即洛伦兹坐标变换式
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《物理学教学课件》4-4 洛伦兹变换式
x x ut 1 u2 c2ຫໍສະໝຸດ x x2 x1 1 u2 c2
l 1 u2 c2 l0
l l0 1 u2 c2
若棒静止放在地面，则 x2 x1 l0 固有长度
设：在S系中某时刻 t 同时（ t2 t1 t ） 测得棒两端坐标为 x1 、x2 ，则 S系中测得棒 长 l x2 x1， l 与 l0的关系为：
三、例题分析 例1：一长度为100米的火箭以速度 v 0.8c相对 于地面飞行，发现一流星从火箭的头部飞向尾 部，掠过火箭的时间在火箭上测得为 1.0 106s。 试问地上的观察者测量时
(1) 流星掠过火箭的时间是多少？ (2) 该时间内流星飞过的距离是多少？ (3) 流星运动的速度和方向如何？
100)
1.2 106s
2). 由洛伦兹坐标差变换公式
x x v t 1 v2 c2
得地面上测得该时间内流星飞过的距离
v 0.8c x x2 x1 100m t 1.0 106s x 5 ( 100 0.8c 106 ) 3 2.2 102 m
3). 流星飞过的距离 x 和时间 t ，是 S 系 中的测量值，故 S 系测得飞行速度为
长度收缩与时间膨胀仅仅是相对论时 空变换中的两个特例，本节介绍狭义相对 论的时空观下，各惯性系之间更普遍的的 时空变换关系——洛伦兹变换，洛伦兹变 换保证了所有的物理规律在不同惯性系中 具有相同的形式。
4-4 洛仑兹变换
一、 洛伦兹坐标变换式
我们仍取两个相互
作匀速直线运动的惯
性系：地面系和火车
系，火车系以速度u相 对于地面沿正方向匀
在S中：先开枪，后鸟死 在S'中：是否能发生先鸟死，后开枪？ 由因果律联系的两事件的时序是否会颠倒？
洛仑兹坐标变换
v x v B 0 . 800 c
A
B
v u v' 1 uv / c
x x x
s'
2
vB vA 1 vA vB / c
2
地球 s
0 . 988 c
15
有
t1 t1 ' u c
2 2
( x', t2 ' )
x'
2
1 u /c
t2
t 2 '
u c
2 2
x'
2
1 u /c
t t 2 t1
t 2 ' t1 ' 1 u /c
2 2
t ' 1 u /c
2 2
10
（2）长度收缩效应 设在S’系中有一杆长：l '
x 2 ' x1 '
x ' x ut
低速时
1
y' y
z' z
t ' (t
u c
2
还原为加利略变换
x)
z' z t' t
（2）揭示了时间、空间与物质运动不可分割的联系
（3）揭示了光速是一切物体运动速度的极限
1
1 u c
2 2
7
例1、设有车厢（S’系）对站台（S系）以速度u运动， 试用洛仑兹变换说明同时的相对性，并计算出不同时 事件的时间差。 （1）在S’系中发生于x1’和x2’两地点的同时事件，在 S系中不同时； （2）在S系中发生于x1和x2两地点的同时事件，在S’ 系中不同时；
洛仑兹变换
A
B
v u v' 1 uv / c
x x x
s'
2
vB vA 1 vA vB / c
2
地球 s
0 . 988 c
15
有
t1 t1 ' u c
2 2
( x', t2 ' )
x'
2
1 u /c
t2
t 2 '
u c
2 2
x'
2
1 u /c
t t 2 t1
t 2 ' t1 ' 1 u /c
2 2
t ' 1 u /c
2 2
10
（2）长度收缩效应 设在S’系中有一杆长：l '
x 2 ' x1 '
x ' x ut
低速时
1
y' y
z' z
t ' (t
u c
2
还原为加利略变换
x)
z' z t' t
（2）揭示了时间、空间与物质运动不可分割的联系
（3）揭示了光速是一切物体运动速度的极限
1
1 u c
2 2
7
例1、设有车厢（S’系）对站台（S系）以速度u运动， 试用洛仑兹变换说明同时的相对性，并计算出不同时 事件的时间差。 （1）在S’系中发生于x1’和x2’两地点的同时事件，在 S系中不同时； （2）在S系中发生于x1和x2两地点的同时事件，在S’ 系中不同时；
洛仑兹变换
4-1 狭义相对论基本原理 洛仑兹坐标变换 modified
11/27
迈克耳逊—莫雷（Michelson—Morley）实验
实验装置： 根据伽利略变换， K：以太，绝对静止系， K’：地球参考系
S
M’
l2 l1 l1 = l 2
M
v AK = v AK ' + v K ' K
M侧光速：
uM ( 光地 ) = c − v
v
vK ' K v AK ' =uM光地
必须满足2个条件：1，遵循相对论2条基本原理； 2，低速时回到经典力学伽利略变换。
17/27
2、洛仑兹坐标变换式
问题： 在约定的系统中，
y K y′ K '
v
( x, y, z , t )
r
某一事件P 的时空坐标：
O
O′
r′
P
( x′, y′, z′, t ′)
x
x′
在 K中 P ( x , y , z , t )
x2 − vt 2 1− β
2
( x2 − x1 ) − v ( t2 − t1 ) x′ − x′ =
2 1
1− β 2
28/27
例题4－1
( x2 − x1 ) − v ( t2 − t1 ) x′ − x′ =
2 1
1− β 2
=
(12 × 104 − 6 × 104 ) − (−1.5 × 108 )(1× 10−4 − 2 × 10−4 ) 1 − 0.52
∴ 在K’系中，两个事件的时间间隔是： v ( t2 − t1 ) − c 2 ( x2 − x1 ) ′ ′ t 2 − t1 = 1− β 2
25/27
v t− 2 x c ′= ) t 2 2 1− v / c
迈克耳逊—莫雷（Michelson—Morley）实验
实验装置： 根据伽利略变换， K：以太，绝对静止系， K’：地球参考系
S
M’
l2 l1 l1 = l 2
M
v AK = v AK ' + v K ' K
M侧光速：
uM ( 光地 ) = c − v
v
vK ' K v AK ' =uM光地
必须满足2个条件：1，遵循相对论2条基本原理； 2，低速时回到经典力学伽利略变换。
17/27
2、洛仑兹坐标变换式
问题： 在约定的系统中，
y K y′ K '
v
( x, y, z , t )
r
某一事件P 的时空坐标：
O
O′
r′
P
( x′, y′, z′, t ′)
x
x′
在 K中 P ( x , y , z , t )
x2 − vt 2 1− β
2
( x2 − x1 ) − v ( t2 − t1 ) x′ − x′ =
2 1
1− β 2
28/27
例题4－1
( x2 − x1 ) − v ( t2 − t1 ) x′ − x′ =
2 1
1− β 2
=
(12 × 104 − 6 × 104 ) − (−1.5 × 108 )(1× 10−4 − 2 × 10−4 ) 1 − 0.52
∴ 在K’系中，两个事件的时间间隔是： v ( t2 − t1 ) − c 2 ( x2 − x1 ) ′ ′ t 2 − t1 = 1− β 2
25/27
v t− 2 x c ′= ) t 2 2 1− v / c
06-相对论c
即:
m A m B v m B
显然 若mA=mB上式不成立 由上式得:
2v 1 v c
2
2
由相对性原理：Pt=P0在S系成立，则 mAmB
Hale Waihona Puke Mv = mBuB u B 2v 2 1 v c
mB mA
1 v
mB m A
S系的结论
1 mB m 1 m mo 2 u B m A mo 1 1 u c c 静止质量
2 2 2
E
pc
m0 c
2
动量与能量关系式
16
此关系有极重要的意义： （1）对光子： E 2 p 2c 2
E p c m0 c
2 2 2
2 4
光的微粒性
PE
C mE 2 c
光的波动性
E h
光是电磁波，可用 、 来描述。 光又是粒子，可用 m、E、P 来表示。
相对论揭示了光的物质性。
15
5. 相对论的能量与动量的关系 由 P mv p2 m 2v 2 将(1)代入 m
2 2 2
mo 1 v
p2 v2 2 m
(1)
c
2 2 2 4 2 4
2
得：m c p m0 c
2 4 2 2
m c p c m0 c 即： p c m0 c E
c 1 v c
2
将 uB
2v 1 v c
2
代入
2
5 同一粒子处在不同运动速度其质量不同mAmB
m mo
注
1）u ≠v
(4)由于空间的各向 2 同性,m与速度方向 c 无关. 同种粒子 u 不同，则质量不同 u，m。
洛伦兹变换
11 – 2
洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
相对论速度正变换式
说明
当 S 系观察者测得光 信号速度为c时，S测得
ux v u x v 1 2 ux c 2 uy v u y 1 2 v c 1 2 ux c 2 uz v u 1 2 z v c 1 2 ux c
S S
11 – 2
洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
例1 在惯性系 S 中，有两个事件同时发生在 x 轴 上相距 1000m 的两点，而在另一惯性系 S（沿 x 轴方 向相对于 S 系运动）中测得这两个系事件发生的地点 相距 2000m。求在 系中测得这两个事件的时间间隔 . 解： 已知 t 0 x 1000 m 正 变 换
v
( x, y, z, t ) y y ' P ( x' , y ' , z ' , t ' ) S S
z
o
z'
o'
x' x
v c
1 1
2Hale Waihona Puke 11 – 2洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
正 变 换
x' ( x vt ) y' y z' z v t ' (t 2 x) c
二
洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
洛伦兹速度变换
洛伦兹坐标正变换式
x x vt y y z z v t t 2 c
dx dx vdt dy dy dz dz
v dt dt 2 dx x c dx v ux v d x d t u x dt 1 v dx 1 v u 2 x 2 c c dt
洛伦兹变换
洛伦兹变换编辑由于爱因斯坦提出的假说否定了伽利略变换，因此需要寻找一个满足相对论基本原理的变换式。
洛伦兹导出了这个变换式，一般称它为洛伦兹变换式。
中文名洛伦兹变换外文名Lorentz transformation别称洛伦兹变换式提出者亨德里克·洛伦兹提出时间1904年应用学科数学适用领域范围狭义相对论目录1简介2理论3释义4推导▪公设一▪公设二▪过程▪另一种方式5区别6四维矢量改写1简介编辑洛伦兹变换（Lorentz transformation）是观测者在不同惯性参照系之间对物理量进行测量时所进行的转换关系，在数学上表现为一套方程组。
洛伦兹变换因其创立者——荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹而得名。
洛伦兹变换最初用来调和19世纪建立起来的经典电动力学同牛顿力学之间的矛盾，后来成为狭义相对论中的基本方程组。
2理论编辑洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中关于不同惯性系之间物理事件时空坐标变换的基本关系式。
设两个惯性系为S系和S′系，它们相应的笛卡尔坐标系彼此平行，S′系相对于S系沿x 方向运动，速度为v，且当t=t′=0时，S′系与S系的坐标原点重合，则事件在这两个惯性系的时空坐标之间的洛伦兹变换为式中，；c为真空中的光速。
其逆变换形式为不同惯性系中的物理定律必须在洛伦兹变换下保持形式不变。
19世纪后期建立了麦克斯韦方程组，标志着经典电动力学取得了巨大成功。
然而麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略变换下并不是协变的。
由麦克斯韦方程组可以得到电磁波的波动方程，由波动方程解出真空中的光速是一个常数。
按照经典力学的时空观，这个结论应当只在某个特定的惯性参照系中成立，这个参照系就是以太。
其它参照系中测量到的光速是以太中光速与观察者所在参照系相对以太参照系的速度的矢量叠加。
然而1887年的迈克耳孙-莫雷实验测量不到地球相对于以太参照系的运动速度。
1904年，洛伦兹提出了洛伦兹变换用于解释迈克耳孙-莫雷实验的结果。
狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式
2、洛伦兹速度变换式
ux − v u′ = x u xv 1− 2 c
正变换
u y 1 − v 2 /c 2 ′ uy = u xv 1− 2 c
u z 1 − v 2 /c 2 ′ uz = u xv 1− 2 c
9
物理学
第五版
14-3 14-
狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式
逆变换
u′ + v ux = x u′ v 1 + x2 c u ′y 1 − v 2 / c 2 uy = u′ v 1 + x2 c
2 2
c ,0,0, 1 ) 点在K 中的时空坐标为( 即P1点在K'中的时空坐标为( 3 3
同理可得 P2点在K'中的时空坐标为(-3c,0,0,3) 点在K 中的时空坐标为(
12
物理学
第五版
14-3 14-
狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式
讨论： 讨论： ----同时 ∆t = 0 ----同时
物理学
第五版
14-3 14-
狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式
Qd x' =
d x −v dt 1−v c
2 2
dt' =
dt −v d x c 1−v c
2 2
2
d y' = d y
d z' = d z
ux −v d x' d x −v dt = ∴ux' = = 2 2 dt' dt −v d x c 1−vux c
8
16
= 2.99×10 m /s
15
物理学
第五版
14-3 14-
狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式
新的变换关系-洛伦兹变换
第十四章相对论基础
§14.4 新的变换关系—洛伦兹变换
《大学物理》校级精品课程教学团队
x
•一、洛伦兹坐标变换式
•爱因斯坦认识到时间和长度的概念没有绝对意义，他相对性原理和光速不变原理出发
v
-可得
ï
ïì--=21'vt x x u
ï
ï
ïì
-=1'u u x
洛伦兹速度变换公式如果
或
('u
)
u和
三、洛伦兹速度变换的意义
• 1 解决了电磁学与相对性原理的矛盾：爱因斯坦证明了在各个惯性系中，麦克斯韦方程组的形式相同。
• 2 解决了光速不变与相对性原理的矛盾：
• 3 相对性原理及其时空观是狭义相对论的思想实质，洛伦兹变换是其表现形式，通过光速不变原理将二者联系起来。
尽管在爱因斯坦之前一年，洛伦兹和庞加莱已经推出了洛伦兹变换，和长度收缩等假说，但是他们是从以太存在的电子论的角度得出的，所以没有得出狭义相对论。
四、洛伦兹变换和伽利略变换间的关系
•从洛伦兹变换可以看到，当两个惯性系之
间的相对速度
例两个婴儿A
同时出生。
若一宇宙飞船沿两医院的连线方向由飞行时，测得
员认为A、B
教材P161: 14-11。
大学物理精品课件3.1 洛伦兹变换
2
伽利略变换式
牛顿的绝对时空观
第三章 相对论
伽利略速度变换公式
u' x u x v
s
y
vt
y
s'
y'
y'
u' y u y
u'z uz
加速度变换公式
v
x'
P ( x, y , z )
*
( x', y', z ' )
o
a' x ax
a' y a y
a a' F ma ' F ma
25
伽利略变换式
牛顿的绝对时空观
第三章 相对论
速度变换
考虑一质点 P 在空间 的运动，从 S 和 S′ 系来看，速度分别是：
y
S
y'
S'
V
P
O
v v'
x ( x' )
O'
z
z'
dx dy dz v x dt , v y dt , vz dt dx dy dz v'x dt , v'y dt , v'z dt
4
伽利略变换式
牛顿的绝对时空观
第三章 相对论
y
（1）同时的绝对性
V
y'
event 1
event 2
o
S系, t1 t 2
o'
x
x'
两个事件同时发生
据伽利略变换，S/系
同时的绝对性
t1 t 2
在其他惯性系中，两个事件也一定同时发生。
伽利略变换式
牛顿的绝对时空观
第三章 相对论
伽利略速度变换公式
u' x u x v
s
y
vt
y
s'
y'
y'
u' y u y
u'z uz
加速度变换公式
v
x'
P ( x, y , z )
*
( x', y', z ' )
o
a' x ax
a' y a y
a a' F ma ' F ma
25
伽利略变换式
牛顿的绝对时空观
第三章 相对论
速度变换
考虑一质点 P 在空间 的运动，从 S 和 S′ 系来看，速度分别是：
y
S
y'
S'
V
P
O
v v'
x ( x' )
O'
z
z'
dx dy dz v x dt , v y dt , vz dt dx dy dz v'x dt , v'y dt , v'z dt
4
伽利略变换式
牛顿的绝对时空观
第三章 相对论
y
（1）同时的绝对性
V
y'
event 1
event 2
o
S系, t1 t 2
o'
x
x'
两个事件同时发生
据伽利略变换，S/系
同时的绝对性
t1 t 2
在其他惯性系中，两个事件也一定同时发生。
洛伦兹变换
一、洛伦兹坐标变换
设t = t' = 0时， O与O' 重合
S Px, y, z,t
yS
y' S' u
ut P
S Px, y, z, t
o
o' x'
x'
两个参考系中相应的
x
x
坐标值之间的关系：
x x ut (x ut) 1u2 c2
z y y
z'
z z
t'
t u x c2
(t u x)
x ( x ut)
则
t
(
t
u c2
x)
x ( x ut)
逆变换
t
(
t
u c2
x)
u c 1 1 2
二、由洛伦兹变换看长度的收缩(length contraction)
标尺相对 S系静止
y y'
在 S系中测量
l0 x'2 x'1 l'
s
s'
u
x'1
l0
x'2 x'
O'
说明上海站的乙火车先开，
时序颠倒!!
O z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
狭义相对论的时空观： 两个事件在不同的惯性系看来，它们的空间关
系是相对的，时间关系也是相对的，时间和空间的 量度与参考系的选择有关。也就是说时间、空间和 运动三者之间紧密联系，是不可分割的一个整体。
光速 C 是建立不同惯性系间时空变换的纽带。
试求宇航员参考系中测得的甲乙两列火车发车的时间 间隔，哪一列先开?
解：取地面为 S 系，和飞船一起运动的参考系为 S 系，
设t = t' = 0时， O与O' 重合
S Px, y, z,t
yS
y' S' u
ut P
S Px, y, z, t
o
o' x'
x'
两个参考系中相应的
x
x
坐标值之间的关系：
x x ut (x ut) 1u2 c2
z y y
z'
z z
t'
t u x c2
(t u x)
x ( x ut)
则
t
(
t
u c2
x)
x ( x ut)
逆变换
t
(
t
u c2
x)
u c 1 1 2
二、由洛伦兹变换看长度的收缩(length contraction)
标尺相对 S系静止
y y'
在 S系中测量
l0 x'2 x'1 l'
s
s'
u
x'1
l0
x'2 x'
O'
说明上海站的乙火车先开，
时序颠倒!!
O z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
狭义相对论的时空观： 两个事件在不同的惯性系看来，它们的空间关
系是相对的，时间关系也是相对的，时间和空间的 量度与参考系的选择有关。也就是说时间、空间和 运动三者之间紧密联系，是不可分割的一个整体。
光速 C 是建立不同惯性系间时空变换的纽带。
试求宇航员参考系中测得的甲乙两列火车发车的时间 间隔，哪一列先开?
解：取地面为 S 系，和飞船一起运动的参考系为 S 系，
§5.2 洛沦兹变换-改
u' x u x v u'y uy u'z uz
Chapter 5. 相对论
§5. 2 洛沦兹变换
P.
18 / 25 .
例题：在地面上观测到两艘相向飞行的飞船的速度 皆为0.9c，求它们之间的相对速度。 解：由速度的变换得 ux 0.9c , v 0.9c
ux v u x 1 vu' x / c 2
2 1
t 2 t1 0
x1 2.0 10 x2
求解
3
t1 ? t2
t1 t2 (t 2 t1 )
??
v
c
2
( x2 x1 )
2
1 v c
Chapter 5. 相对论
§5. 2 洛沦兹变换
P.
12 / 25 .
x1 x2
定义：
v / c， 1 / 1 1
2
( 被称为膨胀因子)
Chapter 5. 相对论
§5. 2 洛沦兹变换
P.
4 / 25 .
洛伦兹变换和逆变换为：
x' ( x vt ) y' y ; z' z t' ( t x / c ) x ( x' vt' ) y y' ; z z' t ( t' x' / c )
A( x1 , t1 ) S系： B( x , t ) 2 2 , t1 ) A ( x 1 S 系： B( x , t ) 2 2
S
S
v 9km s1
.
大学物理第4章第4节-洛伦兹变换
4.4 洛仑兹变换
一. 洛仑兹坐标变换 洛仑兹变换描述相对论的时空关系.
y
S
S
y
u
( x, y , z ; t ) P ( x, y , z , t )
ut
o
z
o
x
x, x
z
x
1. 坐标变换
y
S
S
y
u
( x, y , z ; t ) P ( x, y , z , t )
ut
o
z
o
x
x, x
z
x
在 S 系中观测, 由运动尺度收缩效应,
(在 S 系中, x 静止, x 运动)
x ut x 1 2 (1)
x
x ut 1 2
y
S
S
y
u
( x, y , z ; t ) P ( x, y , z , t )
即同地事件的同时性的绝对的, 异地事 件的同时性是相对的.
2. 关于事件的时序问题 因果事件: 表示结果的事件 B 发生在 表示原因的事件 A 之后.
t1 t2 t 2 t1 1
2
(u c 2 )( x2 x1 ) 1 2
t 2 t1 u x2 x1 1 2 2 1 c t 2 t1
(2) 在垂直方向上的速度发生变化是由 于时间间隔存在相对论效应; (3) 当 v 沿 x 轴方向或 v 沿 x 轴方向时
vu v , v v x z 0 y 0, 2 1 (uv c ) v u vx , v y 0, v z 0 2 1 (uv c )
x ( x ut), y y, z z , t [t (u c 2 ) x]
一. 洛仑兹坐标变换 洛仑兹变换描述相对论的时空关系.
y
S
S
y
u
( x, y , z ; t ) P ( x, y , z , t )
ut
o
z
o
x
x, x
z
x
1. 坐标变换
y
S
S
y
u
( x, y , z ; t ) P ( x, y , z , t )
ut
o
z
o
x
x, x
z
x
在 S 系中观测, 由运动尺度收缩效应,
(在 S 系中, x 静止, x 运动)
x ut x 1 2 (1)
x
x ut 1 2
y
S
S
y
u
( x, y , z ; t ) P ( x, y , z , t )
即同地事件的同时性的绝对的, 异地事 件的同时性是相对的.
2. 关于事件的时序问题 因果事件: 表示结果的事件 B 发生在 表示原因的事件 A 之后.
t1 t2 t 2 t1 1
2
(u c 2 )( x2 x1 ) 1 2
t 2 t1 u x2 x1 1 2 2 1 c t 2 t1
(2) 在垂直方向上的速度发生变化是由 于时间间隔存在相对论效应; (3) 当 v 沿 x 轴方向或 v 沿 x 轴方向时
vu v , v v x z 0 y 0, 2 1 (uv c ) v u vx , v y 0, v z 0 2 1 (uv c )
x ( x ut), y y, z z , t [t (u c 2 ) x]
狭义相对论基础-2
2.狭义相对论时空观结论
两个事件P1和P2 ，在S系中观测,时刻为 t1 和 t2 ，在 S’ 系中 v v 观测，时刻为 t’1 和 t’2 。 t 2 2 x2 t1 2 x1 c c t ' t ' 根据洛伦兹变换 2 1 2 v2 v 1 2 1 2 时间间隔为 c v c (t 2 t1 ) 2 ( x2 x1 ) c 在S系中同时但不同地， t 2 't1 ' v2 在S’系中测量则不同时， 1 2 体现时空相关 c 其时间间隔为：
x1 L x2 在S系测得： L x2 x1
S'系测得： 利用洛仑之变换：x2
x 2 t 2
x1
t 2 t1
x2
x1
长度收缩是相对的，S系 L 看S’系中的物体收缩，反 L 2 之，S’系看S系中的物体 1 c 也收缩。
1 ( ) 2 c x1 t1
讨论： 1. 如果相对运动只发生在 x 方向，则：
uv u' uv 1 2 c
2. 若、u<<c，则回到伽利略速度变换。
例4
在 S 系中一束光沿X轴传播，速率为c；在 S’ 系中，
光的速率为多少？
对 S 系，将带撇的和不带撇的互相交换，同时把 变 成 – ，可以得到速度的逆变换公式：
t
反之，在 S’ 系中同地发生两事件，x’1 = x’2 在 S 系中测量，时间间隔
v2 1 2 c
结论
t 2 t1
t1 t2 v2 1 2 c
(1) 运动的时钟变慢！
也变慢
(2) 运动时钟变慢是相对的！
3） 长度收缩
设长L' 棒静止在S'系中
14-3 狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式
16
物理学
第五版
14-3
狭义相对论的基本原理
洛伦兹变换式
例：（1）火箭A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对于地球向＋X方 向和－X方向飞行。试求由火箭B测得A的速度。（2）若火箭A相 对于地球以0.8c的速度向＋Y方向飞行，火箭B的速度不变，求A 相对B的速度。 /系） （ S 解：如右图，取地球为S系，B为S/ 0.8c 0.6c 系，则S/系（即火箭B）相对于S系 （即地球）的速度v=-0.6c,火箭A A B 相对S系的速度ux=0.8c,则A相对S/ 地球 （ S系 x 系（B）的速度为
5
物理学
第五版
14-3
狭义相对论的基本原理
洛伦兹变换式
那么，什么样的变换能保证所有的物理规律对这 种变换都具有不变的形式呢? 什么样的变换能保证在 所有惯性系中光速不变呢？
6
物理学
第五版
14-3
狭义相对论的基本原理
洛伦兹变换式
二 洛伦兹变换式
符合相对论理论的时空变换关系．
设
t t 0 时，
时、空不再分离，而是统一的整体，与物质的运动相关。在相对论 的时、空观中，不存在空无一物的时、空点。在统一四维时空中的一 个时、空点对应着一个具体的事件。
5. 时间和空间的坐标都是实数，变换式中 不应该出现虚数；
v 2 1 ( ) c
v>c 变换无意义 物体运动的极限速度为真空中的光速。
11
物理学
(1) (2)
x ( x vt )
光速不变
x c t
x c ' t
'
xx 2 ( x ' vt ')( x vt ) 2 ( xx ' vx ' t vxt ' v2tt ')
物理学
第五版
14-3
狭义相对论的基本原理
洛伦兹变换式
例：（1）火箭A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对于地球向＋X方 向和－X方向飞行。试求由火箭B测得A的速度。（2）若火箭A相 对于地球以0.8c的速度向＋Y方向飞行，火箭B的速度不变，求A 相对B的速度。 /系） （ S 解：如右图，取地球为S系，B为S/ 0.8c 0.6c 系，则S/系（即火箭B）相对于S系 （即地球）的速度v=-0.6c,火箭A A B 相对S系的速度ux=0.8c,则A相对S/ 地球 （ S系 x 系（B）的速度为
5
物理学
第五版
14-3
狭义相对论的基本原理
洛伦兹变换式
那么，什么样的变换能保证所有的物理规律对这 种变换都具有不变的形式呢? 什么样的变换能保证在 所有惯性系中光速不变呢？
6
物理学
第五版
14-3
狭义相对论的基本原理
洛伦兹变换式
二 洛伦兹变换式
符合相对论理论的时空变换关系．
设
t t 0 时，
时、空不再分离，而是统一的整体，与物质的运动相关。在相对论 的时、空观中，不存在空无一物的时、空点。在统一四维时空中的一 个时、空点对应着一个具体的事件。
5. 时间和空间的坐标都是实数，变换式中 不应该出现虚数；
v 2 1 ( ) c
v>c 变换无意义 物体运动的极限速度为真空中的光速。
11
物理学
(1) (2)
x ( x vt )
光速不变
x c t
x c ' t
'
xx 2 ( x ' vt ')( x vt ) 2 ( xx ' vx ' t vxt ' v2tt ')
狭义相对论基本原理 洛仑兹坐标变换式
由光速不变原理：
u
x2 y2 z 2 c2t 2 r r
x2 y2 z2 c2t2 O O
(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
P
x
x
在 u «c 情况下
狭义相对论
牛顿力学
有 y y z z
洛仑兹变换
令
u
c
正变换
x x ut
y y
z z
t
t
c
x
1 1 2
则
逆变换
§5-2 狭义相对论基本原理 洛仑兹坐标变换式
1.狭义相对论的基本原理
牛顿力学的困难 1) 电磁场方程组不服从伽利略变换 2) 光速c是常量——不论从哪个参考系中测量
迈克耳逊—莫雷（Michelson—Morleg）实验 以伽利略变换为基础来观测地球上各个方上光
速的差异。由于地球自转，据伽利略变换，地球 上各个方向上光速是不同的，在随地球公转的干 涉仪中应可观测到条纹的移动。
问题： 在约定的系统中，
t t 0 时,O、O
重合，且在此发出闪光。
y S y S
u r r O O
(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
P
x
x
经一段时间光传到 P 点（事件）
在S中 Px, y, z,t 寻找 对同一客观事件
在S中 Px, y, z,t
两个参考系中相应的 坐标值之间的关系
5.20104 m
洛仑兹变换
由此解得乙对甲的速度为 根据洛仑兹变换
uc 2
x 1 x ut
1 2
可知, 乙所测得的两个事件的空间间隔是
x2
x1
x2
x1
1
13. 2 洛伦兹变换
§13. 2 洛伦兹变换 一、洛伦兹变换式 1 u 1 c
推导过程略 y
S
2
y
u
P x x
O
S
O
x ( x ut ) (13-23) y=y z=z ux t (t 2 ) (13-25)
c
z
z O、O重合时， t=t=0
z1 z1
z 2 z2
“2”“1” ?
例1．在S 惯性系中观测到相距x=9108m的两地点相隔t=5s 发 生两事件，而在相对S系沿x方向匀速运动的S系中发现此两事件 恰好发生在同一地点。试求在S系中此两事件的时间间隔。
x = 9108m t =5 解： S：
S： x=0，
2
4) 物体运动速度的极限为 c 。 u<c ux u t (t 2 0 =1 5) 当u<<c时， c c x=xut y =y z =z t =t 洛伦兹变换 伽利略变换 经典力学是相对论力学的极限情况，仅在u<<c时成立。 uc时，用相对论； u<<c时，可以用经典理论。
带撇与不带撇互换、负号与正号互换
即：同一个研究“对象”被两个参 考系的观察者研究。 “二看一”！ 若不是同一事件，则无此关系。
1 说明： 1) 洛伦兹变换是同一事件在两个惯性 u c 1 系中的两组时空坐标间的变换方程。
“二看一”！ x ( x ut ) 2) 各惯性系的时间、空间度量基准必须一致。 y=y 各惯性系中的观察者、钟、尺必须相 对各自惯性系保持静止。 3) 时间、空间和物质运动密不可分！
A
x
A
B A
S：x=0 t=t=? 1 v x ( t ) t = t 2 c 1 2
推导过程略 y
S
2
y
u
P x x
O
S
O
x ( x ut ) (13-23) y=y z=z ux t (t 2 ) (13-25)
c
z
z O、O重合时， t=t=0
z1 z1
z 2 z2
“2”“1” ?
例1．在S 惯性系中观测到相距x=9108m的两地点相隔t=5s 发 生两事件，而在相对S系沿x方向匀速运动的S系中发现此两事件 恰好发生在同一地点。试求在S系中此两事件的时间间隔。
x = 9108m t =5 解： S：
S： x=0，
2
4) 物体运动速度的极限为 c 。 u<c ux u t (t 2 0 =1 5) 当u<<c时， c c x=xut y =y z =z t =t 洛伦兹变换 伽利略变换 经典力学是相对论力学的极限情况，仅在u<<c时成立。 uc时，用相对论； u<<c时，可以用经典理论。
带撇与不带撇互换、负号与正号互换
即：同一个研究“对象”被两个参 考系的观察者研究。 “二看一”！ 若不是同一事件，则无此关系。
1 说明： 1) 洛伦兹变换是同一事件在两个惯性 u c 1 系中的两组时空坐标间的变换方程。
“二看一”！ x ( x ut ) 2) 各惯性系的时间、空间度量基准必须一致。 y=y 各惯性系中的观察者、钟、尺必须相 对各自惯性系保持静止。 3) 时间、空间和物质运动密不可分！
A
x
A
B A
S：x=0 t=t=? 1 v x ( t ) t = t 2 c 1 2
洛伦兹坐标变换式的推导.
洛伦兹坐标变换式的推导
l0
l0 — Proper/Rest Length
2 y' y z' z x' ( x ut ) t' t ux c
时空变换关系必须满足 两个基本假设 当质点速率远小于真空中的 光速，新时空变换能退化到 伽利略变换 t 时刻，对惯性系 S 有
University Physics
Xi’an Jiaotong University Zhongfeng Xu 04 / 20 / 2010
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
l Length Contraction Lorentz transformation
反映空间测量与时间测量相互影响，相互制约 例如，测量空间和时间
x1, y1, z1, t1 x'1, y'1, z'1, t'1 事件2 x2 , y2 , z 2 , t 2 x'2 , y' 2 , z' 2 , t' 2
事件1
S
S
x x2 x1 x' x'2 x'1 空间 y y2 y1 y' y'2 y'1 间隔 z z2 z1 z' z' 2 z'1
v B
V v ctgθ
v 0.6c θ 30
V c
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
?
x0
x
l0
l0 — Proper/Rest Length
2 y' y z' z x' ( x ut ) t' t ux c
时空变换关系必须满足 两个基本假设 当质点速率远小于真空中的 光速，新时空变换能退化到 伽利略变换 t 时刻，对惯性系 S 有
University Physics
Xi’an Jiaotong University Zhongfeng Xu 04 / 20 / 2010
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
l Length Contraction Lorentz transformation
反映空间测量与时间测量相互影响，相互制约 例如，测量空间和时间
x1, y1, z1, t1 x'1, y'1, z'1, t'1 事件2 x2 , y2 , z 2 , t 2 x'2 , y' 2 , z' 2 , t' 2
事件1
S
S
x x2 x1 x' x'2 x'1 空间 y y2 y1 y' y'2 y'1 间隔 z z2 z1 z' z' 2 z'1
v B
V v ctgθ
v 0.6c θ 30
V c
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
?
x0
x
8.3-8.6洛仑兹变换
2 2
ut
2
a1 u b2 c c
2 2 2 2
o
z
o' z'
联立求解,
x' x
(x,y,z,t) P (x`,y`,z`,t`)
x x'
联立求解得：
a1 b2 1 1 (u c )
2
b1 c
u
2
1 (u c )
2
x ' a 1 ( x ut )
t' b 1 x b 2 t
子的寿命实验（B.Rossi, D.B.Hall 1941）
子在高空大气顶层形成，静止平均寿命 为2.1510 －6s，速率为 0.995c.若无时间膨胀
效应，只能走640m就消失了，地面观测不到。 在地面上看其寿命膨胀 g
1 1 0 . 995
2
10
倍，
衰变前可飞行6400m, 实际上可到达地面。
y
S
S u
v
' x
vx u 1 uv x c
2
,
y
c
光信号
xx v
S ‘：vx， = c S：vx = ？
v u cx 1 uv c x c
2
O
O
x
c
！
z
z
不可能通过参考系变换达到超光速。
例题 在地面测得两枚静长为20m 的火箭 A、B以 0.9 c 的速度背向飞行。求：在火箭 A上测量 火箭 B 的速度和长度？
u u u
r'
l' l'
l'
45
0
x
S
ut
2
a1 u b2 c c
2 2 2 2
o
z
o' z'
联立求解,
x' x
(x,y,z,t) P (x`,y`,z`,t`)
x x'
联立求解得：
a1 b2 1 1 (u c )
2
b1 c
u
2
1 (u c )
2
x ' a 1 ( x ut )
t' b 1 x b 2 t
子的寿命实验（B.Rossi, D.B.Hall 1941）
子在高空大气顶层形成，静止平均寿命 为2.1510 －6s，速率为 0.995c.若无时间膨胀
效应，只能走640m就消失了，地面观测不到。 在地面上看其寿命膨胀 g
1 1 0 . 995
2
10
倍，
衰变前可飞行6400m, 实际上可到达地面。
y
S
S u
v
' x
vx u 1 uv x c
2
,
y
c
光信号
xx v
S ‘：vx， = c S：vx = ？
v u cx 1 uv c x c
2
O
O
x
c
！
z
z
不可能通过参考系变换达到超光速。
例题 在地面测得两枚静长为20m 的火箭 A、B以 0.9 c 的速度背向飞行。求：在火箭 A上测量 火箭 B 的速度和长度？
u u u
r'
l' l'
l'
45
0
x
S
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a z az
请大家思考，速度、加速度的逆变换式如何？
速度变换和加速度逆变换式为 du u 是恒量 a a v v u dt
请大家自己写出速度、加速度的逆变换的分量表示式
a a
牛顿运动定律具有伽利略变换的不变性
S S
m
m
a a
12.1 狭义相对论的基本原理
12.1.1 绝对时空观的重要观点 1、力学的相对性原理
洛伦兹坐标变换
在所有惯性系中，物体运动所遵循的力学规律是完全相同 的，应具有完全相同的数学表达形式。也就是说，对于描 述力学现象的规律而言，所有惯性系是等价的。 2、绝对时空观 绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，而且由于其 本性在均匀地、与任何其他外界事物无关地流逝着。 绝对空间就其本质而言，是与任何外界事物无关，而且永 远是相同的和不动的。
z z
t t u x 2 c 1 β 2
(1) 变换式中 (x, y, z ) 和 (x', y', z' ) 的关系是线性的，这是因 为一事件在两惯性系的坐标总是一一对应的，这是真实 物理事件必须满足的。
(2) 空间测量与时间测量相互影响，相互制约
S x1, y1, z1, t1 S' பைடு நூலகம்x'1, y'1, z'1, t'1
速度变换和加速度变换式为
v' v u
写成分量式
du a' a dt
v' x v x u a x a x du dt
v' y v y
v' z v z
ay a y
u 是恒量
a x ax
ay a y
a z az
a' a
12.1.2 伽利略坐标变换式
在两个惯性系中分析描述同一物理事件
在 t ＝0 时刻，物体在 O 点, S , S' 系重合。t 时刻，物体到 达P点 y' y u S S P (x, y, z; t ) S S' r x,y,z,t r x,y,z,t (x', y', z'; t') r r v x,y,z,t v x,y,z,t x (x' ) O O' a x,y,z,t a' x,y,z,t
迈克耳孙— 莫雷实验的零结果，说明“以太”本身不存在。
2、狭义相对论的两个基本假设
1905年，A. Einstein 首次提出了狭义相对论的两个假设
假设1. 相对性原理
在所有惯性系中，一切物理学定律都相同，即具有 相同的数学表达式。或者说，对于描述一切物理现 象的规律来说，所有惯性系都是等价的。
所有惯性系都完全处于平等地位，没有任何理由选 某一个参考系，把它置于特殊的地位。 假设2. 光速不变原理 在所有惯性系中，真空中光沿各个方向传播的速率都 等于同一个恒量，与光源和观察者的运动状态无关。
c 299 792 458 m/s
讨论 (1) Einstein 相对性原理 是 Newton力学相对性原理的发展； (2) 时间和长度等的测量； • 在牛顿力学中，与参考系无关 • 在狭义相对论力学中，与参考系有关 (3) 光速不变原理与伽利略的速度合成定理针锋相对。
12.1.4 洛伦兹坐标变换式 Einstein依据相对性原理和光速不变原理得到了狭义相对 论的坐标变换式，即洛伦兹坐标变换式。它是关于同一物 理事件在两个惯性系中的两组时空坐标之间的变换关系。 但洛伦兹早于Einstein狭义相对论就给出了此变换式。
假设某一事件在惯性系 S 中的时 空坐标为(x, y, z, t )，在惯性系 S' 中的时空坐标为(x', y', z', t' ) ，
则其坐标之间的变换关系，即洛 伦兹坐标变换式表示为
y S S'
y'
u
r
O z z' O'
r
P (x, y, z; t ) (x', y', z'; t')
事 件 1 事 件 2
x2 , y2 , z2 , t2
x x2 x1 y y2 y1 z z2 z1 t t2 t1
x'2 , y' 2 , z' 2 , t' 2
由 l1 = l2 = l 和 v << c
vt 2
2l v2 t1 (1 2 ) c c 2l v2 t2 (1 2 ) c 2c
实验结果:
两束光线 2 3 t t t 2 1 lv / c 的时间差
当仪器转动 p / 2 后，引起干涉条纹移动
N 0
2l v 2 N c2
F F
F ma F m a
在牛顿力学中
• 力与参考系无关
• 质量与运动无关
12.1.3 狭义相对论的基本原理 1、光速的伽利略变换未能被实验证实
Maxwell 电磁场方程组不服从伽利略变换
c 1/ 0 0 2.998 108 m s
迈克耳孙 莫雷实验的零结果
M2 l2
Ⅱ
S
迈克耳孙 莫雷实验 对光线Ⅰ：O M1 O
O
l1
Ⅰ
v
以太风
M1
l1 l1 2l1 1 t1 ( ) 2 2 c v c v c 1v / c
P
对光线Ⅱ ：O M2 O
M2
2l2 1 t2 ( ) 2 2 c 1v / c
x (x' )
正变换式
逆变换式
x ut x ut x' 2 u 2 1 β 1 ( ) c y' y z' z u u t 2 x t 2 x c c t' 2 u 2 1 β 1 ( ) c
讨论
x
x ut 1 β 2
y y
z z'
伽利 略变 换式
正变换 逆变换
x x ut y y z' z t' t
x x' ut y y z z' t t'
由定义 v dr dt 并注意到 t' t
dr ' v' dt'
dv a dt
dv ' a' dt'