三角函数的最值(专题)

三角函数的最值（专题）

一、 知识要点

1、 配方法求最值

主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最

值问题，如求函数2

s i n s i n 1y x x =++的最值，可转化为求函数[]21,1,1y t t t =++∈-上的最值问题。

2、化为一个角的三角函数（利用辅助角公式），再利用有界性求最值：

sin )a x bcox x ϕ+=+，其中tan ϕ=a b .

3、sin sin a x b y c x d +=+（或cos cos a x b y c x d

+=+）型，解出sin x （或cos x ）利用|sin |1x ≤（或|cos |1x ≤）去解；或用分离常数的方法去解决.

4、 数形结合 形如：sin cos a x b y c x d +=

+（或cos sin a x b y c x d

+=+）型，可化归为sin()()x g y ϕ+=去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当a c =时，还可以利用数形结合的方法去处理.

常用到直线斜率的几何意义，例如求函数sin 2x y cox =+的最大值和最小值。函数sin 2x y cox =+的几何意义为两点(2,0),(cos ,sin )P Q x x -连线的斜率k ，

5、 换元法求最值

对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2

x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。

*特别说明 注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。

二、题型剖析

1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。

例1：求函数2sin cos 1y x x x =+-的最值，并求取得最值时的x 值。

练习：1、已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈。

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值；

2．已知函数2()22sin f x x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；

3．已知函数()4cos sin()16f x x x π

=+-。 （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求

()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值。

2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。

例2 已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-。（Ⅰ）求()3

f π

=的值；（Ⅱ）求(x)f 的最大值和最小值。

练习：1、求函数f （x ）=cos 2x +sin x 在区间［－

4π，4π］上的最小值？

2、函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（ ）.

A ． 2

B . 0

C . 41-

D . 6 3、求函数y=5sinx+cos2x 的最值

4、是否存在实数a ，使得函数2385cos sin 2-++=a x a x y 在闭区间⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由。

例题3。y =x

x sin 2sin +的最大值是_________，最小值是_________.

练习：1函数y =2

sin 1sin 3+-x x 的最大值是_______，最小值是_______. 2、求函数sin (0)2sin x y x x

π=

<<+的值域________ 3、求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域________

例4

求函数y =

x x cos 2sin 2--的最大值和最小值.

1、y =

x x sin cos 2-（0＜x ＜π）的最小值是________.

2、求函数sin (0)2cos x y x x π=

<<+的最大值________.

3、换元法解决x x x x cos sin ,cos sin ±同时出现的题型。

例5．求函数()()x x y cos 34sin 34--=的最小值

练习：1、求y =1+sin x +cos x +sin x cos x 的值域.

2、函数(1sin )(1cos )y x x =++的最大值为_________最小值为__________

[思维点拨]：遇到x x cos sin +与x x cos sin 相关的问题，常采用换元法，但要注意sin cos x x +的取值范围是]2,2[-，以保证函数间的等价转化

小结：求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理.

基本类型

（1）2sin sin y a x b x c =++（或2cos cos y a x b x c =++）型，可令sin t x =（或

cos t x =）

，||1t ≤，化归为闭区间上二次函数的最值问题.

（2）sin cos y a x b x =+型，引入辅助角ϕ，化为)y x ϕ=

+，利用函数|sin()|1x ϕ+≤即可求解.

（3）sin sin a x b y c x d +=+（或cos cos a x b y c x d

+=+）型，解出sin x （或cos x ）利用|sin |1x ≤（或|cos |1x ≤）去解；或用分离常数的方法去解决.

（4）sin cos a x b y c x d +=

+（或cos sin a x b y c x d

+=+）型，可化归为sin()()x g y ϕ+=去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当a c =时，还可以利用数形结合的方法去处理. （5）对于含有sin cos ,sin cos x x x x ±的函数的最值问题，常用的方法是令

sin cos ,||x x t t ±=≤将sin cos x x 转化为t 的关系式，从而化归为二次函数的最值问题.

（6）在解含参数的三角函数最值问题中，需对参数进行讨论.

三、巩固练习：

1、当20π

<

2、已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 ( )

(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1

3、设0a >，对于函数()sin (0)sin x a f x x x

π+=<<，下列结论正确的是 （ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值

C ．有最大值且有最小值

D ．既无最大值又无最小值

4、已知函数11()(sin cos )sin cos 22

f x x x x x =+--,则()f x 的值域是 （ ）

(A)[]1,1- (B) ,12⎡

⎤-

⎢⎥⎣⎦ (C) 1,2⎡-⎢⎣⎦ (D) 1,2⎡--⎢⎣⎦