曲阜师范学院：数学分析期期末考试试题

数学科学学院05－06学年第一学期期末考试试题

考试科目：数学分析 年级： 05

适用专业：数学与应用数学 信息与计算科学 统计学

考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 试卷类别：A 试题满分：100分

一．判断题(正确的划√,错误的划×，每小题2分，共20分).

1．若数列{}n a 收敛，则{}n a 必为有界数列．

2．无穷小量与一个有界变量的乘积仍是一个无穷小量． 3．若单调数列{}n a 中有一个子列{}

k n a 收敛，则数列{}n a 收敛． 4．若n n x y >，1,2,n =L ，且lim n n x a →∞

=，lim n n y b →∞

=，则必有a b >．

5．若()f x 在0x =点可导，则()f x 在0x =点也可导．

6．若()f x 在0x 点连续，()g x 在0x 点不连续，则()()f x g x 在0x 点一定不连续． 7．设

()f x 在[,]a b 上可导，若()f x 在[,]a b 上严格单调增加，则在[,]a b 上

必有()0f x >'．

8．若()f x 在0x x =取的最大值，则()0f x ='．

9．若()f x 在X 上一致连续，则2()f x 在X 上必定一致连续． 10．若()f x 为可导的偶函数，则()f x '必为奇函数．

二．叙述定义并用定义证明（每题9分，共18分）

1．叙述()lim x f x A →∞

=的定义，并用定义证明22

5

lim 11x x x →∞-=+．

2．叙述函数()f x 在X 上一致连续的定义，并用定义证明()f x =在

(),-∞+∞上一致连续．

三．计算下列各题（每题4分，共24分）

1

．lim n →∞⎛⎫+L ； 2．2201

1lim sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭； 3．设()223x y x x e =++，求()n

y ； 4

．x →；

5．设()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩

，求22d y dx ； 6．设()()

,00,0g x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

，且已知()()000g g '==，()04g ''=,试求()0f '． 四．按要求解答下列各题（1-4每题8分，第5题6分，共38分）

1

．设1a =

1n a +=1,2,n =L ，证明:{}n a 的极限存在并求其值． 2．设函数()f x 在0x 点可导，且在0x 点的某一邻域内，()0f x 为()f x 的最大值，则()00f x '=．

3．叙述闭区间上连续函数的有界性定理，并用有限覆盖定理证明． 4．按函数作图步骤，作函数()2arctan f x x x =-的图像． 5．若函数()f x 满足：[]()[],,f

a b a b ⊆，对x ∀,[],y a b ∈，有

()()f x f y q x y -≤-，其中01q <<是常数，对[]0,x a b ∀∈，令()1n n x f x +=，

0,1,2,n =L ，则{}n x 收敛，且*lim n n x x →∞

=满足()**f x x =，且有误差估计式：

*

101n

n q x x x x q

-≤--，1,2,n =L ．

数学科学学院05－06学年05级第一学期期末考试 《数学分析》（A ）试题参考答案及评分标准

一．判断题(正确的划√，错误的划×，每小题2分，共20分)

1．√；2. √；3. √；4．×；5．×；6．×；7．×；8．×； 9．×；10．√．

二．叙述定义并证明（每题9分，共18分）

1．(1)()lim 0x f x A ε→∞

=⇔∀>，0X ∃>，当x X >时，有()f x A ε-<．

(2)证明：0ε∀>，由于2222566111x x x x --=<++，所以要使225

11

x x ε--<+，只

须26

x ε<

，即x >

X =x X >时，有22511

x x ε--<+，所以

225

lim 11

x x x →∞-=+. 2．(1)()f x 在X 上一致连续:0ε∀>，0δ∃>，12,x x X ∀∈，只要12x x δ-<，就有()()12f x f x ε-<．

(2)证明: 0ε∀>，由于()12,,x x ∀∈-∞+∞

有

≤

，所以取

3δε=，则当12x x δ-<，

ε<，所以(

)f x =(),-∞+∞上一致连续．

三．计算下列各题（每题4分，共24分）

1

．lim 1n →∞

⎛⎫

=L ； 2．2201

11lim sin 3x x x →⎛⎫-=- ⎪⎝

⎭；

3．()()22223n x y x n x n n e ⎡⎤=+++++⎣⎦;

4

．0

8x →=；

5．2421csc 42

d y t dx =-.

6．()()()()()()20

00011

0lim

lim lim 022202

x x x g x g x g x g f g x x x →→→'''-'''=====-． 四．按要求解答下列各题（1－4每题8分，第5题６分，共38分）

1．证明：(1)先利用数学归纳法证明{}n a

1； (2)

由1n n a a +-==

以及

210a a -=

>可知{}n a 单调上升，

因而由单调有界定理知{}n a 的极限存在，设lim n n a a →∞

=，

在1n a +=

a =解得13

2

a ±=（舍去负值）得2a =，所以lim 2n n a →∞

=．

2．证明：()()()0000

0lim

0x x f x f x f x x x +→+-'=≤-，()()()

00000

lim 0x x f x f x f x x x -→--'=≥-，

又()f x 在0x 点可导，所以()()()000f x f x f x -+'''==，因而有()00f x '=．

3．(1)有界性定理：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上有界． （2分）

(2)证明：由连续函数的局部有界性，对每一点[],x a b '∈，都存在邻域

(),x U x δ''及正数x M '，使得

()x f x M '≤，()[],,x x U x a b δ''∈I ，

考虑开区间集

()[]{}

,,x H U x x a b δ'''=∈，

显然H 是[],a b 的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集