函数的平均变化率解读
变化率简介
变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
平均变化率与瞬时变化率详解课件
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
函数的平均变化率课件
16
(2)平均变化率为
＝－
＝－1.6.
10
10
它表示从 t＝0 到 t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6 ℃.
课堂小结
1．函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数 y＝f(x)在[x1，x2]
上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值
越大，函数值变化得越快．
C．2
D．0
Δy f1.1－f1 0.21
[Δx＝
＝ 0.1 ＝2.1.]
1.1－1
3.如图所示，函数 y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区
间内，平均变化率最大的一个区间是________．
[x3，x4]
[由平均变化率的定义可知，函数 y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，
一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2-x1
为自变量的改变量;称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;称
y
x
=
y 2 -y 1
x 2 -x 1
(或
f
x
=
f(x 2 )-f(x 1 )
________.
5 [因为函数 f(x)＝x2－x 在区间[－2，t]上的平均变化率是 2，
ft－f－2 t2－t－[－22－－2]
所以
＝
＝2，
t－－2
t＋2
即 t2－t－6＝2t＋4，从而 t2－3t－10＝0，解得 t＝5 或 t＝－2(舍去)．]
5.已知函数f(x)=3x2+5,求f(x):
(2)运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位
函数的平均变化率课件
目录 Contents
• 函数平均变化率的概念 • 函数平均变化率的应用 • 函数平均变化率的性质 • 函数平均变化率的实例分析 • 总结与思考
01
函数平均变化率的概念
平均变化率的定义
01
平均变化率是指在一定区间内函 数值的改变量与自变量改变量的 比值，通常表示为函数在区间两 端点处的函数值的差的商。
函数平均变化率的重要性
理解函数单调性的基础
数学分析的基础
平均变化率是判断函数单调性的重要 依据，通过研究平均变化率，可以深 入理解函数的单调性。
平均变化率是微积分学中的基本概念 ，对于后续学习微积分、导数等数学 知识具有重要意义。
指导实际应用
在工程、经济、生物等领域中，平均 变化率的概念有着广泛的应用，如预 测模型、成本分析等。
。
幂函数的平均变化率
幂函数形式
$y = x^n$
平均变化率公式
$frac{Delta y}{Delta x} = nx^{n-1}$
实例分析
对于函数$y = x^3$，当$Delta x = 1$时，$Delta y = 3x^2$ ，所以平均变化率为$nx^{n-1} = 3x^2$。
05
总结与思考
02
它反映了函数在区间内整体变化 的趋势和速度，是函数在区间内 的一种平均性质。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具之一。
通过计算平均变化率，可以了解函数 在区间内的整体变化趋势，从而对函 数的性质进行初步判断。
平均变化率的计算方法
01
02
03
04
计算平均变化率需要找到函数 在区间两端点处的函数值，然 后相减得到函数值的改变量。
高中数学知识点精讲精析 变化的快慢与变化率
1 变化的快慢与变化率
1.平均变化率：上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率。
1．函数的平均变化率的概念：一般地，给出函数()f x 在区间12[]x x ，上的平均变化率2121
()()f x f x x x --； 2. 平均变化率的几何意义：直线的斜率；
3．平均变化率的实际作用：反映了函数某个区间上的平均变化率（变化快慢）；或者说在某个区间上曲线的陡峭程度．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
提醒：平均变化率有局限．我们知道平均变化率只能反映函数在某个区间内的平均变化，而无法精确反映某一点的变化状态
1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及
临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则
=∆∆x
y . 【解析】
)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+- ∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.
【解析】
2
020)(x x x y -∆+=∆
所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2020)(x x x x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 1
212)()(x x x f x f --
所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02。
函数的平均变化率课件
实际问题中如何应用函数的平均变化率？
运动学
速度和加速度的变化率都是平均 变化率，可以通过这些平均变化 率来了解运动学中的物理现象。
商业领域
可以通过函数的平均变化率来评 价某一产品或公司的增长速度。
时间管理
可以通过函数的平均变化率来了 解时间利用效率的变化。
平均变化率的图像解释
相邻两点之间的斜率
在图像上，平均变化率可以表示为相邻两条线段的 斜率。
函数的平均变化率的应用举例
1
应用一
在积分计算中，常用平均变化率来近似求解曲线下的面积。
2
应用二
在微分方程的求解中，平均变化率可以用于简单的数值方法计算。
3
应用三
在统计学中，业务活动的整体变化趋势可以通过平均变化率来进行分析。
函数的平均变化率在物理学中的应用
万有引力
质点在单位时间内运动的平均速 度可以用万有引力的平均变化率 来计算。
1 步骤一
首先，要知道函数在哪里发生了断裂，也就 是函数不连续的地方。
2 步骤二
判断函数在不连续点与相邻区间之间的平均 变化率是否存在。
3 步骤三
如果这一区间存在平均变化率，那么新的区 间一定就是函数的定义域。
4 步骤四
如果不存在平均变化率，则需要进一步的讨 论和推导。
如何根据函数的平均变化率推断函数 的值域？
1 步骤一
求出函数的导数。
2 步骤二
根据导数的正负来判断函数的值域。
3 步骤三
如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减；否则，需要进 一步研究函数。
函数的平均变化率的重要性
平均变化率是微积分的基础概念之一，不仅在学术研究中广泛应用，而且在 日常生活中也具有重要的意义。通过平均变化率可以揭示出事物在不同时间 段内的变化趋势，从而帮助我们做出更好的决策。
函数的平均变化率讲解
＝3·Δx，
∴ΔΔxy＝3·ΔΔx x＝3，
即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 3.
②∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1)
＝[2×(1＋Δx)2＋1]－(2×12＋1)＝4·Δx＋2·(Δx)2，
∴ΔΔxy＝4·Δx＋Δ2·x（Δx）2＝4＋2·Δx，
即 g(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 4＋2Δx.
已知函数f(x)＝x2＋x，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1， 2]，[1，1.5]，[1，1＋Δx]的平均变化率．
【 解 】 函 数 f(x) 在 区 间 [1 ， 3] 的 平 均 变 化 率 为
f（3）3－ －f1（1）＝32＋3－（2 12＋1）＝5；
函数 f(x)在区间[1，2]的平均变化率为f（2）2－－f1（1）＝
(1)该质点在前3 s内的平均速度； (2)质点在2 s到3 s内的平均速度．
【思路探究】 因为Δs 是质点在Δt 这段时间内的位移， 所以ΔΔst就是质点在Δt 这段时间内的平均速度．服/务/教ຫໍສະໝຸດ 师 免/费/馈/赠返回菜单
RB . 数学 . 选修2-2
【自主解答】 (1)由题设知，Δt＝3 s， Δs＝s(3)－s(0)＝24 m， ∴平均速度为 v＝ΔΔst＝8 m/s. (2)由题设知：Δt＝3－2＝1 s，Δs＝s(3)－s(2)＝12 m. ∴平均速度为 v＝ΔΔst＝12 m/s.
服/务/教/师 免/费/馈/赠
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RB . 数学 . 选修2-2
由于 k1<k2<k3， ∴函数 f(x)＝x2＋a 在 x＝3 附近的平均变化率最大． 当 f(x)＝－x2 时，
f(x)在 x＝1 附近的平均变化率为 k1＝f（1＋ΔxΔ）x－f（1）＝ [－（1＋ΔxΔ）x2]－（－1）＝－2－Δx；
1 函数的平均变化率、瞬时速度、导数的概念
求函数在某点处的导数
例2．求函数 f (x)=3x2+ax+b在x=1处的导数
一作差：
下结论
求物体运动的瞬时速度
例3．一个物体的运动方程为s=(2t+1)2，其中s的单位是米，t 的单位是秒，求该物体在1秒末的瞬时速度.
【归纳】求物体的瞬时速度的心得体会. 提示：Δt 趋近于0，是指时间间隔Δt
（3）从平均速度到瞬时速度 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t )，
在时间段[t1，t2]上的平均速度，即 v s(t2 ) s(t1) . t2 t1
lim y lim f x0 x f x0
x x0
x0
x
求函数的平均变化率
例1．已知函数f(x)=3x+1，计算f(x)在－3到－1之间和在1 到1+Δx之间的平均变化率．
越来越短，能越过任意小的时间间隔，但 始终不能为0．Δt，Δs在变化中都趋近于0，
s 但t 趋近于一个常数，这是极限思想，
即求函数 s(t)在某一点处的导数.
平均速度与瞬时速度的求解 【典例】一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t )＝ 3t－t2. （1）求此物体的初速度； （2）求此物体在t＝2时的瞬时速度； （3）求t＝0到t＝2时的平均速度．
C (34, 33.4)
30
B (32, 18.6) 20
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
30
34 t(d)
情景 2：在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当 山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁， 那么，我们如何反映山坡的平缓与陡峭程度呢？
1．函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
函数的平均变化率
课件6：1.1.1 函数的平均变化率
试比较两人的平均速度哪个大？
解
由图象可知 s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，
s1t0－s10 s2t0－s20
则
<
，
t0
t0
所以在从 0 到 t0 这段时间内乙的平均速度大．
小结
平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快
慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平
1.1.1 函数的平均变化率
知识导航
1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域
x －x
内不同的两点，记Δx＝ 1 0 ，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
Δy
+∆ −()
f(x
＋Δx)－f(x
)
0
0
Δx
＝
，则当Δx≠0时，商
＝______叫
∆
做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的 平均变化率
均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．
跟踪训练 3 甲用 5 年时间挣到 10 万元，乙用 5 个
月时间挣到 2 万元，如何比较和评价甲、乙两人
的经营成果？
10
10 1
解 甲赚钱的平均速度为
＝ ＝ (万元/月)，乙赚钱
5×12 60 6
2
的平均速度为 (万元/月)．
5
因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数，
．
fx2－fx1
∆
2．函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义： ＝__________
x2－x1
∆
表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线
的
第三章 3.1.1函数的平均变化率
§3.1 导 数3．1.1 函数的平均变化率学习目标 1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．知识点 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 答案 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值y 的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度． 思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？答案 观察图象可看出，ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率．梳理 (1)函数的平均变化率的定义已知函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，令Δx ＝x －x 0；Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．则当Δx ≠0，比值f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．(2)平均变化率的实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数在区间[x 0，x 0＋Δx ]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．(1)在平均变化率的定义中，自变量x 的增量Δx ＞0.( × )(2)对于函数f (x )在区间[x 1，x 2]内的平均变化率也可以表示为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.( √ )(3)Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 是f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率，也可以说是f (x )在x ＝x 0处的变化率．( × )类型一 求函数的平均变化率例1 已知函数y ＝f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)在0.1到0.2之间的平均变化率； (2)在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 考点 题点解 (1)因为f (x )＝3x 2＋5，所以在0.1到0.2之间的平均变化率为f (0.2)－f (0.1)0.2－0.1＝3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5)＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2，函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝6x 0Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx . 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.①求：当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx； ②求：当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx.(2)求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率解 (1)因为f (x )＝2x 2＋3x －5， 所以Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx Δx＝2Δx ＋4x 1＋3. ①当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1，Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2＋19＝21，ΔyΔx ＝21.②当x 1＝4，x 2＝4.1时，Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋4x 1＋3＝19.2. (2)在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大． 类型二 求物体的平均速度例2 一质点做直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，求该质点在t ＝1,2,3附近，Δt ＝13时，平均速度的值，并比较在哪一时刻附近的平均速度最大．考点 题点解 s (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的位移增量为s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝(t 0＋Δt )2＋1－(t 20＋1)＝2t 0Δt ＋(Δt )2， Δs Δt ＝2t 0Δt ＋(Δt )2Δt＝2t 0＋Δt ， 将t 0＝1,2,3，Δt ＝13分别代入上式得，当t 0＝1时，平均速度Δs Δt ＝73；当t 0＝2时，平均速度Δs ＝133；当t 0＝3时，平均速度Δs Δt ＝193.由上面的计算知，t ＝3附近的平均速度最大． 引申探究若该质点在2到2＋Δt 之间的平均速度不大于5，则Δt (Δt ＞0)的取值范围是什么？解 s (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的位移增量为s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝(t 0＋Δt )2＋1－(t 20＋1)＝2t 0Δt ＋(Δt )2. Δs Δt ＝2t 0Δt ＋(Δt )2Δt＝2t 0＋Δt . 当t 0＝2时，由题意，得4＋Δt ≤5，得Δt ≤1. 又因为Δt ＞0，故Δt 的取值范围是(0,1]．反思与感悟 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均变化率．跟踪训练2 动点P 沿x 轴运动，运动方程为x ＝10t ＋5t 2，式中t 表示时间(单位：s)，x 表示距离(单位：m)，求在20≤t ≤20＋Δt 时间段内动点的平均速度，其中 (1)Δt ＝1；(2)Δt ＝0.1；(3)Δt ＝0.01. 考点 题点解 动点在20≤t ≤20＋Δt 时间段内的平均速度为 v ＝10(20＋Δt )＋5(20＋Δt )2－10×20－5×202Δt＝210Δt ＋5(Δt )2Δt＝5Δt ＋210，(1)当Δt ＝1时，v ＝5×1＋210＝215(m/s)． (2)当Δt ＝0.1时，v ＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)．(3)当Δt ＝0.01时，v ＝5×0.01＋210＝210.05(m/s).1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B解析 s (2.1)－s (2)2.1－2＝3＋2×2.1－(3＋2×2)0.1＝2.2．如图，函数y ＝f (x )在1到3之间的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 考点 题点 答案 B 解析 Δy Δx ＝1－33－1＝－1.3．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋2的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2＋Δx ,6＋Δy )，则ΔyΔx 为( )A ．Δx ＋1Δx ＋4B ．Δx －1Δx －4C ．Δx ＋4D ．4＋Δx －1Δx考点 题点 答案 C解析 Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－4Δx＝Δx ＋4.4．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 考点 题点 答案 2解析 ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3. ∴m 2＋m ＋1＝7， ∴m ＝2或m ＝－3(舍)．理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．一、选择题1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在时间[2，2.1]内的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小． 所以乙厂的治污效果较好．3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及附近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x考点 题点 答案 B解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[2(1＋Δx )2－1]－1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx . 4．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 中，Δx 不可能( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0考点 题点 答案 C5．函数y ＝f (x )＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( ) A ．Δx ＋2 B ．2Δx ＋(Δx )2 C ．Δx ＋3 D ．3Δx ＋(Δx )2 考点 题点 答案 C 解析Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－(12＋1)Δx＝Δx ＋3.6．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A ．k 1＜k 2 B ．k 1＞k 2 C ．k 1＝k 2 D ．无法确定考点 题点 答案 D解析 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝2x 0－Δx .又因为Δx 可正可负且不为0， 所以k 1，k 2的大小关系不确定．二、填空题7.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________________．(用“＜”连接)考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知，k OA <k AB <k BC .8．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f (t )－f (－2)t －(－2)＝t 2－t －(－2)2－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，所以t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5.9．在曲线y ＝2x 2＋1的图象上取一点(1,3)及邻近一点(1＋Δx ,3＋Δy )，则ΔyΔx ＝________.考点 题点 答案 2Δx ＋4解析 Δy Δx ＝2(1＋Δx )2＋1－3Δx＝2Δx ＋4.10．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆的面积S 的平均变化率为________．考点题点答案 2π＋πΔr解析 当r ∈[1,1＋Δr ]时，圆的面积S 的平均变化率为ΔS Δr ＝π(1＋Δr )2－πΔr ＝π＋2π·Δr ＋(Δr )2π－πΔr＝2π＋πΔr .三、解答题11．过曲线y ＝f (x )＝x 3＋2x 上两点P (1,3)和Q (1＋Δx ，3＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.2时割线的斜率．考点题点解 由条件可知，当Δx ＝0.2时，k PQ ＝3＋Δy －31＋Δx －1＝Δy Δx＝(1＋Δx )3＋2(1＋Δx )－(13＋2×1)Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋5＝0.22＋3×0.2＋5＝5.64.故当Δx ＝0.2时，割线的斜率为5.64.12．求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．考点题点解 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx ＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx . 当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.13．以初速度v 0竖直向上抛一物体的位移s 与时间t 的关系为s (t )＝v 0t －12gt 2(g 为物体的重力加速度)．(1)求物体从时刻t 0到时刻t 0＋Δt 这段时间内的平均速度v ；(2)求物体在t ＝10 s 到10.4 s 这段时间内的平均速度．考点题点解 (1)由t 0到t 0＋Δt ，则改变量为Δt .因为Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20 ＝v 0Δt －gt 0·Δt －12g (Δt )2， 所以v ＝Δs Δt ＝v 0Δt －gt 0·Δt －12g (Δt )2Δt＝v 0－gt 0－12g Δt . (2)当t 0＝10 s 时，Δt ＝0.4 s ，则物体在t ＝10 s 到10.4 s 这段时间内的平均速度 v ＝v 0－10g －12×g ×0.4＝v 0－10.2g . 四、探究与拓展14．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则第二年婴儿体重的平均变化率为________千克/月．考点题点答案 0.25解析 第二年婴儿体重的平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)． 15．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围． 考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用解 ∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞)．。
01函数平均变化率
如果我们用运动员某段 述其运动状态 , 那么
时间内的平均速度
v描
在 0 t 0 . 5 这段时间里 v h 0 .5 h 0 0 .5 0 在 1 t 2 这段时间里 v h 2 h 1 21
,
4 . 05 m / s ; ,
叫函数 y f ( x ) 在 x 0 到 x 0 x 之间的平均变化率
或：令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 y x
注意：
（1） x 叫做自变量的改变量，也称“增量”
可正、可负、但不可为零。
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
问题: •求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+3(Δx)2 y f 再求 6 6 3 x 再求 lim
x
x 0
x
例1 物体作自由落体运动,运动方程为：s 1 gt 2 其中位移单位是 2 m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
t 0
13.1
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确 定值-13.1”.
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过 取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
• 运动员在某一时刻t0的瞬时速度是：
lim
h (t0 t ) h (t0 ) t
t 0
利用函数的导数解决变化率问题
利用函数的导数解决变化率问题函数的导数在解决变化率问题中发挥着重要的作用。
在数学和应用领域中，我们经常需要计算事物随时间、空间或其他变量的变化速率。
这些问题可以通过函数的导数来求解，下面将介绍一些常见的变化率问题以及如何利用函数的导数来解决它们。
一、平均变化率平均变化率是描述函数在某个区间内的平均变化速率。
假设有一个函数f(x)，我们想要求解它在区间[a, b]上的平均变化率。
这可以通过计算函数值的差异除以自变量的变化量得到：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)二、瞬时变化率瞬时变化率是指函数在某一点上的变化速率。
函数的导数可以用来计算瞬时变化率。
给定一个函数f(x)，我们可以通过求解其导函数f'(x)来得到瞬时变化率。
瞬时变化率 = f'(x)三、最大和最小变化率函数的导数还可以帮助我们找到函数在某个区间内的最大和最小变化率。
通过找到函数的导数的最大和最小值，我们可以确定在哪些点上函数的变化率达到最大或最小。
最大和最小变化率 = f'(x) = 0四、应用实例以物理学中的运动问题为例，假设一个物体的位移随时间的变化关系可以用函数f(t)表示。
我们想要求解该物体在某一时刻的瞬时速度。
可以通过计算函数f(t)的导函数f'(t)来得到瞬时速度。
瞬时速度 = f'(t)五、其他变化率问题除了上述提到的问题，函数的导数还可以应用于其他各种变化率问题，比如计算人口增长率、温度变化率、经济增长率等。
只要有一个与时间或其他变量相关的函数，就可以利用函数的导数来解决相应的变化率问题。
总结：通过函数的导数，我们可以解决各种变化率问题，包括平均变化率、瞬时变化率、最大和最小变化率等。
函数的导数可以帮助我们更好地理解和分析事物的变化过程，并且应用广泛。
无论是在数学领域还是其他应用领域，函数的导数都是一个强大的工具，能够提供准确的变化率信息，帮助我们更好地理解和解决问题。
平均变化率 课件
1 2
.(g 取 9.8
=
0. 1
答案:29.89 m/s
-18-
3.2 双曲线的简单性质
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典型透析
随堂演练
1
2
3
4
5
5.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图,试指出哪一个厂 治污效果较好.
易错辨析 易错点 不理解平均变化率的概念而致误 【例 3】 若函数 f(x)=x2-1,其图像上点 P(2,3)及其邻近点
Q(2+Δx,3+Δy),则 =( ) Δ������ A.4Δx+(Δx)2 B.4Δx C.4+Δx D.Δx 错解:∵3+Δy=(2+Δx)2-1=4+4Δx+(Δx)2-1, ∴Δy=4Δx+(Δx)2.故选 A. 错因分析:因对平均变化率的概念理解不透彻而导致求解错误 , 其实,平均变化率就是 的值. 正解:∵Δy=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,
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函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为 量的改变量,记作 Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量, 记作 Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自 变量的改变量之比,即
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【变式训练1】 求函数y=-2x2+3在区间[2,2+Δx]内的平均变化率, 1 并求当 Δx= 时平均变化率的值 . 2
2020版高中数学人教B版选修2-2课件：1.1.1 函数的平均变化率
【解析】质点在2到2+Δt之间的平均速度为
［(2 t)2 1］ 22 1 4t (t)2
v
4 t.
t
t
又 v≤5,即4+Δt≤5,
所以Δt≤1.
又Δt>0,
所以Δt的取值范围为(0,1]. 答案:(0,1]
【易错误区案例】 求解函数的平均变化率问题 【典例】函数y=2x2+3x在[1,2]内的平均变化率为_-_9_.
y x
f x2 f x1
x2 x1
公式中Δx与Δy可能同号,也可能异号.
(3)×.函数值的改变量应是f(x0+Δx)-f(x0).
2.若已知函数f(x)=x2-1的图象上一点(1,0)及附近一 点(1+Δx,Δy),则Δy的值为________. 【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)= (1+Δx)2-1=(Δx)2+2Δx. 答案:(Δx)2+2Δx
33 3
所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.
【方法技巧】 比较平均变化率的方法步骤
(1)求出两不同点处的平均变化率. (2)作差(或作商),并对差式(或商式)作合理变形,以 便探讨差的符号(或商与1的大小). (3)下结论.
【补偿训练】一质点做直线运动,其位移s与时间t的 关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的 平均速度不大于5,则Δt的取值范围是______.
为 f x1 f x2 ?
x1 x2
提示:能.若从x1变为x2,平均变化率为
若从x2变为x1,平均变化率为
而 f x2 =f x1 f x.1 f x2
f x1 f,
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
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分别观察两组区间和其对应的平均变化率， 你能得出什么规律吗？
例4. 请分别计算出下面两个图象表示 的函数h(t)在区间[0，3]上的平均变化率。
h
10
h
10
h
10
O
1
A
10 3
3
t
O
1
3
B
t
O
10 3C 10 3 Nhomakorabea1
3
t
观察这三个数据你有什么发现？
课堂小结 形 曲线陡峭 数 平均变化率
变量变化的快慢
3.5
3 6 9 12 T(月)
你还有其它的方法得出 这样的结论吗？
知识运用
f ( x) 2 x 1, g ( x) 2 x分 , 别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上 f ( x)及 g ( x )
例2、已知函数 的平均变化率。
思考： y=kx+b在区间[m，n]上的平均变 化率有什么特点？
知识运用
例3. 已知函数
f ( x) x ，分别计算 f ( x) 在下
2
列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
4
（5）[0.9，1]； 1.9
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
3
2.1 2.001
（6）[0.99，1]； 1.99
（7）[0.999，1]. 1.999
（4）[1，1.001]。
函数的平均变化率
问题情境
如右图所示，向高为10cm的杯子等速注水，3 分钟注满。若水深h是关于注水时间t的函数，则下 面两个图象哪一个可以表示上述函数？
h/cm
10
M N 10
h/cm
N
M
O 1
A
3
t/m
O
1
3
B
t/m
开始时，h变化得快，后来h变化得慢。
平均变化率
一般地，函数 均变化率为
f ( x) 在区间上
W(kg) 11 8.6 6.5
比较它们的实际 你能说出这两个 平均变化率的实 意义，你能从中 际意义吗？ 得出什么结论？
解：从出生到第3个月， 婴儿体重的平均变化率为 6.5 3.5 1(kg / 月) 30 从第6个月到第12个月， 婴儿体重的平均变化率为
11 8.6 0.4(kg / 月) 12 6
[ x1 , x2 ] 的平
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
形 曲线陡峭程度
数 平均变化率
变量变化的快慢
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
知识运用
例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图 所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月 到第12个月该婴儿体重的平均变化率。