第专题讲座---边际与弹性分析精华模拟题(DOC)

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第专题讲座---边际与弹性分析精华模拟题（DOC ）

第 21 专题讲座---边际与弹性分析精华模拟题 2009 1. 某种产品每台售价 100 元， 成本 60 元。

商家为扩大销售量， 决定凡购买量超过 100 台以上部分，按每台降价 1%出售（例如：

若销售量为 101 台， 销售量比 100 台多出一台， 于是多售出的一台售价为 99 元； 若销售量为 102 台， 多售出二台， 多售出的二台， 每台售价为 98 元， 以此类推）。 但每台最低售价为 75 元。

商家最大供应量为 150 台， 并且都能售完。 问销售量为多少时， 商家所获利润最大？ 解： 设销售量为 x ， 每台售价为 P(x)。

总成本为 C(x)=60x （x 取正整数） 由于价格不低于 75 元， 即 当 P(x)=75 元时， x=125

（

台

）

总

收

益

函

数 0

利润

函数 2’400100( )L

令’( )L x =0得驻点 x=120（台）

于是 x=120 时， L(x)取得极大值 L（120）=4400（元）又 L（150）（元）当销售量为150 台时所获利润最大。

2. 设某种商品的社会需求量（ p 为商品的价格），其弹性，当 p =10时， Q=156。

一个工厂生产这种商品，其日总成本函数 C（Q） =4Q+2019，求该厂日产量 Q 为多少时，总利润最大。

解：

由得

于是又由时

故利润22( )L p( )R

令

得（负数舍去）

故 p=10.7 时，利润最大，此时2256142.2()单位设某企业生产一种产品，其成本平均收益

，当边际收益 MR=44，需求价格弹性时，取得最大利润。

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求取得最大利润时， 产品的产量及常数 a 与 b 的值。 解： 收益函数

当取得最大利润时，

边际收益等于边际成本。

即于是：

得

又

当 Q=14 时，2222d

， 企业利润取得极大值 由于

’1( )(1)MRR

解得

又由于( )R

Q14于是当时

解方程组得

当 Q=2 时得 b=38

不满足

0b24 条件， 因而舍去 利润函数 23223’219212019100100073932201000.731867(

)L

令

‘5( )L

Q0,14,()7得驻点舍去

又

故产量 Q=14 时企业取得最大利

润。

3. 自动生产线上加工的零件的内径 X （mm ） 服从正态分布

， 内径小于 10 或大于 12mm 的为不合格品， 其余为合

格品。

每件产品的成本为 10 元，内径小于 10mm 的可再加工成合格品，尚需加工费 5 元。

全部合格品在市场上销售，每件合格品售价 20 元。

问零件的平均内径取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大？解：

每件产品的销售利润 L 与自动生产线加工的零件的内径 X（mm）有如下关系：

若若若

平均利润为 10 {10P12}5 {P

其中是标准正态分布函数，标准正态密度。

因此，有 2222(12)(10)22(12)(10)2222( )2

即当时，平均利润最大。

4. 某企业生产一种产品，其利润通过职工的工资福利及培训费用来实现利润的大小，费用分别为 x（万元）及 y（万元）。

产品的产量，其利润是产量 Q 的15

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再扣除工资福利费及培训费。

1.求在企业资金充足时， x ， y 分别为多少时， 利润最大；

2.在工资福利费与培训费总和不超过 55 万元时， 应如何分配这两种费用， 使企业利润最大。 解：

（1） 利润函数

221 3125(54500( , )L

x

得 （万元)万元

在点

（46， 21） 处

20,0又于是当 x=46（万元）， y=21（万元） 时，

利润 L （x ， y ）

取得极大值。 又

故

当 x=46（万元）， y=21（万元） 时， 利润最大。

（2） 作拉格朗日函数 ‘2’21 3125(54500( , )F x y)(55)9625100(55)49625 4( , )F x y10(1)(4)100 9( , )F x

由（1）式

代入（2）式得22100 9625 40(9)(4)30503(4)5(9)94353338.5(),16.5)55得得万元（万元

点（38.5， 16.5）是唯一驻点，由实际问题得知，当工资福利费用为 38.5 万元，培训费为 16.5万元时，使企业利润最大。

5. 已知某垄断厂商生产某产品的成本为 0，其产品的需求价格弹性，其中 Q 是该产品的产量， P 为其价格，已知当 Q=0 时 P=10。

（I）试求价格函数：

将 P 表示成 Q 的函数； 2.求厂商利润最大化时的产量和利润。

解：

（I）设 Q=Q（P），由价格弹性的定义可知，且由初始条件 P（0） =10，用分离变量法求解方程并代入已知条件可得厂商利润可以表示为 22( , )P Q100QP

一阶条件得到22’得 Q=1（Q=-1 不合题义，舍去）此时其利润为评注厂商取得最大利润时价格弹性为-1，这可以用来验证题目所得结果是否