高考文科数学基本不等式

数为__a_b_，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不
小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最
小值是_2__p_.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，xy有最 p2
x2＋(y－m)2＝1，x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0化为(x－2n)2＋y2
＝9，故 4n2＋m2＝3－1＝2，即4n2＋m2＝4，m42＋n12＝
返回
[集训冲关]
1.[考法一]已知x<0，则函数y＝4x＋x的最大值是
()
A．－18
B．18
C．16
D．－4
解析：∵x<0，∴y＝－ －4x＋－x ≤－4，当且仅当x＝
－2时取等号．
答案：D
返回
2.
[考法二]
正数a，b满足
1 a
＋
9 b
＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋
18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是_______．
3ab·43ba＝83.
返回
研透高考·深化提能
[全析考法]
考法一 通过拼凑法利用基本不等式求最值 利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一
正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二 定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值， “三相等”是指满足等号成立的条件．
返回
[例1] (1)(2019·泉州检测)已知0<x<1，则x(3－3x)取得
∴m＋n＝2(a＋b)≥4 ab＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．
答案：B
返回
3. [考法二·考向三] 两圆x2＋y2－2my＋m2－1＝0和x2＋y2－
4nx＋4n2－9＝0恰有一条公切线，若m∈R，n∈R，且
mn≠0，则m42＋n12的最小值为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意可知两圆内切，x2＋y2－2my＋m2－1＝0化为
解析：因为a>0，b>0，
1 a
＋
9 b
＝1.所以a＋b＝(a＋b)·1a＋9b
＝
10＋
b a
＋
9a b
≥10＋2
9 ＝16.由题意．得16≥－x2＋4x＋18－
m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，又x2－4x－2＝
(x－2)2－6的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.
答案：[6，＋∞)
(2)∵x>2，m>0，∴y＝x－2＋
m x－2
＋2≥2
x－2·x－m 2
＋2＝2 m ＋2，当且仅当x＝2＋ m 时取等号，又函数y＝x＋
x－m 2(x>2)的最小值为6，∴2 m＋2＝6，解得m＝4.
[答案] (1)B (2)4
返回
[方法技巧]
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数 是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以 及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
1时取到等号；ab≤
a＋b 2
2＝
1 4
，当且仅当a＝b＝
1 2
时取到
等号．
答案：2
1 4
返回
3．若a，b∈R，ab>0，则a4＋a4bb4＋1的最小值为________．
解析：∵a，b∈R，ab>0，
∴a4＋a4bb4＋1≥4a2abb2＋1＝4ab＋a1b≥2
4ab·a1b＝4，
a2＝2b2， 当且仅当4ab＝a1b，
返回
2．几个重要的不等式
1a2＋b2≥_2_a_b__，a，b∈R；
2ba＋ab≥2，ab>0； 3ab≤a＋2 b2，a，b∈R； 4a2＋2 b2≥a＋2 b2，a，b∈R
当且仅当a＝b时 等号成立.
返回
3．算术平均数与几何平均数
a＋b
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为___2___，几何平均
返回
[解析] (1)因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x＋3y＝1，所以1x＋
31y＝1x＋31y(x＋3y)＝2＋3xy＋3xy≥4当且仅当3xy＝3xy，即x＝12，
y＝16时取等号．
(2)∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴2x＋1y＝(x＋2y)·2x＋1y＝2＋
2＋4xy＋xy≥4＋2 4xy·xy＝8，当且仅当x＝12，y＝14时取等号，
(1)试用a，b表示S； (2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
返回
[解] (1)∵铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a>0，b>0，
∴ab＝28 800.①
设上栏框内高度为h cm，则下栏框内高度为2h cm，则
3h＋18＝b，∴h＝b－3Fra Baidu bibliotek8，
∴透光部分的面积S＝(a－18)×2b－3 18＋(a－12)×
返回
突破点二 基本不等式的综合问题
返回
关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于 函数、数列、立体几何、解析几何及实际问题中，此类问题 一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力．
返回
[全析考法]
考法一 基本不等式的实际应用问题 [例1] 如图，一个铝合金窗分为上、
下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝 合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高 度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合 金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该 铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分 的面积为S cm2.
返回
考法二 通过常数代换法利用基本不等式求最值
[例2] (1)(2019·青岛模拟)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝
lg 2，则1x＋31y的最小值是
()
A．2
B．2 2
C．4
D．2 3
(2)(2019·齐齐哈尔八校联考)若对x>0，y>0，x＋2y＝1，
有2x＋1y≥m恒成立，则m的最大值是________．
返回
() () () ()
返回
二、填空题
1．当x>0时，函数f(x)＝x22＋x 1的最大值为________． 答案：1
2．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为 ________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．
解析：由基本不等式得a＋b≥2 ab ＝2，当且仅当a＝b＝
大值是__4__.(简记：和定积最大)
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y＝x＋1x的最小值是2. (2)函数f(x)＝cos x＋co4s x，x∈0，π2的最小值为4. (3)x>0，y>0是xy＋xy≥2的充要条件． (4)若a>0，则a3＋a12的最小值为2 a. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
1 4
，解得x1＋x2<－2(因为x1≠x2，等号取不
到)，故选B.
[答案] B
返回
考向二 基本不等式与数列的交汇问题
[例3]
(2019·济宁期末)已知a>0，b>0，并且
1 a
，
1 2
，
1 b
成
等差数列，则a＋9b的最小值为
()
A．16
B．9
C．5
D．4
[解析] ∵1a，12，1b成等差数列，∴1a＋1b＝1，∴a＋9b＝
()
A．y＝±2x
B．y＝±2 2x
C．y＝± 2x
D．y＝±12x
返回
[解析] 由题意得m>0，e＝ 1＋m2m＋4 ＝ 1＋m＋m4
≥
1＋2
4 m·m
＝
5
，当且仅当m＝
4 m
，即m＝2时等号
成立，所以双曲线的方程为
x2 2
－
y2 8
＝1，所以渐近线方程为y
＝±2x，故选A.
[答案] A
返回
[方法技巧]
求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式 (或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本 不等式的形式求解．
返回
[集训冲关]
1. [考法二·考向一] 已知函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图 象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0,
基本不等式
[考纲要求] 1.了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
Contents
1
突破点一 利用基本不等式求最值
2 突破点二 基本不等式的综合问题
3
课时跟踪检测
返回
突破点一 利用基本不等式求最值
返回
抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
1．基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
返回
考法二 基本不等式与其他知识的交汇问题 考向一 基本不等式与函数的交汇问题
[例2] (2019·北京西城区期末)已知A，B是函数y＝2x的
图象上不同的两点，若点A，B到直线y＝
1 2
的距离相等，则点
A，B的横坐标之和的取值范围是
()
A．(－∞，－1)
B．(－∞，－2)
C．(－∞，－3)
D．(－∞，－4)
则m1 ＋n1的最小值为
()
A．3－2 2
B．5
C．3＋2 2
D．3＋ 2
返回
解析：令x＋3＝1，得x＝－2，故A(－2，－1)．又点A在直线
mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，则
1 m
＋
n1＝m1 ＋n1(2m＋n)＝3＋mn ＋2nm≥3＋2
mn ·2nm＝3＋2 2.当
∴2x＋1y的最小值为8，又2x＋1y≥m恒成立，∴m≤8，即m的最
大值为8.
[答案] (1)C (2)8
返回
[方法技巧]
通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利 用基本不等式求最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进 而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值．
∴铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部 分的面积最大．
返回
[方法技巧]
利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提 炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不 在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变 量的范围用对应函数的单调性求解．
b－18 3
＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28
800－
2(9a＋8b)＋288＝29 088－2(9a＋8b)．
返回
(2)∵9a＋8b≥2 9a·8b＝2 9×8×28 800＝2 880，当且 仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝98a，代入①式得a＝160，从 而b＝180，即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．
返回
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设x1<x2.函数y＝ 2x为单调增函数，若点A，B到直线y＝12的距离相等，则
1 2
－y1＝y2－
1 2
，即y1＋y2＝1，即2x1＋2x2＝1.由基本不等式
得1＝2x1＋2x2≥2 2x1·2x2 ，当且仅当x1＝x2＝－1时取等
号，则2x1＋x2≤
最大值时x的值为
()
1 A.3
B．12
C.34
D．23
(2)(2019·南昌调研)已知函数y＝x＋
m x－2
(x>2)的最小值为
6，则正数m的值为________．
返回
[解析] (1)∵0<x<1，
∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋21－x2＝34. 当且仅当x＝1－x，即x＝12时等号成立．
即a2＝ 22，
b2＝
2 4
答案：4
时取得等号．
返回
4．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则
2 a
＋
1 b
的最小值为
________． 解析：由 a＋2b＝3 得13a＋23b＝1，
所以2a＋1b＝13a＋23b2a＋1b＝43＋3ab＋43ba≥43＋2 当且仅当 a＝2b＝32时取等号． 答案：83
(a＋9b)1a＋1b＝10＋ab＋9ab≥10＋2 ab·9ab＝16，当且仅当ab＝
9ab且1a＋1b＝1，即a＝4，b＝43时等号成立，故选A. [答案] A
返回
考向三 基本不等式与解析几何的交汇问题
[例4]
(2019·邢台月考)当双曲线M：
x2 m
－
y2 m2＋4
＝1的离
心率最小时，M的渐近线方程为
且仅当m＝2＋1 2，n＝ 21＋1时等号成立，所以m1 ＋n1 的最小
值为3＋2 2，故选C.
答案：C
返回
2. [考法二·考向二] 已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m
＝b＋1a，n＝a＋1b，则m＋n的最小值是
()
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b，n＝a＋1b＝2a，