图的着色问题 ppt课件
合集下载
chap12 图的着色
点着色的应用
课程安排问题 某大学数学系要为这个夏季安排课程表。所要开设 的课程为：图论(GT), 统计学(S),线性代数(LA), 高等 微积分(AC), 几何学(G)和近世代数(MA)。现有10名 学生(如下所示)需要选修这些课程。根据这些信息， 确定开设这些课程所需要的最少时间段数，使得学 生选课不会发生冲突。(学生用Ai表示）
5
K可着色的图例
v1
1
v2
G
v3 v4
v5
2 3
S
:V(G) →S,满射 是正常3着色，G是3可着色的。
6
K色图
定义12.1.2 图G的正常k着色中最小的k称为G的色
数，记为(G)，即(G)=min{k|G存在正常k着色}。
若(G) =k，则称G是k色图。 显然，含环的图不存在正常着色，而多重边与一条 边对正常着色是等价的。以后总设G为简单图。 问题：已知一个图G(p,q)，如何求色数(G)？
又因k＞0， 所以与(G)定义矛盾。结论成立。 注意此定理与定理12.1.2的区别。 定理12.1.2 若G是一个临界图，则(G) ≤(G)+1
21
Brooks 定理
定理12.1.5 若连通图G既不是奇回路，也不是完全 图，则(G) (G) . 例如，对Petersen图应用Brooks定理，可得： (G) (G) =3 . 此定理说明只有奇回路 或完全图这两类图的色 数才是(G) +1。
第一步：建图。 把每门课程做为图G的顶点，两顶点连线当且仅当 有某个学生同时选了这两门课程。
色给同一时 段的课程顶点染色，那么，问 题转化为在状态图中求点色数 问题。
MA
S
G
AC 选课状态图
LA
图论课件第七章图的着色
顶点着色：给每个顶点分配一个 颜色，使得相邻顶点不同色
全着色：给每个顶点和每条边都 分配一个颜色，使得相邻顶点、 边都不同色
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
边着色：给每条边分配一个颜色， 使得相邻边不同色
部分着色：只给部分顶点和边分 配颜色，部分顶点和边不参与着 色
图的着色应用
图的着色概述
图的着色应用
旅行商问题
定义：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，指的是给定一组城市和每 对城市之间的距离，要求找到访问每个城市一次并返回到原点的最短路径。
应用场景：旅行商问题在许多领域都有应用，如物流、运输、电路设计等。
图的着色在旅行商问题中的应用：通过给城市着色，可以将问题转化为图 的着色问题，从而利用图的着色算法来求解旅行商问题。
图的着色的应用案
06
例
地图着色问题
定义：地图着色问题是一个经典的组合优化问题，旨在为地图上的 国家或地区着色，使得相邻的国家或地区没有相同的颜色。
背景：地图着色问题在计算机科学、数学和地理学等领域都有广泛 的应用。
应用案例：地图着色问题可以应用于许多实际场景，如地图制作、 交通规划、网络设计等。
图的着色在排课问题中的应用：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的着色算 法进行求解，从而得到最优的排课方案
图的着色算法在排课问题中的优势：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的 着色算法进行求解，从而得到最优的排课方案，避免了传统排课方法的繁琐和主观性
图的着色在排课问题中的实际应用案例：以某高校为例，通过运用图的着色算法进行排课， 成功解决了该校的排课问题，提高了排课效率和教学质量
贪心策略：在图的着色问题中，贪心策略是选择与当前未着色顶点相邻的未使用颜色进行着色。
全着色：给每个顶点和每条边都 分配一个颜色，使得相邻顶点、 边都不同色
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
边着色：给每条边分配一个颜色， 使得相邻边不同色
部分着色：只给部分顶点和边分 配颜色，部分顶点和边不参与着 色
图的着色应用
图的着色概述
图的着色应用
旅行商问题
定义：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，指的是给定一组城市和每 对城市之间的距离，要求找到访问每个城市一次并返回到原点的最短路径。
应用场景：旅行商问题在许多领域都有应用，如物流、运输、电路设计等。
图的着色在旅行商问题中的应用：通过给城市着色，可以将问题转化为图 的着色问题，从而利用图的着色算法来求解旅行商问题。
图的着色的应用案
06
例
地图着色问题
定义：地图着色问题是一个经典的组合优化问题，旨在为地图上的 国家或地区着色，使得相邻的国家或地区没有相同的颜色。
背景：地图着色问题在计算机科学、数学和地理学等领域都有广泛 的应用。
应用案例：地图着色问题可以应用于许多实际场景，如地图制作、 交通规划、网络设计等。
图的着色在排课问题中的应用：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的着色算 法进行求解，从而得到最优的排课方案
图的着色算法在排课问题中的优势：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的 着色算法进行求解，从而得到最优的排课方案，避免了传统排课方法的繁琐和主观性
图的着色在排课问题中的实际应用案例：以某高校为例，通过运用图的着色算法进行排课， 成功解决了该校的排课问题，提高了排课效率和教学质量
贪心策略：在图的着色问题中，贪心策略是选择与当前未着色顶点相邻的未使用颜色进行着色。
离散数学PPT课件10着色与对偶图(ppt文档)
不同颜色.
四. 图G的正常着色(简称着色):
1. 对G的每个结点指定一种颜色,使得相邻接的两个结点
着不同颜色. 如果G着色用了n种颜色,称G是 n-色的.
2.对G着色时,需要的最少颜色数,称为G的着色数,记作
x(G) .
3.对G着色方法:(下面介绍韦尔奇.鲍威尔法)
3.对G着色方法:(介绍韦尔奇.鲍威尔法 Welch.Powell) ⑴将G中的结点按照度数递减次序排序,(此排序可能不唯 一,因为可能有些结点的度数相同) ⑵用第一种颜色对第一个结点着色,并按照排序,对与前面 着色点不邻接的每一个点着上相同颜色. ⑶用另一种颜色对尚未着色的点, 重复执行⑵和⑶,直到
⑶当且仅当ek只是一个面Fi的边界时, vi*上有一个环ek* 与ek相交.
v3*
则称图G*是G的对偶图.
v5
F1 v1*
F3
可见G*中的结点数等于
F2 v2*
G中的面数.
二. 自对偶图:如果图G对偶图G*与G同构,则称G是自对偶
图. (如下图) 三.对偶图与平面图着色的关系:
对平面图面相邻面用不同颜 色的着色问题,可以归结到对 其对偶图的相邻接的结点着
有共同的学生在读, 就在两门课程之间连一直线.得到图:
结点度数递减排序:
A
B,C,D,G,A,E,F 对图正常着色后, 标有同一种颜色的 G
课,可以同时考试.安排考试日程: 周一: A 周二: B,F 周三:C,E 周四: D,G
F E
作业 P189 – 8.16 8.17
B C
D
所有结点都着上颜色为止.
B C
例如:结点排序:A,B,E,F,H,D,G,C A
图的着色问题
问题来源
图的着色
通常所说的着色问题是指下述两类问题： 通常所说的着色问题是指下述两类问题： 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色， 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色， 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 为图的边着色问题。 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。 问题称为图的顶着色问题。
化简得
( a + bd )(b + aceg )(c + bdef )( d + aceg )(e + bcdf )( f + ceg )( g + bdf )
求极小覆盖法－ 求极小覆盖法－布尔代数法
Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， 即为X 即为X（G） 但上述子集的颜色数都不是X ），正确的应 但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应 该是X =3，该子集为： {b,d,f}中的 该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色 涂颜色1 {a,e,g}中a,e,g涂颜色 涂颜色2 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的 涂颜色3 中的c {a,c,g}中的c涂颜色3。 由此可见， 由此可见，求色数其需要求极大独立集以 及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子 对于大图， 集，对于大图，因为图计算量过大而成为实 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 一般我们采用贪心法等近似算法来求解 。
《图论》图的着色(课堂PPT)
PK3(3) = 6
19
6.2 色数多项式
a
a
a
b
cb
cb
c
a
a
a
b
cb
cb
c
PK3(3)=6
20
6.2 色数多项式
➢ 若干特殊图的 PG(k) 1) 零图： G=(V, E) ，n=|V|，|E|=0，PG(k)=kn 2) 树：根节点在 k 种颜色中任取，非根节点选取 与其父亲节点不同的颜色。 PG(k)=k(k-1)n-1 3) 完全图： PG(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 4) 非连通图：设图G由不连通的G1和G2构成，则 由乘法原理：PG(k)=PG1(k)PG2(k)
6
6.1 色数
[临界图] G=(V, E)，若对G的任一真子图H均有
(H)<(G)，则称G为一个临界图。
➢ k 色临界图称为 k-临界图。
[性质]
① 任何 k 色图通过对边的反复删减测试最后可以得
到其 k-临界子图。
② 临界图是连通图。
证：设G1、G2为临界图G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}。不妨设 (G)=(G1)，而
① 在图G中任取一边 e； ② 在图G中去掉 e，得新图G1；
在图G中收缩 e 的两端点，得新图G2，由上述有 PG(k) = PG1(k) - PG2(k)
③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为零图。 ④ 利用 n 阶零图的 P(k)=kn 构造图G的色数多项式。
① 若 n=2，则G为 K2，PG(k)=k(k1)=k2k。
② 若 n>2，则G除一个 K2 外其它为孤立点：
PG(k)=k(k1)kn-2=knkn-1。
19
6.2 色数多项式
a
a
a
b
cb
cb
c
a
a
a
b
cb
cb
c
PK3(3)=6
20
6.2 色数多项式
➢ 若干特殊图的 PG(k) 1) 零图： G=(V, E) ，n=|V|，|E|=0，PG(k)=kn 2) 树：根节点在 k 种颜色中任取，非根节点选取 与其父亲节点不同的颜色。 PG(k)=k(k-1)n-1 3) 完全图： PG(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 4) 非连通图：设图G由不连通的G1和G2构成，则 由乘法原理：PG(k)=PG1(k)PG2(k)
6
6.1 色数
[临界图] G=(V, E)，若对G的任一真子图H均有
(H)<(G)，则称G为一个临界图。
➢ k 色临界图称为 k-临界图。
[性质]
① 任何 k 色图通过对边的反复删减测试最后可以得
到其 k-临界子图。
② 临界图是连通图。
证：设G1、G2为临界图G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}。不妨设 (G)=(G1)，而
① 在图G中任取一边 e； ② 在图G中去掉 e，得新图G1；
在图G中收缩 e 的两端点，得新图G2，由上述有 PG(k) = PG1(k) - PG2(k)
③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为零图。 ④ 利用 n 阶零图的 P(k)=kn 构造图G的色数多项式。
① 若 n=2，则G为 K2，PG(k)=k(k1)=k2k。
② 若 n>2，则G除一个 K2 外其它为孤立点：
PG(k)=k(k1)kn-2=knkn-1。
四色问题 四色ppt课件
内容：“任何一张地图只用四种颜色就能使 具有共同边界的国家着上不同的颜色。”
数学语言：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个 区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相 邻的两个区域得到相同的数字。
（相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域 只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。）
精选
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了 肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被人们否定了。
人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图 着色，用五种颜色就够了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。 于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可 与费马猜想相媲美的难题。
精选
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本 上是按照肯普的想法在进行：
1913年美国伯克霍夫：肯普的想法+新的设想证明了某些大的构形可约 1939年美国数学家富兰克林证明了22国以下的地图都可以用四色着色 1950年 ，有人从22国推进到35国 1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色 随后又推进到了50国
精选
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年 的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。
————这种推进仍然十分缓慢。
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问
题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称 四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。
精选
对偶图：把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都
用一条越过边界的铁路连接起来，除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或 边)外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。
数学语言：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个 区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相 邻的两个区域得到相同的数字。
（相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域 只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。）
精选
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了 肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被人们否定了。
人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图 着色，用五种颜色就够了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。 于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可 与费马猜想相媲美的难题。
精选
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本 上是按照肯普的想法在进行：
1913年美国伯克霍夫：肯普的想法+新的设想证明了某些大的构形可约 1939年美国数学家富兰克林证明了22国以下的地图都可以用四色着色 1950年 ，有人从22国推进到35国 1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色 随后又推进到了50国
精选
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年 的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。
————这种推进仍然十分缓慢。
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问
题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称 四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。
精选
对偶图：把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都
用一条越过边界的铁路连接起来，除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或 边)外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。
选修课之四色问题课件
时间表安排
在学校或企业的时间表安排中，为避免同一时间段内的冲突，可以 将时间段视为节点，利用四色定理进行着色，从而合理安排各项活 动。
交通规划
在交通规划中，可以利用四色定理对交通网络进行划分和着色，以便 更有效地组织交通流，降低交通拥堵的风险。
05
课程总结与回顾
课程知识点总结
四色问题的提出与背景
四色学史上的一个著名 难题，其解决过程推动了数学理 论和方法的发展，尤其是图论和
组合数学领域。
实际应用
四色问题的解决方案在地图制作 、电路板设计、时间表安排等方 面有着广泛的应用，提高了这些
领域的效率和优化程度。
计算机科学价值
在证明四色问题的过程中，数学 家们开创了使用计算机辅助证明 数学定理的先河，对计算机科学
• 证明难点：四色问题的证明是数学史上的一个著名难题，难点在于如何找到一 种普遍适用的着色方法，以及如何严格证明该方法的正确性。
• 早期尝试：早期的研究者通过大量的实验和观察，提出了一些猜想和局部证明 ，但均未能给出完整的解决方案。
• 现代证明：借助计算机技术和高级数学理论，Appel和Haken在1976年提出 了一种基于计算机辅助的证明方法，被公认为是四色问题的首个完整证明。但 此方法涉及大量计算和复杂的数学理论，难以被一般人所理解。
相关定理与推论
介绍与四色问题相关的定理和推论， 如五色定理、六色定理等，拓展学生 的视野。
课程学习过程中的回顾与反思
1 2 3
学习方法的探索
回顾在学习过程中尝试的不同方法，如阅读教材 、听讲座、与同学讨论等，分析各种方法的优缺 点。
遇到的挑战与解决策略
反思在学习过程中遇到的挑战，如概念理解困难 、证明过程复杂等，并分享解决这些挑战的策略 。
在学校或企业的时间表安排中，为避免同一时间段内的冲突，可以 将时间段视为节点，利用四色定理进行着色，从而合理安排各项活 动。
交通规划
在交通规划中，可以利用四色定理对交通网络进行划分和着色，以便 更有效地组织交通流，降低交通拥堵的风险。
05
课程总结与回顾
课程知识点总结
四色问题的提出与背景
四色学史上的一个著名 难题，其解决过程推动了数学理 论和方法的发展，尤其是图论和
组合数学领域。
实际应用
四色问题的解决方案在地图制作 、电路板设计、时间表安排等方 面有着广泛的应用，提高了这些
领域的效率和优化程度。
计算机科学价值
在证明四色问题的过程中，数学 家们开创了使用计算机辅助证明 数学定理的先河，对计算机科学
• 证明难点：四色问题的证明是数学史上的一个著名难题，难点在于如何找到一 种普遍适用的着色方法，以及如何严格证明该方法的正确性。
• 早期尝试：早期的研究者通过大量的实验和观察，提出了一些猜想和局部证明 ，但均未能给出完整的解决方案。
• 现代证明：借助计算机技术和高级数学理论，Appel和Haken在1976年提出 了一种基于计算机辅助的证明方法，被公认为是四色问题的首个完整证明。但 此方法涉及大量计算和复杂的数学理论，难以被一般人所理解。
相关定理与推论
介绍与四色问题相关的定理和推论， 如五色定理、六色定理等，拓展学生 的视野。
课程学习过程中的回顾与反思
1 2 3
学习方法的探索
回顾在学习过程中尝试的不同方法，如阅读教材 、听讲座、与同学讨论等，分析各种方法的优缺 点。
遇到的挑战与解决策略
反思在学习过程中遇到的挑战，如概念理解困难 、证明过程复杂等，并分享解决这些挑战的策略 。
图论课件第七章图的着色
总结词
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
图论课件-图的顶点着色
AC
所以， (G) 4
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
注：对图的正常顶点着色，带来的是图的顶点集合的
一种划分方式。所以，对应的实际问题也是分类问题。 属于同一种颜色的顶点集合称为一个色组，它们彼此不 相邻接，所以又称为点独立集。用点色数种颜色对图G 正常着色，称为对图G的最优点着色。
若G1是非正则单图，则由数学归纳，G1是可Δ (G)顶点 正常着色的，从而，G是可Δ (G)正常顶点着色的。
(2) 容易证明：若G是1连通单图，最大度是Δ ，则
(G) (G)
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) Δ (G)≥3
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1), (v3 )=3
v1
v6
v5
(2),C(v4)=3,C C(v4) 1, 2, 4,5, k 1
(1), (v4 )=1
v2
(2),C(v5)=1,C C(v5) 2,3, 4,5, k 2
v
块
块
块
G -v
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由于G本身2连通，所以G-xn的每个仅含有一个割点的块 中均有点与xn邻接。设分属于H1与H2中的点x1与x2，它们与 xn邻接。由于x1与x2分属于不同块，所以x1与x2不邻接。又 因为Δ ≥3，所以G-｛x1, x2｝连通。
第18节图的着色20页PPT
从G中去掉一个顶点v，则G-v有p-1个顶点，
(G-v)≤(G)
由归纳假设G-v是(+1)—可着色的。 但在G中与v相邻的顶点最多有个，与v相邻的顶
点最多用去种颜色，剩下一种给顶点v着色即可. 6
集合与图论
色数的上界
定理3 (布鲁克斯定理) 如果G是一个连通图且不是 完全图也不是奇数长的圈，则G是(G)—可着色的.
对奇数长的圈C2n+1有(C2n+1)=3.
11
集合与图论 边着色的几个结果
定理1 如果p是不为1的奇数，则(Kp)=p. 如果p是偶数，则(Kp)=p-1.
证 (1)证明当p是奇数时，Kp是p边着
色的. 设p是奇数，把Kp的p个顶点安放在正p边形的顶
点上，对正p边形的p个边分别着p个不同色.
而平行于p边形的对角线的边着与这条边同一颜 色，这就得到Kp的一个p—边着色.
集合与图论
问题
问题1 有n项工作，每项工作需要一天的时间完成， 有些工作由于需要相同的人员或设备不能同时进行， 问至少需要几天才能完成所有的工作？
用图描述如下：
用顶点表示工作，如果两项工作需要相同的人员 或设备就用一条边连接对应的顶点。
工作的时间安排对应于这个图的点着色：着同一 种颜色的顶点对应的工作可以安排在同一天，所 需的最少天数正好是这个图的色数。
1
集合与图论
问题
问题2 设星期一有m位老师给n个班上 课，每位老师在同一课时只能给一个班上 课。问：
(1)这一天至少要安排多少节课？
(2)在节数不增加的情况下至少需要多少 教室？
2
集合与图论 图的顶点着色
定义1 图的一种(顶点)着色是指对图的每个顶点 指定一种颜色，使得没有两个相邻的顶点有同一颜色.
(G-v)≤(G)
由归纳假设G-v是(+1)—可着色的。 但在G中与v相邻的顶点最多有个，与v相邻的顶
点最多用去种颜色，剩下一种给顶点v着色即可. 6
集合与图论
色数的上界
定理3 (布鲁克斯定理) 如果G是一个连通图且不是 完全图也不是奇数长的圈，则G是(G)—可着色的.
对奇数长的圈C2n+1有(C2n+1)=3.
11
集合与图论 边着色的几个结果
定理1 如果p是不为1的奇数，则(Kp)=p. 如果p是偶数，则(Kp)=p-1.
证 (1)证明当p是奇数时，Kp是p边着
色的. 设p是奇数，把Kp的p个顶点安放在正p边形的顶
点上，对正p边形的p个边分别着p个不同色.
而平行于p边形的对角线的边着与这条边同一颜 色，这就得到Kp的一个p—边着色.
集合与图论
问题
问题1 有n项工作，每项工作需要一天的时间完成， 有些工作由于需要相同的人员或设备不能同时进行， 问至少需要几天才能完成所有的工作？
用图描述如下：
用顶点表示工作，如果两项工作需要相同的人员 或设备就用一条边连接对应的顶点。
工作的时间安排对应于这个图的点着色：着同一 种颜色的顶点对应的工作可以安排在同一天，所 需的最少天数正好是这个图的色数。
1
集合与图论
问题
问题2 设星期一有m位老师给n个班上 课，每位老师在同一课时只能给一个班上 课。问：
(1)这一天至少要安排多少节课？
(2)在节数不增加的情况下至少需要多少 教室？
2
集合与图论 图的顶点着色
定义1 图的一种(顶点)着色是指对图的每个顶点 指定一种颜色，使得没有两个相邻的顶点有同一颜色.
算法设计与分析课件--回溯法-图的m着色问题
4
5
C
C
n=5, m=3的GCP： 解形式(x1,x2, x3, x4, x5) xi =1(红色), 2(绿色), 3(蓝色)
X3=3
D
9
5.6 图的m着色问题
GCP示例
1
A
AA
A
A X1=1
2
3
X1=1
X1=1 X1=1
B
B
B
B X2=2
4
5
X2=2
C
X2=2
C
C X3=3
n=5, m=3的GCP： 解形式(x1,x2, x3, x4, x5) xi =1(红色), 2(绿色), 3(蓝色)
7
5.6 图的m着色问题
GCP示例
1
AA
A
2
3
X1=1
X1=1
B
B
X2=2
4
5
C
n=5, m=3的GCP： 解形式(x1,x2, x3, x4, x5) xi =1(红色), 2(绿色), 3(蓝色)
8
5.6 图的m着色问题
GCP示例
1
AA
A
A
2
3
X1=1
X1=1 X1=1
B
B
B
X2=2 X2=2
A
X1=1
2
3
B
X2=2 X2=3
4
5
C
X3=3
G
X3=2
n=5, m=3的GCP： 解形式(x1,x2, x3, x4, x5) xi =1(红色), 2(绿色), 3(蓝色)
D
X4=1
E
X5=3
F
H
X4=1
图的m着色问题
图的m着⾊问题问题给定⽆向连通图G和m种颜⾊，⽤这些颜⾊给图的顶点着⾊，每个顶点⼀种颜⾊。
如果要求G的每条边的两个顶点着不同颜⾊。
给出所有可能的着⾊⽅案；如果不存在，则回答“NO”。
解析利⽤回溯法。
涂的时候从颜⾊1开始到m，每当涂上⼀个⾊，要判断第c个点是否可以涂这个⾊，不可以的话就不再往下涂了，改试另⼀个颜⾊，可以的话就继续。
当c>n的时候即前n个点都涂完了，然后输出结果并cout++计数。
设计if(c>n){//如果涂的数⽬⼤于n，则表⽰已经成功涂完输出color数组;return;}for(int i=1;i<=m;i++){color[c]=i;if(点c可以涂){draw(c+1);}color[c]=0;//回溯}分析有n个点，最坏情况下，每个点需要检查每⼀个⼦节点，复杂度为O(mn)，所以总的时间复杂度为O(nm^n)。
源码/*author: kekeproject name:图的m着⾊问题Time Complexity: O(nm^n)*/#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define ll long long#define db doubleconst int maxn = 1010;int n, m, f, t, sum, color[maxn];bool p[maxn][maxn];bool jud(int x) {for (int i = 1; i <= n; i++) {if (p[x][i] && color[x] == color[i]) return false;}return true;}void draw(int x) {if (x > n) {//如果涂⾊数⽬⼤于n，则表⽰已经完成全部涂⾊for (int i = 1; i <= n; i++) cout << color[i] << (i == n ? "\n" : "");++sum;return;}for (int i = 1; i <= m; i++) {color[x] = i;if (jud(x)) draw(x + 1);color[x] = 0;//回溯}}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cout << fixed << setprecision(2);cin >> n >> m;while (cin >> f >> t) { //不断读取图的边，建图if (f == 0 && t == 0) break;p[f][t] = p[t][f] = true; //双向边}draw(1);cout << "总共有" << sum << "种涂⾊⽅案" << "\n";return0; // good job! }。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
PPT课件
3
顶点着色－基本概念
• 独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，若 中任意两个顶点在G中均不相邻，则称S为G的一 个独立集。
• 最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立 集S'，则称S为G的最大独立集。
• 极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K 的任一顶点v，K+v都不是G的独立集，则称K是 G的一个极大覆盖。
先求图G的极小覆盖，
பைடு நூலகம்
化简得
(a bd)(b aceg)(c bdef )(d aceg)(e bcdf )( f ceg)(g bdf )
aceg bc deg bdef bdef bcdf
故G的极小覆盖为 {a,c,e, g},{b,c, d,e, g},{b, d,e, f },{b,c, d, f } 取其补集，得到G的所有 极大独立集： • Step2：求出一切若干极大独立集和所有{b,顶d,点f }的,{a子, f集},{a,c, g},{a,e, g}
但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应 该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的c涂颜色3。
由此可见，求色数其需要求极大独立集以
及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子
集，对于大图，因为图计算量过大而成为实
际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法，
（ii）若G为偶图，则X（G）=2 （iii）对任意图G，有X（G）≤Δ+1（这里Δ表示为顶点 数最大值）
PPT课件
5
顶点着色－求顶色数的算法设计
我们由“每个同色顶点集合中的两两顶点不相邻”可以看出，同色顶 点集实际上是一个独立集，当我们用第1种颜色上色时，为了尽可 能扩大颜色1的顶点个数，逼近所用颜色数最少的目的，事实上就 是找出图G的一个极大独立集并给它涂上颜色1。用第2种颜色上色 时，同样选择另一个极大独立集涂色，...，当所有顶点涂色完毕， 所用的颜色数即为所选的极大独立集的个数。
问题来源
图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用 m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个区域 着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把 相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一个区 域图抽象为一个平面图。
例如，图12-1（a）所示的区域图可抽象为12-1（b） 所表示的平面图。19世纪50年代，英国学者提出 了任何地图都可以4中颜色来着色的4色猜想问题。 过了100多年，这个问题才由美国学者在计算机 上予以证明，这就是著名的四色定理。例如，在 图12-1中，区域用城市名表示，颜色用数字表示， 则图中表示了不同区域的不同着色问题 。
• 布尔恒等式
aa=a
•
a+a=a
• • 如：
(ab bc)(a bd) aba abbd abc+a abbcb=da
ab abd bcd bca bcd
ab bcd
PPT课件
7
求极小覆盖法－布尔代数法
• 例1：求图12-2G的顶色数 解： • Step1：求极大独立集
一般我们采用贪心法等近似算法来求解 。
PPT课件
9
穷举法－Welch Powell着色法
• I．将图G中的结点按度数的递减顺序进行排列
PPT课件
6
求极小覆盖法－布尔代数法
求极小覆盖的方法-布尔代数法：
对于每个顶点v，选择v或者选择v的所有邻 点。首先把“选择顶点v”这个指令记为符号v， 然后对给定的指令x和y，指令“x或y”和“x与y” 分别记为x+y（逻辑和）和x.y（逻辑积）。
• 例如，指令“选择a与b，或者选择b与c”记为 ab+bc。从形式上看，逻辑和与逻辑积类似与集 合的∪和∩，而且关于∪和∩成立的代数法则对 于这两个运算也成立。
当然，上述颜色数未必就是X（G），而且其和能够含所有顶点的极大 独立集个数未必唯一。于是我们必须从一切若干极大独立集的和 含所有顶点的子集中，挑选所用极大独立集个数最小者，其个数 即为所用的颜色数X（G）。
由此可以得算法步骤： Step1：求G图的所有极大独立集； Step2：求出一切若干极大独立集的和含所有顶点的子集； Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小值，即为X（G）。
显然我们可以选用4种颜色给每个顶点涂色，或者选
用3种颜色分别给3个极大独立集涂色，例如为{b,d,f}中
的b、d、f涂颜色1，为{a,f}中的a涂颜色2，为{a,c,g} 中
的c和g涂颜色3，为{a，e，g}中的e涂颜色4。
PPT课件
8
求极小覆盖法－布尔代数法
Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， 即为X（G）
• 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。 V的子集K是G的极小覆盖当且仅当：对于每个顶 点v或者v属于K，或者v的所有邻点属于K（但两 者不同时成立）。
PPT课件
4
顶点着色－基本概念
• K可着色：G的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G各顶点的 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着 色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V分成
PPT课件
1
问题来源
PPT课件
2
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题：
• 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中
的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。
• 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中
的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。
k个（可能有空的）独立集的一个分类(V1,V2,…,Vk)。当G有一个
正常k顶点着色时，就成G是k顶点可着色的。 • G的色数X（G）是指G为k可着色的k的最小值，若X（G）=k，则称G
是k色的。 • 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X（G）
就转为求满足下列条件的最少子集数k： （1）两两子集中的顶点不同； （2）子集中的两两顶点不相邻。 显然有： （i）若G为平凡图，则X（G）=1；