复习凸函数理论在解决中学数学极值问题中的应用

凸函数理论在解决中学数学极值问题中的应用 -将极值问题转化为凸函数问题求解

例 1 在条件11116x x y y -+++-++≤的约束下，求函数

2(,)sin 4

x y

f x y +=的最大值和最小值。

解：约束条件在xy 平面上构成一个八边形（如图4-1）。

图4-1

先考虑函数2(,)4

x y

g x y +=,由于2x 是一元凸函数，

222

1212[(1)](1)x x x x αααα+-≤+-

而y 是线性函数，所以

21212112222

11221122[(1)][(1)]

[(,)(1)(,)]4

(1)(,)(1)(,)

44

x x y y g x y x y x y x y g x y g x y αααααααααα+-++-+-=

++≤+-=+- 有

(,)185

max (,)max (,)(2,1)4

i i x y D i g x y g x y g ∈≤≤===，

又由于

5,42π

-⎢⎥⎣⎦

上单调增，所以 2(,)5

max sin sin .44

x y D x y ∈+= 至于最小值，我们注意到当x 的绝对值越小，y 的值越小，(,)g x y 越小，故

2

1)2,0(),(min ),(-=-=∈g y x g D y x 再由sin x 的单调性，有

(,)1

min (,)sin

2

x y D

f x y ∈=-. 注意，(,)f x y 的极小值点不在八边形的顶点集上。

例2 已知,x y 满足下列不等式

270,43120,230x y x y x y -+≥--≤+-≥

求22(,)f x y x y =+的最大值和最小值。

解：约束条件构成(,)x y 的区域为下图（4-2）中以5

(9,8),(2,),(3,0)2A B C -为

顶点的三

图4-2

角形闭域S .

我们来证明(,)f x y 是S 上的下凸函数。对于任意的112222(,)(,)M x y M x y 与，

2211(,)(,)x y A x y 22x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

=22

2

22()0x y +≥ 可知(,)f x y 是S 上的下凸函数。可得

max{(,)(,)}max{(),(),()}()(9,8)145f x y x y S f A f B f C f A f ∈==== 为求min{()}f M M S ∈,

首先注意到，对于M S ∈表示点M 到坐标原点的距离，故

}S OH ∈==

=

从而得

9min{(,)(,)}5

f x y x y S ∈=