曲阜师范学院：数学分析期期末考试试题

数学科学学院05－06学年第一学期期末考试试题考试科目：数学分析 年级： 05适用专业：数学与应用数学 信息与计算科学 统计学考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 试卷类别：A 试题满分：100分一．判断题(正确的划√,错误的划×，每小题2分，共20分).1．若数列{}n a 收敛，则{}n a 必为有界数列．2．无穷小量与一个有界变量的乘积仍是一个无穷小量． 3．若单调数列{}n a 中有一个子列{}k n a 收敛，则数列{}n a 收敛． 4．若n n x y >，1,2,n =L ，且lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，则必有a b >．5．若()f x 在0x =点可导，则()f x 在0x =点也可导．6．若()f x 在0x 点连续，()g x 在0x 点不连续，则()()f x g x 在0x 点一定不连续． 7．设()f x 在[,]a b 上可导，若()f x 在[,]a b 上严格单调增加，则在[,]a b 上必有()0f x >'．8．若()f x 在0x x =取的最大值，则()0f x ='．9．若()f x 在X 上一致连续，则2()f x 在X 上必定一致连续． 10．若()f x 为可导的偶函数，则()f x '必为奇函数．二．叙述定义并用定义证明（每题9分，共18分）1．叙述()lim x f x A →∞=的定义，并用定义证明225lim 11x x x →∞-=+．2．叙述函数()f x 在X 上一致连续的定义，并用定义证明()f x =在(),-∞+∞上一致连续．三．计算下列各题（每题4分，共24分）1．lim n →∞⎛⎫+L ； 2．22011lim sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭； 3．设()223x y x x e =++，求()ny ； 4．x →；5．设()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，求22d y dx ； 6．设()(),00,0g x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，且已知()()000g g '==，()04g ''=,试求()0f '． 四．按要求解答下列各题（1-4每题8分，第5题6分，共38分）1．设1a =1n a +=1,2,n =L ，证明:{}n a 的极限存在并求其值． 2．设函数()f x 在0x 点可导，且在0x 点的某一邻域内，()0f x 为()f x 的最大值，则()00f x '=．3．叙述闭区间上连续函数的有界性定理，并用有限覆盖定理证明． 4．按函数作图步骤，作函数()2arctan f x x x =-的图像． 5．若函数()f x 满足：[]()[],,fa b a b ⊆，对x ∀,[],y a b ∈，有()()f x f y q x y -≤-，其中01q <<是常数，对[]0,x a b ∀∈，令()1n n x f x +=，0,1,2,n =L ，则{}n x 收敛，且*lim n n x x →∞=满足()**f x x =，且有误差估计式：*101nn q x x x x q-≤--，1,2,n =L ．数学科学学院05－06学年05级第一学期期末考试 《数学分析》（A ）试题参考答案及评分标准一．判断题(正确的划√，错误的划×，每小题2分，共20分)1．√；2. √；3. √；4．×；5．×；6．×；7．×；8．×； 9．×；10．√．二．叙述定义并证明（每题9分，共18分）1．(1)()lim 0x f x A ε→∞=⇔∀>，0X ∃>，当x X >时，有()f x A ε-<．(2)证明：0ε∀>，由于2222566111x x x x --=<++，所以要使22511x x ε--<+，只须26x ε<，即x >X =x X >时，有22511x x ε--<+，所以225lim 11x x x →∞-=+. 2．(1)()f x 在X 上一致连续:0ε∀>，0δ∃>，12,x x X ∀∈，只要12x x δ-<，就有()()12f x f x ε-<．(2)证明: 0ε∀>，由于()12,,x x ∀∈-∞+∞有≤，所以取3δε=，则当12x x δ-<，ε<，所以()f x =(),-∞+∞上一致连续．三．计算下列各题（每题4分，共24分）1．lim 1n →∞⎛⎫=L ； 2．220111lim sin 3x x x →⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；3．()()22223n x y x n x n n e ⎡⎤=+++++⎣⎦;4．08x →=；5．2421csc 42d y t dx =-.6．()()()()()()20000110limlim lim 022202x x x g x g x g x g f g x x x →→→'''-'''=====-． 四．按要求解答下列各题（1－4每题8分，第5题６分，共38分）1．证明：(1)先利用数学归纳法证明{}n a1； (2)由1n n a a +-==以及210a a -=>可知{}n a 单调上升，因而由单调有界定理知{}n a 的极限存在，设lim n n a a →∞=，在1n a +=a =解得132a ±=（舍去负值）得2a =，所以lim 2n n a →∞=．2．证明：()()()00000lim0x x f x f x f x x x +→+-'=≤-，()()()00000lim 0x x f x f x f x x x -→--'=≥-，又()f x 在0x 点可导，所以()()()000f x f x f x -+'''==，因而有()00f x '=．3．(1)有界性定理：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上有界． （2分）(2)证明：由连续函数的局部有界性，对每一点[],x a b '∈，都存在邻域(),x U x δ''及正数x M '，使得()x f x M '≤，()[],,x x U x a b δ''∈I ，考虑开区间集()[]{},,x H U x x a b δ'''=∈，显然H 是[],a b 的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集()[]{}*,,,1,2,i i i H U x x a b i k δ=∈=L覆盖了[],a b ，且存在正数12,,,k M M M L ，使得对一切()[],,i i x U x a b δ∈I 有()i f x M ≤，1,2,,i k =L ，令1max i i kM M ≤≤=，则对任何[],x a b ∈，x 必属于某(),i i U x δ，因而()i f x M M ≤≤，即()f x 在[],a b 上有界． （6分） 4.解：(1) 定义域{}x x R ∈(2)函数()2arctan f x x x =-在(),-∞+∞上是奇函数。

(3)曲线与坐标轴的交点为()0,0。

(4)()2211x f x x -'=+，令()0f x '=，得1x =±。

（5）()()2241xf x x ''=+，令()0f x ''=，得0x =（6）渐近线y x π=+，y x π=- （7）列表极大值()112f -=-，极小值()112f =-，拐点()0,0。

5.证明：(1)先证明{}n x 为Cauchy 列，因而{}n x 收敛，设*lim n n x x →∞=。

(110nn n x x q x x +-≤-，101nn p n q x x x x q+-≤--) (2)易知函数()f x 在[],a b 上连续，在()1n n x f x +=两边取极限得()**f x x =。

(3)在101nn p n q x x x x q+-≤--两边令p →+∞可得 *101nn q x x x x q-≤--，1,2,n =L .数学科学学院2004--2005学年第二学期期末考试试题考试科目：数学分析 年 级：04 适用专业：数学与应用数学，信息，概率时 间：120分钟 考试方式：闭卷 试卷类别：A 卷 试题满分: 100分一．叙述（每题3分共12分）1． 函数列)}({x f n 在数集X 上非一致有界 2．级数∑∞=1)(n nx u在数集X 上一致收敛的Cauchy 原理3．微积分学基本定理 4，积分第一中值定理二．计算（每题6分共30分） 1． 22xx edx ⎰2．dx x e e⎰2ln3．)21(222222lim nn nn n n n n ++⋅⋅⋅++++∞→ 4．222sin limx t xx e dt→-⎰5．求级数11(1)2nn n∞=-∑ 的和 三．讨论敛散性（每题7分共28分）1．讨论级数∑∞=1n nn x 的绝对收敛性与条件收敛性2．设()()⋅⋅⋅=+=,2,1122n x n nxx S n ，讨论()}{x S n 在[]1,0上的一致收敛性3．设0n a ≥，且数列{}n na 有界，判断级数()11k n n a k ∞=>∑的敛散性4．判断级数221ln n n n ∞=∑的敛散性四．证明（1，2，3题每题8分，4题6分共30分） 1．设函数列()}{x f n 满足（1）()[]b a C x f n ,∈，1,2,n =⋅⋅⋅ （2）(){}n f x 在[],a b 上一致收敛于()f x 则()()lim bbn aan f x dx f x dx →∞=⎰⎰2．若()x f 在[]b a ,上连续，()20baf x dx =⎰，证明：()[]0,,f x x a b ≡∈3．设()x f 为连续正值函数，证明当0≥x 时，函数()()()⎰⎰=x xdtt f dt t tf x 00ϕ 是单调递增的4．设()x f 在[)0,+∞上单调，()x f x lim +∞→存在，如果导数()x f '在[]+∞,0上连续，那么积分()xdx x f o2sin '⎰+∞收敛数学科学学院2004--2005学年第二学期期末考试试题考试科目：数学分析 年 级：04 适用专业：数学与应用数学时 间：120分钟 考试方式：闭卷 试卷类别：B 卷 试题满分: 100分一．叙述（每题3分共12分）1． 函数列)}({x f n 在数集X 上一致有界 2．级数1nn u∞=∑一致收敛的Cauchy 原理3．微积分学基本定理 4，积分第一中值定理四．计算（每题6分共30分） 1． 2xx e dx⎰2．exdx3．)21(222222lim nn nn n n n n ++⋅⋅⋅++++∞→ 4．221cos limx t xx e dt→-⎰5．求级数()114nn n∞=-∑的和S五．讨论敛散性（每题7分共28分）1．设数列{}13pn n a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭有界，讨论级数31n n a ∞=∑的敛散性.2．讨论级数∑∞=1n nn x 的绝对收敛性与条件收敛性3．设()()⋅⋅⋅=+=,2,1122n xn nxx S n ，讨论()}{x S n 在[]1,0上的一致收敛性 4．讨论无穷积分()0111dx x ββ+∞>+⎰的收敛性四．证明（1，2，3题每题8分，4题6分共30分） 1．设 函数列()}{x f n 满足（1）()[]b a C x f n ,∈，;,2,1⋅⋅⋅=n （2）(){}n f x 在[],a b 上一致收敛于()f x 则()()dx x f dx x f nn ⎰⎰=∞→βαβαlim2．设()[]b a C x f ,∈，且非负，若[]b a x ,0∈∃，使()00>x f ，则()0>⎰dx x f ba3．设()x f 为连续正值函数，证明当0≥x 时，函数()()()⎰⎰=x xdtt f dt t tf x 00ϕ 是单调递增的4．设()x f 和()g x 在[],a b 上都可积，证明不等式()()()()()()222b bba aaf xg x dx f x dxg x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰04--05学年第二学期04级《数学分析》A 卷解答六．叙述（每题3分共12分）1．0M ∀>，0x X ∃∈，0n ∈¥有()00n f x M ≥。