二次函数中面积计算问题

专题 二次函数中的面积计算问题

例1. 解答下列问题：

如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB

；

（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △P AB ＝8

9

S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

思路分析 此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一

种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2

1

=

∆即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，

答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y 1＝

a (x －1)2

＋4(a ≠0)．把A (3，0)代入解析式求得a ＝－1，

∴抛物线的解析式为y 1＝－(x －1)2＋4，即y 1＝－x

2

＋2x ＋3．

设直线AB 的解析式为y 2＝kx ＋b ，

由y 1＝－x

2

＋2x ＋3求得B 点的坐标为(0，3)．把A (3，0)，B (0，3)代入y 2＝kx ＋b ，解得

k ＝－1，b ＝3．

∴直线AB 的解析式为y 2＝－x ＋3． （2）∵C (1，4)，∴当x ＝1时，y 1＝4，y 2＝2．

∴△CAB 的铅垂高CD ＝4－2＝2． S △CAB ＝

2

1

×3×2＝3(平方单位)． （3）解：存在．

设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ． 则h ＝y 1－y 2＝(－x

2＋2x ＋3)－(－x ＋3)＝－x

2

＋3x

由S △P AB ＝89S △CAB 得：21×3×(－x

2＋3x )＝8

9

×3．

整理得4x

2

－12x ＋9＝0，解得x ＝

2

3

． 把x ＝

23代入y 1＝－x

2＋2x ＋3，得y 1＝4

15

．

图2

∴P 点的坐标为(

23，4

15

)． 例2. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°得到△COD （点A 转到点C 的位置），抛物线y ＝ax

2

＋bx

＋c (a ≠0)经过C 、D 、B 三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为P ，求△P AB 的面积；

（3）抛物线上是否存在点M ，使△MBC 的面积等于△P AB 的面积？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和△PAB 的面积很容易求出。第（3）问是二次函数中常见的动点问题，由于点M 是抛物线上的一个不确定点，点M 可以处于不同的位置，是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。 答案:（1）由题意知C （－2，0），D （0，4）．

∵抛物线经过B （4，0），C （－2，0）．∴可设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4) 将D （0，4）代入上式，解得a ＝－2

1

． ∴该抛物线的解析式为y ＝－2

1

(x ＋2)(x －4) 即y ＝－2

1x 2

＋x ＋4． （2）∵y ＝－

21x

2＋x ＋4＝－21(x －1)2＋2

9

． ∴抛物线的顶点P 的坐标为（1，

2

9

）． 过点P 作PE ⊥y 轴于点E ，如图． 则S △P AB ＝S 四边形PEOB －

S △AOB －

S △PEA

＝21×(1＋4)×29－21×4×2－21×(29

－2)×1＝6．

（3）假设存在这样的点M ，其坐标为M （x ，y ）．

则S △MBC

＝2

1

| y

|×6＝S △P AB ＝6

即2

1

| y

|×6＝6，∴y ＝±2． 当y ＝2时，－

21(x －1)2

＋2

9＝2，解得x ＝51 ；

当y ＝－2时，－

21(x －1)2＋2

9

＝－2，解得x ＝131 ． ∴存在点M ，使△MBC 的面积等于△P AB 的面积，其坐标为：

M 1（51＋，2），M 2（51－，2），M 3（131＋，－2），M 4（131－，－2）．