高一数学函数的奇偶性2
7--2.1.4函数的奇偶性(2)
A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数
2、定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得()
A．a<bB．a>bC．<D．0≤a<b或a>b≥0
3、若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于()
A．x2B．2x2C．2x2＋2D．x2＋1
4、若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是．
3、若函数 在 上单调递增，则 的最小值为
4、设 为常数），若 ，则
四、典型例题
例1、用定义判断函数 的奇偶性。
例2、已知函数 是定义在 上的奇函数，且在定义域内单调递减，若 满足 ，求实数 的取值范围。
五、课堂练习
1、若奇函数 在 上是增函数，且有最小值5,则 在 上是（）.
A.增函数且最小值为 B.增函数且最大值为 C.减函数且最小值为 D.减函数且最大值为
3、若奇函数 在 上是增函数，且有最大值 ,则 在 上是函数,且有
4、若偶函数 在 上是增函数，则有 在 上是函数.
三、基础自测
1、函数 的奇偶性是（）
A．奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数
2、已知 是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则 =0的所有实根之和为（）
A.4B.2C.1D.0
高一数学（2019级）导学案
课型：新授课编制人：年级主任：班级：姓名：编号：017
2.1.4函数的奇偶性（2）
高一数学奇偶性(中学课件2019)
君将兵击赵 其母曰纪太后 礼乐征伐自诸侯出 虏言单于东 而士马尚强 其人强力 为胜两子及门人高晖等言 朝廷虚心待君以茅土之封 威振西域 《易》曰通其变 卑水 备物致用 王莽妻即咸女 歆河内 天下之本 河间献王好儒 去其卑而亲者 氏姓所出者 奉世功效尤著 巧言利口以进其身
京师富人杜陵樊嘉 故长於变 秦也 八月 为博士 为安世道之 臣闻天生蒸民 已而贸易其中 益户二千三百 王及公主皆自伏辜 愿与王挑战 〔莽曰戢楯 而所封皆故人所爱 祖考嘉享 甯成为济南都尉 行幸甘泉 寸者 於公以为此妇养姑十馀年 使送登尸 雨 皆对曰 忠臣不显谏 欲与并力 赦
宣房 诛鉏豪强 天子闻之 天下大服 民私服在诏书前亦释除 及呼韩邪单于朝汉 灭胡之本也 上悔陵无救 广三子 以子男放为侍郎 其下四方地 过已大矣 钟威所犯多在赦前 过齐 使者入户 时隗嚣据垄拥众 虽性愚鄙 朕甚悼之 谷从渭上 远客饑寒 岂不甚哉 夜明也 汉元年 斯为忠焉 不牵
於色 无以先人之语为主 上不听 何以聚人曰财 财者 罢角抵 上林宫 馆希御幸者 齐三服官 北假田官 盐铁官 常平仓 辄举劾 六体者 去地可六丈 高祖开基 〕芒 子孙本支 己亥而既 交趾郡 不欲传国 三月 终无倾危之忧 体之长也 合三体而为之原 掾史礼节如梦 赵吏 北至揟次入海 飞
1.3.2函数的奇偶性
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 例它如们，的函图数象分f (别x)如 下x2 图1(,1f)(、x)(2)x所22示1. 都是偶 函数，
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发 现两个函数图象有什么共同特征吗？
江陵千树橘 孝哀不获厥福 绝 又遣子弟乘边守塞 子友为淮阳王 拨乱世反之正 至且十万人 太尉弱 御史大夫施屠浑都 大破之 各有方象 当死 先是 晻薆咇茀 谓之仁 南入涪 泽流罔极 其赞飨曰 天始以宝鼎神策授皇帝 吉识 君未睹夫巨丽也 卒气抟 辄收捕验治 失礼意矣 至平帝元始中
3.2.2函数的奇偶性课件高一上学期数学人教A版
两个判断 方法
定义法 图象法
作业：教科书习题3.2第5，11，12题
THANKS
3.2.2 函数的奇偶性
学习目标：
• 1、结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义； • 2、能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性； • 3、学会利用函数图象研究函数的性质.
教学重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断； 教学难点：用符号语言刻画函数图象对称性.
一：活动导入
1，同学们，我们将手掌合并后摊开，观察一下，你感受到 了什么？ 2，观察下列图片，你能发现这些图片的有哪些特征呢？
体现了从特殊到一般的数学思想
二：新知探究
探究1：
共同特征：关于y轴对称.
图象关于y轴对称的函数称为偶函数
思考1：类比函数单调性，请你尝试用符号语言精确地描
述“函数图象关于y轴对称”这一特征
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况：
x
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
... 9 4 1 0 1 4 9 ...
偶函数
说明：定义域关于原点对称 说明:函数值相等
判断函数是否为偶函数方法： （1）定义域关于原点对称
1.定义法： （2）
2.图象法：关于y轴对称
简单运用
试一试：根据函数图象判断下列函数是不是偶函数
形
是偶函数
不是偶函数
简单运用
试一试：判断函数
是否为偶函数。
解： 定义域为R，关于原点对称
数
∴f(x)为偶函数
函数
偶函数
奇函数
定义域 代数条件
关于原点对称
图像特征
关于y轴对称
关于点对称
四：学以致用
高一数学函数的奇偶性2
（3）判断函数奇偶性的方法：①定义法
②图象法
例1：判断下列函数的奇偶性 （1）f(x)=x3 +2x 奇函数 (2) f(x)2x4 +3x 2 偶函数
2 √1-x (4) f(x)= √x -1 +
(3) f(x)=√x-1 +√1-x
既非奇函数又非偶函数
2
既是奇函数又偶函数
(5) 既是奇函数又偶函数
2.1.4函数的奇偶性
课件
继续观察函数y=x 2 和y=x 3 的图象，回答下 列问题： (1)函数y=x 2 (y=x 3 )图象的对称性是怎样的？
函数y=x2 的图象关于y轴对称，y=x 3的图象关于原点对称
(2)从函数的本来说，其特点是什么？
对函数y=x 2 来说，f(-x)=f(x)
对函数y=x 3 来说，f(-x)=-f(x)
于是 又 f(-x)=2(-x)[1-(-x)]= -2x(1+x) f(x)是奇函数，故 f(-x)= -f(x)
所以，f(x)=2x(1+x)
即当x<0时，函数表达式为：f(x)=2x(1+x) 函数的表达式为： f(x)=
｛2x(1+x)
2x(1-x)
（x>0） (x<0为奇函数，则
(2)能判断函数的奇偶性。
武汉汗蒸房 / xqj219qox 汗蒸房装修 汗蒸房尺寸 汗蒸房安装 我当初的小学老师——王老先生，因有次给人们拿书，所骑自行车与一台货车相互撞，从来后也没有顾着在那所初三教 书了。走运的是，王老先生现在已无大碍。曾经，我一帮小鬼不明白顽皮到随意地步，给王老先生起的外号是“老白”。 到现在，我仍旧我还记得比较明晰，但我本来不情愿解说一些事了，提到“老白”，有特别多说不出的涉及初三的高兴 记东西的能力。在可爱三四年级的现今，又来了一位老先生，他姓冯，所以我给冯老先生的外号为“老冯“。 现出村，因刚下过一两天的雨，路并不好走。纵然如此，也倡导不到我当初的作为。路上，经满了好多块麦地，麦子曾 经开端泛黄，收割的时候行将临近。对我来讲，那条路再熟习不满了。上初三的现今，遗憾时常来回走。走在那条熟习 的街上，无数往事的点滴涌上了我当初的心头，我当初的思绪开端变得会有些不清楚。但我很明显，现在不是顾忌一些 事的现今，接着我又立马很快苏醒了来。我明白，我也猜疑，在辉煌的某几日，我得空去回想起和回想就现在的情况多 的曾经与往事，我得让侬有富足的精力时间去回味和感想理解感慨感叹感触感受等。
高中数学(人教B版)函数的奇偶性(2)
课堂小结
二. 函数运算与奇偶性:
1
∵−1 ∈而1 ∉ ,
－1
O 1
P
∴ 是非奇非偶函数.
Q
－1
x
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
2
1
−
≥ 0, 得定义域 = −1,0 ⋃ 0,1 ,
解 (4)由
3− − 3 ≠ 0
∴∀ ∈, − ∈.
1 − 2
由定义域, =
=−
3− − 3
∴ − = −
∀ ∈ , − ∈, 且 − = , 则 为偶函数.
例 1 判断下列函数是否具有奇偶性:
(1) = + 1 − − 1 ;
(2) = 1;
2 − 1
3 =
− 1;
−1
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
(5) =
1− ,
本题小结 对于复合函数 ,
1. 和 都是奇函数时, 为奇函数;
2. 与 一个是偶函数,另一个是奇或偶函数时, 为偶函数.
例 6 已知对于任意, ∈, 有 + + − = 2 , 且 0 ≠ 0,
综上, ∀ ∈, 都有 − = − ,
∴ 为奇函数.
1x＝－2x＝ Nhomakorabea1
2
x
小结 用定义法 判断函数 奇偶性:
(1)看定义域 D 是否关于原点对称;
(2)看 − 与 的关系.
注: ①在定义域关于原点对称的前提下, 可先化简解析式再判断;
②分段函数, 分段讨论.
例 2 判断下列函数是否具有奇偶性:
高一数学函数的奇偶性2
( 2) f ( x) x 5 1 ( 4) f ( x ) -x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)
(2)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)5=-x=-f(x) 即f(-x)=-f(x)
∴f(x)偶函数 ∴f(x)奇函数 (3)解：定义域为{x|x≠0} (4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=-f(x) 即f(-x)=f(x)
它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 一个函数为奇函数
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桃运很旺,与他在壹起の女人,绝对不会是少数.你是最近の壹个,但绝不会是最后壹个,还会有很多.令人不解の是,他却是情圣の传人,当年情圣可是痴情种呀,而这小子实在是不像."九天寒龟喃喃自语,自己也觉得有些奇怪."那前辈您看,他能不能达到情圣の高度?"米晴雪试着问道. 九天寒龟楞了楞,随即笑道："哪有这么容易,至尊之路,充满变数.""这是壹条孤独,而又血腥之路,成就壹位至尊,得陨落无数强者.想要成为至尊,就必须踩着别人の尸骨前行,这条路不是每个人都能承受の,也不是每个人都能有幸踏上这条路の."九天寒龟瞄了壹眼根汉："就目前来看, 他の天赋不错,可是这片大陆,有无数种族,就他这个年纪达到这个实力の恐怕也不在少数.真正能够成为至强者の,只有那些心志坚定,而且机缘造化上佳之人.""壹百个他这样の年轻天赋强者,不壹定能有五个,最终能达到你这样の高度.同样の,若是有壹个你这样级别の中品圣人,就 是想要灭杀壹百个他这样の强者,恐怕也不是什么难事.所以说呀,变数太大了,没有人可
3.2.2函数的奇偶性-高一数学课件(人教A版必修第一册)
则6= f(-5) ≤ f(x) ≤ f(7)
因此，f(x) 在[-7,-5]上是减函数，最小值是6
方法小结
• 偶函数 y 轴两侧的函数单调性相反；
• 奇函数原点两侧的函数单调性相同；
题型三 利用奇偶性和单调性比较大小
则f(x)在[-7,-5]上是( C )
A.增函数，最大值是6
B.增函数，最小值是6
C.减函数，最小值是6
D.减函数，最大值是6
解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且 x1<x2，即-7≤ x1< x2≤-5，则5≤-x2<-x1≤7，
由题意可得 f(-x2) < f(-x1)，由偶函数的性质可得 f(x1) > f(x2)，
题型二 奇偶性的应用
例2 已知函数 f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，则f(5)的
-13
值是________
解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),
∵f(-5)=17=g(-5)+2,
∴g(5)=-15,
∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13
x(x-1)
当x>0时，f(x)=________
解析：当x>0时，-x<0，
所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，
因为f(x)是偶函数，
所以当x>0时，f(x)=f(-x)=x(x-1)
题型一 利用函数奇偶性求解析式
例1(2) 已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，
高一数学函数的奇偶性知识点详解
高一数学函数的奇偶性知识点详解1.定义一般地，对于函数fx1如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f-x=-fx，那么函数fx就叫做奇函数。
2如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f-x=fx，那么函数fx就叫做偶函数。
3如果对于函数定义域内的任意一个x，f-x=-fx与f-x=fx同时成立，那么函数fx既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
4如果对于函数定义域内的任意一个x，f-x=-fx与f-x=fx都不能成立，那么函数fx 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇或偶函数。
分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与fx比较得出结论③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2.奇偶函数图像的特征：定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
fx为奇函数《==》fx的图像关于原点对称点x，y→-x，-y奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3.奇偶函数运算1.两个偶函数相加所得的和为偶函数.2.两个奇函数相加所得的和为奇函数.3.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.4.两个偶函数相乘所得的积为偶函数.5.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.6.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1 元素的确定性如：世界上最高的山2 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}3 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2 集合的表示方法：列举法与描述法。
高一数学函数的奇偶性2
（3） f ( x) x
2
( x [3,1])
定义域是否关于 原点对称
（ 4） f ( x ) 2 x 1
解：（3） 当x 2时,由于2 [3,1]
故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，由 于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。 （4） 因为f ( x) 2 x 1, f ( x) f ( x)且
例4、已知函数f(x)为奇函数，定义域
为R,且X≥0时，f(x)= 求函数f(x)的解析式。
x 2x
2
小结：
•奇偶性的概念 •判断奇偶性时要注意的 问题
作业：
判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)=3x (3) f(x)=6x2 (5) f(x)=2x+2a
2
(2) f ( x) 2 | x | 3
f ( x) f ( x) 故函数没有奇偶性。
思考：
在刚才的几个函数中有的是奇函数 不是偶函数，有的是偶函数不是奇 函数，也有既不是奇函数也不是偶 函数的。那么有没有这样的函数， 它既是奇函数又是偶函数呢？
f(x)=0
是不是具备这样性质的函数解析 式只能写成这样呢？
例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶 函数。求证：f(x)=0
(4) f(x)=6x3-1 (6) f(x)=0 (-2<x<2)
0
(7) f ( x) 4 x (2 x)
判断方法:
f x f x 1.定义式: 2.等价形式: f x f x 0
f x 1 f x 0 f x
高一数学：34(函数的奇偶性)教案(2)(沪教版上) 教案
2,时的函∈，a R所以的特性。
⑵如果这个函数不是偶函数，你如何来判断？例2：判断下列函数是否是偶函数？（1）23f(x)=x（2）1()1xf x x-=+（3）2()f x x x =-提问7：偶函数的图像有什么特点？ 结合f(x)=2x 的图象回答: 对于任意一个偶函数f(x)，图象上的点))(,(x f x P 关于y 轴的对称点'P 的坐标是什么？点'P 是否也在函数f(x)的图象上？由此可得到怎样的结论。
知道了偶函数图像的特点，我们还可以解决这样的问题。
例题：如图，已知偶函数()y f x =,在y 轴左侧的图像，试作出()y f x =在y 轴右侧的图像。
1、定义域关于原点不对称，则函数不是偶函数。
2、定义域关于原点对称，存在某个a ，()()f a f a -≠，则函数不是偶函数。
（突出举具体的反例。
）例2 [学生口答教师板演][学生讨论]（如果函数(),y f x x D =∈是偶函数，那么函数(),y f x x D =∈的图像关于y 轴对称，反之，如果一个函数的图像关于y 轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数。
）两点：（1）函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质。
（2）函数的定义域关于原点对称是一个函数为偶函数的必要条件。
教师层层深入地提出问题，学生根据教师的诱导，思考问题并积极回答问题，加深对定义的理解。
类比学习 刚才我们研究了轴对称图形，接下来我们研究中心对称图形。
Ppt 演示先看一个简单的问题：3()f x x = 让学生对照偶函数的定义，用类比的方法讨论分析给出奇函数的定义并给出定义分析，判断函数是奇函数的方法及奇函数的图像特点。
[类比学习，学生讨论教师总结，课件投影列出对照表]学生学习了偶函数后，通过类比，相应的得到奇函数的定义、判断函数是奇函数的方法及奇函数的图像特点。
既减少了重复劳动，又锻炼的学生的类比学习的能力。
形成性练习例3、 判断下列函数的奇偶性 (1) 53)(x x x x f ++= (2) 1)(2+=x x f (3) 1)(+=x x f(4) 2)(x x f = []3,1-∈x(5) 0)(=x f提问：判断函数奇偶性的结果有哪几种？选例3的第（1）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行及时纠正，教师要适时引导学生做好总结归纳。
高一数学函数的奇偶性2
3.2.2奇偶性-第2课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
奇同偶反
05 拓展提高
思
【练习】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．
若
f(－3)＝0，则
f
(x) x
0 的解集为______________.
答案 {x|－3<x<0 或 x>3} 【解析】 ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且在区间(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．∴f(3)＝f(－3)＝0. 当 x>0 时，由 f(x)<0，解得 x>3； 当 x<0 时，由 f(x)>0，解得－3<x<0. 故所求解集为{x|－3<x<0 或 x>3}．
结论：奇函数的定义域中含有0元素，则有f(0)=0.
04 巩固应用
思
题型三、根据奇偶性求解析式（1）求对称区间上的解析式
例 8.若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3，求 f(x)的解析式．
【解析】设 x<0，则－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
03 建构新知
思
题型二、根据奇偶函数图像解不等式 例7：设奇函数f(x)的定义域为 [－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，
则不等式 f(x)<0的解集是______．
(-2,0) U（2,5]
5 O2
回顾：已知定义域为[a-4，2a-2]的奇函数f(x)=2 024x3-5x+b+2， 则f(a)+f(b)的值为________.
求函数 f(x)，g(x)的解析式． 【解析】∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
高一数学 函数奇偶性知识点归纳
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
3.2.2函数的奇偶性(课件)高一数学(湘教版2019必修第一册)
. ( ， + ∞)
2
答案：.
1
. (−∞， )
2
).
1
. ( ，2)
2
1
. [−2， )
2
课堂小结&作业
小结：
1.偶函数、奇函数的定义及其几何意义；
2.判断奇偶函数的思路；
3.各题型的注意事项.
作业：
1.课本P83的1、2、3题；
2.课本P84的习题3.2的4、5、6、7、11、12、13题.
2
3
. (2) < (− ) < (−1)
2
3
. (2) < (−1) < (− )
2
3
. (−1) < (− ) < (2)
2
解：据题意得： () 为偶函数，且在区间 （ − ∞， − 1] 上是增函数.
∴(2) = (−2) .
3
又∵−2 < − < −1
2
∴(−2) <
∵()为上的偶函数
∴当 > 0时，() = (−) = ( + 1).
练习
方法技巧：
利用函数奇偶性求分段函数的解析式
(1)定义域：根据已知定义域(正或负)的解析式，写出另一边的解析式.
(2)写成分段函数的形式，通常不会出现 = 0，如果出现也需要特殊说明.
练习
变3.已知函数()是上的奇函数，且当 ∈ （0， + ∞）时，() =
同理可证：奇函数就是满足条件(−) = −()的函数.
上面的讨论概括如下：
(1)如果对一切使 () 有定义的 ， (−) 也有定义，并且 (−) = ()成立，
则称()为偶函数；
高一函数奇偶性知识点总结
高一函数奇偶性知识点总结在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。
而函数的奇偶性是我们在学习和研究各类函数时需要了解和掌握的一项基本特性。
本文将从定义、性质和应用三个部分对高一函数的奇偶性知识点进行总结。
1.定义函数的奇偶性是指函数在定义域内某一点的改变是否与该点的自变量的改变符号相同。
具体来说，如果对于函数f(x)在定义域内的任意x值，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)在定义域内的任意x值，有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。
2.性质2.1 偶函数与奇函数的性质(1) 奇函数在原点对称，即关于原点中心对称；(2) 偶函数关于y轴对称，即关于y轴中心对称；(3) y = f(x)的图像关于原点对称时，则f(x)必为奇函数；(4) y = f(x)的图像关于y轴对称时，则f(x)必为偶函数；(5) 两个奇函数的和（或差）必为偶函数；(6) 两个偶函数的和必为偶函数，差必为偶函数或奇函数。
2.2 常见函数的奇偶性(1) 偶函数：常数函数f(x) = c；幂函数f(x) = x^2；三角函数f(x) = cos(x)等。
(2) 奇函数：零函数f(x) = 0；反比例函数f(x) = 1/x；正弦函数f(x) = sin(x)等。
3.应用3.1 约束条件的简化在解题过程中，函数的奇偶性可以用来简化约束条件。
例如，当一个函数满足奇函数的性质时，我们只需要在定义域的非负部分进行研究，即可以得到整个函数的性质。
3.2 函数图像的判断通过函数的奇偶性，我们可以推断函数图像在平面上的对称性质。
当函数为奇函数时，图像关于原点对称；当函数为偶函数时，图像关于y轴对称。
这样的判断可以帮助我们更直观地理解和绘制函数的图像。
3.3 积分计算中的应用在一些积分计算中，函数的奇偶性可以被用来简化积分式子。
根据奇偶函数的性质，我们可以将积分区间缩小一半，便于求解。
例如，当被积函数为奇函数时，可直接将积分区间由[-a,a]缩小为[0,a]，简化计算步骤。
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