广东省惠州市惠阳一中实验学校高二数学选修2-1导学案12充分条件与必要条件一
广东省惠州市惠阳一中实验学校高中数学 充分条件与必要条件导学案 新人教A版选修2-1
课题：1.2.1 充分条件与必要条件（第1课时） 【学习目标】1、能理解必要条件、充分条件的意义；2、结合命题学会判断充分条件、必要条件的方法；3、培养学生的抽象概括和辩证思维能力。
【学习重点与难点】能判断两个命题之间的关系【使用说明与学法指导】1、带着预习案中问题导学中的问题自主设计预习提纲，通读教材P9-P10页内容，对概念、关键词等进行梳理，作好必要的标注和笔记。
2、认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。
3、熟记充分条件和必要条件基础知识梳理中的重点知识。
预习案一、问题导学1、若p 是q 的充分条件，r ⌝是q ⌝的充分条件，则r 是p 的什么条件？2、,1:),0(|1:|->><-x q a a x p 且p 是q 的充分条件，求a 的取值范围。
二、知识梳理1、如果命题“若p ，则q ”为真，记作 ，如果命题“若p ，则q ”为假，记作 。
2、如果q p ⇒，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件。
3、若p q ，我们则称 。
三、预习自测1、用符号“⇒”与“”填空：（1） 22x y = x y =；（2） 内错角相等 两直线平行；（3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数；（4） ac bc = a b =.2、若1.>x ，则12>x ,p 是q 的 条件。
3、0>a 的一个必要条件是（ ）A.1<aB.1->aC.0<aD.1>a探究案一、合作探究探究1、下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2430x x -+=；（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（3）若x 为无理数，则2x 为无理数.思路小结：探究2、（1）“1<x ”是“2<x ”的 条件；（2）“21<<x ”的 条件是“1>x ”。
高二数学选修2-1第一章常用逻辑用语导学案
§1.1 命题及四种命题设计人：韩爱芳1. 掌握命题、真命题及假命题的概念；2. 四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命.复习2：什么是定理?什么是公理?.二、新课导学※学习探究1.在数学中,我们把用、、或表达的，可以的叫做命题.其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题练习：下列语句中：（1）若直线//a b，则直线a和直线b无公共点；（2）247+=（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若21x=，则1x=；（5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除.其中真命题有，假命题有2.命题的数学形式：“若p，则q”，命题中的p叫做命题的，q叫做命题的.※典型例题例1：下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；（52；（6）15x>.命题有，真命题有假命题有.例2 指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分.解：（1）条件p：结论q：（2）条件p：结论q：变式：将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等.※动手试试1.判断下列命题的真假：（1）能被6整除的整数一定能被3整除；（2）若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；（3）二次函数的图象是一条抛物线；（4）两个内角等于45︒的三角形是等腰直角三角形.2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假.(1)等腰三角形两腰的中线相等；(2)偶函数的图象关于y轴对称；(3)垂直于同一个平面的两个平面平行.小结：判断一个语句是不是命题注意两点：（1）是否是陈述句；（2）是否可以判断真假.3.四种命题的概念（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做原命题为：“若p，则q”，则逆命题为：“”.(2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”练习：下列四个命题：（1）若()f x是周期函数；f x是正弦函数，则()（2）若()f x是周期函数，则()f x是正弦函数；（3）若()f x不是周期函数；f x不是正弦函数，则()（4）若()f x不是正弦函数.f x不是周期函数，则()（1）（2）互为（1）（3）互为（1）（4）互为（2）（3）互为例3 命题：“已知a、b、c、d是实数，若子,==，则a c b da b c d+=+”.写出逆命题、否命题、逆否命题.变式：设原命题为“已知a、b是实数，若a b+是无理数，则a、b都是无理数”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题.※动手试试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：（1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被5整除；（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等； （3）奇函数的图像关于原点对称.三、总结提升： ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列语名中不是命题的是（ ）. A.20x > B.正弦函数是周期函数 C.{1,2,3,4,5}x ∈ D.125>2.设M 、N 是两个集合，则下列命题是真命题的是（ ）. A.如果M N ⊆，那么M N M ⋂= B.如果M N N ⋂=，那么M N ⊆ C.如果M N ⊆，那么M N M ⋃= D.M N N ⋃=，那么N M ⊆3.下面命题已写成“若p ，则q ”的形式的是（ ）. A.能被5整除的数的末位是5B.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上C.若一个等式的两边都乘以同一个数，则所得的结果仍是等式D.圆心到圆的切线的距离等于半径 4.下列语句中：（1）2+2）1002是个大数（3）好人一生平安（4）968能被11整除，其中是命题的序号是 5.将“偶函数的图象关于y 轴对称”写成“若p ，则q ”的形式，则p ： ，q ：1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假 （1）若,a b 都是偶数，则a b +是偶数； （2）若0m >，则方程20x x m +-=有实数根.2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（2）矩形的对角线相等.§1.1 四种命题间的相互关系设计人：李月光1．掌握四种命题的内在联系；2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关复习2：判断命题“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆命题的真假.二、新课导学 ※ 学习探究1：分析下列四个命题之间的关系（1）若()f x 是正弦函数，则()f x 是周期函数； （2）若()f x 是周期函数，则()f x 是正弦函数； （3）若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数； （4）若()f x 不是周期函数，则()f x 不是正弦函数. （1）（2）互为 （1）（3）互为 （1）（4）互为 （2）（3）互为通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：2、四种命题的真假性例1 以“若2320x x -+=，则2x =”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假并总结其规律性.（1） . (2) . 练习：判断下列命题的真假.(1)命题“在ABC ∆中，若AB AC >，则C B ∠>∠”的逆命题； （2）命题“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”的否命题； （3）命题“若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠”的逆否命题； （4）命题“若0a ≠且0b ≠，则220a b +>”的逆命题.反思：（1）直接判断（2）互为逆否命题的两个命题等价来判断. ※ 典型例题例1 证明:若220x y +=，则0x y ==.变式：判断命题“若220x y +=，则0x y ==”是真命题还是假命题？练习：证明：若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠.例2 已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数,,a b R ∈,对于命题“若0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-.”(1) 写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论. (2) 写出其逆否命题,并证明你的结论. ※ 动手试试1.求证：若一个三角形的两条边不等，这两条边所对的角也不相等.2.命题“如果22x a b ≥+，那么2x ab ≥”的逆否命题是（ ） A.如果22x a b <+，那么2x ab < B.如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+ C.如果2x ab <，那么22x a b <+ D.如果22x a b ≥+，那么2x ab <三、总结提升： ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 命题“若0x >且0y >，则0xy >”的否命题是（ ）.A.若0,0x y ≤≤，则0xy ≤B.若0,0x y >>，则0xy ≤C.若,x y 至少有一个不大于0，则0xy <D.若,x y 至少有一个小于0，或等于0，则0xy ≤2. 命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方根等于0”的（ ）.A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.等价命题3.）. A.假设B. C.D.4. 若1x >，则21x >的逆命题是 否命题是5.命题“若a b >，则221a b ≥-”的否命题为1. 已知,a b 是实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.2.证明：在四边形ABCD 中，若AB CD AC CD +<+，则AB AC <.§1.2.1 充分条件与必要条件设计人：杨光明1. 理解必要条件和充分条件的意义；..复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.二、新课导学※学习探究探究任务：充分条件和必要条件的概念问题：1. 命题“若22>+，则2x a b>”x ab（1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p，则q”的形式，则P：q：（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：读着：2. 1.命题“若0a=”ab=,则0（1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p，则q”的形式，则P：q：（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：读着：新知：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,记作p q ⇒,并且说p 是q 的 ,q 是p 的 试试：用符号“⇒”与“”填空： （1） 22x y = x y =；（2） 内错角相等 两直线平行；（3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数； （4） ac bc = a b =. ※ 典型例题例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2430x x -+=；（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数； （3）若x 为无理数，则2x 为无理数.练习：下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若5x >，则10x >例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若a b >，则ac bc >练习：下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若5a +是无理数，则a 是无理数； （2）若()()0x a x b --=，则x a =.小结：判断命题的真假是解题的关键.※ 动手试试练1. 判断下列命题的真假.（1）2x =是2440x x -+=的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件； （3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件； （4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.练2. 下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：1x =，q ：1x - （2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤； （3）p ：2x =，q ：3x -=（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.三、总结提升 ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展设,A B 为两个集合,集合A B ⊆，那么x A ∈是x B ∈的 条件，.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）. A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）. A.0x y += B.220x y +> C.0x y -= D.330x y +≠3.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）. A.存在一条直线,//,//a a a αβ B.存在一条直线,,//a a a αβ⊂C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂ 4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的 条件.1. 判断下列命题的真假 （1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“|||ab >”是“22a b >”的必要条件.2. 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q . (1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件? (2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?§1.2.2 充要条件设计人：刘翠霞1. 理解充要条件的概念；.，找出疑惑之处）1112复习1：什么是充分条件和必要条件?复习2：p：一个四边形是矩形q：四边形的对角线相等.p是q的什么条件?二、新课导学※学习探究探究任务一：充要条件概念问题：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2 和3的倍数.那么p 是q的什么条件?q又是p的什么条件?新知：如果p q⇔,那么p与q互为试试：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？（1）若平面α外一条直线a与平面α内一条直线平行，则直线a与平面α平行；（2）若直线a与平面α内两条直线垂直，则直线a与平面α垂直.反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题.※ 典型例题例1 下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?(1) p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数； (2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+变式：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p 是q 的充要条件?(1) p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数； (2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+小结：判断是否充要条件两种方法 （1）p q ⇒且q p ⇒；（2）原命题、逆命题均为真命题； (3) 用逆否命题转化.练习：在下列各题中, p 是q 的充要条件? (1)p :234x x =+ , q :x =(2) p : 30x -=, q :(3)(4)0x x --= (3) p : 240(0)b ac a -≥≠ ,q :20(0)ax bx c a ++=≠(4) p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根 q :0a b c ++=例2 已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d .求证:d r =是直线l 与O 相切的充要条件.变式：已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，证明: (1)若d r =，则直线l 与O 相切. (2)若直线l 与O 相切,则d r =小结：证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性.※ 动手试试练1. 下列各题中p 是q 的什么条件？ （1）p ：1x =，q ：1x - （2）p ：|2|3x -=，q ：15x -≤≤ ； （3）p ：2x =，q ：3x -=；（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.练2. 求圆222()()x a y b r -+-=经过原点的充要条件.三、总结提升 ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展设A 、B 为两个集合，集合A B =是指x A x B ∈⇔∈，则“x A ∈”与“x B ∈”互为.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题为真命题的是（ ）. A.a b >是22a b >的充分条件 B.||||a b >是22a b >的充要条件 C.21x =是1x =的充分条件D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件2.“x M N ∈”是“x M N ∈”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设p ：240(0)b ac a ->≠，q ：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根，则p 是q 的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）. A.132x -<< B.102x -<<C.132x -<< D.16x -<<5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空. (1).3x >是5x >的(2).3x =是2230x x --=的( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的1. 证明：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件.2.求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，这里,,a b c 是ABC ∆的三边.§1.3简单的逻辑联结词设计人：李永福1. 了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义；2. 掌握,,∧∨⌝的真假性的判断；p q p q p3. 正确理解p⌝的意义，区别p⌝与p的否命题；p的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.，找出疑惑之处）1416复习1：什么是充要条件?复习2：已知{|=满足条件}qB x x=满足条件}p,{|A x x(1)如果A B⊆,那么p是q的什么条件；(2) 如果B A⊆,那么p是q的什么条件；(3) 如果A B=,那么p是q的什么条件.二、新课导学※学习探究探究任务一：“且“的意义问题：下列三个命题有什么关系?(1)12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且能被4整除.新知：1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.试试：判断下列命题的真假：（1）12是48且是36的约数；（2）矩形的对角线互相垂直且平分.反思：p q∧的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.探究任务二：“或“的意义问题：下列三个命题有什么关系?(1) 27是7的倍数；（2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数或是9的倍数.新知：1.一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.（1）47是7的倍数或49是7的倍数；（2）等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直.反思：p q∨的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.探究任务三：“非“的意义问题：下列两个命题有什么关系?(1) 35能被5整除；（2）35不能被5整除；新知：1.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题，记作“”，读作“”或“”.试试：写出下列命题的否定并判断他们的真假：（1）2+2=5；（2）3是方程290x-=的根；（3=-1反思：p⌝的真假性的判断，关键在于p的真假的判断.※典型例题例1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假：（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数变式：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断他们的真假：（1）1既是奇数，又是素数；（2）2和3都是素数.小结：p q∧的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.例2 判断下列命题的真假(1) 22≤；(2) 集合A是A B的子集或是A B的子集；(3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.变式：如果p q∨为∧为真命题，那么p q∨一定是真命题吗？反之，p q 真命题，那么p q∧一定是真命题吗？小结：p q∨的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.例3 写出下列命题的否定，并判断他们的真假：（1）p：siny x=是周期函数；（2）p：32<（3）空集是集合A的子集.小结：p⌝的真假性的判断，关键在于p的真假的判断.三、总结提升※学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※知识拓展阅读教材第18页,理解逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. “p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题P：在ABC>的充要条件；命题q：a b>是C B∠>∠是sin sin∆中，C B22>的充分不必要条件，则（）.ac bcA.p真q假B.p假q假C.“p或q”为假D.“p且q”为真3.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角形中最小角不大于60︒；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有（）.A.1B.2C.3D.44.命题p：0不是自然数，命题q：π是无理数，在命题“p或q”“p且q”“非p”“非q”中假命题是，真命题是.5. 已知p：2||6-≥，q：,,x x∈∧⌝都是假命题，则x的值组成的集x Z p q q1. 写出下列命题，并判断他们的真假：（1）p q∨，这里p：4{2,3}∈；∈，q：2{2,3}（2）p q∧，这里p：4{2,3}∈；∈，q：2{2,3}(3) p q∨，这里p：2是偶数，q：3不是素数；(4) p q∧，这里p：2是偶数，q：3不是素数.2.判断下列命题的真假：（1）52>且73>（2）78≥（3）34>或34<§1.4 全称量词与存在量词班级：组名：姓名：设计人：李洪涛审核人：魏帅举领导审批：1. 掌握全称量词与存在量词的的意义；2. 掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断.，找出疑惑之处）2123复习1：写出下列命题的否定,并判断他们的真假：（1（2）5不是15的约数（3）8715+≠（4）空集是任何集合的真子集复习2：判断下列命题的真假，并说明理由：（1）p q∨，这里p：π是无理数，q：π是实数；（2）p q∧，这里p：π是无理数，q：π是实数；(3) p q∨，这里p：23>，q：8715+≠；(4) p q∧，这里p：23>，q：8715+≠.二、新课导学※学习探究探究任务一：全称量词的意义问题：1.下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？（1）3x>；（2）21x+是整数；（3）对所有的,3∈>；x R x（4）对任意一个x Zx+是整数.∈，212. 下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？(1)213x +=；(2)x 能被2和3整除；（3）存在一个0x R ∈，使0213x +=；（4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除.新知：1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为：,()x M p x ∀∈，读作：2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做特称称命题.其基本形式00,()x M p x ∃∈，读作：试试：判断下列命题是不是全称命题或者存在命题,如果是,用量词符号表示出来.(1)中国所有的江河都流入大海；（2）0不能作为除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；（4）每一个非零向量都有方向.反思：注意哪些词是量词是解决本题的关键,还应注意全称命题和存在命题的结构形式.※ 典型例题例1 判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）2,11x R x ∀∈+≥；（3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数.变式：判断下列命题的真假：（1）2(5,8),()420x f x x x ∀∈=-->（2）2(3,),()420x f x x x ∀∈+∞=-->小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中每一个元素x 验证()p x 成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可.例2 判断下列特称命题的真假：（1） 有一个实数0x ，使200230x x ++=；（2） 存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3） 有些整数只有两个正因数.变式：判断下列命题的真假：(1)2,32a Z a a ∃∈=-(2)23,32a a a ∃≥=-小结：要判定特称命题“00,()x M p x ∃∈” 是真命题只要在集合M 中找一个元素0x ，使0()p x 成立即可；如果集合M 中，使()P x 成立的元素x 不存在，那么这个特称命题是假命题.※ 动手试试练1. 判断下列全称命题的真假：（1）每个指数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数.练2. 判定下列特称命题的真假：（1）00,0x R x ∃∈≤；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）0{|x x x ∃∈是无理数}，20x 是无理数.三、总结提升※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展数理逻辑又称符号逻辑,是用数学的方法研究推理过程的一门学 莱布尼茨（1646—1716）是数理逻辑的创始人。
高中数学选修2-1 第二节《1. 2 充分条件和必要条件》全套教案
1. 2 充分条件和必要条件单元课时分配:1.第一课充分条件和必要条件1个课时2.第二课充要条件1个课时1.2 .1 充分条件和必要条件【教学目标】一、知识目标1．使学生理解充分条件、必要条件的概念；2．能正确判断是否是充分条件或必要条件；二、能力目标1．通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；2．通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力；三、情感目标1．通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；2．通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯；3．通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。
【教学重难点】重点：充分条件、必要条件的概念；难点：充分条件、必要条件的判断；【学前准备】：多媒体，预习例题{x|x>0} 同位角相四边形对等四边形是平行四边解：因为在问题）中。
所以，）的必要条）和问。
）和不是3的充分条件．用“充分条件”或“必要条件”）四边形的对角线相等是四边形为为相当于Q P ⊆，即 或即：要使Q x ∈成立，只要P x ∈就足够了——有它就行。
（2）p q ⇒，相当于Q P ⊇，即 或即：为使Q x ∈成立，必须要使P x ∈——缺它不行。
1.2．2充要条件【教学目标】掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系。
【教学重难点】充要条件关系的判定。
【学前准备】：多媒体，预习例题例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件 （1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B > （2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠ （3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B > （4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --= 解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：,∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>,所以，sin sin A B A B >⇔>即p 是q 的充要条件。
新人教A版(选修2-1)《充分和必要条件》word导学案
学校：临清一中学科：数学编写人：阴红菊审稿人：贾志安1．2．1 充分条件和必要条件课前预习学案一、预习目标：理解充分条件、必要条件的概念二、预习内容：充分条件、必要条件的概念例1 例2三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：1、理解充分条件、必要条件的意义2、能进行充分条件、必要条件的判断学习重点：充分条件、必要条件概念的理解难点：理解必要条件的概念.二、学习过程：学生探究过程：1．练习与思考写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x ＞a2 + b2，则x ＞2ab, （2）若ab ＝0，则a ＝0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．２．给出定义命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p 可推出q，记作：p q．定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p 必要条件．上面的命题(1)为真命题，即x ＞a2 + b2x ＞2ab，所以“x ＞a2 + b2”是“x ＞2ab”的充分条件，“x ＞2ab”是“x ＞a2 + b2”＂的必要条件．3．例题分析：例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x ＝1，则x2 －4x ＋3 ＝0；（2）若f(x)＝x，则f(x)为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数．解析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．解略．例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?(1) 若x ＝y，则x2 ＝y2；(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a ＞b,则ac＞bc．分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．解略．三、反思总结充分、必要的定义．在“若p，则q”中，若p q，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．注：（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：①p是q的充分而不必要条件；②p是q的必要而不充分条件；③p是q的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件．四、当堂检测：P10 练习第1、2、3、4题课后练习与提高1、指出下列命题中p 是q的什么条件？⑴p：x＞1, q：x2＞1⑵p：四边形的四个角相等q：四边形是正方形⑶p：两直线垂直q：两直线的斜率的积为-12、指出下列命题中p 是q的什么条件？填（充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件）⑴p：x-1=0, q：(x-1)(x+2)=0⑵p：a＞b q：a2＞b2⑶p：四边形的四条边相等q：四边形是正方形3、作业P12：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题课后练习与提高答案1、⑴充分条件⑵必要条件⑶必要条件2、⑴充分不必要条件⑵既不充分也不必要条件⑶必要不充分条件3、略。
高中数学选修2-1精品教案1：1.2.1 充分条件与必要条件教学设计
1.2.1分条件与必要条件（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件.关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件.教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（三）教学过程学生探究过程：一.复习引入命题的概念及命题的真假性二.思考、分析写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x＞a2+ b2，则x＞2ab, （2）若ab＝0，则a＝0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？三.归纳总结：答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．四.抽象概括充分条件与必要条件1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．五.例题分析及练习[例1]指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(2)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．[精解详析](2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即￢q⇒￢p，但￢p⇒/ ￢q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A⇒B，所以p是q的充分不必要条件．[感悟体会](1)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．训练题组11．下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；对D ，当a >b >0时，有a >b ，而a >0>b 或0>a >b 时，a 或b 无意义，∴p ⇒/ q .答案：A2．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时，函数f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数，而f (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数时，φ＝π＋k π(k ∈Z)．故φ＝0是函数f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．答案：A3．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；解：(1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac<0， ∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．[例2] 已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 解决本题可先求出命题p 和q 成立的条件，再得到￢p ，利用￢p 是￢q 的必要不充分条件，即￢q ⇒￢p 求出a 的取值范围，或利用等价条件p ⇒q 求得a .[精解详析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a <x <a ，∴p ：3a <x <a .由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，∴q ：－2≤x ≤3.∵￢q ⇒￢p ，∴p ⇒q .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0， ∴a 的取值范围是[－23，0)． [感悟体会] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．训练题组24．集合A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ”≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．(0,2]C ．(－2,2)D ．[－2,2] 解析：A ＝{x |x －1x ＋1<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2.答案：C5．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤10，1－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3. 所以正实数a 的取值范围是(0,3].六.课堂小结与归纳1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：(1)定义法(直接法).条件p 与结论q 的关系结论 p ⇒q ，但q ⇒/ pp 是q 成立的充分不必要条件 q ⇒p ，但p ⇒/ qp 是q 成立的必要不充分条件 p ⇒/ q ，q ⇒/ pp 是q 成立的既不充分也不必要条件(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若B A ，则p 是q 的必要不充分条件若A不是B的子集，且B不是A的子集，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(3)等价转化法，即利用A⇒B与￢B⇒￢A，A⇔B与￢B⇔￢A来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．七.当堂训练1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．答案：B2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.答案：A3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案：A4．设p：|x|>1，q：x<－2或x>1，则￢p是￢q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由已知得￢p ：－1≤x ≤1，￢q ：－2≤x ≤1，所以￢p 是￢q 的充分不必要条件． 答案：A5．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A ⇒/ B .又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ,所以A 是B 的必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[－12，2]}，B ＝{x ||x －m |≥1}，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：先化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方，得y ＝(x －34)2＋716. ∵x ∈[－12，2]，∴y ∈[716，2]．∴A ＝{y |716≤y ≤2}．由|x －m |≥1，解得x ≥m ＋1或x ≤m －1. ∴B ＝{x |x ≥m ＋1或x ≤m －1}．∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴m ＋1≤716或m －1≥2，解得m ≤－916或m ≥3.故实数m 的取值范围是(－∞，－916]∪[3，＋∞)．。
最新人教版高中数学选修2-1第一章《充分条件与必要条件》知识导学
1.2 充分条件与必要条件课标解读1.掌握充分条件、必要条件、充分必要条件的意义.2.充要条件是揭示命题的条件和结论因果关系的重要数学概念,因此在学习充分条件、必要条件和充要条件的同时,应注意与命题的四种形式相结合.3.会判断命题p成立与命题q成立的关系,并能用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件来表达命题p与命题q的关系.4.证明命题p成立是命题q成立的充要条件时,要明确充分性、必要性的证明中,谁是条件谁为应推证的结论.5.会求某些简单问题成立的充要条件.学会思考1.怎样从集合的角度来看待充要条件?2.设计如下四个电路图,条件A：“开关A闭合”，条件B：“灯泡B亮”,问A是B的什么条件?3.日常生活中许多元件有着控制的功能,如,洗衣机中就存在着一些元件,使洗衣机在甩干时,如果“到达预定时间”或“机盖被打开”就会停机,即通过一些元件的控制使当两个条件至少有一个满足时,就会停机,相应的电路叫或门电路.又如,电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启,相应的电路,就叫与门电路.再如,电键开则灯亮,电键关则灯灭,相应的电路,就叫非门电路.现有器材:干电池一节,小灯泡一个,电键、导线若干,请同学们自行设计“或门电路”“与门电路”“非门电路”各一个(用元件的物理符号表示，作出电路图即可)，并简单说明理由.答案：1.从集合A与集合B之间的关系上看:(1)若A⊆B,则A是B的充分条件;(2)若A⊆B,则A是B的必要条件;(3)若A⊆B且B⊇A,即A=B,则A是B的充要条件;(4)若A B且B A,则A既不是B的充分条件,也不是B的必要条件;(5)若A⊆B且B A,则A是B的充分不必要条件;(6)若A⊇B且A B,则A是B的必要不充分条件.2.图①中开关A闭合则灯泡B亮,反之,灯泡B亮不一定有开关A闭合,所以A⇒B.但BA,于是A是B的充分不必要条件.图②中,A⇔B,A是B的充要条件.图③中,A B但B⇒A,A是B的必要不充分条件.图④中,条件A的有无对条件B没有影响,所以A是B的既不充分也不必要条件.3.或门电路:与门电路:非门电路:自学导引1.一般地,“若p 则q ”为真命题，即由p ⇒q 就说p 是q 的_________(sufficient condition),q 是p 的_________(necessary condition).2.若p ⇒q 且q ⇒p ,则p ⇔q 就说p 是q 的_________,简称充要条件.那么q 也是p 的_________.答案：1.充分条件 必要条件2.充分必要条件 充要条件典例启示知识点1 判定p 是q 的什么条件【例1】 在下列各题中,判断A 是B 的什么条件,并说明理由.(1)A :|p |≥2,p ∈R,B :方程x 2+px +p +3=0有实根;(2)A :圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,B :c 2=(a 2+b 2)r 2.解:(1)当|p |≥2时,例如p =3,则方程x 2+3x +6=0无实根,而方程x 2+px +p +3=0有实根,必有p ≤-2或p ≥6,可推出|p |≥2,故A 是B 的必要不充分条件.(2)若圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,圆心到直线ax +by +c =0的距离等于r ,即22||b a c r +=,所以c 2=(a 2+b 2)r 2;反过来,若c 2=(a 2+b 2)r 2,则r b a c =+22||成立,说明x 2+y 2=r 2的圆心(0,0)到直线ax +by +c =0的距离等于r ,即圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,故A 是B 的充分必要条件.启示:对于涉及充分必要条件判断的问题,必须以准确、完整地理解充分、必要条件的概念为基础,有些问题需转化为等价命题后才容易判断.【例2】 若p :A B ⊆S,q :(B )(A ),则p 是q 的什么条件?解:利用集合的图示法,由图知AB ⊆S(B )(A ),(B )(A )⇒A B ⊆S. 所以p 是q 的充要条件.启示:本题采用的是从条件直接推结论的方法,其中突出了数形结合的思想方法(图示法).【例3】 判断p :x ≠2或y ≠3是q :x +y ≠5的什么条件?解:此题直接判断比较困难,我们可看它的等价命题,其逆否命题是:⌝q :x +y =5,⌝p :x =2且y =3,则不难看出,⌝p ⇒⌝q ,即原命题的否命题成立,则与它等价的逆命题成立,即q ⇒p ,故p 是q 成立的必要不充分条件.启示:命题不易直接判断时可转换命题的形式,利用命题的等价性加以判定.知识点2充要条件的求解与证明【例4】 求关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一个负的实根的充要条件.解:(1)a =0时适合.(2)当a ≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则a <0;若方程有两个负的实根,则必须满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-=∆〈-〉.044,02,01a a a 解得0<a ≤1. 综上知,若方程至少有一个负的实根,则a ≤1;反之,若a ≤1,则方程至少有一个负的实根,因此,关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.启示:①a =0的情况不要忽视;②若令f (x )=ax 2+2x +1,由于f (0)=1≠0,从而排除了方程有一个负根,另一个根为零的情形.【例5】 设x 、y ∈R ,求证:|x +y |=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明:充分性:若xy =0,那么,①x =0,y ≠0;②x ≠0,y =0;③x =0,y =0,于是|x +y |=|x |+|y |.如果xy >0,即x >0,y >0或x <0,y <0;当x >0,y >0时,|x +y |=x +y =|x |+|y |;当x <0,y <0时,|x +y |=-(x +y )=-x + (-y )=|x |+|y |.总之,当xy ≥0时,有|x +y |=|x |+|y |.必要性:由|x +y |=|x |+|y |及x 、y ∈R ,得(x +y )2=(|x |+|y |)2,即x 2+2xy +y 2=x 2+2|xy |+y 2.|xy |=xy .∴xy ≥0.启示:充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论,然后搞清楚充分性是证明哪一个命题,必要性是证明哪一个命题.【例6】 已知p :|1-31-x |≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.解:由p :|1-31-x |≤2-2≤x ≤10. 由q 可得(x -1)2≤m 2(m >0),所以1-m ≤x ≤1+m .所以⌝p :x >10或x <-2,⌝q :x >1+m 或x <1-m .因为⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,所以⌝q ⇒⌝p .故只需满足⎩⎨⎧-≤-≥+.21,101m m 所以m ≥9.启示:解决这类问题时,一是直接求解;二是转化为等价命题求解,即⌝p是⌝q的必要不充分条件等价于q是p的充分不必要条件.随堂训练1.设原命题“若p则q”真而逆命题假，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A2.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是…()A.x>1B.x<1C.x>3D.x<3解析：∵x>2⇒x>1,但x>1x>2.答案：A3.如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A B⇔C D.答案：A4.x2+(y-2)2=0是x(y-2)=0的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若x2+(y-2)2=0⇒x=0且y-2=0⇒x(y-2)=0,但当x(y-2)=0时x2+(y-2)2=0,如x=0，y=3.答案：B5.x≥0是x2≤x的_________条件.解析：x≥0x2≤x,而x2≤x⇒x≥x2≥0.∴x≥0是x2≤x的必要不充分条件.答案：必要不充分6.从“⇒”“”与“⇔”中选出适当的符号填空(U为全集，A、B为U的子集)：(1)A＝B__________A⊆B；(2)A⊆B__________ B ⊆A.答案：⇒⇔。
2019年人教版 高中数学【选修 2-1】1.2.1充分条件和必要条件导学案
2019年编·人教版高中数学1.2.1充分条件和必要条件【学习目标】1. 理解必要条件和充分条件的意义；2. 能判断条件p 是否为条件q 的充分或必要条件。
【重点难点】重点： 充分、必要条件的概念难点： 判断命题的充分条件或必要条件【学习过程】一、自主预习1、判断下列命题是真命题还是假命题：（1）若x=y ，则x 2=y 2；（2）若ab=0，则a=0；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形对应角相等。
2、观察（1）（3）两个小题，它们的条件和结论有什么关系？3、获取新知一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q . 我们就说,由p 推出q ,记作p q ⇒,并且说p 是q 的 ,q 是p 的 例如：①若x=y ，则x 2=y 2； x=y 是x 2=y 2的 条件； x 2=y 2是x=y 的 条件． ②若两个三角形相似，则这两个三角形对应角相等。
两三角形相似是两三角形对应角相等的 条件．两三角形对应角相等是两三角形相似的 条件．二、合作探究，归纳展示问题一。
下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2430x x -+=；（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（3）若x 为无理数，则2x 为无理数.变式练习：（１）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（２）若5>x ，则10>x问题2.下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b >，则ac bc >变式练习：（１）若5+a 是无理数，则a 是无理数（２）若0))((=--b x a x ，则a x =总结：判断充分、必要条件的步骤：（1）找出条件p 和结论q ；（2）判断 的真假；（3）下结论：若p=>q 为真，则p 为q 的 ；q 为p 的 问题3. 请用“充分”，“必要”填空（1）“a 和b 都是偶数”是“a+b 是偶数”的 条件；（2）“x 2≥0”是“x ≥0”的 条件；（3）“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“l⊥α”的条件。
2021年高中数学《充分条件与必要条件》教案 新人教A版选修1
2021年高中数学《充分条件与必要条件》教案2 新人教A版选修2-1（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件（三）教学过程1．练习与思考写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab,（2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．２．给出定义命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p q．定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．上面的命题(1)为真命题，即x ＞ a2 + b2 x ＞ 2ab，所以“x ＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2”＂的必要条件．3．例题分析：例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x ＝1，则x2－ 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数．分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．解略．例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?(1)若x ＝ y，则x2＝ y2；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；(3)若a ＞b,则ac＞bc．分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．解略．４．练习巩固：P12 练习第1、2、3、4题５．课堂总结充分、必要的定义．在“若p，则q”中，若p q，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．６．作业P14：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题注：（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；③ p是q的充要条件；④ p是q的既不充分也不必要条件．1.2.2充要条件(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．(三)教学过程1.思考、分析已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．易知：p q，故p是q的充分条件；又q p，故p是q的必要条件．此时,我们说, p是q的充分必要条件２.类比归纳一般地,如果既有p q ，又有q p 就记作p q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p q,那么p 与 q互为充要条件.3.例题分析例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10（５）p: a ＞ b ,q: a2＞ b2分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．解：命题（１）和（３）中，p q ，且q p，即p q，故p 是q的充要条件；命题（２）中，p q ,但q p，故p 不是q的充要条件；命题（４）中，p q ，但q p，故p 不是q的充要条件；命题（５）中，p q ，且q p，故p 不是q的充要条件；４．类比定义一般地，若p q ,但q p，则称p是q的充分但不必要条件；若p q，但q p，则称p是q的必要但不充分条件；若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：①若p q ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；②若q p，但p q，则p是q的必要但不充分条件；③若p q，且q p，则p是q的充要条件；④若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．５．练习巩固：P14 练习第 1、2题说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p 是q的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．６．例题分析例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O 相切的充要条件．分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p q）和必要性（q p）即可．证明过程略．例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？７．课堂总结：充要条件的判定方法如果“若p，则q”与“若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．８．作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题。
人教课标版高中数学选修2-1：《充分条件与必要条件(第1课时)》教案-新版
1.2.1充分条件与必要条件（第1课时）一、教学目标（一）学习目标1．使学生理解充分条件、必要条件的概念；2．能正确判断是否是充分条件或必要条件；3．通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性．（二）学习重点充分条件、必要条件的概念．（三）学习难点充分条件、必要条件的判断．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）充分条件：如果p ⇒q ，则p 叫做q 的_________条件，原命题（或者逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的_________条件．（2）必要条件：如果q ⇒p ，则p 叫做q 的_________条件，逆命题（或者否命题）成立，命题中的条件是必要的，也可称q 是p 的_________条件． 预习自测1．用符号“⇒”与“⇒/”填空：（1） 22x y = x y =；（2） 内错角相等 两直线平行；（3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数；（4） ac bc = a b =.【知识点】充分条件的判断．【解题过程】⇒/ ⇒ ⇒ ⇒/ ．【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．【答案】 ⇒/ ⇒ ⇒ ⇒/ ．2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2340x x +-=；（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（3）若x 为无理数，则2x 为无理数．【知识点】充分条件的判断．【数学思想】【解题过程】（1）（2）显然成立；（3）中若x =22x =为有理数．【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．【答案】（1）（2）．3．下列“若p ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（2）若5x >，则10x >．【知识点】充分条件的判断．【数学思想】【解题过程】（1）中斜率相等的直线可能平行或重合；（2）显然不成立．【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．【答案】（1）（2）中p 都不是q 的充分条件．4．下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b >，则ac bc >．【知识点】必要条件的判断．【数学思想】【解题过程】q 是p 必要条件等价于p 是q 的充分条件．（1）（2）显然成立；（3）00a b =<，时不成立．【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．【答案】（1）（2）．(二)课堂设计1.知识回顾（1）四种命题的表示形式；（2）四种命题的关系；（3）四种命题的真假判断．2．问题探究探究一结合实例理解充分条件与必要条件●活动①创设情境，引入概念写出下列两个命题的条件和结论，并判断它们的真假．（抢答）（1）若x>10，则x>5；（2）若x+y>2，则x>2．学生很快就可以回答命题的条件和结论并判断出（1）真（2）假．问题：对于“若p则q”形式的命题，时真时假，如何判断它的真假呢？答：若p能推出q，则为真命题，若p不能推出q，则为假命题．【设计意图】通过强调命题的条件与结论，为新课学习做必要的准备和铺垫，命题有真有假．通过对真假两种情况的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程．●活动②概念辨析，巩固概念当命题“如果p，则q”经过推理证明为真命题时，我们就说由p可以推出q，记作“p⇒q”，读作“p推出q”．定义：一般地，如果有p⇒q，称p是q的充分条件，称q是p的必要条件．例如活动①中的例子“若x>10，则x>5”是一个真命题，则可以写成“x>10⇒x>5”．所以x>10是x>5的充分条件，x>5是x>10的必要条件．强调说明：“p⇒q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示．【设计意图】通过概念辨析，加深对充分条件、必要条件的理解，提升学生的认识水平，从不同角度帮助学生理解“充分”和“必要”．●活动③例题剖析．例1 判断下列问题中，p是q的充分条件吗？（1）p：a>b q：ac>bc；（2）p：x为无理数q：2x为无理数；（3）p ：22x a b >+ q ：x >2ab ；（4）p ：两条直线的斜率相等 q ：两条直线平行．【知识点】充分条件．【解题过程】（1）（2）（3）（4）中p 不能推出q ，所以p 不是q 的充分条件．【思路点拨】判断p 是否是q 的充分条件，就看p 能否推出q ．【答案】（1）（2）（3）（4）中p 不能推出q ，所以p 不是q 的充分条件． 同类训练 指出下列各组题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：1x < q ：2x ≤；（2）在四边形中，p ： 四个角均为90 q ：四边形为正方形．【知识点】充分条件、必要条件．【解题过程】（1）12x x <⇒≤ ∴p q ⇒又因为对于q ：2x =也成立，但对于p ：21<不成立 q p ∴⇒/所以p 是q 的充分条件．（2）四边形为长方形时，p q ⇒/；四边形为正方形时，四个角均为90，即q p ⇒ 所以p 是q 的必要条件．【思路点拨】概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式，以全面认识和理解概念．【答案】（1）p 是q 的充分条件；（2）p 是q 的必要条件．探究二 充分条件、必要条件的判定●活动① 知识点归纳从集合的角度理解充分条件与必要条件：设集合{}|()|P x p x =，{}=|()Q x q x ．（1）p q ⇒，相当于P Q ⊆，即 或即：要使x Q ∈成立，只要x P ∈就足够了．（2）q p ⇒，相当于Q P ⊆，即 或即：为使x Q ∈成立，必须要使x P ∈．可以归纳为以下两点：（1）若P Q ⊆，则p 是q 的充分条件．（2）若Q P ⊆，则p 是q 的必要条件．【设计意图】（1）强调条件和结论之间的推出关系，即推出箭头的方向性；（2）从集合关系的角度帮助同学们理解“充分条件”和“必要条件”；（3）体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；（4）让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下节课提前准备．●活动② 例题剖析．例2判断下列各组问题中，q 是p 的必要条件吗？（1）p ：{}|3x x > q ：{}|5x x >；（2）p ：{}|0x x > q ：{}|0x x ≥；（3）p ：同位角相等 q ：两直线平行；（4）p ：四边形对角线相等 q ：四边形是平行四边形．【知识点】充分条件、必要条件．【解题过程】因为在（2）（3）中都有p q ⇒，所以，（2）（3）中q 是p 的必要条件．在（1）（4）中都有p q ⇒/，所以，在（1）（4）中q 不是p 的必要条件． 【思路点拨】 由集合的包含关系确定q 与p 的关系．【答案】（2）（3）：q 是p 的必要条件；（1）（4）：q 不是p 的必要条件． 同类训练 判断下列各组问题中，p 是不是q 的充分条件？p 是不是q 的必要条件？（1）p ：x x = q ：20x ≥；（2）p ：tan 1α= q ：=4πα；（3）p ：直线l 与平面α内的两条相交线垂 q ：直线l 与平面α垂直；（4）p ：函数()f x 满足(0)0f = q ：函数()f x 是奇函数．【知识点】充分条件、必要条件．【解题过程】（1）p q ⇒，q p ⇒/；（2）p q ⇒/，q p ⇒；（3）p q ⇒，q p ⇒；（4）p q ⇒/，q p ⇒．【思路点拨】由集合的包含关系确定q 与p 的关系．【答案】（1）p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件；（2）p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件；（3）p 是q 的充分条件，p 是q 的必要条件；（4）p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件．3. 课堂总结知识梳理1．充分条件、必要条件的定义；2．充分条件和必要条件的判定．重难点归纳判断充分条件、必要条件时，一定要牢记：在“若p 则q ”中，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 为p 的不必要条件．（三）课后作业基础型 自主突破1．在△ABC 中，“sin 2A ”是“A ＝30°”的________条件． 【知识点】充分条件、必要条件．【数学思想】【解题过程】若A ＝30°，显然有sin 2A ，但sin 2A 时，在△ABC 中，有2A ＝60°或2A ＝120°，即不一定有A ＝30°，故“sin 2A ”是“A ＝30°”的必要不充分条件．【思路点拨】熟悉充分、必要条件的形式．【答案】必要不充分条件2．“(1)(3)0x x +-<”是“1x >-”的________条件．【知识点】充分条件、必要条件及不等式的解法．【数学思想】【解题过程】(1)(3)0x x +-<错误！未找到引用源。
高中数学选修2-1优质学案1：1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件【课时目标】 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断充分条件和必要条件，会求某些命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．1．“若p ，则q ”形式的命题为真命题是指：由条件p 可以得到结论q .通常记作：p ⇒q ，读作“p 推出q ”．此时我们称p 是q 的______________．2．如果“若p ，则q ”形式的命题为真命题，即p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时，我们称q 是p 的__________．一、选择题1．“A ＝B ”是“sin A ＝sin B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分又不必要条件2．“k ≠0”是“方程y ＝kx ＋b 表示直线”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分又不必要条件3．a <0，b <0的一个必要条件为( )A ．a ＋b <0B ．a －b >0C.a b >1D.a b>－1 4．命题p ：α是第二象限角；命题q ：sin α·tan α<0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分又不必要条件5．设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( )A ．必要不充分条件B．充分不必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不充分也不必要条件题号1234 5答案二、填空题6．“lg x>lg y”是“x>y”的__________条件．7．“ab≠0”是“a≠0”的__________条件．8．已知α、β是不同的两个平面，直线aα，直线bβ，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的______条件．三、解答题9．已知p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋1是偶函数．命题“若p，则q”是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？10.已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．11．“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2＋2x－8>0或x2－x－6≤0，q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．[答案][解析]知识梳理1．充分条件 2.必要条件作业设计1．A [“A ＝B ”⇒“sin A ＝sin B ”，反过来不对．]2．B [k ＝0时，方程y ＝kx ＋b 也表示直线．]3．A [a <0，b <0a ＋b <0，反之不对．]4．A [p ：α是第二象限角⇒语句q ：sin α·tan α<0，反之不能成立．]5．A6．充分不必要[解析] 由lg x >lg y ，得x >y >0， 由x >y ，得x >y ≥0.7．充分不必要[解析] ab ≠0⇒a ≠0，所以是充分条件；a ≠0，b ＝0⇒ab ＝0，不必要条件．8．必要不充分[解析] 命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 无公共点，反之不对．9．解 由f (x )＝ax 2＋bx ＋1是偶函数，得f (－x )＝ax 2－bx ＋1＝ax 2＋bx ＋1恒成立．∴bx ＝0对任意实数x 恒成立，所以b ＝0，同理由b ＝0也可以得出f (x )是偶函数．故“若p ，则q ”的命题是真命题，它的逆命题是真命题，p 既是q 的充分条件，又是必要条件．10．解 由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1；由x 2－5x －24<0，得－3<x <8.因为N 是M 的必要条件，所以，M ⊆N .∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3a ＋1≤8，∴－2≤a ≤7. 故a 的取值范围是[－2,7]．11．A [若a >0，则|a |>0，所以“a >0”是“|a |>0”的充分条件；若|a |>0，则a >0或a <0，所以“a >0”不是“|a |>0”的必要条件．]12．解 由x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0，得3a <x <a ；由x 2＋2x －8>0或x 2－x －6≤0，可得x <－4或x ≥－2.因为q 是p 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0.⇔解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0.。
广东省惠州市惠阳一中实验学校高中数学 1.2充分条件与
广东省惠州市惠阳一中实验学校高中数学 1.2充分条件与必要条件（一）导学案 新人教A 版选修2-1【学习目标】1．理解充分与必要条件的概念；2．能判断简单的充分与必要条件。
【学习重点与难点】重点：理解充分与必要条件的概念。
难点：能判断两个条件的充分与必要关系，并掌握简单的应用。
【使用说明与学法指导】1.先学习课本P 9－P 11然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容；2.认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。
预习案一、问题导学1、在逻辑推理中q p ⇒有几种表达方式？2、你能用集合的观点判断充分、必要条件吗？二、知识梳理一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q 。
这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：q p ⇒。
如果q p ⇒，那么称q p 是的__________，同时称的是p q ________一般地，如果既有q p ⇒，又有p q ⇒，就记作：q p ⇔。
我们就说，p 是q 的________________，简称_______________。
显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件。
概括的说，如果q p ⇔，那么p 与q 互为充要条件。
三、预习自测1.“1>x ”是“x x >2”的（ ）A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分条件 D.既不充分也不必要条件2.“若R a ∈，则0)3(<-a a ”是“方程02=+-a ax x 没有实数根”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3.判断下列命题的真假：（1）2=x 是0442=+-x x 的必要条件；（2）βαsin sin =是βα=的充分条件；（3）0≠ab 是0≠a 的充分条件。
（4）“b a >”是“22b a >”的充分条件；（5）“||||b a >”是“22b a >”的必要条件；（6）“b a >”是“c b c a +>+”的充要条件。
数学-高中数学《充分条件与必要条件》学案2 选修2-1
高中数学《充分条件与必要条件》学案2 选修2-11．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法；3．培养学生的辩证思维能力．一．课前准备：1．一般地，命题“若p 则q ”为真，记作“p ⇒q ”； “若p 则q ”为假，记作“p q ” ．2．前面讨论了“若p 则q ”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假．（1）若y x =，则22y x = （ ）（2）若0=ab ，则0=a （ ）（3）若12>x ，则1>x （ ）（4）若1=x 或2=x ，则0232=+-x x （ ）（5）若两个三角形相似，则这两个三角形对应角相等 （ ）二．探索新知：探究（一）：上面命题的条件和结论有什么关系？命题（1）中y x = 22y x =；22y x = y x =；命题（2）中0=ab 0=a ；0=a 0=ab ；命题（3）中12>x 1>x ；1>x 12>x ；命题（4）中1=x 或2=x 0232=+-x x ； 0232=+-x x 1=x 或2=x ；命题（5）中两个三角形相似 这两个三角形对应角相等；两个三角形对应角相等 两个三角形相似．新知（一）一般地，如果 ，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件；如果 ，且 ，那么称p 是q 的充分必要条件，简记为p 是q 的充要条件，记作 ；如果 ，且 ，那么称p 是q 的充分不必要条件；如果 ，且 ，那么称p 是q 的必要不充分条件；如果 ，且 ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件．动手试试（一）：1．如果p ：2>x ，q ：2≥x ，则p 是q 的 条件．（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）2．“c b a >>”是“0))()((<---a c c b b a ”的 条件．（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）探究（二）：从集合的观点来看“q p ⇒，则p 是q 的充分条件”给定两个条件q p ,，要判断p 是q 的什么条件，也可考虑集合：{}p x x A 满足条件=，{}q x x B 满足条件=新知（二）q p ⇒,相当于A B ；p q ⇒,相当于A B ；,q p ⇔相当于A B ．动手试试（二）：已知p ：02082>--x x ，q ：)0(,01222>≥-+-a a x x ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．1．自我评价你完成本节学案的情况为（ ）A ．很好B ．较好C ．一般D ．较差2．当堂检测（限时5分钟，满分10分）在横线上填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要：（1）“a 和b 都是偶数”是“b a +是偶数”的 条件．（2）“b a =”是“ba 22=”的 条件．（3）“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“α⊥l ”的 条件．（4）“0=a ”是“函数)()(2R x ax x x f ∈+=为偶函数” 的 条件．（5）“N M x ⋂∈”是“N M x ⋃∈”的 条件．1．“βα>”是“βαsin sin >”的 条件．2．“N M >”是“N M 22log log >”的 条件．3．若, 是两个非零向量，则“32=”是“b a //” 的 条件．4．已知p ：)0()15(22>>-a a x ，q ：01322>+-x x ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．。
广东省惠州市惠阳一中实验学校高中数学 2.1.1曲线与方程导学案 新人教A版选修2-1
广东省惠州市惠阳一中实验学校高中数学 2.1.1曲线与方程导学案 新人教A版选修2-1【学习目标】1、 从实例了解方程的曲线与曲线的方程的概念；2、会用曲线和方程的概念直接判断比较简单的曲线和方程间的关系；3、感受“数”与“形”的结合的思想.【学习重点与难点】教学重点：理解曲线的方程和方程的曲线的概念。
教学难点：曲线和方程通过曲线的点的坐标建立起一一对应关系。
【使用说明与学法指导】1.先学习课本P 34－P 35然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容；2.认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。
预习案一、问题导学 问题一：以方程24x y -=的解为坐标的点是否都在以（0,0）为圆心，2为半径的圆上？问题二：第一、三象限角平分线上的点的坐标满足方程|y|=|x|吗?是否可以得到这条直线的方程就是|y|=|x|？问题三：以C （a,b ）为圆心，r 为半径的圆上的点与方程(x-a)2+(y-b)2=r 2的解之间的关系是什么？二、知识梳理一般地，在坐标平面内的某曲线C （看作点的集合）上的点与一个二元方程(,)0f x y =之间，如果具有以下两个关系：（1）曲线C 上的点的坐标，都是 的解；（2）以方程(,)0f x y =的解为坐标的点，都是 的点，那么，方程(,)0f x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0f x y =的曲线．三、预习自测1、如果曲线C 上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解，那么以下说法正确的是（ ）A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点有些不在曲线C 上C.不在曲线C 上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解D.坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C 上2、填空：（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y 的二元一次方程Ax+By+C=0（A,B 满足 ）来表示；（2）过点(3，-2)且平行于x 轴的直线方程是 ；（3）点（1,7） （填：在或不在）直线2x-4y+1=0上；3、下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是（ ）A.2y y x ==B.1x y x==与 C.220y x y x -==与 D.2lg 2lg y x y x ==与探究案一、合作探究探究1、曲线方程的应用例1、（1）点A （1，-2），B （2，-3），C （3，10）是否在方程x 2-xy+2y+1=0表示的曲线上？为什么？（2）已知方程为2522=+y x 的圆过点)M m ，求实数m 的值？变式：已知方程222ax by +=的曲线经过A （0，53）和点B （1,1），则a = ，b = 。
高中数学人教A版选修(2-1)1.2.1《充分条件与必要条件》word导学案
1.2.1充分条件与必要条件【学习目标】理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．【自主学习】1.写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab；（2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.其中命题（1）是命题，也即是由“x ＞ a2 + b2 ”可以推出“x ＞ 2ab”.一般地，“若p，则q”为命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：，并且说p是q的条件，q是p的条件.思考：上述命题(1)中“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2”的条件．“x ＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的条件.2．如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作 .此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.【自主检测】设命题甲为：0<x<5，命题乙为：|x－2|<3.甲是乙的条件，乙是甲的条件；【典型例题】例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（2）若x ＝1，则x2－4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数．例2下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?（1）若x ＝ y，则x2＝ y2；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a ＞b,则ac＞bc．例3如图2(1)，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：命题：若“黑点在B内”，则“黑点一定在A内”中，“黑点在B内”是“黑点在A内”的什么条件；“黑点在A 内”又是“黑点在B 内”的什么条件.若用集合观点又怎样解释例3的问题呢？请同学们想一想.【课堂检测】1.用符号“”与“⇒”填空，想一想:前者是后者的什么条件?（1）10x +> _____ 2230x x --<；（2） 10x -<< _____2230x x --<； （3）30x -<< _____ 2230x x --<；（4）13x -<< _____2230x x --< . 2. 用“充分”或“必要”填空，并说明理由：（1）“a 和b 都是偶数”是“a+b 也是偶数”的 条件；（2）“四边相等”是“四边形是正方形”的 条件；（3）“x ≠3”是“|x|≠3”的 条件；（4）“x-1=0”是“x 2-1=0”的 条件；。
高中数学选修2-1优质学案12：1.2.1 充分条件与必要条件-1.2.2 充要条件
1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件学习目标(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．学习重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．学习难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．知识点充分条件、必要条件与充要条件问题导思观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？知识梳理1．充分条件与必要条件命题真假“若p ，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pq p q条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的条件，简称条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q条件.互动探究类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④ B．②③C．①②③D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件规律方法1．判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．2．判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．变式训练已知如下三个命题中：①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用例2 设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)．(1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．规律方法1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．变式训练已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．类型3充要条件的证明例3 求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.规律方法1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．变式训练求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．当堂检测1．“x＝3”是“x2＝9”的()A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？——★参考答案★——知识点充分条件、必要条件与充要条件问题导思1．【提示】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，q p；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即p q ，q ⇒p ；③开关A 闭合，灯泡B 亮，反之灯泡B 亮，开关A 一定闭合，即p ⇔q ；④开关A 闭合与否，不影响灯泡B ，反之，灯泡B 亮与否，与开关A 无关，即pq ，且q p .2．【提示】 p ⇔q .知识梳理1．⇒充分充分必要必要2.充分必要充要互为充要互动探究类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1 [答案] (1)D (2)A[解析] (1)①对，Δ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根，但ax 2＋bx ＋c ＝0有实根Δ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根．故选D.(2)p ：－2≤x ≤1，q ：x ＜2，显然p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件． 变式训练[答案] ①③④[解析] ①中，当a ＝2时，有(a －1)(a －2)＝0；但当(a －1)(a －2)＝0时，a ＝1或a ＝2，不一定有a ＝2.∴“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a >b ac 2>bc 2(c ＝0)，但ac 2>bc 2⇒a >b . ∴“a >b ”是“ac 2>bc 2”必要不充分条件，②错．③中，ab ＝1且ac ＝3时，l 1与l 2重合，但l 1∥l 2⇒a 1＝1b，即ab ＝1， ∴“ab ＝1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件，③正确．④中，y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0⇔m ＜－2或m ＞6. ∴是充要条件，④正确．类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用例2 解：(1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0，解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则¬q ⇒¬p ，由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1. 法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }，由¬p 是¬q 的必要不充分条件，可得¬q ⇒¬p ，也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1. 变式训练解：法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．∴¬p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，¬q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }．∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，∴A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}．法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.类型3充要条件的证明例3 证明：充分性(由条件推结论)：∵0＜m ＜13， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0， ∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13. 综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 变式训练证明：假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.(1)证明p ⇒q ，即证明必要性．∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性．由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b .∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.当堂检测1．[答案] A[解析]当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．2．[答案] B[解析]当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q 的必要不充分条件．3．[答案]x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝04．解：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.。
高中数学选修2《充分条件与必要条件》导学案
教师教案模版:高二年级数学（选修2-1）导学案(3)“若p，则q”为假命题时，记作“p q”，则p不是q 的充分条件，q不是p的必要条件.【预习评价】思考(1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？(2)性质定理给出了结论成立的什么条件？答案(1)充分条件(2)必要条件*二、合作探究归纳展示（对学、群学）任务1：复习旧知写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab,（2）（2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？任务2：充分条件与必要条件的概念1:、定义：命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p⇒q．定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p ⇒ q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．上面的命题(1)为真命题，即x ＞ a2 + b2 x ＞ 2ab，所以“x ＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2”＂的必要条件．任务3、列题探究例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x ＝1，则x2－ 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数．分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．解略．例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?(1)若x ＝ y，则x2＝ y2；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a ＞b,则ac＞bc．分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．解略．1.“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既不是充分条件，也不是必要条件D.既是充分条件，也是必要条件解析∵－2<x<1x>1或x<－1，且x>1或x<－1－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分也不必要条件.答案 C2.“a>b”是“a>|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既是充分条件，也是必要条件D.既不充分也不必要条件解析由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|.答案 B3.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件也不是必要条件D.无法判断解析当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.答案 A4.“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既充分也必要条件D.既不充分也不必要条件解析f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a＝0或1a<0，也就是a≤0，“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的既充分也必要条件.故选C.答案 C5.若“x<m”是“(x－1)(x－2)>0”的充分不必要条件，求m 的取值范围.解由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，由已知条件，知{x|x<m}{x|x>2或x<1}.∴m≤1.2、拓展提升3、考点链接五、布置作业课本第十页练习对应课时精炼。
【备课精选】2012年高二数学新人教A版选修2-1学案1.2《充分条件与必要条件》
1.2 充分条件与必要条件学习目标：1、理解推断符号“⇒”的含义；2、理解掌握充分条件、必要条件的意义及应用；3、培养逻辑推理能力。
一、主要知识：1、推断符号“⇒”与“⇒/”的含义：2、充分条件和必要条件：3、充要条件：4、从集合角度来理解充分条件、必要条件：建立与p 、q 相应的集合，即p ：(){}成立x p x A |=，q ：(){}成立x q x B |=， （1）若B A ⊆，则p 是q 的 条件；若A B ，则p 是q 的 条件；（2）若A B ⊆，则p 是q 的 条件，若B A ，则p 是q 的 条件；（3）若B A =，则p 是q 的 条件；（4）若A B ⊆/且B A ⊆/，则p 是q 的 条件。
二、典例分析：〖例1〗：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件：（1）p ：y x =；q ：22y x =；（2）p ：三角形的三条边相等；q ：三角形的三个角相等；（3）p ：1=x 或2=x ；q ：0232=+-x x ；（4）p ：2=x 或3=x ；q ：x x -=-33。
〖例2〗：设p ：50<<x ，q ：52<-x ，那么p 是q 的什么条件？〖例3〗：已知p ：325>-x ，q ：053>+-x x ，那么p ⌝是q ⌝的什么条件？〖例4〗：已知p ：64≤-x ，q ：()001222>≥-+-a a x x ，若p ⌝是q 的充分非必要条件，求a 的取值范围。
三、课后作业：1、设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件2、“0b c ==”是“抛物线2y ax bx c =++经过原点”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、p 是q 的充要条件的是（ ）A 、:325p x +>，:235q x -->-B 、:p 四边形的两条对角线互相垂直平分，:q 四边形是正方形C 、:2,2p a b ><，:q a b >D 、:0p a ≠，:q 关于x 的方程1ax =有唯一解 4、对于集合,,A B C ，“A B ”是“A ()B C ”的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 5、实数,,a b c 不全为零的充要条件是（ ）A 、,,a b c 都不是零B 、,,a b c 中至多有一个零C 、,,a b c 中只有一个是零D 、,,a b c 中至少有一个不是零6、平面//α平面β的一个充分条件（ ） A 、存在一条直线,//,//a a a αβB 、存在两条平行直线,a b ，,,//,//a b a b αββα⊂⊂C 、存在一条直线,,//a a a αβ⊂D 、存在两条异面直线,a b ，,,//,//a b a b αββα⊂⊂7、方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件（ ）A 、01a <≤B 、1a <C 、1a ≤D 、0a <或01a <≤8、0>ab 的一个充分非必要条件是 ；9、0>x 的一个必要非充分条件是 ；10、已知p ：5≠+y x ，q ：2≠x 或3≠x ，则p 是q 的 条件。
高中数学选修二121充分条件与必要条件公开课同课异构
自主练习
判断:(正确的打“√〞,错误的打“×〞) (1)假设p是q的必要条件,那么q是p的充分条件.( ) (2)假设p是q的充分条件,那么¬p是¬q的充分条件.( ) (3)“两角不相等〞是“两角不是对顶角〞的必要条 件.( )
自主练习
【解析】(1)正确. 假设p是q的必要条件,即p⇐q,所以q是p的充分条件. (2)错误. 假设p是q的充分条件,即p⇒q,其逆否命题为¬q⇒¬p, 所以¬p是¬q的必要条件. (3)错误. “两角不是对顶角〞 ⇏“两角不相等〞. 【答案】(1)√ (2)× (3) √
③p:x=3,q:sinx>cosx;
④a，b为平面内的两条直线.p:直线a,b不相交,q:a∥b.
A.1
B.2
C.3
D.4
变式训练
【解析】①由于p:x>1⇒q:lgx>0, 所以q是p的必要条件; ②由于p:x>1⇒q:x-1<1,所以q是p的必要条件; ③由于p:x=3⇒q:sinx>cosx,所以q是p的必要条件; ④由于p:直线a,b不相交⇒q:a∥b,所以q不是p的必要条件. 【答案】C
归纳小结
2.充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用:可利用充分性与必要性进展相关问题的求解, 特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤:首先根据条件的充分性和必要性找到条件 构成的集合之间的关系,然后构建满足条件的不等式(组), 再进展求解.
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
类型二 充分条件与必要条件的应用
1.假设“x>1〞是“x>a〞的充分条件,那么实数a的取值范
围
是( )
A.a>1 B.a≥1 C.a<1
D.a≤1
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【学习目标】
1．理解充分与必要条件的概念；
2．能判断简单的充分与必要条件。
【学习重点与难点】
重点：理解充分与必要条件的概念。
难点：能判断两个条件的充分与必要关系，并掌握简单的应用。
【使用说明与学法指导】
1.先学习课本P 9－P 11然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容；
2.认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。
预习案
一、问题导学
1、在逻辑推理中q p ⇒有几种表达方式？
2、你能用集合的观点判断充分、必要条件吗？
二、知识梳理
一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q 。
这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：q p ⇒。
如果q p ⇒，那么称q p 是的__________，同时称的是p q ________
一般地，如果既有q p ⇒，又有p q ⇒，就记作：q p ⇔。
我们就说，p 是q 的________________，简称_______________。
显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件。
概括的说，如果q p ⇔，那么p 与q 互为充要条件。
三、预习自测
1.“1>x ”是“x x >2”的（ ）
A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.“若R a ∈，则0)3(<-a a ”是“方程02
=+-a ax x 没有实数根”的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
3.判断下列命题的真假：
（1）2=x 是0442=+-x x 的必要条件； （2）βαsin sin =是βα=的充分条件；
（3）0≠ab 是0≠a 的充分条件。
（4）“b a >”是“22b a >”的充分条件；
（5）“||||b a >”是“22b a >”的必要条件；
（6）“b a >”是“c b c a +>+”的充要条件。
探究案
一、合作探究
探究一 指出下列各题中p 是q 什么条件？
（用“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件回答）
（1）是偶函数；函数c bx ax x f q b p ++==2)(:,0:
（2）;0:,0,0:>>>xy q y x p
（3）x x q x p -=-=33:,2:；
（4）51:,3|2:|≤≤-≤-x q x p ；
变式一 已知3|25:|>-x p ，05
41:
2>-+x x q ，则p ⌝是q ⌝的什么条件？
思路小结： 探究二 设p 是不为0和1的实数，)(*N n q p S n n ∈+=是数列}{n a 的前n 项和。
求证：数列}{n a 是等比数列的充要条件是1-=q 。
思路小结：
训练案
1（2010上海）“)(42Z k k x ∈+=π
π”是“1tan =x ”成立的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分条件
D.既不充分也不必要条件 2（2010广东）“4
1<m ”是“一元二次方程02=++m x x ”有实数解的（ ） A 充分非必要条件 B 充分必要条件C 必要非充分条件D 非充分非必要条件
二、课后巩固促提升
《随堂优化训练》Px-x 页。