向量概念及运算
向量的基本概念与运算法则
向量的基本概念与运算法则一、向量的基本概念向量是数学中经常使用的一个概念，它指的是有大小和方向的量。
向量通常用字母加上一个箭头表示，例如向量a可以写作a→。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
向量的方向可以用角度表示，在平面中通常以与正 x 轴的夹角θ 来表示。
二、向量的表示方法1. 平行四边形法则平行四边形法则是常见的向量表示法之一。
在平面直角坐标系中，我们可以使用平行四边形的两条边来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的大小和方向在坐标系中画出一条射线，再从射线的终点倒回来形成一个平行四边形，这个平行四边形的两条边就可以表示向量。
2. 分量表示法另一种常见的向量表示方法是分量表示法。
在平面直角坐标系中，我们可以使用向量在 x 轴和 y 轴上的投影来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的终点在坐标系中画出一条线段，从线段的终点与坐标原点相连，分别画出与 x 轴和 y 轴平行的两条线段，这两条线段的长度即为向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
三、向量的运算法则1. 加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将两个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
2. 减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将第二个向量以相反的方向画出来，并将它的终点与第一个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
3. 数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将向量的大小乘以标量，并保持向量的方向不变。
4. 内积（点积）向量的内积，也称为点积，是指将两个向量相乘得到一个数。
具体做法是将两个向量的对应分量相乘，然后将所有的乘积相加起来。
5. 外积（叉积）向量的外积，也称为叉积，是指将两个向量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的大小与它们夹角的正弦值相乘，然后按照右手定则确定新向量的方向。
7.1向量的基本概念及其运算
ab
ab
[核心思想方法] 1、定义法 2、数形结合
3、化归与转化
[典型例题]
例1、计算 （1） 2(2a b) 7(3a b)
2 3(a 3b 3c) 5(2a 2b c)
解：（1）原式 4a 2b 21a 7b 25a 5b
（2）原式 3a 9b 9c 10a 10b 5c
证明： BD CD CB （3 e1-e2）-（-2e1-8e2）=5e1+5e2
=5（e1+e2）=5AB BD / / AB .
B点为公共点， A、B、D三点共线。
点评：根据向量平行的充要条件证明三点共线。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直， 求a、b的夹角。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，
求a、b的夹角。
解：由题意得 （ (aa+-43bb）)((77aa--52bb）)=00
7a2 +16a
7a
2
30a
b
2
15b
=0
b
2
8b
=0
(1) (2)
由(1)
(2)得46a b
2
23b
0,
即b2 =2a
3）平行向量：
如果两个向量 a, b 的方向相同或相反， 则把这一对向量叫做平行向量。 记作 a / /b. 平行向量也叫共线向量。 规定零向量平行于任意向量。
4）共面向量： 如果把几个向量的始点移到某个平面，它们的终点也都在这个平面内，
把这些向量叫做共面向量。
如果两个向量 a, b 不共线，则向量 c与向量 a, b 共面的充要条件是：
向量的概念与运算
向量的概念与运算在数学中，向量是一个有方向和大小的量，常用来表示物体的位移、速度、力等。
本文将介绍向量的概念以及向量的基本运算。
一、向量的概念向量可以用箭头表示，箭头的指向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通常用加粗的小写字母表示向量，例如a、b。
一个向量可以由一组有序的实数构成，这组有序的实数称为向量的分量。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂, ..., aₙ)，其中 a₁, a₂, ..., aₙ 是向量a的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量a和向量b，它们的和表示为a + b，其分量的运算规则为：(a₁+b₁, a₂+b₂, ..., aₙ+bₙ)。
例如，设有向量a=(2, 4)和向量b=(1, 3)，则a + b = (3, 7)。
2. 向量的减法向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有向量a和向量b，它们的差表示为a - b，其分量的运算规则为：(a₁-b₁, a₂-b₂, ..., aₙ-bₙ)。
例如，设有向量a=(3, 8)和向量b=(2, 5)，则a - b = (1, 3)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
设有向量a和实数k，它们的数乘表示为k * a，其分量的运算规则为：(k * a₁, k * a₂, ..., k *aₙ)。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和实数k=2，则k * a = (2, 4, 6)。
4. 向量的数量积（内积）向量的数量积是指两个向量的对应分量相乘后再相加的结果。
设有向量a=(a₁, a₂, ..., aₙ)和向量b=(b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的数量积表示为a · b，计算公式为：a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + aₙ * bₙ。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和向量b=(2, 3, 4)，则a · b = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 = 20。
向量与向量运算
向量与向量运算向量是数学中的一个重要概念，它在各个学科领域有着广泛的应用和意义。
向量可以用来描述物体的位移、力量的大小和方向等一系列具有连续性的物理量。
本文将介绍向量的定义、性质以及一些常见的向量运算。
1. 向量的定义和表示向量是有大小和方向的量。
它可以由有序的数对表示，也可以用一个带上箭头的字母表示。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂, a₃)，也可以表示为→a。
2. 向量的性质- 大小（模）：向量的大小可以由勾股定理得出。
对于向量→a=(a₁, a₂, a₃)，它的大小记作|→a|，可以计算为：|→a| = √(a₁²+ a₂²+ a₃²)。
- 方向：向量的方向可以通过角度或者方向余弦来描述。
角度可以用夹角的形式表示，方向余弦可以用三个数值表示。
- 平行和共线性：如果两个向量的方向相同或者相反，且大小相等，则这两个向量是平行的。
如果两个向量不仅平行，而且共线，即在同一直线上，则这两个向量是共线的。
3. 向量的运算- 向量加法：向量加法满足交换律和结合律。
对于向量→a=(a₁, a₂, a₃)和向量→b=(b₁, b₂, b₃)，它们的和可以计算为：→a+→b=(a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)。
- 向量减法：向量减法也满足交换律和结合律。
向量→a和向量→b的差可以计算为：→a-→b=(a₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃)。
- 数乘：向量与一个实数（标量）相乘后，向量的大小会相应改变。
向量→a与实数k的乘积记作k→a，可以计算为：k→a=(ka₁, ka₂,ka₃)。
- 点积：向量的点积是一种重要的运算，它将两个向量映射为一个标量。
对于向量→a=(a₁, a₂, a₃)和向量→b=(b₁, b₂, b₃)，它们的点积记作→a·→b，可以计算为：→a·→b=a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
- 叉积：向量的叉积是向量运算中的另一种重要形式。
向量的概念与运算
向量的概念与运算向量是数学中一种重要的数学对象，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
本文将介绍向量的概念和基本运算方法，以及在实际问题中的应用。
一、向量的定义在数学中，向量是指具有大小和方向的量。
向量通常用有序数对或有序数组表示，如(a, b)或[a, b]。
二、向量表示与性质1. 行向量与列向量向量可以表示为一行或一列数据，分别称为行向量和列向量。
行向量通常写作[a, b, c]，列向量通常写作(a, b, c)。
2. 向量的模向量的模表示向量的长度或大小，通常用|v|表示，计算公式为：|v| = √(a^2 + b^2 + c^2)，其中a、b、c为向量的坐标。
3. 向量的方向角向量的方向角表示向量与某一坐标轴之间的夹角。
一般用α、β、γ分别表示向量与x轴、y轴、z轴之间的夹角。
4. 向量的相等向量相等表示两个向量在大小和方向上完全相同。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量对应坐标分别相加得到一个新的向量。
即：v + w = (a + x, b + y, c + z)。
2. 向量的减法向量的减法表示将两个向量对应坐标分别相减得到一个新的向量。
即：v - w = (a - x, b - y, c - z)。
3. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量的每个坐标乘以一个常数得到一个新的向量。
即：k * v = (ka, kb, kc)。
4. 向量的点乘向量的点乘也称为内积，表示将两个向量对应坐标分别相乘后相加得到一个数值。
即：v · w = a * x + b * y + c * z。
5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为外积，表示将两个向量进行叉乘得到一个新的向量。
即：v × w = (b * z - c * y, c * x - a * z, a * y - b * x)。
四、向量的应用向量广泛应用于各个领域，如以下几个示例：1. 物理学中的力学在物理学中，向量常用于描述力的大小和方向。
向量的定义与基本运算
向量的定义与基本运算向量是数学中的一个重要概念，在各个领域都有广泛应用。
本文将介绍向量的定义和基本运算，以帮助读者更好地理解和应用向量的相关知识。
一、向量的定义在数学中，向量是由大小和方向共同确定的量。
通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a 可以写作→a 或a。
向量有两个重要的属性：大小（模）和方向。
大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。
二、向量的表示形式向量有多种表示形式，常用的有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示在二维空间中，向量可以表示为一个有序数对 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 分别表示向量在x、y 和 z 轴上的分量。
2. 分量表示向量的分量表示是指将向量在坐标轴上的投影值表示为一个有序数列。
在二维空间中，向量 a 的分量表示为 (a₁, a₂)，其中 a₁表示向量在 x 轴上的分量，a₂表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量a 的分量表示为 (a₁, a₂, a₃)，其中 a₁、a₂和 a₃分别表示向量在 x、y 和 z 轴上的分量。
三、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数量乘法。
1. 向量的加法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的和向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ + b₁，c₂ = a₂ + b₂，...，cₙ = aₙ + bₙ。
2. 向量的减法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的差向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ - b₁，c₂ = a₂ - b₂，...，cₙ = aₙ - bₙ。
向量基本概念和基本运算
(b)
向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只 需改变它的符号。
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三、向量的减法
向量减法的几何图示法: 已知向量 a 、b 如何做出a b ? OB BA OA BA OA OB
自空间任意点O引向量 OA a O, B b 那么向量 BA a b 即为所作。
O
a
A
二、向量的加法
定理1.2.2：向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）零 元： a + 0 = a.
（4）反向量：
a (a)
0.
二、向量的加法
有限个向量 a1, a2, an 相加可由向量的三角形求和法则推广：自任意点O开始， 依次引 OA1 a1, A1A2 a2 , , An1An an , 由此得一折线 OA1 A2 An , 于是向量 OAn a 就是 n 个向量 a1, a2 , , an 的和，即：
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性质： 对于任意两向量 a 、b ，有下列不等式 a b a b a b .
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四、向量的数乘
定义1.3.1：实数 与向量 a 的乘积是一个向量，记做 a，它的模是a a ； a 的方向，当 0 时与 a 相同，当 0 时与 a 相反。
我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘。
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四、向量的数乘
初中数学知识归纳向量的概念与向量的运算
初中数学知识归纳向量的概念与向量的运算初中数学知识归纳：向量的概念与向量的运算向量是数学中重要的概念之一，它在几何、物理和计算机科学等领域发挥着重要的作用。
了解向量的概念及其运算规则对于初中数学学习来说至关重要。
本文将对初中数学中的向量概念和向量的运算进行归纳总结。
一、向量的概念向量是有大小和方向的量，常用有向线段表示。
向量通常用大写字母表示，如A、B。
向量的大小称为向量的模，用|AB|表示。
向量的方向可以用箭头表示，指向向量的方向。
一个向量可以由起点和终点表示，如向量AB。
向量的起点称为原点，向量的终点称为终点。
二、向量的运算1. 向量的相加向量的相加是指两个向量相互叠加的运算。
设有向量AB和向量CD，则向量AB+CD的结果是从向量A的起点到向量D的终点所得的新向量。
2. 向量的相减向量的相减是指两个向量相互抵消的运算。
设有向量AB和向量CD，向量AB-CD的结果是从向量A的起点向向量D的相反方向延长所得的新向量。
3. 数乘数乘是指将一个向量与一个实数相乘的运算。
设有向量AB和实数k，则k*AB的结果是长度为k倍的向量，其方向与向量AB相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
4. 向量的数量积向量的数量积也称为向量的点乘，记作AB·CD。
向量的数量积满足以下运算规则：- AB·CD = |AB| |CD| cosθ，其中θ为向量AB和向量CD之间的夹角。
- 如果两个向量的数量积为0，即AB·CD=0，则向量AB与向量CD垂直。
5. 向量的向量积向量的向量积也称为向量的叉乘，记作AB×CD。
向量的向量积满足以下运算规则：- |AB×CD| = |AB| |CD| sinθ，其中θ为向量AB和向量CD之间的夹角。
- 向量AB与向量CD的向量积垂直于向量AB和向量CD所在的平面，并且其方向满足右手定则。
三、向量的应用向量的概念与运算在几何、物理和计算机科学等领域有着广泛的应用。
向量代数的基本概念及运算法则
向量代数的基本概念及运算法则向量代数是线性代数的重要部分，涉及了向量的基本概念及其运算法则。
本文将介绍向量的概念、向量的加法和减法运算法则、向量的数乘运算法则，并讨论一些常见的向量运算性质。
一、向量的概念向量是具有大小和方向的物理量，常用有向线段表示。
通常将向量用字母加箭头表示，例如，向量a用记号“→a”表示。
向量有两个重要的属性，即大小（模）和方向。
向量的大小表示向量的长度或大小，用|→a| 或||→a|| 表示，读作“模a”或“a的模”。
向量的方向表示指向何处，可以用角度、弧度或者其他方式进行表示。
二、向量的加法和减法运算法则向量的加法运算是指将两个向量进行求和的运算，其法则可以用平行四边形法则和三角法则表示。
平行四边形法则可以简要描述如下：设有向量→a和→b，取→a的起点作为平行四边形的一个顶点，将→b 平移至→a的终点，以→a和→b的起点为相对顶点形成平行四边形，平行四边形的对角线所表示的向量，即为向量→a和→b的和向量→a+→b。
三角法则可以简要描述如下：将→a和→b的起点相接，以→a的终点为直角，连接→b的终点和→a的起点，所得的向量即为向量→a和→b的和向量→a+→b。
向量的减法运算是指将两个向量进行相减的运算，可以通过向量的加法和取负得到。
设有向量→a和→b，向量→a减去向量→b即为向量→a加上向量→b的负向量，即→a-→b=→a+(-→b)。
三、向量的数乘运算法则向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个实数的运算，用以改变向量的长度或方向。
设有向量→a和实数k，向量→a与k的乘积，记作k→a，即为把向量→a的长度伸缩为原来的|k|倍，并在原来的方向上（若k>0）或相反方向上（若k<0）。
四、常见的向量运算性质1. 交换律：向量加法满足交换律，即→a+→b=→b+→a。
2. 结合律：向量加法满足结合律，即(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
3. 分配律：向量的数乘运算满足分配律，即k(→a+→b)=k→a+k→b。
向量及其运算
以a、b的坐标表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2) =(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2) =(11, -2, 16).
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四、利用坐标作向量的线性运算
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•向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个
向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. 零向量认为是与任何向量都平行.
•共线向量与共面向量
a//b//c
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公
共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
(2) 数 轴 的 的 正 向 通 常 符 合 右手规则.
原点
y轴 x轴
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•坐标面 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平
面, 这种平面称为坐标面. 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.
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•坐标面
在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平 面, 这种平面称为坐标面.
❖空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就 确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴(横 轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空 间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系.
z轴
说明：
(1)通常把x轴和y轴配置在水 平面上, 而z轴则是铅垂线;
向量的定义与运算法则
向量的定义与运算法则在数学中，向量是描述空间中的有向线段的概念，它具有大小和方向。
向量可以用于表示物体的位移、速度、加速度等物理量，也广泛应用于计算机图形学、力学、电磁学等领域。
本文将详细介绍向量的定义以及常见的运算法则。
一、向量的定义向量是一个有序的元素集合，每个元素被称为向量的分量。
通常用小写字母加箭头表示一个向量，如a→，b→等。
向量的分量可以是实数或复数，取决于具体的应用场景。
二、向量的表示方法有多种表示向量的方法，常见的包括坐标表示法和方向向量表示法。
1. 坐标表示法在二维平面直角坐标系中，向量a可以表示为一个有序数对(a₁,a₂)，其中a₁和a₂分别表示向量a在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，向量a可以表示为一个有序数组(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂和a₃分别表示向量a在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 方向向量表示法方向向量是由起点和终点固定的向量。
通过指定向量的起点和终点，可以得到一个特定的方向向量。
例如，向量AB可以记为AB→，其中A为起点，B为终点。
三、向量的基本运算法则向量的基本运算法则包括加法、减法、数乘和数量积。
1. 向量的加法向量的加法定义为将两个向量的对应分量相加。
设有向量a=(a₁, a₂)和向量b=(b₁, b₂)，则向量a+b的结果为(a₁+b₁, a₂+b₂)。
2. 向量的减法向量的减法定义为将两个向量的对应分量相减。
设有向量a=(a₁, a₂)和向量b=(b₁, b₂)，则向量a-b的结果为(a₁-b₁, a₂-b₂)。
3. 向量的数乘向量的数乘定义为将向量的每个分量与一个实数（或复数）相乘。
设有向量a=(a₁, a₂)和实数k，向量ka的结果为(a₁k, a₂k)。
4. 向量的数量积向量的数量积（也称为点积或内积）定义为两个向量的对应分量相乘后再求和。
设有向量a=(a₁, a₂)和向量b=(b₁, b₂)，则向量a·b的结果为a₁b₁+a₂b₂。
向量的基本概念与运算
向量的基本概念与运算向量是数学中的一种重要概念，它可以用来表示大小和方向的物理量。
本文将介绍向量的定义、基本运算以及向量的性质。
一、向量的定义在数学中，向量通常用有箭头的小写字母表示，比如a，b等。
向量有大小和方向两个属性，可以用有序数对表示。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴方向的分量，a₂表示向量在y轴方向的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法可以用几何法或分量法进行计算。
几何法就是将向量的起点放在另一个向量的终点，然后连接起点与终点，得到一条新的向量。
2. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法来实现，即将减去的向量取负，然后与被减向量进行相加。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将向量的每个分量都乘以一个常数。
比如向量a 乘以常数k，可以表示为ka=(ka₁, ka₂)。
4. 向量的点乘向量的点乘也称为数量积，表示为a·b或a⋅b，在二维空间中可以计算为a·b=a₁b₁+a₂b₂。
点乘的结果是一个标量，它表示的是两个向量之间的夹角的余弦值。
5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为向量积，表示为a×b，在二维空间中由于没有第三个方向，所以叉乘结果为0。
三、向量的性质1. 向量加法的交换律和结合律向量加法满足交换律，即a+b=b+a；同时也满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量数量乘法的分配律向量数量乘法满足分配律，即k(a+b)=ka+kb。
3. 向量的点乘的性质向量的点乘满足交换律，即a·b=b·a；同时也满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。
4. 向量的点乘与夹角夹角为θ的两个非零向量a和b的点乘满足a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模。
5. 垂直向量的点乘如果两个向量a和b垂直，则它们的点乘为0，即a·b=0。
向量的基本概念及运算
向量的基本概念及运算向量是数学中常用的表示量的工具，它具有大小和方向两个属性。
在物理学、几何学、工程学等学科中广泛应用。
本文将介绍向量的基本概念以及常见的运算方法。
一、向量的基本概念向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
一般用大写字母加上箭头来表示向量，如A、B等。
向量的起点可以是任意的，终点也可以是任意的，只要保持方向和大小一致即可。
二、向量的表示方法1. 平面向量的表示平面向量由两个有序实数构成，可以表示为A = (x, y)，其中x和y 分别表示向量沿x轴和y轴的分量。
2. 空间向量的表示空间向量由三个有序实数构成，可以表示为A = (x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量沿x轴、y轴和z轴的分量。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相接，用第一个向量的起点和第二个向量的终点构成一个新的向量。
A +B = (x1 + x2, y1 + y2)A +B +C = A + (B + C) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)2. 向量的减法向量的减法表示为A - B，即A + (-B)，其中-B表示B的反向量。
向量的减法可以转换为向量的加法进行计算。
A -B = (x1 - x2, y1 - y2)3. 向量的数乘向量的数乘指将向量的每个分量都乘以同一个实数。
数乘后的向量与原向量方向相同（当实数大于0时），或反向（当实数小于0时），大小为原向量大小的绝对值与实数的乘积。
kA = (kx, ky)四、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的大小，表示为|A|。
计算公式为：|A| = √(x^2 + y^2) （平面向量）|A| = √(x^2 + y^2 + z^2) （空间向量）2. 零向量零向量是指模为零的向量，用0表示。
零向量的方向可以是任意的，但是定义上无法确定。
3. 单位向量单位向量是指模为1的向量，可以通过将向量除以模得到。
向量的定义与运算
向量的定义与运算向量是数学中的一个重要概念，在许多学科中都有广泛应用。
本文将详细介绍向量的定义以及常见的向量运算。
一、向量的定义在数学中，向量是由若干个有序实数构成的有向线段。
通常用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，而箭头的长度和方向表示向量的大小和方向。
二、向量的表示方法1. 列向量表示法：向量可以用一个竖线列出，称为列向量。
例如，向量a可以表示为：a = [a₁, a₂, ..., an]ᵀ（其中ᵀ表示转置）2. 坐标表示法：向量可以用坐标表示。
例如，在二维空间中，向量a可以表示为：a = [a₁, a₂]（其中a₁和a₂分别表示向量在x轴和y轴上的分量）三、向量的运算向量之间可以进行多种运算，包括：1. 向量的相加：向量相加就是将对应位置的分量相加。
例如，向量a和向量b相加可以表示为：a +b = [a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., an + bn]ᵀ2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法就是将向量的每个分量乘以一个常数。
例如，向量a乘以常数c可以表示为：c * a = [c * a₁, c * a₂, ..., c * an]ᵀ3. 向量的点乘：向量的点乘也称为内积，表示对应位置的分量相乘后再相加。
例如，向量a和向量b的点乘可以表示为：a ·b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + an * bn4. 向量的叉乘：向量的叉乘也称为外积，只适用于三维空间中的向量。
叉乘的结果是一个新的向量，其方向垂直于原有两个向量所在的平面。
例如，向量a和向量b的叉乘可以表示为：a ×b = [a₂ * b₃ - a₃ * b₂, a₃ * b₁ - a₁ * b₃, a₁ * b₂ - a₂ * b₁]四、向量的性质向量具有许多重要的性质，包括：1. 向量的模长：向量的模长是指向量的大小或长度。
在二维空间中，向量a的模长可以表示为：|a| = √(a₁² + a₂²)在三维空间中的向量模长的计算公式类似。
2.向量及其运算
设 a 为一向量, 与 a 的模相同而方向相反 的向量叫做 a 的负向量 , 记作 a.
两个向量 b 与 a 的差
a ba b a
b a b (a ).
B
O
b a
ba
A
三角不等式 a b a b, a b a b.
10
其中等号在 a 与 b 同向或反向时成立.
如图知a M 1 M 2 M 1 P M 1Q M 1 R ( x 2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k a x i a y j az k 其中向量a x i，a y j，a z k 分别称为向量a在x轴, y轴, z轴上的分向量，
z
R
P
M1
M2
Q
o
x
y
27
z
R
M1
由图分析可知
o
x
P
M2
Q
y
a y | M 1 M 2 | cos | a | cos
a x | M1 M 2 | cos | a | cos
az | M1 M 2 | cos | a | cos
2
向量也可用粗体字母表示, 如 a , i , v , F 等等, 向量还可用在上面 加箭头的书写体字母 表示, 如a , i , v , F 等等.
向量的大小叫做向 量的模.向量 M1 M 2、a、a 的模依次记作 M1 M 2 、 a、 a.
向量的模
单位向量
模等于1 的向量叫做单位向量 , 用ea 表示与 非零向量a同方向的单位向量.
§2 向量及其运算
向量及其线性运算
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中常见的概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在几何中，向量可以表示方向和大小，而在物理和工程中，向量可用于描述物体的位移、力和速度等概念。
本文将对向量的基本概念、运算法则以及常见公式进行总结。
一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是由大小和方向共同决定的，并且在平行移动下具有相同效果的量。
向量通常用字母加上箭头表示，如a。
例如，一个位移向量表示从起点到终点的位移距离和方向。
2. 向量的表示：向量可以用坐标表示，也可以用行列式表示。
在坐标表示中，向量通常以一个起点和一个终点表示，用终点的坐标减去起点的坐标，得到向量的坐标。
在行列式表示中，向量被表示为一个一维数组。
3. 向量的性质：向量具有方向、大小和平移性质。
向量的方向可以用角度或方向余弦表示，大小可以用模长表示，平移性质表示向量的平移不会改变其大小和方向。
二、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即对于任意的向量a、b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的减法：向量的减法等于其加法的逆运算，即a - b = a + (-b)。
其中，-b表示向量b的反方向和相同大小的向量。
3. 向量的数乘：向量的数乘满足分配律和结合律。
即对于任意的标量k和向量a、b，有k(a + b) = ka + kb和(kl)a = k(la)。
4. 向量的数量积：向量的数量积也称为点乘，它是两个向量的模长乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
两个向量a和b的数量积表示为a · b = |a||b|cosθ，其中θ表示a和b之间的夹角。
5. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉乘，它是两个向量的模长乘积与它们之间的夹角的正弦值的乘积。
两个向量a和b的向量积表示为a × b = |a||b|sinθn，其中θ表示a和b之间的夹角，n 表示垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量的概念及其运算
坐标,记为 OA = x, y .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量
a 与 b 相等,记为 a b .
课堂练习:
4.正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，
A 且
OP
=（0，3），
OS
=（4，0），则
RM
=(
)
(A)（ 7 , 1 ） (B)（ 7 , 1 ） (C)（7，4） (D)（ 7 , 7 ）
22
22
22
5.已 知 a (1，2)，b x，1 ,且 a 2b 与 2a b 平 行,则 x 等 于
OA AB OB
实数与 向量的 乘积
三角形法则
两个向 量的数 量积
AB =λ a
λ ∈R
记 a =(x,y)
则 a =(λ x,λ y)
ab a b cos a,b 记 a (x1, y1),b (x2, y2)
则 a · b =x1x2+y1y2
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量 的数量积运算.
当基底 i, j 是两个互相垂直的单位向量时,
就建立了平面直角坐标系.如图
a xi y j 一一对应(x, y)
⑴当向量起点在原点时,定义向量坐标
为终点坐标,即若 A(x，y),则 OA =（x,y）;
⑵当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减
向量的定义与加减运算
向量的定义与加减运算向量是线性代数中的重要概念，它可以用于描述物理力、方向和位移等概念。
本文将详细介绍向量的定义以及向量的加减运算。
一、向量的定义向量是由大小和方向组成的量，通常用箭头表示。
在数学上，向量可以表示为一个有序数列，在二维平面中通常以两个数表示，即(x, y)，在三维空间中则以三个数表示，即(x, y, z)。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有向量A和向量B，它们的加法运算可以表示为A + B。
具体计算方法如下：1. 如果A和B在同一方向上，则将它们的大小相加，并保持相同的方向。
例子：A = (3, 4)B = (2, 1)A +B = (3 + 2, 4 + 1) = (5, 5)2. 如果A和B在相反的方向上，则将它们的大小相减，并保持第一个向量的方向。
例子：A = (3, 4)B = (-2, -1)A +B = (3 - 2, 4 - 1) = (1, 3)3. 如果A和B不在同一方向上，则不能简单地将它们的大小相加，而是需要使用平行四边形法则来计算。
例子：A = (1, 2)B = (3, 4)A +B = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有向量A和向量B，它们的减法运算可以表示为A - B。
具体计算方法如下：1. 将B取负值，即将B中的每个分量变为相反数，然后进行向量的加法运算。
例子：A = (3, 4)B = (2, 1)A -B = A + (-B) = (3, 4) + (-2, -1) = (3 - 2, 4 - 1) = (1, 3)四、向量的运算性质向量的加减运算满足以下性质：1. 交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C ≠ A - (B - C)3. 零向量：对于任何向量A，有A + 0 = A，A - 0 = A，其中0是大小为0的向量。
小学数学知识点向量的概念与运算
小学数学知识点向量的概念与运算在小学数学中，向量是一个重要的概念。
它不仅帮助我们描述物体的方向和大小，还可以用来解决一些几何问题。
下面，我们将介绍向量的基本概念和运算方法。
一、向量的概念向量是有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
在平面几何中，向量可以用有序数对 (a, b) 来表示，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
例如，向量 (3, 4) 的 x 分量为 3，y 分量为 4，表示从原点出发，向右移动 3 个单位，向上移动 4 个单位。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量 a = (a1, a2) 和向量 b = (b1, b2)，则它们的和为 c = (a1 + b1, a2 + b2)。
例如，向量 a = (2, 3) 和向量 b = (1, -2) 的和为 c = (2 + 1, 3 + (-2)) = (3, 1)。
2. 向量的数乘向量的数乘即将向量的每个分量乘以一个实数。
设有向量 a = (a1,a2) 和一个实数 k，则它们的数乘为 c = (ka1, ka2)。
例如，向量 a = (2, 3) 乘以 2 的结果为 c = (2 × 2, 2 × 3) = (4, 6)。
3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来实现。
设有向量 a 和向量b，它们的差为 c = a + (-1) × b。
例如，向量 a = (2, 3) 和向量 b = (1, -2)的差为 c = (2, 3) + (-1) × (1, -2) = (2, 3) + (-1 × 1, -1 × (-2)) = (2, 3) + (-1, 2) = (2 + (-1), 3 + 2) = (1, 5)。
4. 向量的数量积向量的数量积又称为点积或内积，它满足交换律和分配律。
设有向量 a = (a1, a2) 和向量 b = (b1, b2)，则它们的数量积为 c = a1 × b1 + a2 ×b2。
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§2.1.1 向量的概念一、自主学习课本P 77~79，回答下列问题。
1、高中阶段，我们暂且把具有的量称为向量，如无特别说明，以后我们说到向量，都指。
2、具有方向的线段叫，表示向量的方向，叫向量的长度，也称模。
3、的有向线段表示同一向量或相等向量，记作。
4、通过有向线段AB 的直线，叫做向量AB 的，如果向量的基线，则称这些向量共线或平行，向量a 平行于b ，记作。
5、有下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 其中不是向量的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6、下列命题中，正确的是（ ）Ab a =⇔= Bb a >⇔> C ．a b a ⇔=∥bD．00=⇔=a7、如图，在中，E ，F 分别是AB 、CD 的中点， 图中的7个向量中，设a AE=，b DA =，则与a 相等的 向量有，与b 相等的向量有，与a 平行的向量有，与b 共线的向量有。
二、典型例题例1．O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出与OA 、OB 、OC 相等的向量例2．设平面给定一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证HG EF =。
DCFABED三、课堂练习：P 79 A 、B 。
四、小结： 五、作业：1、给出下列四个命题①力、位移、速度、加速度都是向量 ②所有的单位向量都相等 ③共线的向量一定在同一条直线上 ④模相等的向量是相等的向量其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 2、下列结论中，正确的是（ ）A ．向量AB 与CD 共线和AB ∥CD 同义 B ．零向量只有大小，没有方向C =则b a =或b a -=D ．若两个向量共线，则这两个向量在同一条直线上3、设P 、Q 是线段AB 的两个三等分点，以A 、P 、Q 、B 四个点中的两个点为起点和终点，则不同的有向线段最多可得（ ） A ．3条 B ．6条 C ．9条 D ．12条4、点O 是平面上一定点，点P 在点O “东偏北60°，3cm ”处，点Q 在点O “南偏西 30°，3cm ”处，则点Q 相对于点P 的位置向量是（ ） A ．“南偏西60°，6cm ” B ．“南偏西30°，3cm ” C ．“西偏南60°，6cm ” D ．“西偏南30°，3cm ”5、设O 为△ABC 的外心，则AO ，BO ，CO 是（ ） A ．相等向量B ．平行向量C ．模相等的向量D ．起点相同的向量6、把平面上所有单位向量的起点都平移到同一点时，它们的终点构成的图形是。
7、在四边形ABCD 中，DC AB ==，则四边形ABCD 的形状是。
8、若A 地位于B 地东5km 处，C 地位于A 地北5km 处，则C 地对于B 地的位移是。
§2 .1.2向量的加法一、自主学习课本P 80~83，回答下列问题。
1．已知向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作a AB =，b BC =，再作向量AC ，则向量AC 叫做a 与b 的，记作，即a+b==+BC AB . 上述求两个向量和的作图法则，叫做。
2．已知两个不共线向量a ，b ，作a AB =,b AD =，则A ，B ，D 三点不共线，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量=AC .这就是向量求和的。
3．已知向量a ，b ，c ，d 在平面上任选一点O ，作a OA =，b AB =，c BC =，d CD =，则 d c b a CD BC AB OA OD +++=+++=。
已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点 为终点的向量叫做。
这个法则叫做向量求和的。
4．向量加法的性质： ①交换律②结合律 ③o a +＝5．下列命题（1）如果非零向量 a 与b 的方向相同或相反，那么b a +的方向必与a 、b 之一的方向相同；（2）△ABC 中，必有O CA BC AB =++（3）若O CA BC AB =++，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点（4）若a ，b 一定相等其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中正确的是（）A ．FA DA FD =+B ．O FE DE FD =++C ．EB DE DF =+D ．FD DE DA =+7＝8＝5） A ．［3,8］B ．（3,8）C ．［3,13］D ．（3,13）二、典型例题例1．某人先位移a ：“向东走3km ”，接着再位移向量b ：“向北走3km ”，求b a +。
例2．已知A 、B 、C 是不共线的三点，G 是△ABC 一点，若O GC GB GA =++，求证：G 是△ABC 的重心。
三、课后练习P 83 A 、B 。
四、小结： 五、作业：1．BD CA AB ++＝（）A ．AB B ．BC C ．CD D ．BA2．已知ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是（ ） A ．CA BC AB =+ B ．BC AC AB =+ C ．AD BA AC =+ D ．DC AD AC =+3．已知正方形ABCD 的边长为1AD BC ++ ）A ．1B ．2C ．3D ．224．若O 是正方形ABCD 的中心，已知a AB =，b BC =，c OD =，则a －b+c 表示的 向量是（ ） A ．ODB ．OBC ．OAD ．OC5．已知a AB =，b BC =，c CA =，则“a+b+c=0”是“A 、B 、C 构成三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．一艘船从A 点出发以3km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶的速度大小为2km/h ，则河水流速的大小为。
7．平行四边形ABCD 中，CD AD AB ++＝++＝8．矩形ABCD34=，设a AB =，b BC =，c BD =b ++＝。
§2.1.3 向量的减法一、复习：1、向量加法的法则2、向量加法的性质二、自主学习P 84~85回答下列问题。
1．如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以为起点，的终点的向量，即-＝2．与向量a ，叫a 的相反向量，记作，显然)(a a -+＝。
3．一个向量减去另一个向量等于加上。
4．已知M 是△ABC 的重心，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点， 则MC MB MA ++＝（ ） A ．6MEB ．－6MFC ．OD ．MD5．已知一个点O的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ，则OD ＝ 6．化简)()(BD AC CD AB ---=。
三、典型例题例1．已知向量a ，b 1＝2＝2+例2．点D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，求证O DC FB EA =++四、课后练习P 85 A 、B 。
五、小结： 六、作业：1．若A 、B 、C 、D 是平面任意四点，则下列四式中正确的有（）个①AD BC BD AC +=+②AB DC BD AC +=- ③DC DB AC AB =--④DC AD BC AB =-+ A ．1B ．2C ．3D ． 42．如图四边形ABCD 中，设a AB =，b AD =，c BC =，则DC ＝（）A ．c b a +-B ．c b a ++C ．)(c a b +-D ．c a b +-A BCD3．已知非零向量a ，b =a ，b 应满足的条件是（）A ．方向相同B ．方向相反C ．模相等D ．互相垂直4．化简AD CD BD AC AB +-+-等于（ ）A ．ADB ．ACC ．ABD ．O5．平面上有三点A 、B 、C ，设m ＝BC AB +，n ＝BC AB -，若m 、n 的长度恰好相等， 则有（ ）A ．A 、B 、C 三点必在同一直线上B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠B ＝90°D ．△ABC 必为等腰直角三角形6．在△ABC 中，∠C ＝90°，5||=AC ，12||=BC ，设CA a =，CB b =，则b a -的 大小是.7．若a ∥b ||b a -<+，则a 与b 的关系为。
8．若向量AB 与BC 共线反向，|AB |=2003，|BC |=2004，则|BC AB +|=。
2.1.4 数乘向量一、复习 1、向量加法的运算法则有、。
2、向量加法满足的运算律有、。
二、自主学习：自学课本P 86—87，回答： 1、实数λ与向量a 的积是一个，记作，它的模与方向规定如下：（1）=||a λ （2）λ>0时，a λ的方向与a 的方向；当λ<0时，a λ的方向与a 的方向；0=λ时，。
2、实数与向量的积的运算律 （1）=)(a μλ （2）=+a )(μλ（3）=+)(b a λ3、向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，通常叫做向量的。
三、典型例题 自学课本P 88 例1—例3，完成练习P 89，练习A 、B补充例四：如图：OA 、OB 不共线，)(R t AB t AP ∈=，用OA 、OB 表示OP 。
四、小结：五、作业 1、已知)(3)(5x b a x -=+，则x 等于（ ）A 、b a 8385-B 、8583-C 、b a 8385+-C 、8583+-2、下列命题：①若0=a λ，则0=λ或0=a ②a 2-的几何意义就是将向量a 沿着a 的相反方向放大2倍 ③)()()(2b b a a b a +++=+④向量a λ的方向与向量a 的方向相同，其中正确命题的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、43、=--+)]24()82(21[31（）A 、b a -2B 、a b -2C 、a b -D 、b a -4、在ABC ∆中，已知BD BC 3=，则AD =（）A 、)2(31AB AC +B 、)2(31AC AB +C 、)3(41+D 、)2(41+5、若O 为 的中心，213,2e e ==，则1223e e -等于（ ）A 、BOB 、AOC 、COD 、DO6、化简：（1）)(3)(2b a b a ++-（2）)(2)3(2)2(3b a b a b a +-+-+7、解关于x 的方程。
（1）)(3)(2x b b a -=+（4）)(3)2(21-=-8、在中，M NC AN b AD a AB ,3,,===为BC 的中点，试用b a ,表示MN2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算一、复习 1、向量的运算有、、。