教案-初数六年级-整数和整除的意义-兰
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除不尽：数 除以数 （ ≠0），当所得的商是一个无限循环小数时，我们就说数 除不尽数 ，或者说数 不能被数 除尽。
例如 4÷3=1.333……，24÷11=2.1818……，都是除不尽的例子。
5、整除与除尽的区别
整除概念如前，它一般只在整数范围内讨论，并且被除数和除数要求是整数，商必须是“整数而没有余数”；而除尽的情况，并未限制在这一数域范围内，也未规定商必须是“整数而没有余数”。它的被除数、除数（不等于0）和商，既可以是整数，也可以是有限小数，只要除完后没有余数就可以了。
所以我们规定：人们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，即：零和正整数统称为自然数（natural number）；例如 0、1、2、3、4、5、……叫做自然数。
2）整数
在正整数1、2、3、4……的前面添上“–”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。
注意：零既不是正整数也不是负整数。
我们规定：正整数、零、负整统称为整数（integer）
例如 17÷4=4.25，24÷4=6，0.12÷0.04=3，这三个算式的被除数都能被除数除尽。但是能说被除数被除数整除的，却只有一个——24能被4整除。
例题1、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除
1.10÷3 ②.48÷8 ③.6÷4 ④.3.6÷1.8
解 因为10÷3=3……1,
所以10不能被3整除。
现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？
零的性质：
1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。
2）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：飞机零点起飞。
3）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0）
4）任何数与0相加，值不变。
3）0可以表示精确度。如：近似数3.50表示精确到百分之一。
4）0可以作为某些数量的界限。如：数轴上它是界其左边的数（负数）与其右边的数（正数）的界限；在摄氏湿度计上，0上温度与0下温度的分界。
5）表示时间。如：零点，表示半夜十二点。
第二节：整除的意义
1）思考：15名学生要去辰山植物园参加夏令营，他们想分成相等的几个小组进行活动，可以怎样分组呢？
例2、一个数能整除100，又能被10整除，它不能被4整除，那么这个数是多少？请说明理由。
例3、小明将一些鱼平分给3只猫，后来又来了一只猫，小明从每只猫那儿拿走一条小鱼给后来的猫，恰好每只猫得到同样多的小鱼，请问共有几条小鱼？
课后作业：
1、下列算式中表示整除的算式是（ ）
A.9÷18＝0.5 B.6÷2＝3 C.15÷4＝3……3 D.0.9÷0.3＝3
自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。
2、整数
整数；正整数、零、负正整统称为整数。
正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……
负整数：小于0的整数叫负整数。负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。
最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。
3、零
2）观察：下面两组算式卡片中的被除数和除数都是整数，它们的运算结果有仕么不同？
① 24÷2=12 ② 6÷5=1.2
21÷3=7 17÷10=1.7
84÷21=4 35÷6=5……5
第1算式中的商都是，余数为。 第②组算式中的商是，或者。
3）、整除：整数 除以整数 （ ≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数 能被数 整除或 能整除 。
教 师
兰
学 生
上课时间
学 科
数学
年 级
预初
课题名称
整数和整除的意义
教学目标
1、从数的类型认识整数及整数的分类、自然数的意义。
2、从整数的运算结果看、领会、理解整除的意义和条件
重点难点
整除的意义和整除的条件
一、授课内容：
第一节：整数和整除的意义
1、课前阅读：数的产生
你们知道自然数是怎样产生的吗？
自然数是在人类的生产劳动中逐渐产生的。人类是在生产劳动中，形成“有”和“无”的存在概念；“多”和“少”的比较概念的。
7、正整数27能被正整数 整除，写出所有符合条件的正整数 。
8、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数。
9、有3个自然数，其和是37，而且分别填入下式中的3个括号中，满足等式要求：
（ ）+1=（ ）-2=（ ） 4
10、已知：A=2×3×5，B=3×3×5，则A能整除B吗？A和B能同时被哪些数整除？
正整数 负整数 整数 自然数
5、若一个自然数为a（a＞0），则与它相邻的两个自然数可以表示为；已知三个连续的自然数之和是54，则这三个数是。
4、知识总结与拓展:
1、自然数的单位
任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。
任意一个非0自然数 ，都是 个1相加的结果。由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。
2、下列各组数中，均为自然数的是（ ）
A.1.1，1.2，1.3 B.-1，-2，-3 C. ， ， D.2，4，6
3、下列说法正确的是…………………………………………… （ ）
A.最小的整数是0 B.最小的正整数是1
C.没有最大的负整数 D.最小的自然数是1
4、自然数a、b、c，有a=bc，那么下面说法正确的个数有（ ）
5）任何数与0相乘，积等于0。
6）任何数减去0它的值不变。
7）相同的两个数相减，差等于0。
8）0不能作除数。
9）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。
10）0被非0的数除商等于0。
零的作用：
1）表示数位。如：304、0.07中“0”是表示数位的。
2）0可以表示起点。如：刻度尺上的刻度以0为起点。
以后随着社会的发展，数的概念逐渐推广。例如，由于生产的发展，自然数已不能满足需要，因而引人了分数。如，一片草地的一半是 ，一半的一半就是 。
2、自然数和整数的定义
1）、自然数：
在日常生活中，我们数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。用零可以表示没有物体，还可以表示计量过程中某种量的基准数，如0摄氏度。
在长期、重复进行的“有”和“无”、“多”和“少”的存在和比较的过程中，人们逐渐认识到有很多物体的数量集合可以“一一对应”，这些“一一对应”的集合中的物体是同样多的。例如，三头牛和三只羊，在数量上是同样多，人一只手的五个手指，既可以用来表示五个人，也可以用来表示五匹马。于是自然数就从事物集合中被抽象出来，自然数也就产生了。
3、动脑筋，想一想：
1、有多少个自然数呢？是否有最大的自然数? 是否有最小的自然数？
2、是否有最大的正整数或负整数？是否有最小的正整数或负整数呢？如果有，请写出来。
3、是否有最大ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ整数，是否有最小的整数呢？
4．把下列各数填在适当的圈内：
12、 -7、 0、 0.4、 -23、 、 91、 -8.75、 2016
（1）a一定能整除c；（2）a一定能被b整除；（3）b一定能整除a。
A．0个 B.1个 C.2个 D.3个
5、判断：（1）零是整数，但不是自然数； ( )
（2）-1是最大的负整数； ( )
（3） ，则4能被32整除； ( )
（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。 ( )
6、 13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？
课堂练习，巩固提高：
1、在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在（ ）内打“√”，不能整除的打“×”.
72和36 17和34 20和5 0.5和5
( ) ( )( )( )
18和3 19和38 0.2和4 17和3
( )( ) ( ) ( )
2、下列各题中，第一个数能被第二个数整除的有（）个
例如、18÷6=3，我们可以说能被整除；也可以说能整除
确定整除的条件：（三整余零）
1、除数、被除数都是整数；
2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
同学们注意整除和除尽的区别：
4）、除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。
例如 21÷3=7，10÷8=1.25，0.3÷0.4=0.75，等等。
例题2、根据要求把下列算式分别填入圈内：
13
整除 除尽
例题3、动脑筋，想一想
（1）正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。
（2）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个，小马虎统计错了？为什么？
（3）小杰想画一个面积是12的长方形，且这个长方形的长和宽都是整数，你能告诉他符合条件的长方形有几种长和宽吗？
①34、17②3、6③5、2④1.5、0.5⑤18、1
A 1 B 2 C 3 D 4
3、下列说法中正确的是（）
A整数包括正整数和负整数B非负整数是自然数
C若整数m除以整数n恰好能除尽，则m一定能被n整除
D若m÷n余数为0，则n一定能整除m
4、12÷4=3，我们可以说能被整除；也可以说能整除
5、已知29能被正整数a整除，则a可能是（写出所有可能的数）
6、若两个整数a、b都能被不等于0的整数c整除，商分别是m、n
（1）写出上面的两个整除算式
（2）它们的和与差也能被c整除吗？说明理由，并举例说明。
7、有三个自然数，其和为13，讲坛们分别填入下式的括号内，满足等式要求：
（）-1=（）÷5=（）+2，求这三个自然数。
挑战名题：
例1、如果两个整数a、b都能被整数c整除，那么它们的和、差、积也能被c整除吗？为什么？
例如 4÷3=1.333……，24÷11=2.1818……，都是除不尽的例子。
5、整除与除尽的区别
整除概念如前，它一般只在整数范围内讨论，并且被除数和除数要求是整数，商必须是“整数而没有余数”；而除尽的情况，并未限制在这一数域范围内，也未规定商必须是“整数而没有余数”。它的被除数、除数（不等于0）和商，既可以是整数，也可以是有限小数，只要除完后没有余数就可以了。
所以我们规定：人们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，即：零和正整数统称为自然数（natural number）；例如 0、1、2、3、4、5、……叫做自然数。
2）整数
在正整数1、2、3、4……的前面添上“–”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。
注意：零既不是正整数也不是负整数。
我们规定：正整数、零、负整统称为整数（integer）
例如 17÷4=4.25，24÷4=6，0.12÷0.04=3，这三个算式的被除数都能被除数除尽。但是能说被除数被除数整除的，却只有一个——24能被4整除。
例题1、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除
1.10÷3 ②.48÷8 ③.6÷4 ④.3.6÷1.8
解 因为10÷3=3……1,
所以10不能被3整除。
现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？
零的性质：
1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。
2）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：飞机零点起飞。
3）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0）
4）任何数与0相加，值不变。
3）0可以表示精确度。如：近似数3.50表示精确到百分之一。
4）0可以作为某些数量的界限。如：数轴上它是界其左边的数（负数）与其右边的数（正数）的界限；在摄氏湿度计上，0上温度与0下温度的分界。
5）表示时间。如：零点，表示半夜十二点。
第二节：整除的意义
1）思考：15名学生要去辰山植物园参加夏令营，他们想分成相等的几个小组进行活动，可以怎样分组呢？
例2、一个数能整除100，又能被10整除，它不能被4整除，那么这个数是多少？请说明理由。
例3、小明将一些鱼平分给3只猫，后来又来了一只猫，小明从每只猫那儿拿走一条小鱼给后来的猫，恰好每只猫得到同样多的小鱼，请问共有几条小鱼？
课后作业：
1、下列算式中表示整除的算式是（ ）
A.9÷18＝0.5 B.6÷2＝3 C.15÷4＝3……3 D.0.9÷0.3＝3
自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。
2、整数
整数；正整数、零、负正整统称为整数。
正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……
负整数：小于0的整数叫负整数。负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。
最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。
3、零
2）观察：下面两组算式卡片中的被除数和除数都是整数，它们的运算结果有仕么不同？
① 24÷2=12 ② 6÷5=1.2
21÷3=7 17÷10=1.7
84÷21=4 35÷6=5……5
第1算式中的商都是，余数为。 第②组算式中的商是，或者。
3）、整除：整数 除以整数 （ ≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数 能被数 整除或 能整除 。
教 师
兰
学 生
上课时间
学 科
数学
年 级
预初
课题名称
整数和整除的意义
教学目标
1、从数的类型认识整数及整数的分类、自然数的意义。
2、从整数的运算结果看、领会、理解整除的意义和条件
重点难点
整除的意义和整除的条件
一、授课内容：
第一节：整数和整除的意义
1、课前阅读：数的产生
你们知道自然数是怎样产生的吗？
自然数是在人类的生产劳动中逐渐产生的。人类是在生产劳动中，形成“有”和“无”的存在概念；“多”和“少”的比较概念的。
7、正整数27能被正整数 整除，写出所有符合条件的正整数 。
8、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数。
9、有3个自然数，其和是37，而且分别填入下式中的3个括号中，满足等式要求：
（ ）+1=（ ）-2=（ ） 4
10、已知：A=2×3×5，B=3×3×5，则A能整除B吗？A和B能同时被哪些数整除？
正整数 负整数 整数 自然数
5、若一个自然数为a（a＞0），则与它相邻的两个自然数可以表示为；已知三个连续的自然数之和是54，则这三个数是。
4、知识总结与拓展:
1、自然数的单位
任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。
任意一个非0自然数 ，都是 个1相加的结果。由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。
2、下列各组数中，均为自然数的是（ ）
A.1.1，1.2，1.3 B.-1，-2，-3 C. ， ， D.2，4，6
3、下列说法正确的是…………………………………………… （ ）
A.最小的整数是0 B.最小的正整数是1
C.没有最大的负整数 D.最小的自然数是1
4、自然数a、b、c，有a=bc，那么下面说法正确的个数有（ ）
5）任何数与0相乘，积等于0。
6）任何数减去0它的值不变。
7）相同的两个数相减，差等于0。
8）0不能作除数。
9）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。
10）0被非0的数除商等于0。
零的作用：
1）表示数位。如：304、0.07中“0”是表示数位的。
2）0可以表示起点。如：刻度尺上的刻度以0为起点。
以后随着社会的发展，数的概念逐渐推广。例如，由于生产的发展，自然数已不能满足需要，因而引人了分数。如，一片草地的一半是 ，一半的一半就是 。
2、自然数和整数的定义
1）、自然数：
在日常生活中，我们数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。用零可以表示没有物体，还可以表示计量过程中某种量的基准数，如0摄氏度。
在长期、重复进行的“有”和“无”、“多”和“少”的存在和比较的过程中，人们逐渐认识到有很多物体的数量集合可以“一一对应”，这些“一一对应”的集合中的物体是同样多的。例如，三头牛和三只羊，在数量上是同样多，人一只手的五个手指，既可以用来表示五个人，也可以用来表示五匹马。于是自然数就从事物集合中被抽象出来，自然数也就产生了。
3、动脑筋，想一想：
1、有多少个自然数呢？是否有最大的自然数? 是否有最小的自然数？
2、是否有最大的正整数或负整数？是否有最小的正整数或负整数呢？如果有，请写出来。
3、是否有最大ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ整数，是否有最小的整数呢？
4．把下列各数填在适当的圈内：
12、 -7、 0、 0.4、 -23、 、 91、 -8.75、 2016
（1）a一定能整除c；（2）a一定能被b整除；（3）b一定能整除a。
A．0个 B.1个 C.2个 D.3个
5、判断：（1）零是整数，但不是自然数； ( )
（2）-1是最大的负整数； ( )
（3） ，则4能被32整除； ( )
（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。 ( )
6、 13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？
课堂练习，巩固提高：
1、在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在（ ）内打“√”，不能整除的打“×”.
72和36 17和34 20和5 0.5和5
( ) ( )( )( )
18和3 19和38 0.2和4 17和3
( )( ) ( ) ( )
2、下列各题中，第一个数能被第二个数整除的有（）个
例如、18÷6=3，我们可以说能被整除；也可以说能整除
确定整除的条件：（三整余零）
1、除数、被除数都是整数；
2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
同学们注意整除和除尽的区别：
4）、除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。
例如 21÷3=7，10÷8=1.25，0.3÷0.4=0.75，等等。
例题2、根据要求把下列算式分别填入圈内：
13
整除 除尽
例题3、动脑筋，想一想
（1）正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。
（2）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个，小马虎统计错了？为什么？
（3）小杰想画一个面积是12的长方形，且这个长方形的长和宽都是整数，你能告诉他符合条件的长方形有几种长和宽吗？
①34、17②3、6③5、2④1.5、0.5⑤18、1
A 1 B 2 C 3 D 4
3、下列说法中正确的是（）
A整数包括正整数和负整数B非负整数是自然数
C若整数m除以整数n恰好能除尽，则m一定能被n整除
D若m÷n余数为0，则n一定能整除m
4、12÷4=3，我们可以说能被整除；也可以说能整除
5、已知29能被正整数a整除，则a可能是（写出所有可能的数）
6、若两个整数a、b都能被不等于0的整数c整除，商分别是m、n
（1）写出上面的两个整除算式
（2）它们的和与差也能被c整除吗？说明理由，并举例说明。
7、有三个自然数，其和为13，讲坛们分别填入下式的括号内，满足等式要求：
（）-1=（）÷5=（）+2，求这三个自然数。
挑战名题：
例1、如果两个整数a、b都能被整数c整除，那么它们的和、差、积也能被c整除吗？为什么？