第5章 微分方程模型
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微分方程模型(全)
第四步：了解问题中所涉及的原则或物理定律。
第五步：依据 第二、第三、第四步 建立微分 方程。 还有已知的对应某个 t 的 y 的值（可 能还有 y 的导数的值）就是求解微分方程所 需要的初始值。
第六步：求微分方程的解并给出问题的答案。 下面我们从易到难给出微分方程模型之应 用案例
例1 火车启动
例 1：火车启动
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 溶液浓度
如果有一个实际问题，要找一个量 y ， 与另一个量 t（时间或其他变量）的关系， 这种关系涉及量 y 在每个 t 时的瞬时变化率， 而且这个瞬时变化率与量 y 与 t 的关系可以 确定，那么这样的问题通常可以通过微分 方程来解决。 利用微分方程解决这样的问题的一般 步骤如下： （分为六步）
第一步:
题目：一列火车从静止开始启动，均匀地加速，
五分钟时速度达到 300 千米。问：这段时间内 该火车行进了多少路程？
例1 火车启动
解 这个问题相对比较简单，问题与“加速”、 “速度”有关，所以与导数有关； 涉及的量为： “时间”（小时），“路程”（千米），“速 度”（千米/小时），“加速度”（常数 a ）;
例2 细菌增长
解 这个问题也比较简单。 问题与“增长率”有关，所以与导数有关；
涉及的量为： “时间”（小时），“细菌总数”（个）， “速度”（个/小时）; 有（待定）函数关系的两个量定为： 细菌总数 y ，时间 t ； 涉及的原则或物理定律： 导数＝增长率.
第5章 微分方程模型(投影版)
“改变 改变”、“变化” 变化 、“增加” 增加 、“减少”等关键词 减少 等关键词 提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” ,常涉及 到导数. 运用已知物理定律 机理分 利用平衡与增长式 析法 建立方法 常用微分方程 运用微元法 应用分析法
数学建模
第五章 微分方程模型
运用已知物理定律利用平衡与增长式机理分利用平衡与增长式运用微元法运用微元法应用分析法数学建模第五章微分方程模型描述对象特征随时间空间的演变过程动态模型分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态模型预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段微分根据函数及其变化率之间的关系确定函数本身微分方程模型根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程数学建模第五章微分方程模型数学建模第五章微分方程模型随着科学技术的发展常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础理论
数学建模
问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段
第五章 微分方程模型
按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型 模型 l 设时刻t 的病人人数x ( t )是连续、可微函数，并且每天每个病 是连续 可微函数 并且每天每个病 人有效接触的人数为常数λ t 到t +△t 病人人数的增加 x ( t + △t ) – x ( t ) =λx ( t ) △t
dx x , x(0) x0 dt 随着t的增加，病人人数 的增加 病人人数x ( t )无限增长，这显然是不符合实际的。 无限增长 这显然是不符合实际的 失败的原因：有效接触的人群中，有健康人也有病人，而只有健 康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。
培训资料--微分方程模型人口模型等
x0
x0 0
t
人口发展方程
• 年龄分布对于人口预测的重要性 • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移
F(r,t) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口） p(r,t) ~ 人口密度函数 N(t) ~ 人口总数 r ( ) ~ 最高年龄
m
F(0,t) 0, F(r ,t) N(t) m p(r, t) F r
人口发展方程
f
(t
)
(t
)r2 r1
h(r,
t
)k
(r,
t
)
p(r,
t
)dr
(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p(r,t)
p 0
(r
r
t)e (s)ds r t r
,
0
t
r
f (t r)e0(s)ds , t r
p0 (r)
• 正反馈系统
(r,t) p(r,t)dt, dt dr1
p p (r,t) p(r,t) 一阶偏微分方程
r t
p
r
p t
(r, t )
p(r, t )
人口发展方程
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t)
f
(t ),
t0
~生育率（控制人口手段）
p0 (0) f (0) --------相容性条件
b(r,
t)k
(r,
t)
p(r,
t)dr
b(r,t) (t)h(r,t)
0
r2 r1
h(r , t )dr
1
h~生育模式
(t)
微分方程模型
当 σ > 1 表示传染病的日接触率>日治愈率, 表示传染病的日接触率>日治愈率, i(t)>0,反映传染病在蔓延, i(t)>0,反映传染病在蔓延,感染人数不断上 升; 如SARS这类高传染性的传染病,日接触率 SARS这类高传染性的传染病, 远大于日治愈率, i(t)→1,反映传染病迅速 远大于日治愈率, i(t)→1,反映传染病迅速 爆发; 爆发; 当 σ ≤ 1 表示传染病的日接触率≤日治愈率, 表示传染病的日接触率≤日治愈率, i(t)=0,反映传染病传染受到控制; i(t)=0,反映传染病传染受到控制;
模型评价
隔离病人和在传染病爆发前对易感人群接 种疫苗都是有效降低日接触率λ 种疫苗都是有效降低日接触率λ, 使σ减小, 减小, 从而使病人比例减小; 从而使病人比例减小; 研发特效药是有效提高日治愈率 使使σ 研发特效药是有效提高日治愈率;使使σ 减小,从而使病人比例减小; 减小,从而使病人比例减小;
微分方程模型
常微分方程
常微分方程是最简单的微分方程之一，也 是在建模中经常使用的方程； 常微分方程就是各项系数为常数的微分方 程； y '+ y + xy 2 = 0 微分方程的解就是满足这个式子的函数 y=f(x,C)； y=f(x,C)；
Mathematica解常微分方程 Mathematica解常微分方程
SIS模型问题描述 SIS模型问题描述
有些传染病如流行性感冒、伤风等愈后免 疫力很低，于是病人被治愈后变成健康者， 健康者还可以被感染再变成病人。 传染病的传播是有一定范围的，在传染病 传播期内所考察地区的总人口数相对稳定。
SIS模型变量假设 SIS模型变量假设
传染病区总人口设为N 传染病区总人口设为N； 传染病区人群分为健康者和病人，它们在 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 日接触率：每个病人每天有效传染的平均 人数百分比λ 人数百分比λ，当病人与健康者接触，一 部分健康者就会被感染变为病人； 日治愈率：每天被治愈的病人点总病人总 数的百分比 数的百分比；
模型评价
隔离病人和在传染病爆发前对易感人群接 种疫苗都是有效降低日接触率λ 种疫苗都是有效降低日接触率λ, 使σ减小, 减小, 从而使病人比例减小; 从而使病人比例减小; 研发特效药是有效提高日治愈率 使使σ 研发特效药是有效提高日治愈率;使使σ 减小,从而使病人比例减小; 减小,从而使病人比例减小;
微分方程模型
常微分方程
常微分方程是最简单的微分方程之一，也 是在建模中经常使用的方程； 常微分方程就是各项系数为常数的微分方 程； y '+ y + xy 2 = 0 微分方程的解就是满足这个式子的函数 y=f(x,C)； y=f(x,C)；
Mathematica解常微分方程 Mathematica解常微分方程
SIS模型问题描述 SIS模型问题描述
有些传染病如流行性感冒、伤风等愈后免 疫力很低，于是病人被治愈后变成健康者， 健康者还可以被感染再变成病人。 传染病的传播是有一定范围的，在传染病 传播期内所考察地区的总人口数相对稳定。
SIS模型变量假设 SIS模型变量假设
传染病区总人口设为N 传染病区总人口设为N； 传染病区人群分为健康者和病人，它们在 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 日接触率：每个病人每天有效传染的平均 人数百分比λ 人数百分比λ，当病人与健康者接触，一 部分健康者就会被感染变为病人； 日治愈率：每天被治愈的病人点总病人总 数的百分比 数的百分比；
《微分方程模型》PPT课件
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成， （注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简 化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度 （密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为 “交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用 房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中， 我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很 环境 简单，意图在于介绍建模方法。
器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急
措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
0t 3 3t 4 t4
现回答上述问题
（1）t 6 代入对应方程，求得
W (6) 57.48247kg
（2）要满足体重不增，即dW (b 16W ) /10000 0
dt
所以b 16W 1657.1256 914 (cal)
因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal
因污染源被截断，故微分方程变为 2000 dC 6C
dt
： 它的特解为
630
C(t) C(30)e 2000
当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出 此时的t=T，即
T 30 (2000 / 6) ln(0.0005 / C(30))
解得
T 30 (2000 / 6) ln(0.9564Z)
引例一
《微分方程模型》课件
f '(x) 2x,
即 f (x) 2xdx C x2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) 3,
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
y x2 2.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t),
由于镭元素的衰变律就是R(t)对时间的变化律dR(t) , dt
依题目中给出镭元素的衰变律可得:
dR kR, dt
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少 .
解之得: R(t) R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u(t). 根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
注意:此式子并不是直接给出u 和 t 之间的函数关系,而只是
（3.2）
（3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
当 t T 时,θ(t)=0 4
故有
g T
l4 2
其中 g
l
由此即可得出
T 2 gБайду номын сангаас
即 f (x) 2xdx C x2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) 3,
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
y x2 2.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t),
由于镭元素的衰变律就是R(t)对时间的变化律dR(t) , dt
依题目中给出镭元素的衰变律可得:
dR kR, dt
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少 .
解之得: R(t) R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u(t). 根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
注意:此式子并不是直接给出u 和 t 之间的函数关系,而只是
（3.2）
（3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
当 t T 时,θ(t)=0 4
故有
g T
l4 2
其中 g
l
由此即可得出
T 2 gБайду номын сангаас
微分方程模型
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分 布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密 度）的变化率与外部环境有关，这种关系被 称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本 节中，我们将用房室系统的方法来研究药物 在体内的分布。在下一节中，我们将用多房 室系统的方法来研究另一问题。
单房室系统
交换 环境
内部
均匀分布
，i(t)单 s0 增。但在i(t)增加的同时，伴随地有s(t)单减。当 s(t)减少到小于等于 时， i(t)开始减小，直 至此疾病在该地区消失。
(2)如果
则： s(t ) s
r (t )
1
o
e
di ，则开始时 dt 0
五．稳定性问题
在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并 非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展 趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了 解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最 终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之 免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分 方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将 研究几个与稳定性有关的问题。
容器损失的水量为:
[ R ( R r ) ]dh
2 2
由质量守恒
[ R ( R r ) ]dh sv(t )dt
2 2
其中
v(t ) 0.6 2gh(t)
从而建立方程:
0.6s 2 gh dh 2 2 dt [R (R r) ]
解得
0.6s 2 gh 14 R T dh 2 2 R [R (R r) ] 9s 2 g
微分方程 模型
• 微分方程建模
对于某种现象或提出的问题,通过建立微分方程 来解释或解决.通常可分为两大类:
第五章 微分方程模型讲1
σ >1
i0
1-1/σ σ
di 1 = −λi[i − (1 − )] σ =λ/ µ dt σ
σ >1
i
σ ≤1
di/dt < 0
i0
0
1-1/σ σ
1 i
i0
0
1 , σ > 1 1 − i(∞ ) = σ 0, σ ≤ 1
t
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
σ >1
σ ≤ 1 ⇒ i (t ) ↓
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
i
1
1D = {( s ,源自i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1}
D 0
s
1
模型4 模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
i
1 D
SIR模型 模型
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
dP dP = kP(10000− P) 把 P t=0 =10, = 100代入微分方程 dt dt t=0
1 得 k= 999 鸟的数量和时间的函数关系为 P =
10000 1+ 999 e
− 10000 t 999
Logistic函数 函数
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型 已感染者(the infective) 易感染者 易感染者(the susceptible) 已感染者 移出者(the removed) 移出者
i0
1-1/σ σ
di 1 = −λi[i − (1 − )] σ =λ/ µ dt σ
σ >1
i
σ ≤1
di/dt < 0
i0
0
1-1/σ σ
1 i
i0
0
1 , σ > 1 1 − i(∞ ) = σ 0, σ ≤ 1
t
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
σ >1
σ ≤ 1 ⇒ i (t ) ↓
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
i
1
1D = {( s ,源自i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1}
D 0
s
1
模型4 模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
i
1 D
SIR模型 模型
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
dP dP = kP(10000− P) 把 P t=0 =10, = 100代入微分方程 dt dt t=0
1 得 k= 999 鸟的数量和时间的函数关系为 P =
10000 1+ 999 e
− 10000 t 999
Logistic函数 函数
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型 已感染者(the infective) 易感染者 易感染者(the susceptible) 已感染者 移出者(the removed) 移出者
方程模型
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1 ) d y 0
y( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
数学建模－ 微分方程模型
关晓飞 同济大学数学科学学院
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
引例
一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点 若设曲线方程为 y f ( x) ， (1)
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x dx
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或
T m ce
kt
, t 0,
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1 ) d y 0
y( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
数学建模－ 微分方程模型
关晓飞 同济大学数学科学学院
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
引例
一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点 若设曲线方程为 y f ( x) ， (1)
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x dx
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或
T m ce
kt
, t 0,
数学建模 第五章 微分方程模型M05-2010
dy dt
y
f0y
dK dt
L
dy dt
Ly
Bernoulli方程
1 1
f0 f0 1 (1 ) t y (t ) ( y0 )e
N [ s ( t t ) s ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t
di dt si i ds si dt i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
i0 s 0 1
无法求出 i ( t ), s ( t )
i ( t ) i0 e
t
ti
?
若有效接触的是病人, 则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i ( t ), s ( t ) . 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病.
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s (t ) i (t ) r (t ) 1
需建立 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 的两个方程.
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t Ni ( t ) t
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
一种高精度的数值求解微分方程的方法，通过迭代逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
5微分方程模型
第五章 微分方程模型
5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用 5.6 人口预测和控制 5.7 烟雾的扩散与消失 5.8 万有引力定律的发现
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
K w L 1 r
w , r ,
K/L
3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型)
要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件
模型 • 投资增长率与产值成正比 假设 (用一定比例扩大再生产)
dK Q, 0
dt
• 劳动力相对增长率为常数
dL L
i0 0, s0 1
x 1 ln(1 x ) 0
s0
i
x<<s0
x(1
1
s0
x
2s02
)
0
x
2s0
(s0
1
)
P1
0 s 1/ s0
s
s0 - 1/ = x 2
小, s0 1
提高阈值1/ 降低 被传染人数比例 x
5.2 经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术
• 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大
dt
L(t) L0et
Q f Lg( y) g(y) y 0
dK f Ly
dt
0
y K , K Ly L
dK L dy Ly
dt dt
dK f Ly
5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用 5.6 人口预测和控制 5.7 烟雾的扩散与消失 5.8 万有引力定律的发现
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
K w L 1 r
w , r ,
K/L
3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型)
要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件
模型 • 投资增长率与产值成正比 假设 (用一定比例扩大再生产)
dK Q, 0
dt
• 劳动力相对增长率为常数
dL L
i0 0, s0 1
x 1 ln(1 x ) 0
s0
i
x<<s0
x(1
1
s0
x
2s02
)
0
x
2s0
(s0
1
)
P1
0 s 1/ s0
s
s0 - 1/ = x 2
小, s0 1
提高阈值1/ 降低 被传染人数比例 x
5.2 经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术
• 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大
dt
L(t) L0et
Q f Lg( y) g(y) y 0
dK f Ly
dt
0
y K , K Ly L
dK L dy Ly
dt dt
dK f Ly
第五章微分和微分方程模型
在解决实际问题时，弄清问题中的变量之间的函数关系或其变化趋势是至关重要的，而在一些较为复杂的变化过程中，变量之间的函数关系无法直接得到。
但是，在许多情况下，我们往往可以在理论或经验的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系。
也就是找出一个或几个含有未知函数及其导数所满足的方程，这个（些）方程就称为微分方程（组）。
然后通过求解微分方程（组）得到变量之间的函数关系，或者在微分方程（组）的基础上进行数值计算和渐进性态研究，从而了解整个系统的发展变化规律。
为了研究一些实际问题的变化规律，往往需要对所研究的问题进行适当的简化和假设，再建立数学模型，当问题中涉及变量的变化率时，就可以通过微分方程来建模。
微分方程模型主要是解决与导数，也即变化率相关的问题，但是；实际问题中一般并不会直接出现“导数”或“变化率”等词语，这时，就需要我们仔细分析，从中找出这些信息，一般来说，如果问题中涉及到“速率”、“增长”、“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”（在放射性问题中）、“扩散”、“边际的”（在经济学中）等问题时，往往就可以用微分方程（组）来建模。
微分方程模型的类型很多，在解决实际问题时，要根据具体情况选择不同的模型，建立模型时，应首先将实际问题概念化为文字方程，许多问题都遵循下面的模式：总讯宗勋净变化率=净增加率━净减少率如果变量之间的关系可以用这种形式来描述，我们就不难给出相应的微分方程（组）了。
在建立了微分方程模型之后，我们当然希望能得到微分方程的解，但是，对于大多数微分方程而言，要想直接求解往往是困难的，甚至是不可能的，此时我们可以通过对方程的定性分析得到有关的一些有用信息。
§1 确定性存贮模型为了使生产和销售有条不紊地进行，一般的工商企业总需要存贮一定数量的原料或商品，然而大量的库存不但积压了资金，而且会使仓库的保管费用增加。
因此，寻求合理的库存量乃是现代企业管理的一个重要课题。
需要注意的是，存贮问题的原型可以是真正的仓库存货，水库存水，也可以是计算机的存贮器的设计问题，甚至是大脑的存贮问题。
微积分的应用-微分方程模型
则将水放空时间为
t* 0.54 1 540(s) 9(min) 0.001
例3 追线问题
我缉私舰雷达发现距 c km处有一艘走私船正 以匀速 a 沿直线行驶。缉私舰立即以最大的 速度 b 追赶，若用雷达进行跟踪，保持舰的 瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰 追逐路线和追上的时间。
1.模型假设：
为
，求在任一时刻的水面高度（设
v 2gh
开始时水池水的高度为 ）和将水放空的时
间.
h0
等量关系：
t 时间的
水池减少的水量 = 出水量 。
A[h(t t) h(t)] BS
A[h(t t) h(t)] B S
t
t
A dh Bv A dh B 2gh
dt
dt
初始条件
h(0) h0
1
dx
c
y
y
2
dy
1
令
y c
y
2
tant
从而，y c sin2 t ,dy 2c sin t cos tdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos 2tdt
积分后得到
x
c 2
2t
sin
2t
c1
这曲线过原点，故由上面第一式得，t 0 时，x y 0
于是，c1 0。这样
dx
0
2gy
这是泛函的极值问题，令
f y, y 1 y2
2gy
由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足
的欧拉方程为：
f y
y
f
c1
即
y2
y 1 y2
1 y2
y
c1
这可化简为
t* 0.54 1 540(s) 9(min) 0.001
例3 追线问题
我缉私舰雷达发现距 c km处有一艘走私船正 以匀速 a 沿直线行驶。缉私舰立即以最大的 速度 b 追赶，若用雷达进行跟踪，保持舰的 瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰 追逐路线和追上的时间。
1.模型假设：
为
，求在任一时刻的水面高度（设
v 2gh
开始时水池水的高度为 ）和将水放空的时
间.
h0
等量关系：
t 时间的
水池减少的水量 = 出水量 。
A[h(t t) h(t)] BS
A[h(t t) h(t)] B S
t
t
A dh Bv A dh B 2gh
dt
dt
初始条件
h(0) h0
1
dx
c
y
y
2
dy
1
令
y c
y
2
tant
从而，y c sin2 t ,dy 2c sin t cos tdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos 2tdt
积分后得到
x
c 2
2t
sin
2t
c1
这曲线过原点，故由上面第一式得，t 0 时，x y 0
于是，c1 0。这样
dx
0
2gy
这是泛函的极值问题，令
f y, y 1 y2
2gy
由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足
的欧拉方程为：
f y
y
f
c1
即
y2
y 1 y2
1 y2
y
c1
这可化简为
数学建模实验答案_微分方程模型
数学建模实验答案_微分⽅程模型实验07 微分⽅程模型（2学时）（第5章微分⽅程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中，i (t )是第t 天病⼈在总⼈数中所占的⽐例。
k 是每个病⼈每天有效接触的平均⼈数（⽇接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病⼈的⽐例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最⼤值，并在曲线图上标注。
提⽰：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel 1）画曲线图⽤fplot 函数，调⽤格式如下： fplot(fun,lims)fun 必须为⼀个M ⽂件的函数名或对变量x 的可执⾏字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可⽤fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最⼤值⽤求解边界约束条件下的⾮线性最⼩化函数fminbnd，调⽤格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为⼀个M⽂件的函数名或对变量x的可执⾏字符串。
返回⾃变量x在区间x1本题可⽤x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指⽰最⼤值坐标⽤线性绘图函数plot，调⽤格式如下：plot(x1,y1, '颜⾊线型数据点图标', x2,y2, '颜⾊线型数据点图标',…)本题可⽤hold on; %在上⾯的同⼀张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使⽤⽂本标注函数text，调⽤格式如下：格式1text(x,y,⽂本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注⽂本在图中添加的位置。
第五章 微分方程模型 5.1 传染病模型5.2 经济增长模型5.3 正规战与游击战5.4 药物在体内的分布与排除5
每个劳动 力的产值
z
Q L
每个劳动 力的投资
y
K L
模型假设 z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减
z Q / L f0g( y) g(y) y , 0 1
Q f0L(K / L)
g(y)
Q(K , L) f0K L1 Douglas生产函数
Q , Q 0 K L
2Q 2Q K 2 , L2 0
dt
L(t) L0et
Q f Lg( y) g(y) y 0
dK f Ly
dt
0
y K , K Ly L
dK L dy Ly
dt dt
dK f Ly
dt
0
dK L dy Ly
dt dt
dy y f y
dt
0
Bernoulli方程
1
y(t)
f 0
( y1
0
f 0
)e (1 ) t
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
y(t)
m0
dy d dx c
cy dx m
m cy dx
0
0
m 0 x 0时y 0
乙方胜
m0
mc
0
m d
m0
y0 d rx srx sx 线性律 x0 c ry sry s y 模型
m 0 甲方胜
x(t)
m 0 平局
混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
di dt
i(1
i)
i
i(0) i0
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3. 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期 销售量的情况，如何确定模型的参数。
4. 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们 的生长模型。
二、思考题 1、具有什么样特征的数学建模问题需要用微分方程方法建立模型？ 2、用微分方程方法建立数学模型的基本步骤是什么？应注意哪些问 题？ 3、某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约 有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？
若某受试者的测试数据如下：
时间 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 （分）
头部记1534 1528 1468 1378 1272 1162 1052 947 348 757 674 599 数率
呼出气2231 1534 1054 724 498 342 235 162 111 76 52 36 记率
由于动脉血将肺部的放射性同位素输送到大脑，使脑部同位素增 加，而脑血流量又将同位素带离，使同位素减少。实验证明脑血流引起 局部地区记数率下降的速度与当时该处的记数率成正比。其比例系数反 映该处的脑血流量，被称为血流量系数。只要确定该系数即可推算出脑 血流量。动脉血从肺部输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速度与 当时呼出的记数率成正比。
第5章 微分方程模型
一、讨论题 1. 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，
此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂 肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量 41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？
2. 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存 的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性 物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间放射物质的原子下降 至原来的一半（称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。
三、习题 1. 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus增长模型
其中以分钟计。在时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕 杀鲑鱼的速率是，其中是时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意 外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus模型。 （2）假设在是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 ，并问时会发生什么情况？
2. 用具有放射性的测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层 产生中子，中子与氮结合产生。植物吸收二氧化碳时吸收了，动物食用 植物从植物中得到。在活组织中的吸收速率恰好与的衰变速率平衡。但 一旦动植物死亡，它就停止吸收，于是的浓度随衰变而降低。由于宇宙 线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时的衰变速率与现在取 的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生物标本现在 的衰变速率，由于的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建 立用测古生物年代的模型（的半衰期为5568年）。
总和
207200 175860 84459 90132
最大深度/m 406 281 60 244
15. 构造一个在接种疫苗成为有效防疫手段之前一种传染病蔓延如 麻疹的模型。麻疹的潜伏期为0.5周，在这段时间内一个被感染的孩子 表面上看来是正常的，但却会传染给别人。过了这段时间后，患病的孩 子一直隔离到病愈为止。病愈后的孩子是免疫的。粗略地说，麻疹流行 隔年更为严重。
（1）构造一个适用于三种情况的简单的微分方程模型：容易感染 的、传染的以及被隔离（或痊愈）。也适用于由于出生而大量增加易感 染者的情况。假设每个感染者随机地与居民接触，并以概率P传染给被 感染者。
嘧啶，第二种药物是水扬酸钠。用O表示口服，I表示静脉注射，第2列
中的“克”表示原服用量，其余的表示用药后各时刻的血药浓度。检验
你的模型拟合的程度？对于不一致的现象你能怎样解释？
19. 本世纪初，在伦敦观察到一种现象，大约每两年发生一次麻疹
病流行，生物学家H.F.Soper试图解释这一现象，他认为，易感人数有
3. 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代： （1）1950年从法国Lascaux古洞中取出的碳测得放射性计数率为 0.97计数（），而活树木样本测得的计数为6.68计数（），试确定该洞 中绘画的年代； （2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为 4.09计数（），活数标本为6.68计数（），试估计该建筑的年代。 4. 一容器用一薄膜分成容积为和的两部分，分别装入同一物质不 同浓度的溶液。设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩 散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。试建立 描述容器中溶液浓度变化的数学模型。设，每隔100s测量其中一部分溶 液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626， 650，659，单位为。试建立扩散系数，并决定2h后两部分中溶液的浓度 各为多少。 5. 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增 加，其销售量的下降速度与成正比。广告宣传可给销售量添加一个增长 速度，它与广告费成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和 的部分（设饱和量为）。建立销量的模型。若广告宣传只进行有限时 间，且广告费为常数，问如何变化？ 6. 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型 （1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用 新技术的人数成正比，推广是无限的。 （2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减 少而降低。 （3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。 7. 假设某生物种群的增长率不是常数，它以某种的方式依赖于环 境的温度。如果已知温度是时间的函数，试给出初始为的生物种群的增 长模型。证明种群以指数增长系数而增长或衰减，即，这个增长系数等 于时间依赖增长的平均值。 8. 一群体的增长受自限规律制约。设在一定环境下该群体的生存 极限数为，当群体中生物很少时，每40mm增加一倍。若开始时动物分别 为和，求2h后群体中动物的总数。 9. 某地有一池塘，其水面面积约为，用来养殖某种鱼类。在如下 的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。 （1）鱼的存活空间为； （2）每鱼每需要的饲料为，市场上鱼饲料的价格为； （3）鱼苗的价格忽略不计，每鱼苗大约有500条鱼； （4）鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长 成为鱼，成鱼的重量为； （5）池内鱼的繁殖与死亡均忽略；
17. 给狗一次快速 静脉注射常咯啉，测得 血药浓度的动态数据如 右。利用这些数据估计 有关二室模型的参数。
时间 浓度
0 0.25 0.5 1 2 46
12.23 3.53 2.68 2.38 1.99 1.20 0.78
18. 多数药物是口 用法 克 1时 2时 4时 60 7.75 8.00 8.25 8.25 8.75 9.00 9.25 9.50 9.75 （分）
头部记121 107 94 83 73 65 57 50 50 39 35 31 数率
呼出气1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0
0
记率
试建立确定血流系数的数学模型并计算上述受试者的脑血流系数。
新成员不断地补充，根据这一假设，试建立数学模型并解释这一现象。
20. 在北美的五大 湖中，安大略湖处于伊 利湖的下游，但安大略 湖不仅接受伊利湖来的 水，还要接受非伊利湖 流入的水。试建模描述 这两个湖的污染情况。
特 征 苏比湖利尔密执安湖伊利湖安大略湖
长度/km
560 490 385 309
宽度/nm
四、补充题 14. 考虑一个受某种物质污染的湖水，假设这个湖的湖水体积（以
立方米计）不变，且污染物质均匀地混合于湖水中。以记在任一时刻每
立方米湖水所含污染物的克数，这是污染程度的一种合适量度，习惯称 它为污染浓度。令记每天流出的湖水立方米数，由假设，这也等于每天 流入湖里的水量。我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖 水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时污染的 5%？
（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用 尾数的相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是．问如何选择T和 E，使从T开始的捕获量最大.
12. 建立肿瘤生长模型．通过大量医疗实践发现肿瘤细胞的生长有 以下现象：1)当肿瘤细胞数目超过1011时才是临床可观察的；2)在肿瘤 生长初期，几乎每经过一定时间肿瘤细胞就增加一倍；3)由于各种生理 条件限制，在肿瘤生长后期肿瘤细胞数目趋向某个稳定值．
(1)比较Logistic模型与Gompertz模型：，其中、N、分别是细胞 数、极限值，、参数．
(2)说明上述两个模型是Usher模型：的特例． 13. 药物动力学中的 Michaelis-Menton 模型为（），表示人 体内药物在时刻的浓度．研究这个方程的解的性质. （1）对于很多药物(如可卡因)，比大得多，Michadis-Menton方程 及其解如何简化． （2）对于另一些药物(如酒精)，比大得多，Michaeli-Menton方程 及其解如何简化．
服或静脉注射的，并且 被血液吸收需要时间。 同时药物将由肾排除 出。给出这种情况的药 物动力学模型。下列是 一些关于药物动态的数 据。第一种药物是磺胺
O 4.0 2.3 2.7 3.6 3.0 — 2.0 — — O 40. 1.8 2.8 3.9 3.5 2.6 2.2 — — I 1.8 3.8 3.4 2.6 2.1 — — — — I 1.8 3.7 3.3 2.7 2.3 — — — — O 10 5.0 — — 14.4 — — 15.712.5 I 10 39.4 — — 31.4 — — 24.216.2 I 201 56.7 — — 43.0 — — 35.226.6
液体流动方向 薄膜
血管 血液流动方向 人工肾
11. 在鱼塘中投放尾负苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的 重量将增加.
4. 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们 的生长模型。
二、思考题 1、具有什么样特征的数学建模问题需要用微分方程方法建立模型？ 2、用微分方程方法建立数学模型的基本步骤是什么？应注意哪些问 题？ 3、某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约 有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？
若某受试者的测试数据如下：
时间 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 （分）
头部记1534 1528 1468 1378 1272 1162 1052 947 348 757 674 599 数率
呼出气2231 1534 1054 724 498 342 235 162 111 76 52 36 记率
由于动脉血将肺部的放射性同位素输送到大脑，使脑部同位素增 加，而脑血流量又将同位素带离，使同位素减少。实验证明脑血流引起 局部地区记数率下降的速度与当时该处的记数率成正比。其比例系数反 映该处的脑血流量，被称为血流量系数。只要确定该系数即可推算出脑 血流量。动脉血从肺部输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速度与 当时呼出的记数率成正比。
第5章 微分方程模型
一、讨论题 1. 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，
此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂 肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量 41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？
2. 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存 的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性 物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间放射物质的原子下降 至原来的一半（称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。
三、习题 1. 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus增长模型
其中以分钟计。在时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕 杀鲑鱼的速率是，其中是时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意 外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus模型。 （2）假设在是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 ，并问时会发生什么情况？
2. 用具有放射性的测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层 产生中子，中子与氮结合产生。植物吸收二氧化碳时吸收了，动物食用 植物从植物中得到。在活组织中的吸收速率恰好与的衰变速率平衡。但 一旦动植物死亡，它就停止吸收，于是的浓度随衰变而降低。由于宇宙 线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时的衰变速率与现在取 的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生物标本现在 的衰变速率，由于的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建 立用测古生物年代的模型（的半衰期为5568年）。
总和
207200 175860 84459 90132
最大深度/m 406 281 60 244
15. 构造一个在接种疫苗成为有效防疫手段之前一种传染病蔓延如 麻疹的模型。麻疹的潜伏期为0.5周，在这段时间内一个被感染的孩子 表面上看来是正常的，但却会传染给别人。过了这段时间后，患病的孩 子一直隔离到病愈为止。病愈后的孩子是免疫的。粗略地说，麻疹流行 隔年更为严重。
（1）构造一个适用于三种情况的简单的微分方程模型：容易感染 的、传染的以及被隔离（或痊愈）。也适用于由于出生而大量增加易感 染者的情况。假设每个感染者随机地与居民接触，并以概率P传染给被 感染者。
嘧啶，第二种药物是水扬酸钠。用O表示口服，I表示静脉注射，第2列
中的“克”表示原服用量，其余的表示用药后各时刻的血药浓度。检验
你的模型拟合的程度？对于不一致的现象你能怎样解释？
19. 本世纪初，在伦敦观察到一种现象，大约每两年发生一次麻疹
病流行，生物学家H.F.Soper试图解释这一现象，他认为，易感人数有
3. 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代： （1）1950年从法国Lascaux古洞中取出的碳测得放射性计数率为 0.97计数（），而活树木样本测得的计数为6.68计数（），试确定该洞 中绘画的年代； （2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为 4.09计数（），活数标本为6.68计数（），试估计该建筑的年代。 4. 一容器用一薄膜分成容积为和的两部分，分别装入同一物质不 同浓度的溶液。设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩 散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。试建立 描述容器中溶液浓度变化的数学模型。设，每隔100s测量其中一部分溶 液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626， 650，659，单位为。试建立扩散系数，并决定2h后两部分中溶液的浓度 各为多少。 5. 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增 加，其销售量的下降速度与成正比。广告宣传可给销售量添加一个增长 速度，它与广告费成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和 的部分（设饱和量为）。建立销量的模型。若广告宣传只进行有限时 间，且广告费为常数，问如何变化？ 6. 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型 （1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用 新技术的人数成正比，推广是无限的。 （2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减 少而降低。 （3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。 7. 假设某生物种群的增长率不是常数，它以某种的方式依赖于环 境的温度。如果已知温度是时间的函数，试给出初始为的生物种群的增 长模型。证明种群以指数增长系数而增长或衰减，即，这个增长系数等 于时间依赖增长的平均值。 8. 一群体的增长受自限规律制约。设在一定环境下该群体的生存 极限数为，当群体中生物很少时，每40mm增加一倍。若开始时动物分别 为和，求2h后群体中动物的总数。 9. 某地有一池塘，其水面面积约为，用来养殖某种鱼类。在如下 的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。 （1）鱼的存活空间为； （2）每鱼每需要的饲料为，市场上鱼饲料的价格为； （3）鱼苗的价格忽略不计，每鱼苗大约有500条鱼； （4）鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长 成为鱼，成鱼的重量为； （5）池内鱼的繁殖与死亡均忽略；
17. 给狗一次快速 静脉注射常咯啉，测得 血药浓度的动态数据如 右。利用这些数据估计 有关二室模型的参数。
时间 浓度
0 0.25 0.5 1 2 46
12.23 3.53 2.68 2.38 1.99 1.20 0.78
18. 多数药物是口 用法 克 1时 2时 4时 60 7.75 8.00 8.25 8.25 8.75 9.00 9.25 9.50 9.75 （分）
头部记121 107 94 83 73 65 57 50 50 39 35 31 数率
呼出气1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0
0
记率
试建立确定血流系数的数学模型并计算上述受试者的脑血流系数。
新成员不断地补充，根据这一假设，试建立数学模型并解释这一现象。
20. 在北美的五大 湖中，安大略湖处于伊 利湖的下游，但安大略 湖不仅接受伊利湖来的 水，还要接受非伊利湖 流入的水。试建模描述 这两个湖的污染情况。
特 征 苏比湖利尔密执安湖伊利湖安大略湖
长度/km
560 490 385 309
宽度/nm
四、补充题 14. 考虑一个受某种物质污染的湖水，假设这个湖的湖水体积（以
立方米计）不变，且污染物质均匀地混合于湖水中。以记在任一时刻每
立方米湖水所含污染物的克数，这是污染程度的一种合适量度，习惯称 它为污染浓度。令记每天流出的湖水立方米数，由假设，这也等于每天 流入湖里的水量。我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖 水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时污染的 5%？
（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用 尾数的相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是．问如何选择T和 E，使从T开始的捕获量最大.
12. 建立肿瘤生长模型．通过大量医疗实践发现肿瘤细胞的生长有 以下现象：1)当肿瘤细胞数目超过1011时才是临床可观察的；2)在肿瘤 生长初期，几乎每经过一定时间肿瘤细胞就增加一倍；3)由于各种生理 条件限制，在肿瘤生长后期肿瘤细胞数目趋向某个稳定值．
(1)比较Logistic模型与Gompertz模型：，其中、N、分别是细胞 数、极限值，、参数．
(2)说明上述两个模型是Usher模型：的特例． 13. 药物动力学中的 Michaelis-Menton 模型为（），表示人 体内药物在时刻的浓度．研究这个方程的解的性质. （1）对于很多药物(如可卡因)，比大得多，Michadis-Menton方程 及其解如何简化． （2）对于另一些药物(如酒精)，比大得多，Michaeli-Menton方程 及其解如何简化．
服或静脉注射的，并且 被血液吸收需要时间。 同时药物将由肾排除 出。给出这种情况的药 物动力学模型。下列是 一些关于药物动态的数 据。第一种药物是磺胺
O 4.0 2.3 2.7 3.6 3.0 — 2.0 — — O 40. 1.8 2.8 3.9 3.5 2.6 2.2 — — I 1.8 3.8 3.4 2.6 2.1 — — — — I 1.8 3.7 3.3 2.7 2.3 — — — — O 10 5.0 — — 14.4 — — 15.712.5 I 10 39.4 — — 31.4 — — 24.216.2 I 201 56.7 — — 43.0 — — 35.226.6
液体流动方向 薄膜
血管 血液流动方向 人工肾
11. 在鱼塘中投放尾负苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的 重量将增加.