计算机图形学-第七章-几何变换
计算机形学几何变换基础知识全面解析
计算机形学几何变换基础知识全面解析计算机形学几何变换是计算机图形学中一项非常重要的技术，它可以对图像进行平移、旋转、缩放等变换操作，从而实现图像的变形和动画效果。
本文将全面解析计算机形学几何变换的基础知识，包括变换的概念、常见的变换操作及其数学原理等内容。
一、概念介绍计算机形学几何变换是指通过一定的数学变换方法，改变图像或对象的形状、大小和位置。
常用的几何变换包括平移、旋转、缩放和错切等。
以下将逐个介绍这些变换操作的原理及应用。
二、平移变换平移变换是指将一个对象沿着指定方向平行移动一定的距离。
平移变换可以通过对对象中的每个顶点坐标进行相同平移量的加减操作来实现。
设对象的原始坐标为(x,y)，平移量为(tx,ty)，则平移变换后的新坐标为(x+tx,y+ty)。
三、旋转变换旋转变换是指将一个对象绕着指定的旋转中心点按照一定角度进行旋转。
旋转变换可以通过将对象中的每个顶点坐标绕旋转中心点进行相应角度的旋转来实现。
设对象的原始坐标为(x,y)，旋转角度为θ，旋转中心点为(cx,cy)，则旋转变换后的新坐标为：x' = (x-cx)*cosθ - (y-cy)*sinθ + cxy' = (x-cx)*sinθ + (y-cy)*cosθ + cy四、缩放变换缩放变换是指将一个对象的大小按照一定比例进行缩放。
缩放变换可以通过将对象中的每个顶点坐标按照指定比例进行缩放来实现。
设对象的原始坐标为(x,y)，缩放比例为(sx,sy)，缩放中心点为(cx,cy)，则缩放变换后的新坐标为：x' = (x-cx)*sx + cxy' = (y-cy)*sy + cy五、错切变换错切变换是指将一个对象的各个顶点坐标按照一定的错切因子进行变换。
错切变换可以分为水平错切和垂直错切两种形式。
水平错切变换可以通过将对象中的每个顶点的y坐标按照指定的错切因子进行变换来实现；垂直错切变换则是将对象中的每个顶点的x坐标按照指定的错切因子进行变换。
几何变换的认识和基本原理
几何变换的认识和基本原理几何变换是指通过对平面上的点、线、面进行位置、形状或尺寸上的改变，从而得到一个新的图形。
在计算机图形学和计算机视觉等领域，几何变换是非常重要的基础知识。
本文将介绍几何变换的认识和基本原理。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着某个方向平行移动一定的距离。
平移变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x + dx, y + dy]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，(dx, dy)是平移的距离，(x', y')是平移后得到的新点的坐标。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着某个中心点按照一定的角度旋转。
旋转变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，θ是旋转的角度，(x', y')是旋转后得到的新点的坐标。
三、缩放变换缩放变换是指将一个图形按照一定的比例因子放大或缩小。
缩放变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [s*x, s*y]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，s是缩放的比例因子，(x', y')是缩放后得到的新点的坐标。
四、对称变换对称变换是指将一个图形关于某一直线或某一点进行对称。
对称变换可以分为关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
不同类型的对称变换具体的公式略有不同，但原理都是将图形上的点映射到其关于对称轴的对称位置。
五、仿射变换仿射变换是指将一个图形通过平移、旋转和缩放等基本变换来进行综合变换。
仿射变换可以用以下矩阵表示：[x', y'] = [a*x + b*y + c, d*x + e*y + f]其中，a、b、c、d、e、f为变换矩阵中的参数，(x, y)是原始图形上的一个点，(x', y')是变换后得到的新点的坐标。
数学几何变换的方法
数学几何变换的方法几何变换是数学中一项重要的研究内容，通过对图形进行不同的操作，可以实现平移、旋转、缩放等效果。
这些变换方法不仅在几何学中有着广泛的应用，还在计算机图形学、机器人学等领域发挥着重要作用。
本文将介绍几何变换的常见方法及其应用。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着指定方向上移动一定距离的操作。
其数学表达式为：平移后的坐标 = 原坐标 + 平移矢量平移矢量的大小和方向决定了平移的距离和方向。
平移变换常用于游戏开发、图像处理等领域，可以实现图形的移动、平移动画效果等。
二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个中心点按一定角度进行旋转的操作。
其数学表达式为：旋转后的坐标 = 中心点坐标 + R * (原坐标 - 中心点坐标)其中，R为旋转矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行旋转。
旋转变换常用于计算机图形学中，实现图像的旋转、三维模型的变换等。
三、缩放变换缩放变换是指改变图形的尺寸大小的操作。
其数学表达式为：缩放后的坐标 = 原坐标 * 缩放因子缩放因子可以是一个比例因子，用于确定缩放的大小，也可以是一个矩阵，对各个坐标轴进行不同程度的缩放。
缩放变换常用于计算机辅助设计、图像处理等领域，可以实现图形的放大、缩小、图像的拉伸等效果。
四、对称变换对称变换是指将图形绕着中心轴进行镜像翻转的操作。
其数学表达式为：对称后的坐标 = 中心轴坐标 + S * (原坐标 - 中心轴坐标)其中，S为对称矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行对称。
对称变换常用于图像处理中，实现图像的镜像翻转、对称图案的生成等。
五、投影变换投影变换是指将三维物体投影到二维平面上的操作，常见的有透视投影和正交投影两种形式。
投影变换常用于计算机图形学中，实现三维物体的绘制和显示。
总结：数学几何变换的方法包括平移、旋转、缩放、对称和投影等。
这些变换方法在各个领域中都有重要应用，比如游戏开发、图像处理、计算机辅助设计等。
掌握几何变换的方法对于理解和应用相关领域的技术具有重要意义。
计算机形学中的几何变换与投影技术
计算机形学中的几何变换与投影技术计算机形学是计算机科学与计算机图形学中重要的一个领域，它研究如何在计算机上对图形进行表示、创建、编辑和呈现。
其中，几何变换和投影技术是计算机形学中常用且核心的技术之一，它们在计算机图形学领域中被广泛应用。
一、几何变换在计算机图形学中，几何变换是指对图形进行平移、旋转、缩放和扭曲等操作，从而改变图形的位置、形状和大小，以满足特定需求。
1. 平移变换平移变换是对图形进行沿着指定方向和距离的移动。
在二维空间中，平移变换可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy其中，(x', y')是平移后的坐标，(x, y)是原始坐标，(dx, dy)是平移的向量。
2. 旋转变换旋转变换是对图形进行绕指定点或绕原点的旋转操作。
在二维空间中，旋转变换可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，(x', y')是旋转后的坐标，(x, y)是原始坐标，θ是旋转角度。
3. 缩放变换缩放变换是对图形进行放大或缩小的操作。
在二维空间中，缩放变换可以表示为：x' = x * sxy' = y * sy其中，(x', y')是缩放后的坐标，(x, y)是原始坐标，(sx, sy)是缩放因子。
4. 扭曲变换扭曲变换是对图形进行形状的变换，使得某些部分被拉伸或收缩。
扭曲变换可以通过矩阵运算进行表示，具体操作较为复杂。
二、投影技术在计算机图形学中，投影技术是指将三维空间中的图形映射到二维平面上的过程。
常见的投影技术包括平行投影和透视投影。
1. 平行投影平行投影是一种保持图形中平行线在投影后保持平行的投影方式。
在三维空间中，平行投影可以表示为：x' = xy' = y其中，(x', y')是投影平面上的坐标，(x, y)是三维空间中的坐标。
几何变换的基本概念
几何变换的基本概念几何变换是一种将几何图形通过平移、旋转、缩放或镜像等操作进行改变的方式。
在数学和计算机图形学中，几何变换被广泛应用于图形、图像处理和计算机辅助设计等领域。
本文将介绍一些几何变换的基本概念，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、平移变换平移变换是指将几何图形沿着给定的方向和距离进行移动。
在平移变换中，图形的形状、大小及内部结构都不发生改变，仅仅是位置发生了变化。
平移变换通常通过向图形的每个顶点添加一个位移向量来实现。
在二维平面中，位移向量由横向和纵向的移动距离组成。
在三维空间中，位移向量可以由三个方向的移动距离确定。
平移变换的重要性在于可以实现图像的平移效果，使得图形能够在平面或空间中沿任意方向移动，为后续的变换操作提供了基础。
二、旋转变换旋转变换是指将几何图形绕着一个给定的中心点进行旋转。
旋转变换可以通过改变图形各个顶点的位置来实现。
在二维平面中，旋转变换可以根据旋转角度计算出每个顶点的新位置；在三维空间中，旋转变换涉及到更复杂的计算。
旋转变换可以改变图形的朝向、方向和形状，使得图形能够绕中心点作各种角度的旋转。
旋转变换是许多图形和动画效果的基础，如旋转木马、旋转相框等。
它还在计算机辅助设计中起着重要作用，使得三维模型能够在不同角度进行观察和编辑。
三、缩放变换缩放变换是指改变几何图形的大小比例。
缩放变换可以通过改变图形各个顶点的位置，并相应调整线段的长度和角度来实现。
缩放变换可以使图形变大或变小，可以在一个轴上进行放大或缩小，也可以在两个轴上同时进行放大或缩小。
缩放变换在图形和图像处理中广泛应用。
通过缩放变换，可以实现图形的放大和缩小，对于网页设计、印刷、动画制作等都有重要意义。
四、镜像变换镜像变换是指将几何图形按照某一轴进行对称反转。
镜像变换可以通过改变图形各个顶点的位置来实现。
镜像变换可以是水平镜像或垂直镜像，也可以是关于某一倾斜轴的镜像。
镜像变换常用于图像处理和计算机游戏中，例如制作对称的道路、建筑物或人物形象等。
几何变换的基本概念和性质
几何变换的基本概念和性质几何变换是指平面或空间中的图形在不同的变化规则下发生的形态变化。
在数学和计算机图形学中，几何变换是一个重要的概念，它被广泛应用于各种领域，包括计算机视觉、机器人学、游戏开发和工程设计等。
几何变换包括平移、旋转、缩放和镜像四种基本类型。
每种变换都有其独特的性质和特点。
1. 平移（Translation）平移是指将图形沿着平行于原来位置的方向移动一定距离。
平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变了其位置。
平移的变换规则是通过坐标的加减运算来实现的。
2. 旋转（Rotation）旋转是指将图形绕着某个点进行旋转运动。
旋转可以使图形沿着一个轴线旋转一定角度。
旋转不改变图形的大小和形状，但会改变其方向。
旋转的变换规则是通过坐标的旋转公式来实现的。
3. 缩放（Scaling）缩放是指将图形按照一定的比例进行放大或缩小。
缩放可以改变图形的大小和形状，但不改变其方向。
缩放的变换规则是通过坐标的乘除运算来实现的。
4. 镜像（Reflection）镜像是指将图形按照某条直线或平面进行对称反转。
镜像可以改变图形的方向，但不改变其大小和形状。
镜像的变换规则是通过坐标的变号来实现的。
这些几何变换具有一些重要的性质。
例如，平移和旋转是可逆的，即可以通过逆变换将图形恢复到原来的位置和方向；缩放和镜像也是可逆的，但镜像时需要注意选择合适的对称轴；任意两个几何变换都可以通过组合来实现更复杂的变换效果。
总之，几何变换是数学和计算机图形学中的重要概念，通过平移、旋转、缩放和镜像等变换可以实现对图形的形态变化。
掌握几何变换的基本概念和性质对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。
参考资料：。
几何变换的计算
几何变换的计算几何变换是数学中研究物体位置、形状和尺寸改变的方法。
通过几何变换，我们可以对图像进行平移、旋转、缩放和裁剪等操作，以达到我们预期的效果。
在计算机图形学、计算机视觉和计算机图像处理等领域中，几何变换被广泛应用。
一、平移变换平移变换是指将目标图像在平面上按照给定的坐标偏移量进行移动。
平移变换只改变图像的位置，不改变其形状和尺寸。
平移变换的矩阵表示如下：| 1 0 dx |T=| 0 1 dy || 0 0 1 |其中，dx和dy分别表示在x轴和y轴方向上的平移距离。
二、旋转变换旋转变换是指将目标图像按照给定的角度绕着旋转中心进行旋转。
旋转变换可以使图像发生旋转，改变其方向。
旋转变换的矩阵表示如下：| cosθ -sinθ 0 |R=| sinθ cosθ 0 || 0 0 1 |其中，θ表示旋转的角度。
三、缩放变换缩放变换是指将图像按照给定的比例因子进行放大或缩小。
缩放变换可以改变图像的尺寸，但不改变其形状和位置。
缩放变换的矩阵表示如下：| sx 0 0 |S=| 0 sy 0 || 0 0 1 |其中，sx和sy分别表示在x轴和y轴方向上的缩放比例。
四、裁剪变换裁剪变换是指通过去除目标图像的某些部分，将图像的大小剪裁为所需的区域。
裁剪变换可以改变图像的形状和位置，同时改变其尺寸。
裁剪变换的矩阵表示如下：| 1 0 0 |C=| 0 1 0 || cx cy 1 |其中，cx和cy表示裁剪中心的坐标。
五、仿射变换仿射变换是指将图像进行位置、形状和尺寸的综合变换。
仿射变换可以实现平移、旋转、缩放和倾斜等操作。
仿射变换的矩阵表示如下： | a b 0 |A=| c d 0 || tx ty 1 |其中，a、b、c和d分别表示缩放、旋转和倾斜变换的参数，tx和ty表示平移变换的坐标。
六、透视变换透视变换是指将图像在三维空间中进行形状和位置的改变。
透视变换可以改变图像的尺寸、角度和倾斜等效果。
几何变换的基本定义
几何变换的基本定义几何变换是指通过改变图形的位置、形状、大小或方向来实现对图形的转换。
在数学和几何学中，几何变换是广泛应用于图像处理、计算机图形学和几何推理等领域的重要概念。
本文将简要介绍几何变换的基本定义，包括平移、旋转、缩放和对称变换。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着平行于原始位置的直线方向移动一定距离。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变了其位置。
设图形上的点坐标为(x, y)，平移变换后的新坐标为(x', y')，则有以下公式：x' = x + ay' = y + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离。
在平面几何中，平移变换可以通过将所有点坐标加上相同的位移矢量来实现。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕某一点或绕原点按一定角度旋转。
旋转变换改变了图形的方向和位置，但不改变其大小和形状。
设图形上的点坐标为(x, y)，旋转中心为(cx, cy)，旋转角度为θ，则旋转变换后的新坐标为(x', y')，可以通过以下公式计算：x' = (x - cx) * cosθ - (y - cy) * sinθ + cxy' = (x - cx) * sinθ + (y - cy) * cosθ + cy其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度的余弦和正弦值。
通过调整旋转角度可以实现图形的顺时针或逆时针旋转。
三、缩放变换缩放变换是指通过改变图形的尺寸来实现对图形的变换。
缩放变换可以使图形变大或变小，但图形的形状和位置保持不变。
设图形上的点坐标为(x, y)，缩放中心为(cx, cy)，水平和垂直缩放比例分别为sx和sy，则缩放变换后的新坐标为(x', y')，计算公式如下：x' = (x - cx) * sx + cxy' = (y - cy) * sy + cy通过调整sx和sy的值，可以实现图形的水平或垂直方向上的缩放。
几何变换学习几何变换的基本概念
几何变换学习几何变换的基本概念几何变换是数学中一个重要的概念，它在几何学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍几何变换的基本概念，包括平移、旋转、缩放和对称等常见的变换方式。
一、平移平移是指在平面上将一个对象沿着指定的方向进行移动，移动的距离由向量表示。
平移变换可以用一个向量来描述，向量的长度代表了平移的距离，而向量的方向表示了移动的方向。
对于平面上的一个点P(x, y)，进行平移变换时，可以通过将原点O(x0, y0)与点P的连接向量OP与平移向量的和来得到新的位置P'(x', y')，其中(x', y') = (x + a, y + b)，其中a和b分别表示在x和y方向上的平移距离。
二、旋转旋转是指将一个对象围绕某个点或某个轴进行旋转操作，旋转的角度由角度值表示。
旋转变换也可以用一个向量来描述，该向量为旋转轴的方向向量，其长度代表了旋转的角度。
对于平面上的一个点P(x, y)，绕点O(x0, y0)进行旋转变换时，可以通过将点P相对于原点O的向量OP绕旋转向量逆时针旋转θ度来得到新的位置P'(x', y')。
三、缩放缩放是指将一个对象按照指定的比例进行放大或缩小的操作，缩放的比例由比例因子表示。
缩放变换可以用一个数值来描述，该数值为缩放比例因子。
对于平面上的一个点P(x, y)，进行缩放变换时，可以通过分别将点P的x和y坐标分别与缩放因子s相乘得到新的位置P'(x', y')，其中(x', y') = (s*x, s*y)。
四、对称对称是指将一个对象在指定的轴上进行镜像反转的操作，对称轴可以是水平轴、垂直轴或对角线等。
对称变换可以用一条线来描述，该线为对称轴的方向线。
对于平面上的一个点P(x, y)，绕对称轴进行对称变换时，可以通过将点P关于对称轴的垂线的交点与对称轴的向量之和得到新的位置P'(x', y')。
几何变换的基本概念知识点总结
几何变换的基本概念知识点总结几何变换是几何学中非常重要的概念，用于描述图形在平面上的变化。
在学习几何变换的过程中，我们需要了解一些基本的概念和知识点。
本文将对几何变换的基本概念进行总结，并介绍其常见的几种类型。
一、几何变换的基本概念1. 点：几何变换的基本元素，是平面上最简单的图形表示。
2. 直线：由无数个点组成，是平面上最基本的线段。
3. 线段：由两个不同的点组成的线段。
4. 角度：由两条射线（直线的一种特殊情况）共享一个端点构成，用来描述两条直线之间的偏转程度。
5. 相似：指两个图形的形状相同，但大小可能不同。
6. 共线：指多个点位于同一条直线上。
7. 垂直：指两条直线或线段之间的夹角为90度。
8. 平行：指两条直线永远不会相交。
二、基本几何变换类型几何变换包括平移、旋转、缩放和翻转等。
下面将对这几种常见的几何变换类型进行介绍。
1. 平移：是指图形沿着平面上的平行线进行移动，保持形状和大小不变。
平移可以通过向量来描述，即将图形中的每个点按照给定的向量进行移动。
2. 旋转：是指图形绕着某个中心点进行旋转，保持形状和大小不变。
旋转可以通过角度来描述，即将图形中的每个点按照给定的角度和中心点进行旋转。
3. 缩放：是指按照比例因子，改变图形的大小。
缩放可以分为放大和缩小两种方式，分别通过比例因子大于1和小于1来实现。
4. 翻转：是指将图形沿着一条直线对称交换位置，保持形状不变，但是可能改变大小。
翻转可以分为水平翻转和垂直翻转两种方式。
三、几何变换的性质在进行几何变换时，有一些重要的性质需要我们了解。
1. 保持相似性：几何变换通常都会保持图形的相似性，即形状不变，只是发生了平移、旋转、缩放或翻转等变化。
2. 保持相对位置：几何变换会保持图形中各个点之间的相对位置关系不变，即平行线仍然平行，相交的角度不变。
3. 保持面积比例：几何变换通常会保持图形的面积比例不变，即如果一个图形的面积是另一个图形的两倍，那么经过几何变换后，面积比例仍然保持不变。
基本的几何变换
基本的几何变换几何变换是数学中一个重要的概念，指的是通过平移、旋转、缩放等操作来改变几何图形的形状、大小或位置。
在计算机图形学和计算机视觉领域，几何变换也扮演着至关重要的角色。
本文将介绍几个基本的几何变换，包括平移、旋转、缩放和镜像。
1. 平移在几何变换中，平移是指通过将图形沿着指定的方向移动一定的距离来改变图形的位置。
平移操作可以用以下公式表示：x' = x + dxy' = y + dy其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是平移后的坐标，dx和dy 分别是在x和y方向上的平移量。
2. 旋转旋转是指通过围绕一个指定的点或轴旋转图形来改变图形的方向或角度。
旋转操作可以用以下公式表示：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是旋转后的坐标，θ表示旋转的角度。
3. 缩放缩放是指通过改变图形的尺寸来改变图形的大小。
缩放操作可以用以下公式表示：x' = x * scaleXy' = y * scaleY其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是缩放后的坐标，scaleX和scaleY分别表示在x和y方向上的缩放比例。
4. 镜像镜像是指通过将图形沿着一个轴对称折叠来改变图形的位置或方向。
镜像操作可以用以下公式表示：x' = -xy' = -y其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是镜像后的坐标。
这些基本的几何变换可以单独应用于图形，也可以组合在一起以实现更复杂的效果。
通过灵活组合这些变换操作，我们可以实现各种各样的几何变换，用于图像处理、游戏开发、计算机辅助设计等领域。
总结几何变换是一种重要的数学概念，可以通过平移、旋转、缩放和镜像等操作来改变几何图形的形状、大小和位置。
几何变换的基本概念与性质
几何变换的基本概念与性质几何变换是指在平面或空间中对图形进行变换的操作。
通过对图形的平移、旋转、缩放和对称等操作，可以改变图形的位置、形状和大小。
几何变换在数学、物理和计算机图形学等领域都有广泛应用，具有重要的理论和实际价值。
本文将介绍几何变换的基本概念和性质，以及其在不同领域的应用。
一、平移变换平移变换是指将图形按照指定的方向和距离进行移动的操作。
在平面几何中，平移变换在坐标系中的表示为{(x,y)→(x+a,y+b)}，其中a和b分别表示沿x轴和y轴的平移距离。
平移变换可以保持图形的形状和大小不变，只改变其位置。
例如，将一个矩形图形沿x轴平移10个单位，结果是矩形整体右移10个单位。
平移变换具有以下性质：1. 平移变换不改变图形的形状和大小。
2. 平移变换满足平移合成律，即多次平移变换的结果与一个平移变换等效。
二、旋转变换旋转变换是指将图形按照指定的中心点和角度进行旋转的操作。
在平面几何中，旋转变换在坐标系中的表示为{(x,y)→[x*cosθ-y*sinθ,x*sinθ+y*cosθ]}，其中θ表示旋转的角度。
旋转变换可以改变图形的位置、形状和大小，但保持图形的某些性质不变，如图形的对称性或平行关系。
旋转变换具有以下性质：1. 旋转变换不改变图形的对称性和重心位置。
2. 旋转变换满足旋转合成律，即多次旋转变换的结果与一个旋转变换等效。
3. 在平面几何中，任意图形都可以通过旋转变换得到相似图形。
三、缩放变换缩放变换是指将图形按照指定的比例进行放大或缩小的操作。
在平面几何中，缩放变换在坐标系中的表示为{(x,y)→(kx,ky)}，其中k表示缩放的比例因子。
缩放变换可以改变图形的大小，但保持图形的形状和对称性不变。
缩放变换具有以下性质：1. 缩放变换不改变图形的形状和对称性。
2. 缩放变换满足缩放合成律，即多次缩放变换的结果与一个缩放变换等效。
四、对称变换对称变换是指将图形按照指定的直线对称、点对称或中心对称进行镜像的操作。
几何变换概念
几何变换概念几何变换是指平面上的图形在不同的变换规律下发生形状、位置或尺寸的改变。
几何变换包括平移、旋转、镜像和伸缩等基本变换方式，它们在数学以及计算机图形学等领域有着广泛的应用和深入的研究。
一、平移平移是指图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离。
平移不改变图形的形状和大小，只是将图形整体移动到新的位置上。
平移变换通过向量的概念来描述，可以用坐标表示。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形平移d个单位长度，则平移后的点P'(x',y')的坐标为x'=x+d，y'=y+d。
二、旋转旋转是指图形围绕某个中心点按一定角度进行转动。
旋转变换可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
旋转变换同样涉及到坐标的变化。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形绕原点顺时针旋转θ角度，则旋转后的点P'(x',y')的坐标为x'=x*cosθ-y*sinθ，y'=x*sinθ+y*cosθ。
三、镜像镜像是指图形沿着一个直线进行翻转。
直线称为镜像轴，镜像轴可以是任意一条线段，即使不在图形内部也可以。
镜像变换同样可以通过坐标来描述。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形关于镜像轴进行翻转，则镜像后的点P'(x',y')的坐标根据镜像轴的位置不同而有所区别。
四、伸缩伸缩是指图形在某个中心点按一定比例进行放大或缩小。
伸缩变换可以分为两种情况：等比例伸缩和非等比例伸缩。
等比例伸缩保持图形的形状不变，只改变尺寸大小；非等比例伸缩则同时改变图形的形状和尺寸。
伸缩变换同样可以使用坐标来表示。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形以中心点O为中心进行放大/缩小，比例为r，则伸缩后的点P'(x',y')的坐标为x'=r*x，y'=r*y。
综上所述，几何变换是数学中重要的概念，它是对图形进行形状、位置或尺寸改变的方式。
《计算机图形学》答案,第七章
7.6习题2.试证明下述几何变换的矩阵运算具有互换性：(1)两个连续的旋转变换；(2)两个连续的平移变换；(3)两个连续的变比例变换；(4)当比例系数相等时的旋转和比例变换;(1)证明：设第一次的旋转变换为：cos 0 1 sin 0 1 0Tl= - sinO 1 cos 0 1 00 0 1第二次的旋转变换为：Cos 0 2 sin 0 2 0T2= - sin 0 2 cos 0 2 00 0 1则因为cos 0 1 sin 0 2+ sin 0 1-sin 0 1 sin 0 1+ cos 0 1 0Cos (0 1+02) sin (0 1+02) 0二-sin ( 0 1+02) cos ( 0 1+0 2) 00 0 1T2*T1 二cos 9 1 0cos 0 2 sin 0 2 0 COS 0 1sin 0 1 -sin 0 2cos 0 2 0 -sin 0 10 0 1 0 0T1*T2 = cos 0 1 sin 0 1 0 sin 0 2 00 - sin 0 1 cos 0 110 0 1cos 0 2-sin 0 2cos 0 20 =cos 0 1cos 9 2 0-sin 0 1 cos 0 2 00 cos 0 2+sin O 1 sin 0 2 cos 0 2- cos 0 1 sin 0 21cos 0 1 cos 0 2+ sin 0 1 sin 0 2 sin 0 1 cos 0 2 0=- sin 0 2cos 0 1 - cos 0 2 sin 0 1 cos Q 1 cos 0 2 01Cos (0 1+02) sin ( 0 1+0 2) 0 =-sin ( 0 1+0 2) cos (01+02)0 0 0 1即T1*T2二T2*T1,两个连续的旋转变换具有互换性(2) 证明：设第一次的平移变换为：1 00 Tl=0 1TxlTyl1笫二次的平移变换为：1 0 0T2=0 1 0Tx2Ty21则因为T1*T2 =1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0TxlTyl1 Tx2Ty2110 0二1 0Txl+Tx2Tyl+Ty21而T2*T1 =1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0Tx2Ty21 TxlTyl110 0二1cos 0 1 sin 0 2+ -sinO 1 sin 0 1+Txl+Tx2Tyl+Ty2 1即T1*T2= T2*T1,两个连续的平移变换具有互换性(3) 证明：设第一次的变比例变换为:Sxl 0Tl=0 Syl0 0第二次的变比例变换为：Sx2 0 T2 =0 Sy2 0 0 则因为T1*T2 = Sxl 00 Syl 0 0Sxl*Sx2= 0而T2*T1 =Sx2 0 0 Sy2 0 0 Sxl*Sx2= 0即T1*T2二T2灯1,两个连续的变比例变换具有互换性(4) 证明：设第一次为比例系数相等时的比例变换:STl= 0Sx2 0 0 00 Sy2 0 11Syl*Sy2 01Sxl 0 0 0Syl0 11Syl*Sy2 01第二次的为旋转变换:T2*T1 =cos 0 sin 0 0SOO- sin 0 cos 0 0OSO0 0 10 0 1即T1*T2= T2*T1, “当比例系数相等时的旋转和比例“变换具有互换性3.证明二维点相对x 轴作对称，紧跟着相对y=-x 直线作对称变换完全等价于 该点相对坐标原点作旋转变换。
几何变换的组合与复合
几何变换的组合与复合几何变换是计算机图形学中的重要概念，它指的是对图形进行平移、旋转、缩放等操作，从而改变其位置、大小和形状。
而几何变换的组合与复合则是指多个几何变换按一定顺序进行组合或复合操作，从而得到新的图形。
一、平移变换平移变换是指将图形在平面上沿着指定的方向进行移动，具体的操作可以描述为：对于平面上的一点P(x, y)，沿着指定的向量t(i, j) 进行平移，得到新的坐标点P'为P'(x', y')。
其中，x' = x + i， y' = y + j。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变其位置。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕指定点进行旋转的操作，具体的操作可以描述为：对于平面上的一点P(x, y)，绕着指定的点O旋转θ度，得到新的坐标点P'为P'(x', y')。
其中，x' = (x - ox) * cosθ - (y - oy) * sinθ + ox，y' = (x - ox) * sinθ + (y - oy) * cosθ + oy。
旋转变换会改变图形的方向、形状和位置。
三、缩放变换缩放变换是指将图形沿着指定的轴进行放大或缩小的操作，具体的操作可以描述为：对于平面上的一点P(x, y)，沿着指定的轴缩放，得到新的坐标点P'为P'(x', y')。
其中，x' = x * s，y' = y * s。
缩放变换会改变图形的大小，但不会改变其形状和方向。
四、反射变换反射变换是指将图形关于某一直线进行对称的操作，具体的操作可以描述为：对于平面上的一点P(x, y)，关于指定的直线L进行对称，得到新的坐标点P'为P'(x', y')。
其中，x' = x - 2 * (x * n + y * m + d) * n，y' = y - 2 * (x * n + y * m + d) * m。
计算机形学中的几何变换与投影算法基础
计算机形学中的几何变换与投影算法基础在计算机图形学中，几何变换与投影算法是实现三维对象表示、变换和可视化的基础。
通过对三维空间中的对象进行变换和投影，可以将其呈现在二维平面上，从而实现更直观的可视化效果。
本文将介绍计算机形学中的几何变换和投影算法的基本概念和应用。
一、几何变换几何变换是指通过对三维对象进行平移、旋转、缩放等操作，改变其在空间中的位置和形状。
在计算机图形学中，常用的几何变换包括平移、旋转、缩放和剪切。
1. 平移平移是指将对象沿着指定方向移动一定的距离。
在计算机图形学中，平移变换可以通过将对象的每个顶点坐标增加一个平移向量来实现。
平移变换公式如下：[x'] = [1 0 0 tx] [x][y'] [0 1 0 ty] [y][z'] [0 0 1 tz] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，(tx, ty, tz)表示平移向量。
通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵，可以实现平移效果。
2. 旋转旋转是指将对象绕指定轴进行旋转。
在计算机图形学中，常用的旋转有绕X轴、Y轴和Z轴旋转。
旋转变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个旋转矩阵来实现。
旋转变换矩阵的形式如下：[x'] = [1 0 0 0] [x][y'] [0 cosθ -sinθ 0] [y][z'] [0 sinθ cosθ 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，θ表示旋转角度。
通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵，可以实现旋转效果。
3. 缩放缩放是指改变对象的尺寸大小。
在计算机图形学中，缩放变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个缩放因子来实现。
缩放因子分别作用于X、Y和Z轴的坐标，从而改变对象在各个轴上的尺寸。
缩放变换公式如下：[x'] = [sx 0 0 0] [x][y'] [0 sy 0 0] [y][z'] [0 0 sz 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，(sx, sy, sz)表示缩放因子。
几何变换的基本概念与操作
几何变换的基本概念与操作几何变换是计算机图形学中的重要概念，它可以将一个图形对象从一个位置、方向或大小变换到另一个位置、方向或大小，通过不同的变换操作，可以实现各种形状和位置的变化。
本文将介绍几何变换的基本概念和操作，包括平移、旋转、缩放和反射四种变换。
一、平移平移是指将图形对象按照指定的向量在平面内沿着直线移动，其作用是改变图形对象的位置而不改变其形状和大小。
平移操作可以用一个向量表示，向量的坐标分别表示在x轴和y轴方向上的移动距离。
平移操作的数学表达式如下：```P' = P + T```其中，P表示原始点的坐标，P'表示平移后点的坐标，T表示平移向量的坐标。
二、旋转旋转是指将图形对象按照指定的角度围绕一个中心点旋转，其作用是改变图形对象的方向而不改变其形状和大小。
旋转操作可以用一个角度表示，角度的正负决定了旋转的方向。
旋转操作的数学表达式如下：P' = R * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示旋转后点的坐标，R表示旋转矩阵。
三、缩放缩放是指将图形对象按照指定的比例在水平和垂直方向上进行放大或缩小，其作用是改变图形对象的大小而不改变其形状。
缩放操作可以用一个缩放因子表示，缩放因子大于1表示放大，缩放因子小于1表示缩小。
缩放操作的数学表达式如下：```P' = S * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示缩放后点的坐标，S表示缩放矩阵。
四、反射反射是指将图形对象按照指定的轴线进行镜像翻转，其作用是改变图形对象的位置和方向而不改变其形状和大小。
反射操作可以用一个轴线表示，轴线可以是水平、垂直或任意一条直线。
反射操作的数学表达式如下：P' = M * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示反射后点的坐标，M表示反射矩阵。
综上所述，几何变换是计算机图形学中的重要概念，通过平移、旋转、缩放和反射四种基本操作，可以实现对图形对象的位置、方向和大小的变化。
第七章 图形变换
窗口和视区两者关系
窗口和视区可以是多个 不一定非要矩形，但通常是矩形区域 若要指定一个窗口或视区，只要给出矩形两顶点 的坐标值 观察变换（窗口-视区的坐标变换 窗视变换） 视区的坐标变换， 观察变换（窗口 视区的坐标变换，窗视变换） 窗口（WC）和视区（DC）分别处在不同的坐 标系内，所用的长度单位及大小、位置等均不同 将窗口内的图形在视区中显示出来，必须经过 将窗口到视区的坐标变换处理（视见变换）（观察 变换：世界坐标系=>设备坐标系）
本章基本内容
图形变换的数学基础 窗口视图变换 图形的几何变换 形体的投影变换 三维线段的裁剪
7.1 图形变换的数学基础
点可以用位置向量（矢量 矢量）表示 矢量 二维空间点的坐标可以用行向量[X，Y]或 列向量[X，Y]T 表示 三维空间点的坐标可以用行向量[X，Y，Z] 或列向量表示 用具有一定关系的点的集合（点集 点集）来表示一 点集 个平面图形学基础 窗口视图变换 图形的几何变换 形体的投影变换 三维线段的裁剪
7.2 窗口视图变换
• 世界坐标系 世界坐标系(WC : World Coordinates) • 设备坐标系 • 规格化设备坐标系
1、世界坐标系(WC : World Coordinates) 、世界坐标系
用户定义的图形从窗口到视区的输出过程
从应用程序得到的图形的世界坐标 ↓WC 对窗口进行裁减 ↓NDC 窗口到视区的规格化变换 ↓DC 视区从规格化坐标系到设备坐标系的变换 ↓ 在图形设备上输出图形
从应用 程序得 到图形 的用户 坐标
对窗口区 进行裁剪
窗口区到 视图区的 规格化变换
视图区从规 格化坐标系 到设备坐标 系的变换
1 i i 0 1
视区 viewport
几何变换的认识与计算方法
几何变换的认识与计算方法几何变换是指通过一系列的转换操作对几何图形进行位置、形状或大小的改变。
在计算机图形学和计算机视觉中，对几何图形进行变换是非常重要的。
本文将介绍几何变换的基本认识和常用的计算方法。
一、几何变换的基本认识1. 平移变换：平移变换是将图形沿着平行于原来位置的方向移动，只改变了图形的位置不改变其形状和大小。
平移变换的计算方法是将图形的每个点的坐标都加上一个平移向量来实现。
2. 旋转变换：旋转变换是将图形绕某个旋转中心按一定角度进行旋转，改变了图形的位置和形状。
旋转变换的计算方法可以使用旋转矩阵或三角函数来实现。
3. 缩放变换：缩放变换是通过改变图形的大小实现的。
缩放变换可以按照比例进行放大或缩小，也可以按照不同方向进行不等比例变换。
缩放变换的计算方法是将图形的每个点的坐标都乘上一个缩放因子来实现。
4. 对称变换：对称变换是通过图形的镜像对称来实现的。
对称变换可以是关于一个点、一条直线或一个平面的对称。
对称变换的计算方法是将图形的每个点的坐标按照对称轴进行变换来实现。
二、几何变换的计算方法1. 点的表示：在进行几何变换计算时，需要使用点的坐标来表示图形的位置。
通常使用二维坐标系中的(x, y)来表示点的位置，或者使用齐次坐标来表示点的位置。
2. 矩阵表示：几何变换可以通过矩阵的形式来表示和计算。
不同的几何变换对应着不同的变换矩阵，通过将变换矩阵与点的坐标进行相乘，可以得到变换后的点的坐标。
3. 坐标变换：在进行几何变换计算时，需要将图形的坐标系进行变换，使得变换后的点和变换前的点保持相对位置不变。
常见的坐标变换包括平移变换、旋转变换和缩放变换。
4. 变换顺序：多个几何变换可以按照不同的顺序进行组合，得到不同的效果。
在进行几何变换时，需要注意变换的顺序对最终结果的影响。
5. 变换矩阵的求解：针对不同的几何变换，可以通过数学方法求解得到相应的变换矩阵。
例如，对于平移变换，只需要将平移向量作为变换矩阵的一部分；对于旋转变换，可以使用旋转矩阵或三角函数来求解变换矩阵。
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进一步分析知，平移变换是对常数项的变换，而比例 和旋转则是对x和y项的变换。
二维几何变换的齐次坐标表示
如果我们既要对常数项进行变换，也要对x和y项进行变 换，我们进行如何的处理呢？
观察如下的表达式：
x'
y
'
a1 b1
a2 b2
a3 x
b3
y
c'
c1
c2
c3 c
则有：x’=a1x+ a2y+ a3c
y’=b1x+ b2y+ b3c c’=c1x+ c2y+ c3c
二维几何变换的齐次坐标表示
如果我们令：
a1=1,a2=0,a3=Tx b1=0,b2=1,b3=Ty
c1=0,c2=0,c3=1，c=1 则有：x’=x+ Tx
x' x
y
'
y
x shy
从而沿y方向关于x轴的错切
的变换矩阵为：
1 0 0
SH
x
(shy
)
shy
1
0
0 0 1
7.2.4 二维几何变换的一般形式
设图形上一点的坐标为P(x,y)，经过二维几何变换后的坐标为 P’(x’, y’)，变换矩阵一般可写为：
1 0 0
R FO
0
1
0
0 0 1
错切变换
这种变换可使物体产生变形，即物体产生扭转或称为错 切。常用的两种错切变换是沿x向或沿y向错切变换。 •沿x方向关于y轴的错切 •沿y方向关于x轴的错切
沿x方向关于y轴的错切
在下图中，对矩形ABCD沿x轴方向进行错切变换，得到
矩形A’B’CD。错切的角度为θ，令shx=tanθ假定点(x, y)经 错切变换后变为（x’, y’），由下图可知：
x
y
shx
从而沿x方向关于y轴的错切
的变换矩阵为：
1 shx 0 SH y (shx ) 0 1 0
0 0 1
沿y方向关于x轴的错切
在下图中，对矩形ABCD沿y轴方向进行错切变换，得到
矩形AB’C’D。错切的角度为θ，令shy=tanθ，假定点(x, y) 经错切变换后变为（x’, y’），由下图可知:
Lecture 7
几何变换
概述
在计算机图形学中，通常需要将画出的图形平移到某一 位置，或改变图形的大小和形状，或利用已有图形生成 复杂图形，这种图形处理的过程就是图形的几何变换， 简称图形变换。
二维图形和三维图形都可以进行图形变换。图形变换通 常采用矩阵的方法，图形所做的变换不同其变换矩阵也 不同。变换的实质是对由图形上各点的坐标组成的矩阵 进行运算，因此在讨论各种具体图形几何变换时，可以 归结为一个点的变换。
(x,y)表达为(hx,hy,h),当h=1时称为规格化齐次坐标。
二维几何变换的齐次坐标表示
使用规格化齐次坐标，我们可以表示另外两种变换：
比例变换的矩阵形式 ： x ' Sx 0 0 x
y
'
0
Sy
0
y
1 0 0 1 1
缩写为 ：P'S(Sx，Sy)P
旋转变换的矩阵形式 ： x' cos -sin 0x y' sin cos 0y 1 0 0 11
y
'
'
T
Tx
T
y
可以用矩阵相加来表示P点的位移
x '
y
'
x
y
Tx Ty
计为： P'PT
7.1.2 比例变换
用来改变一物体大小的变换称为比例变换（缩放变换） 。如果要对一个多边形进行比例变换，那么可把各顶点 的坐标（x，y）均乘以比例因子Sx、Sy，以产生变换后的 坐标（x’，y’）
缩写为 ： P'R()P
7.2.3 其他变换
反射变换 ：反射是用来产生物体的镜象的一种变换。物 体的镜象一般是相对于一对称轴生成的 。 •关于x轴对称变换 •关于y轴对称变换 •关于坐标原点的对称变换
关于x轴对称变换
关于x轴的对称变换，是一种特殊形式的缩放变换，其中
，Sx=1，Sy= -1，如图所示，其变换矩阵为：
7.1 二维基本变换
二维基本变换包括： •平移 •比例 •旋转
7.1.1 平移变换
平移是一物体从一个位置到另一位置所作的直线移动。 如果要把一个位于的点移到新位置时，只要在原坐标上 加上平移距离Tx及Ty即可
平移变换
表示成数学形式： x x Tx
y
y
Ty
表示成向量形式：
P
x
y
P
'
x
1 0 0
RFx
0
1
0
0 0 1
关于y轴对称变换
关于y轴的对称变换，是一种特殊形式的缩放变换，其中 ，Sx=-1，Sy=1，如图所示，其变换矩阵为：
1 0 0
RFy
0
1
0
0 0 1
关于坐标原点的对称变换
关于y轴对称变换，是一种特殊形式的缩放变换，其中， Sx=-1，Sy= -1，如图所示，其变换矩阵为：
比例变换
表示成数学形式： x S x x
y
Sy
y
如果令
S
Sx
0
0
S
y
则比例变换可以表示成以下的矩阵形式：
x' y'
Sx
0
0 x
Sy
y
记为： P'SP
7.1.3 旋转变换
物体上的各点绕一固定点沿圆周路径作转动称为旋转变 换。我们可用旋转角表示旋转量的大小。
一个点由位置（x、y）旋转到（x′y′）如下图所示，θ为 旋转角 。
P'RP
x' xcosysin y' ycosxsin
7.2 二维几何变换的齐次坐标表示
可以看出，平移变换的处理方法与其他两种变换的形 式不一样，但我们希望能够用一种一致的或同类的方法 来处理这三种变换，使得这三种基本变换能很容易地结 合在一起，形成各种复杂的组合变换。为了解决这个问 题，引入齐次坐标这一概念。
旋转变换
由图可得到如下三角关系式：
x'rcos()rcoscosrsinsin xcosysin
y'rsin()rcossinrsincos xsinycos
则相对于坐标原点的旋转变换公式如下：
x' xcosysin y' ycosxsin
旋转变换
如果令
R
cos sin
sin
cos
则有 记为
x' cos sinx y'sin cosy
y’=y+ Ty 1=1
上两式正好是坐标的平移变换。
二维几何变换的齐次坐标表示
使用这种表示方法，坐标的平移变换可以表示为：
x ' 1 0 Tx x
y
'
0
1
T
y
y
1 0 0 1 1
平移变换的矩阵形式缩写： P'T(Tx, Ty)P
这样，我们就把矩阵的加法运算转化为矩阵的乘法运算 ，我们使用的这种表达坐标的方法就叫齐次坐标表示。