图的着色问题 ppt课件

PPT课件
3
顶点着色－基本概念
• 独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，若 中任意两个顶点在G中均不相邻，则称S为G的一 个独立集。
• 最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立 集S'，则称S为G的最大独立集。
• 极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K 的任一顶点v，K+v都不是G的独立集，则称K是 G的一个极大覆盖。
先求图G的极小覆盖，
பைடு நூலகம்
化简得
(a bd)(b aceg)(c bdef )(d aceg)(e bcdf )( f ceg)(g bdf )
aceg bc deg bdef bdef bcdf
故G的极小覆盖为 {a,c,e, g},{b,c, d,e, g},{b, d,e, f },{b,c, d, f } 取其补集，得到G的所有 极大独立集： • Step2：求出一切若干极大独立集和所有{b,顶d,点f }的,{a子, f集},{a,c, g},{a,e, g}
但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应 该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的c涂颜色3。
由此可见，求色数其需要求极大独立集以
及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子
集，对于大图，因为图计算量过大而成为实
际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法，
（ii）若G为偶图，则X（G）=2 （iii）对任意图G，有X（G）≤Δ+1（这里Δ表示为顶点 数最大值）
PPT课件
5
顶点着色－求顶色数的算法设计
我们由“每个同色顶点集合中的两两顶点不相邻”可以看出，同色顶 点集实际上是一个独立集，当我们用第1种颜色上色时，为了尽可 能扩大颜色1的顶点个数，逼近所用颜色数最少的目的，事实上就 是找出图G的一个极大独立集并给它涂上颜色1。用第2种颜色上色 时，同样选择另一个极大独立集涂色，...，当所有顶点涂色完毕， 所用的颜色数即为所选的极大独立集的个数。
问题来源
图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用 m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个区域 着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把 相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一个区 域图抽象为一个平面图。
例如，图12-1（a）所示的区域图可抽象为12-1（b） 所表示的平面图。19世纪50年代，英国学者提出 了任何地图都可以4中颜色来着色的4色猜想问题。 过了100多年，这个问题才由美国学者在计算机 上予以证明，这就是著名的四色定理。例如，在 图12-1中，区域用城市名表示，颜色用数字表示， 则图中表示了不同区域的不同着色问题 。
• 布尔恒等式
aa=a
•
a+a=a
• • 如：
(ab bc)(a bd) aba abbd abc+a abbcb=da
ab abd bcd bca bcd
ab bcd
PPT课件
7
求极小覆盖法－布尔代数法
• 例1：求图12-2G的顶色数 解： • Step1：求极大独立集
一般我们采用贪心法等近似算法来求解 。
PPT课件
9
穷举法－Welch Powell着色法
• I．将图G中的结点按度数的递减顺序进行排列
PPT课件
6
求极小覆盖法－布尔代数法
求极小覆盖的方法-布尔代数法：
对于每个顶点v，选择v或者选择v的所有邻 点。首先把“选择顶点v”这个指令记为符号v， 然后对给定的指令x和y，指令“x或y”和“x与y” 分别记为x+y（逻辑和）和x.y（逻辑积）。
• 例如，指令“选择a与b，或者选择b与c”记为 ab+bc。从形式上看，逻辑和与逻辑积类似与集 合的∪和∩，而且关于∪和∩成立的代数法则对 于这两个运算也成立。
当然，上述颜色数未必就是X（G），而且其和能够含所有顶点的极大 独立集个数未必唯一。于是我们必须从一切若干极大独立集的和 含所有顶点的子集中，挑选所用极大独立集个数最小者，其个数 即为所用的颜色数X（G）。
由此可以得算法步骤： Step1：求G图的所有极大独立集； Step2：求出一切若干极大独立集的和含所有顶点的子集； Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小值，即为X（G）。
显然我们可以选用4种颜色给每个顶点涂色，或者选
用3种颜色分别给3个极大独立集涂色，例如为{b,d,f}中
的b、d、f涂颜色1，为{a,f}中的a涂颜色2，为{a,c,g} 中
的c和g涂颜色3，为{a，e，g}中的e涂颜色4。
PPT课件
8
求极小覆盖法－布尔代数法
Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， 即为X（G）
• 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。 V的子集K是G的极小覆盖当且仅当：对于每个顶 点v或者v属于K，或者v的所有邻点属于K（但两 者不同时成立）。
PPT课件
4
顶点着色－基本概念
• K可着色：G的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G各顶点的 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着 色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V分成
PPT课件
1
问题来源
PPT课件
2
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题：
• 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中
的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。
• 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中
的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。
k个（可能有空的）独立集的一个分类(V1,V2,…,Vk)。当G有一个
正常k顶点着色时，就成G是k顶点可着色的。 • G的色数X（G）是指G为k可着色的k的最小值，若X（G）=k，则称G
是k色的。 • 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X（G）
就转为求满足下列条件的最少子集数k： （1）两两子集中的顶点不同； （2）子集中的两两顶点不相邻。 显然有： （i）若G为平凡图，则X（G）=1；