2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( )

(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()

233

2lim

x x f x f x x →-= ( )

(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0.

(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若

1n

n u

∞

=∑收敛，则

21

21()n n n u

u ∞

-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞

=∑收敛

(C) 若1

n

n u

∞

=∑收敛，则

21

21

()n n n u

u ∞

-=-∑收敛 (D) 若2121

()n n n u u ∞

-=-∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛

(4) 设40

ln sin I x dx π=

⎰

，4

ln cot J x dx π

=⎰，40

ln cos K x dx π

=⎰，则,,I J K 的大小关

系是( )

(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I <<

(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得

单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则A = ( )

(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 1

21-P P

(6) 设A 为43⨯矩阵，

123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )

(A)

23

121()2

k ηηηη++-

(B)

23

121()2

k ηηηη-+-

(C) 23

121231()()2

k k ηηηηηη++-+- (D)

23

121231()()2

k k ηηηηηη-+-+-

(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )

(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x

(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x (8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,

,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简

单随机样本，则对于统计量11

1n i i T X n ==∑和12111

1n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( )

(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0

lim 13x

t

t f x x t →=+，则()f x '= .

(10) 设函数1x y

x z y ⎛⎫

=+

⎪⎝⎭

，则()

1,1=dz .

(11) 曲线tan 4y

x y e π⎛⎫

++= ⎪⎝

⎭

在点()0,0处的切线方程为 . (12)

曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体

积为 .

(13) 设二次型()

123,,T f x x x x Ax =的秩为1，

x Q y =下的标准形为 .

(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布(,μN

三、解答题：15~23小题，共94分.证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)

求极限0

x →

(16) (本题满分10分)

已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，

()(,,)z f x y f x y =+.求

()21,1z

x y

∂∂∂

(17) (本题满分10分)

求不定积分

(18) (本题满分10分)

证明方程44arctan 03

x x π

-+=恰有两个实根.

(19)(本题满分10分)

设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足

'()()+=⎰⎰⎰⎰t

t

D D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤t

D x y y t x x t t ，

求()f x 的表达式.

(20) (本题满分11分)

设向量组()11,0,1T

α=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T

,

()21,2,3T β=,()33,4,β=T

a 线性表出.

(I)求a 的值 ；

(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. (21) (本题满分11分)

A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

(I) 求A 的所有特征值与特征向量;

(II) 求矩阵A . (22)(本题满分11分)

设随机变量

与的概率分布分别为