1997考研数学二真题及答案解析
1997年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
则
()
(A) f (x0 ) 是 f (x) 的极大值
(B) f (x0 ) 是 f (x) 的极小值
(C) (x0, f (x0 )) 是曲线 y f (x) 的拐点
(D) f (x0 ) 不是 f (x) 的极值, (x0, f (x0 )) 也不是曲线 y f (x) 的拐点
(4) 设F (x) x2 esint sin tdt, 则 F (x) x
1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1)
已知
f
(
x)
(cos
x)
x2
,
x 0, 在 x 0 处连续,则 a
.
a,
x0
(2) 设 y ln
1 x 1 x2
,则
y x0
.
(3)
dx x(4 x)
x0
x0
x0
x0
lim e e e lncosx x2
lim ln cos x 洛必达 x0 x2
1 (sin x)
lim cos x
x0
2x
x0
lim sin x
1
e e x0 2xcos x
2
【相关知识点】1.函数 y f (x) 在点 x0 连续：
设函数
f
(
x)
在点
x0
的某一邻域内有定义,如果
程组1T x1 2T x2 3T x3 BX 0 有非零解,因
1 2 0
B
1T
,
T 2
,
T 3
2
1
0 t
1997年考研数学试题详解及评分参考
（A）为正常数
（B）为负常数
（C）恒为零
（D）不为常数
【答】 应选(A).
【解】 因函数 e sin t s in t 是以 2p 为周期的周期函数，故
ò ò ò ò F (x) = x+2p esint sin tdt = 2p esint sin tdt = - 2p esint d cos t = 0 + 2p cos2 t esint dt > 0.
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题详解及评分参考
【解】由题意， f (x) 在 x 轴的上方、单调下降且是上凹的，
（如右图所示），设 S1 、S2 、S3 分别为图中所示区域的面积， 显然有 S1 < S2 < S3 . 故选（B）.
ò (3) 设 F (x) = x + 2p e sin t s in td t ，则 F (x) x
(B) 连续, 偏导数不存在.
(C) 不连续, 偏导数存在.
(D) 不连续, 偏导数不存在.
【答】 应选(C).
【解】
令y
= kx ，则 lim x®0 y =kx
xy x2 + y2
k = 1+ k2
，因 k 不同时， k 1+ k2
的值不同，
( ) 故极限 lim x®0 y®0
xy x2 + y2
……2 分
Ñò ò 于是 I = (z - y)dx + (x - z)dy + (x - y)dz = - 0 (2(sinq + cosq ) - 2cos 2q -1)dq
C
2p
=
-[2(- cosq
1997-2002考研数学二历年真题
量，其中 2 , 3 , 4 线性无关， 1 2 2
3 ．若
1
2
3
4 ，求线性方程组
Ax 的通解．
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学 ( 二 ) 试题
一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 )
3x 1x
1、 lim x1
x2 x 2
=（
）．
2、曲线 e2x y cos(xy) e 1 在点（ 0， 1）处 的切线方程为 ：（
）．
3 ． yy
（
y2
0满足初始条件
y(0) 1, y (0)
1 2
的特解是
）．
4
．
lim 1 [ 1 cos
1 cos2
1 cos n ]
=
nn
n
n
n
（
）．
0 22
5．矩阵 2 2
2 的非零特征值是（
）．
2 22
二、单项选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分． )
１．函数 f (u) 可导， y f ( x 2 ) 当自变量 x 在 x 1处取得增量 x 0.1时，相应的函
率半径， s
s(x) 是该抛物线上介于点
A（1，1）与 M 之间的弧长，计算
3
d2 ds 2
d (
)2
ds
y
的值（曲率 K＝
3 ）．
(1 y 2) 2
六、（本题满分 7 分） f ( x) 在 [0， + ）可导， f (0) =0，且其反函数为 g (x) ．
f ( x)
若
g (t )dt x2ex ，求 f ( x) ．
1997-数二真题、标准答案及解析
应选（A）. 由于 e
x + 2π
sin t
sin t 是以 2π 为周期的，因此
2π
F ( x) = ∫
x 2π
esin t sin tdt = ∫ esin t sin tdt
0
= − ∫ esin t d cos t
0
= 0 + ∫ cos 2 t ⋅ esin t dt > 0.
0
2π
故应选（A）. （5）设 g ( x ) = ⎨
方法一：
由
dx 1 = ， dt 1 + t 2 dy dy 2 − y 2 − 2ty + et = 0, dt dt
dy y 2 − et = dt 2 (1 − ty )
2 t 2 dy ( y − e )(1 + t ) = 2 (1 − ty ) dx
得
因而 方法二：
由 x = arctan t ，得 t = tan x ，将其代入题目中第二式有
x →−∞
(
4 x2 + x − 1 − x − 1
)
1 2 3− − 2 x x =1 ＝ lim x →−∞ sin x ⎛ 1 1 1⎞ 1+ 2 ⎜ 4 + − 2 +1+ ⎟ x ⎝ x x x⎠
(2)设 y = y ( x ) 由 ⎨ 【详解】
⎧ x = arctan t dy 所确定，求 . 2 t dx ⎩ 2 y − ty + e = 5
可见无论 x0 ( ≠ 0 ) 为何值，都有 f 所以
( x0 ) > 0
x = x0 是 f ( x ) 的极小值点.
(3)设 F ( x ) =
考研数学二函数极限连续历年真题试卷汇编3_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编3(总分74, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.(2003年)设{an }，{bn}，{Cn}均为非负数列，且，则必有【】SSS_SINGLE_SEL Aan ＜bn对任意n成立．Bbn ＜cn对任意n成立．C极限 an cn不存在．D极限 bn cn不存在．分值: 2答案:D解析：由于 bn ＝1≠0， cn＝∞．则 bncn＝∞ 即极限bn cn不存在，故应选D．2.(2005年)设函数f(χ)＝，则【】SSS_SINGLE_SELA χ＝0，χ＝1都是f(χ)的第一类间断点．B χ＝0，χ＝1都是f(χ)的第二类间断点．C χ＝0是f(χ)的第一类间断点，χ＝1是f(χ)的第二类间断点．D χ＝0是f(χ)的第二类间断点，χ＝1是f(χ)的第一类间断点．分值: 2答案:D解析：显然χ＝0和χ＝1是f(χ)的间断点，又，则χ＝0是f(χ)的第二类间断点；则χ＝1是f(χ)的第一类间断点，故应选D．3.(2007年)当χ→0 +时，与等价的无穷小量是【】SSS_SINGLE_SELA 1－BCD 1－cos．分值: 2答案:B解析：则应选B．4.(2007年)函数f(χ)＝在[－π，π]上的第一类间断点是χ＝【】SSS_SINGLE_SELA 0B 1CD分值: 2答案:A解析：则χ＝0是f(χ)的第一类间断点．故应选A．5.(2008年)设函数f(χ)在(一∞，＋∞)内单调有界，{χn}为数列，下列命题正确的是【】SSS_SINGLE_SELA若{χn }收敛，则{f(χn)}收敛．B若{χn }单调，则{f(χn)}收敛．C若{f(χn )}收敛，则{χn}收敛．D若{f(χn )}单调，则{χn}收敛．分值: 2答案:B解析：由于f(χ)在(－∞，＋∞)上单调有界，若{χn }单调，则{f(χn)}是单调有界数列，故{f(χn )}收敛．事实上A、C、D都是错误的．若令χn＝，显然＝0，即{χn}收敛，令f(χ)＝，显然f(χ)在(－∞，＋∞)上单调有界，但{f(χn )}不收敛．由于f(χn)＝，所以f(χn )不存在，故A不正确．若令χn，f(χ)＝arctanχ．显然{f(χn )}收敛且单调，但χn＝n不收敛，故C和D不正确．6.(2008年)设函数f(χ)＝sinχ，则f(χ)有【】SSS_SINGLE_SELA 1个可去间断点，1个跳跃间断点．B 1个可去间断点，1个无穷间断点．C 2个跳跃间断点．D 2个无穷间断点．分值: 2答案:A解析：显然f(χ)＝sinχ在χ＝1和χ＝0没定义，因此χ＝1和χ＝0为间断点，其余点都连续．则χ＝1为f(χ)的跳跃间断点．则χ＝0为f(χ)的可去间断点．故应选A．7.(2009年)当χ→0时，f(χ)＝χ－sinaχ与g(χ)＝χ 2 ln(1－bχ)是等价无穷小，则【】SSS_SINGLE_SELA a＝1，b＝－．B a＝1，b＝．C a＝－1，b＝－．D a＝－1，b＝．分值: 2答案:A解析：由于当χ→0时，f(χ)＝χ－sinaχ与y(χ)＝χ 2 ln(1－bχ)是等价无穷小，则则b＝－．故应选A．8.(2009年)函数f(χ)＝的可去间断点的个数为【】SSS_SINGLE_SELA 1．B 2．C 3．D 无穷多个．分值: 2答案:C解析：当χ＝k(k＝0，±1，±2，…)时，sinπχ＝0，则这些点都是f(χ)的间断点．而当χ＝0，±1时，χ－χ 3＝0，则χ＝0，χ＝±1为f(χ)的可去间断点，其余均为无穷间断点．故应选C．9.(2010年)函数f(χ)＝的无穷间断点的个数为【】SSS_SINGLE_SELA 0B 1C 2D 3分值: 2答案:B解析：显然f(χ)＝有间断点χ＝0，χ＝±1．则χ＝1为可去间断点．10.(2011年)已知当χ→0时，函数f(χ)＝3sinχ－sin3χ与cχ k是等价无穷小，则【】SSS_SINGLE_SELA k＝1，c＝4．B k＝1，c＝－4．C k＝3，c＝4．D k＝3，c＝－4．分值: 2答案:C解析：则k＝3，＝1，c＝411.(2012年)设an ＞0(n＝1，2，…)，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则数列{Sn }有界是数列{an}收敛的【】SSS_SINGLE_SELA 充分必要条件．B 充分非必要条件．C 必要非充分条件．D 既非充分条件也非必要条件．分值: 2答案:B解析：由于an ＞0，则数列{Sn}单调增，若{Sn}有界，则{Sn}收敛，设Sn －a，则即{an}收敛．但若{an}收敛，{Sn)不一定有界．如an ＝1，Sn＝n，故应选B．12.(2013年)设cosχ－1＝χsinα(χ)，其中｜α(χ)｜＜，则当χ→0时，α(χ)是【】SSS_SINGLE_SELA 比χ高阶的无穷小．B 比χ低阶的无穷小．C 与χ同阶但不等价的无穷小．D 与χ等价的无穷小．分值: 2答案:C解析：由cosχ－1＝χsinα(χ)知故应选C．13.(2014年)(1)当χ→0 +时，若ln a (1＋2χ)，均是比χ高阶的无穷小，则a的取值范围是【】SSS_SINGLE_SELA (2，＋∞)B (1，2)C (，1)D (0，)分值: 2答案:B解析：由于当χ→0 +时 ln口(1＋2χ)～2χ，，由题设可知，α＞1，且＞1．则1＜α＜2，故应选B．14.(2015年)函数f(χ)＝在(－∞，＋∞)内【】SSS_SINGLE_SELA 连续．B 有可去间断点．C 有跳跃间断点．D 有无穷间断点．分值: 2答案:B解析：由f(χ)＝知，f(0)无意义，且当χ≠0时，f(χ)＝＝χχ则χ＝0为f(χ)的可去间断点．故应选B．2. 填空题1.(1997年)已知f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：由于2.(2001年)＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：将分子有理化，分母分解因式得3.(2002年)设函数f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：－2．解析：由于当χ→0时1－e χ～(－tanχ)～(－χ)，arcsin ，则而f(0)＝a 所以要使函数f(χ)在χ＝0处连续，则a＝－2．4.(2003年)若χ→0时，－1与χsinχ是等价无穷小，则a＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：－4．解析：由于当χ＝0时 (1＋χ) μ－1～μχ，则当→0时－1～－aχ 2，从而由题意知－＝1，即a＝－4．5.(2004年)设f(χ)＝，则f(χ)的间断点为χ＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：χ＝0．解析：显然，χ＝0为f(χ)的唯一的间断点．6.(2005年)当χ→0时，a(χ)＝kχ 2与β(χ)＝是等价无穷小，则k＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：则k＝7.(2007年)＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：8.(2008年)已知函数f(χ)连续，且＝1，则f(0)＝________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：2．解析：则f(0)＝一29.(2011年)＝________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：10.(2013年)________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题-推荐下载
(C) (x0 , f (x0 )) 是曲线 y f (x) 的拐点
(D) f (x0 ) 不是 f (x) 的极值, (x0 , f (x0 )) 也不是曲线 y f (x) 的拐点 (4) 设F (x) x2 esint sin tdt, 则 F (x)
x
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
1997考研数学二真题及答案解析
特定的 f (x) 来观察结果是什么.例如取 f= (x)
1 x2
,
x
∈[1,
2] ,则
❤
∫ S1
=
2 1
1 x2
dx
=1 2
, S2
=1 4
, S3
=5 8
⇒
S2
<
S1
<
S3
.
【评注】本题也可用分析方法证明如下：
b
∫ 由积分中值定理,至少存在一个点 ξ ,使 f (x= )dx f (ξ )(b − a), a < ξ < b 成立,再由 a
α3
方法 2：利用秩的定义.
α1 由于 r = α2
α3
r= ( A)
2,则矩阵 A 中任一三阶子行列式应等于零.
α1 1 2 −1 1
α 2
=
2
0
t
0
,
α3 0 −4 5 −2
应有
1 2 −1 1 2 −1 1 2 −1 2 0 t = 0 −4 t + 2 = 0 −4 t + 2 = 0 , 0 −4 5 0 −4 5 0 0 3 − t
2
0
−4
−1 t 5
1
0
−2
[2]+[1]×( [3]+[1] [4]+[1]×(
→
−2) −1)
1 0
2 −4
0 −4
[2]×
−
1 4
[3]+[2]×( − t −
[4]+[2]×(−2)
→
2)
1 0
2 1
0
1
,
0 t + 2 5
1997考研数二真题及解析
定点,若极径 OM 、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M , M 两点
0
0
间弧长值的一半,求曲线 L 的方程.
六、(本题满分 8 分)
设 函 数 f ( x) 在 闭 区 间 [0,1] 上 连 续 , 在 开 区 间 (0,1) 内 大 于 零 , 并 满 足
x f( x) f( x)
是(x单)(x调递a)增 的12 f,故(f)(x(x)
a)
f
(a ( )
,(x)x)(0拉,即格朗 (日x中) 在值定[a理, b])
上单调递增的.由于f (21a()( ()f()(0)),xx所以0,axx),[a,b] ,从而
(b) 1[ f (b) f (a)](b a) b f (t)dt 0,
四、(本题满分0 80分.)1
2x x x 1
取何值时
,方程组
1
x
x
2
x
3
2
无解 ,有惟一解或有无穷多解？并在
有无穷多解时写出方程组的4x通11解5x2.2 53x3 1
五、(本题满分 8 分)
设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ) , M (r, ) 为 L 上任一点 , M (2,0) 为 L 上一
(4)求微分方程 (3x2 2xy y2)dx (x2 2xy)dy 0的通解.
(5)已知 y xex e2x, y xex ex, y xex e2x ex 是某二阶线性非齐次微分方
1
2
3
程的三个解,求此微分方程.
1 (6)已知 A 0
1 1
11 ,且 A2 AB E ,其中 E 是三阶单位矩阵,求矩阵 B .
2
a
考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2005年试题，二)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有( )。
A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数B．F(x)是奇函数(x)是偶函数C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数D．F(x)是单调函数f(x)是单调函数正确答案：A解析：由题意可知于是f(x)为奇函数为偶函数的全体原函数为偶函数；F(x)为偶函数f’(x)=f(x)为奇函数所以选A。
[评注]考虑当f(x)具有函数的某种性质时，它的原函数F(x)是否也具有这种性质?反过来考虑呢? 知识模块：函数、极限、连续2．(2001年试题，二)设则f{[f(x)]}等于( )．A．0B．1C．D．正确答案：由题设，则由于f(x)只能取0，1两个值，即｜f(x)｜≤1，x∈(一∞，+∞)，所以f[f(x)]≡1，x∈(一∞，∞)，因而f{f(x)]}=f(1)=1选B。
涉及知识点：函数、极限、连续3．(1999年试题，二)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )．A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B．当f(x)是偶函数时，(x)必是奇函数C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数正确答案：A解析：由已知f(x)是连续函数，则是f(x)的一个原函数，从而f(x)的任一原函数F(x)可表示为即其中C为任意常数，且有当f(x)是奇函数时，即F(x)为偶函数，A成立；当f(x)是偶函数时，所以B不成立；关于选项C，D可举反例予以排除，如令f(x)=1+cosx，则周期为2π，F(x)=x+sinx+C不是周期函数；又令f(x)=x，为单调增函数，但不是单调函数，综上，选A．[评注]是函数f(x)的原函数中的一个，所以f(x)的原函数才为F(x)=，然后再用函数性质的定义进行判定．知识模块：函数、极限、连续4．(1997年试题，二)设则g[f(x)]=( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由已知由f(x)≤0，知x≥0且f(x)=一x；由f(x)>0，知x选D．知识模块：函数、极限、连续5．(2012年试题，一)设an＞0(n=1，2，3，…)，sn=a1+a2+a3+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的( )。
1997数二第二题知乎
1997数二第二题知乎【原创版】目录1.背景介绍：1997 年数学二级考试第二题在知乎引发讨论2.题目内容：具体的题目描述3.解题思路：如何解答这道题目4.讨论结果：知乎上的回答和讨论内容5.结论：对这道题目的解答及讨论的总结正文近日，一道 1997 年的数学二级考试第二题在知乎上引发了激烈的讨论。
这道题目描述如下：已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求解该函数在区间 [0, 1] 上的最大值和最小值。
对于这道题目，我们可以通过求导的方法来解答。
首先对函数 f(x) 求导，得到 f"(x) = 3x^2 - 6x + 2。
然后令 f"(x) = 0，解得 x = 1 或x = 2/3。
由于区间[0, 1] 的限制，我们只需要考虑 x = 1 和 x = 2/3两种情况。
将这两点代入原函数，得到f(1) = 1 - 3 + 2 - 1 = -1，f(2/3) = (2/3)^3 - 3*(2/3)^2 + 2*(2/3) - 1 = -5/27。
因此，在区间[0, 1] 上，函数 f(x) 的最大值为 -1，最小值为 -5/27。
在知乎上，这道题目的讨论吸引了众多网友积极参与。
有人提出了与上述相同的求导解法，也有人提出了利用拉格朗日中值定理等其他方法。
同时，还有人对题目本身提出了质疑，认为它在区间 [0, 1] 上并非连续可导，因此存在问题。
对于这一问题，有专业人士解释称，该题目在 [0, 1] 区间上确实是连续可导的，只是需要对函数进行适当的平滑处理。
综上所述，1997 年数学二级考试第二题在知乎上引发了一场有趣的讨论。
通过不同的解题方法，网友们展示了丰富的数学知识和技巧。
97年考研数学真题
97年考研数学真题1997年，数学考研真题回顾在1997年的考研数学真题中，涵盖了多个知识点和题型，全面检验了考生的数学理解和解题能力。
本文将回顾这些题目，并分析解题思路，帮助考生更好地备考。
一、解析几何1. 设P(x, y)是椭圆C: 16x^2 + y^2 = 16的位于x轴上的焦点，直线l经过P且与C的另一焦点相交于A，交C于B和C，若圆C'过点A, B, C并与C外切于点C，则C'的半径为多少？解题思路：首先，要求得椭圆C的焦点坐标，可以将方程化为标准形式：x^2/1 + y^2/16 = 1，得a=1，b=4，焦点坐标为(-c, 0)，其中c为焦距。
代入椭圆方程可得16 = a^2 + c^2，解得c=√3。
由题意可知，直线l的斜率为√3。
设直线l的方程为y = √3x + b，则焦点P的坐标为(4-b/√3, 0)。
将直线l代入椭圆方程求交点即可得到点A的坐标为(-√3/3, -√3/√3)，再由A点与椭圆C的交点可得到B和C的坐标为(5√3/3, 1/√3)和(-5√3/3, 1/√3)。
以点C为圆心，BC为半径作圆，可以利用圆的标准方程求得C'的半径为4。
二、解线性规划问题2. 求解线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + 2x2 ≤ 8x1, x2 ≥ 0解题思路：该线性规划问题为一个最大化目标函数z的问题，受约束条件为两个不等式约束。
首先，将不等式约束化为等式约束，并引入松弛变量，得到如下形式的标准型：max z = 3x1 + 2x2s.t. 2x1 + x2 + x3 = 10x1 + 2x2 + x4 = 8x1, x2, x3, x4 ≥ 0然后，根据单纯形法进行求解。
首先，设置初始单纯形表，并选择入基变量和出基变量。
通过迭代计算，找到最优解(x1=2, x2=3)，目标函数达到最大值z=13。
1997真题及解析
(1(A)低阶无穷小(B)(C)等价无穷高阶无穷小同阶但不等价的无穷小1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分，每小题3分，满分15分.把答案在题中横线上.)(1)设y = f(lnx)e f(x),其中f 可微,则dy = ______________ .1 I-----2 i i⑵若f(x)= --------- +J1_x [f(x)dx,则[f (x)dx = _________________ .1 + x L0⑶差分方程y t^ -y^t2的通解为____________________ .2 2 2⑷若二次型f(X1,X2, X3)=2X1 ■ X2 x3 2x1x2 7X2X3是正定的，则t的取值范围是⑸设随机变量X和丫相互独立且都服从正态分布N(o,32),而X1^|,X9和Y1^LY9分别是来自总体X和丫的简单随机样本，则统计量u = X1亠川；服从_____________________&2钏+丫92分布(2分),参数为.二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)1 qsx2 x5X6设f (x) sin t dt, g(x) ,则当x— 0时，f (x)是g(x)的勺 5 6(2)若f(—x)二f(x)(-：：：：x ::：：：),在(-：：，0)内f (x) 0,且f (x) <0 ,则在(0,：：)内有()(A) f (x) 0, f (x) <0 (B) f (x) 0, f (x) 0(C) f (x) <0, f (x) ::: 0 (D) f (x^：： 0, f (x) 0⑶ 设向量组:^, :-2, :-3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是()(A):'1>2,>2 *3, >3 - >1(B)：1：2,*3, — 2^ ：3(C)：1-2二2, 2： 2 3： 3, 3： 3 ： 1(D)：1：2：3, 2：】-3：2 22 3, 3：「5：2—5：存在可逆矩阵P ,使P^AP = B 存在可逆矩阵P 和Q ,使PAQ 二B1 p 「x 一1 ；4丫 一1, pfx 2()P 〈X ” =1 1 p*.XY " —4C —D 生产函数，即有(4)设代B 为同阶可逆矩阵，则(A) AB 二 BA(B)(C)存在可逆矩阵C ,使C T AC = B (D) (5)设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：1-P:Y =1,则下列各式中成立的是21 (A) P1X 二丫 (B)21 (C) P 〈X Y = 0(D)4三、(本题满分6分) 在经济学中，称函数1Q(x) =A ［、K 」(1为固定替代弹性生产函数，而称函数Q 二 AK L 1 〜为Cobb-Douglas 生产函数(简称C — D 生产函数). 试证明：但x > 0时，固定替代弹性生产函数变为lim Q(x)二 Q .四、 (本题满分5分)设u 二f(x, y, z)有连续偏导数，y 二y(x)和z = z(x)分别由方程e xy - y = 0和x小du e - xz = 0所确定,求 .dx五、 (本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系 p =7-0.2x (万元/吨),x 为销售量(单位：吨),商品的成本函数 C =3x 1(万元).(1) 若每销售一吨商品，政府要征税t (万元),求该商家获最大利润时的销售量； (2)t 为何值时，政府税收总额最大•六、(本题满分6分)设函数f(x)在［0,匸：)上连续、单调不减且f(0) - 0,试证函数F(x)f(t)=e 47t + JJx 2: f]y 2 里tf (〉x 2 y 2 )dxdy .九、（本题满分6分）设A 为n 阶非奇异矩阵,为n 维列向量，b 为常数•记分块矩阵在［0, •：：）上连续且单调不减（其中n .0）.七、 （本题满分6分）从点R （1,0）作x 轴的垂线,交抛物线y =x 2于点Q/1,1）;再从Q i 作这条抛物线的切线 与x 轴交于P 2,然后又从P 2作x 轴的垂线，交抛物线于点 Q 2,依次重复上述过程得到一系列 的点 P,Q i ；P 2,Q 2；MP n ,Q n ；IH .（1） 求 OP ；；（2）求级数QP ・Q 2P ； • ||「丽 • Hl 的和.其中n （n _1）为自然数，而MW 2表示点M 1与M 2之间的距离•八、 （本题满分6分）设函数f t 在［0,匸：）上连续，且满足方程求 f (t).其中A”是矩阵A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ ；（2）证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是：J A '〉=b.十、（本题满分10分）若 x =0,0,设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3 ;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是：1 =(-1,-1,1)1・2 =(1,-2, —1)T.(1)求A的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A.十一、(本题满分7分)1 1假设随机变量X的绝对值不大于1; P{X=_1} ,P{X=1} ；在事件8 4{ -1 ::：X ::: 1}出现的条件下，X在(-1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比•试求X的分布函数F (x)二P{ X乞x} •十二、(本题满分6分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行•假设一游客在早晨八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在［0,60］上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望•十三、(本题满分6分)两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差•(1)【答案】 两边从0到1作定积分得彳1 CA+2X d丄1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析、填空题(本题共5分，每小题3分，满分15分.把答案在题中横线上.)1 e f(x)[ f ln x f x f In x ]dx x【解析】题目考察复合函数的微分法 ，利用链式法则计算如下:由 y = f (ln x)e f (x)可知dy 二丄 f ln x e f (x)dx f ln x e f(x) x dx xA=e f(x)[- f ln x i 亠 f x f ln x ]dx.x(2)【答案】 一—4 - n1【分析】本题中 o f(x)dx 是个常数，只要定出这个数问题就解决了f (x)dx 二 A ,则 f (x) 1A 1 -x 21 +x--- ■1兀典 兀 兀典—x dx = arctanx“+—A = —+—A ,4 4 4解得A.4 一兀【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分 I 1-x 2dx 表示单位圆在第一象限部分的面积，可直接根据几何意义求得•考生务必注意这种技巧的应用•⑶【答案】％二C (一2図【解析】对应的齐次差分方程是 y t 计一 y t =0,显然有不恒等于零的特解 玄=1. 因方程的右端函数f (t^t2t ,可设非齐次差分方程的特解有形式y =(At B)2t ,代入方程得(At 2A B)2^t2t , t =0,12||(.由于2、0,于是At 2A B =t, t =0,1,2,川.可确定A =1,B - -2 ,即非齐次差分方程有一个特解是 y” = (t -2)2七.从而,差分方程的通解是 y t =C (^2)2t . (4)【答案】一'、2 :::t ：：： .2【解析】令Y J 丫/i. 322(9).化简有計(9)，即X 1川X9=X 1 川 X 9【解析】二次型f (x 1,x 2,x 3)对应的矩阵为0 £ 2 1因为f 正定二 A 的顺序主子式全大于零•又=1,亠=|A =1—丄严,32故 f 正定二 1 一 £t 2°，即-朽：::t ：：： ,2 .⑸【答案】t 分布,参数为9【解析】由X 1,|I(,X 9是来自总体X 的简单随机样本,故X 1,|I(,X 9独立,且都服从正态 分布N(0,32).类似有丫1,|1(,询相互独立,且都服从正态分布 N(0,32).又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布，即x =X 1 III X 9 ~ NOV-2).其中 J =E(X ) = E(X 1• X 9),二2 = D(X ) = D(X 1 111 X 9).由期望的性质，」=E(X ) =E(X 1 • |l 「X 9) =EX 1 • EX 2，l|l * EX 9 =0 ；由独立随机变量方差的性质 ，二2 =D(X ) =D(X 1 • ||「X 9) =DX 1 • DX 9 =81 , 故 X ~ N(0,92).2 Y —0因 Y,川,丫9 ~ N(0,3 ),故 -------- N(0,1),(i =1,2，川,9),所以,3X -0x * _ 0 由t 分布的定义，现已有X ~N(0,92),将其标准化得 一 ~ N(0,1),故 9 9[ ----------------------- / -------------------- ~ t(9) •9 1 (Y 2 |1「丫92) Y川 Y9【分【解用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系1-cosx[sin t 2dt limlimxg(x) x Qf(x)5 6x x ----- -J - -------562,・(sin x)sin(1 —cosx) =lim ---------------------------- 4X (1 x)=limX 「01 亠 X X r °x 4二 limx )015x —=0,x【相关知识1.对积分上限的函数的求导公式：若：(t) F(t)「⑴ f(x)dx 「(t)」(t)均一F ⑴八(t) M -(t)l-：(t) H ： (t)l .【相关知识点】1.数学期望的性质：E(aX bY c^aE(X) bE(Y) c ,其中a,b,c 为常数.2.方差的性质： X 与丫相互独立时，D(aX bY c^a 2D(X) b 2D(Y),其中a,b,c 为常数• 3.2分布的定义：若 乙，|l(,Z n 相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1),则nZ i 2~2(1)「Z i 2 〜2(n).i 丄2Z —u4. 若 Z 〜N(u,二2),则 〜N(0,1).CT2X5. t 分布的定义：若 X ~ N(0,1), Y~ 2(n ),X,Y 独立，则 T~ t( n).二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 )(1)【答案】(B)只要求出极限 lim 丄就能判断出正确的选项 7g(x )故应选(B).阶可导，则2.无穷小的比较:设在同一个极限过程中，〉(x), ■- (x)为无穷小且存在极限lim —=丨,B (x )(1)若丨式0,称a (x), B (X )在该极限过程中为同阶无穷小；⑵若I =1,称〉(x), ：(x)在该极限过程中为等价无穷小，记为〉(X)U ：(x)；⑶若丨=0,称在该极限过程中：(x)是■ (x)的高阶无穷小，记为:(x) = o -(x).若lim .(x)不存在(不为：：),称.：s(x), (x)不可比较.P(x)⑵【答案】(C)【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题方法1由f(-x)二f (x) (一：：，•：：)知，f (x)的图形关于y轴对称•由在(-：：,0)内，f x 0且f (x)：：：0知，f(x)的图形在(-：：，0)内单调上升且是凸的；由对称性知，在(0, •：：)内，f(x)的图形单调下降，且是凸的，所以应选(C).方法2：由f (-X)二f (x)可知_f (_x)二f (x)，f (_x)二f (x).当x (0，：：)时，_X (-：：，0)，此时由题设知f -x • 0, f (—x) ：：：0,则f (x) < 0, f (x) ：：：0，x (0，：：)，故应选(C).方法3:排除法.取f (x) = -X2,易验证f (x)符合原题条件，计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确，故应选(C).方法4:由题设可知f(x)是一个二阶可导的偶函数，则f(X)为奇函数，f “(X)为偶函数，又在(-：：，0)内f (x) 0, f (xh：：0,则在(0，：：)内f (x) ：：： 0, f (x) ：：： 0,故应选(C).⑶【答案】(C)【分析】这一类题目最好把观察法与(打，',')=(〉1,〉2「3)C技巧相结合.【解析】对于(A),[:対匕2卜心2•:七〕亠- =°，即存在一组不全为零的数1,-1,1,使得等式为零，根据线性相关的定义可知—：込〉2"二3, J - 线性相关，排除(A)；对于(B),2〕亠〔很2 —S卜〔：® • 2〉2 *3 =0,即存在一组不全为零的数1,1, -1,使得等式为零，根据线性相关的定义可知宀，二2, >2丄：3〉1* 2〉2，二3线性相关，排除(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零，就不应继续观察下去，而应立即转为计算行列式•设有数匕山2山3,使得k ： 1 2： 2 k2 2： 2 3： 3 k3 ： 1 3： 31=0,整理得,B 「0_0 2,由于特征值不同，故不相似，又对应二次型的正、负BA= T_00:61,AB = BA . 2,k 1 k 3 ］：冷亠［2匕 2k 2 隠2 亠〔3k 2 3k 3 a 3 = 0.& k 3 = 0已知：-1, ：-2, ：-3线性无关,上式成立,当且仅当 2k ! 2k^0①3k 2 3k 3 =01 0 1因①的系数行列式2 2 0 =12式0,故①有唯一零解 ,即k 1=k 2=k 3=0.故原向量组 0 33■ 22, 2 23： 3, 3〉3啥线性无关.应选(C).或者也可以将 冷• 2〉2, 2〉2 3・3, 3〉3心1用〉1,〉2,〉3线性表出,且写成矩阵形式,有_1记R r +2^2, 2^2+3口3,3口3+□•>]=上仆0^,0^ ] 22 0 = t (1^(2 a3 ]C , 0 3 3一C =12式0,则C 可逆,故两向量组是等价向量组，由口 1,〜，4线性无关知。
数二历年真题全精解析
数二历年真题全精解析一九九七年全国硕士研究生入学考试数学（二）试题解析一、选择题1. 题目：设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=f(1)=0，证明：存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=ξ^2*f'(ξ)。
解析：根据罗尔定理，若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
由于f(x)满足题设条件，我们可以断言存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0。
又因为f(x)在[0,1]上连续，所以f(x)在[0,1]上可积，进而可以断言f(x)在[0,ξ]和[ξ,1]上的定积分存在。
根据微积分基本定理，我们可以得到：∫[0,ξ] f(t)dt = f(ξ) - f(0) = f(ξ)∫[ξ,1] f(t)dt = f(1) - f(ξ) = 0两式相加得：∫[0,1] f(t)dt = f(ξ)由于f'(ξ)=0，我们可以将上式改写为：ξ^2 * ∫[0,1] f'(t)dt = f(ξ)这就证明了题目所要证明的结论。
2. 题目：设函数f(x)在区间[0,1]上二阶可导，且满足f(0)=0，f(1)=1，f'(0)=1，证明：对于任意x∈[0,1]，都有f(x)≥x。
解析：考虑函数F(x)=f(x)-x，我们需要证明对于所有x∈[0,1]，F(x)≥0。
首先，F(0)=f(0)-0=0。
接下来，我们研究F'(x)和F''(x)的符号。
由于f(x)在[0,1]上二阶可导，F'(x)和F''(x)也在此区间内连续。
计算得到：F'(x) = f'(x) - 1F''(x) = f''(x)由于f'(0)=1，我们有F'(0)=f'(0)-1=0。
现在，我们需要分析F''(x)的符号。
1997年数学二试题答案与解析
+u
=
y2
− 2xy −3x2 x2 − 2xy
=
u2 − 2u −3 1− 2u ,
即
x
du dx
=
−
3(u2 −u −1)
2u −1
解之得 u2 −u −1= Cx−3 即
( ) y2 − xy − x2 = Cx−1 或xy2 − x2 y − x3 = C .
七、 已知 y1 = xex + e2x , y2 = xex + e−x , y3 = xex + e2x − e−x 是某二阶线性非齐 次微分方程的三个解，求此微分方程。 解法 1 由题设知，e2x与e−x 是相应齐次方程两个线性无关的解，且 xex 是 非齐次方程的一个特解，故此方程是
y'' − y' − 2 y = f (x)
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将 y = xex 代入上式，得
( ) ( ) f (x) = xex '' − xex ' − 2xex = 2ex + xex − ex − xex − 2xex
2 y − y2 tan x + etan x = 5,
两边对 x 求导得，
2 dy − 2 y ⋅ dy ⋅ tan x − y2 ⋅sec2 x + etan x ⋅sec2 x = 0
dx
dx
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（C）(x0, f (x0 )) 是曲线 y = f (x) 的拐点 （D） f (x0 ) 不是 f (x) 的极值，(x0, f (x0 )) 也不是曲线 y = f (x) 的拐
1997-2016考研数学二真题
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.（1） 设1(cos 1)a x x =-，32ln(1)a x x =+，3311a x =+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（A ）123,,a a a . （B ）231,,a a a . （C ）213,,a a a . （D ）321,,a a a .（2）已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是（A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩（3）反常积分121x e dx x -∞⎰①，1+201x e dx x∞⎰②的敛散性为 （A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散. （C ）①收敛，②收敛.（D ）①收敛，②发散.（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，求导函数的图形如图所示，则 （A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点. （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点. （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点. （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.（5）设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲线2()y f x =的曲率，则在0x 的某个领域内，有 （A ）12()()()f x f x g x ≤≤（B ）21()()()f x f x g x ≤≤ （C ）12()()()f x g x f x ≤≤ （D ）21()()()f x g x f x ≤≤（6）已知函数(,)xe f x y x y=-，则（A ）''0x y f f -= （B ）''0x y f f += （C ）''x y f f f -= （D ）''x y f f f +=（7）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是 （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（8）设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正、负惯性指数分别为1,2，则（A ）1a > （B ）2a <- （C ）21a -<<（D ）1a =与2a =-二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
考研高数二真题及答案97年到12年
考研数学二真题1997年
一、填空题 1
2、
3. 4、
5、
二、选择题 6、
7、
8.
9、
10、
三、解答题 11、
12、
13、
14、
15、
16、
17、
18、
19、
20、
21、
答案: 一、填空题
2 2 2
dxபைடு நூலகம்
ey
dy ， x 0 、y 0 代入可得， 将 所以 dy dx dx
0 代入可得
x 0
0
x 0
再次求导得 2 d y e y dy e y d y ，再将 x 0 、 y 0 、 dy 2 2
dx
dx
dx
dx
d2y dx 2
2
2
3
e x sin xdx e x sin xdx ex sin xdx ，对 e x sin xdx 做变量代换 t x 得
2 2 2
2
2
3
3
2
2
2
3
e x sin xdx et sin t dt et sin tdt e x sin xdx ，
18、
19、
20、
21、
答案: 一、填空题 1、
2、
3、
4、
5、
二、选择题 6、D 7、C
8、A
9、C
10、B
三、解答题 11、
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x=0
(3) ∫
dx = x(4 − x)
.
∫ (4)
+∞ 0
x2
dx + 4x
+
8
=
.
(5) 已知向量组α1 =(1, 2, −1,1),α2 =(2, 0,t, 0),α3 =(0, −4,5, −2) 的秩为 2,则 t =
.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
α3
方法 2：利用秩的定义.
α1 由于 r = α2
α3
r= ( A)
2,则矩阵 A 中任一三阶子行列式应等于零.
α1 1 2 −1 1
α 2
=
2
0
t
0
,
α3 0 −4 5 −2
应有
1 2 −1 1 2 −1 1 2 −1 2 0 t = 0 −4 t + 2 = 0 −4 t + 2 = 0 , 0 −4 5 0 −4 5 0 0 3 − t
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六、(本题满分 8 分)
设函数 f (x) 在闭区间[0,1] 上连续,在开区间 (0,1) 内大于零,并满足 xf = ′(x) f (x) + 3a x2 ( a 为常数),又曲线 y = f (x) 与=x 1,=y 0 所围成的图形 S 的面积值为 2,求函数 2 y = f (x) ,并问 a 为何值时,图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
2
2
的结论.
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1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)
−1
(1)【答案】 e 2
【解析】由于 f (x) 在 x = 0 处连续,故
= f (0) li= m f (x) x→0
ln cos x
= li= m e x2 x→0
的三个解,求此微分方程.
1 1 −1
(6) 已知 A = 0 1
1
,且
A2
−
AB
= E ,其中
E
是三阶单位矩阵,求矩阵
B
.
0 0 −1
四、(本题满分 8 分.)
2x1 + λ x2 − x3 = 1 λ 取何值时,方程组 λ x1 − x2 + x3 =2 无解,有惟一解或有无穷多解？并在有无穷
4x1 + 5x2 − 5x3 = −1
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1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1)
已知
f
(
x)
=
(cos
x)
x−2
,
x ≠ 0, 在 x = 0 处连续,则 a =
.
a,
x=0
(2) 设 y = ln 1− x ,则 y′′ =
.
1+ x2
多解时写出方程组的通解.
五、(本题满分 8 分)
设曲线 L 的极坐标方程为 r = r(θ ) , M (r,θ ) 为 L 上任一点, M 0 (2, 0) 为 L 上一定点,
若极径 OM 0、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0 , M 两点间弧长值的一 半,求曲线 L 的方程.
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解得 t = 3 .
方法 3：利用线性相关性.
因为 r (α1 ,α2 = ,α3 )
r= ( A)
2,故 α1 ,α2 ,α3
线性相关,
⇔
以 α1T
,α
T 2
,α
T 3
组成的线性齐次方
程组
α1T
x1
+
α
T 2
x2
+
α
T 3
x3
=BX
=0 有非零解,因
=B
= α1T ,α2T ,α3T
1 2 0
α1 1
A=
α
2
=
2
2 0
−1 t
1 0
[2]+[1]×(
→
−2)
1 0
2 −4
−1 t+2
1 −2
α3 0 −4 5 −2
0 −4 5 −2
[3]+[2]×(
→
−1)
1 0
2 −4
−1 t+2
1 −2 ,
0 0 3 − t 0
α1
因为= r ( A) r= α2 2,所以 3 − t= 0, t= 3 .
2
a
= ϕ′(x) 1 f ′(x)(x − a) + 1 ( f (x) + f (a)) − f (x)
2
2
= 1 f ′(x)(x − a) − 1 ( f (x) − f (a))
2
2
= 1 f ′(x)(x − a) − 1 f ′(η)(x − a) (a < η < x) (拉格朗日中值定理)
= 原式
∫= 0+∞ 4 + (dxx+ 2)2
∫1
+∞
d(x + 2) 2
2 0 1+ ( x + 2)2
2
=
1
arctan
x
+
2
+∞
=
1 (π − π )=
π
.
2
2 0 22 4 8
(5)【答案】3
【解析】方法 1：利用初等变换.
以α1 ,α2 ,α3 为行构成 3× 4 矩阵,对其作初等变换：
2
0
−4
−1 t 5
1
0
−2
[2]+[1]×( [3]+[1] [4]+[1]×(
→
−2) −1)
1 0
2 −4
0 −4
[2]×
−
1 4
[3]+[2]×( − t −
[4]+[2]×(−2)
→
2)
1 0
2 1
0
1
,
0 t + 2 5
0 0 −t + 3
0
−2
−2
0 0
0
故 BX = 0 有非零解 ⇔ t = 3 .
b
∫a f (x)= dx, S2
f (b)(b − a) ,
()
(A) S1 < S2 < S3
(B) S2 < S3 < S1
(C) S3 < S1 < S2
(D) S2 < S1 < S3
(3) 已知函数 y = f (x) 对一切 x 满足 xf ′′(x) + 3x[ f ′(x)]2 = 1− e−x ,若 f ′(= x0 ) 0(x0 ≠ 0),
在点 x 可导,且其导数为= dy f ′(u) ⋅ g′(x) 或 d=y dy ⋅ du .
dx
dx du dx
(3)【答案】 arcsin x − 2 + C 或 2 arcsin x + C
2
2
【解析】题目考察不定积分的计算,分别采用凑微分的方法计算如下：
∫ ∫ 方法 1：原式 = = dx
2 + x, x ≥ 0
2 − x2, x < 0 (C)
2 − x, x ≥ 0
2 + x2, x < 0 (D)
2 + x, x ≥ 0
()
三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.)
4x2 + x −1 + x +1
(1) 求极限 lim
.
x→−∞
x2 + sin x
(2)
设y
(1) 设 x → 0 时, etan x − ex 与 xn 是同阶无穷小,则 n 为
()
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(2) 设在区间[a,b] 上 f (x) > 0, f ′(x) < 0, f ′′(x) > 0= , 记 S1
S3
=
1[ 2
f
(a) +
f
(b)](b − a) ,则
七、(本题满分 8 分.)
∫ 已知函数 f (x) 连续,且 lim f (x) = 2 ,设ϕ(x) =
1
f (xt)dt ,求ϕ′(x) ,并讨论ϕ′(x) 的分 8 分)
就 k 的不同取值情况,确定方程 x − π sin x = k 在开区间 (0, π ) 内根的个数,并证明你
=y
1 2
ln(1
−
x)
−
ln(1
+
x2
)
,
y′
= 1 ( −1 2 1− x
−
2x 1+ x2
)
= − 1 2(1 −
x)
−
x 1+ x2
,
y′′ = − 1 2(1− x)2
− 1− x2 (1+ x2 )2
, y′′ x=0
=
−3. 2
【相关知识点】1.复合函数求导法则：
如果 u = g(x) 在点 x 可导,而 y = f (x) 在点 u = g(x) 可导,则复合函数 y = f [g(x)]
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符