第5章 微分方程模型

服或静脉注射的，并且 被血液吸收需要时间。 同时药物将由肾排除 出。给出这种情况的药 物动力学模型。下列是 一些关于药物动态的数 据。第一种药物是磺胺
O 4.0 2.3 2.7 3.6 3.0 — 2.0 — — O 40. 1.8 2.8 3.9 3.5 2.6 2.2 — — I 1.8 3.8 3.4 2.6 2.1 — — — — I 1.8 3.7 3.3 2.7 2.3 — — — — O 10 5.0 — — 14.4 — — 15.712.5 I 10 39.4 — — 31.4 — — 24.216.2 I 201 56.7 — — 43.0 — — 35.226.6
256 188 91 85
面积/km2
水面 流域陆地
82367 58015 2566 19684 124838 117845 58793 70448
如果流入安大略的水有 5/6是伊利湖流出的，对 它们的污染情况给出进 一步的分析。
假设除去控制不了 由伊利湖自安大略湖的 流动外，流入伊利湖和 安大略湖的所有污染都 暂时被停止了。试计算
(1)比较Logistic模型与Gompertz模型：，其中、N、分别是细胞 数、极限值，、参数．
(2)说明上述两个模型是Usher模型：的特例． 13. 药物动力学中的 Michaelis-Menton 模型为（），表示人 体内药物在时刻的浓度．研究这个方程的解的性质. （1）对于很多药物(如可卡因)，比大得多，Michadis-Menton方程 及其解如何简化． （2）对于另一些药物(如酒精)，比大得多，Michaeli-Menton方程 及其解如何简化．
时间 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00 5.25 5.50 5075 6.00 6.25 6.25 6.75 （分）
头部记531 471 417 369 326 288 255 255 199 175 155 137 数率
呼出记25 17 12 8 6 4 3 2 1 1 1 1
数率
（2）证明你的模型有某种周期性质。如果它不是，就加以修改， 因为麻疹流行肯定是趋于周期式地出现的。
（3）估计你的模型中的参数以拟合0.5周期的潜伏期及2年的周期 流行的观察结果。估计出的参数值是否实际？
16. 用放射性同位素测量大脑局部血流量的方法如下：由受试者吸 入含有某种放射性同位素的气体，然后将探测器置于受试者头部某固定 处，定时测量该处的放射性记数率（简称记数率）同时测量他呼出气的 记数率。
15. 构造一个在接种疫苗成为有效防疫手段之前一种传染病蔓延如 麻疹的模型。麻疹的潜伏期为0.5周，在这段时间内一个被感染的孩子 表面上看来是正常的，但却会传染给别人。过了这段时间后，患病的孩 子一直隔离到病愈为止。病愈后的孩子是免疫的。粗略地说，麻疹流行 隔年更为严重。
（1）构造一个适用于三种情况的简单的微分方程模型：容易感染 的、传染的以及被隔离（或痊愈）。也适用于由于出生而大量增加易感 染者的情况。假设每个感染者随机地与居民接触，并以概率P传染给被 感染者。
时间 7.00 7.25 7.50 7.75 8.00 8.25 8.25 8.75 9.00 9.25 9.50 9.75 （分）
头部记121 107 94 83 73 65 57 50 50 39 35 31 数率
呼出气1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0
0
记率
试建立确定血流系数的数学模型并计算上述受试者的脑血流系数。
三、习题 1. 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus增长模型
其中以分钟计。在时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕 杀鲑鱼的速率是，其中是时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意 外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus模型。 （2）假设在是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 ，并问时会发生什么情况？
新成员不断地补充，根据这一假设，试建立数学模型并解释这一现象。
20. 在北美的五大 湖中，安大略湖处于伊 利湖的下游，但安大略 湖不仅接受伊利湖来的 水，还要接受非伊利湖 流入的水。试建模描述 这两个湖的污染情况。
特 征 苏比湖利尔密执安湖伊利湖安大略湖
长度/km
560 490 385 309
宽度/nm
2. 用具有放射性的测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层 产生中子，中子与氮结合产生。植物吸收二氧化碳时吸收了，动物食用 植物从植物中得到。在活组织中的吸收速率恰好与的衰变速率平衡。但 一旦动植物死亡，它就停止吸收，于是的浓度随衰变而降低。由于宇宙 线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时的衰变速率与现在取 的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生物标本现在 的衰变速率，由于的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建 立用测古生物年代的模型（的半衰期为5568年）。
3. 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期 销售量的情况，如何确定模型的参数。
4. 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们 的生长模型。
二、思考题 1、具有什么样特征的数学建模问题需要用微分方程方法建立模型？ 2、用微分方程方法建立数学模型的基本步骤是什么？应注意哪些问 题？ 3、某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约 有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？
为鱼重，则此种鱼的售价为 （7）该池内只能投放鱼苗。 10. 人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜
与需要带走废物的血管相通．如下图，人工肾中通以某种液体，其流动 方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工 肾．
设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与 它在这两种液体中的浓度差成正比。人工肾总长．建立单位时间内人工 肾带走废物数量的模型．
3. 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代： （1）1950年从法国Lascaux古洞中取出的碳测得放射性计数率为 0.97计数（），而活树木样本测得的计数为6.68计数（），试确定该洞 中绘画的年代； （2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为 4.09计数（），活数标本为6.68计数（），试估计该建筑的年代。 4. 一容器用一薄膜分成容积为和的两部分，分别装入同一物质不 同浓度的溶液。设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩 散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。试建立 描述容器中溶液浓度变化的数学模型。设，每隔100s测量其中一部分溶 液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626， 650，659，单位为。试建立扩散系数，并决定2h后两部分中溶液的浓度 各为多少。 5. 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增 加，其销售量的下降速度与成正比。广告宣传可给销售量添加一个增长 速度，它与广告费成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和 的部分（设饱和量为）。建立销量的模型。若广告宣传只进行有限时 间，且广告费为常数，问如何变化？ 6. 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型 （1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用 新技术的人数成正比，推广是无限的。 （2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减 少而降低。 （3ຫໍສະໝຸດ Baidu在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。 7. 假设某生物种群的增长率不是常数，它以某种的方式依赖于环 境的温度。如果已知温度是时间的函数，试给出初始为的生物种群的增 长模型。证明种群以指数增长系数而增长或衰减，即，这个增长系数等 于时间依赖增长的平均值。 8. 一群体的增长受自限规律制约。设在一定环境下该群体的生存 极限数为，当群体中生物很少时，每40mm增加一倍。若开始时动物分别 为和，求2h后群体中动物的总数。 9. 某地有一池塘，其水面面积约为，用来养殖某种鱼类。在如下 的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。 （1）鱼的存活空间为； （2）每鱼每需要的饲料为，市场上鱼饲料的价格为； （3）鱼苗的价格忽略不计，每鱼苗大约有500条鱼； （4）鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长 成为鱼，成鱼的重量为； （5）池内鱼的繁殖与死亡均忽略；
由于动脉血将肺部的放射性同位素输送到大脑，使脑部同位素增 加，而脑血流量又将同位素带离，使同位素减少。实验证明脑血流引起 局部地区记数率下降的速度与当时该处的记数率成正比。其比例系数反 映该处的脑血流量，被称为血流量系数。只要确定该系数即可推算出脑 血流量。动脉血从肺部输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速度与 当时呼出的记数率成正比。
总和
207200 175860 84459 90132
最大深度/m 406 281 60 244
第5章 微分方程模型
一、讨论题 1. 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，
此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂 肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量 41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？
2. 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存 的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性 物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间放射物质的原子下降 至原来的一半（称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。
（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用 尾数的相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是．问如何选择T和 E，使从T开始的捕获量最大.
12. 建立肿瘤生长模型．通过大量医疗实践发现肿瘤细胞的生长有 以下现象：1)当肿瘤细胞数目超过1011时才是临床可观察的；2)在肿瘤 生长初期，几乎每经过一定时间肿瘤细胞就增加一倍；3)由于各种生理 条件限制，在肿瘤生长后期肿瘤细胞数目趋向某个稳定值．
四、补充题 14. 考虑一个受某种物质污染的湖水，假设这个湖的湖水体积（以
立方米计）不变，且污染物质均匀地混合于湖水中。以记在任一时刻每
立方米湖水所含污染物的克数，这是污染程度的一种合适量度，习惯称 它为污染浓度。令记每天流出的湖水立方米数，由假设，这也等于每天 流入湖里的水量。我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖 水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时污染的 5%？
嘧啶，第二种药物是水扬酸钠。用O表示口服，I表示静脉注射，第2列
中的“克”表示原服用量，其余的表示用药后各时刻的血药浓度。检验
你的模型拟合的程度？对于不一致的现象你能怎样解释？
19. 本世纪初，在伦敦观察到一种现象，大约每两年发生一次麻疹
病流行，生物学家H.F.Soper试图解释这一现象，他认为，易感人数有
17. 给狗一次快速 静脉注射常咯啉，测得 血药浓度的动态数据如 右。利用这些数据估计 有关二室模型的参数。
时间 浓度
0 0.25 0.5 1 2 46
12.23 3.53 2.68 2.38 1.99 1.20 0.78
18. 多数药物是口 用法 克 1时 2时 4时 6时 8时 10时12时24时
若某受试者的测试数据如下：
时间 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 （分）
头部记1534 1528 1468 1378 1272 1162 1052 947 348 757 674 599 数率
呼出气2231 1534 1054 724 498 342 235 162 111 76 52 36 记率
液体流动方向 薄膜
血管 血液流动方向 人工肾
11. 在鱼塘中投放尾负苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的 重量将增加.
（1）设尾数的(相对)减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼重量 的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重 量本身成正比．分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解．