．A 【分析】根据图形可以发现点的变化规律，从而可以得到点P 2021落在哪条射线上． 【详解】 解：由图可得，P1到P5顺时针，P5到P9逆时针，∵（2021-1）÷8=252…4，∴点P2021落在OA上，故选：A．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．D【分析】结合图形的变化写出前3次变化所得边数，发现规律：每多一次操作边数就是上一次边数的4倍，进而可以写出操作4次后所得“雪花曲线”的边数．【详解】解：操作1次后所得“雪花曲线”的边数为12，即3×41＝12；操作2次后所得“雪花曲线”的边数为48，即3×42＝48；操作3次后所得“雪花曲线”的边数为192，即3×43＝192；所以操作4次后所得“雪花曲线”的边数为768，即3×44＝768；故选：D．【点睛】本题主要考查了规律题型图形变化类，准确判断计算是解题的关键．3．C【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【详解】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形， ∴∠11=∠10=60°，∠13=60°， ∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3， ∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°， ∴A 2B 2=2B 1A 2=2，B 3A 3=2B 2A 3， ∴A 3B 3=4B 1A 2=4， A 4B 4=8B 1A 2=8， A 5B 5=16B 1A 2=16， …∴△A n B n A n+1的边长为2n-1， ∴△A 7B 7A 8的边长为27-1=26=64． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键． 4．B 【分析】由图形可知：第①个图形有2+6×0=2个三角形；第②个图形有2+6×1=8个三角形；第③个图形有2+6×2=14个三角形；…第n 个图形有2+6×（n-1）=6n-4个三角形；进一步代入求得答案即可． 【详解】解：∵第①个图形有2+6×0=2个三角形； 第②个图形有2+6×1=8个三角形； 第③个图形有2+6×2=14个三角形； …∴第n 个图形有2+6×（n-1）=6n-4个三角形； ∴第⑦个图形有6×7-4=38个三角形， 故选：B ． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 5．D 【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：()112n n - 【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2=3个交点； 4条直线相交有1+2+3=6个交点； 5条直线相交有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交有1+2+3+4+5=15个交点； …n 条直线相交有1+2+3+4+…+（n-1）=()112n n - 故选：D 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有()112n n -个交点． 6．C 【分析】先根据题意发现规律，然后再按照规律计算即可． 【详解】解：将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作； 将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作； 将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作； ……将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到4+3（n-1）个小正方形，称为第n 次操作；令n=670，可得4+3×（670-1）=2011． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了数字变化类规律问题，根据题意发现规律成为解答本题的关键． 7．C 【分析】观察求出图案中地砖的块数，找到规律再求出黑色的地砖的数量即可. 【详解】第1个图案只有（2×1﹣1）2＝12＝1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共（2×2﹣1）2＝32＝9，其中黑色的有12（9＋1）＝5块， 第3个图案有黑色与白色地砖共（2×3﹣1）2＝52＝25，其中黑色的有12（25＋1）＝13块， …第n 个图案有黑色与白色地砖共（2n ﹣1）2，其中黑色的有12[（2n ﹣1）2＋1]，当n＝14时，黑色地砖的块数有12×[（2×14﹣1）2＋1]＝12×730＝365.故选：C.【点睛】此题考查图形类规律的探究，有理数的混合运算，根据所给图案总结出图案排列的规律由此进行计算是解题的关键.8．B【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多3枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再列式求解即可．【详解】解：根据图案可知：图2中，需要棋子2×3+2=8，图3中，需要棋子2×4+3=11，图4中，需要棋子2×5+4=14，…图n中，需要棋子2×（n+1）+n=3n+2，∴3n+2=317，解得：n=105.故选：B．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．9．C【分析】通过前4个图形找出一般性规律，即可得出图6表示的数．【详解】解：第1个图形有1个点；第2个图形有5=2+3个点；第3个图形有12=3+4+5个点；第4个图形有22=4+5+6+7个点；第5个图形有35=5+6+7+8+9个点；第6个图形有6789101151+++++=个点；故选：C．【点睛】本题考查探索与表达规律，解决此题的关键是善于观察，找出图形上的点与序号之间的关系．10．C【分析】根据三角形的外角性质以及等边三角形的判定和性质得出OA 1=B 1A 1=1，OA 2=B 2A 2=2，OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而得出答案． 【详解】 如图，∵△A 1B 1A 2是等边三角形， ∴A 1B 1=A 2B 1，∠2=60°， ∵∠MON=30°， ∴∠MON=∠1=30°， ∴OA 1=A 1B 1=1， ∴A 2B 1= A 1A 2=1， ∵△A 2B 2A 3是等边三角形， 同理可得：OA 2=B 2A 2=2， 同理；OA 3=B 3A 3=224=， OA 4=B 4A 4=328=， OA 5=B 5A 5=4216=， …， 以此类推：所以OA 7=B 7A 7=6264=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出OA 2=B 2A 2=2， OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而发现规律是解题的关键． 11．C 【分析】观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n 个图案需要的个数为()(){}1231[]222n n +++⋯++⨯+-（个），所以第20个图案需要的个数只需将n=20代入即可． 【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）； 第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）；第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）； 第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）； …第n 个图案需要的个数为()(){}1231[]222n n +++⋯++⨯+-（个） ∴第20个图案需要的个数为(1+2+3+…+22)×2+2×19=544（个） 故选C ． 【点睛】本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律． 12．A 【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P 1，P 2，P 3，P 4，然后周长相减即可得到规律，进行解答． 【详解】解：P 1＝1＋1＋1＝3， P 2＝1＋1＋12＝52， P 3＝1＋1＋14×3＝114， P4＝1＋1＋14×2＋18×3＝238， … ∴P 3－P 2＝114－52＝211=42， P 4－P 3＝238－114＝311=82， ∴P n －P n －1＝n-112， 故答案为：A ． 【点睛】本题主要考查对等边三角形的性质的理解和掌握，此题是一个规律型的题目，题型较好． 13．C 【分析】由题意易得第一个图形三角形的个数为1个，第二个图形三角形的个数为5个，第三个图形三角形的个数为9个，第四个图形三角形的个数为13个，由此可得第n 个图形三角形的个数． 【详解】 解：由题意得：第一个图形三角形的个数为4×1-3=1个， 第二个图形三角形的个数为4×2-3=5个，第三个图形三角形的个数为4×3-3=9个， 第四个图形三角形的个数为4×4-3=13个， …..∴第n 个图形三角形的个数为()43n -个； 故选C ． 【点睛】本题主要考查图形规律问题，关键是根据图形得到一般规律即可． 14．A 【分析】设点A 2，A 3，A 4…，A 2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题． 【详解】 解：1(1,1)A 在直线15y x b =+， 45b ∴=， 1455y x ∴=+，设22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ，44(A x ，4)y ，⋯，20202020(A x ，2019)y ，则有221455y x =+，331455y x =+，⋯，202020201455y x =+，又△11OA B ，△122B A B ，△233B A B ，⋯，都是等腰直角三角形，2122x y y ∴=+，312322x y y y =++，⋯，2020123201920202222x y y y y y =+++⋯++．将点坐标依次代入直线解析式得到： 21112y y =+，3121131222y y y =++=2y ，432y =3y ，⋯，2020201932y y =，又11y =，232y ∴=，233()2y =，343()2y =，⋯，201920203()2y =，故选：A ． 【点睛】此题主要考查了一次函数点坐标特点，等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半，解题的关键是找出规律． 15．A 【分析】根据前几个图形，可以写出蜂巢的个数，从而可以发现蜂巢个数的变化规律，进而得到第五个图形中蜂巢总的个数，本题得以解决． 【详解】 解：由图可得， 第一个图有1个蜂巢，第二个图有1+6×1＝7个蜂巢，第三个图有1+6×1+6×2＝19个蜂巢，…，则第五个图中蜂巢的总数为：1+6×1+6×2+6×3+6×4＝61，故选：A．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中蜂巢个数的变化规律，求出相应的图形中蜂巢总的个数．16．B【分析】观察发现，第①个图形有正方形的个数为1；第②个图形有正方形的个数为：1+4=5；第③个图形有正方形的个数为：1+4+9=14；…；第n个图形有正方形的个数为：1+4+9+…+n2，从而得到答案．【详解】解：观察发现：第①个图形含有正方形的个数为1，第②个图形含有正方形的个数为：1+4=5，第③个图形含有正方形的个数为：1+4+9=14，…第n个图形含有正方形的个数为：1+4+9+…+n2，∴第⑥个图形含有正方形的个数为：1+4+9+16+25+36=91，故选：B．【点睛】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形并找到规律，利用规律解决问题．17．D【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：观察图可得，第1个图形中大三角形有2个，小三角形有2个，第2个图形中大三角形有4个，小三角形有4个，第3个图形中大三角形有6个，小三角形有6个，…依次可得第n个图形中大三角形有2n个，小三角形有2n个．故第2019个图形中三角形的个数是：2×2020+2×2020=8080．故选：D．【点睛】本题考查规律型问题，平行线的性质，平移变换等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．18．D【分析】根据题意得出∠A n OB n =30°，从而推出A n B n =OA n ，得到B n B n+1=3B n A n+1，算出B 1A 2=1，B 2A 3=2，B 3A 4=4，找出规律得到B n A n+1=2n-1，从而计算结果． 【详解】解：设△B n A n A n+1的边长为a n ， ∵点B 1，B 2，B 3，…是直线3(0)3y x x =≥上的第一象限内的点， 过点A 1作x 轴的垂线，交直线3(0)3y x x =≥于C ， ∵A 1（1，0），令x=1，则y=33， ∴A 1C=33， ∴1113tan 3AC AOC OA ∠==， ∴∠A n OB n =30°， ∵112223334,,,A B A A B A A B A 均为等边三角形，∴∠B n A n A n+1=60°， ∴∠OB n A n =30°， ∴A n B n =OA n ， ∵∠B n A n+1B n+1=60°， ∴∠A n+1B n B n+1=90°， ∴B n B n+1=3B n A n+1， ∵点A 1的坐标为（1，0），∴A 1B 1=A 1A 2=B 1A 2=1，A 2B 2=OA 2=B 2A 3=2，A 3B 3=OA 3=B 3A 4=4，...， ∴A n B n =OA n =B n A n+1=2n-1，∴20192020B B =3B 2019A 2020=201832⨯， 故选D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键． 19．D 【详解】解：∵OA 1C 1B 1是正方形， ∴OB 1与y 轴的夹角为45°， ∴OB 1的解析式为y=x 联立2{y x y x ==，解得00x y ==⎧⎨⎩或11x y =⎧⎨=⎩， ∴点B 1（1，1），OB 1=∵OA 1C 1B 1是正方形， ∴OC1OB 1， ∵C 1A 2C 2B 2是正方形， ∴C 1B 2的解析式为y=x+2，联立22{y x y x =+=，解得1{1x y =-=或24x y =⎧⎨=⎩，∴点B 2（2，4），C 1B 2=， ∵C 1A 2C 2B 2是正方形， ∴C1C 2C 1B 2=4， ∴C 2B 3的解析式为y=x+（4+2）=x+6， 联立26{y x y x =+=，解得，2{4x y =-=或3{9x y ==，∴点B 3（3，9），C 2B 3=， …，依此类推，正方形C 2010A 2011C 2011B 2011的边长C 2010B 2011= 故选：D 【点睛】本题考查二次函数综合题． 20．D 【分析】作11A C ⊥x 轴，22A C ⊥ x 轴，33A C ⊥ x 轴，设2A 纵坐标为m ，再根据等腰直角三角形的性质，将坐标表示为()22,A m m +，代入直线解析式算出m ，再用同样的方法设()35,A n n +，代入解析式求出n ．【详解】解：如图，作11A C ⊥x 轴，22A C ⊥ x 轴，33A C ⊥ x 轴， 把()11,1A 代入15y x b =+，求出45b =，则直线解析式是1455y x =+，已知()11,1A ，根据等腰直角三角形的性质，得到111111OC A C B C ===，设2A 纵坐标为m ，22A C m =，22OC m =+，得()22,A m m +，代入直线解析式，得()14255m m =++，解得32m =， 设3A 纵坐标为n ，33A C n =，35OC n =+，得()35,A n n +，代入直线解析式，得()14555n n =++，解得9n 4=．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象和几何综合，解题的关键是抓住等腰直角三角形的性质去设点坐标，再代入解析式列式求解． 21．C 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，=30MON ∠︒，111OA A B =，得到1=30∠︒，由12B A OM ⊥，得到1OA 的长度，进而得到22122A B B A =，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =，进而得出答案．【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥ ∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∴111A B =， ∴21121A B A A ==， ∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A = ∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A ∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8 ∴3323324A B B A OA ===， ∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =，进而发现规律是解题关键．22．B 【分析】根据第②个图形有3+1×2=5个小圆圈，第③个图形有3+2×3=9个小圆圈，第④个图形有3+3×4=15个小圆圈，可知第n 个图形中小圆圈的个数为3+(n-1)×n ． 【详解】解：根据第②个图形有3+1×2=5个小圆圈，第③个图形有3+2×3=9个小圆圈，第④个图形有3+3×4=15个小圆圈，…，按此规律排列下去，第9个图形中小圆圈的个数为3+8×9=75， 故选：B ． 【点睛】本题考查了图形变化规律，根据图形中小圆圈的增长变化特点，找到变化规律是解题关键． 23．D 【分析】根据桌子左右总有4把椅子，前后的椅子数是桌子的2倍，表示出n 张桌子时的椅子数目即可． 【详解】解：由图可得1张桌子时，有4+2＝6把椅子； 2张桌子时，有4+2×2＝8把椅子； 3张桌子时，有4+3×2＝10把椅子； 4张桌子时，有4+4×2＝12把椅子；…n张桌子时，有（4+n×2）把椅子．故选：D．【点睛】本题考查了图形的规律性问题；得到不变的量及变化的量与n的关系是解决本题的关键．24．B【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a2=2a1，a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1，以此类推：a2015=22014．故选B．【点睛】根据已知得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…进而发现解题规律25．C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质进行求解计算【详解】解：∵在△ABA1中，∠B=x，AB=A1B，∴∠BA 1A=1802x ︒-， ∵A 1A 2=A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角，∴∠A 1B 1A 2=∠A 1A 2B 1=12∠BA 1A=21180180222x x ︒-︒-⨯=； 同理可得，∠A 2B 2A 3=∠A 2A 3B 2=12∠A 1B 1A 2=231180180222x x ︒-︒-⨯=； ∴∠A n B n A n +1=()111802n x +︒- 故选：C ．【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，准确识图，找出规律是解答此题的关键．。
北京丰台区第二中学中考数学规律问题图形变化类专题
一、规律问题图形变化类1．把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②图案有7个黑色三角形，第③个图案有10个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑥图案中黑色三角形的个数为（ ）A ．16B ．19C ．31D ．362．如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图③、④，…，记第n （n≥3）块纸板的周长为P n ，则P n －P n －1等于…（ ）A ．112n - B ．3－12n C ．1－132n - D ．132n -＋212n -3．如图，都是由棱长为1的正方体叠成的图形．例如：第①个图形由1个正方体叠成，第②个图形由4个正方体叠成，第③个图形由10个正方体叠成…，低此规律，第10个图形由n 个正方体叠成，则n 的值为（ ）A ．220B ．165C ．120D ．554．如图，已知3343111122224,,,AB A B A B A A A B A A A B A A ====，若68A ︒∠=，则11n n n A A B --∠的度数为（ ）A．682nB．1682n-C．1682n+D．2682n+5．观察下列一组图形，其中图形（1）中共有2颗星，图形（2）中共有6颗星，图形（3）中共有11颗星，图形（4）中共有17颗星，…，按此规律，图形（20）中的星星颗数是（）A．210 B．236 C．249 D．2516．第①图形中有2个三角形，第②图形中有8个三角形，第③个图形中有14个三角形，依此规律，第⑦个图形中三角形的个数是（）A．40 B．38 C．36 D．347．法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》，其主要突破在“五边形数”的证明上．如图为前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第20个“五边形数”应该为（），第2020个“五边形数”的奇偶性为（）A．533；偶数B．590；偶数C．533；奇数D．590；奇数8．按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2中共有10把椅子，…，按此规律，则图7中椅子把数是（）A ．28B ．30C ．36D ．429．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆下去，若第n 个图案需要317颗黑色棋子，则n 的值（ ）A ．108B ．105C ．106D ．无法确定10．如图甲，直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），则22A B 的长及20212021OA B 的面积分别是（ ）A ．2，20202B ．4，20212C ．22，20202D ．2，2019211．如图，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3，…是分别以A 1，A 2，A 3，…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C 1（x 1，y 1），C 2（x 2，y 2），C 3（x 3，y 3），…均在反比例函数y 4x=（x >0）的图象上．则y 1+y 2+…+y 10的值为（ ）A ．210B ．6C ．42D ．2712．如图，四边形OAA 1B 1是边长为1的正方形，以对角线OA 1为边作第二个正方形OA 1A 2B 2，连接AA 2，得到AA 1A 2；再以对角线OA 2为边作第三个正方形OA 2A 3B 3，连接A 1A 3，得到A 1A 2A 3，再以对角线OA 3为边作第四个正方形OA 2A 4B 4，连接A 2A 4，得到A 2A 3A 4，…，设AA 1A 2，A 1A 2A 3，A 2A 3A 4，…，的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，如此下去，则S 2020的值为（ ）A ．202012B ．22018C ．22018+12D ．101013．如图，点123,,,A A A A ，…在同一直线上，111122223,,AB A B A B A A A B A A ===，3334A B A A =，……，若B 的度数为x ，则1n n n A B A +∠的度数为（ ）A ．()111802n x -︒- B ．()11802n x ︒- C ．()111802n x +︒- D ．()211802n x +︒-14．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，和1B ，2B ，3B ，分别在直线15y x b =+和x 轴上，11OA B ∆，122B A B ∆，233B A B ∆，是以1A ，2A ，3A ，为顶点的等腰直角三角形．如果点()11,1A ，那么点2020A 的纵坐标是（ ）A ．201932⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．202032⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．201923⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．202023⎛⎫ ⎪⎝⎭15．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n 个图形中共有三角形的个数为（ ）A ．2n ﹣3B ．4n ﹣1C ．4n ﹣3D ．4n ﹣216．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．按这样的方法继续下去，第n 个图形中有（ ）个三角形（用含n 的代数式表示）．A ．4nB ．41n +C ．41n -D ．43n -17．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，…，按此规律，第5个图的蜂巢总数的个数是（ ）A ．61B ．62C ．63D ．6518．下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中第1个图形中有5个圆，第2个图形中有9个圆，第3个图形中14个圆，……，则第7个图形中圆的个数是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．4519．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①个图形中含有1个正方形，第②个图形中含有5个正方形，按此规律下去，则第⑥个图形含有正方形的个数是（ ）A ．102B ．91C ．55D ．3120．如图，在平面直角坐标系中，点1234,,,,A A A A 在x 轴正半轴上，点123,,,B B B 在直线3(0)3y x x =≥上，若1(1,0)A ，且112223334,,,A B A A B A A B A 均为等边三角形，则线段20192020B B 的长度为（ ）A ．202123B ．202023C ．201923D ．20182321．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A 在直线15y x b =+上，点1B ，2B ，3B 在x 轴上，11OA B ∆，122B A B ∆，233B A B ∆都是等腰直角三角形，若已知点()11,1A ，则点3A 的纵坐标是（ ）A．32B．23C．49D．9422．如图1，已知 AB=AC，D为∠BAC 的平分线上一点，连接 BD、 CD；如图2，已知 AB= AC，D、E为∠BAC的平分线上两点，连接 BD、CD、BE、CE；如图3，已知 AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF；…，依次规律，第 n个图形中全等三角形的对数是（）A．n B．2n-1 C．()12n n+D．3（n+1）23．如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（）A．240°B．360°C．480°D．540°24．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2 019的坐标为( )A．(1010，0) B．(1310．5，32) C．(1345，32D．(1346，0)25．如图，古希腊人常用小石子（小黑点）在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图1表示数字1，图2表示数字5，图3表示数字12，图4表示数字22，……，依次规律，图6表示数字（）A ．49B ．50C ．51D ．52【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题图形变化类 1．B 【分析】观察图案发现第①个图案中黑色三角形的个数为1314+⨯=；第②个图案中黑色三角形的个数为1327+⨯=；第③个图案中黑色三角形的个数为13310+⨯=；即可求解． 【详解】解：第①个图案中黑色三角形的个数为1314+⨯=； 第②个图案中黑色三角形的个数为1327+⨯=； 第③个图案中黑色三角形的个数为13310+⨯=； ……第⑥个图案中黑色三角形的个数为13619+⨯=， 故答案为：B ． 【点睛】本题考查图形的规律，观察图案找出规律是解题的关键． 2．A 【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P 1，P 2，P 3，P 4，然后周长相减即可得到规律，进行解答． 【详解】解：P 1＝1＋1＋1＝3， P 2＝1＋1＋12＝52， P 3＝1＋1＋14×3＝114， P4＝1＋1＋14×2＋18×3＝238， … ∴P 3－P 2＝114－52＝211=42，P 4－P 3＝238－114＝311=82， ∴P n －P n －1＝n-112， 故答案为：A ． 【点睛】本题主要考查对等边三角形的性质的理解和掌握，此题是一个规律型的题目，题型较好． 3．A 【分析】根据题目给出的正方体的个数规律，可知第n 个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+(1)2n n +，据此可得第10个图形中正方体的个数． 【详解】 解：由图可得：图①中正方体的个数为1； 图②中正方体的个数为4＝1+3； 图③中正方体的个数为10＝1+3+6； 图④中正方体的个数为20＝1+3+6+10； 故第n 个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+(1)2n n +． 第10个图形中正方体的个数为1+3+6+10+15+21+28+36+45+55＝220． 故选：A ． 【点睛】本题考查了图形的变化类规律，解决问题的关键是依据图形得到变换规律．解题时注意：第n 个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+(1)2n n +． 4．B 【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质可以写出前面几个11n n n A A B --∠的度数及其与顶点下标的关系,然后通过类比和不完全归纳法可以得到 11n n n A A B --∠ ． 【详解】解：∵116868A AB A B BA A ∠=︒=∴∠=︒，，， ∵11211121112,BA A A A B A B A A B A A ∠=∠+∠=，∴ 121682A AB ︒∠=， 同理可得：23234323686822A A B A A B ︒︒∠=∠=，， ∴111682n n n n A A B ---︒∠=， 故选B ．【点睛】本题考查图形类规律探索，熟练掌握三角形的外角性质、等腰三角形的性质及不完全归纳法的运用是解题关键． 5．C 【分析】设图中第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数），然后列出各个图形星星的个数，去判断星星个数的规律，然后计算第20个图形的星星个数． 【详解】解：第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数）则a 1=2=1+1，a 2=6=1+2+3，a 3=11=1+2+3+5，a 4=17=1+2+3+4+7 ∴a n =1+2+3+……+n +（2n -1）=2(1)15(21)1222n n n n n ++-=+- 令n =20，则2215151?20+?20-12222n n +-==249 故选：C 【点睛】本题主要考查根据图形找规律，解题的关建是找出图形规律，然后计算． 6．B 【分析】由图形可知：第①个图形有2+6×0=2个三角形；第②个图形有2+6×1=8个三角形；第③个图形有2+6×2=14个三角形；…第n 个图形有2+6×（n-1）=6n-4个三角形；进一步代入求得答案即可． 【详解】解：∵第①个图形有2+6×0=2个三角形； 第②个图形有2+6×1=8个三角形； 第③个图形有2+6×2=14个三角形； …∴第n 个图形有2+6×（n-1）=6n-4个三角形； ∴第⑦个图形有6×7-4=38个三角形， 故选：B ． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 7．B 【分析】根据前几个“五边形数”的对应图形找到规律，得出第n 个“五边形数”为23122n n -，将n=10代入可求得第20个“五边形数”，利用奇偶性判断第2020个“五边形数”的奇偶性．【详解】解：第1个“五边形数”为1=2311122⨯-⨯， 第2个“五边形数”为5=2312222⨯-⨯， 第3个“五边形数”为12= 2313322⨯-⨯， 第4个“五边形数”为22= 2314422⨯-⨯， 第5个“五边形数”为35= 2315522⨯-⨯， ···由此可发现：第n 个“五边形数”为23122n n -， 当n=20时，23122n n -= 231202022⨯-⨯=590， 当n=2020时，232n =3×2020×1010是偶数，12n =1010是偶数，所以23122n n -是偶数，故选：B ． 【点睛】本题考查数字类规律探究、有理数的混合运算，通过观察图形，发现数字的变化规律是解答的关键． 8．B 【分析】观察图形变化，得出n 张餐桌时，椅子数为4n +2把（n 为正整数），代入n ＝7即可得出结论． 【详解】解：1张桌子可以摆放的椅子数为：2+1×4＝6， 2张桌子可以摆放的椅子数为：2+2×4＝10， 3张桌子可以摆放的椅子数为：2+3×4＝14， …，n 张桌子可以摆放的椅子数为：2+4n ， 令n ＝7，可得2+4×7＝30（把）． 故选：B ． 【点睛】此题考查图形类规律探究，列式计算,根据图形的排列总结规律并运用解决问题是解题的关键． 9．B 【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多3枚棋子，然后写成第n 个图案的通式，再列式求解即可． 【详解】解：根据图案可知： 图2中，需要棋子2×3+2=8， 图3中，需要棋子2×4+3=11， 图4中，需要棋子2×5+4=14， …图n 中，需要棋子2×（n +1）+n =3n +2， ∴3n +2=317， 解得：n =105. 故选：B ． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力． 10．A 【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出22A B 的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解20212021OA B 的面积即可． 【详解】由题意可得：11OA AB AB ===，12OB =， ∵11OA B 为等腰直角三角形，且“直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系”，∴根据题意可得：111OA A B =∴212OB OA ==∴22222OA A B ===，，∴总结出nn OA =，∵111122△OAB S =⨯⨯=，11112△OA B S ==，2212222△OA B S =⨯⨯=，∴归纳得出一般规律：1122n nnnn OA B S -=⨯⨯=，∴2021202120202OA B S=，故选：A ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键． 11．A 【分析】先利用等腰直角三角形的性质、反比例函数的解析式分别求出1234,,,y y y y 的值，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】如图，分别过点123,,,C C C 作x 轴的垂线，垂足分别为123,,,D D D ，11OA B 是等腰直角三角形， 1145A B O ∴∠=︒，11OC D ∴是等腰直角三角形，同理：122233,,AC D A C D 都是等腰直角三角形，11x y ∴=，点111(,)C x y 在反比例函数()40y x x=>的图象上， 114x y ∴=，将11x y =代入114x y =得：214y =，解得12y =或120y =-<（不符题意，舍去），112x y ∴==，点111(,)C x y 是1OB 的中点，111(2,2)B x y ∴， 1124OA x =∴=，设12A D a =，则22C D a =，此时2(4,)C a a +， 将点2(4,4)C a +代入()40y x x=>得：(4)4a a +=，解得2a =或20a =-<（不符题意，舍去），22y a ∴==，同理可得：3y =4y =归纳类推得：n y =n 为正整数， 则1210y y y +++()((22210=++++=故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、等腰直角三角形的性质等知识点，正确归纳出一般规律是解题关键．12．B【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【详解】解：如图∵四边形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝12⨯1×1＝12，∵∠OAA1＝90°，∴OA12＝12+12＝2，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝12⨯2×1＝1，同理可求：S3＝12⨯2×2＝2，S4＝4…，∴S n＝2n﹣2，∴S2020＝22018，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到a n的规律是解题的关键．13．C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质进行求解计算 【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B=x ，AB=A 1B ， ∴∠BA 1A=1802x︒-， ∵A 1A 2=A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角， ∴∠A 1B 1A 2=∠A 1A 2B 1=12∠BA 1A=21180180222x x ︒-︒-⨯=；同理可得，∠A 2B 2A 3=∠A 2A 3B 2=12∠A 1B 1A 2=231180180222x x ︒-︒-⨯=；∴∠A n B n A n +1=()111802n x +︒- 故选：C ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，准确识图，找出规律是解答此题的关键． 14．A 【分析】设点A 2，A 3，A 4…，A 2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题． 【详解】 解：1(1,1)A 在直线15y x b =+， 45b ∴=， 1455y x ∴=+，设22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ，44(A x ，4)y ，⋯，20202020(A x ，2019)y ，则有221455y x =+，331455y x =+，⋯，202020201455y x =+，又△11OA B ，△122B A B ，△233B A B ，⋯，都是等腰直角三角形，2122x y y ∴=+，312322x y y y =++，⋯，2020123201920202222x y y y y y =+++⋯++．将点坐标依次代入直线解析式得到： 21112y y =+，3121131222y y y =++=2y ，432y =3y ，⋯，2020201932y y =，又11y =，232y ∴=，233()2y =，343()2y =，⋯，201920203()2y =，故选：A ． 【点睛】此题主要考查了一次函数点坐标特点，等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半，解题的关键是找出规律． 15．C 【分析】由题意易得第一个图形三角形的个数为1个，第二个图形三角形的个数为5个，第三个图形三角形的个数为9个，第四个图形三角形的个数为13个，由此可得第n 个图形三角形的个数． 【详解】 解：由题意得：第一个图形三角形的个数为4×1-3=1个， 第二个图形三角形的个数为4×2-3=5个， 第三个图形三角形的个数为4×3-3=9个， 第四个图形三角形的个数为4×4-3=13个， …..∴第n 个图形三角形的个数为()43n -个； 故选C ． 【点睛】本题主要考查图形规律问题，关键是根据图形得到一般规律即可． 16．D 【分析】由题意易得第一个图形三角形的个数为1个，第二个图形三角形的个数为5个，第三个图形三角形的个数为9个，第四个图形三角形的个数为13个，由此可得第n 个图形三角形的个数． 【详解】 解：由题意得：第一个图形三角形的个数为4×1-3=1个， 第二个图形三角形的个数为4×2-3=5个， 第三个图形三角形的个数为4×3-3=9个， 第四个图形三角形的个数为4×4-3=13个， ……∴第n 个图形三角形的个数为()43n -个； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查图形规律问题，关键是根据图形得到一般规律即可． 17．A 【分析】根据前几个图形，可以写出蜂巢的个数，从而可以发现蜂巢个数的变化规律，进而得到第五个图形中蜂巢总的个数，本题得以解决．【详解】解：由图可得，第一个图有1个蜂巢，第二个图有1+6×1＝7个蜂巢，第三个图有1+6×1+6×2＝19个蜂巢，…，则第五个图中蜂巢的总数为：1+6×1+6×2+6×3+6×4＝61，故选：A．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中蜂巢个数的变化规律，求出相应的图形中蜂巢总的个数．18．C【分析】根据图形中圆的个数变化规律，进而求出答案．【详解】解：如图所示：第一个图形一共有2+3=5个圆，第二个图形一共有2+3+4=9个圆，第三个图形一共有2+3+4+5=14个圆，∴第七个图形一共有2+3+4+5+6+7+8+9=44个圆，故选：C．【点睛】此题主要考查了图形变化类，根据题意得出圆的个数变化规律是解题关键．19．B【分析】观察发现，第①个图形有正方形的个数为1；第②个图形有正方形的个数为：1+4=5；第③个图形有正方形的个数为：1+4+9=14；…；第n个图形有正方形的个数为：1+4+9+…+n2，从而得到答案．【详解】解：观察发现：第①个图形含有正方形的个数为1，第②个图形含有正方形的个数为：1+4=5，第③个图形含有正方形的个数为：1+4+9=14，…第n个图形含有正方形的个数为：1+4+9+…+n2，∴第⑥个图形含有正方形的个数为：1+4+9+16+25+36=91，故选：B．【点睛】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形并找到规律，利用规律解决问题． 20．D 【分析】根据题意得出∠A n OB n =30°，从而推出A n B n =OA n ，得到B n B n+1n A n+1，算出B 1A 2=1，B 2A 3=2，B 3A 4=4，找出规律得到B n A n+1=2n-1，从而计算结果． 【详解】解：设△B n A n A n+1的边长为a n ， ∵点B 1，B 2，B 3，…是直线(0)3y x x =≥上的第一象限内的点， 过点A 1作x轴的垂线，交直线(0)y x x =≥于C ， ∵A 1（1，0），令x=1，则∴A 1C=3，∴111tan AC AOC OA ∠== ∴∠A n OB n =30°， ∵112223334,,,A B A A B A A B A 均为等边三角形，∴∠B n A n A n+1=60°， ∴∠OB n A n =30°， ∴A n B n =OA n ， ∵∠B n A n+1B n+1=60°， ∴∠A n+1B n B n+1=90°， ∴B n B n+1n A n+1， ∵点A 1的坐标为（1，0），∴A 1B 1=A 1A 2=B 1A 2=1，A 2B 2=OA 2=B 2A 3=2，A 3B 3=OA 3=B 3A 4=4，...， ∴A n B n =OA n =B n A n+1=2n-1，∴20192020B B2019A 202020182， 故选D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键． 21．D 【分析】作11A C ⊥x 轴，22A C ⊥ x 轴，33A C ⊥ x 轴，设2A 纵坐标为m ，再根据等腰直角三角形的性质，将坐标表示为()22,A m m +，代入直线解析式算出m ，再用同样的方法设()35,A n n +，代入解析式求出n ．【详解】解：如图，作11A C ⊥x 轴，22A C ⊥ x 轴，33A C ⊥ x 轴， 把()11,1A 代入15y x b =+，求出45b =，则直线解析式是1455y x =+，已知()11,1A ，根据等腰直角三角形的性质，得到111111OC A C B C ===，设2A 纵坐标为m ，22A C m =，22OC m =+，得()22,A m m +，代入直线解析式，得()14255m m =++，解得32m =， 设3A 纵坐标为n ，33A C n =，35OC n =+，得()35,A n n +，代入直线解析式，得()14555n n =++，解得9n 4=．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象和几何综合，解题的关键是抓住等腰直角三角形的性质去设点坐标，再代入解析式列式求解．22．C【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD与△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是(1)2n n．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．23．C【详解】由题意可得：第一次AO顺时针转动了120°，第二次AO顺时针转动了240°，第三次AO顺时针转动了120°，故当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是：120°+240°+120°=480°．故选：C．24．D【分析】连接AC ，根据条件可以求出AC ，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2019=336×6+3，因此点3B 向右平移1344（即3364⨯）即可到达点2019B ，根据点3B 的坐标就可求出点2019B 的坐标．【详解】连接AC ，如图所示．∵四边形OABC 是菱形，∴OA =AB =BC =OC ．∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形．∴AC =AB ．∴AC =OA ．∵OA =1，∴AC =1．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵2019=336×6+3，∴点B 3向右平移1344(即336×4)到点B 2019．∵B 3的坐标为(2，0)，∴B 2019的坐标为(1346，0)，故选：D【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．25．C【分析】通过前4个图形找出一般性规律，即可得出图6表示的数．【详解】解：第1个图形有1个点；第2个图形有5=2+3个点；第3个图形有12=3+4+5个点；第4个图形有22=4+5+6+7个点；第5个图形有35=5+6+7+8+9个点；第6个图形有6789101151+++++=个点；故选：C ．【点睛】本题考查探索与表达规律，解决此题的关键是善于观察，找出图形上的点与序号之间的关系．。
北京市二龙路中学中考数学规律问题图形变化类专题
一、规律问题图形变化类1．现有四条具有公共端点O 的射线OA OB OC OD 、、、，若点123,,P P P ，…，按如图所示规律排列，则点2021P 应该落在（ ）A ．射线OA 上B ．射线OB 上C ．射线OC 上D ．射线OD 上2．利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为a b c d ,,,，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为43212222a b c d ⨯+⨯+⨯+⨯，如图2第一行数字从左到右依次为0,1,0,1，序号为43210212021210⨯+⨯+⨯+⨯=，表示该生为10班的学生，表示12班的学生的识别图案是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，如果第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n 的值为（ ）A ．504B ．505C ．677D ．6784．法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》，其主要突破在“五边形数”的证明上．如图为前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第20个“五边形数”应该为（ ），第2020个“五边形数”的奇偶性为（ ）A．533；偶数B．590；偶数C．533；奇数D．590；奇数5．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的数量是（）A．360 B．363 C．365 D．3696．按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2中共有10把椅子，…，按此规律，则图7中椅子把数是（）A．28 B．30 C．36 D．427．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆下去，若第n个图案需要317颗黑色棋子，则n的值（）A．108 B．105 C．106 D．无法确定8．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y4x=（x>0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（）A．10B．6 C．2D．79．携带着2公斤珍贵月壤的嫦娥五号返回器于2020年12月17日凌晨1时32分，降落在内蒙古市四子王旗，实现了中国版的“空间跳跃”.在科幻电影《银河护卫队》中，星际之间的穿梭往往靠宇宙飞船沿固定路径“空间跳跃”完成，如图所示，两个星球之间的路径只有一条，三个星际之间的路径有3条，四个星际之间的路径有6条，...，按此规律，则10个星际之间的路径有（ ）A ．45条B ．21条C ．42条D ．38条10．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图1、图2、图3…的次序铺设地砖，把第n 个图形用图n 表示，那么图2021中的白色小正方形地砖的块数比黑色小正方形地砖的块数多（ ）A ．8089B ．8084C ．6063D ．1414711．如图，点Q 在线段AP 上，其中10PQ =，第一次分别取线段AP 和AQ 的中点1P ，1Q 得到线段11PQ ；再分别取线段1AP 和1AQ 的中点2P ，2Q 得到线段22P Q ；第三次分别取线段2AP 和2AQ 的中点3P ，3Q 得到线段33PQ ；连续这样操作11次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和1122331111PQ P Q PQ P Q ++++=（ ）A ．1010102-B ．1110102-C ．1010102+D ．1110102+12．如图，在第一个1ABA ∆中，20B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =，得到第二个12A A C ∆；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点4A 为顶点的等腰三角形的顶角的度数为（ ）A ．170︒B ．175︒C ．10︒D ．5︒13．把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②图案有7个黑色三角形，第③个图案有10个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑥图案中黑色三角形的个数为（ ）A ．16B ．19C ．31D ．3614．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，和1B ，2B ，3B ，分别在直线15y x b =+和x 轴上，11OA B ∆，122B A B ∆，233B A B ∆，是以1A ，2A ，3A ，为顶点的等腰直角三角形．如果点()11,1A ，那么点2020A 的纵坐标是（ ）A ．201932⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．202032⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．201923⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．202023⎛⎫ ⎪⎝⎭15．下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中第1个图形中有5个圆，第2个图形中有9个圆，第3个图形中14个圆，……，则第7个图形中圆的个数是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．4516．将若干个小菱形按如图的规律排列：第（1）个图形有1个小菱形，第（2）个图形有3个小菱形，第（3）个图形有6个小菱形，…，则第（20）个图形有（ ）个小菱形，A ．190B ．200C ．210D ．22017．如图，△ABC 面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使A 1B＝AB ，B 1C ＝BC ，C 1A ＝CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，得到△A 1B 1C 1．第二次操作：分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2，使A 2B 1＝A 1B 1，B 2C 1＝B 1C 1，C 2A 1＝C 1A 1，顺次连接A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2019，最少经过（ ）次操作．A ．4B ．5C ．6D ．718．如图，在平面直角坐标系中，点1234,,,,A A A A 在x 轴正半轴上，点123,,,B B B 在直线3(0)3y x x =≥上，若1(1,0)A ，且112223334,,,A B A A B A A B A 均为等边三角形，则线段20192020B B 的长度为（ ）A ．202123B ．202023C ．201923D ．20182319．如图，已知1111222233334,,,AB A B A B A A A B A A A B A A ==== ……，若∠A ＝70°，则11n n n A A B --∠的度数为（ ）A ．702nB ．1702n + C ．1702n - D ．2702n - 20．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（ ）A ．2018(3)倍B ．2019(3)倍C ．2020(3)倍D ．2021(3)倍21．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（ ）A ．6B ．152C ．32D ．7296422．按如图方式摆放餐桌和椅子：桌子张数 1 2 34 …n可坐人数6 8 10 …n 张餐桌可坐的人数为（ ） A ．n+5B ．2n+6C ．2nD ．2n+423．用棋子按下列方式摆图形，第一个图形有1枚棋子，第二个图形有5枚棋子，第三个图形有12枚棋子，…依此规律，第7个图形比第6个图形多（ ）枚棋子A ．20B ．19C ．18D ．1724．如图，8AOB ∠=︒，点P 在OB 上．以点P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点1P （点1P 与点O 不重合），连接1PP ；再以点1P 为圆心，OP 为半径画弧，交OB 于点2P （点2P 与点P 不重合），连接12PP ；再以点2P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点3P （点3P 与点1P 不重合），连接23P P ；…按照这样的方法一直画下去，得到点n P ，若之后就不能再画出符合要求的点1n P +，则n 等于（ ）A ．13B ．12C ．11D ．1025．如图，点123,,,A A A A ，…在同一直线上，111122223,,AB A B A B A A A B A A ===，3334A B A A =，……，若B 的度数为x ，则1n n n A B A +∠的度数为（ ）A ．()111802n x -︒- B ．()11802n x ︒- C ．()111802n x +︒- D ．()211802n x +︒-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题图形变化类 1．A 【分析】根据图形可以发现点的变化规律，从而可以得到点P 2021落在哪条射线上． 【详解】 解：由图可得，P 1到P 5顺时针，P 5到P 9逆时针， ∵（2021-1）÷8=252…4， ∴点P 2021落在OA 上， 故选：A ．本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．B 【分析】根据规定的运算法则分别计算出每个选项的数即可作出判断． 【详解】根据题意，可得A 中的图案表示的班级序号为432102+12+12+12=8+4+2=14⨯⨯⨯⨯， B 中的图案表示的班级序号为432102+12+12+02=8+4=12⨯⨯⨯⨯， C 中的图案表示的班级序号为432112+02+02+12=16+2=18⨯⨯⨯⨯， D 中的图案表示的班级序号为432112+02+12+02=16+4=20⨯⨯⨯⨯． 故选B ． 【点睛】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是根据题意弄清题干规定的运算规则，并将图形的变化问题转化为数字问题． 3．B 【分析】根据图形的变化规律、正方形和三角形的个数可发现第n 个图案有31n +个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有41n +个，进而可求得当412021n +=时n 的值． 【详解】解：∵第①个图案有4个三角形和1个正方形，正三角形和正方形的个数共有5个； 第②个图案有7个三角形和2个正方形，正三角形和正方形的个数共有9个； 第③个图案有10个三角形和3个正方形，正三角形和正方形的个数共有13个； 第④个图案有13个三角形和4个正方形，正三角形和正方形的个数共有17个；∴第n 个图案有()43131n n +-=+个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有3141n n n ++=+个∵第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个 ∴412021n += ∴505n =． 故选：B 【点睛】本题考查了图形变化类的规律问题、利用一元一次方程求解等，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 4．B 【分析】根据前几个“五边形数”的对应图形找到规律，得出第n 个“五边形数”为23122n n -，将n=10代入可求得第20个“五边形数”，利用奇偶性判断第2020个“五边形数”的奇偶性．解：第1个“五边形数”为1=2311122⨯-⨯， 第2个“五边形数”为5=2312222⨯-⨯， 第3个“五边形数”为12= 2313322⨯-⨯， 第4个“五边形数”为22= 2314422⨯-⨯， 第5个“五边形数”为35= 2315522⨯-⨯， ···由此可发现：第n 个“五边形数”为23122n n -， 当n=20时，23122n n -= 231202022⨯-⨯=590， 当n=2020时，232n =3×2020×1010是偶数，12n =1010是偶数，所以23122n n -是偶数，故选：B ． 【点睛】本题考查数字类规律探究、有理数的混合运算，通过观察图形，发现数字的变化规律是解答的关键． 5．C 【分析】观察求出图案中地砖的块数，找到规律再求出黑色的地砖的数量即可. 【详解】第1个图案只有（2×1﹣1）2＝12＝1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共（2×2﹣1）2＝32＝9，其中黑色的有12（9＋1）＝5块， 第3个图案有黑色与白色地砖共（2×3﹣1）2＝52＝25，其中黑色的有12（25＋1）＝13块， …第n 个图案有黑色与白色地砖共（2n ﹣1）2，其中黑色的有12[（2n ﹣1）2＋1]， 当n ＝14时，黑色地砖的块数有12×[（2×14﹣1）2＋1]＝12×730＝365. 故选：C. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，有理数的混合运算，根据所给图案总结出图案排列的规律由此进行计算是解题的关键. 6．B 【分析】观察图形变化，得出n 张餐桌时，椅子数为4n +2把（n 为正整数），代入n ＝7即可得出结论． 【详解】解：1张桌子可以摆放的椅子数为：2+1×4＝6， 2张桌子可以摆放的椅子数为：2+2×4＝10， 3张桌子可以摆放的椅子数为：2+3×4＝14， …，n 张桌子可以摆放的椅子数为：2+4n ， 令n ＝7，可得2+4×7＝30（把）． 故选：B ． 【点睛】此题考查图形类规律探究，列式计算,根据图形的排列总结规律并运用解决问题是解题的关键． 7．B 【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多3枚棋子，然后写成第n 个图案的通式，再列式求解即可． 【详解】解：根据图案可知： 图2中，需要棋子2×3+2=8， 图3中，需要棋子2×4+3=11， 图4中，需要棋子2×5+4=14， …图n 中，需要棋子2×（n +1）+n =3n +2， ∴3n +2=317， 解得：n =105. 故选：B ． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力． 8．A 【分析】先利用等腰直角三角形的性质、反比例函数的解析式分别求出1234,,,y y y y 的值，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】如图，分别过点123,,,C C C 作x 轴的垂线，垂足分别为123,,,D D D ，11OA B 是等腰直角三角形， 1145A B O ∴∠=︒，11OC D ∴是等腰直角三角形，同理：122233,,AC D A C D 都是等腰直角三角形，11x y ∴=，点111(,)C x y 在反比例函数()40y x x=>的图象上， 114x y ∴=，将11x y =代入114x y =得：214y =，解得12y =或120y =-<（不符题意，舍去），112x y ∴==，点111(,)C x y 是1OB 的中点，111(2,2)B x y ∴， 1124OA x =∴=，设12A D a =，则22C D a =，此时2(4,)C a a +， 将点2(4,4)C a +代入()40y x x=>得：(4)4a a +=， 解得222a =-或2220a =--<（不符题意，舍去），2222y a ∴==-，同理可得：32322y =-，42423y =-，归纳类推得：221n y n n =--，其中n 为正整数， 则1210y y y +++()()()2222232221029=+-+-++-210=，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、等腰直角三角形的性质等知识点，正确归纳出一般规律是解题关键．9．A【分析】设n个星球之间的路径有a n条（n为正整数，且n≥2），观察图形，根据各图形中星球之间“空间跳跃”的路径的条数的变化，可得出变化规律“a n=12n（n-1）（n为正整数，且n≥2）”，再代入n=10即可求出结论．【详解】解：设n个星球之间的路径有a n条（n为正整数，且n≥2）．观察图形，可知：a2=12×2×1=1，a3=12×3×2=3，a4=12×4×3=6，…，∴a n=12n（n-1）（n为正整数，且n≥2），∴a10=12×10×9=45．故选：A．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中星球之间“空间跳跃”的路径的条数的变化，找出变化规律“a n=12n（n-1）（n为正整数，且n≥2）”是解题的关键．10．A【分析】由图形可知图ⓝ的白色小正方形地砖有（7n+5）块，黑色小正方形有3n块，由此得出白色小正方形比黑色小正方形多4n+5块，依此代入数据计算即可．【详解】解：由图形可知：第1个图形12块白色小正方形，3块黑色小正方形，第2个图形19个白色小正方形，6块黑色小正方形，第3个图形26个白色小正方形，9块黑色小正方形，则图ⓝ的白色小正方形地砖有（7n+5）块，黑色小正方形有3n块∴白色小正方形比黑色小正方形多（7n+5）-3n=4n+5块当n=2021时，4n+5=4×2021+5=8089．故选：A．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“层数”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．11．B【分析】根据线段中点定义先求出P 1Q 1的长度，再由P 1Q 1的长度求出P 2Q 2的长度，从而找到P n Q n 的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵线段PQ=10，线段AP 和AQ 的中点P 1，Q 1， ∴P 1Q 1=AP 1-AQ 1 =12AP-12AQ =12（AP-AQ ） =12PQ =12×10 =5．∵线段AP 1和AQ 1的中点P 2，Q 2； ∴P 2Q 2=AP 2-AQ 2 =12AP 1-12AQ 1 =12（AP 1-AQ 1） =12P 1 Q 1 =12×12×10 =212×10 =52． 发现规律：P n Q n =12n ×10 ∴P 1Q 1+P 2Q 2+…+P 11Q 11=12×10+212×10+312×10+…+1112×10 =10（12+212+312+…+1112） =10（1111212） =10（1-1112） =10-11102故选：B ． 【点睛】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度． 12．A 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A 5的度数． 【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B=20°，AB=A 1B ，∴∠BA 1A= 1802B︒-∠=80°，∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1=18022BA A ︒∠==40°； 同理可得∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴∠A n =1802n ︒-，以点A 4为顶点的等腰三角形的底角为∠A 5，则∠A 5=4802︒=5°，∴以点A 4为顶点的等腰三角形的顶角的度数为180°-5°-5°=170°． 故选：A ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键． 13．B 【分析】观察图案发现第①个图案中黑色三角形的个数为1314+⨯=；第②个图案中黑色三角形的个数为1327+⨯=；第③个图案中黑色三角形的个数为13310+⨯=；即可求解． 【详解】解：第①个图案中黑色三角形的个数为1314+⨯=； 第②个图案中黑色三角形的个数为1327+⨯=； 第③个图案中黑色三角形的个数为13310+⨯=； ……第⑥个图案中黑色三角形的个数为13619+⨯=， 故答案为：B ． 【点睛】本题考查图形的规律，观察图案找出规律是解题的关键． 14．A 【分析】设点A 2，A 3，A 4…，A 2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题． 【详解】 解：1(1,1)A 在直线15y x b =+， 45b ∴=， 1455y x ∴=+， 设22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ，44(A x ，4)y ，⋯，20202020(A x ，2019)y ，则有221455y x =+，331455y x =+，⋯，202020201455y x =+，又△11OA B ，△122B A B ，△233B A B ，⋯，都是等腰直角三角形，2122x y y ∴=+，312322x y y y =++，⋯，2020123201920202222x y y y y y =+++⋯++．将点坐标依次代入直线解析式得到： 21112y y =+，3121131222y y y =++=2y ，432y =3y ，⋯，2020201932y y =，又11y =，232y ∴=，233()2y =，343()2y =，⋯，201920203()2y =，故选：A ． 【点睛】此题主要考查了一次函数点坐标特点，等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半，解题的关键是找出规律． 15．C 【分析】根据图形中圆的个数变化规律，进而求出答案． 【详解】 解：如图所示：第一个图形一共有2+3=5个圆， 第二个图形一共有2+3+4=9个圆， 第三个图形一共有2+3+4+5=14个圆，∴第七个图形一共有2+3+4+5+6+7+8+9=44个圆， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了图形变化类，根据题意得出圆的个数变化规律是解题关键． 16．C 【分析】仔细观察图形知：第（1）个图形有1个小菱形，第（2）个图形有3＝1＋2个，第（3）个图形有6＝1＋2＋3个，…由此得到规律求得第（20）个图形中小菱形的个数即可．【详解】解：第（1）个图形有1（个）菱形， 第（2）个图形有3＝1＋2（个）， 第（3）个图形有6＝1＋2＋3（个）， 第（4）个图形有10＝1＋2＋3＋4（个）， …第n 个图形有1＋2＋3＋4＋…＋n ＝(1)2n n + （个）小菱形， ∴第（20）个图形有20212102⨯=（个）小菱形． 故选：C ． 【点睛】本题考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律． 17．A 【分析】先根据已知条件求出△111A B C 及△222A B C 的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可． 【详解】解：ABC ∆与△11A BB 底相等1()AB A B =，高为11:2(2)BB BC =，故面积比为1:2，ABC ∆面积为1，112A B BS∴=．同理可得，112C B CS =，12AA CS =，11111_1_1_122217A B C C B C AA CA B BABC SSSSS ∆∴=+++=+++=；同理可证△222A B C 的面积7=⨯△111A B C 的面积49=， 第三次操作后的面积为749343⨯=， 第四次操作后的面积为73432401⨯=．故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2019，最少经过4次操作． 故选：A ． 【点睛】考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可． 18．D 【分析】根据题意得出∠A n OB n =30°，从而推出A n B n =OA n ，得到B n B n+1n A n+1，算出B 1A 2=1，B 2A 3=2，B 3A 4=4，找出规律得到B n A n+1=2n-1，从而计算结果． 【详解】解：设△B n A n A n+1的边长为a n ，∵点B 1，B 2，B 3，…是直线(0)y x x =≥上的第一象限内的点，过点A 1作x 轴的垂线，交直线3(0)3y x x =≥于C ， ∵A 1（1，0），令x=1，则y=33， ∴A 1C=33， ∴1113tan 3AC AOC OA ∠==， ∴∠A n OB n =30°， ∵112223334,,,A B A A B A A B A 均为等边三角形，∴∠B n A n A n+1=60°， ∴∠OB n A n =30°， ∴A n B n =OA n ， ∵∠B n A n+1B n+1=60°， ∴∠A n+1B n B n+1=90°， ∴B n B n+1=3B n A n+1， ∵点A 1的坐标为（1，0），∴A 1B 1=A 1A 2=B 1A 2=1，A 2B 2=OA 2=B 2A 3=2，A 3B 3=OA 3=B 3A 4=4，...， ∴A n B n =OA n =B n A n+1=2n-1，∴20192020B B =3B 2019A 2020=201832⨯， 故选D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键． 19．C 【分析】根据等边对等角可得∠AA 1B=∠A=70°，然后根据三角形外角的性质和等边对等角可得∠A 1A 2B 1=12∠AA 1B=702︒=35°，同理可得：∠A 2A 3B 2=12∠A 1A 2B 1=2702︒=17.5︒，∠A 3A 4B 3=12∠A 2A 3B 2=3702︒=8.75︒，找出规律即可得出结论． 【详解】∵1AB A B =，70A ∠=︒ ∴∠AA 1B=∠A=70° ∵1112A B A A = ∴∠A 1A 2B 1=∠A 1 B 1A 2 ∵∠AA 1B=∠A 1A 2B 1＋∠A 1 B 1A 2 ∴∠A 1A 2B 1=12∠AA 1B=702︒=35° 同理可得：∠A 2A 3B 2=12∠A 1A 2B 1=2702︒=17.5︒ ∠A 3A 4B 3=12∠A 2A 3B 2=3702︒=8.75︒ ∴11n n n A A B --∠=1702n -︒故选C ． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握等边对等角和三角形外角的性质是解决此题的关键． 20．C 【分析】先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC 判断出△ABC 的形状及∠2的度数，求出AB 的长，进而可得出，经过2020次后，即可得出所得到的正六边形的边长． 【详解】∵此六边形是正六边形，∴∠1=180°-120°=60°，AD=CD=BC ，∴△BCD 为等边三角形， ∴BD=12AC ， ∴△ABC 是直角三角形又∵BC=12AC ， ∴∠2=30°，∴AB=3BC=3CD ，同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的2(3)倍， ，∴经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的2020(3)倍． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，正多边形内角的性质，直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等，能总结出规律是解此题的关键． 21．C 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，=30MON ∠︒，111OA A B =，得到1=30∠︒，由12B A OM ⊥，得到1OA 的长度，进而得到22122A B B A =，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =，进而得出答案．【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥ ∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12， ∵11OA =，∴111A B =， ∴21121A B A A ==， ∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A = ∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A ∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8 ∴3323324A B B A OA ===， ∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =，进而发现规律是解题关键．22．D 【分析】根据桌子左右总有4把椅子，前后的椅子数是桌子的2倍，表示出n 张桌子时的椅子数目即可． 【详解】解：由图可得1张桌子时，有4+2＝6把椅子； 2张桌子时，有4+2×2＝8把椅子； 3张桌子时，有4+3×2＝10把椅子； 4张桌子时，有4+4×2＝12把椅子； …n 张桌子时，有（4+n ×2）把椅子． 故选：D ． 【点睛】本题考查了图形的规律性问题；得到不变的量及变化的量与n 的关系是解决本题的关键． 23．B 【详解】试题分析：设第n 个图形的棋子数为Sn ， 则第1个图形，S 1＝1；第2个图形，S 2＝1+4，S 2－S 1=4＝3×1+1； 第3个图形，S 3＝1+4+7；S 3－S 2=7＝3×2+1； 第3个图形，S 3＝1+4+7+10；S 4－S 3＝10=3×3+1； ……∴第n 个图形比第（n －1）个图形多()3n 113n 2-+=-棋子. ∴第7个图形比第6个图形多372=19⨯-棋子. 故选B.考点：探索规律题（图形的变化类）. 24．C 【分析】先观察题目，可知画出的三角形为等腰三角形，可依次算出第一个第二个第三个等腰三角形的底角的度数，发现规律：第n 个等腰三角形的底角度数为(8)n ︒，再根据等腰三角形的底角度数小于90°，即可算出答案． 【详解】解：根据题意可得出：∵11223OP PP PP P P ===∴画出的三角形为等腰三角形∵8AOB ∠=︒∴18AOB PPO ∠=∠=︒ ∴121216PPP PP P ∠==︒∴21323132P PP P P P ∠==︒依次推算可发现规律：第n 个等腰三角形的底角度数为(8)n ︒∵等腰三角形的底角度数小于90°∴(8)90n ︒<︒ ∴908n <（n 为正整数） ∴11n =．故选：C ．【点睛】本题主要考查规律探索和等腰三角形的性质，知道三角形的外角度数等于其它两个内角和的度数以及等腰三角形的底角小于90°是解题的关键．25．C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质进行求解计算【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B=x ，AB=A 1B ，∴∠BA 1A=1802x ︒-， ∵A 1A 2=A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角，∴∠A 1B 1A 2=∠A 1A 2B 1=12∠BA 1A=21180180222x x ︒-︒-⨯=； 同理可得，∠A 2B 2A 3=∠A 2A 3B 2=12∠A 1B 1A 2=231180180222x x ︒-︒-⨯=； ∴∠A n B n A n +1=()111802n x +︒- 故选：C ．【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，准确识图，找出规律是解答此题的关键．。
2021-2022学年基础强化京改版九年级数学下册第二十三章 图形的变换重点解析试卷(含答案详解)
九年级数学下册第二十三章图形的变换重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形2、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°3、点P（ 5，－3 ）关于y轴的对称点是（）A ．（－5， 3 ）B ．（－5，－3）C ．（5，3 ）D ．（5，－3 ）4、如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，点D 为边AB 的中点，点P 在边AC 上，则PDB △周长的最小值等于（ ）．A ．AC AB + B ．ABC ．AC BC +D ．AC5、在平面直角坐标系中，点()3,4-，关于x 轴对称点的坐标是（ ）A ．()3,4B ．()3,4-C ．()4,3-D ．()4,46、如图，在ABC 中，AB AC =，点D 为BC 边上一点，将ABD △沿直线AD 翻折得到AB D '，AB '与BC 边交于点E ，若3AB BD =，点E 为CD 中点，6BC =，则AB 的长为（ ）A ．457B ．6C ．454D ．1527、如图，平行四边形OABC 的顶点O （0，0），A （1，2），点C 在x 轴的正半轴上，延长BA 交y 轴于点D ．将△ODA 绕点O 顺时针旋转得到△OD 'A '，当点D 的对应点D '落在OA 上时，D 'A '的延长线恰好经过点C ，则点B 的坐标为（ ）A ．（25，2）B ．（23，2）C ．（23＋1，2）D ．（25＋1，2）8、如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线折叠，若重叠部分为EBD ∆，那么下列说法错误的是（ ）A ．EBD ∆是等腰三角形B ．EBA ∆和EDC ∆全等 C ．折叠后得到的图形是轴对称图形D ．折叠后ABE ∠和CBD ∠相等9、如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上的点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转，得到△ABF ．下列角中，是旋转角的是（ ）A ．∠DAEB ．∠EABC ．∠DABD ．∠DAF10、点A 关于y 轴的对称点A 1坐标是（2，-1），则点A 关于x 轴的对称点A 2坐标是（ ）A ．（-1，-2）B ．（-2，1）C ．（2，1）D ．（2，-1）第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，15AOB ∠=︒，P 是OA 上一点，P 与P '关于OB 对称，作'⊥P M OA 于点M ，4OP =，则MP '=______．2、已知点A 的坐标为(),a b ，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点О顺时针旋转90°得到线段1OA ，则点1A 的坐标为______．3、如图，直线AB 与x 轴交于点()2,0A -，与x 轴夹角为30°，将ABO 沿直线AB 翻折，点O 的对应点C 恰好落在双曲线()0k y k x=≠上，则k 的值为______．4、如图所示，将一个顶角∠B ＝30°的等腰三角形ABC 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到等腰三角形AB 'C '，使得点B '，A ，C 在同一条直线上，则旋转角α＝_____度．5、正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示．A (0，3)，B (2，4)，C (3，2)，D (1，10）．将正方形ABCD 绕D 点旋转90°后，点B 到达的位置坐标为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．（1）求证：DE∥BC；（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．2、在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′，则称线段AB 是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．（1）如图，线段CD，EF，GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标y M的取值范围为12≤y M136≤，求S．（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN＝1，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．（4）已知点M，N是在以（2，0MN MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围．3、如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．（1）求证DOB≌AOC；（2）求∠CEB的大小；（3）如图2，OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将OCD绕点O旋转（OAB和OCD 不能重叠），求∠CEB的大小．4、如图，在直角坐标系中按要求作图，所画图形的顶点必须与每个小正方形的顶点重合．（1）画出一个面积等于9的等腰直角三角形ABC，使△ABC的三个顶点在坐标轴上，且△ABC关于y 轴对称，其中点A的坐标为(0，3)；（点B在点C的左侧）（2）将△ABC向下平移3个单位，再向右平移1个单位得到△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1），画出△A1B1C1，并直接写出A1C的长．5、如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣6，﹣4），C（﹣2，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴成轴对称的△DEF，点A的对应点为点D，写出点D的坐标；（2）请直接写出△DEF的面积；（3）在y轴上画出点P，使PA+PB最小，并写出点P的坐标．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义去判断即可．【详解】∵等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，∴A不符合题意；∵平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，∴B不符合题意；∵正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，∴C不符合题意；∵正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，∴D符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，轴对称图形即将一个图形沿着某条直线折叠,直线两旁的部分完全重合，中心对称图形即将一个图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，熟练掌握两种图形的定义是解题的关键．2、A【分析】根据旋转的性质求解80,BOD AOC 110,C A 再利用三角形的内角和定理求解1801104030,COD 再利用角的和差关系可得答案.【详解】 解： 将△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，80,BOD AOC∠A 的度数为110°，∠D 的度数为40°，110,1801104030,C A COD 803050,AOD 故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.3、B【分析】根据两点关于y 轴对称的特征是两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变即可求出点的坐标．【详解】解：∵所求点与点P （5，–3）关于y 轴对称，∴所求点的横坐标为–5，纵坐标为–3，∴点P （5，–3）关于y 轴的对称点是（–5，–3）．故选B ．【点睛】本题考查两点关于y 轴对称的知识；用到的知识点为：两点关于y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同．4、C【分析】作点B 关于AC 的对称点H ，连接HP 、HD ，由轴对称的性质可知BP HP =，由题意易得2AB BC BH ==，2AB BD =，则有BC BD =，然后由三角形周长公式可知PBD C BP PD BD HP PD BD =++=++，要使其最小，则需满足H 、P 、D 三点共线即可，进而问题可求解．【详解】解：作点B 关于AC 的对称点H ，连接HP 、HD ，如图所示：∴BP HP =，BC HC =，∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴2AB BC BH ==，∵点D 为边AB 的中点，∴2AB BD =，∴BC BD =，∵ABC HBD ∠=∠，∴ABC HBD ≌（SAS ），∴AC HD =，∵PBDC BP PD BD HP PD BD =++=++，要使其最小，则需满足H 、P 、D 三点共线，即BP PD +的最小值为HD 的长，∴PBD △的周长最小值为AC BC +；故选C ．【点睛】本题主要考查轴对称的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．5、A【分析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于x 轴的对称点的坐标是（x ，-y ），即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．【详解】解：点A （3，-4）关于x 轴的对称点的坐标是（3，4），故选：A ．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容．6、A【分析】由折叠的性质可得AB D ABD '∠=∠，BD B D '=，AB AB '=，然后证明B ED CEA '△∽△，得到DE B E B D AE CE CA ''==，设BD B D x '==，3AB AC AB x '===，即可推出13B E CE '=，从而得到133AE AB B E x CE ''=-=-，则11333DE CE CE AE AE x CE ===-，从而得到910CE x =，再由9961010BC BD DE CE x x x =++=++=，求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得AB D ABD '∠=∠，BD B D '=，AB AB '=，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴AB D ACE '∠=∠，又∵B ED CEA '∠=∠，∴B ED CEA '△∽△， ∴DE B E B D AE CE CA''==， ∵E 是CD 的中点，∴DE =CE ，设BD B D x '==，3AB AC AB x '===， ∴13DE B E B D AE CE CA ''===， ∴13B E CE '=， ∴133AE AB B E x CE ''=-=-，∴11333DE CE CE AE AE x CE ===-， ∴910CE x =， ∴9961010BC BD DE CE x x x =++=++=， 解得157x ， ∴4537AB x ==， 故选A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．7、D【分析】连接A C '，由题意可证明ADO OD C '△∽△，利用相似三角形线段成比例即可求得OC 的长，再由平行线的性质即可得点的坐标．【详解】解：如图，连接A C '，AD y ⊥轴，ODA 绕点O 顺时针旋转得到OD A ''△，∴90CD O '∠=︒，OD OD '=，DOA D OC D CO D OC '''∠+∠=∠+∠，DOA D CO '∴∠=∠，∵90ODA OD C '∠=∠=︒，ADO OD C '∴△∽△，AD OD AO OC'∴=， (1,2)A ，1,2AD OD ∴==，AO ∴=2OD OD '==， 25OC ，∴AB OC ==∴1AB DA AB =+=+∴点B 的坐标为：()1+，故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，利用相似三角形的性质得到线段的比例是解题关键．8、D【分析】根据题意结合图形可以证明EB =ED ，进而证明△ABE ≌△CDE ；此时可以判断选项A 、B 、D 是成立的，问题即可解决．【详解】解：由题意得：△BCD≌△BFD，∴DC=DF，∠C=∠F=90°；∠CBD=∠FBD，又∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠F=90°，DE∥BF，AB=DF，∴∠EDB=∠FBD，DC=AB，∴∠EDB=∠CBD，∴EB=ED，△EBD为等腰三角形；在△ABE与△CDE中，∵BE DE AB CD=⎧⎨=⎩，∴△ABE≌△CDE（HL）；又∵△EBD为等腰三角形，∴折叠后得到的图形是轴对称图形；综上所述，选项A、B、C成立，∴不能证明D是正确的，故说法错误的是D，故选：D．【点睛】本题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系；借助矩形的性质、全等三角形的判定等几何知识来分析、判断、推理或解答．9、C【分析】根据“旋转角是指以图形在作旋转运动时，一个点与中心的旋转连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线，这两条线的夹角”，由此问题可求解．【详解】解：由题意得：旋转角为∠DAB 或∠EAF ，故选C ．【点睛】本题主要考查旋转角，熟练掌握求一个旋转图形的旋转角是解题的关键．10、B【分析】由题意由对称性先求出A 点坐标，再根据对称性求出点A 关于x 轴的对称点2A 坐标．【详解】解：由点A 关于y 轴的对称点1A 坐标是()2,1-，可知A 为()2,1--，则点A 关于x 轴的对称点2A 坐标是()2,1-．故选B ．【点睛】本题考查对称性，利用点关于y 轴对称，横轴坐标变为相反数，纵轴坐标不变以及点关于x 轴对称，纵轴坐标变为相反数，横轴坐标不变进行分析．二、填空题1、2【分析】连接OP '，根据对称的性质可得：30'∠=︒AOP ，然后在'Rt P MO 中，利用30角所对直角边是斜边的一半即可得．【详解】解：连接OP '，如图所示：∵P 与P '关于OB 对称，∴15'∠=∠=︒AOB P OB ，4OP OP '==，∴30'∠=︒AOP ，∵'⊥P M OA ，∴在'Rt P MO 中，122''==P M OP ， 故答案为：2．【点睛】题目主要考查轴对称的性质，直角三角形中30的性质等，理解题意，作出辅助线，结合这几个性质是解题关键．2、（b ，－a ）【分析】设A 在第一象限，画出图分析，将线段OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°得OA 1，如图所示．根据旋转的性质，A 1B 1＝AB ，OB 1＝OB ．综合A 1所在象限确定其坐标，其它象限解法完全相同．【详解】解：设A 在第一象限，将线段OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°得OA 1，如图所示．∵A （a ，b ），∴OB ＝a ，AB ＝b ，∴A 1B 1＝AB ＝b ，OB 1＝OB ＝a ，因为A 1在第四象限，所以A 1（b ，﹣a ），A 在其它象限结论也成立．故答案为：（b ，﹣a ），【点睛】本题考查了图形的旋转，设点A 在某一象限是解题的关键．3、【分析】如图，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，根据折叠性质可得∠CAB =∠BAO =30°，AC =OA =2，可得∠ACD =30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD 的长，利用勾股定理可得出CD 的长，即可得出点C 坐标，代入()0k y k x=≠即可得答案． 【详解】∵A （2-，0），∴OA =2，∵将ABO 沿直线AB 翻折，点O 的对应点C 恰好落在双曲线()0k y k x =≠上，∠BAO =30°， ∴∠CAB =∠BAO =30°，AC =OA =2，∴∠CAO =60°，∠ACD =30°，∴AD =12AC =1，OD =OA AD -=1，∴CD∵点C 在第二象限，∴点C 坐标为（1-，∵点C 在在双曲线()0k y k x =≠上，∴k =故答案为：【点睛】本题考查折叠性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及反比例函数图象上的点的坐标特征，30°角所对的直角边等于斜边的一半；图形折叠前后对应边相等，对应角相等；正确得出点C 坐标是解题关键．4、105【分析】利用等腰三角形的性质求出∠BAC ，可得结论．【详解】解：∵BC＝BA，∠B＝30°，（180°﹣30°）＝75°，∴∠C＝∠BAC＝12∴旋转角α＝180°﹣∠BAC＝105°，故答案为：105．【点睛】本题考查了等腰三角形性质以及旋转的角度问题，解题的关键是理解旋转角就是对应线段的夹角．5、 (4，0)或(﹣2，2)【分析】利用网格结构找出点B绕点D旋转90°后的位置，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标即可．【详解】解：如图，点B绕点D旋转90°到达点B′或B″，点B′的坐标为（4，0），B″（﹣2，2）．故答案为：（4，0）或（﹣2，2）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．三、解答题1、（1）见解析；（2）15【分析】（1）根据旋转的性质可得BCD ACE ≌，进而证明CDE △是等边三角形，进而可得60EDC ACB ∠=∠=︒，即可证明∥DE BC ；（2）根据旋转的性质可得AE BD =，又CDE △是等边三角形，则DE CD =，即可求得△ADE 的周长等于AB BD +【详解】（1）解：∵△ABC 是等边三角形，∴,60AC BC ACB =∠=︒∵将△BCD 绕点C 旋转得到△ACE ，BCD ACE ∴≌60,ACE BCD CD CE ∴∠=∠=︒=∴CDE △是等边三角形∴60EDC ACB ∠=∠=︒∴∥DE BC ；（2）∵将△BCD 绕点C 旋转得到△ACE ，BCD ACE ∴≌∴AE BD =CDE △是等边三角形，∴DE CD =AB ＝8，BD ＝7，∴△ADE 的周长等于15AD DE AE AD DC AE AC AE AB BD ++=++=+=+=【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质，等边三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转的性质是解题的关键．2、（1）2；（2）①1(0,)2M ；②02S ≤≤；（3）1916π⎛ ⎝⎭;（4）1y >或1y <- 【分析】（1）O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2，根据两点的距离可得2,EF CD EF ===而即可求得答案；（2）①根据定义作出图形，根据轴对称的方法求得对称轴，反射线段经过对应圆心的中点，即可求得M 的坐标；②由①可得当0S =时，y M 1=2，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =，根据余弦求得11cos cos QO PO MOQ O OP OM OO ∠=∠==进而代入数值列出方程，解方程即可求得S 的最大值，进而求得S 的范围；（3）根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴,反射轴l 未经过的区域是以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线，求得半径为1算即可； （4）根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，OT 的中点S ，即3OO 的中点1A 在以S l 与y 轴交点的纵坐标y 的取值范围【详解】（1）O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2根据两点的距离可得2,EF CD EF ===2,2,2EF CD EF ∴<<>故符合题意的“反射线段”有2条；故答案为：2（2）①如图，过点B 作BO y '⊥轴于点O '，连接11A BA 点坐标为（0，2），B 点坐标为（1，1），∴AB ==45BAO '∠=︒，(0,1)O 'O 的半径为1，1190AOB ∠=︒11A B ∴1145B A O =︒线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，()00O ，，(0,1)O ' 1(0,)2M ∴ ②由①可得当0S =时，y M 1=2如图，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =，(0,1)O '1(,1)O S S ∴+()222211221OO S S S S ∴=++=++ 过1OO 中点Q ，作直线l 1OO ⊥交y 轴于点M ,则l 即为反射轴1(,)22S S Q +∴12≤y M 136≤， 136OM ∴= 11cos cos QO PO MOQ O OP OM OO ∠=∠== 即11112136OO S OO +=即()21113126OO S =+⨯ ∴()2113126S S S ++=+ 解得1252,6S S ==-（舍）02S ∴≤≤（3）1MN =∴1M N ''= O 的半径为1，则M N O ''是等边三角形，根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴,∴反射轴l 未经过的区域是以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线222OO ∴==2112OR OO ∴==∴当M 点在圆上运动一周时，求反射轴l 未经过的区域的面积为2191=16ππ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭． （4）如图，根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,设(2,0)T则TM =2MN =3O MN 是等腰直角三角形3O L ML ∴,TL ∴==3TO ∴=当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，OT 的中点S ，1SA ∴是3OO T 的中位线1312SA O T ∴==,13SA TO ∥即3OO 的中点1A 在以S∴若MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，则l 为S 的切线设S 与y 轴交于点,C D 112OS OT ==，1SC SA =1OC ∴=同理可得1OD =∴反射轴l 与y 轴交点的纵坐标y 的取值范围为1y >或1y <-【点睛】本题考查了中心对称与轴对称，圆的相关知识，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义，掌握轴对称与中心对称并根据题意作出图形是解题的关键．3、（1）见详解；（2）120°；（2）120°．【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质得到OD =OC =OA =OB ，∠COD =∠AOB =60°，则利用根据“SAS ”判断△AOC ≌△BOD ；（2）利用△AOC ≌△BOD 得到∠CAO =∠DBO ，然后根据三角形内角和可得到∠AEB =∠AOB =60°，即可求出答案；（3）如图2，与（1）的方法一样可证明△AOC ≌△BOD ；则∠CAO =∠DBO ，然后根据三角形内角和可求出∠AEB =∠AOB =60°，即可得到答案．【详解】（1）证明：如图1，∵△ODC 和△OAB 都是等边三角形，∴OD =OC =OA =OB ，∠COD =∠AOB =60°，∴∠BOD =∠AOC =120°，在△AOC 和△BOD 中OC OD AOC BOD OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD ；（2）解：∵△AOC ≌△BOD ，∴∠CAO =∠DBO ，∵∠1=∠2，∴∠AEB =∠AOB =60°，∴120CEB ∠=︒；（3）解：如图2，∵△ODC 和△OAB 都是等边三角形，∴OD =OC =OA =OB ，∠COD =∠AOB =60°，∴∠AOB +∠BOC =∠COD +∠BOC ，即∠AOC =∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中OC OD AOC BOD OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD ；∴∠CAO =∠DBO ，∵∠1=∠2，∴∠AEB =∠AOB =60°，∴120CEB ∠=︒；即∠CEB 的大小不变．【点睛】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；利用类比的方法解决（3）小题．4、（1）见解析；（2）画图见解析，A1C的长为4．【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求．∵AO=BO=CO=3，且AO⊥BC，∴∠BAO=∠CAO=45°，△ABC的面积=12BC AO=9，∴∠BAC=90°，且△ABC关于y轴对称；（2）如图，△A1B1C1即为所求．如图，A1C的长为4．【点睛】本题考查了根据平移变换作图以及等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．5、（1）见解析；（3，2）；（2）152；（3）（0，0）【分析】（1）根据纵不变，横相反，确定三个对称点D（3，2），E（6，-4），F（2，-1），依次连接起来即可；（2）把三角形补形成矩形，利用面积差计算；（3）先确定直线BD的解析式，令x=0，确定函数对应的y值，即可确定点P的坐标．【详解】（1）∵△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣6，﹣4），C（﹣2，﹣1）∴关于y轴的对称点坐标分别为：点D（3，2），E（6，-4），F（2，-1），依次连接起来，如图所示，此时点D（3，2）；（2）如图，把三角形DEF补形成矩形GHPE，则矩形的长为GE=HP=2-（-4）=6，宽为GH=EP=6-2=4，∴GD=6-3=3，FP=-1-(-4)=3，∴HF=3，HD=1，∴DEF DHF S S S S S =---△△EGD △△FPE 矩形GHPE ， ∴11164631343222DEF S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯△ =152； （3）∵点A 关于y 轴的对称点为点D （3，2），∴连接BD ，交y 轴于点P ，此时PA +PB 最小，∵B （-6，-4），设直线BD 的解析式为y =kx +b ，∴3k+b=26=-4k b⎧⎨-+⎩，解得2k=3=0b⎧⎪⎨⎪⎩，∴y=23x，令x=0，y=0，∴点P的坐标为（0，0）．【点睛】本题考查了坐标系中轴对称问题，两点间的距离，待定系数法确定一次函数的解析式，将军饮马河原理，熟练掌握对称点计算方法，灵活运用待定系数法和将军饮马河原理是解题的关键．。
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2019北京中考数学命题趋势强化图形变换理解对未来中考预测时，需要考虑以下2个主要因素：一个是数学课程标准的变化；二是过去中考试题中展现出来的相对稳定的特点。
虽然过往的考试大纲和说明还不能作为2019年中考命题的依据，但在某种程度上，过往的大纲和说明是会对今后中考命题具有一定影响作用。
因此，在对2019年中考试题预测时，需要参考以往的考试说明和大纲上的内容和要求上的变化。
此外，近几年中考试题自身呈现的相对稳定的特点，在某种程度上体现了课程标准突出强调的内容，体现重点内容重点考查的命题基本原则。
因此，关注近年来的中考试题特点，有助于掌握未来中考试题发展趋势。
以下分析仅供考生和老师参考！
一、命题内容及趋势：
（1）从数量角度反映变化规律的函数类题型：
（2）以直角坐标系为载体的几何类题型：
（3）以“几何变换”为主体的几何类题型：
（4）以“存在型探索性问题”为主体的综合探究题：
（5）以“动点问题”为主的综合探究题：
二、需要注意的问题及建义：
（1）在复习中要更多关注“几何变换”，强化对图形变换的理解。
加强对图形的旋转、平移、对称多种变换的研究，对不同层次的学生进行分层拔高，使每一个学生都有较大的提升空间。
（2）让学生参与数学思维活动，经历问题解决的整个过程。
复习中应多引导学生运用“运动的观点”来分析图形，要多引导学生学会阅读、审题、获取信息，养成多角度、多侧面分析问题的习惯，逐步提高学生的数学能力。
（3）要特别重视“函数图像变换型”问题教学的研究。
通过开展“函数图像变化”的专题教学，树立函数图像间相互转换的思维，尽量减少学生对函数“数形”认知的欠缺，比如，平时渗透抛物线的轴对称、旋转等知识点。
当某个函数图像经过变换出现多个函数图像时，要引导学生从图形间的相互联系中寻找切入点，排除识图的干扰，对图像所蕴含的信息进行横向挖掘和纵向突破，将“有效探索”进行到底。
此类试题考查的思路是从知识转向能力，从传统应用转向信息构建，这就提醒我们课堂上重要的不是讲解，而是点拨、引导、提升，一定要从重视知识积累转向问题探究的过程，关注学生自主探究能力的培养。
（4）突出数学核心概念、思想、方法的考查。
中学数学核心概念、思想方法是数学知识的精髓，也势必会成为考查综合应用能力的重要载体，这包括方程、不等式、函数，以及基本几何图形的性质、图形的变化、图形与坐标
知识之间横纵向的联系，也包括中学数学中常用的重要数学思想。
如：函数与方程思想、数形结合、分类讨论思想很化归与转换思想。
而数学基本方法是数学的具体表现，具有模式化和可操作性，常用的基本方法有配方法、换元法、待定系数法、归纳法和割补法。
（5）将核心知识点“组合”作为实践综合题引导学生理解数学本质。
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
教学中要有意识地将多个知识点进行“组合”与“串接”自己编一些有针对性的、适合本班学生来练习的综合题，或者精选一些比较成功的试题，有目的的将它们进行剪裁、组合与改编，特别是专题复习阶段，更要能静心、精心、精选，以题为载体，以题论法。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士
之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
“狭路相逢勇者胜”，目标引导行动，行动决定命运。
中考的战鼓已经擂响，我们别无选择。
我们要以高昂的斗志，百倍的信心，坚定的毅志，高超的技能，全身心地奋战中考，我们全体教师要以最优秀的课堂教学、最先进的教育理念、最无私的投入、最真挚的情感与我们全体学生同舟共济！最后，预祝孩子们腾着蛇年这股瑞气，顺势而上，中考旗开得胜！唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。
而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。
唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。
至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价
不谓显赫，也称得上朝廷要员。
至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教
授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。